Тема: Квадратные уравнения. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Цели: повторить теоретический материал, применять его при решении различных квадратных уравнений, учить учащихся решать задачи; способствовать развитию логического мышления, математической речи; расширять математический кругозор, способствовать воспитанию трудолюбия, взаимопомощи; Оборудование: мультимедийный проектор, карточки с индивидуальными заданиями, карточки – подсказки. Урок-презентация Ход урока: I. Организационный момент. Вступление учителя: «Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности» (Альберт Эйнштейн) — Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью квадратных уравнений. Объявление темы и цели урока. Оформление доски Дата. Тема урока. Формулы. x 2 36 0 ax 2 c 0 àõ2 bx c 0 * 8x2 4 x 0 ax 2 bx 0 2 D b 4ac 3 2 ax 2 0 x 0 b D b D 7 x1 x2 2a 2a D1 k 2 ac x1 k D1 k D1 x2 a a II. Теоретический материал (Слайд 1.) Повторим теорию: 1. Что называется уравнением? 2. Что значит решить уравнение? 3. Какое уравнение называется квадратным?* 4. Можно ли назвать квадратными уравнения? * Как они называются? Как они решаются?* 5. Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением? 6. Что такое Дискриминант? Запишите формулу Дискриминанта. Что показывает Д квадратного уравнения? 7. Напишите формулы решения квадратного уравнения. 8. Когда применяем Дискриминант (1)? 9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?* 10. Где применяются квадратные уравнения? 11. Какие задачи решаются с помощью квадратных уравнений? Немного истории математики. 1 — Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения? — Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа отпраздновала 810 - летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в XVII веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид. А вот понятие Дискриминанта придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов. III. Решение уравнений (Слайд 2.) 3õ2 7 õ 4 0 14 õ2 5 õ 1 0 2 õ2 õ 67 0 2 y2 y 5 0 3x 2 7 x 4 0 D 49 48 1 7 1 x1, 2 6 x1 1 x2 4 3 2 x 2 x 67 0 D 1 8 67 0 8 x 2 14 x 5 0 12 x 2 16 x 3 0 4 x2 4 x 1 0 14 x 2 5 x 1 0 D 25 56 81 59 x1, 2 28 1 x1 7 1 x2 2 2 y2 y 5 0 D 1 40 41 1 41 4 1 41 y1 4 1 41 y2 4 y1, 2 2 12 x 2 16 x 3 0 D1 64 36 100 2 x 2 14 x 5 0 D1 49 40 9 x1, 2 8 10 12 3 x1 2 1 x2 6 73 8 x1, 2 1 2 5 x2 4 x1 4 x 2 4 x 1 0 (2 x 1) 2 0 2x 1 0 D1 4 4 0 x1 1 2 2 x 1 x 1 2 IV. Составление уравнений к задачам (Слайд 3.) 1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого. x( x 8) 273 или x( x 8) 273 2. Площадь прямоугольника 480 кв. м. Найдите его стороны, если периметр прямоугольника равен 94 м. S 480 P=94 P 47 2 x(47-x) = 480 3. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места? x(x + 8)=884 V. Решение задач 1. № 565 (Слайд 4.) Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 кв. см. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая – прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см. 2 S=4500 ñì Пусть х см – ширина прямоугольника, (120+х) см – длина прямоугольника. 2 Так как S=4500 ñì , составим и решим уравнение: х 120 х(120+х)=4500 õ2 120 õ 4500 0 3 D1 3600 4500 8100 k k 2 ac õ1, 2 a õ1, 2 60 90 õ1 150 , õ2 30 По смыслу значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, то есть число 30. Ответ: 30 см. VI. Путешествие в прошлое математики. Задачи на квадратные уравнения впервые встречаются в работе, составленной в 449 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский математик, Брахмагунта (VII век) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии проводились соревнования в решении трудных задач, вот одна из них. 2. № 569. Старинная задача. (Слайд 5.) Вот задача Бхаскары: Обезьянок резвых стая, Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На полянке забавлялась. А 12 по лианам Стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае? Пусть х обезьян было, тогда по условию задачи составим и решим уравнение: 2 x 12 x 8 x2 12 x 0 64 x 2 64 x 768 0 D1 1024 768 256 x1, 2 32 16 x1 16 x2 48 Проверка: 1) если х = 16, то 16 : 8 = 2, 2) если х = 48, то 48 : 8 = 6, 22 4 , 12 + 4=16; 6 2 36 , 36 + 12 = 48. 4 Ответ: 16 или 48. 3. № 567. (Слайд 6.) В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой – на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. x 3 x 6 2 2 Пусть х см – гипотенуза, тогда ( х – 3) см один катет, а ( х – 6) см другой катет, Тогда по теореме Пифагора имеем x2 x 2 6 x 9 x 2 12 x 36 x 2 0 x 2 18 x 45 0 D1 81 45 36 x1, 2 9 6 x1 3 x2 15 По смыслу задачи первый корень не подходит, значит, гипотенуза равна 15см. VI. Самостоятельная работа. (Слайд 7.) – Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно. Вам предлагается трехуровневая работа. Если вы еще не уверены в своих силах и желаете закрепить решение уравнение, то выбираете уровень А (1 балл за задание). Если считаете, что материал усвоен хорошо – В (2 балла за задание). Ну, а если желаете испробовать свои силы на более сложных заданиях – уровень С (3 балла за задание) для вас. В процессе решения я проверяю ваши работы и проставляю заработанные баллы. (Используются карточки – подсказки) 3x 2 x 4 0 x 2 10 x 9 0 D 1 48 49 D1 25 9 16 1 7 x1, 2 x1, 2 5 4 6 x1 1 x1 1 x2 9 4 x2 3 Задача. Одно число меньше другого на 4, а их произведение равно 221. Найдите эти числа. 1 способ. 2 способ. 5 x x 4 221 x x 4 221 x 2 4 x 221 0 D1 4 221 225 x1, 2 2 15 x1 17 x2 13 Пусть – 17 – первое число, тогда второе число – 13. Пусть 13 – первое число, тогда второе число 17. Ответ: -17 и -13 или 13 и 17. VII. Проверка написанного. По окончании работы ребята оценивают свою работу по следующим критериям: а) решил сам без ошибок и помог товарищу – «5»; б) решил сам, но консультировался у товарища – «4»; в) решал с помощью карточки-подсказки и учителя – «3»; VIII. Дом. зад. № 578, № 573 IX. Итог урока Оценка работы класса (активность, полнота ответов, работа отдельных учеников, прилежание) (Слайд 8). «Математика нужна для изучения многих наук, но сама не нуждается ни в какой науке» П. Каптерев 6