УДК 681.3 ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРОИЗВОДСТВА Г.С.Володченко, проф.; А.И.Новгородцев, ст.преп.; А.Д.Полонский, доц. Интенсивное развитие различных отраслей народного хозяйства неразрывно связано с совершенствованием и созданием эффективных систем управления, позволяющих автоматизировать многие технологические процессы. При решении проблем автоматизации возникают разнообразные задачи математического моделирования, позволяющие получить адекватное отображение наиболее существенных сторон исследуемого технологического процесса производства с точностью, которая необходима для практических целей. Однако влияние различного рода внешних факторов и недостаточность априорной информации для определения физических закономерностей, лежащих в основе динамики исследуемого технологического процесса производства, требует решения задачи математического моделирования в классе нестационарных динамических систем. В настоящей работе предлагается метод математического моделирования нестационарных технологических процессов производства (НТПП) на основе теоретико-множественного подхода [1]. Предлагаемый метод математического моделирования базируется на представлении исследуемого НТПП в виде «набора» отдельных элементов множеств, взаимосвязанных между собой пропорциональными и интегральными отображениями, характеризующих как количественные, так и качественные показатели. Определение 1 Под пропорциональным отображением понимается такое отображение информации о состоянии НТПП, при котором происходят только количественные его изменения с соответствующими коэффициентами. Определение 2 Под интегральным отображением понимается такое отображение информации о состоянии НТПП, при котором происходят как количественные, так и качественные изменения его состояния под действием физических сил или работ, затраченных на выполнение той или иной технической операции. Рассмотрим класс НТПП, которые могут быть представлены в теоретико-множественной форме: множеством возможных состояний: M={m0,m1,m2,n0,n1,n2}; (1) множеством требований, предъявляемых к исследуемому НТПП: V0={V1,V2}; (2) множеством технологических операций, определяемых согласно методам математической физики, линейными операторами: Lm={fm1,fm2}; Lm={fn-1,fn2}; (3) множеством пропорциональных отображений элементов множеств состояния (1): A[am10(t)]: m1 m0; A[am20(t)]: m2 m0; A[an10(t)]: n1 n0; (4) B[bm10(t)]: V1 m0; B[bm20(t)]: m2 n0; B[bn10(t)]: V2 n0, где А и В - символы пропорциональных отображений элементов множеств в исходное состояние; aijk(t) и bijk(t)- весовые коэффициенты этих множеств, являющиеся функциями времени t; множествами интегральных отображений элементов множества исходного состояния (1): L[fm1]: L[fm2]: L[fn1]: L[fn2]: m0m1; m1m2; n0n1; n1n2. (5) Пользуясь множествами и их отображениями, можно построить направленный динамический граф (рис.1) в виде некоторой топологической фигуры, в которой вершины, несущие в себе всю информацию об исходном состоянии исследуемого НТПП, моделируются сумматорами. Рисунок 1 Рисунок 2 Учитывая то, что интегральные отображения (5) согласно определению 2 суть линейные операторы, обеспечивающие интегральный процесс перехода состояний исследуемого НТПП из одного в другое, дуги направленного динамического графа будем моделировать интеграторами. Согласно определению 1 дуги пропорциональных отображений (4) моделируются соответствующими коэффициентами. На рис.2 приведена структурная схема в переменных состояния, построенная на основе направленного дина-мического графа (рис. 1), которая по сути представляет собой математическую модель исследуемого НТПП в пространстве состояний. Тогда, обозначив m2 x m ( t ) ; n2 x2 ( t ) ; V1 Vm ( t ) ; V2 Vn ( t ) из схемы в переменных состояния, имеем m1 x m ( t ) ; m0 xm ( t ) n ( t ) ; n1 x n ( t ) ; n 2 xn ( t ) , следовательно, можно записать систему дифференциальных уравнений: (6) xm ( t ) am10 ( t ) x m ( t ) am20 ( t ) x m ( t ) bm10 ( t ) Vm ( t ) ; xn ( t ) an10 ( t ) x n ( t ) an 20 ( t ) x n ( t ) bm20 ( t ) x m ( t ) bn 20 ( t ) Vn ( t ) . Разрешив полученную систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших производных, введя новую переменную х(t) и обозначив x m ( t ) x 1( t ) ; xn ( t ) x3( t ) ; x m ( t ) x 2 ( t ) ; xn ( t ) x n ( t ) , тогда математическая модель исследуемого НТПП в форме Коши примет вид x1( t ) x 2 ( t ) ; x2 ( t ) am20 ( t ) x1( t ) am10 ( t ) x 2 ( t ) bm10 Vm ( t ) ; x 3 ( t ) x 4 ( t ) ; x 4 ( t ) bm20 ( t ) x1( t ) an 20 ( t ) x 3 ( t ) an10 ( t ) x 4 ( t ) bn 20 ( t ) Vn ( t ) . (7) Система дифференциальных уравнений (7) в векторно-матричной форме с учетом вектора измерений X ( t ) A( t ) X ( t ) B( t ) V0 ( t ) ; Z(t)=HX(t), (8) где X(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)] T- транспонированный вектор состояния исследуемого НТПП; 0 a ( t ) m 20 A( t ) 0 b m 20 ( t ) 1 am10 ( t ) 0 0 0 0 0 an 20 ( t ) 0 1 1 an 10 ( t ) нестационарная динамическая матрица; B(t)=[bm10(t),bn20(t)] T- нестационарный транспонированный вектор воздействия; V0(t)=diag[Vm(t),Vn(t)] - матрица воздействия на процесс; Z - вектор измерений; H=[hk] - матрица измерений k1, hk{0,1};k=1,4. Таким образом, математическая модель исследуемого НТПП (8) позволяет использовать известные методы анализа и синтеза динамических процессов [2,3] для построения систем оптимального контроля и управления нестационарными производственными процессами. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о возможности применения теоретико-множественного подхода к задачам математического моделирования, анализу и синтезу контроля и управления технологическими процессами производства с применением средств вычислительной техники. SUMMARY The mathematical model of non-stationary technological process is given for one class production. It is based on theoretical plural forms . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Оре О. Теория графов.- М.: Наука, 1980.- 190 с. 2. Пешель М. Моделирование сигналов и систем.- М.: Мир, 1981.- 300 с. 3. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. 4. Оптимальная оценка и управление.- М.: Мир, 1972.- 544 с. Поступила в редколлегию 19 ноября 1996 г.