Приложение 4 2 уровень  

Приложение 4
2 уровень
Задача 1
С точностью до е=0,001 вычислить интеграл
0,5
1  cos x
dx
x2
0

Решение: Т.к. интегрирование производится в окрестности точки
х=0, то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции
рядом Маклорена.
Разложение функции cosx имеет вид:
cos x  1 

x2 x4 x6
x 2n
x 2n


 ...  (1) n
 ...   (1) n
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n 0
Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx:
1  cos x 

x2 x4 x6
x 2n
x 2n


 ...  (1) n1
 ...   (1) n1
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n 1
В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а
в предыдущей – от 0 до бесконечности так получается в результате
преобразования.
Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение.
2 n2
2n2

1  cos x 1 x 2 x 4
n 1 x
n 1 x




...

(

1
)

...


(

1
)

2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
x2
n 1
Теперь представим наш интеграл в виде:
0,5
1  cos x
0 x 2 dx 
В
0,5 
n 1
  (1)
0 n 1
следующем
x 2n2
dx
(2n)!
действии
будет
применена
теорема
о
почленном
интегрировании ряда. Вообще говоря, со строго теоретической точки
зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и,
более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5].
Однако, в нашем случае, скажем, что равномерная сходимость степенного
ряда по теореме Абеля следует из сходимости ряда.

 (1) n1
n 1
x 2 n2
, а
(2n)!
сходимость этого ряда может быть легко доказана при любом х.
Радиус сходимости этого ряда равен:
an1
(1) n2  (2n)!
 lim
 lim 2n(2n  1)  
n  a
n (2n  2)!(1) n 1
n 
n
R  lim
т.е. ряд сходится при любом конечном значении х.
Можно не доказывать факт равномерной сходимости так детально,
сослаться на общеизвестные формулы для разложения косинуса и
комбинацию этого разложения в подынтегральной функции.
1  cos x
0 x 2 dx 
0, 5
0,5 
  (1)
0 n 1
n 1

x 2 n2
(1) n1
dx  
(2n)!
n 1 (2n)!
0, 5
Итак:
(1) n1 x 2 n1 0,5  (1) n1  0,5 2 n1


2n  1 0 n1 (2n)!(2n  1)
n 1 (2n)!

2 n2
 x dx  
0
Итого, получаем:
0,5

1  cos x
(1) n 1
1
1
1
dx

 

 ...  0,25  0,00174  0,0000086  ... 

2 n 1
3
0 x 2
4 3  2  4! 5  2 5  6!
n 1 ( 2n)! ( 2n  1) 2
 0,248
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается,
и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.
Задача 2
Найти площадь области, заключённой между первым и вторым витком
спирали Архимеда
(
) и отрезком горизонтальной оси
.
Решение:
Первый виток спирали соответствует изменению угла
в пределах от
0 до
, а второй -- от
до . Чтобы привести изменение аргумента
одному промежутку, запишем уравнение второго витка спирали в виде
,
. Тогда площадь
к
можно будет найти по формуле
,
положив
и
:
Задача 3.
Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 =
a2cos 2φ.
Решение.
В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой
кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 = ʅ и φ2 = ʆ, выразится
интегралом
В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой
площади
Следовательно, вся площадь равна S = a2.
Задача 4
Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой
имеет форму равнобочной трапеции.
Решение:
Плотность воды
положить равным 10 м/с2.
кг/м3, ускорение свободного падения
.
Согласно закону Паскаля давление жидкости на элементарную площадку
равно:
,
где
. Т.к. фигура симметрична относительно оси
,
где
.
Таким образом
.
Сила, с которой вода давит на плотину:
, то
Задача 5 .
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника
с поверхности Земли на высоту
км.
Решение:
Масса спутника равна
т, радиус Земли
км. Ускорение
свободного падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
.
По определению, элементарная работа силы
равна
.
Зависимость силы от координаты
находим из закона гравитации
,
где
– гравитационная постоянная,
– масса спутника,
Земли, – расстояние между их центрами масс.
Для спутника, находящегося на поверхности Земли
,
где
– ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Для спутника, находящегося на высоте
над Землей
– масса
,
где
– ускорение свободного падения на расстоянии
Из соотношения
находим
.
Окончательно для работы имеем
от Земли.