Факультатив, 8 Формула Герона. Герон Александрийский (около I в.), древнегреческий математик и механик; дал систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике. Формула Герона: Площадь S треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S p p a p b p c , где p 1 a b c - полупериметр 2 треугольника. Дано: АВС , АВ с , ВС a , AС b , p – полупериметр АВС . Доказать: S p p a p b p c Доказательство: 1) Опустим высоту СН на сторону АВ ( CH AB , H AB ). Пусть CH h , AH y , BH x . 2) Из BHС по теореме Пифагора: x 2 h 2 a 2 , a 2 x 2 h 2 . Из AHС по теореме Пифагора: y 2 h 2 b 2 , b 2 y 2 h 2 (1) a2 x2 b2 y 2 y 2 x2 b2 a2 , y x y x b 2 a 2 , но y x c (2) y x c b 2 a 2 1 Разделим обе части равенства на с: y x b 2 a 2 (3). c b2 a2 3) Сложим равенства (2) и (3): y x y x c ; c b2 a2 c2 2y . c b2 a2 c2 Разделим полученный результат на 2: y . 2c 3) Подставим полученное выражение в равенство (1): b2 a2 c2 h 2 b 2 y 2 b y b y b 2c b c 2 a 2 a 2 b c 2 2c но p 2c b2 a2 c2 b 2c b 2 c 2 2bc a 2 a 2 b 2 c 2 2bc 2c 2c b c a b c a a b c a b c , 4c 2 1 a b c , т.е. a b c 2 p , a b 2 p c , a b c 2 p c c 2 p 2c 2 p c, 2 a c 2 p b , a c b 2 p b b 2 p 2b 2 p b , b c 2 p a , b c a 2 p a a 2 p 2a 2 p a . 2 p a 2 p 2 p c 2 p b 4 p p a p c p b . 4c 2 c2 2 p p a p c p b Следовательно, h 2 h . c 1 2 p p a p c p b c, 2 c S p p a p c p b , ч.т.д. 1 2 Но S hc , а значит, S Задача (на применение формулы Герона): Атанасян, № 525 Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Дано: АВС , В М , АВ 6 см, М , АС 2 см, L АВ = 13 см, N ВС = 14 см, АС = 15 см. М Найти: М , ВС . Решение: А 1) По формуле Герона: p К С 1 13 14 15 42 21 (см), 2 2 S ABC 21 21 13 21 14 21 15 21 8 7 6 3 2 7 2 2 4 3 7 2 2 21 4 84 (см2). 2) Соединим точку М с вершинами АВС , S ABC S AMB S BMC S AMC . 3) MN М , АВ MN AB , MK М , АC MK AC , ML М , BC ML BC . 1 1 2 2 1 1 S AMС MK AC 2 15 15 (см2). 2 2 5) S BMC S ABC S AMB S AMC , S BMC 84 39 15 30 (см2). 4) S AMB MN AB 6 13 39 (см2), 1 2 6) S BMС ML BC ML 2S BMС 2 30 30 , ML (см). 7 BC 14 Ответ: 30 см. 7