Лекция 1 Тема: Основные понятия кинематики.

Лекция 1
Тема: Основные понятия кинематики.
Кинематика. Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение.
Средняя скорость. Мгновенная скорость. Ускорение. Относительность движения.
Сложение скоростей и ускорений. Система СИ
Все тела, окружающие нас находятся в непрерывном движении. Простейшей формой
движения является изменение положения тел относительно друг друга - механическое
движение, которое изучает раздел физики называемый механикой.
Кинематикой называют раздел механики, в котором изучают законы движения
независимо от причин его вызвавших.
Материальной точкой называется тело, размеры и формы которого несущественны для
решения данной задачи. Одно и то же тело в одном случае можно считать материальной
точкой, в другом нет. Например, при полете космического корабля к Марсу, планету
можно считать материальной точкой, но при посадке на его поверхность размерами Марса
уже нельзя пренебрегать. Другой случай, когда достаточно рассматривать одну точку
движущегося тела – это поступательное движение, при котором все точки тела
движутся одинаково по параллельным линиям. Другим простым видом движения является
вращательное движение. В этом случае все точки тела движутся по окружностям,
центры, которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Для описания механического движения необходимо задать систему отсчета,
которая включает:
1) тело отсчета, относительно которого мы будем рассматривать движение;
2) жестко связанную с телом отсчета систему координат;
3) прибор измерения времени – часы.
Положение точки в пространстве в
данный момент времени однозначно можно
определить с помощью радиус – вектора r (t) –
векторный способ, или с помощью координат.
Пусть материальная точка переместилась
из точки 1 в точку 2 за время t (см. рис.1.1).
Линия, которую она описала в пространстве при
своем движении, называется траекторией.
Если траектория точки прямая, то движение
называют прямолинейным, если все точки
траектории лежат в одной плоскости, то
движение называют плоским. Путь (S)– это
расстояние, пройденное точкой вдоль
траектории. Путь величина скалярная и
неотрицательная. В процессе движения путь может только возрастать. Перемещением  r
точки за время t называют вектор, начало которого совпадает с положением точки в
момент времени t, а конец с ее положением в момент t+t.  r = r (t+t)- r (t). Другими
словами, перемещение это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки.
Перемещение точки, так же, как и путь, является функцией времени  r (t). В общем
случае модуль перемещения не может превышать длину траектории.  r   S
Быстроту движения тела характеризует скорость.
Средней скоростью по перемещению называют отношение перемещения  r ко
времени, за которое оно произошло:




r (t  t )  r (t ) r
(1.1)
Vср 

t
t
Вектор средней скорости совпадает с направлением
перемещения.
Как видим, это величина векторная.
Если уменьшать время усреднения t, то можно
увидеть (см.рис.1.2), что уменьшается вектор
перемещения и в этом случае говорят о мгновенной
скорости. Иными словами, мгновенная скорость
это предельное значение ее средней скорости за
промежуток времени от t до t+t при t
стремящемуся к 0.




r (t  t )  r (t ) dr
V  lim

(1.2)
t
dt
t 0
Если t мал, то исчезает зависимость отношения r/t от t. Такую операцию в
математике называют дифференцированием, а мгновенная скорость является производной


 r (t) по времени. Обозначение: V (t )  r ' (t ) . Как видно из рисунка, хорда, которую
представляет вектор перемещения, при уменьшения t приближается к касательной, то
есть мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения точки.
Можно увидеть, что геометрический смысл производной это тангенс угла наклона
касательной, проведенной к функции в данной точке. На рисунке 1.3 показан вектор
мгновенной скорости в точке А, соответствующей времени
t.
Аналогично определяется среднепутевая скорость, которая
является неотрицательной скалярной величиной.
S (t  t )  S (t ) S
V

(1.3)
t
t

Понятно, что Vсп Vср . Движение, при котором
мгновенная скорость точки не изменяется, называют
равномерным движением. Если мгновенная скорость не остается неизменной, то
вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости – ускорение.
Среднее ускорение называется отношение приращения средней скорости ко
времени за которое это приращение произошло.




v (t  t )  v (t ) v
aср 

(1.4)
t
t




v (t  t )  v (t ) dv

Аналогично определяется мгновенное ускорение: a (t )  lim
(1.5)
t
dt
t 0


a (t )  v ' (t )
 
Движение, при котором a  a ср называют равноускоренным.
Система измерения физических величин.
Каждая физическая величина, кроме числового значения имеет размерность,
которая показывает, в каких единицах она измеряется. Основными величинами называют
единицы нескольких разнородных величин, произвольно выбранными для построения
данной системы. Производные величины устанавливаются через основные. В качестве
предпочтительной в нашей стране применятся Международная система единиц СИ, в
которой семь основных единиц: длина - метр (м), масса - килограмм (кг), время секунда(с), количество вещества - моль, сила тока - ампер (А), температура - кельвин (К),
сила света - кандела (кд). С последними четырьмя мы познакомимся в ходе изучения
нашего курса. Размерность физической величины указывает ее связь с основными
величинами. Встречаются и безразмерные физические величины. Для краткой записи
больших и малых величин используются приставки, которые вы можете найти в
справочном разделе задачника.
Таким образом путь и перемещение измеряются в метрах (м) – размерность L,
скорость м/с – размерность LT-1, ускорение м/с2 – размерность LT-2.
Относительность движения.
Как Вам известно, из курса физики 7 класса любое механическое движение
относительно. Тело, движущееся относительно одного наблюдателя, может быть
неподвижным относительно другого. Соответственно все величины: путь, перемещение,
скорость и ускорение могут принимать различные значения в различных системах
отсчета. Выберем систему отсчета К, которую будем считать (условно) неподвижной.
Вторая система К' пусть движется относительно первой поступательно, тогда ориентация
осей относительно друг друга не изменяется. Для простоты
положим направления осей в этих системах параллельно.
Положение одной и той же точки М в системе К задано


вектором r , в системе К' вектором r ' . Очевидна связь
между ними:
  
(1.6)
r =R +r '
Или в координатном виде:
x=X+x'
y=Y+y'
z=Z+z'
Для того, чтобы установить связь между
скоростями точки в различных системах координат можно взять производную по времени
  
от выражения 1.6. В результате получим: v  v   V
(1.7)
Данное выражение называется законом сложения скоростей в классической механике.

v - скорость точки в системе К. Ее так же называют абсолютной скоростью;

v ' – скорость точки в системе К', называемой так же относительной скоростью;

V
- скорость системы К' относительно К (переносная скорость).
Скорость движения материальной точки в неподвижной системе отсчета равна
векторной сумме скорости движения подвижной системы отсчета относительно
неподвижной и скорости движения точки относительно подвижной системы.
  
Действуя аналогично, можно установить связь между ускорениями точи: a  A  a 
Важнейший частный случай относительного движения систем отсчета –

поступательное движение с постоянной скоростью V , сонаправленной с осью Х.
 
  
  
 
Тогда R = V t и r  r   Vt ; v  v   V ; a  a  .
В проекции на оси координат:
x  x   Vt
y  y
(1.8)
z  z
vx=vx'+V ; vy=vy'; vz=vz' (1.9)
Выражения 1.8 называют преобразования Галилея для координат, 1.9 – преобразования
Галилея для скоростей.
Данные результаты относятся только к поступательному движения систем отсчета.
Производные некоторых функций.
При решении задач по механике нам понадобятся следующие знания по часто
встречающимся производным:
1. Производная степенной функции. Пусть y(x)=axn, тогда производная y по x:
y'(x)=anxn-1
2. Производная сложной функции. Пусть имеется функция f(y), а y в свою очередь
df df dy


 f ' ( y )  y ' ( x) .
является функцией от х: y(x). Тогда
dx dy dx
3. Производная от постоянной величины равна 0.
Использование производных для нахождения максима (минимума) функции.
Пусть имеется функция f(x)=3x2-12x+5. Чтобы найти максимум функции возмем
производную: f '(x)=6x-12 и приравняем ее 0. x=2. Следовательно f(2)=-7 соответствует
максимальному значению данной функции. Чтобы понять максимум это или минимум
нужно исследовать как меняется знак производной от данной функции при переходе
через точку х=2. Если от (-) к (+), как в этом примере, то мы нашли максимальное
значение или наоборот.
Пример на сложение скоростей.
Капли дождя в безветренную погоду оставляют на стекле поезда, движущегося со
скоростью v1, след под углом  к вертикали. Определить скорость падения капель.
Решение: Скорость капель, относительно поверхности земли (неподвижной
системы), складывается из скости системы отсчета (скорости поезда) и скорости
  
относительно поезда –v2. Тогда: v  v1  v2

v1


v
Следовательно: V=V1 ctg

v2