Вопросы для подготовки к экзамену по алгебре и геометрии (I семестр, АС, ПИ) 1. Геометрические векторы, линейные операции над векторами. Линейное пространство. 2. Линейные комбинации и линейная независимость векторов. Базис и размерность пространства. 3. Проекция вектора на ось и ее свойства. 4. Скалярное произведение векторов. 5. Определители 2-го и 3-го порядков и их связь с системами уравнений. Формулы Крамера. 6. Все свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Практическое вычисление определителей. 7. Векторное произведение векторов. Двойное векторное произведение. 8. Смешанное произведение векторов. 9. Вычисление длин, площадей и объемов. 10. Деление отрезка в данном отношении. 11. Полярная система координат. Параллельный перенос и поворот осей координат. Формулы перехода. 12. Прямая на плоскости. Свойства, виды уравнений, расстояние от точки до прямой. 13. Прямая в пространстве. Свойства, виды уравнений. 14. Плоскость. Свойства, виды уравнений, расстояние от точки до плоскости. 15. Вычисление углов, условия параллельности и ортогональности на плоскости и в пространстве. 16. Пучки прямых и плоскостей. Связка плоскостей. 17. Задачи на прямую и плоскость (приведение общих уравнений к нормальному виду, проведение плоскости через точку и прямую, через 3 точки, расстояние между скрещивающимися прямыми, проведение биссектрисы и биссектральной плоскости и т.д.) 18. Кривые второго порядка. Классификация. 19. Эллипс. 20. Гипербола. 21. Парабола. 22. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду. 23. Метод Гаусса решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. 24. Матрицы. Линейные операции над матрицами, ранг матрицы. 25. Умножение матриц, обратная матрица. Решение систем уравнений и матричных уравнений с помощью обратной матрицы. 26. Решение общих систем линейных алгебраических уравнений AX=B. 27. Решение однородных систем AX=0. 28. Произвольный, ортогональный и ортонормированный базисы. . Изменение координат вектора при переходе к другому базису. Ортогонализация произвольного базиса. 29. Линейные, билинейные и квадратичные формы. 30. Знакоопределенность квадратичных форм, закон инерции. 31. Критерий Сильвестра. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к диагональному виду. 32. Задание квадратичной формы с помощью симметрической матрицы. 33. Приведение квадратичной формы к каноническому виду линейным 34. ортогональным преобразованием переменных. 35. Комплексные числа. Различные формы записи, геометрическая интерпретация. Основные операции над комплексными числами. 36. Извлечение корней из комплексных чисел, логарифмическая и степенная функции. 37. Понятие линейного оператора. 38. Матрица линейного оператора. Невырожденное линейное преобразование. Запись матрицы линейного оператора в другом базисе. 39. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. 40. Определение ортонормированного собственного базиса. 41. Графики основных элементарных функций. 42. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие. Вопросы для подготовки к экзамену по математическому анализу 1. Множество действительных чисел и его свойства. Точные грани числовых множеств. 2. Числовая последовательность (ЧП), предел ЧП и функции. БМФ и ББФ. 3. Сравнение БМФ и ББФ, 3 теоремы об эквивалентных функциях. 4. 5 замечательных пределов. 5. Непрерывность функции в точке и на множестве. Алгебраические свойства непрерывных функций. 6. Решение уравнения f(x)=0 методами деления отрезка, хорд, касательных, комбинированным методом. 7. Задачи, приводящие к производной, определение производной. 8. Таблица производных. 9. Правила дифференцирования. 10. Основные теоремы дифференциального исчисления (лемма, Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). 11. Правило Лопиталя. 12. Дифференциал и дифференцируемость функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 14. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена, область справедливости формул. Погрешность формул Тейлора и Макорена. 15. Уравнения касательной и нормали. 16. Исследование функций на монотонность. 17. Исследование функций на локальный ext. 18. Исследование функций на выпуклость. 19. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. 20. Общая схема исследования функции, пример. 21. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 22. Конечные разности. Запись и вычисление. 23. Интерполяционные многочлены Ньютона. 24. Принципы построения интерполяционных многочленов. Кубические сплайны. 25. Трех (четырех, пяти) точечные формулы численного дифференцирования. 26. Погрешность формул численного дифференцирования. 27. Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Непрерывность и дифференцирование ВФСА. 28. Кривизна. Радиус и центр кривизны. Эволюта и эвольвента. Вычисление радиуса и координат центра кривизны в R3 и R2. Трехгранник Френе. Если по самостоятельным работам балл не менее 80% от max, то соответствующие примеры можно не решать. Время на экзамен 2 часа.