ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
(АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ)
1. МАТРИЦЫ:
а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение
матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование), свойства операций.
б) Ранг матрицы и способы его нахождения.
в) Обратная матрица (определение, свойства, необходимое и достаточное условие существования, нахождение)
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: определение, свойства, вычисление. Доказать, что 1)
определитель не меняется при транспонировании матрицы; 2) общий
множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя;
3) определитель можно записать в виде суммы определителей, если его
столбец (строка) состоит из сумм элементов.
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ:
а) Определение линейного уравнения, определение решения системы линейных уравнений, количество решений системы линейных
уравнений, критерии совместности и определенности.
б) Способы решений (матричный метод, метод Крамера и Гаусса).
в) Системы линейных однородных уравнений (условие существование нетривиальных решений, свойства нетривиальных решений, фундаментальная система решений).
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА:
а) Определение вектора, его длины, нулевой вектор. Равные, коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, компланарные, ортогональные векторы.
б) Линейные операции на множестве векторов и их свойства.
в) Базис пространства V ( 2 ) и V (3) . Координаты вектора (определение и геометрический смысл координат вектора из V ( 2 ) и V (3) )
г) Простейшие задачи векторной алгебры.
д) Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
(определения, свойства).
5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА:
а) Определение, примеры. Подпространство линейного пространства и его критерий.
б) Понятие линейной зависимости и независимости, базис, размерность.
в) Координаты вектора, связь координат вектора в разных базисах.
1
6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ:
а) Определение, примеры.
б) Линейные операторы конечномерных пространств (матрица линейного оператора, связь координат вектора и его образа, изменение
матрицы линейного оператора при переходе к другому базису).
в) Собственные векторы и собственные значения (определение
собственного вектора, свойства, связь с решениями СЛОУ. Характеристическая матрица и характеристический многочлен, связь собственных
значений с действительными характеристическими корнями). Критерий
диагонализируемости линейного оператора.
7. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ:
а) Общее определение линии на плоскости. Общее уравнение прямой и его исследование.
б) Другие виды уравнений прямой на плоскости (в отрезках, с угловым коэффициентом, каноническое, параметрическое, нормальное).
в) Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.
Расстояние от точки до прямой.
г) Взаимное расположение прямых на плоскости (критерий параллельности и ортогональности, нахождение угла между пересекающимися прямыми).
8. ПЛОСКОСТЬ:
а) Общее определение поверхности. Общее уравнение плоскости и
его исследование.
б) Другие виды уравнений плоскости (в отрезках, через точку параллельно двум векторам, через три точки, нормальное).
в) Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.
Расстояние от точки до плоскости.
г) Взаимное расположение плоскостей (критерий параллельности
и ортогональности, угол между плоскостями).
9. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ:
а) Общее определение линии в пространстве. Общие уравнения
прямой, канонические уравнения, параметрические уравнения.
б) Взаимное расположение прямых в пространстве (критерий параллельности, пересечения, скрещивания. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, расстояние между скрещивающимися прямыми.)
в) плоскость и прямая в пространстве (условие параллельности
прямой и плоскости, условие принадлежности прямой плоскости, условие перпендикулярности прямой и плоскости, угол между прямой и
плоскостью).
2
10. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА, ОКРУЖНОСТЬ): определение, каноническое
уравнение и его исследование, построение. Полярные уравнения. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы. Общее определение
кривых второго порядка.
11. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА: канонические уравнения, исследование поверхности с помощью сечений, построение.
3
УПРАЖНЕНИЯ
(АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ)
1. Следом квадратной матрицы A (обозначают trA ) называют сумму ее
элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.
trA  a11  a22   ann .
Доказать, что tr ( AB)  tr ( BA) .
2. Как изменится определитель порядка n , если каждый его элемент
умножить на число  ?
3. Как изменится определитель, если каждый его элемент aij умножить
4.
5.
6.
7.
на i  j , где   0 .
Как изменится определитель порядка n если его строки переписать в
обратном порядке?
Элементы матрицы равны  1. Доказать, что ее определитель – число
четное.
Элементы матрицы третьего порядка равны  1. Может ли ее определитель быть равен 6?
Квадратная матрица A  ( aij ) называется кососимметрической, если
ее элементы удовлетворяют условию aij  a ji . Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.
8. Найти определитель порядка n , элементы которого заданы условиями: а) aij  min( i, j ) ; б) aij  max( i, j ) ; в) aij  i  j .
9. Решить уравнения:
1
1
1  1
1 x x2  xn
1 a1 a12  a1n
1 1 x
1  1
а) 1
1 2  x  1  0 ; б) 1 a2 a22  a2n  0 .
 
  
    
1
1
1  nx
1 an an2  ann
 3 1 1 4


10. Найти значения  , при которых матрица   4 10 1  имеет
1 7 17 3
 2 2 4 3


наименьший ранг. Чему равен ранг при этих значениях  и чему он
равен при других значениях  ?
 1  1 2 
11. Чему равен ранг матрицы  2  1  5  при различных значениях
 1 10  6 1 


?
12. Как изменится обратная матрица A 1 , если в матрице A переставить
i -ю и j -ю строки?
4
13. Как изменится обратная матрица A 1 , если в матрице A i -ю строку
умножить на число   0 ?
14. Выразите через определитель матрицы A определитель ее союзной
матрицы.
15. Найти обратные матрицы для следующих матриц:
 a1 0 0  0 
 0 0  0 a1 
 0 a 0  0 
 0 0  a 0 
2
2




а)  0 0 a3  0  ; б)        ;
     
 0 an 1  0 0 
 0 0 0  a 
a


 n 0  0 0 
n 
16. Пусть дана система линейных уравнений
 a11x1  a12 x 2    a1n x n  b1,
 a21x1  a22 x 2    a2 n x n  b2 ,
         

am1x1  am 2 x 2    amn x n  bm
и два решения этой системы 1 ,  2 ,  ,  n и 1 ,  2 ,  ,  n . Найти
систему линейных уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, как в данной системе и имеющую решением
а) сумму решений: 1  1 , 2   2 ,  ,  n   n ;
б) произведение первого решения на число  : 1 ,  2 ,  ,  n .
17. При каком условии линейная комбинация решений системы линейных
неоднородных уравнений снова будет решением этой системы?
18. Что можно сказать о системе m линейных неоднородных уравнений с
n неизвестными, если все столбцы ее расширенной матрицы кроме
первого пропорциональны? (совместна или нет? Если совместна, то
определена или неопределена; можно ли указать значение каких-либо
неизвестных?)
19. Составить однородное уравнение с тремя неизвестными, решениями
которого являются линейные комбинации решений (1; 1; 2 ) и (1; 2; 3) .
20. Найти систему линейных однородных уравнений, состоящую из а)
двух уравнений; для которой решения (1; 4;  2; 2;  1) , (3; 13;  1; 2; 1) ,
(2; 7;  8; 4;  5 ) являются фундаментальной системой решений.
21. Доказать, что
a1 a2 a3
b1 b2 b3  ( a12  a22  a32 )  ( b12  b22  b32 )  ( c12  c22  c32 )
c1 c2 c3
22. Даны ненулевой вектор a и скаляр p . Найти любое решение уравнения ( x , a )  p . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и
длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).
Ответ: x  pa / | a |2 .
5
23. Даны два вектора a и b . Представить вектор b в виде суммы двух
векторов x и y , так, чтобы вектор x был коллинеарен вектору a ,
а вектор y был ортогонален вектору a .
24. Даны два неколлинеарных вектора a и b . Найти вектор x , компланарный векторам a и b и удовлетворяющий условиям ( a, x )  1,
( b, x )  0 .
25. Даны неколлинеарные векторы a и b и скаляр p . Найти любое решение уравнения ( x , a, b)  p . (Подсказка: вектор характеризуется
направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то
одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).
Ответ: x  p[a, b] / | [a, b] |2 .
26. Векторы a , b и c удовлетворяют условию a  b  c  0 . Доказать,
что [a, b]  [b, c]  [c, a].
27. Доказать, что если три вектора a , b и c попарно неколлинеарные и
[a, b]  [b, c]  [c, a], то они удовлетворяют соотношению a  b  c  0 .
(Подсказка: покажите сначала, что векторы a , b и c компланарны).
28. Доказать, что если векторы [a, b] , [b, c] , [c, a] компланарны, то они
коллинеарны.
29. Могут ли отличные от нуля числа x 1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 , y 3 , z1 , z 2 . z3
удовлетворять системе уравнений
x 1x 2  y1 y 2  z1z2  0
x 1x 3  y1 y 3  z1z3  0

x 3 x 2  y 3 y 2  z3 z 2  0

 x 1 y1 z1
 x 2 y2 z2  0
 x 3 y 3 z3
30. Решить уравнение [b, c ]x  [c, a ]y  [a, b]z  d  0 .
Ответ: x  ( d, a ) /( a, b, c ) , y  ( d, b) /( a, b, c ) , z  ( d, c ) /( a, b, c ) .
31. Какие из следующих множеств образуют подпространства линейного
пространства ℝ n :
а) M 1  { (1,2 ,, n ) |1  2     n  0};
б) M 2  { (1,2 ,, n ) |1  2     n  1} ;
в) M 3  { (1,2 ,, n ) | n  0} ;
г) M 4  { (1,2 ,, n ) |1  1} ;
д) M 5  { (1,2 ,, n ) |1   n };
е) M 6  { (1,2 ,, n ) |1   n  0} ;
ж) M 7  { (1,2 ,, n ) |1   n  0};
6
з) M 8  { (1,2 ,, n ) |1  2     n  0}
и) M 9  { (1,2 ,, n ) |2   4   6    0};
к) M 10  { (1,2 ,, n ) |1  2     n } ;
л) M 11  { (1,2 ,, n ) |2   4   6  };
м) M 12  { (1,2 ,, n ) | i ℤ, i } .
32. Какие из следующих множеств образуют подпространство линейного
пространства V ( 3 ) :
а) множество свободных векторов пространства, координаты которых в
декартовом базисе – целые числа;
б) множество свободных векторов пространства, параллельных Ox ;
в) множество радиус-векторов, концы которых лежат на фиксированной прямой;
г) множество радиус-векторов, концы которых лежат в первой и третьей четверти;
д) множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором
угол  .
33. В линейном пространстве ℝ n [x ] рассматриваются множества многочленов, удовлетворяющих условиям:
а) f ( 0)  0 ; б) f (1)  0 ;
в) f ( 0)  f (1)  0 .
Докажите, что каждое из этих подмножеств является подпространством
линейного пространства ℝ n [x ] и найдите его размерность.
34. Докажите, что пересечение двух подпространств линейного пространства снова является подпространством этого пространства.
35. Пусть L 1 и L 2 – подпространства линейного пространства L . Суммой подпространств L 1 и L 2 (обозначают L 1  L 2 ) называется подмножество L , элементы которого могут быть записаны в виде x1  x 2 ,
где x1  L 1 , x 2  L 2 . Доказать, что L 1  L 2 тоже является подпространством линейного пространства L .
36. Доказать, что если а) некоторая подсистема данной системы векторов
линейно зависима, то и сама система линейно зависима; б) если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно
независима.
37. Пусть x , y , z – линейно независимая система векторов. Будет ли линейно независимой система векторов x  y , y  z , z  x ?
38. Пусть x , y , z – линейно независимая система векторов. Доказать, что
векторы x , x  y , x  y  z также линейно независимы.
39. Доказать, что если векторы x , y и z линейного пространства над ℝ
линейно независимы, то векторы x  y , x  z , y  z тоже линейно независимы.
7
40. Какому условию должно удовлетворять число  , чтобы векторы
a 1  ( ,1,0 ) , a 2  (1, ,1) , a 3  ( 0,1, ) пространства ℝ3 были линейно
зависимыми?
Ответ:  3  2  0 .
41. Какому условию должны удовлетворять числа  ,  ,  , чтобы векторы a1  (1, , 2 ) , a 2  (1,  ,  2 ) , a 3  (1, , 2 ) пространства ℝ3 были
линейно зависимыми?
Ответ: хотя бы два из трех чисел  ,  ,  должны быть равны.
42. Векторы a 1 , a 2 , a 3 – линейно зависимы и вектор a 3 не является линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 . Доказать, что векторы a 1 и
a 2 различаются лишь числовым множителем.
43. Доказать, что линейный оператор пространства L всегда переводит
линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую.
44. Докажите, что если x и y – собственные векторы линейного оператора
 , относящиеся к разным собственным значениям, то вектор  x   y
(   0 ,   0 ) не является собственным вектором оператора  .
45. Пусть  – оператор, действующий из L в V . Ядром оператора 
называется множество Ker   {x  L | x  o}. Доказать, что ядро оператора является подпространством линейного пространства L .Найти
ядро оператора дифференцирования в пространстве многочленов.
46. Доказать, что если  – линейный оператор, то  o  o .
47. Даны две прямые A1x  B1 y  C1  0 , A2 x  B2 y  C 2  0 . С помощью
 A B1 
A B C 
рангов r и R матриц  1
 и  1 1 1  выразить усло A2 B2 C 2 
 A 2 B2 
вия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали.
48. Даны две плоскости A1x  B1 y  C1z  D1  0 , A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 .
С помощью рангов r и R матриц
 A1 B 1 C 1 
 A B C D1 

 и  1 1 1

 A2 B2 C 2 D2 
 A 2 B2 C 2 
выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) совпадали.
 A 1x  B1 y  C1z  D 1  0
49. Дана
прямая
и
плоскость
A x  B y  C z  D  0
2
2
2
 2
A3 x  B3 y  C 3 z  D3
 A1

 A2
A
 3
 0 . С помощью рангов r
B1 C 1 
 A1 B 1 C 1


B2 C 2  и  A2 B2 C 2
A B C
B3 C 3 
 3 3 3
8
и R матриц
D1 

D2 
D3 
выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая:
1) пересекалась с плоскостью; 2) была параллельна плоскости; 3) лежала в плоскости.
50. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три пряA2 x  B2 y  C 2  0 ,
A3 x  B3 y  C 3  0
A1x  B1 y  C1  0 ,
мые
а) имели единственную общую точку; б) образовывали треугольник.
51. Даны три плоскости A1x  B1 y  C1z  D1  0 , A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 ,
A3 x  B3 y  C 3 z  D3  0 . С помощью рангов r и R матриц
 A1 B 1 C 1 
 A1 B 1 C 1 D1 




 A 2 B2 C 2  и  A2 B2 C 2 D2 
A B C 
A B C D 
3
 3
 3 3 3
3
3
выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
1) три плоскости имели одну общую точку;
2) три плоскости были различны и пересекались по одной прямой;
3) две плоскости параллельны, а третья их пересекает;
4) три плоскости параллельны;
5) две плоскости совпадают, а третья их пересекает;
6) две плоскости совпадают, а третья – им параллельна;
7) три плоскости совпадали.
52. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка
M 0 ( x 0 , y0 )
лежала между двумя параллельными прямыми
Ax  By  C1  0 и Ax  By  C 2  0 .
53. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка
M 0 ( x 0 , y0 , z0 )
лежала между двумя параллельными плоскостями
Ax  By  Cz  D1  0 и Ax  By  Cz  D2  0 .
54. Даны три параллельные прямые: Ax  By  C1  0 , Ax  By  C 2  0 ,
Ax  By  C 3  0 . Найдите условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы вторая прямая лежала в полосе, образованной первой и
третьей прямыми.
Ax  By  Cz  D1  0 ,
55. Даны
три
параллельные
плоскости:
Ax  By  Cz  D2  0 , Ax  By  Cz  D3  0 . Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы вторая плоскость лежала в полосе, образованной первой и третьей плоскостями.
56. Найти расстояние d между двумя параллельными прямыми
Ax  By  C1  0 и Ax  By  C 2  0 .
57. Найти расстояние d между двумя параллельными плоскостями
Ax  By  Cz  D1  0 и Ax  By  Cz  D2  0 .
58. Записать уравнения прямых, параллельных прямой Ax  By  C  0 и
отстоящих от нее на расстоянии d .
9
59. Записать
уравнения
плоскостей,
параллельных
плоскости
Ax  By  Cz  D  0 и отстоящих от нее на расстоянии d .
Ax 0  By 0  C
60. Получить формулу d 
для нахождения расстояния от
A2  B 2
точки M 0 ( x 0 , y 0 ) до прямой Ax  By  C  0 не используя нормального уравнения прямой.
Ax 0  By 0  Cz 0  D
61. Получить формулу d 
для нахождения рассто2
2
2
A  B C
яния от точки M 0 ( x 0 , y 0 , z0 ) до плоскости Ax  By  Cz  D  0 не
используя нормального уравнения плоскости.
62. Запишите векторное уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 с радиус-вектором r0 параллельно неколлинеарным векторам 1
и 2 (не используя смешанное произведение векторов).
63. Запишите векторное уравнение прямой в пространстве, проходящей
через точку M 0 с радиус-вектором r0 перпендикулярно двум неколлинеарным векторам a и b .
64. Доказать, что произведение расстояний от любой дочки гиперболы до
ее асимптот есть величина постоянная.
x 2 y2
65. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы

 1 до ее
a2 b2
асимптоты равно b .
66. Доказать, что если две гиперболы имеют общие асимптоты и лежат в
одной и той же паре вертикальных углов, образованных их асимптотами, то их эксцентриситеты равны между собой.
67. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус эллипса (гиперболы, параболы) делит проходящую через него хорду, есть
величина постоянная (Указание: использовать полярное уравнение
кривой).
68. Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до касательной, проведенной к эллипсу в любой точке M 0 , равно квадрату
малой полуоси.
69. Записать уравнение сферы с центром в точке M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и радиуса
R в векторной форме.
70. Если
M – отличная от начала координат точка на конусе
x 2 y2 z2

  0 , то все точки прямой OM также лежат на конусе.
a2 b2 c2
71. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, используя методы векторной алгебры.
10