R6-2

6.3 Канонические уравнения кривых второго порядка
Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между
фокусами.
Рис 6.1. Эллипс
Эллипс изображен на рисунке (6.1.). Фокусы эллипса 𝐹1 (−𝑐, 0) и 𝐹2 (𝑐, 0)
располагаются симметрично относительно начала координат и лежат на оси ОХ. 2с
- фокальное расстояние, а - большая полуось (лежит на фокальной оси) и 𝑏 малая
полуось. Величины а, 𝑏, с связаны соотношениями:
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
(6.18)
𝑐
𝜀 = < 1,
(6.19)
𝑎
где 𝜀 - эксцентриситет.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
𝑥2 𝑦2
+
=1
(6.20)
𝑎2 𝑏 2
Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль
разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между
фокусами.
1
Рис. 6.2. Гипербола
Гипербола изображена на рисунке (6.2.). 𝐹1 (−𝑐, 0) и 𝐹2 (𝑐, 0) - фокусы
гиперболы располагаются симметрично относительно начала координат и лежат
на оси ОХ; 2с - фокальное расстояние, а - действительная полуось, 𝑏 - мнимая
полуось. Величины a, b, c связаны соотношением:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
(6.21)
Эксцентриситет:
𝑐
(6.22)
𝜀= >1
𝑎
Асимптоты гиперболы:
𝑏
𝑦=± 𝑥
(6.23)
𝑎
Каноническое уравнение гиперболы:
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏 2
(6.24)
Парабола
Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая
из которых одинаково удалены от данной точки, называемой фокусом, и
данной прямой, называемой директрисой.
Рис.6.3. Парабола
Каноническое уравнение параболы имеет вид 𝑦 2 = 2𝑝𝑥. Парабола изображена на
рисунке (6.3.)
𝑝
Фокус параболы 𝐹 = ( ; 0)расположен на оси ОХ, вершина параболы в
2
2
начале координат, 𝑝 - параметр параболы, эксцентриситет 𝜀 = 1,
𝑝
уравнение дирекрисы: 𝑥 = .
2
6.4. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Эллипсоид. :
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
+
2
+
2
= 1 где а, b ,с - полуоси эллипсоида; расположены
соответственно на осях OX, OY, OZ.
Рис. 6.4. Эллипсоид
Однополостный гиперболоид:
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
с2
+
2
−
2
=1
Рис 6.5. Однополостный гиперболоид
3
Двуполостный гиперболоид:
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
с2
+
2
−
2
= −1
Рис 6.6. Двуполостный гиперболоид
Эллиптический параболоид:
𝑥2
𝑝
+
𝑦2
𝑞
= 2𝑧
Величины 𝑝 и 𝑞 имеют одинаковые знаки
Рис 6.7. Эллиптический параболоид
4
Гиперболический параболоид:
𝑥2
𝑝
−
𝑦2
𝑞
= 2𝑧
Здесь 𝑝 и 𝑞 имеют одинаковые знаки.
Рис 6.8. Гиперболический параболоид.
Цилиндрические и конические поверхности
Поверхность, образованная движением прямой D, которая перемещается в
пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз
некоторую кривую К, называется цилиндрической поверхностью. Кривая К направляющая, прямая L - образующая цилиндра.
Уравнение F (х, у) = 0 задает цилиндр с образующей, параллельной оси OZ, а
направляющий служит кривая, лежащая в плоскости XOY, уравнение которой
F (х,у) = 0.
Например,
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+
2
= 1- уравнение эллиптического цилиндра (рис. 6.9).
Рис. 6.9
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку
Р и пересекающими данную плоскую линию К (не проходящую через точку Р)
называется конической поверхностью (конусом). Линия К - направляющая
конуса, точка
Р -вершина конуса; прямая описывающая поверхность - образующая конуса.
Если, например, вершина конуса находится в начале координат, а направляющей
служит эллипс
имеет вид:
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
𝑧2
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+
2
+
2
=
= 1 , лежащий в плоскости z = с, то уравнение конуса
с2
5
Рис 6.10.
Пример 3.1. Найдите сумму координат центра кривой 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 16𝑥 = 3
Решение. В заданном уравнении кривой выделим полные квадраты по обеим
переменным:
4(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + (𝑦 2 − 2𝑦 + 1) = 20 => 4(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 20 =>
(𝑥 + 2)2 (𝑦 − 1)2
+
=1
5
20
Последнее уравнение представляет собой уравнение эллипса. Точка 𝐴(— 2; 1)
является центром эллипса. Сумма координат равна −1.
Пример 3.2. Определите поверхность, которая задается уравнением:
3𝑥 2 + 2𝑦 2 – 6𝑧 − 4 = 0
Решение. Запишем уравнение в виде: 3𝑥 2 + 2𝑦 2 = 6𝑧 + 4, или
𝑥2 𝑦2
4
+
= 2𝑧 + .
3
1
3
2
Уравнение
𝑥2
1
+
𝑦2
3/2
= 2𝑧 является каноническим уравнением эллиптического
параболоида. Следовательно, заданное уравнение определяет эллиптический
параболоид, смещенный по оси OZ на 2/3 единицы вниз.
6