doc - actuary.by

Утверждено кафедрой ТВ и МС БГУ 5 сентября 2000г. протокол №1
ПРОГРАММА
общего курса
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ
ЭКОНОМИКИ
Специальность «АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА»
8 семестр, 68 часов лекций
1. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ
Математические и экономические предположения в моделях непрерывного
времени. Процессы с непрерывными выборочными траекториями без редких событий. Процессы с «редкими событиями» и непрерывными выборочными траекториями. Процессы с «редкими событиями» и разрывными выборочными траекториями.
2. МОДЕЛЬ БЛЭКА – ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ
Финансовые производные. Опционы. Определение цен опционов: модель
Блэка-Шоулса. Модель Блэка – Шоулса: вывод Мертона. Распространение модели
Блэка – Шоулса на случай выплаты дивидендов и изменения цены исполнения.
Определение стоимости американских оционов-пут. Определение стоимости отзываемого опциона.
Разрывные стохастические процессы изменения цен акций. Определение стоимости опционов для разрывных стохастических процессов. Задачи определения
стоимости опционов. Альтернативный скачкообразный процесс. Альтернативные
диффузионные процессы. Применение к другим ценным бумагам.
Процесс цены актива с произвольной нижней отражающей границей
3. МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЦЕН ОПЦИОНОВ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭСШЕРА
Понятие о преобразовании Эсшера. Нейтральное к риску преобразование
Эсшера. Формулы вычисления цен опционов в случаях, когда логарифм цены акции является процессом Винера, сдвинутым процессом Пуассона, случайным
блужданием, сдвинутым гамма процессом, сдвинутым обратным процессом Гаусса.
Опционы на несколько рисковых активов. Логарифмы цен акций как многомерный винеровский процесс. Цены активов, выплачивающих дивиденды. Определение цены бессрочного американского опциона. Условие гладкого склеивания.
Логарифм цены акции как винеровский процесс. Бессрочные зависимые платежи.
Русский опцион.
Квазинепрерывные выборочные траектории.
4. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Функции полезности и их свойства. Упорядочение предпочтений инвестиций со случайными доходами. Применение к страхованию. Обмен рисками, опти1
мальный по Парето. Совместный потенциал. Рынок и равновесие. Определение
цен финансовых производных.
5. РАВНОВЕСНАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕН АКТИВОВ
Равновесная модель определения стоимости. Основное уравнение оценки
стоимости и его интерпретация. Связь с моделью Эрроу – Дебрю и роль фирм.
6. МНОГОФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ ДОХОДНОСТИ
Факторные модели временной структуры. Общие факторные модели временной структуры. Аффинные факторные модели. Аффинное стохастическое
дифференциальное уравнение. Аффинные факторные модели доходности.
Двухфакторная модель стохастической волатильности. Конечно разностное
решение цен финансовых производных. Определение цены опциона на облигацию при детерминированной волатильности.
Скачкообразные диффузионные процессы.
7. УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ АРБИТРАЖА В МНОГОФАКТОРНЫХ
МОДЕЛЯХ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ
Условие отсутствия арбитража в однофакторной модели. Условие отсутствия арбитража на рынке с инфляцией. Условие отсутствия арбитража на сегментированном рынке. Условие отсутствия арбитража для многофакторных моделей временной структуры процентных ставок.
Литература
Медведев Г. А. Математические модели финансовых рисков. Часть 1. Риски из-за
неопределенности процентных ставок. – Мн.: БГУ, 1999.
Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты.
Модели; Том 2. Теория; М.: Фазис, 1998.
Cox J. C., Ingersoll J. E., Ross S. A., An Intertemporal General Equilibrium Model of
Asset Prices // Econometrica, 53, 363  384, 1985.
Cox J. C., Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes //
Journal of Financial Economics, 3, рр. 145-166, 1976.
Duffie D., Kan R., A Yield-Factor Model of Interest Rates // Mathematical Finance, 6,
4,373 – 403, 1996.
Gerber H. U., Pafumi G., Utility Functions: from Risk Theory to Finance // North American Actuarial Journal, Vol. 2, No 3, 74-100, 1998.
Gerber H. U., Shiu E.S. Option Pricing by Esscher Transforms // Transactions of Society of Actuaries, 46, 99 – 191, 1994.
Medvedev G. A., The Explicit Form of No Arbitrage Condition When the Term Structure Model is Multi-Factor // Proceedings of the 26th Meeting EURO Working
Group on Financial Modeling. Trondheim, Norway, 2000.
Merton R., Continuous-Time Finance. – Oxford: Blackwell, 1990.
Программа разработана на кафедре
теории вероятностей и математической статистики БГУ.
Разработчик профессор Медведев Г.А.
2