Лекция №15 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: вторник, 14 ноября 2000 г. Тема: Пять основных разложений 1)y=ex, x0=0 y(0)=1 y’(0)=ex|x=0=1 y’’(0)=ex|x=0=1 y(n)(0)=ex|x=0=1 ex 1 n=1 x x 2 x3 xn o( x n ), x 0 1! 2! 3! n! ex=1+x+o(x),xx0 2) y=sinx, x0=0 y(0)=0 ( x) 3 x 5 x 7 (1) n1 x 2 n 1 y’(0)=cos|x=0=1 sin x x o( x 2 n ) y’’(0)=-sinx|x=0=0 3! 5! 7! (2n 1)! y’’’(0)=-cosx|x=0=-1 y’’’’(0)=sinx|x=0=0 если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k 3) y=cosx, x0=0 y(0)=1 x2 x4 x6 (1) n x 2 n y’(0)=-sinx|x=0=0 cos x 1 o( x 2 n1 ) y’’(0)=-cosx|x=0=-1 2! 4! 6! (2n)! y’’’(0)=sinx|x=0=0 y’’’’(0)=cosx|x=0=1 если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0 4) y=ln(1+x), x0=0 y(0)=ln1=0 y’(0)=1/(1+x)|x=0=1 y’’(0)=1(-1)/(x+1)2x=0=-1 y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3x=0=(-1)(-2) y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4x=0=(-1)(-2)(-3) y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)nx=0=(-1)n-1123…(n-1)=(-1)n-1(n-1)! 1! x 2 2! x 3 3! x 4 ( 1) n 1 (n 1)! n x o( x n ), x 0 2! 3! 4! n! (n 1)! 1 2 3 ( n 1) 1 n! 1 2 3 ( n 1) n n ln( 1 x) x ln( 1 x) x x2 x3 x4 (1) n 1 n x o( x n ), x 0 2 3 4 n 5) y=(1+x)p, x0=0 y(0)=1 y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2x=0=p(p-1) y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3x=0=p(p-1)(p-2) y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-nx=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1) Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 np+1 (1 x) p 1 px p( p 1) x 2 p( p 1)...( p n 1) x n ... o( x n ), x 0 1! 2! n! (либо n<p, если p-натуральное) px p ( p 1) x 2 p ( p 1)( p 2)...1 x p (1 x ) p 1 ... , p 1! 2! p! p ( p 1) ( p n 1) p C pn n , n p, n , C pn числосо сочетаний p! p! p n n Cp n!( p n)! ( a b) n a n C n1 a n 1b1 C n2 a n 2 b 2 C nn 1 ab n C nn b n C ck C nn k * o’1 x2n+2=xx2n+1=o(x2n+1) * Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа. Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х0), тогда в некоторой Оε(х0) f ( x) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 ) f ' ' ( x 0 )( x x 0 ) 2 f 1! 2! ( n) ( x 0 )( x x 0 ) n f n! ( n 1) (c)( x x 0 ) n 1 (n 1)! # где с лежит между х и xn Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям (x)=f(x)-Tn(x)$ g(x)=(x-x0)n+1 (x0)=0; ’(x0)=0,…,(n)(x0)=0; (n+1)(x)=f(n+1)(x) g’(x0)=(n+1)(x-x0)nx=0=0; g(n+1)(x)=(n+1)! [a,b](x);(a,b)g(x);g’(x)0 (b) (a) ' (c ) g (b) g (a) g ' (c) ' (c1 ) ' (c1 ) ' ( x0 ) ( x) f ( x) Tn ( x) ( x) ( x0 ) c1 между числами х и х0 n 1 g ( x) g ( x) g ( x0 ) g ' (c1 ) g ' (c1 ) g ' ( x0 ) ( x x0 ) ' ' (c 2 ) ( n ) (c n ) ( n 1) (c) f ( n 1) (c) c 2 между числами c1 и х0 (n) f ( x) Tn ( x) g ' ' (c 2 ) (n 1)! g (c n ) g ( n 1) (c) f ( n 1) (c)( x x0 ) n (n 1)! Лекция №16 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: вторник, 21 ноября 2000 г. Тема: Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа, Выпуклость, Вогнутость. Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа. Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х0), тогда f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[f’’(c)(x-x0)2]/2 где с лежит между х и х0 уравнение касательной f ( x) y кас f ' ' (c ) ( x x 0 ) 2 2 M ( x x0 ) 2 2 x O ( x 0 ) Если f’’(x)M xO(x0) f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х0) f ( x) Tn ( x) f n 1 n 1 M x x0 (c)( x x0 ) n 1 (n 1)! (n 1)! 1 x x0 f(x)=Tn(x)+Rn(x) в О(х0) n=1 T1(x) – линейная функция n=2 T2 ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 ax 2 bx c 1! 2! - график парабола f(x)-T1(x)=f’(x0)x-x0 f(x)-T2(x)=[f’’(x0)x-x02]/2 T3(x)=ax3+bx2+cx+d – график кубическая парабола # $ f ( n1) (c)( x x0 ) n1 - остаточный член в форме Лангранджа (n 1)! -Tn(x) – многочлен Тейлора Rn(x)-остаточный член в форме Лангранджа f n 1 ( x) M в О( х 0 ) Mn11 (n 1)! Выпуклость и вогнутость. Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх в точке х0, если f(x)-yкас<0 в О(х0) Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0) Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх (вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз) в каждой точке этого интервала. Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) дифференцируема в О(х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 – называется точкой перегиба графика f(x), если при переходе через точку меняется знак выпуклости. Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)<0 (f’’(x0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0. Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано: f ' ' ( x0 )( x x 0 ) 2 o ( x x0 ) 2 при х х0 2 f ' ' ( x 0 )( x x0 ) 2 f ' ' ( x0 ) ( x x0 )( x x 0 ) 2 ( x x0 ) 2 ( x x 0 ) при х х0 2 2 f ( x) f ( x 0 ) f ' ( x0 )( x x 0 ) f ( x) y кас Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)<0, то f(x)-yкас>0 в О(х0). Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О(х0) Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х0) и дважды дифференцируема в О(х0), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, тогда точка х0 – точка перегиба. Доказательство: f’’(x) - ( + ) x x0 f’’(x)<0 в O-(x0) f(x) – выпукла вверх в О-(х0) f’’(x)>0 в O+(x0) f(x) – выпукла вниз в О+(х0) Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х0. Если точке х0 точка перегиба, то f’’(x0)=0 Путь точка х0 точка перегиба и существует f’’(x0)>0, тогда f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 при х х0 2 f ' ' ( x0 )( x x0 ) 2 f ' ' ( x0 ) ( x x0 )( x x0 ) 2 ( x x0 ) 2 ( x x0 ) при х х0 2 2 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x) y кас 0 в О( х0 ) то есть при переходе через точку х0 левая часть равенства f(x)-yкас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x0)=0 Замечание: Условие равенства f’’(x0)=0 необходимо, но недостаточно. Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0, тогда точка х0 точка максимума если f’’<0, точка х0 точка минимума если f’’(x0)>0. Доказательство: f ' ' ( x0 )( x x 0 ) 2 o ( x x0 ) 2 при х х0 2 f ' ' ( x 0 )( x x0 ) 2 f ' ' ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) ( x x 0 )( x x0 ) 2 ( x x0 ) 2 ( x x 0 ) при х х0 2 2 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x 0 )( x x0 ) При х достаточно большим и х0 знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x0) f(x)-f(x0)>0 в О(х0), если f’’(x0)>0 то есть f(x)>f(x0) в О(х0) х0 точка минимума, если f(x)-f(x0)<0 в О(х0), и если f’’(x0)<0 то есть f(x)<f(x0) в О(х0) х0 точка максимума. Замечание: Если f’(x0)=0 и f’’(x0)=0, то нужны дополнительные исследования. Лекция №17 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Дата: среда, 22 ноября 2000 г. Тема: Асимптоты. Полное исследование функции. Асимптоты. 1. Вертикальные 0 1.1 Пусть функция f(x) определена в О ( х0 ) и lim f ( x) , тогда прямая х=х0 называется правой x x0 0 вертикальной асимптотой для функции f(x) 0 1.2 Пусть функция f(x) определена в О ( х0 ) и lim f ( x) , тогда прямая х=х0 называется левой x x0 0 вертикальной асимптотой для функции f(x) 2. 2.1 Наклонные асимптоты Пусть функция f(x) определена в О () и lim f ( x) ( kx b) 0 , тогда прямая y=kx+b называется x правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота). Пусть функция f(x) определена в О () и lim f ( x) ( kx b) 0 , тогда прямая y=kx+b называется 2.2 x левой наклонной асимптотой для функции f(x). Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты. Пусть функция f(x) определена в О(+) и 1) 2) f ( x) k x lim f ( x) kx b lim x x тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота lim f ( x) (kx b) lim f ( x) kx lim b lim f ( x) kx b 0 lim f ( x) kx b x x x x x Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение х+ функции на бесконечности. Полное исследование функции. Область определения Симметрия и периодичность Вертикальные асимптоты Наклонные асимптоты Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует 6) Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости 7) Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно) Пример: 1) 2) 3) 4) 5) f ( x) x ( x 3) 3 1) Область определения D: x3 2) Функция не симметрична и не периодична lim 3) x 3 0 lim x 3 0 x ( x 3) 3 x ( x 3) 3 30 3 3 0 (3 0 3) 3 (0) 3 30 3 3 0 (3 0 3) 3 (0) 3 х=3 правая и левая вертикальная асимптота f ( x) 1 lim 0k x ( x 3) 3 x x x 1 lim f ( x) kx lim lim lim 0b x x ( x 3) 3 x x 3 x x 2 4) lim x y=0 правая и левая горизонтальная асимптота 3 2 x 2 f ' ( x) ( x 3) 4 5) критическая точка х1=-3/2 f(-3/2)=4/243 f ' ' ( x) 6( x 3) ( x 3) 5 6) критическая точка х2=-3 f(-3)=1/72 7)x=0 y=0 Приближенные методы решения уравнения f(x)=0 1) Метод хорд а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b] б) f(a)f(b)<0 в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b] f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b)) xa y f (a) ba f (b) f (a ) f (b) f (a ) y f (a) ( x a) ba f (b) f (a ) 0 f (a) ( x1 a ) f (a )(b a ) f (b) f (a )x1 a f (b) f (a ) ba a f (b) f (a ) f (a )(b a ) f (a )(b a ) x1 ; x1 a f (b) f (a ) f (b) f (a ) f (a )( x n a ) f (a )( x1 a ) x2 a ; x n 1 a f ( x1 ) f (a ) f ( x n ) f (a) Лекция №18 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна b x1 x 2 a x n убывающая т. В ограниченная lim x n n f ( a )( a ) a f ( ) f (a ) f ( ) f ( a ) af ( ) af ( a ) f (a ) ) f ( a ) a f ( )( a ) 0 a f ( ) 0 Оценка скорости сходимости. т. Л f ( x n ) f ( x n ) f ( ) f ' (c)( x n ) где С лежит между x n и x n f ' ( x) m 0, x a, b xn f ( xn ) m 2) Метод касательных (метод Ньютона) f(x)=0 1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b] 2)f(a), f(b) <0 3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b] x n x n 1 x 2 x 2 b т. В и ограниченная lim x n Yкас f (b) f ' (b)( x b) f ' (c ) 2 тогда a xn убывающая f ( xn ) n точка пересечения х1 – это точка пересечения касательной с осью Ох Yкас=0, x=x1 0=f(b)+f’(b)(x1-b) f’(b)b-f(b)=f’(b)x1 f ( x1 ) ; f ' ( x1 ) x1 b f (b) ; f ' (b) f ( ) f ( ) 0 f ' ( ) x 2 x1 x n 1 x n f ( xn ) f ' ( xn ) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn f ' ( x n )( x x n ) f " (c n )( x x n ) 2 1! 2! f ( x) f ( x n ) c – лежит между х и хn Положим x=; f()=0 0 f ( x n ) f ' ( x n )( x n ) x n 1 x n f " (c )( x n ) 2 2 f ( xn ) f ' ( xn ) x n n , n 0.1 x 0 xb 0 x n 1 x n x n 1 n 1 f ( xn ) f " (c)( x n ) 2 x n ( x n ) f ' ( xn ) 2 f ' ( xn ) f " (c ) x n 2 2 f ' ( xn ) 2n f " (c ) 2 f ' ( xn ) M>0:|f”(x)|M x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b] 2n M ; 2m 2n C n 1 n 1 M C 2m n0 1 20 C 2 21C 40 C 2 C ; 3 22 C 80 C 4 C 3 (6 a ) 8 C 7 Надо выбирать отрезок так b-a<1 |f”(x)|M Вектор функция. Параметрическая производная. (1) r (t ) x(t )i y(t ) j , t ( , ) i , j базисные вектора i j; i j 1 По закону (1) ставиться в соответствие вектор r(t). (x(t),y(t) – заданные числовые функции r(t) – вектор функция. Кривая описываемая концом вектора – называется годографом. r (t ) ti (t t 2 ) j , t (; ) x(t ) t 2 y (t ) t t t x(t) y(t) r(t) 0 0 0 0 1 1 0 i -1 -1 -2 -i-2j 2 2 -2 2i-2j 3 3 -6 3j-6j x(t ) t 2 y (t ) t t x t 2 t ( ; ) y t t 2 y x x x(1 x) Видим, что кривые на плоскости можно задать в виде: x (t ) y g (t ) t ( , ) Называется параметрическое задание кривой, где t –параметр x2+y2=r2 x r cos t y r sin t t (; ) x2 y2 1 a2 b2 x 2 r 2 cos 2 t 2 x y2 r2 2 2 2 y r sin t ½ ½ 1/4 1/2i+1/4j x ar cos t y br sin t t (; ) Остроида x2/3+y2/3=a2/3 x a cos 3 t y a sin 3 t t (; ) Циклоида x (t sin t )a a y (1 cos t ) 2 Лекция №19 Ведущая: Голубева Зоя Николаевна Параметрическая производная.