Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики Типовые задачи интернет-олимпиады по математике для школьников 7 - 10 классов. 2008-2009 год. 7 класс 1. Найдите координату середины отрезка числовой оси, концами которого служат точки A(12, 7) и B (3, 9) [1] 2. В три коробки надо разложить 90 пакетов так, чтобы в первой коробке было вдвое больше пакетов, чем во второй, а во второй на 2 пакета больше, чем в третьей. Сколько пакетов будет в первой коробке? [1] 3. Разность двух смежных углов составляет 20 . Найдите меньший угол.[1] 4. На какое наименьшее натуральное число надо умножить 7, чтобы получить число, состоящее из одних единиц? [2] ( x 2 y )3 ( x y 3 ) n 5. Найдите натуральные значения m и n , если x6 y 7 . [2] 2 m x y 6. Девять папок и три альбома стоят столько же, сколько шесть папок и пять альбомов. Сколько процентов составляет стоимость одного альбома от стоимости одной папки? [2] 3x 2 y x 2 xy 1 7. Известно, что . . Найдите 2 2 3x y 9 x xy y 7 [3] 8. Целое число a при делении на 7 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 7 дает число a 2 2a ? [3] 9. На карточках написаны цифры 0,1,2,3 и 4. Сколько пятизначных чисел, превосходящих 21000 можно составить с помощью этих карточек? [3] 10. При каком значении a выражение x 2 x 4 x 6 x 8 a является полным квадратом? [4] Ответы: 1) – 4,4. 2) 46. 3) 80 . 4) 15873. 5) m =2, n =2. 6) 150. 7) – 11. 8) 3. 9) 66. 10) 16. 8 класс 1. Найдите наименьшее целое число, превосходящее 2 5 4 3 . [1] 2. Девять папок и три альбома стоят столько же, сколько шесть папок и пять альбомов. Сколько процентов составляет стоимость одного альбома от стоимости одной папки? [1] 3. Решите неравенство x3 3 7 x 2 21x 7 7 0 . [1] 4. На какое наименьшее натуральное число надо умножить 7, чтобы получить число, состоящее из одних единиц? [2] 5.Высота и медиана треугольника, проведенные из вершины прямого угла, равны соответственно 4 и 5 см. Найдите меньший катет треугольника. [2] 6. Три одинаковых трубы наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн две трубы? 7. При каком значении a выражение x 2 x 4 x 6 x 8 a является полным квадратом? [2] [3] 8. При каких значениях a корни уравнения x 2 3ax a 2 1 0 расположены на числовой прямой по разные стороны от числа 1? [3] 9. Найдите все натуральные n и m , которые являются решениями уравнения 5n 5m 600 . [3] x y 2a 10. При каких значениях a система уравнений имеет ровно два решения? xy a 0,5 [4] Ответы: 1) -2. 2) 150. 3) x 7 . 4) 15873. 5) 20 6) 6. 7) 16. 8) 2 a 1 . 9) m 2; n 4 . 10) 0,25. 2 2 9 класс 1. Найдите наименьшее целое число, превосходящее 2 5 4 3 . [1] 2. Три одинаковых трубы наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн две трубы? [1] 3. Решите неравенство x 3 7 x 21x 7 7 0 . 3 2 [1] 4. Найдите длину промежутка, на который функция y x отображает интервал 4;9 . [2] 5. Вычислите 1 1 1 . ... 9 12 12 15 222 225 [2] 6. В свежих грибах содержится 90% воды. В сухих грибах содержится 4% воды. Сколько килограммов сухих грибов можно получить из 24 кг свежих грибов? [2] 7. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 13, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите длину гипотенузы. [3] 2 2 8. Решите уравнение x 2 y 1 8 xy y 2 y . [3] 9. Найдите множество значений функции y x 3 x x 3 x . [3] n 3 10. Найти все натуральные значения n , при которых число 1 4 4 является квадратом натурального числа? [4] Ответы: 1) -2. 2) 6. 3) x 7 . 4) 1. 5) 4. 6) 2,5. 7) 9. 8) x 2; y 1 . 9) [0; 4,5] . 10) 2; 5. 10 класс 1. Найдите наименьшее целое число, превосходящее 2 5 4 3 . [1] 2. Три одинаковых трубы наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн две трубы? [1] n 3. Упростите 100 25 2n 1 . 2 n2 2 5 n 1 4. Найдите сумму коэффициентов многочлена 5. При каких значения x 2;4 числа cos x 2 x 1 x 2 2 x3 2 . [2] x 1 2 [1] 2 ; cos x; 1 в указанном порядке образуют 2 арифметическую прогрессию? [2] 6. В свежих грибах содержится 90% воды. В сухих грибах содержится 4% воды. Сколько килограммов сухих грибов можно получить из 24 кг свежих грибов? [2] 7. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна13, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите длину гипотенузы. [3] 2 8. Сколько экстремумов имеет функция y x 4 x 2 x ? 9. Найдите f 1 2 , если f 2 x 7 6 x 5 , где f 1 x обратная функция. [3] [3] 10. Найдите множество значений функции y 3 3 x 8 4 x . [4] Ответы: 1) -2. 2) 6. 3) 0. 4) – 9. 5)3; 10/3. 6) 2,5. 7) 9. 8) 3. 9) 8. 10) 48; 2 2