Случайные процессы. Задачи для подготовки к экзамену

Случайные процессы.
Задачи для подготовки к экзамену.
Составители О.А. Малыгина, И.Н. Руденская
 0,2

1. Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1)   0,3
 0,4


Распределение вероятностей в начальный момент времени p(0)  (0,1;
Найти вероятность Р(ξ(1)=3; ξ(2)=1; ξ(4)=2).
 0,1

2. Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1)   0,7
 0,5


Распределение вероятностей в начальный момент времени p(0)  (0,3;
Найти вероятность Р(ξ(2)=1; ξ(4)=2; ξ(5)=3).
0,2 0,6 

0,5 0,2 
0,3 0,3 
0,4; 0,5)
0,3 0,6 

0,2 0,1
0,1 0,4 
0,3; 0,4)
1 0 
 .
3.Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1)  
1 0 
Найти предельное распределение вероятностей, если оно существует. Проверить,
эргодична ли цепь Маркова.
1 0 
 .
4.Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1)  
0 1 
Проверить, эргодична ли цепь Маркова. Найти предельное распределение вероятностей,

если начальное распределение p(0)  (0,4; 0,6)
 13 23 0 


5. Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P (1)   0 0 1 
0 1 2 
 3 3

Распределение вероятностей в начальный момент времени p(0)  (0,2; 0,5; 0,3) .

Найти распределение вероятностей на 2-м шаге p ( 2) , предельное распределение
вероятностей. Проверить, эргодична ли цепь Маркова.
 12 0 12 


6. Дана матрица переходных вероятностей системы за 1 шаг P(1)   0 1 0 
1 0 2
3
3
Найти стационарное распределение вероятностей. Проверить, эргодична ли цепь
Маркова.
7. Даны плотности перехода системы 12  1; 21  1; 23  2; 31  3; 32  1.
Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найти
распределение вероятностей в любой момент времени с начальным распределением

p(0)  (1; 0; 0) . Найти стационарное распределение.
8. Даны плотности перехода системы 12  1; 31  2; 23  3; 32  1 .
Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найти
стационарное распределение.
9. Даны плотности перехода системы 12  2; 21  1; 23  3; 31  1; 13  2 .
Построить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова и найти
стационарное распределение.
10. Число отказов радиотехнической системы – пуассоновский поток с интенсивностью
0,003 в час. Найти вероятность того, что
а) за 200 часов будет не менее двух отказов;
б) за 100 часов будет хотя бы один отказ;
в) за 150 часов будет ровно два отказа.
11. На АЗС в среднем за 1 час прибывает 10 машин. Найти вероятность того, что:
а) в течение 5 минут прибудет 1 машина;
б) в течение 20 минут подъедут менее трех машин;
в) за 15 минут подъедет более трех машин.
12. По двум каналам связи на телефонную станцию передается два независимых
пуассоновских потока сообщений, один с интенсивностью три сообщения в минуту,
другой – два сообщения в минуту. Найти вероятность того, что за минуту поступит ровно
два сообщения.
13. В парикмахерской 5 мастеров. В среднем каждые 10 минут приходит клиент. Любой
мастер обслуживает клиента в среднем 40 минут. Найти:
а) вероятность отказа, если система с отказами (клиент не хочет ждать);
б) среднее число занятых мастеров для системы с отказами;
в) вероятность того, что будет очередь, но не более двух человек (система с
бесконечной очередью);
г) среднее число мест в очереди;
д) вероятность того, что очередь из двух человек, если в зале ожидания 3 места.
14. На АЗС имеется 4 колонки. В среднем за 10 минут подъезжает 4 машины. Каждая
машина обслуживается в среднем 5 минут. Найти:
а) среднее число занятых колонок в случае системы с отказами;
б) вероятность того, что будет очередь из одной машины (система с бесконечной
очередью);
в) среднее число мест в очереди;
15. В процессе работы некоторой системы поток отказов пуассоновский с интенсивностью
1 отказ в сутки. При отказе системы сразу начинается ремонт. Время ремонта
распределено по показательному закону. Среднее время ремонта 2 часа. В начальный
момент времени система исправна. Найти вероятность того, что в момент времени t
система исправна, найти предельные вероятности состояний.
16. Найти дисперсию и корреляционную функцию процесса η(t), заданного
каноническим разложением
, D1  D 2  2 ,
D 3  D 4  3
17. Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайного
процесса
, если
=
=3,
=
18. При каких дисперсиях
будет стационарным. ( и
и
случайный процесс
центрированные и некоррелированные).
19. Найти характеристики случайного процесса
=
t≥0, случайная величина
20. Случайный процесс
распределена на [2, 4].
t = π/6.
, если
=
=0,
равномерно
Найти характеристики случайного процесса
и сечение при
21. Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и дисперсию процесса
η(t), если
,
,
.
22. Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и дисперсию процесса
η(t), если
,
,
.
23. Задано каноническое разложение случайного процесса X(t) =
,
Найти корреляционную функцию, математическое ожидание и
дисперсию процесса
.
24. Найти характеристики случайного процесса
,
, если
. Определить, стационарны ли процессы ξ(t) и η(t).
25. Какие из нижеперечисленных функций могут являться корреляционными функциями
стационарного случайного процесса 1)
2)
,
3)
Для корреляционной функции найти спектральное разложение
случайного процесса и его дисперсию.
26. Найти спектральную плотность
корреляционная функция а)
стационарного случайного процесса, если его
, b)
cos5τ, D > 0, a > 0.
27. Найти корреляционную функцию и дисперсию стационарного случайного процесса,
если его спектральная плотность: а)
c)
,
, b)
,
a > 0.
28. Работа динамической системы описывается следующим образом:
Характеристики входного процесса = 1,
ожидание и дисперсию выходного процесса
.Найти математическое
.
29. Работа динамической системы описывается следующим образом:
. Характеристики входного процесса = 5,
. Найти математическое ожидание и дисперсию выходного процесса
.
30. Работа динамической системы описывается следующим образом:
Корреляционная функция входного процесса
функцию и дисперсию выходного процесса
. Найти корреляционную
.