Тема: Методы определения весовых коэффициентов Введение. Можно сказать, что веса критериев – самое тонкое место в проблеме критериального анализа. Чаще всего веса назначают, исходя из интуитивного представления о сравнительной важности критериев. Однако исследования показывают, что человек (эксперт) не способен непосредственно назначать критериям корректные численные веса. Необходимы специальные процедуры получения весов. В многокритериальных задачах оптимального проектирования возникает необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых в аддитивный, мультипликативный или минимаксный критерии оптимальности, метод последовательных уступок, для сужения множества Парето. Оценивают важность частных критериев Fi(X) с помощью коэффициентов i: f(X)= ifi(X) - аддитивный критерий; m f(X)= f ( X ) - мультипликативный критерий; i i i 1 ifi(X)=K, - равенство частных критериев, где fi(X)= Fi(X)/ Fi0(X), Fi0(X) – нормирующий множитель. Для рассматриваемых методов многокритериальной оптимизации существенным является исходное упорядочивание критериев. Иногда их порядок очевиден ("кошелёк или жизнь") или общепризнан (как порядок букв в алфавите), но бывает, что этот вопрос не тривиален, а привлекаемые для его решения эксперты дают несовпадающие упорядочения критериев. Выход состоит в том, чтобы установить, какое из предложенных экспертами упорядочений является "средним", “типичным” для данной группы. Это опять-таки можно делать поразному. Среди специалистов пользуется признанием упорядочение, называемое медианой Кемени. Весовые коэффициенты должны качественно отражать важность соответствующих частных критериев. Значения i выбираются исходя из анализа мирового уровня развития данной отрасли, из требований к проектируемому объекту и из существующих возможностей реализации этих требований. Открытие новых физических принципов и разработка новых методов проектирования могут существенно влиять на значения весовых коэффициентов. Величина i определяет важность i го критерия оптимальности и задает в количественном измерении предпочтение i го критерия над другими критериями оптимальности. Весовые коэффициенты i должны удовлетворять условию m i 1 . В связи с этим возникает вопрос: "Как выбирать численные i 1 значения весовых коэффициентов i?". Получить ответ на этот вопрос, в какойто степени можно, если имеется дополнительная информация о важности частных критериев оптимальности. §1. Экспертные оценки Основная идея экспертных методов состоит в том, чтобы использовать интеллект людей, их способность искать и находить решение слабо формализованных задач. В теории экспертных оценок разработан ряд методов проведения экспертизы. Наиболее эффективными оказались методы ранжирования и приписывания баллов. §1.1. Метод ранжирования Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза проводится группой из L экспертов, которые являются квалифицированными специалистами в той области, где принимается решение. Метод ранжирования основан на том, что каждого эксперта просят расставить частные критерии проектируемого объекта в порядке их важности. Цифрой 1 обозначают наиболее важный частный критерий, цифрой 2 - следующий по важности частный критерий и т.д. Эти ранги преобразовываются таким образом, что ранг 1 - получает оценку m (число частных критериев), ранг 2 - оценку m-1 и т.д. до ранга m, которому присваивается оценка 1. Обозначим полученные оценки rik - где i это номер i - го эксперта, k это номер k - го критерия. Тогда результаты опроса экспертов можно свести в таблицу Эксперты 1 2 . . . L оценок Критерии F1 r11 r21 . . . rL1 r1 F2 r12 r22 . . . rL2 r2 ... ... . . . ... ... Fm r1m r2m . . . rLm rm L r r , i=1,2, …,m. i ji j 1 В (L+1) - строке стоят суммы оценок, полученных критериями от экспертов. Тогда весовые коэффициенты определяются следующим образом i ri m r i 1 - (i=1,2, . . . , m) - формула для вычисления весовых коэффициентов i по i методу ранжирования. Рассмотрим пример. Пусть имеются группа из трёх экспертов и два критерия F1 и F2. Эксперты их расставили в следующем порядке. Места Эксперты 1 F1 F2 F1 1 2 3 2 F2 F1 F2 Определим элементы матрицы согласно алгоритму (первому месту – два балла, а второму - один балл): r11=2, r12=1, r21=1, r32=1. Критерии Эксперты F1 2 1 2 1 2 3 Сумма m r1=5 r =5+4=9; i 1 i F2 1 2 1 r2=4 1=r1/9=5/9; 2=r2/9=4/9. Таким образом, 1>2 и 1 – й критерий важнее 2 – го. §1.2. Метод приписывания баллов Этот метод основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале [0-10]. При этом разрешается оценивать важность дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы нескольким критериям. Обозначим через hik - балл i - го эксперта для k- критерия, тогда rik hik m h , где m h ik - сумма i - ой строки. k 1 ik k 1 rik - называют весом, подсчитанным для k - критерия i - м экспертом. Отсюда, учитывая, что ri L r ji j 1 , получим i ri m r i 1 i Пример. Пусть имеются два критерия F1 и F2. Эксперты поставили им следующие баллы. F1 F2 1 9 6 h11=9, h12=6; 1=15 2 10 6 h21=10, h22=6; 2=16 3 10 5 h31=10, h32=5; 3=15 Построим матрицу оценок Эксперты 1 2 3 критерии F1 F2 h11=9 h21=10 h31=10 h12=6 h22=6 h32=5 Находим сумму значений каждой строки Эксперты 1 2 3 критерии F1 9 10 10 F2 6 6 5 Сумма 15 16 15 Вычислим веса rik r11=h11/15=9/15, r12=h12/15=6/15, r21=h21/16=10/15, r22=h22/16=6/16, r31=h31/15=10/15, r32=h32/15=5/15. Построим матрицу весов и найдём сумму значений каждого столбца Эксперты 1 2 3 Сумма критерии F1 9/15 10/16 10/15 r1=1.892 F2 6/15 6/16 5/15 r2=1.108 ri=1.892+1.108=3. Вычисляем весовые коэффициенты 1=1.892/3=0.631, 2=1.108/3=0.369. Таким образом, 1>2 и 1 – й критерий важнее 2 – го критерия. Выше подразумевалось, что эксперты имеют равную компетентность. Однако если компетентность экспертов различна и может быть оценена некоторым числом, то полученные формулы нуждаются в уточнении. Пусть компетентность j - го эксперта оценивается положительной величиной j (вес L эксперта). Будем считать эти величины нормированными ( j 1 ). j 1 Тогда для метода ранжирования ri будем рассчитывать по формулам L ri rji j . Аналогично получаем для метода приписывания баллов j 1 L ri rji j . j 1 Замечание. Иногда значения j выбирают из интервала (0 1). §1.3. Обработка результатов экспертных оценок Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы математической статистики. Среднее значение оценки для i - го критерия L r ji ri j 1 L 1 L r rji i . L j 1 L Среднее значение ri выражает коллективное мнение группы экспертов. Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной i2 1 L ( rji ri ) 2 , называемой дисперсией оценок. Ясно, что чем меньше значение L j 1 дисперсии, чем с большей уверенностью можно опираться на найденные значения ri оценки степени важности частного критерия Fi(X). В качестве меры надёжности приведённой экспертизы принимают i ri и называют вариацией. По среднему значению оценки ri определяются весовые коэффициенты i ri m r i 1 , i 1, m. i Статистическая обработка результатов экспертных оценок подобна статистической обработке результатов измерений. На достоверность экспертизы существенно влияют такие факторы, как численный состав экспертной группы, уровень компетентности экспертов; состав вопросов, представляемых экспертам и т.д. Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать случайности: настроение, самочувствие, обстановка, а также знание и опыт. §2. Формальные методы определения весовых коэффициентов Рассмотрим некоторые способы и числовые приемы, позволяющие по информации о качестве значений частных критериев оптимальности определять значения весовых коэффициентов λi. Способ 1. Для каждого частного критерия оптимальности Fi(X)>0, i 1,2,...,m вычисляется коэффициент относительного разброса по формуле: Fi Fi i 1 Fi где Fi min Fi ( X ), Fi max Fi ( X ) , X D X D Fi Fi , который определяет максимально возможное отклонение по i -му частному критерию. Весовые коэффициенты λi получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс которых в области оценок наиболее значителен i i m (i 1,...,m) . k k 1 Пример 1. В качестве примера рассмотрим конкретную числовую задачу в следующей постановке: min F1 x min 4( x 2) 2 5, xD xD min F2 x min ( x 4) 2 1, xD xD D 0 x 5. При этом имеем следующие значения промежуточных вычислений: 41 5 36 17 1 16 . F1 41, F1 5 , 1 , F2 17, F2 1 , 2 17 17 41 41 Тогда весовые коэффициенты будут иметь следующие значения: 1 36 36 16 1 0,48 , 1 2 41 41 17 2 16 36 16 2 0,52 . 1 2 17 41 17 Способ 2. Пусть все Fi 0, i1,2,..., s , тогда рассматриваются коэффициенты i ( X ) Fi ( X ) Fi Fi , которые характеризуют отклонение частного критерия оптимальности от его наименьшего значения. Предположим, что важность i -го критерия оптимальности зависит от выполнения неравенства i (x) i . (1) Здесь величины i задаются ЛПР из условия, что чем важнее критерий, тем меньше выбирается значение i . Пусть Ri* - наибольший радиус шара, построенного около точки минимума X i* — i-го критерия оптимальности, внутри которого точки X d ( X i* Ri* ) (шар радиуса Ri* с центром в X i* ) удовлетворяют условию (1). Fi ( X ) Fi n * * 2 Тогда Ri max ( x k x k ) , при условии i ( x ) i . F X D k 1 i * Теперь очевидно, что чем больше радиус шара Ri , в котором относительное отклонение i-го критерия от его минимального значения не превосходит i , тем меньше надо выбирать значение весового коэффициента λi: 1 i Ri* s i 1,...,m . 1 * i 1 Ri Пример 2. Рассмотрим задачу из примера 1 и положим, что ЛПР задал 1 0,4 , 2 0,6 . Тогда будем иметь 4( x 2) 2 5 5 R max ( x 2) 0,4 при ( x 2) 2 0,5 , 0 x5 5 2 * 2 ( x 4) 1 1 0,6 при ( x 4) 2 0,6 . R2 max ( x 4) 0 x5 1 R1* 0,5 6 5 1 0,55 2 0,45 , Откуда 11 11 R2* 0,6 т.к. λ1>λ2, то локальный критерий F1 важнее локального критерия F2. * 1 2