Примерный образец ответа на задачи итогового

Примерный образец ответа на задачи итогового
междисциплинарного экзамена по направлению 140500 –
"Энергомашиностроение"
Задача. Внутри абсолютно жесткого теплоизолированного
цилиндра с подвижным поршнем натянута медная проволока. Цилиндр
заполнен воздухом, имеющим начальную температуру T1. Поршень
перемещается вправо. Определить перемещение поршня, при котором
проволока разорвется. Считать, что скорость поршня небольшая,
достаточная для выравнивания температуры проволоки и воздуха, закон
Гука справедлив вплоть до разрыва проволоки.
l1
d0
Проволока
Поршень
Методика решения
При перемещении поршня температура воздуха и проволоки будут
падать. Определим температуру T2, при которой проволока разорвется.
При остывании проволока в свободном состоянии укоротится на
величину
d  d0 (T1  T2 ) ,
(1)
где  – температурный коэффициент линейного расширения меди, 1/К.
d
При этом относительное удлинение составит ξ 
.
l0
В соответствии с законом Гука  = Е, где  – напряжение,
возникающее в материале тела при его относительном удлинении , Па,

Е – модуль (Юнга) упругости материала меди, Па. Отсюда ξ  .
E
Проволока разорвется в тот момент, когда напряжения от тепловой
деформации в материале  превысят предел прочности меди [], то есть
 > []. Другими словам разрыв проволоки произойдет при условии
d [σ]

.
d0
E
Подставляя выражение для d из (1) в выражение (2) получим
 (T1  T2 ) 
1
[σ ]
,
E
(2)
откуда в предельном случае для момента разрыва проволоки имеем
T2  T1 
[σ ]
.
E
Затем определим объем цилиндра после перемещения поршня.
Для адиабатного процесса
1
 T1  γ 1
  ,
V2  V1  
 T2 
где  – показатель адиабаты, V1 – начальный объем цилиндра.
Длина цилиндра после перемещения поршня
4V
l2  2 .
πd 0
Перемещение поршня
l = l2 – l1.
2