Упорядоченное поле Реферат на тему:

Реферат на тему:
Упорядоченное поле
План:
Введение




1 Определение
o 1.1 Связанные определения
o 1.2 Конструктивное построение порядка
2 Некоторые свойства
3 Место в иерархии алгебраических структур
4 Примеры
Литература
Введение
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён
линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными
примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые
предложил Эмиль Артин в 1927 г.
1. Определение
Пусть F — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть
задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами:
Рефлексивность:
.
Транзитивность: если
и
, то
.
Антисимметричность: если
и
, то
.
Линейность: все элементы F сравнимы между собой, то есть либо
.
5. Согласованность со сложением: если
, то для любого z:
6. Согласованность с умножением: если
и
, то
.
1.
2.
3.
4.
, либо
.
1.1. Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно:
означает, что
Отношение больше: x > y означает, что
и
Отношение меньше: x < y означает, что y > x.


.
.
Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
Числа, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля —
отрицательными.
1.2. Конструктивное построение порядка
Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём
подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения
и обладающее следующим свойством. три подмножества P, ноль и − P не пересекаются и
вместе образуют разбиение всего поля.
Пусть такое P выделено. Обозначим
(это множество тоже замкнуто
относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим
образом:
, если
Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены.
2. Некоторые свойства



Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх
категорий: положительные числа, отрицательные числа, нуль. Если x положителен,
то - x отрицателен, и наоборот.
В любом упорядоченном поле 1 > 0 и квадрат любого ненулевого элемента
положителен.
Однотипные неравенства можно складывать:
Если

и
, то
.
Неравенства можно умножать на положительные элементы:
Если
и
, то
.
3. Место в иерархии алгебраических структур




Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно,
тоже является упорядоченным полем.
Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле
не может быть упорядочено.
Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда - 1 не может быть
представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить
вещественный порядок на комплексные числа.
Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может
быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное
поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле. Если в поле не
существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле
называется архимедовым.
4. Примеры



Рациональные числа
Вещественные числа
Вещественные алгебраические числа

Поле вещественных рациональных функций:
— многочлены,
o
. Упорядочим его следующим образом.
Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) упорядочены
традиционным образом.
o
Пусть
,
Будем считать, что дробь
, если
.
Из определения вытекает, что многочлен p(x) = x больше, чем любая
константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле
неархимедово.
Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
o

, где
Литература



Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.