РП Мат модели в Естзн и Экологии

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЯРОСЛАВА МУДРОГО»
Кафедра «Прикладная математика и информатика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ИЭИС
_____________ Б.И. Селезнев
«____» ______________2006 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ЭКОЛОГИИ
Дисциплина для направления 010500 и специальности 010501 –
прикладная математика и информатика
Рабочая программа
СОГЛАСОВАНО
Начальник учебно-методического
отдела
_______________ Е.И.Грошев
«____» ______________2006 г
Принято на заседании
кафедры ПМИ
«____»______________ 2006 г.
Разработал
____________ Н.В. Рутковский
«____» ______________2006 г.
Введение
Дисциплина специализации «Математические модели в естествознании и экологии»
входит в блок специальных дисциплин для специальности 010501 «Прикладная математика и
информатика» и читается на 6 семестре третьего курса. Для понимания курса требуется знание математических дисциплин, изучаемых на первом и втором курсах: алгебра и геометрия,
математический анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика. Преподавание дисциплины имеет целью:
– дать представление о моделировании, как способе познания окружающего мира;
– овладеть этапами моделирования, в особенности математическим описанием и анализом модели;
– развить умение выделять параметры модели, доступные воздействию и управлению
человеком.
Для достижения этих целей решаются следующие задачи:
 освоение основных моделей изучаемых в курсе;

решение простейших расчетных задач, касающихся этих моделей;

умение решать типовые задачи по изучаемым разделам;

приобретение навыков моделирования для решения прикладных задач.
1. Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля
Таблица 1.1 – Дневная форма обучения
Вид учебной работы
Всего
Аудиторные занятия
- лекции
- практические занятия
- семинары
- лабораторные работы
51
34
8
9
Самостоятельная работа
- курсовой проект
- расчетно – графическая
- реферат
- контрольная работа
- прочие
49
4
45
Всего
Вид итогового контроля
работа
100
экзамен
2. Содержание дисциплины
Таблица 2.1 – Содержание теоретических занятий
Тема
Трудоемкость в часах
Очная форма
Ауд.
СРС
1. Введение
Общие понятия о математической модели, ее составляющих.
Моделирование, как способ познания окружающей действительности. Приближенный характер моделирования.
2
2
2. Математическая модель движения
Математическое описание движения, теория кривых
Модели, преобразующие круговое движение в прямолинейное:
инверсор Поселье.
Управляемые объекты. Основные факты и простейшие задачи оптимального управления.
10
10
3. Экологические модели
Объект и окружающая среда, питание и размножение, экологическое равновесие.
Модели численности популяций Мальтуса и Ферхюльста-Перла.
Модели Вольтерра сосуществования двух видов.
Модели, основанные на анализе преобразования энергии при проявлении различных активностей.
12
12
4. Физические модели движения жидкостей и газов
Вывод основных уравнений. Вероятностные модели процессов
диффузии. Случайные блуждания. Уравнения Фоккера – Планка.
10
8
34
32
ВСЕГО
Таблица 2.2 – Содержание практических и лабораторных занятий
Тема
Трудоемкость в часах
Очная форма
Ауд.
СРС
1. Введение
-
-
2. Математическая модель движения
6
6
6
6
5
5
17
17
Кривые на плоскости и в пространстве.
Преобразование инверсии и его свойства.
Задачи оптимального управления.
3. Экологические модели
Решение и анализ уравнения Ферхюльста-Перла.
Расчет моделей сосуществования двух видов.
4. Физические модели движения жидкостей и газов
Задачи на случайные блуждания.
ВСЕГО
3. Учебно-методическое обеспечение
3.1 Список рекомендуемой литературы
3.1.1. Основная литература
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М., Физматлит, 2001,
320 с.
2. Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. – М.: Наука, 1974.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.:1 – М.: Наука, 1967.
4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С.Наглядная геометрия – М.: Наука, 1981. – 344 с.
3.1.2. Дополнительная литература
1. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1976.
2. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. – М.: Мир, 1981.
3.2. Список методических рекомендаций и указаний
1. Литвинов В.Ф., Десятских Э.А. Экология. – Новгород: 1997.
3.3. Педагогические контрольные (испытательные) материалы
3.3.1 Контрольная работа № 1 по теме “ Экологические модели”
1. Популяция, численность которой 100000 стала с ускорением увеличиваться. Увеличившись в 10 раз, ее скорость роста стала замедляться. Каков внутренний борьбы популяции,
если коэффициент естественного роста равен 20?
2. В модели двух популяций с общей пищей известны следующие данные:
 1  30  1  7  10 4  1  5  10 2
 2  20  2  6  10 2  2  8  10 4
Каково стационарное состояние этой модели?
3. В модели хищник – жертва коэффициенты жертвы  1  8 ,  1  4  10 3 , и соответственно
для хищника  2  6 ,  2  5  10 3
При каком N1 максимально N 2 и при каком N 2 минимально N1 ?
3.3.2. Вопросы к экзамену
1. Моделирование и математическое моделирование.
2. Примеры математических моделей.
3. Определение инверсии и ее простейшие свойства.
4. Образы прямых и окружностей при инверсии.
5. Инверсор Поселье.
6. Инверсор Гарта.
7. Ромбоид Кемпе.
8. Двойной ромбоид Кемпе.
9. Модель Мальтуса, ее недостатки.
10. Модель Ферхюльста-Перла.
11. Исследование решений уравнения Ферхюльста-Перла.
12. Модель Вольтера двух популяций с единой пищей.
13. Модель Вольтера хищник – жертва.
14. Устойчивость решения линейной системы дифференциальных уравнений.
15. Формулировка теоремы Ляпунова.
16. Модель хищник – жертва с учетом внутренней борьбы.
17. Метод Кюрасао.
18. Модель гонки вооружений.
19. Случайные блуждания на прямой. Число положительных путей с закрепленным концом.
20. Число положительных путей с незакрепленным концом.
21. Вероятности возвращения и первого возвращения в начало.
22. Вероятности возвращения при бесконечном блуждпнии.
23. Производящие функции. Связь рядов.
24. Случайные блуждания на плоскости.
25. Случайные блуждания в пространстве.
4. Приложение
4.1. Методические указания для преподавателя
Лекционный материал по разделам дисциплины излагается на основе литературных
источников табл. 4.1. В качестве дополнительных источников могут быть материалы, полученные из сети Интернет, а также результаты научных разработок кафедры, в том числе –
лично преподавателя. Преподавателю рекомендуется сообщать студентам, из каких дополнительных источников взят сообщаемый им материал.
Рекомендации по разделам дисциплин
1. Введение.
Здесь следует подчеркнуть, что при моделировании сохраняются лишь некоторые,
существенные для данного исследования характеристики объекта. Эти характеристики могут
быть значительно видоизменены, что типично для знакового моделирования. Следует отметить, что математическое моделирование имеет теоретический характер и является знаковым.
2. Математическая модель движения.
В этом разделе основное внимание уделяется преобразованию кругового движения в
прямолинейное. В связи с этим на первый план выходит геометрическое преобразование
плоскости – инверсия. Следует подробно разобрать свойства этого преобразования и строго
обосновать действия механизмов – инверсоров Поселье и Гарта. Помимо этих вопросов,
нужно изучить кривые механического происхождения и их математическое выражение.
3. Экологические модели.
Этот раздел, в основном, относится к изучению динамики численности популяций, в
котором используется математический аппарат дифференциальных уравнений. Здесь базовыми являются модели Мальтуса и Ферхюльста-Перла, изучению которых следует уделить
особое внимание. Далее рассматриваются модели Вольтерра, сосуществования двух популяций, в которых важную роль играют состояния равновесия. В связи с этим необходимо восстановить основные результаты теории устойчивости по Ляпунову и напомнить практическое их применение. Особо выделяется модель гонки вооружений, формально созвучная моделям Вольтерра, которую следует рассматривать как применение изученной методики к сосуществованию различных стран.
Физические модели движения жидкостей и газов.
Отправным явлением этого раздела служит броуновское движение, моделированию
которого посвящается тематика раздела. На первом этапе изучается случайное блуждание на
прямой, основные свойства которого следует разобрать со всей обстоятельностью. Итоговым
результатом будет нахождение вероятности возвращения в начало координат и бесконечного
числа таких возвращений. Далее эти же вопросы необходимо рассмотреть для случайного
блуждания на плоскости и в пространстве.
4.
4.2. Методические указания для студентов
1. Введение.
Этот раздел носит общенаучный характер и студентам желательно ознакомиться с
различными видами моделирования от искусства до науки и проектирования. Определить
место математического моделирования в иерархии различных видов моделирования и четко
представлять каким аппаратом оперирует это моделирование. Желательно также рассмотреть
типичные примера математического моделирования, не входящие в данный курс.
2. Математическая модель движения.
В этом разделе следует сосредоточиться на основной задаче преобразования кругового движения в прямолинейное. Техническое решение этой задачи сводится к решению чисто
математической задачи – созданию шарнирного механизма преобразующего движение по
окружности в движение по прямой.
Для решения этой задачи необходимо освоить геометрические разделы, связанные с
преобразованием плоскости, в основном инверсии.
Студенту также следует освоить методику вывода уравнений кривых механического
происхождения.
3. Экологические модели.
Здесь заметен достаточно резкий переход тематики и на первом этапе студенту желательно ясно представит себе новый объект изучения – популяции живой природы. С математической точки зрения рассматривается основная характеристика популяции – ее численность в зависимости от времени существования этой популяции. Вначале студентом изучается популяция в благоприятных условиях существования без внешних воздействий. Даже в
этом простом случае выявляется существенный фактор, препятствующий росту ее численности – фактор внутренней борьбы. Далее студенту нужно изменить точку зрения на существование популяции и рассмотреть их совместное взаимодействие. Оно может иметь как мирный характер, так и антагонистический. Это поможет овладеть следующими моделями Вольтерра популяций с единой пищей и хищник – жертва.
Для нахождения равновесных состояний таких популяций студенту необходимо восстановить сведения по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Овладение этими моделями поможет освоить как модель Кюрасао, так и модель гонки
вооружений.
4. Физические модели движения жидкостей и газов.
Конкретный материал раздела ограничивается моделями броуновского движения, которое носит непредсказуемый характер. В связи с этим студенту потребуются знание по теории вероятностей, которые также необходимо освежить в памяти. Нужно как следует разобраться в случайном блуждании на прямой и научиться решать все разбираемые задачи. Это
послужит основой для решения основных вопросов случайного блуждания на прямой, а также на плоскости и в пространстве.
Таблица 4.1. Основная литература по разделам курса
Наименование
раздела
Введение
Математическая
модель движения
Экологические
модели
Физические модели
движения жидкостей и газов
Литературные источники
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.
М., Физматлит, 2001, 320 с.
1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия – М.: Наука,
1981. – 344 с.
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.
М., Физматлит, 2001, 320 с.
2. Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. –
М.: Наука, 1974.
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.:1 –
М.: Наука, 1967.
Учебно-методическое обеспечение
Дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ЭКОЛОГИИ
Специальность (направление) 010501, 010500 – прикладная математика и информатика
Форма обучения очная
Часы: всего часов 100, лекций 34, практ. занятий 8, лаб. 9. раб.,
курс. проектов (работ), проч. индив. работа 49.
Институт электронных и информационных систем.
Кафедра прикладной математики и информатики, семестры 6
Таблица 1-Обеспечение дисциплины учебными изданиями
Библиографическое описание* издания (автор, наименование, вид, место и год издания, кол. стр.)
Вид занятия,
в котором
используется
Число часов,
обеспечиваемых изданием
Кол. экз. в
библ. НовГУ
(на каф.)
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М., Физматлит, 2001, 320 с.
2. Гильдерман Ю.И. Лекции по высшей математике для биологов. – М.: Наука, 1974.
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и
ее приложения. Т.:1 – М.: Наука, 1967.
4. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия – М.: Наука, 1981. – 344 с.
Лекции,
практика
Лекции
20
5
10
6
Практика
10
10
Лекции,
практика
12
10
Примечание
_____________
* Библиографические сведения в описании указывают, в том виде, в каком они даны в издании, например: Торговое дело: Экономика и организация: Учебник / Под общ. ред. Л.А. Брагина, Т.П. Данько.- М.: ИНФРА-М, 1997.-256с.
Таблица 2 - Обеспечение дисциплины учебно-методическими изданиями
Библиографическое описание* издания (автор, наименование, вид, место и год издания, кол. стр.)
Вид занятия,
в котором
используется
1. Литвинов
Лекции,
практика
В.Ф., Десятских Э.А. Экология. –
Новгород: 1997
Число часов,
обеспечиваемых изданием
12
Кол. экз. в
библ. НовГУ (на каф.)
Примечание
15
Электронный вариант
______________
* Библиографическое описание издания приводится в соответствии с требованиями СТП 1.701 - 98, например: Второй
метод Ляпунова: Методические указания /Авт.-сост. О.Н. Барсов, Т.Н. Шелонина; НовГУ . - Новгород, 1997 . - 30 с.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины ____________%
Действительно для учебного года______________
Действительно для учебного года______________
Действительно для учебного года______________
Зав. кафедрой____________
подпись
Зав. кафедрой____________
подпись
Зав. кафедрой_____________
подпись
____________
И.О. Фамилия
____________
И.О. Фамилия
____________
И.О. Фамилия