1 ЛЕКЦИЯ 15. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если понятие определенного интеграла обобщить на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая, то такой интеграл называется криволинейным. 15.1 Криволинейный интеграл I рода Пусть функция f x, y задана вдоль непрерывной кривой AB на плоскости Oxy . Разобьем кривую AB произвольно на n частей (рис.80) точками A M 0 , M 1 , M 2 ,, M i 1 , M i ,, M n B . Рисунок 80 Обозначим через l i длину дуги M i 1 M i , - наибольшую из длин частичных дуг M i 1 M i (т.е. max l i ). Выберем на каждой дуге 1i n M i 1 M i произвольную точку M i* и составим сумму f M i* l i . n (15.1) i 1 Сумма (15.1) называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й для функции f x, y по кривой AB . Если существует конечный предел интегральных сумм (15.1) при 0 , не зависящий ни от способа разбиений кривой, ни от выбора точек в них, то этот предел называется к р и в о л и н е й н ы м и н т е г р а л о м п е р в о г о р о д а от функции f x, y по кривой AB и обозначается f M dl или f x, y dl . AB AB Тогда, по определению имеем AB f M i* l i . 0 f x, y dl = lim n i 1 (15.2) Теорема. Если функция f x, y непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл первого рода существует. 2 15.2 Основные свойства криволинейного интеграла I рода f x, y dl = f x, y dl , т.е. криволинейный интеграл I рода не 1) AB BA зависит от направления пути интегрирования. 2) f1 x, y f 2 x, y dl f1 x, y dl AB 3) AB с f x, y dl с f x, y dl , где с const . AB 4) AB f 2 x, y dl . AB f x, y dl f x, y dl f x, y dl , AB AC где кривая AB состоит CB из двух кривых AC и CB . 5) Если f1 x, y f 2 x, y для всех точек кривой AB , то f1 x, y dl f 2 x, y dl . 6) f x, y dl AB AB f (C ) l , где точка C лежит на кривой AB , l - AB длина кривой AB (теорема о среднем). 15.3 Вычисление криволинейного интеграла I рода Для вычисления криволинейного интеграла I рода используют одну из следующих формул: 1) если кривая AB задана уравнением y x , x a, b , то b f x, y dl f x, ( x) 1 x dx ; AB 2 (15.3) a 2) если кривая AB задана параметрически x xt , y y t , t , , где xt и y t - непрерывно дифференцируемые функции по t , то f x, y dl f x(t ), y (t ) AB 3) xt 2 y t 2 dt ; (15.4) если кривая AB задана уравнением , 1 , 2 , то 2 2 2 f x, y dl f cos , sin d . (15.5) 1 AB Замечание. Криволинейный интеграл первого рода от непрерывной в некоторой пространственной области функции f M f x, y, z по длине дуги определяется аналогично, т.е. L f M i* l i , где max l i . 0 1i n f M dl = lim n i 1 3 Если кривая L задана параметрическими уравнениями x xt , y y t , z z t , t , , то 2 2 2 f M dl f x(t ), y(t ), z (t ) xt y t z t dt . (15.6) L Пример 15.1. Вычислить интеграл x 2 L y 2 dl , где L - отрезок прямой, заключенный между точками O(0,0) и A 1, 8 . Решение. Найдем уравнение прямой L : y 8 x . При движении от точки O к точке A x меняется от 0 до 1. По формуле (15.3) имеем: x 2 1 y dl x 2 L 2 8x 2 0 3 1 x 1 8 x dx 27 x 2 dx 27 3 0 Пример 15.2. Вычислить интеграл 2 y 1 2 9. 0 dl , где L - арка циклоиды L x a t sin t , y a 1 cos t , причем 0 t 2 . Решение. Так как dl xt 2 yt 2 a 2 1 cos t a 2 sin 2 t dt a 2 2 cos t 2a sin 2 то по формуле (15.4) имеем y 2 2 dl a 1 cos t 2 L 2 0 2 t dt , 2 2 2 t t t 3 5 t 3 2a sin dt 2a 4 sin dt 8a sin 4 sin dt 2 2 2 2 0 0 2 2 t t t 1 t 256 3 t 2 16a 1 cos2 d cos 16a 3 cos3 cos5 a . 2 2 2 3 2 5 2 15 0 0 3 Пример 15.3. Вычислить интеграл x 2 y 2 dl , где L - контур L окружности x y 2 x . Решение. 2 2 Перейдем к полярным координатам по формулам перехода x cos , y sin . Тогда уравнение данной окружности примет вид 2 cos , dl 2 d 4 cos2 4 sin 2 d 2 d . 2 Угол меняется от до , т.к. окружность расположена в I и 2 2 IV четвертях. По формуле (15.5) имеем 4 x 2 2 2 2 1 cos 2 d 2 0 y 2 dl 2 d 2 4 cos2 d 16 2 2 L 2 1 8 sin 2 4. 2 0 15.4 Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода 1) Длина кривой Длина l кривой AB вычисляется по формуле l dl . (15.7) AB 2) Площадь цилиндрической поверхности Если образующая поверхность параллельна оси OZ и ее направляющей является кривая AB , лежащая в плоскости OXY , то площадь поверхности, задаваемой функцией z f x, y , находится по формуле S f ( x, y)dl . AB 3) Масса кривой x, y Если материальная кривая AB имеет плотность точке M x, y , то её масса вычисляется по формуле в m ( x, y)dl . AB 4) Статические моменты, центр тяжести Статические моменты относительно осей Ох и Оу соответственно равны y ( x, y)dl , M x AB M y x ( x, y)dl , AB а координаты центра тяжести вычисляются по формулам: x My m x ( x, y)dl AB ( x, y)dl AB , M y x m y ( x, y)dl AB ( x, y)dl AB . 5 5) Моменты инерции Моменты инерции I x , I y , I o материальной кривой AB относительно осей Ох и Оу , начала координат О0,0 соответственно равны I x y 2 ( x, y )dl , AB Iy x 2 ( x, y )dl , AB 2 I o ( x y 2 )( x, y )dl . AB Пример 15.4. Найти координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды x a(t sin t ), если 0 t 2 (рис.81). y a ( 1 cos t ) Плотность считать равной единице в каждой точке кривой ( 1). Рисунок 81 Решение. Учитывая симметрию кривой относительно получаем абсциссу центра тяжести: х а . Найдем сначала массу кривой m dl OA 2 2 a 2 (1 cost )2 a 2 sin 2 t dt 0 2 2 t t 2a 1 cos t dt 2a sin dt 4a cos 8a . 2 2 0 0 0 Тогда y ydl OA m 2 a (1 cos t ) a 2 1 cos t dt 0 8a a 2 3 t sin dt 2 0 2 2 t cos3 2 t t t 2 4a . a 1 cos2 d cos a cos 2 2 2 3 3 0 0 прямой х а , 6 4а Итак, искомый центр тяжести дуги – точка М а, . 3 15.5 Криволинейный интеграл II рода Пусть на кривой AB в плоскости OXY определены две ограниченные функции Р х, у и Q x, y . Разобьём кривую AB на n частей точками: M 0 A, M 1 , M 2 , , M i 1 , M i , , M n B . _______ Обозначим проекции вектора М i 1 M i на оси координат через x i и y i . На каждой частичной дуге М i 1 M i возьмем произвольную точку M i и составим сумму для функций Р х, у и Q x, y : * n (15.8) P(M xi Q(M *i ) yi . i 1 i 1 Сумма (15.8) называется и н т е г р а л ь н о й с у м м о й д л я ф у н к ц и и Р х, у по переменной х (для функции Q x, y по переменной у ). Введем обозначения: l i - длина дуги М i 1 M i , max l i. n * i) 1i n Если существует конечный предел интегральных сумм (15.8) при 0 , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них, то его называют к р и в о л и н е й н ы м и н т е г р а л о м в т о р о г о р о д а от функции Р х, у ( Q x, y ) по кривой AB и обозначают Р( х, у )dx Q( х, у )dy . АВ AB Обычно рассматривают сумму интегралов по координате х и по координате у : (15.9) Р( х, у) dx Q( x, y) dy P( x, y) dx Q( x, y) dy . АВ AB Интеграл (15.9) называют о б щ и м интегралом второго рода. AB криволинейным Теорема. Если функции Р х, у и Q x, y непрерывны на гладкой кривой AB , то криволинейный интеграл существует. Криволинейные интегралы второго рода обладают теми же свойствами, что и криволинейные интегралы первого рода, только они зависят от выбора направления кривой (от А к В или от В к А ): если 7 изменить направление обхода, то интеграл меняет знак, т.е. Р( х, у)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy . АВ BА Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой. Условимся называть направление п о л о ж и т е л ь н ы м , если область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L , пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом Р( х, у)dx Q( x, y)dy . L 15.6 Вычисление криволинейного интеграла II рода Криволинейные интегралы второго рода сводятся к определенным интегралам. Для вычисления криволинейного интеграла второго рода пользуются одной из следующих формул: а) если кривая AB задана уравнением у х и при перемещении из точки А в точку В х меняется от а до b , то АВ b Рdx Qdy [ P( x, ( x)) Q( x, ( x)) ( x)]dx . (15.10) a б) если кривая AB задана параметрическими уравнениями х х(t ) , у у (t ) и при перемещении из точки А в точку В параметр t меняется от до , то АВ Рdx Qdy [ P( x(t ), y(t )) x / (t ) Q( x(t ), y(t )) y / (t )]dt . (15.11) Аналогично определяется криволинейный интеграл от непрерывных функций в некоторой пространственной области функций Р х, у, z и Q x, y, z по координатам вдоль дуги пространственной кусочно-гладкой кривой L , расположенной в этой области: Р( х, у, z)dx Q( x, y, z, )dy R( x, y, z)dz . L Если кривая L задана параметрическими уравнениями х х(t ) , у у (t ) , z z (t ) t , то Р( х, у, z)dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz L [ P( x(t ), y (t ), z (t )) x (t ) Q( x(t ), y (t ), z (t )) y (t ) R( x(t ), y (t ), z (t )) z (t )] dt . 8 Замечание. Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением: Рdx Qdy ( P cos Q cos)d , АВ AB где и - углы, образованные касательной к кривой AB в точке M x, y с осями Ох и Оу соответственно. Пример 15.5. Вычислить х 2 2 xy dx у 2 2 xy dy , где L - дуга L параболы y x , пробегаемая от точки А(1, 1) до точки В(1, 1) (рис.82). 2 Рисунок 82 Так как при движении из точки А в точку В x меняется от 1 до 1 , то по формуле (6.1) имеем 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x 2 xy ) dx ( y 2 xy ) dy x 2 x x x 2 x x x dx L 1 1 х3 х 4 х 6 4 x5 2 3 5 4 x 2 x 2 x 4 x dx 3 2 3 5 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 14 . 3 2 3 5 3 2 3 5 15 1 15.7 Формула Грина Между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области существует связь, определяемая формулой Грина. Пусть L - кусочно-гладкий контур на плоскости OXY , а D ограниченная этим контуром замкнутая область. Теорема. Если функции Р х, у и Q x, y непрерывны в области D и имеют в этой области непрерывные частные производные, то справедлива формула дQ дР (15.12) дх ду dxdy P( x, y ) dx Q( x, y ) dy . D L 9 Формула (15.12) называется ф о р м у л о й Г р и н а . Пример 15.6. С помощью формулы криволинейный интеграл 2 2 2 2 х у dx x y dy , Грина вычислить L где L - контур треугольника с вершинами в точках А(1, 1) , С (1, 3) (рис.83). В(2, 2) и Рисунок 83 Решение. Применим формулу Грина (7.1). В данном случае Р 2 x 2 у 2 , 2 Q x y , поэтому дQ дР 2 ( х у) , 4у . дх ду Тогда получаем 2 2 2 ( x y )dx x y dy [2( x y) 4 y]dxdy 2 L D 2 4 x 1 x D ( х, у) : 1 х 2, х у 4 x 2 dx ( x y) dy 2 ( x y) 1 2 4 x x 4 dx ( x 2) 3 32 1 4 . 3 15.8 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования Плоская область D называется о д н о с в я з н о й , если для любого замкнутого контура L , лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D . 10 Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл P dx Q dy не L зависел от пути интегрирования в односвязной области D , в которой функции Р х, у и Q x, y непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие дР дQ . (15.13) ду дх Если выполнено условие (15.13) и L - замкнутый контур, то (15.14) P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 . L Если выполнено условие (15.13), то выражение P dx Q dy L является полным дифференциалом некоторой функции, определенной в области D , т.е. Р( х, у)dx Q( x, y)dy dU ( x, y) . Пример 15.7. Вычислить интеграл L x dx y dy x y 2 2 , где L - окружность ( х 1) ( у 1) 1 . 2 2 Решение. Здесь P x x2 y2 , Q y . Получаем x2 y2 2 ху дР дQ . 2 2 2 ду дх х у Так как условие (15.13) выполняется и контур L замкнутый, тогда по формуле (15.14) данный интеграл равен нулю. 15.9 Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода 1) Площадь плоской области Площадь S плоской области D , расположенной в плоскости OXY и ограниченной замкнутой линией L , находится по формуле 1 (15.15) S xdy ydx , 2L где направление обхода контура L выбрано так, что область D все время слева от пути интегрирования. 11 2) Работа силы Работа, совершаемая переменной силой F P( x, y ) i Q( x, y ) j вдоль кривой L , находится по формуле (15.16) А P( x, y)dx Q( x, y)dy . L Пример 15.8. Вычислить работу силы F xy i ( x y ) j при перемещении материальной точки по прямой y x из точки О0,0 в точку M 1, 1 . Решение. Из формулы (15.16) следует, что А 1 хуdx ( x y )dy ( x ом 0 1 2 x x)dx ( x 0 1 2 x3 1 4 2 x)dx x 2 1 . 3 3 0 3