Диф ур-я

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ Д.У.
n -ГО ПОРЯДКА.
ЛИНЕЙНЫЙ ДИФ-ЫЙ ОПЕРАТОР.
ОПР.1 .ЛИНЕЙНЫМ Д.У. n -ГО ПОРЯДКА
НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕ ВИДА
y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  p2 ( x) y ( n2)    pn1 ( x) y /  pn ( x) y  g ( x)
(1)
ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И САМА ФУНК-ИЯ y ВХОДЯТ В
УРАВНЕНИЕ В ПЕРВЫХ СТЕПЕНЯХ.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
pi (x)
-
ЕСЛИ g ( x)  0 , ТО УРАВНЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ
ОДНОРОДНЫМ.
(1)-НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ Д.У.
n -ГО ПОРЯДКА.
ЗАПИШЕМ ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  p2 ( x) y ( n2)    pn1 ( x) y /  pn ( x) y  0
(2)
И ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЕ
dn
d ( n 1)
 p1 ( x) ( n 1)    pn ( x)  L
n
dx
dx
(3)
L - ЛИНЕЙНЫМ ДИФ-ЫМ ОПЕРАТОРОМ,
ДЕЙСТВУЮЩИМ НА ФУНКЦИЮ y (x ) .
И НАЗОВЕМ
С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРА ЛИНЕЙНОЕ Д.У. (1)


ЗАПИШЕМ В ВИДЕ L y  g (x) - ЛИНЕЙНОЕ
НЕОДНОРОДНОЕ Д.УРАВНЕНИЕ n - ГО ПОРЯДКА.
А (2) ЗАПИШЕТСЯ В ВИДЕ
L y   0
(2/)


ЛИНЕЙНЫЙ Д. ОПЕРАТОР КАЖДОЙ Ф-ИИ L y
СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ НЕКОТОРУЮ ДРУГУЮ
ФУНКЦИЮ.
НАПОМНИМ СЛЕДУЮЩЕЕ ПОНЯТИЕ.
ГОВОРЯТ, ЧТО НА МНОЖЕСТВЕ E ЗАДАН
ОПЕРАТОР A СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МНОЖЕСТВЕ
F,
ЕСЛИ КАЖДОМУ ЭЛЕМЕНТУ y  E ПО НЕКОТОРОМУ
ЗАКОНУ ПОСТАВЛЕН В СООТВЕТСТВИЕ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ
МНОЖЕСТВО
E
f  Ay  F .
НАЗЫВАЮТ ОБЛАСТЬЮ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА
A.
ПУСТЬ E - ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОПЕРАТОР
A,
ЗАДАННЫЙ НА E НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ, ЕСЛИ
ОН АДДИТИВЕН И ОДНОРОДЕН, Т.Е.
1)
A( y1  y2 )  Ay1  Ay2 , y1, y2  E ,
2)
A( y )   Ay, y  E ,  ,   ЧИСЛО.
ПРИМЕР.
L  y   y //  xy/ ,
y  sin x
L  sin x    sin x  x cos x .
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО УР-НИЯ
ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ
ТО
y( x)  y1  y2
y1 ( x), y2 ( x)
РЕШЕНИЯ (2),
- ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2).
ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО
dk
(k )
(k )
y


y

y
1
2 .
dx k
ТОГДА
L[ y ]  L[ y1 ]  L[ y2 ]  0.
y (x) РЕШЕНИЕ (2), ТО
c  y (x) , ГДЕ c  const - ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ.
ТЕОРЕМА 2.
ДОК-ВО:
ЕСЛИ
ЗАМЕТИМ, ЧТО
dk
pk ( x) k c  y ( x)   c  pk y ( k ) ( x),
dx
ТОГДА
L y   0
ЭТИ ДВА СВОЙСТВА И ЕСТЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОСТИ.
В ИТОГЕ, ЕСЛИ
y1 , y2 , y3 ,, yl
РЕШЕНИЯ (2), ТО
l
 c y ( x) 
i 1
i
i
ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2):
Lc1 y1  c2 y2    cl yl
  c1Ly1     cl Lyl   0

.

ТЕОРЕМА 3. ЕСЛИ Л.О.Д.У. L y  0
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
pi ( x) , i  1, 2, 3,, n
ИМЕЕТ КОМПЛЕКСНОЕ РЕШЕНИЕ
y ( x)  u ( x)  i v( x) ,
ТО ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ЭТОГО РЕШЕНИЯ
u (x)
И ЕГО МНИМАЯ ЧАСТЬ v (x ) В ОТДЕЛЬНОСТИ
ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ТОГО ЖЕ ОДНОРОДНОГО
УРАВНЕНИЯ.
ДОК-ВО: L[U  iV ]  L[U ]  iL[V ]  0  L[U ]  0, L[V ]  0.


ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ Л.Д.У. L y  0 ИМЕЕТ
РЕШЕНИЕМ КОМПЛЕКСНУЮ ФУНКЦИЮ
y ( x)  u  i v , ТО КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННАЯ
ФУНКЦИЯ
y * ( x)  u  i v
Т.Е. ЕСЛИ
u iv
L  y*
 0.
ТОЖЕ РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ, ТО АВТОМАТИЧЕСКИ
ЗНАЕМ ЕЩЕ ОДНО РЕШЕНИЕ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ РЕШЕНИЯ
u iv
uИ v
ИЛИ ДВА
.
§ 4. ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО
НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
ОПР. 1. БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО Ф-ИИ
y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x)
ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ
( a, b) , ЕСЛИ СУЩЕСТВУЮТ ПОСТОЯННЫЕ
1,  2 ,3 ,, n - ТАКИЕ, ЧТО НА ЭТОМ
ИНТЕРВАЛЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ТОЖДЕСТВО ПО
1 у1   2 у2  3 у3    уn n  0 ,
ПРИЧЕМ ХОТЯБЫ ОДНО ИЗ ЧИСЕЛ
НУЛЯ.
i
х
(*)
ОТЛИЧНО ОТ
1  0 , ТО
2
3
n
y1  
y2 
y3 ( х)   
yn ( x),
1
1
1
НАПРИМЕР, ЕСЛИ
Т.Е. ОДНА ФУНКЦИЯ ВЫРАЖАЕТСЯ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ.
ОПР.2. ЕСЛИ ТОЖДЕСТВО (*) ВЫПОЛНЯЕТСЯ НА
( a, b)
ЛИШЬ КОГДА ВСЕ
СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ
i  0 ,
ТОГДА
y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x)
НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМОЙ НА
( a, b) .
ДЛЯ ДВУХ Ф-ИЙ ЛИН. ЗАВИСИМОСТЬ ОЗНАЧАЕТ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
y1 ( х)   y2 ( х) .
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ
ИССЛЕДУЕТСЯ НА ЛИНЕЙНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ С
ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВРОНСКОГО.
( Ю. ВРОНСКИЙ - 1778-1853 -ПОЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК
И ФИЛОСОФ)
ОПР.З. ПУСТЬ ИМЕЕМ СИСТЕМУ Ф-ИЙ

y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x)
ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ
МАТРИЦУ
( a, b)

ПОСТРОИМ
n n
 y1 y2  yn 
 /

/
/
 y1 y2  yn 
W ( x)  W ( y1 , y2 , y3 ,  , yn )  
 (1)


 y ( n1) y ( n1)  y ( n1) 
2
n
 1

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ЭТОЙ МАТРИЦЫ НАЗЫВАЕТСЯ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ ВРОНСКОГО ДЛЯ
y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x) .
ТЕОРЕМА 1 .(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ
ЗАВИСИМОСТИ Ф-ИЙ)
ЕСЛИ Ф-ИИ
y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x) ,
ИМЕЮЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДО ПОЯДКА n  1 ВКЛЮЧИТЕЛЬНО, ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА
ИНТЕРВАЛЕ ( a, b) , ТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
y2 ( х)  yn ( х) 
 y1 ( х)
 /

/
/
y2 ( х)  yn ( х) 
 y1 ( х)
W ( x)  
 (2)
 
 y ( n1) ( х) y ( n1) ( х)  y ( n1) ( х) 
2
n
 1

СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x) ,
ТОЖДЕСТВЕННО РАВЕН НУЛЮ:
W ( x)  0
НА
( a, b) .
ДОК-ВО:
ПРИМЕРЫ. 1. ДАНА СИСТЕМА ФУНКЦИЙ: 1,x,x2,…,xn-1.
ДОКАЗАТЬ, ЧТО ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНО-НЕЗАВИСИМЫ.
2. ДАНА СИСТЕМА ФУНКЦИЙ: 1, sin2x, cos2x
ДОКАЗАТЬ, ЧТО ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНО-ЗАВИСИМЫ.
3. ДАНА СИСТЕМА ФУНКЦИЙ: 1, ex, e2x,…,e(n-1)x.
ДОКАЗАТЬ, ЧТО ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНО-НЕЗАВИСИМЫ.
§ 5. СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО
ОДНОРОДНОГО ДИФ-ГО УРАВНЕНИЯ n -ГО
ПОРЯДКА.
ПУСТЬ ДАНО Л.О.Д.У.
L  y   0 . (1)
ОПР.1. СОВОКУПНОСТЬ
n ЛИНЕЙНО-НЕЗАВИСИМЫХ
ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ y1 ( х), y2 ( х), y3 ( х),, yn ( x)
УРАВНЕНИЯ (1) НАЗЫВАЕТСЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ РЕШЕНИЙ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ.
ТЕОРЕМА 1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (1) –ЕСТЬ
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ n ЛИНЕЙНОНЕЗАВИСИМЫХ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ЭТОГО
n
УРАВНЕНИЯ: y00   ci yi ( x)  c1 y1    cn yn (2) , ГДЕ ci
i 1
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ.
Д-ВО: