Теория вероятностей: Методические указания и контрольные

Калининградский филиал
Аккредитованного образовательного частного учреждения
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-
ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА»
«Теория вероятностей»
Методические указания и контрольные задания
для студентов заочного отделения
Для студентов экономических специальностей
По направлению подготовки
(квалификация (степень) "Бакалавр")
Калининград
2012
Теория вероятностей: Методические указания и контрольные задания для
студентов заочной формы обучения / Авт.- сост.
Малаховская Н.Н.– г. Калининград: МФЮА, 2012. – 32 с.
Рассмотрена и одобрена Кафедрой общих гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, протокол от «___» _ноября_ 2012 г. № 3
Автор: Малаховская Н.Н.
© Малаховская Н.Н., 20012
© Кафедра общих гуманитарных и
естественно-научных
дисциплин,
2012
© Калининградский филиал МФЮА,
2012
2
Введение
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в
случайных явлениях.
Под опытом понимается некоторая воспроизводимая совокупность условий, в
которой наблюдается то или иное явление. Опыт может представлять как одно испытание,
так и серию испытаний.
Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном
воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
Примеры случайных явлений: взвешивание тела на аналитических весах,
подбрасывание монеты или игрального кубика.
В данных примерах условия опыта неизменны, но результаты опыта варьируются.
Эти вариации связаны с воздействием второстепенных факторов, влияющих на исход
опыта, но не оговоренных в числе основных условий. На практике существует большой
класс задач, в которых интересующий исход опыта зависит от столь большого числа
факторов, что учесть их в полном объеме невозможно.
При наблюдении совокупности однородных случайных явлений часто
обнаруживается закономерность, получившая название устойчивости частот (бросание
монеты при многократном повторении дает число выпадения герба, равное 1/2, бросание
игрального кубика дает число выпадений грани с цифрой 6, равное 1/6; процент брака в
отлаженном технологическом процессе). Проявление такого рода закономерности при
массовом воспроизведении опыта позволяет сделать вывод о том, что отдельные
индивидуальности случайных явлений тонут в суммарном результате опытов.
Таким образом, базой для применения вероятностных (статистических) методов
является свойство устойчивости частот в массовых случайных явлениях. Методы теории
вероятностей не позволяют предсказать исход отдельного опыта, но дают возможность
предсказать суммарный результат (в среднем) большого числа опытов. К примеру,
случайным является движение молекул газа в сосуде, и не представляется возможным
предсказать траекторию движения и скорость отдельной молекулы, однако давление газа
на стенки сосуда (при большом числе молекул) является неслучайной величиной.
Зарождение теории вероятностей связано с исследованиями Паскаля (1623–1662),
Ферма (1601–1665), Гюйгенса (1629–1695) в области теории азартных игр, когда было
сформулировано понятие вероятности, математического ожидания. Классическое
определение вероятности события было введено Якобом Бернулли (1654–1705), им же
был сформулирован закон больших чисел. В дальнейшем основы теории вероятностей
закладывались работами таких математиков, как Муавр (1667–1754), Лаплас(1749–1827),
Гаусс (1777–1855), Пуассон (1781–1840). Большой вклад в развитие теории вероятностей
внесла русская школа математики в лице П. Л. Чебышева (1821–1894), А. А. Маркова
(1856–1922), А. М. Ляпунова (1857–1918), А. Н. Колмогорова(1903–1987).
Правила выполнения контрольной работы
В процессе подготовки к зачету студенты выполняют индивидуальное задание по
курсу «Теория вероятностей» и сдают зачет.
Индивидуальное задание необходимо выполнять в тетради синими чернилами,
оставляя поля для замечаний преподавателя. На обложке тетради должны быть четко
написаны фамилия, имя, отчество студента, название дисциплины и группы.
Индивидуальное задание должно содержать решение всех задач, указанных в
задании, строго по своему варианту. Индивидуальное задание, содержащее решение не
всех задач, а так же решение задач не своего варианта, не засчитываются.
3
Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях,
сохраняя номера задач.
Перед решением каждой задачи необходимо написать полностью ее условие.
Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все
действия по ходу решения.
Индивидуальное задание состоит из 11 задач. Каждая задача содержит 10
вариантов. Номер варианта индивидуального задания выбирается по последней цифре
номера зачётной книжки.
Тема №1
События. Равенство событий. Сумма и произведение событий.
Противоположные события
Событием называется результат некоторого опыта.
Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но
может и не наступить.
Случайные события обозначаем А, В, С,…
Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит.
Достоверное событие обозначаем U. Событие называется невозможным, если в данном
опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V.
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А
наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А  В.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным
случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.
Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и
только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает
тогда и только тогда, когда оба события: А и В.
Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на
случай любого множества событий.
Событием, противоположным событию А, называется событие A , которое
наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.
Условившись обозначать наступление события цифрой «1» и ненаступление –
цифрой «0», сумму и произведение двух событий, а также противоположное событие
можно определить следующими таблицами:
А
В
А+В
АВ
А
A
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
Пример 1. Опыт состоит в бросании игральной кости. Событие Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)
– выпадение i очков; событие А – выпадение четного числа очков, В – выпадение
нечетного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трем, и D – выпадение числа
очков, большего трех. Выразите события А, В, С и D через Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А2, или А4, или
А6. Это означает, что А = А2 + А4 + А6.
Рассуждая аналогично, имеем:
В = А1 + А3 + А5, С = А3 + А6 и D = А4 + А5 + А6.
Пример 2. С помощью таблиц, определяющих А + В, АВ и A , доказать равенство А
+ В =А+ A В.
Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления
4
левой и правой частей доказываемого равенства:
А
1
1
0
0
В
А
В
А+ В
А+ A В
A
В
AВ
В
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает справедливость
равенства А + В = А + A В .
Пример 3. С помощью таблицы перечислите все случаи наступления и
ненаступления события А В + С в зависимости от наступления и ненаступления событий
А, В и С.
Решение. Составим таблицу:
А
1
1
1
0
1
0
0
0
А
В
1
1
0
1
0
1
0
0
С
1
0
1
1
0
0
1
0
В
0
0
1
0
1
0
1
1
АВ
0
0
1
0
1
0
0
0
АВ+ С
1
0
1
1
1
0
1
0
В
С
Рис.1
Пример 4. Пусть А, В и С – события, означающие попадание
точки соответственно в области А, В и С (рис.1). Что
означает событие АВ + С?
Решение. События АВ + С означает попадание точки в
область ( А  В )  С, которая на рисунке 2 заштрихована.
Рис.2
Контрольное задание №1
1. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие А i –
попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2,3). Выразите через А1, А2 и А3 следующие
события:
А – хотя бы одно попадание,
В – три промаха,
С – три попадания,
D – хотя бы один промах,
Е – не меньше двух попаданий,
F – не больше одного попадания,
G – попадание в мишень после первого выстрела.
5
2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события Г 1,
Г2 и Г3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах.
Выразите через Г1, Г2 и Г3 следующие события:
А – выпадение одного герба и двух цифр,
В – выпадение не более одного герба,
С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр,
D – выпадение хотя бы двух гербов,
Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры,
F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб.
3. Пусть А, В и С – произвольные события. Что означают следующие события:
A ВС, A В С , A + В + С , А В С + A В С + A В С, A В С + A В С +
A ВС + А В С ?
4. Прибор состоит из 2 блоков I типа и 3 блоков II типа. Событие Ak
(k = 1,2) –
исправен k-й блок I типа; Bi (i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок II типа.
Прибор работает, если исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2 блоков II
типа. Выразите событие С, означающее работу прибора, через Ak и Bi.
А1
В1
А2
В2
Рис. 3
5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А означает
исправность рулевого устройства, Вk ( k = 1, 2, 3, 4) – исправность k-го котла и Сi ( i =
1,2) – исправность i-й турбины; событие D – судно управляемое, что будет, когда
исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразите D
и D через А, Вk и Сi.
6. Электрическая цепь составленная по схеме, приведенной на рисунке 3.
Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak, элемента Bi (i = 1,2) событие Bi .
Запишите события С и С , если С означает разрыв цепи.
А1
В1
С
А2
В2
Рис. 4
7. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 4. Выход из
строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak, Элемента С – событие С и элемента Bi (i = 1,2)
событие Bi .Запишите события D и D , если D – разрыв цепи. Электрическая цепь
составлена по схеме, приведенной на рисунке 5.
6
В1
С
А
В2
Рис. 5
Выход из строя элемента А – событие А, элемента Bk (i = 1,2) – событие Bk и элемента С –
событие С.Запишите события D и D , если D – разрыв цепи.
9. Производятся наблюдения за группой, состоящей из четырех однородных
объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен.
Рассматриваются события:
А – обнаружен ровно один из 4 объектов;
В – обнаружен хотя бы один из объектов;
С – обнаружено не менее 2 объектов;
D – обнаружено ровно 2 объекта;
Е – обнаружено ровно 3 объекта;
F – обнаружены все 4 объекта.
Укажите, в чем состоят события:
1) А + В; 2) АВ; 3) В + С; 4) ВС; 5)
10. Опыт состоит в бросании точки в прямоугольник. События А, В и С означают
соответственно попадание точки в области А, В и С (рис.6). Что означают следующие
события:
а) А + В + С;
б) АВС;
в) А + В + С ;
г) А + В + С; д) А + В + С ; е) АВ + С ;
ж) АВ С ; з) А В + С?
Тема №2
Частота случайного события и
«статистическое определение» вероятности
Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим
себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в NA случаях.
Тогда отношение
N
 A
N
называется частотой события А в данной серии испытаний.
Определение. Вероятностью случайного события А называется число р(А),
около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.
Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей
515 мальчиков. Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна 0,515.
Пример 2. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040
раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в
данной серии испытаний равна:

2048
 0,50693...
4040
7
Пример 3. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000
раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной
серии испытаний равна:

12012
 0,5005.
24000
Примеры 2 и 3 подтверждают естественное предположение о том, что вероятность
выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.
Контрольное задание №2
1. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях
1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода
семян.
2. Пользуясь таблицей простых чисел, найдите частоту появления простых чисел в
отрезках натурального ряда: от 1 до 100, от 101 до 200, от 201 до 300 и т.д., от 901 до 1000.
3. Найдите частоту появления буквы «о» в тексте на с.10 учебного пособия «Теория
вероятностей» [6].
4. Найдите частоту появления шестерки при 60 бросаниях игральной кости.
5. Найдите частоту шестибуквенных слов в любом газетном тексте.
6. Найдите частоту имени существительного в любом газетном тексте.
7. В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами. Найдите
частоту просвета в любом газетном тексте.
8. Большой лист бумаги разграфите параллельными прямыми, расстояния между
которыми равны 6 см. Расстелите этот лист на горизонтальной поверхности и наудачу
бросьте на нее иглу длиной 4 см 200 раз. Найдите частоту пересечения иглой какойнибудь прямой в данной серии испытаний.
9. Путем опроса всех студентов третьего курса определите частоты дней рождения,
падающих на каждый месяц года.
10. Составьте таблицу частот букв русского алфавита, используя текст
стихотворения Н.А.Некрасова «Родина».
Тема №3
Классический способ подсчета вероятностей
Пусть  - конечное пространство элементарных событий А1, А2, …, Аn. В качестве
борелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества .
Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета
вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как р(А1 + А2
1
+… + Аn) = р(U) = 1, то р(А1) = р(А2) = … = р(Аn) = .
n
Если теперь А – произвольное событие и А = Ai1 + …+ Aim, то согласно аксиоме 2
m
имеем р(А) =
.
n
События А1, А2, …, Аn принято называть элементарными исходами данного
испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А,
называются благоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для
m( А)
события А обозначим m(A). Таким образом, р(А) =
, т.е. вероятность события А
n
равна отношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных
исходов испытания.
Пример 1. В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность
8
того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?
Решение. Пусть событие А – извлеченный шар оказывается белым. Данное
испытание имеет 10 равновероятных исходов, из которых для события А благоприятны
3
три. Следовательно, р(А) =
.
10
Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и
помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята
одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5
– событие А; кратным 3 – событие В; простым – событие С; составным – событие D; не
простым и не составным – событие Е?
Решение. Испытание имеет 20 равновероятных исходов. Из них m(A) = 4; m(B) = 6;
m(C) = 8; m(D) = 11; m(E) = 1.
Соответственно событиям получим следующие вероятности:
p(A) = 0,2; p(B) = 0,3; p(C) = 0,4; p(D) = 0,55; p(E) = 0,05.
Контрольное задание №3
1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность
того, что это число кратно 5?
2. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность
того, что это число окажется делителем 20?
3. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это число
окажется: а) простым; б) составным; в) кратным 5; г) взаимно простым с 100?
4. Наудачу выбрана кость домино из полного набора. Какова вероятность того, что
сумма очков на выбранной кости равна 5?
5. На одинаковых карточках написаны в троичной системе счисления все целые
числа от 1 до 15. Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что
выбранное число в своей записи содержит: а) не менее 2 единиц; б) хотя бы одну двойку;
в) один нуль?
6. В урне a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу
извлеченный шар из этой урны окажется белым?
7. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны вынимают один шар и
откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один
шар. Какова вероятность того, что этот шар также белый?
8. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры
одинаковы?
9. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова вероятность
того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?
10. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное
число имеет простой делитель, больший 10?
Тема №4
Комбинаторика и бином Ньютона
Правило произведения. Пусть элемент х1 строки (х1, х2, …, хk) можно выбрать n1
способами; после каждого выбора х1 элемент х2 можно выбрать n2 способами; после
выборов х1 и х2 элемент х3 можно выбрать n3 способами и т.д.; после выборов х1, х2, …, хk1 элемент хk можно выбрать nk способами. Тогда строку (х1, х2, …, хk) можно образовать n1
 n2  …  nk способами.
Пример 1. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры
которого различны?
Решение. Каждому четырехзначному числу можно
поставить во взаимно
9
однозначное соответствие строку (х1, х2, х3, х4), где х1, х2, х3, х4 – соответственно 1, 2, 3 и
4-я цифры. Элемент х1 этой строки можно выбрать 9 способами (любую из цифр 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9); элемент х2 можно выбрать также 9 способами (теперь можно использовать и
цифру 0, но первую выбранную цифру повторить нельзя); элемент х 3 можно выбрать 8
способами (уже выбранные первые две цифры повторить нельзя); наконец, элемент х 4
можно выбрать 7 способами. Согласно правилу произведения искомое число способов
выбора четырехзначного числа с различными цифрами равно: 9  9  8  7 = 4536.
Размещения с повторениями. Пусть Х – множество, состоящее из n элементов (nчленное множество). Тогда любая строка длиной k, составленная из элементов множества
Х, называется размещением с повторениями из n элементов по k.
Число всех размещений с повторениями из n элементов по k равно nk.
Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в
десятичной записи которого нет нуля?
Решение. Четырехзначные числа указанного вида можно рассматривать как строки
длиной 4, составленные из элементов множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, т.е. как
размещения с повторениями из 9 элементов по 4. Следовательно, искомое число способов
равно: 94 = 6561.
Размещения без повторений. Перестановки. Пусть Х по-прежнему n-членное
множество. Тогда любая строка длиной k, составленная из различных элементов
множества Х, называется размещением без повторений из n элементов по k. Число всех
k
таких размещений обозначается An и равно:
Ank  n(n  1)...( n  k  1) 
n!
.
(n  k )!
В случае, когда k = n, размещения без повторений называются перестановками из n
элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается Pn и равно:
n
Pn = An = n!.
Пример 3. 10 спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну
бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между
спортсменами?
Решение. Предположим, что спортсмены пронумерованы числами от 1 до 10 и х 1, х2,
х3 – номера спортсменов, получивших золотую, серебряную и бронзовую медали.
Каждому такому распределению медалей соответствует строка (х1, х2, х3 ), состоящая из
различных чисел (номеров спортсменов). Обратно каждой строке (х 1, х2, х3) соответствует
способ распределения медалей. Следовательно, число способов распределения медалей
равно числу размещений без повторений из 10 элементов по 3, т.е. А103  10  9  8  720.
Сочетания и бином Ньютона. Всякое k-членное подмножество n-членного
множества называется сочетанием из n элементов по k.
Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается C nk . Справедлива
формула
n!
.
Cnk 
k!(n  k )!
Числа Cn0 , C n1 , Cn2 ,…, C nn 1 , Cnn являются коэффициентами в разложении бинома
Ньютона:
0
1
n
(a + b)n = Cn a0 bn + C n a bn-1 + … + Cn an b0.
Пример 4. Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать команду из 6
человек?
Решение. Очевидно, команда из 6 человек является 6-членным подмножеством 10членного множества, т.е. сочетанием из 10 элементов по 6. Следовательно, искомое число
10
способов равно С106  210.
Размещения данного состава. Полиномиальная формула. Размещением данного
состава (k1, k2,…, km) из элементов m-членного множества Х = {x1, x2 ,…, xm} называется
всякая строка длинной k1 + k2 + … + km = n, составленная из элементов множества Х,
так, что элемент х1 повторяется k1 раз, элемент x2 – k2 раз и т.д., элемент xm – km раз.
Например, если Х= {x1, x2 ,x3}, то (x1, x2 , x2, х1, х1) есть размещение состава (3,2,0).
Количество различных размещений заданного состава (k1, k2,…, km) обозначается
А(k1, k2,…, km) и равно:
(k  k 2  ...  k m )!
.
A(k1 , k 2 ,..., k m )  1
k1!k 2 !..., k m !
Следующая формула, обобщающая формулу бинома Ньютона, называется
полиномиальной:
(a1  a 2  ...  a m ) n  
n!
a1k1 a 2k2  a mkm ,
k1!k 2 !...k m !
где суммирование проводится по всевозможным наборам целых неотрицательных
чисел k1, k2,…, km , для которых k1 + k2 + … + km = n.
Пример 5. Сколькими способами можно поставить на книжной полке 3 экземпляра
учебника по алгебре, 2 экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по
математическому анализу?
Решение. Очевидно, всякой расстановке указанных учебников взаимно однозначно
соответствует строка длиной 3 + 2 + 1 = 6 состава (3, 2,1). Следовательно, искомое число
способов равно числу размещений состава (3, 2, 1) .т.е.
A(3, 2, 1) 
(3  2  1)!
 60.
3! 2! 1!
Пример 6. Вычислите (1 + х + х2)3.
Решение. По полиномиальной формуле имеем:
(1  х  х 2 ) 3  
3!
1k1 х k2 х 2 k3 ,
k1!k 2 !k 3 !
где суммирование производится по всем наборам неотрицательных целых чисел k1,
k2, k3, для которых k1 + k2 + k3 = 3. Выпишем все такие наборы: (0,0,3), (0,3,0), (3,0,0),
(0,1,2), (1,2,0), (2,0,1), (1,0,2), (0,2,1), (2,1,0), (1,1,1). Теперь находим:
(1  х  х 2 ) 3 
3!
3! 0 3 20
3! 3 0 20
10  х 0 х 23 
1 х  х 
1 х  х 
0! 0!3!
0! 3!0!
3! 0!0!

3! 0 1 22
3! 1 2 20
3! 2 0 2
3! 1 0 22
1 х  х 
1 х  х 
1 х  х 
1 х  х 
0! 1! 2!
1! 2!0!
2! 0!1!
1! 0! 2!

3! 0 2 2
3! 2
3! 1
1 х  х 
1  х  х 20 
1  х  х 2  х 6  3х 5  6 х 4 
0! 2!1!
2! 1!0!
1! 1!1!
 7 х 3  6 х 2  3х  1.
Контрольное задание №4
1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости.
Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
2 Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить
переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого,
11
итальянского – на любой другой из этих 5 языков?
3 У одного студента 5 книг, у другого – 9. Все книги различные. Сколькими
способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на книгу? 2 книги на 2
книги?
4. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может
подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с дополнительным
условием: подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам.
5. Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) 2 клетки? б) 2
клетки одного цвета? в) 2 клетки разного цвета?
6. Имеются 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 различным адресам.
Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если: а) никакие 2 письма не
посылать по одному адресу; б) по одному можно адресу посылать более одного письма.
7. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в
поезде 4 человек при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых
состоит не более чем из 3 цифр. Сколько таких чисел можно составить, если: а)
повторение цифр в числах не разрешается; б) разрешается повторение цифр?
9. Сколькими способами 3 различных подарка А, В и С можно сделать каким-то 3 из
15 лиц, если: а) никто не должен получать более одного подарка; б) подарок А должно
получить определенное лицо?
10. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии,
что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Тема №5
Применение комбинаторики к подсчету вероятности
Если из совокупности объема
n производится
выборка
k элементов с
возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной
1
.
nk
1
Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна
.
Ank
Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то
дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае
выборки с возвращением имеем:
m
р ( А)  k ,
n
в случае выборки без возвращения:
m
p ( A)  k .
An
Пример 1. Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет
нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?
Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа
равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и
записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных
исходов опыта равно 93 = 729. Количество благоприятных случаев для интересующего нас
события А подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать С 92  36
( 2  1)!
 3 , т.е. 3 трехзначных
способами; если х и у выбраны, то из них можно составить
2!1!
12
числа, в которых х встречается два раза, а у –один раз; столько же будет чисел, в которых
у встречается дважды; х – один раз. Таким образом, число благоприятных случаев равно
36  (3 + 3) = 216. Искомая вероятность равна:
216
8
р ( А) 

.
729 27
Пример 2. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки,
наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность
того, что получится слово «тор»?
Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами:
р1, р2, о1, о2. Тогда общее число элементарных исходов равно: А53  60 . Слово «тор»
получится в 1  2 2 = 4 случаях (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2). Искомая вероятность равна:
4
1
р
 .
60 15
При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь воспользовались правилом
произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» – двумя и букву «р» –
двумя способами.
Статистический выбор. Пусть в урне находятся n предметов. Испытание состоит в
том, что из урны извлекается группа из m предметов (без возвращения, без учета порядка
предметов внутри группы). Количество таких выборок равно С nm и мы предполагаем, что
1
все они имеют равные вероятности m .
Cn
Пример 3. В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того,
что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?
Решение. Количество всех элементарных исходов равно
С Nk .
Для подсчета числа
благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей
способами, а из N - n небракованных можно выбрать k – s небракованных деталей
способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно
Искомая вероятность равна:
C ns  C Nk sn
p
C Nk
С ns
С Nk sn
С ns  С Nk sn .
.
Пример 4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются
4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2
женщины и 2 мужчин?
Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7 членов бригады 4 человека
можно выбрать
С74 =
35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов
испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщины
из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин
С42 = 6 способами, а
С32 =
3 способами. Тогда число благоприятных
18
случаев будет равно 6  3 = 18. Таким образом, р 
.
35
Контрольное задание №5
1. Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность того, что при этом все
13
выпавшие грани различны?
2. На 6 одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «М», «о», «с». Эти
карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово
«Москва»?
3. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова
вероятность того, что эти шары разного цвета?
4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова
вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
5. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлекают 2 шара.
Какова вероятность того, что эти шары одного цвета?
6. Какова вероятность того, что в написанном наудачу трехзначном числе 2 цифры
одинаковы, а третья отличается от них?
7. В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот
день случайным образом ставятся в расписание 3 урока одного учителя и 2 урока другого.
Какова вероятность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?
8. 10 человек случайным образом рассаживаются на десятиместную скамейку.
Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?
9. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3
шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?
10. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2
равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?
Тема №6
Правила сложения и умножения вероятностей
Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается
выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности
последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для
решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и
произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.
Правила сложения и умножения вероятностей: если события А1, А2,…,Аn , …
попарно несовместны, то справедливо равенство
р(А1+ А2,+…+ Аn +…) = р(А1) + р(А2) +…+ р(Аn)+...
(1)
Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения
вероятности противоположного события:
p ( A)  1  p ( A) .
(2)
Для произвольных событий А и В имеет место формула (см. §3, задача 37(а)):
р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ).
(3)
В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид (см. §3, задача 38):
p(  Ak ) 
1 k  n
 p( A )   p( A A )  K  (1)
1 k  n
k
1 k  j  n
k
j
n
p( A1 A2 ... An ) .
(4)
Вероятность р(В/А) события В при условии наступления события А по определению
равна:
p( B / A) 
p( AB)
.
p( A)
(5)
Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения
двух событий:
р(АВ) = р(А) р(В/А).
(6)
Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:
р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2 / A1) p(A3 / A1A2)+…+ р(Аn /A1A2…An-1)
(7)
События А1, А2,… Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность
14
любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.
Правило умножения вероятностей для n событий: если события
А1, А2,… Аn
независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.
р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2) … р(Аn).
(8)
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности
произведения противоположных событий по формуле
р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р ( A1 A2 ... An ).
(9)
В частности, если события А1 ,А2,…, Аn независимы, то
р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р ( A1 ) p( A2 )... p( An ) =
= 1 – (1 – р(А1))(1 – р(А2))…(1 – р(Аn)).
(10)
Пример 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго –
0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова
вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?
Решение. Введем обозначения: событие А – попадание первого стрелка, событие В –
попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда,
очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)
р(С) = р(А) + р)В) – р(АВ).
Так как события А и В независимы, то
р(С) = р(А) + р)В) – р(А) р(В).
Наконец, учитывая, что р(А) = 0,8, р(В) = 0,6, получаем:
р(С) = 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92.
Пример 2. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет
ровно два раза.
Решение. Введем обозначения: Аi – выпадение герба при i-м бросании монеты (i = 1,
2, 3), А – выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. Тогда А = А1А2 A3 + А1 A2 А3 +
A1 А2А3. Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по
правилу сложения вероятностей имеем:
р(А) =р(А1А2 A3 ) + р(А1 A2 А3 ) + р( A1 А2А3).
Наконец, учитывая независимость событий А1, А2, А3, по правилу умножения
вероятностей получаем:
р(А) =р(А1 ) р(А2 ) р( A3 ) + р(А1 ) р( A2 ) р(А3 ) + р( A1 ) р(А2 ) р(А3)=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
        .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
= 
Пример 3. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из
команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные
спортсмены являются мастерами спорта?
Решение. Укажем 2 способа решения, из которых первый состоит в
непосредственном подсчете искомой вероятности по классической схеме, а второй – в
применении формулы (7).
Первый способ. Представим себе урну, в которой 5 красных и 7 белых шаров.
Красные шары соответствуют мастерам спорта, а белые – остальным спортсменам. Из
этой урны наудачу извлекаются 3 шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 красных
C3
1
шаров. Тогда искомая вероятность равна: p( A)  35 
.
C12 22
Второй способ. Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара.
Введем обозначения: А1 – первый шар красный, А2 – второй красный, А3 – третий
красный и А – все 3 шара красные. Тогда А = А1А2А3 и по формуле (7) при n = 3 имеем:
15
5 4 3
1
.
  
12 11 10 22
Пример 4. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8;
0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в
мишень (событие D)?
Пусть событие А, В, С – соответственно попадание в мишень 1, 2, и 3-го стрелка.
р(А) = р(А1) р(А2/A1) p(A3/A1A2) =
Тогда D= А + В + С. Однако лучше представить D как событие, противоположное
(ни одного попадания): D =
ABC
A B C . По формуле (10) тогда имеем: p(D) = 1 – p( A ) p( B )
p( C ) = 1 – 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,994.
Контрольное задание №6
1. 2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность
попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найдите
вероятность того, что:
а) только один из стрелков попадет в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;
в) оба стрелка попадут в мишень;
г) ни один из стрелков не попадет в мишень;
д) ни один из стрелков не попадет в мишень.
2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна
р, а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном
выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите р.
3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины
будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3
независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении
допущенная ошибка превысит заданную точность.
4. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4
детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашенные.
1
5. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна . Какова вероятность,
7
купив 5 билетов, выиграть: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по
одному билету?
6. Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой
операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения
детали без брака после 3 операций, предполагая, что получения брака на отдельных
операциях являются независимыми событиями.
7. Из цифр 1, 2, 3, 4,5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Найдите
вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба
раза.
8. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна
0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.
9. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять,
чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей
0,95?
10. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее
наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные
попытки.
16
Тема№7
Формула полной вероятности и формула Байеса.
Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных
событий Н1, Н2, …, Нn, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда
вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
n
p ( A)   p ( H i ) p ( A / H i ) .
i 1
Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р(Hi) (i = 1,2,…,n)
можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p(Hi / A).
Эта задача решается по формуле Байеса:
p( H i ) p( A / H i )
,
(12)
p ( A)
где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.
Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных.
Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны
наудачу достали один шар.
а) Какова вероятность того, что этот шар белый?
б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из
первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?
Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый;
гипотезы Н1 – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н2 – переложены 2
разноцветных шара, Н3 – переложены 2 черных шара. Тогда
р(Н) = р(Нi) p(A/Hi) + p(H2) p(A/H2) + p(H3) p (A/H3).
Вероятности гипотез Нi и условие вероятности p(A/ Нi ) (i = 1, 2, 3) вычисляем по
классической схеме:
C 21  C 61 12
C62 15
C 22 1
p( H 1 )  2 

, p( H 2 ) 
, p( H 3 )  2 
;
28
C8 28
C82
C8 28
3
5
1
p( A / H 1 )  , p( A / H 2 )  , p( A / H 3 )  .
4
8
2
Полученные результаты подставим в формулу (1):
p ( H i / A) 
p( A) 
1 3 12 5 15 1 9
      .
28 4 28 8 28 2 16
б) Вероятность р(Н1/А) находим по формуле Байеса:
p( H 1 / A 
p( H 1 ) p A / H 1  1

.
p( A)
21
Контрольное задание №7
1. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из
них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров
наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.
2. 60% учащихся в школе – девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в
театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что
этот билет принадлежал девочке? Мальчику?
3. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем
один шар из урны I; в противном случае – из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1
белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара. а) Какова вероятность того, что
17
вынутый шар красный? б) Какова вероятность того, что шар вынимался из I урны, если он
оказался красным?
4. На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В –
60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А,
оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица
продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком.
Какова вероятность того, что она произведена на машине В?
5. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных
стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна
0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. Найдите вероятность того, что: а)
наудачу выбранный стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в
цель.
6. В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен
один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар
и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный затем из
третьей урны, окажется белым.
7. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго – 30%, с третьего
– 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2%
бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5% и четвертым –0,2%. Найдите вероятность
того, что поступившая на сборку деталь небракованная.
8. В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой – 2 белых и 3 черных шара,
во второй – 2 белых и 2 черных шара, в третьей – 3 белых и один черный шар. Из первой
урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложен в третью.
Наконец, из третьей урны шар переложен в первую урну. а) Какой состав шаров в первой
урне представляется наиболее вероятным? б) Определите вероятность того, что во всех
урнах состав шаров останется без изменения.
9. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,4. а)
Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет? б) Наудачу
выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к
трем последним?
10. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту.
Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью
0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие,
прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.
Тема №8
Формула Бернулли
Опыты 1, 2,… называются независимыми, если любая комбинация их исходов
является совокупностью независимых событий.
В вероятностной схеме Бернулли рассматривается последовательность n независимых
опытов 1, 2,…, n, в каждом из которых некоторое событие А может наступить с одной
и той же вероятностью р = р(А). Условно это событие рассматривается как успех, а его
ненаступление (событие A ) – как неудача. Вероятность неудачи в каждом опыте равна:
q=1–p.
Пусть для заданного целого числа k (0  k  n) Pn(k) обозначает вероятность того, что в
n опытах успех наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:
Pn(k) = C nk pk qn-k.
(1)
Вероятности Pn(k) (k = 0,1,…,n) называются биномиальными в силу того, что правая
часть формулы (1) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона:
18
n
(q  p ) n   C nk p k q n  k .
(2)
k 0
Так как p+q=1, то из формулы (2) следует, что сумма всех биномиальных
вероятностей равна 1:
n
P
k 0
n
(k )  1 .
Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка
равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5
выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.
Решение. В этом примере n = 5, р = 0,8 и k = 2; по формуле Бернулли находим:
p5  C 52 0,8 2 0,2 3  0,0512 .
Пример 2. 2 равносильных шахматиста играют ряд партий, причем ничьи в счет не
идут. Что более вероятно в счете: ( 1 : 1), ил (2 : 2), или (3 : 3) и т.д.?
Решение. Найдем по формуле Бернулли вероятность того, что в 2n результативных
партиях один из шахматистов выиграет n партий, т.е. счет будет n : n. Принимая во
1
внимание, что p = q = , имеем:
2
n
n
(2n)!
1 1
P2 n  C     
2 2n .
 2   2  (n!) 2
n
2n
Преобразуем полученное выражение с целью найти связь между P2n(n) и P2n+2(n+1):
(2n)!(2n  1) (2n  2) (n  1) 2  2 2
2n  2
1 

P2 n (n) 

P2 n  2 (n  1)  1 
 P2 n  2 (n  1) .
2
2
2n2
2n  1
(n!) (2n  1) (2n  2) (n  1)  2
 2n  1 
Из полученного соотношения
1 

P2 n (n)  1 
 P2 n 2 (n  1)
 2n  1 
(3)
видно, что счет (n : n) более вероятен, чем (n + 1 : n + 1). Расчеты по формуле
Бернулли показывают, что последовательности событий (1 : 1), (2 : 2), (3 : 3), (4 : 4), …
соответствует последовательности вероятностей
64
48
40 35
,
,
,
, …. .
128 128 128 128
То число успехов k0, которому при заданном n соответствует максимальная
биномиальная вероятность Pn(k0), называется наиболее вероятным числом успехов.
Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k0 по заданным n и р можно
воспользоваться неравенствами
np – q  k0  np + p
(4)
или правилом: если число np + p не целое, то k0 равно целой части этого числа
(k0 = [np + p]); если же np + p целое, то k0 имеет два значения k 0'  np  q и р.
Пример 3. Найдите наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах,
используя условие примера 1, и соответствующую этому числу вероятность.
Решение. Так как np + p = 5  0,8 = 4,8 не целое, то k0 = [4,8] = 4; вероятность Р5(4)
находим по формуле Бернулли:
P5 (4)  C54 0,8 4  0,2  0,4096 .
Пример 4. Найдите наиболее вероятное число выпаданий герба при 25 бросаниях
монеты.
19
Решение. В этом примере n = 25, p = 0,5. Число np + p = 25 0,5+0,5=13 –целое,
поэтому k 0  12 и k 0  13 .
Пусть Рn (k1  k  k2) – вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли успех
наступит от k1 до k2 раз (0  k1  k  n ). Тогда имеет место формула
'
"
k2
Рn (k1  k  k2) =  Pn ( k ) 
k  k1
вероятность
равна:
k2
C
k  k1
k
n
p k q nk ;
(5)
Рn (1  k  n) того, что в n опытах успех наступит хотя бы один раз,
Рn (1  k  n)= 1 – qn.
(6)
Пример 5. Монета брошена 10 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет: а) от 4
до 6 раз; б) хотя бы один раз.
Решение. А) По формуле (5) при n = 10, k1 = 4, k2 = 6, p = q = 0,5 получим:
210 252
210 21



Р10 (4  k  6) = Р10 (4) + Р10 (5) + Р10 (6) =
.
1024 1024 1024 32
10
1023
1
б) По формуле (6) Р10 (1  k  10) = 1    
.
1024
2
Пример 6. Какое минимальное число опытов достаточно провести, чтобы с
вероятностью, не меньшей, чем  (0 <  < 1), можно было бы ожидать наступления успеха
хотя бы один раз, если вероятность успеха в одном опыте равна р?
Решение. Потребуем, чтобы вероятность наступления успеха хотя бы один раз в n
опытах (см. формулу (6)) была не меньше чем :
1 – qn  , или 1 – (1 – р)n  .
Решив полученное равенство относительно n, получаем неравенство
n
lg( 1  )
.
lg( 1  p)
Отсюда заключаем, что минимальное число опытов n0, удовлетворяющее условию
примера, равно:
 lg( 1  ) 
n0  
 1 .
 lg( 1  p) 
(7)
В частности, если р = 0,02 и  = 0,98, то формула (7) дает n0 = 80.
Пусть производится n независимых опытов, каждый из которых имеет m (m  2)
попарно несовместных и единственно возможных исходов А1, А2,…, Аm с вероятностями
р1= р(А),…,рm = (Am), одинаковыми во всех опытах (имеется в виду, что р1+р2+…+ рm=1).
Для произвольных целых неотрицательных чисел k1, k2,…,km (k1+ k2+…+km = n)
обозначим через Pn (k1, k2,…,km) вероятность того, что в n опытах исход А1 наступит k1
раз, исход А2 - k2 раз и т.д., исход Am - km раз. Тогда справедлива формула
Pn (k1, k2,…,km) =
n!
p1k1 p 2k2 ... p mkm ,
k1!k 2 !...k m !
(8)
которая является обобщением формулы Бернулли на случай, когда каждый из
независимых опытов 1, 2,…, n имеет m исходов (m  2).
Вероятности
Pn (k1, k2,…,km), соответствующие всевозможным наборам целых
неотрицательных чисел k1, k2,…,km с условием
k1+ k2+…+km = n назовем
полиномиальными, ввиду того что выражение, стоящее в правой части формулы (8),
представляет собой общий член разложения (р1+р2+…+ рm)n по полиномиальной
20
формуле .
Вывод формулы (8) аналогичен выводу формулы Бернулли.
Пусть событие В означает: в n независимых опытах событие Аi наступит k1 раз,
событие А2 - k2 раз и т.д., событие Am - km раз. Тогда Pn (k1, k2,…,km) = р(В). Каждый
вариант реализации события В можно интерпретировать как строку длины n,
составленную из символов А1, А2,…, Аm , в которой Аi повторяется k1 раз, А2 - k2 раз и
т.д., Am - km раз. Количество N таких строк равно числу размещений состава (k1,
k2,…,km), т.е.
(k  k 2  ...  k m )!
n!
;
N 1

k1!k 2 !...k m !
k1!k 2 !...k m !
k
k
k
вероятность же каждого варианта равна p1 1 p 2 2 ... p mm . Отсюда по правилу сложения
вероятностей имеем (8).
Пример 7. Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле
по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для
второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок произвел 6
выстрелов по мишени. Найдите вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в
первую зону, 2 попадания во вторую и одно попадание в третью зону.
Решение. В этом примере n = 6, k1 = 3, k2 = 2, k3 = 1, p1 = 0,5, p2 = 0,3 и p3 = 0,2.
Подставляя эти данные в формулу (8), получаем искомую вероятность:
Контрольное задание №8
1. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?
2. По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в
дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных станков
4 нуждаются в дополнительной регулировке.
3. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди детей 2 мальчика, если
вероятность рождения мальчика принимается 0,5.
4. Найдите наиболее вероятное число выпаданий шестерки при 46 бросаниях
игральной кости.
5. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» и
«нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся,
если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность
наиболее вероятного числа правильных ответов.
6. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да»
или «нет». Найдите вероятность того, что учащийся, давший 8 правильных ответов, знает
8 вопросов, если известно, что 10% учащихся знают ответы на 6 вопросов, 30% - на 7
вопросов, 30% - на 8 вопросов, а остальные знают ответы не более чем 8 вопросов.
7. Вероятность изготовления стандартной детали 0,95. Сколько деталей должно быть
в партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней равнялось 55?
8. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью 0,01 имеет дефект.
Каков должен быть объем случайной выборки с возвращением, чтобы вероятность
встретить в ней хотя бы одно дефектное изделие была не меньше 0,95?
9. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них
равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для
этого необходимо иметь на линии не меньше 8 автомашин.
10. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2.
Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится:
а) одному; б) по крайней мере одному.
21
Тема №9
Приближенные формулы Лапласа и Пуассона.
Локальная приближенная формула Лапласа.
приближенное равенство
1
Pn (k ) 
( x) ,
npq
где
x
k  np
npq
,  ( x) 
1
2
e

x2
2
При больших
n
имеет место
(1)
.
(Таблицу значений функции (х) см. в приложении).
Интегральная приближенная формула Лапласа. При больших
приближенное равенство
Pn (k1  k  k 2 )  Ф( х2 )  Ф( х1 ) ,
n
имеет место
(2)
где
k1  np
k 2  np
1
x

t2
2
x2 
Ф( x ) 
,
,
 e dt .
npq
npq
2 0
Функция Ф(х) называется функцией Лапласа (таблицу ее значений см. в приложении).
При нахождении значений функции (х) и Ф(х) для отрицательных значений аргументов
следует иметь в виду, что (х) четная, а Ф(х) – нечетная.
Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике
пользуются в случае, если npq  10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к
довольно большим погрешностям.
Приближенная формула Пуассона. При больших n и малых р справедлива
формула
x1 
Pn (k ) 
k
k!
e  , где  = np.
(3)
k 
Pk ()  e таблицу значений см. в приложении).
(Для функции
k!
Пример 1. Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых
испытаний равна р = 0,8. Найдите вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз;
б) 710 раз; в) от 710 до 740 раз.
Решение: Так как npq = 900  0,8  0,2 = 14,4 > 10, то в пунктах а) и б) воспользуемся
формулой (1), а в пункте в) – формулой (2).
750  900  0,8
а) x 
 2,5 ; (2,5)  0,0175;
900  0,8  0,2
Р900 (750) 
б) x 
1
1
 (2,5)   0,0175  0,00146 ;
12
12
750  720
  0,83 ;  (- 0,83) =  (0,83)  0,2827;
12
Р900 (710) 
в) x1 
1
 0,2827  0,0236 ;
12
710  720
740  720
  0,83 ; x2 
1,67 ;
12
12
22
Ф(-0,83) = - Ф(0,83)  - 0,2967; Ф(1,67)  0,4527;
Р900 (710  k  740)  0,4525 + 0,2967 = 0,7492.
Пример 2. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом,
является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек.
Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от
вероятности 0,02 менее чем на 0,01.
Решение. Пусть k – число бракованных лампочек в выборке. Нам нужно оценить
вероятность выполнения неравенства
k
 0,02  0,01 .
1000
Оно равносильно неравенству 11  k  29. Следовательно
 k

P 
 0,02  0,01  P1000 (11 k  29) .
 1000

Так как npq = 1000  0,02  0,98 = 19,6 > 10, то для вычисления вероятности Р1000 (11  k
 29) воспользуемся интегральной приближенной формулой Лапласа. В данном случае
11  1000  0,02
29  20
9

 2,03 ;
x1 
  2,03 ; x2 
4,43
4,43
1000  0,02  0,98
Ф( - 2,03)  - 0, 4788; Ф(2,03)  0,4788.
Следовательно, по формуле (2) имеем:
Р1000 (11  k  29)  0,4788 + 0,4788 = 0,9576.
Пример 3. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента
вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите
вероятности следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в
течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не менее 3
абонентов позвонят на станцию.
Решение. Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной
формулой Пуассона при  = 400  0,01 = 4.
4 2 4
е  0,156293; (см. таблицу 4 приложения).
а) Р400 (5) 
5!
б) Р400 (0  k  4)  0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 + 0,195367 = =0,628838;
в) Р400 (3  k  400) = 1 - Р400 (0  k  4) = 1 – 0,018316 – 0,073263 – 0,146525 = =
0,761896.
Контрольное задание №9
1. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из
500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) 400 семян; в) 450 семян; г) от 425 до 450
семян.
2. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите
вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 25
человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек.
3. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной
работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Найдите вероятность того, что в
течение смены бесперебойно проработают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.
4. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Найдите
вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из
строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26
конденсаторов.
5. Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна
23
р = 0,4. Найдите вероятность того, что число появлений события А заключено между: а)
570 и 630; б) 600 и 660.
6. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,8.
Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать,
что событие А появится не менее 75 раз?
7. Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых
опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно
было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
8. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найдите вероятность
наиболее вероятного числа бракованных деталей среди наудачу отобранных 100 деталей.
9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения
каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность того, что среди 5000 изделий в
пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) ровно одно изделие; в) не более 3 изделий;
г) более 3 изделий.
10. Кинотеатр вмещает 730 зрителей. Найдите вероятность того, что: а) 3 зрителя
родились в один день (скажем, 1 марта); б) не более 3 зрителей родились в один день.
Тема №10
Дискретная случайная величина и закон ее распределения.
Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с
помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом,
называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или
иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины
будем обозначать жирными буквами х, у,….
Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина х, если указано
конечное или счетное множество чисел
х1, х2…
и каждому из этих чисел xi поставлено в соответствие некоторое положительное
число pi, причем
р1 + р2 + …= 1.
Числа х1, х2… называются возможными значениями случайной величины х, а
числа р1 , р2 ,… - вероятностями этих значений (pi = Р(х = xi)).
Таблица
xi
x1
x2
…
pi
p1
p2
…
называется законом распределения дискретной случайной величины х.
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают
графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi) и
соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия
называется многоугольником распределения случайной величины х.
у
Пример 1. По мишени производится 4
независимых
выстрела
с
вероятностью
попадания при каждом выстреле р = 0,8.
Требуется: а) найти закон распределения
дискретной случайной величины х, равной числу
попаданий в мишень; б) найти вероятности
событий: 1  х  3; х > 3; в) построить
многоугольник распределения.
0,4096
0,1536
0,0256
0
х
1
Рис. 11
2
3
4
24
Решение. а) Возможные значения случайной
величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие
вероятности вычисляем по формуле Бернулли:
р0  р ( х  0)  С 40 0,8 0  0,2 4  0,0016.
р1  р ( х  1)  С41 0,8  0,23  0,0256.
р2  р ( х  2)  С42 0,82  0,2 2  0,1536.
р3  р ( х  3)  С43 0,83  0,2  0,4096.
р4  р ( х  4)  С44 0,84  0,20  0,4096.
Закон распределения х представится таблицей:
xi
0
1
2
3
4
pi
0,0016
0,0256
0,1536 0,4096
0,4096
Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.
б) Вероятность событий 1  х  3 и х > 3 равны:
р (1  х  3) = р ({1,2,3}) = р1 + р2 + р3 = 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0,5888;
р( х > 3) = р ({4}) = р4 = 0,4096.
в) Многоугольник распределения представлен на рисунке 11.
Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2,
…, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
Pn (k )  C nk p k q n  k , k = 0,1,…n; q = 1- p,
то говорят, что случайная величина х имеет биномиальный закон распределения:
xi
0
1
…
n
pi
pn(0)
pn(1)
…
pn(n)
Рассмотренная выше в примере 1 случайная величина х имеет биномиальный закон
распределения, в котором n = 4, p = 0,8.
Пример 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны
наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон
распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х  2.
Решение. Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие
им вероятности р0, р1, р2, р3 подсчитываем классическим способом:
С40  С33
С41  С32 12
1
р0  р ( х  0) 

 ;
; р1  Р ( х  1) 
С73
35
С73
35
С42  С31 18
С43  С30
4
р2  р ( х  2) 
 ; р3  р ( х  3) 
 .
3
3
С7
35
С7
35
Закон распределения х:
xi
pi
0
1
35
1
12
35
2
18
35
3
4
35
Вероятность события х  2 равна:
12
4
22
р (х  2) =
+
=
.
35
35
35
Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем m s  n. Если возможными
значениями дискретной случайной величины х являются 0,1,2,…, m, а соответствующие
им вероятности выражаются по формуле
25
Cmk  Cnsmk
pk = p(x = k) =
, k = 0,1,…,m,
Cns
то говорят, что случайная величина
х
имеет гипергеометрический закон
распределения.
Случайная величина х из примера 2 имеет гипергеометрический закон
распределения с n =7, s = 3, m = 4.
Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной
случайной величины являются:
геометрический
xi
pi
1
p1
2
p2
…
…
3
p3
…
…
k
pk
где pk = qk-1p, q = 1 – p (0 < p < 1);
Закон распределения Пуассона:
xi
pi
Pn (k ) 
0
p0
k
k!
1
p1
2
p2
3
p3
…
…
k
pk
…
…
 e  ,  - положительное постоянное.
Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при n  ,
p  0,
np =  = const. Виду этого обстоятельства при больших n и малых p
биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:
Pn (k ) 
k
k!
 e  ,
где  = np.
Пример 3. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность
повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения
случайной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности
следующих событий:
А – повреждено менее 3 изделий;
В – повреждено более 2 изделий;
С – повреждено хотя бы одно изделие.
Решение. Возможные значения х: 0, 1, 2, ..., 500; так как n = 500 велико, а р = 0,002
мало, то положив  = 500  0,002 = 1, вычислим вероятности
pk = p(x = k)
приближенно по формуле Пуассона:
Pk 
k
k!
 e  
1
, k = 0, 1, 2, ..., 500.
k!e
Закон распределения случайной величины х приближенно имеет вид:
xk
0
1
2
3
… 500
pk
…
1
1
1
1
1
е
е
2е
6е
500!е
или
xk
pk
0
0,368
1
2
0,368 0,184
3
0,061
… 500
… 0,000
Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:
26
p(A) = p(x < 3) = p ({0, 1, 2}) = 0,368 + 0,368 + 0,184 = 0,92.
p(B) = p (x > 2) = 1 – p( x  2) 1 – p ({0, 1, 2}) = 0,008.
p(C) = p (x  1) = 1 – p( x  0) 1 – p ({0}) = 1 – 0,368 = 0,632.
Контрольное задание №10
1. Дискретная случайная величина х – число мальчиков в семьях с 5 детьми.
Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон
распределения х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности
событий: А – в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В – не более 3 мальчиков; С –
более одного мальчика.
2. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до
первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная
величина х – число промахов. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте
многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: x < 2; x  3; 1 < x  3.
3. 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для
первого стрелка при одном выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная случайная
величина х –число попаданий в мишень. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте
многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события х  1.
4. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу
извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины х, равной
числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в)
Найдите вероятность события 0 < x  2.
5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад
извлекают 3 работы. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х,
равной числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных. Чему равна вероятность
события x > 0?
6. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения:
xi
pi
0
0,2
3
0,1
4
0,3
5
p4
8
0,15
Чему равна вероятность Р4 = Р (х = 5)? Постройте многоугольник распределения.
7. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон
распределения случайной величины х, равной числу проб при открывании замка, если
испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.
8. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2
детали. Найдите закон распределения случайной величины, равной числу стандартных
деталей в выборке.
9. Дважды брошена игральная кость. Случайная величина х равна разности между
числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании. Найдите закон
распределения х и вероятность события 2  х  4.
10. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина
х равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины х
и вероятность события х  5.
Тема №11
Функция распределения случайной величины
На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется
функция распределения.
Вероятность того, что случайная величина х примет определенное значение х0 ,
выражается через функцию распределения по формуле
27
р (х = х0) = F(x0 +0) – F(x0).
(3)
В частности, если в точке х = х0 функция F(x) непрерывна, то
р (х = х0) =0.
Случайная величина х с распределением р(А) называется дискретной, если на
числовой прямой существует конечное или счетное множество , такое, что р(,) = 1.
Пусть  = {x1, x2,…} и pi = p({xi}) = p(x = xi), i = 1,2,…. Тогда для любого
борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой
p( A) 
p
xi A
i
.
(4)
Положив в этой формуле А = {xi / xi < x}, x  R, получим формулу для функции
распределения F(x) дискретной случайной величины х:
F(x) = p(x < x) =
p
{i / xi  x}
i
.
(5)
График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x)
в точках х = х1, х2 …(x1<x2<…) равны соответствующим вероятностям р1, p2, ….
Пример 1. Найдите функцию распределения
дискретной случайной величины х из примера 1 § 13.
Используя функцию распределения, вычислите
вероятности событий: х < 3, 1  x < 4, 1  x  3.
Решение. Используя данные из таблицы,
F(x)
полученной в § 13, и формулу (5), получим
P4
функцию распределения:
P3
если x  0,
0,
0,0016, если 0  x 1,
P2

P1
0,0272, если 1  x  2,
F ( x)  
0,1808, если 2  x  3,
0
х1
х2
х3
0,5904, если 3  x  4,
х4
х

1,
Рис. 12
если x  4.
По формуле (1) Р(x < 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)
р(1  x < 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;
p (1  x  3) = p ( 1  x <3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =
= F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.
Пример 2. Дана функция

0,
если x  0,



F ( x)  sin x, если 0  x  ,
2



если x  .
1,
2
Является ли функция F(x) функцией распределения некоторой случайной величины?


 х   . Построить график функции F(x).
3
6
В случае положительного ответа найдите р
Решение. Для того чтобы наперед заданная функция F(x) являлась функцией
распределения некоторой случайной величины х, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий (характеристических свойств функции распределения):
1. F(x) – неубывающая функция.
у
28
1
2. lim F ( x )  1 , lim F ( x)  0 .
x 
x 
3. При любом х  R F(x – 0) = F(x).
Для заданной функции F(x) выполнение
этих условий очевидно. Значит,
F(x) – функция распределения.


 х   вычисляем по
3
6
Вероятность р
формуле (2):
     


3 1

р  х    F    F    sin  sin 
.
3
3
6
2
6
3
6
График функции F(x) представлен на рисунке 13.
Пример 3. Пусть F1(x) и F2(x) – функции распределения случайных величин х1 и х2
соответственно, а1 и а2 – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Доказать, что F(x) = a1F1(x) + a2F2(x) является функцией распределения некоторой
случайной величины х.
Решение. 1) Так как F1(x) и F2(x) – неубывающие функции и а1  0, а2  0, то a1F1(x) и
a2F2(x) - неубывающие, следовательно, их сумма F(x) тоже неубывающая.
2)
lim F ( x)  lim (a1 F1 ( x)  a2 F2 ( x))  a1 lim F1 ( x)  a2 lim F2 ( x)  a1  0  a2  0  0 ;
x  
x  
x 
x  
lim F ( x)  a1 lim F1 ( x)  a2 lim F2 ( x)  a1  a2  1 .
x 
x 
x 
3) При любом х  R F(x - 0) = a1F1(x - 0) + a2F2(x - 0)= a1F1(x) + a2F2(x) = F(x).
Пример 4. Дана функция
если x  0,
0,
0,2, если 0  x 1,

F ( x)  
0,1х, если 1 x  3,
1,
если x  3.
Является ли F(x) функцией распределения случайной величины?
Решение. Легко заметить, что F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следовательно, F(x) не является
неубывающей, а значит, не является функцией распределения случайной величины.
Заметим, что остальные два свойства для данной функции справедливы.
Контрольное задание №11
1. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:
xi
-1
0
1
pi
0,25
0,5
0,25
Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события
х  0. Постройте график функции F(x).
2. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:
xi
-2
-1
0
1
2
pi
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятности
событий: а) –2  х < 1; б) х  2. Постройте график функции распределения.
3. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:
xi
0
1
2
3
4
29
pi
0,05
0,2
0,3
0,35
0,1
Найдите функцию распределения F(x) и найдите вероятности следующих событий:
а) x < 2; б) 1  х < 4; в) 1  х  4; г) 1 < x  4; д) х = 2,5.
4. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х, равной
числу выпавших очков при одном бросании игральной кости. Используя функцию
распределения, найдите вероятность того, что выпадет не менее 5 очков.
5. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый
следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения
случайного числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытания для
каждого прибора 0,9.
6. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:
если x  2,
0,
0,3, если 2  x  3,

F ( x)  
0,5, если 3  x  4,
1,
если x  4.
а) Найдите вероятность события 1  х  3.
б) Найдите таблицу распределения случайной величины х.
7. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:
если x 1,
0,
0,25, если 1 x  3,

F ( x)  0,4, если 3  x  4,
0,8, если 4  x  5,

1,
если x  5.
Составьте таблицу распределения данной случайной величины.
8. Монету бросают n раз. Составьте таблицу распределения и найдите функцию
распределения числа появлений герба. Постройте график функции распределения при n =
5.
9. Монету бросают, пока не выпадет герб. Составьте таблицу распределения и
найдите функцию распределения числа появлений цифры.
10. Снайпер стреляет по цели до первого попадания. Вероятность промаха при
отдельном выстреле равна р. Найдите функцию распределения числа промахов.
Вопросы к экзамену по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над
ними. Статистическое и классическое определение вероятности.
2. Аксиомы теории вероятностей и простейшие следствия из них. Теорема сложения
вероятностей.
3. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы умножения вероятностей.
Формула полной вероятности, формула Байеса.
4. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
5. Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Вероятность попадания
случайной величины в интервал. Дискретная случайная величина, ее ряд распределения и
функция распределения.
6. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности и функция распределения
непрерывной случайной величины, их свойства.
30
7. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной
величины, их свойства.
8. Нормальный закон распределения, вероятностный смысл его параметров. Функция
Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины в интервал. Правило "трех сигма".
9. Системы случайных величин. Матрица распределения системы двух
дискретных случайных величин.
10. Функция распределения системы случайных величин и ее свойства.
11. Непрерывная система случайных величин. Двумерная плотность
вероятности и ее свойства.
12. Условные законы распределения. Независимость случайных величин.
13. Числовые характеристики системы случайных величин. Ковариация и коэффициент
корреляции, их свойства. Зависимость и коррелированность.
14. Условное математическое ожидание. Функция регрессии.
15. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли .
Центральная предельная теорема Ляпунова (формулировка).
16. Математическая статистика и ее основные задачи. Выборочный метод. Вариационный
ряд. Выборочная функция распределения.
17. Математическая статистика и ее основные задачи. Выборочный метод.
Группированная выборка, гистограмма и кумулята.
18. Оценивание параметров распределения. Общие требования к оценкам. Метод
моментов.
19. Метод моментов. Несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.
20. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительный интервал для
математического ожидания нормально распределенной случайной величины при
известной дисперсии.
21. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительный интервал для
математического ожидания нормально распределенной случайной величины при
неизвестной дисперсии.
22. Доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения
нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.
23. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
24. Задача регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов и функции
регрессии.
25. Проверка статистических гипотез. Постановка задачи. Выбор критической области.
Ошибки 1 и 2 рода.
26. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально
распределенных случайных величин с известными дисперсиями.
27. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально
распределенных случайных величин с неизвестными одинаковыми дисперсиями.
28. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий Колмогорова.
29. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий Пирсона.
30. Корреляционные функции.
Список литературы
основная литература
1.
2.
3.
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.:
ЮНИТИ, 1998.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2002.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2002.
31
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Выск Н.Д., Селиванов Ю.В., Титаренко В.И. Вероятность и случайные величины.
Методические указания и варианты курсовых заданий по теории вероятностей. М.,
МАТИ, 2004.
Выск Н.Д., Селиванов Ю.В., Титаренко В.И. Вероятность и случайные величины.
Методические указания и варианты курсовых заданий по теории вероятностей. М.,
МАТИ, 2004.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М., Высшая школа, 2003.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М., Высшая школа, 2003.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа,
2004.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа,
2004.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Часть 2. М., Высшая школа, 1986.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Часть 2. М., Высшая школа, 1986.
Длин А.М. Математическая статистика в технике. М., Советская наука, 1949.
Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической
статистике. М., Изд. МГУ, 1967.
Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика.
М., Высшая школа, 1982.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2001.
Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. М., Изд. МГУ, 1963.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред.
А.В. Ефимова. М., Наука, 1984.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных функций. Под ред. А.А. Свешникова. М., Наука, 1970.
Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука,
1982.
Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории
вероятностей. М., Наука, 1980.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988.
Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа
экономики, 1995.
дополнительная литература
1. Длин А.М. Математическая статистика в технике. М., Советская наука, 1949.
2. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической
статистике. М., Изд. МГУ, 1967.
3. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика.
М., Высшая школа, 1982.
4. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. М., Изд. МГУ, 1963.
5. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред.
А.В. Ефимова. М., Наука, 1984.
6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории
случайных функций. Под ред. А.А. Свешникова. М., Наука, 1970.
7. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука,
1982.
8. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей.
М., Наука, 1980.
9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988.
32
33