Конспект урока. Тема: Конус. Предмет: Геометрия.

Конспект урока.
Тема: Конус.
Предмет: Геометрия.
Дидактическая цель: Ознакомлением с определением конуса и
необходимыми терминами.
Развивающая цель: Развить пространственное мышление.
Воспитательная цель: Воспитать в детях усидчивость и уважение к
математике.
Тип урока: Усвоение нового материала.
Литература для учителя: Гусев В.А., Мордокович А.Г. Математика:
Справ. Материалы: Кн. Для учащихся.- М.: Просвещение, 1988. – 416с.: ил.
Ход урока:
1.
Организационный момент (0,5 мин).
2.
Изучение нового материала (24 мин.).
3.
Закрепление нового материала (решение задач) (20 мин).
4.
Подведение итогов урока (0,5 мин).
Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса,
точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех
отрезков, соединяющие вершину конуса с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности
основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит
из основания и боковой поверхности (Рис.1.).
Рис. 1 Боковая поверхность конуса.
2
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса
с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой
круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при
вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (Рис.2.).
Рис. 2 Конус – тело вращения.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его
вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты
совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая,
содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его
ось, называется основным сечением (Рис.3.). Плоскость, проходящая через
образующую конуса и перпендикулярна основному сечению, проведенному
через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
Рис. 3 Основное сечение конуса.
3
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший
конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (Рис.4.).
Рис. 4 Усеченный конус.
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание
которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а
вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в
конус, являются образующими конуса (Рис.5.).
Рис. 5 Описанный конус вокруг пирамиды.
Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием
является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина
совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней являются
касательными плоскостями конуса [8, 45](Рис. 6.).
4
Рис. 6 Конус, вписанный в пирамиду.
Задача №1: Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на
расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания
конуса R, а высота H.
Решение. По подобию треугольников составим уравнение
H R
dR
,
 , r
d
r
H
 dR 
S  r2  
.
H 
Рис. 7 Усеченный конус, его высота и радиус.
Задача №2: У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она
является вписанной в некоторый конус.
Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины пирамиды на
плоскость основания и обозначим длину боковых ребер пирамиды через l.
Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние. Отсюда
5
следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной
является вершина пирамиды, а основанием - круг с центром О и радиусом
R [8, 47].
На уроке решения задач мы вместе с учениками проектировали рисунки
к задачам, а потом они перерисовывали иллюстрации к себе в тетрадь. Таким
образом все ученики активно участвовали в процессе построения рисунка, и
им было интересно решать задачи.
Конспект урока.
Тема: Конус. Площадь боковой поверхности конуса.
Предмет: Геометрия.
Дидактическая цель: Отрабатывать знания основных понятий,
определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач
различных по содержанию уровню сложности.
Развивающая цель: Развивать логическое и пространственное
мышление, умение сравнивать, обобщать, классифицировать
Воспитательная цель: Воспитать в детях усидчивость и уважение к
математике.
Тип урока: Смешанный.
Литература для учителя: Гусев В.А., Мордокович А.Г. Математика:
Справ. Материалы: Кн. Для учащихся.- М.: Просвещение, 1988. – 416с.: ил.
Ход урока:
1.
Организационный момент (0,5 мин).
2.
Изучение нового материала (10 мин.).
3.
Решение задач (34 мин).
4.
Подведение итогов урока (0,5 мин).
Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле S  Rl , где
R – радиус основания конуса, а l – его образующая. Для нахождения площади
полной поверхности конуса нужно к площади его боковой поверхности
прибавить площадь основания.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по
формуле S   ( R  r )l , где R и r соответственно радиусы оснований, а l – его
образующая [8, 50].
Задача №1: В конус, радиус которого равен R и высота Н, вписан
цилиндр. Найдите размеры цилиндра, при которых площадь его боковой
поверхности имеет наибольшее значение.
6
Рис. 8 Цилиндр, вписанный в конус.
Решение: Обозначим радиус основания цилиндра через r, а его высоту
через h. Из подобия
h
SAO и M 1 AM следует, что
R  r H . Подставив в формулу
R
S б  2rh 
S б  2rh
Rr R
 , откуда
h
H
значение h, получим
2H 2
r .
R
Рассмотрим S б как функцию r и исследуем ее на экстремум. Для этого
найдем ее производную S б  2H 
Очевидно S   0 при r 
4H
r .
R
R
. В этой точке функция S б имеет максимум.
2
Итак, наибольшее значение площадь боковой поверхности цилиндра
принимает при r 
R
1
,а h H.
2
2
Задача №2: Около конуса с радиусом основания R описана произвольная
пирамида, у которой периметр основания равен 2p. Определить отношение
объемов и отношение боковых поверхностей конуса и пирамиды.
Решение. Рис. 6. Пусть общая высота конуса и пирамиды равна H.
Обозначим объемы конуса и пирамиды через V1 и V2, а их боковые
1
поверхности - через S1 и S2; тогда V1  R 2 H , S1  Rl , где l – образующая
3
конуса. Найдем V2 и S2. Так как периметр основания пирамиды равен 2p, а
основание конуса – вписанная в основание пирамиды окружность, то
площадь основания пирамиды равна pR, откуда V 2 
1
pRH ,
3
S 2  pl (высота
7
любой грани равна l). Итак,
R
V1 1 2
1
R S1
 Rl  pl 
 R H  pRH 
.
p
V2 3
3
p S2
[29, 266]
Задача №3: Параллелограмм, периметр которого равен 2р, вращается
вокруг оси, перпендикулярной диагонали длинной d и проходящей через ее
конец. Найти поверхность фигуры вращения.
Рис. 9 Параллелограмм вращается вокруг оси.
Рис. 10 Параллелограмм вращается вокруг оси.
Решение. Поверхность
S тела вращения состоит из боковых
поверхностей двух усеченных конусов, полученных при вращении отрезков
BC и CD, и двух конусов, полученных при вращении отрезков AB и AD.
Таким образом,
S    KB  AC BC    MD  AC CD    KB  AB    MD  AD .
Преобразуем это выражение, учитывая, что
AD=BC, CD=AB и
KB+MD=AC. Имеем
  KB  BC  AC  BC  MD  AB  AC  AB  KB  AB  MD  BC    (KB  MD  
BC  KB  MD   AB  AC  BC  AC  AB)    2 BC  2 AB   AC.
Так как по условию AC = d, 2BC+2AB=2p, то окончательно получим
S  2  dp . [29, 284]
8
ВЫВОДЫ
Наглядность в обучении выражает то представление о процессе
обучения и усвоения, которое выработано традиционной психологией и
педагогикой. При современном школьном образовании она не в состоянии
обеспечить необходимый уровень преподавания и должна быть
усовершенствована путем внедрения в процесс обучения учебных моделей,
эвристические возможности которых шире, чем у обычной наглядности.
Моделирование выступает современным средством наглядности.
Использование компьютерных программных средств на уроках
математики вносит разнообразие в традиционные методы обучения.
Методические
рекомендации
по
использованию
программы,
апробированные нами в ходе эксперимента, позволяет решить такие задачи:
повысить интерес к математике и познавательную активность учеников на
уроке, развить пространственное мышление.
При решении задач по стереометрии посредством моделирования с
помощью КОМПАСа школьники учатся абстрагированию, анализу, синтезу,
сравнению, аналогии, обобщению, переводу жизненных проблемных
ситуаций в абстрактные модели и наоборот. Использование моделирования
как способа обучения поисковой деятельности, обобщенным подходам,
приемам в решении задач способствует усилению творческой
направленности процесса обучения, развитию умственных способностей
учащихся, то есть моделирование является средством совершенствования
процесса обучения математике, которое позволяет активизировать
познавательную деятельность учащихся и развивать их мышление, что
доказано методом математической статистики выбранным нами.
9
1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 - 11 кл. сред. шк. / А.
Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.: Под. ред. А. Н.
Колмогорова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.
2. Алтухов, В.Л. О перестройке мышления: философскометодологические аспекты/ В. Л. Алтухов, В.Ф. Шапошников. - М.:
Просвещение, 1988.
3. Артоболевский,
А.
Н.
Арифметические
задачи
с
производственно-бытовым содержанием/ А. Н. Артоболевский. - М.:
Государственное
учебно-педагогическое
изд-во
Министерства
Просвещения РСФСР, 1961.
4. Аспицкая А. Ф. Аналитический подход к оценке электронных
учебников/ А. Ф. Аспицкая, Л. В. Кирсберг // Математика (Первое
сентября). – 2006. - №20. – С.16 – 19.
5. Баврин И. В. Программы контроля на уроках математики/ И.
Баврин, о. Цвырко// Информатика и образование. – 2003. – N1. – С. 81- 82
6. Балданова Н. Какой ответ правильный?: применение
компьютерных технологий в обучении математике / Н. Балданова //
Учительская газета. – 2004. - №48. – С. 4. (вкладыш № 17).
7. Балл Т. А. Теория учебных задач: психолого-педагогический
аспект/ Т. А. Балл – М.: Педагогика, 1990.-184с.
8. Балл Т. А. Система понятий для описания объектов приложения
интеллекта / Т. А. Балл // Кибернетика. – 1979. - №2. – С.29-47.
9. Баранов М. Применение графической наглядности в процессе
обучения орфографии: начинающему учителю // РЯШ. - 1991. - N2. - С.3541.
10. Братищенко О. Г. Використання комп’ютерних технологій на
уроках математики / О. Г. Братищенко // Комп’ютер у школі та сім’ї. – 2006.
– N2. – С. 38 - 40.
11. Веліховська А. Б. Використання інформаційних технологій у
вивченні математики на основі методу проектів / А. Б. Веліховська //
Математика в школах України. – 2005. - №3. – С. 2-5.
12. Веников В. А. Теория подобия и моделирования/ В. А. Веников. М.: Высшая школа, 1986. - 480 с.
13. Вінниченко Є. Розв’язування задач на ГМТ з використанням
моделюючих програмних засобів / Є. Вінниченко // Математика в школі. –
2003. – N4. – С. 13 – 16.
14. Возняк Г. М. Прикладные задачи в мотивации обучения/ Г. М.
Возняк // Математика в школе, 1990, 92 с.
15. Горох О. Комп’ютер на уроці математики / О. Горох //
Математика (Шкільний світ). – 2007. - №2.- С. 9-12.
16. Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием
/ А. Б. Горстко. - М.: Знание, 1991. - 160 с.
17. Грес П. В. Математика для гуманитариев/ П. В. Грес. - М.: Логос,
2005.
10
18. Гусев В.А., Мордкович А.Г./ Математика: Справ. материалы. –
М.: Просвещение, 1988. – 416 с.
19. Демчук Л. Використання комп’ютера на уроках математики / Л.
В. Демчук // Математика (Шкільний світ). – 2003. - №18. – С. 1-2.
20. Зубраева И. Информационные технологи на уроке математики /
И. Зубраева // Математика (Первое сентября). – 2004. №47. – С. 6 - 8.
21. Казиев В. Основы математического и инфологического
моделирования в примерах / В. Казиев, К. Казиев // Информатика и
образование. – 2004.- N1. – С. 39 – 46; №2. – С. 15 - 22.
22. Канин Е. С. Учебные математические задачи / Е.С. Канин. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - 154 c.
23. Кравченко Л. Персональний комп’ютер на уроці математики як
засіб активізації пізнавальної діяльності учнів / Кравченко Л. // Математика
в школах України. – 2004. - №2 – С. 8 – 11.
24. Крутихина
М.
В.
Обучение
некоторым
элементам
математического моделирования как средство подготовки к профильному
образованию/ М. В. Крутихина // Математический вестник педвузов и
университетов Волго-Вятского региона. Периодический межвузовский
сборник научно-методических работ: выпуск 6 - Киров: Изд-во ВятГГУ,
2004. - с. 246-254.
25. Кушнір Н. Підвищення ефективності навчання математики у
школі за допомогою КІТ. / Н. Кушнір // Комп’ютер у школі та сім’ї. – 2003.
– N3. – С. 23 – 25.
26. Мангейм, Дж. Б. Политология. Методы исследования: Перевод с
англ. / Дж. Б. Мангейм, Р. К. Рич. - М.: Весь Мир, 1997. - 544 с.
27. Мартиросян Л. Курс «Информационные технологии» в обучении
математике / Л. Мартиросян // Информатика и образование. – 2004. - №6. –
С. 88 – 93.
28. Мартиросян Л. Реализация возможностей информационных
технологий в процессе преподавания математики / Л. Мартиросян //
Информатика и образование. – 2003. - №2. – С. 78 – 82.
29. Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3.
Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.
30. Миндерова О. Компьютер на уроках математики / О. Миндерова
// Обдарована дитина. – 2003. - №1. – С. 30 – 32.
31. Мышкис, А. Д. О прикладной направленности школьного курса
элементов математического анализа/ А. Д. Мышкис // Математика в школе,
1990, - 146, с. 7-11.
32. Никифорова М. Новые компьютерные технологии / М.
Никифорова // Математика (Шкільний світ). – 2004. №29. – С. 2-5; №30.- С.
10 -14; №31. – С. 28 – 30.
33. Никифорова М. А. Преподавание математики и новые
компьютерные технологии / М. А. Никифорова // Математика в школе. –
2005. – N6. – С. 78-80; №7. – С. 56-64.
11
34. Новик, И. Б. О философских вопросах кибернетического
моделирования/ И. Б. Новик - М., Знание, 1964.
35. Обойщикова, И. Г. Обучение моделированию учащихся 5 - 6
классов при изучении математики: Автореферат диссертации на соискание
ученой степени кандидата педагогических наук / И. Г. Обойщикова. Саранск, 2002.
36. Пінчук О. З досвіду використання комп’ютера на уроках
математики / О. П. Пінчук, М. С. Лаврінський // Математика ( Шкільний
світ). – 2003. – N12. – С. 6-7.
37. Пособие по математике для поступающих в вузы/ Кута сов А.Д.,
Пиголкина Т. С., Чехлов В.И., Яковлєва Т.Х.; под ред.. Г.Н. Яковлєва. – М.:
Наука. Гл. ред.. физ.-мат. лит., 1985.- 480с.
38. Розов Н. Консультационный сайт по математике для школьников
и учителей / Н. Розов // Математика (Первое сентября). – 2005. - №1. – С. 38.
39. Русаков А. Новые информационные технологии и традиционное
математическое образование / А. Русаков // Педагогическая информатика. –
2006. – N2. – С. 11-16.
40. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Книга 2.
Геометрия/ В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова; Под.
ред. М.И. Сканави. – 9-е изд., перераб. и доп. – Москва: Издательский дом
«ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2002. – 512 с.
41. Сборник конкурсних задач по математик/ Говоров В.М., Дубов П.
Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф.; -М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит.,
1986. – 384 с.
42. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения
математики: Метод. Пособие.- К.: Рад. Школа, 1983.- 192 с., ил.- Библиогр.:
с.189-190.
43. Сичивица, О. М. Методы и формы научного познания/ О. М.
Сичивица. - М., Высшая школа, 1993.
44. Теорія і практика навчання та виховання: матеріали для
самопідготовки студентів. Укл. В.О. Бойко, Г.Г. Петрученя, М.В. Елькін.
МДПУ.- Мелітополь, 2006 р. – 88 с.
45. Терешин, Н. А. Прикладная направленность школьного курса
математики/ Н. А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.
46. Уемов, А. И. Логические основы метода моделирования/ А. И.
Уемов. - М.: Просвещение, 1996.
47. Фіцула М. М. Педагогіка: Навчальний посібник для студентів
вищих педагогічних закладів освіти.-2-е вид. - Тернопіль: Навчальна
книжка – Богдан, 2003.-192с.
48. Формирование системного мышления в обучении: учеб. пособие
для вузов/ под ред. З. А. Решетовой - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 344с.
49. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучении/ Л. М.
Фридман. - М.: Знание, 1984. - 80 с.
12
50. Целищева, И. Моделирование в текстовых задачах/ И. Целищева,
С. Зайцева // Приложение к газете '1 сентября'. Математика, 2002, ?33 - 34
51. Штофф, В. А. Моделирование и философия/ В. А. Штофф. - М.:
Наука, 1966.Фіцула М.М. Педагогіка: Навчальний посібник для студентів
вищих педагогічних закладів освіти.-2-е вид. - Тернопіль: Навчальна
книжка – Богдан, 2003.-192с.
52. Ягупов В.В. Педагогіка: навчально-виховний процес. Навчальний посібник. – К.: Либідь, 2003.-560 с.
53. Янченко Г., Янченко О. Текстові завдання як засіб формування
прийомів математичного моделювання // Початкова школа. №7 2004. 21-23
с.
13
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Контрольная работа
1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания
цилиндра равна 16  см2. Найдите площадь поверхности цилиндра. (3 балла)
2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения
равен 120  .Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две
образующие, угол между которыми 30  . (3 балла)
б) площадь боковой поверхности конуса. (3 балла)
3. Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена
плоскость под углом 45  к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с
этой плоскостью. (3 балла)