163 Раздел 7 Линейное пространство Раздел 7 ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО §7.1. Определение линейного пространства Определение 7.1.1. Множество состоящее из элементов x, y, z , , для которых определена операция сравнения 1) , называется линейным пространством, если 1. Каждой паре элементов x, y этого множества поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый их суммой и обозначаемый x y , таким образом, что выполнены аксиомы а) x y y x ; б) x ( y z ) ( x y ) z ; в) существует нулевой элемент o такой, что для любого x имеет место x o x ; г) для каждого x существует противоположный элемент ( x ) такой, что x ( x ) o . 2. Для любого элемента x и любого числа существует такой принадлежащий элемент, обозначаемый x и называемый произведением числа на элемент, что выполнены аксиомы а) 1x x ; б) ( ) x ( x) . 3. Для операций сложения элементов и умножения элемента на число выполнены аксиомы дистрибутивности а) ( ) x x x ; б) ( x y ) x y ; x, y ; и для любых чисел , . Замечания: 1. Под “числами” в аксиомах второй и третьей групп подразумеваются действительные или комплексные числа; ) То есть имеется возможность устанавливать факт «равенства 1 x и y » ( x y ) для любых двух элементов x, y . x и y » ( x y ) или «неравенства 164 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. 2. Пример 7.1.1. Первая группа аксиом равносильна требованию, чтобы являлось абелевой группой относительно операции сложения (см. §5.6.) Линейным пространством является 1) : 1. Множество всех векторов на плоскости; 2. Множество всех векторов в пространстве; 3. Множество всех n-компонентных столбцов; 4. Множество всех многочленов степени не выше, чем n; 5. Множество всех матриц размера m n ; 6. C[a,b] - множество всех функций, непрерывных на [a,b]; 7. Множество всех решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными. Задача 7.1.1. Показать, что в общем случае множество радиус-векторов точек, принад- Задача 7.1.2. Показать, что множество, состоящее из одного нулевого элемента, является линейным пространством. Задача 7.1.3. Будет ли линейным пространством множество всех положительных чисел? Решение: Ответ зависит от способа введения операций сложения и умножения на число элементов рассматриваемого множества. лежащих плоскости ( n , r ) , не является линейным пространством. Выяснить, при каких значениях параметра данное множество будет линейным пространством. 1. Пусть операции вводятся “естественным” образом. В этом случае множество положительных чисел не образует линейного пространства, поскольку в нем отсутствует нулевой элемент. 2. Если операцию “сложения” определить как обычное произведение двух чисел, а “умножение на число ” определить как возведение положительного числа в степень , то множество положительных чисел будет являться линейным пространством, в котором роль нулевого элемента играет число “1”. ) Предполагается, что операции сложения и умножения на число выполняются в соответствии с ранее данными определениями. 1 165 Раздел 7 Линейное пространство Теорема 7.1.1. Линейное пространство имеет единственный нулевой элемент. Доказательство: Пусть существуют два различных нулевых элемента o1 и o2 . Тогда, согласно аксиоме 1(в) из определения 7.1.1. линейного пространства, будут справедливы равенства o1 o2 o1 и o2 o1 o2 . Откуда, в силу коммутативности операции сложения, получаем o1 o2 . Теорема доказана. Теорема 7.1.2. Для каждого элемента x линейного пространства имеет место равенство 0x o . Доказательство: Из аксиоматики линейного пространства имеем x = 1x = (0 + 1) x = 0x + 1x = 0x + x . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент y, противоположный элементу x, получаем, что 0x o . Теорема доказана. Теорема 7.1.3. Для каждого элемента линейного пространства существует единственный противоположный элемент. Доказательство: Пусть для элемента x существуют два различных противоположных элемента y1 и y 2 . Тогда, согласно аксиоме 1(г) линейного пространства, будут справедливы равенства x y1 o и x y 2 o . Прибавим к обеим частям первого равенства элемент y 2 , получим y 2 ( x y1 ) y 2 в силу ассоциативности операции сложения и второго равенства. Но, с другой стороны, y 2 ( x y1 ) ( y 2 x ) y1 o y1 y1 . То есть y 2 y1 . Теорема доказана. 166 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. Для каждого x противоположным элементом служит элемент ( 1) x . Теорема 7.1.4. Доказательство: Из аксиоматики линейного пространства и теоремы 7.1.2. имеем o = 0 x = (1-1) x = 1x + (-1) x = x + (-1) x . Это равенство и означает, что противоположный к x элемент имеет вид ( 1) x . Теорема доказана. §7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве Определение 7.2.1. n 1. Выражение i xi называется линейной комбинацией элементов i 1 x1, x2 ,..., xn линейного пространства . 2. Элементы x1 , x 2 , ... , x n линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа 1 , 2 ,..., n , не равные нулю одn новременно, такие, что i xi o . i 1 3. Элементы x1 , x 2 , ... , x n линейного пространства называются линейно n независимыми, если 1 2 ... n 0 . Лемма 7.2.1. из равенства i xi o следует, что i 1 Для того чтобы некоторое множество элементов линейного пространства было линейно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных. Доказательство: Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1., в котором слово “вектор” заменено словом “элемент”. 167 Раздел 7 Линейное пространство Если некоторое подмножество элементов x1 , x 2 , ... , x n линейно зависимо, то линейно зависимы и сами элементы x1 , x 2 , ... , x n . Лемма 7.2.2. Доказательство: Без ограничения общности можно предположить, что линейно зависимое подмножество состоит их первых k n элементов множества x1 , x 2 , ... , x n . Тогда существуют не равные нулю одновременно числа 1 , 2 ,..., k такие, что соотношения вытекает равенство k n i 1 i k 1 k i xi o . Но из этого i 1 i xi 0xi o , которое означает линейную зависимость элементов x1 , x 2 , ... , x n . Лемма доказана. Определение 7.2.2. Базисом в линейном пространстве называется любой упорядоченный набор его n элементов, если 1. 2. эти элементы линейно независимые; любое подмножество в , состоящее из n+1 элемента и включающее эти n элементов, линейно зависимо. Определение 7.2.3. Линейное пространство называется n-мерным и обозначается n , если в нем существует базис, состоящий из n элементов. Число n называется размерностью линейного пространства n и обозначается dim( n ) . Теорема 7.2.1. Для каждого элемента линейного пространства n существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов. Доказательство: Пусть в линейном пространстве n заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и произвольный элемент x. Тогда, по определению базиса, система элементов {g1 , g 2 ,..., g n , x} линейно зависима и по лемме 7.2.1. элемент x является линейной комбинацией элементов g1 , g 2 ,..., g n . Существование разложения доказано. Покажем единственность разложения. Допустим, что существуют две различные лиn n нейные комбинации x i gi i 1 и x i gi . Тогда получаем, что i 1 n (i i ) gi o , но это означает, что при данном допущении система элементов i 1 g1 , g 2 ,..., g n линейно зависима. Полученное противоречие доказывает единственность. Теорема доказана. 168 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. Линейное пространство Размерность Пример базиса Множество всех радиусвекторов на плоскости 2 Упорядоченная пара неколлинеарных векторов на плоскости. Множество всех векторов в пространстве 3 Упорядоченная тройка нормированных, попарно ортогональных векторов. Множество всех nкомпонентных столбцов Множество всех многочленов степени не выше, чем n n n+1 n cтолбцов вида 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ; ... 0 0 ; ... 0 1 ; ... ... 0 0 . ... 1 n+1 одночлен вида P1 ( ) 1 ; ... ; P2 ( ) ; P3 ( ) 2 ; Pn ( ) n 1 ; P4 ( ) 3 ; Pn 1 ( ) n . Множество всех матриц размера m n nm nm всевозможных различных матриц размера m n , все элементы которых равны нулю, кроме одного, равного 1. Множество всех функций, непрерывных на [a,b] Базис не существует 1). Множество решений однородной системы m уравнений с n неизвестными и рангом r. n-r Нормальная фундаментальная система решений. Таблица 7.2.1. В таблице 7.2.1. приведены примеры выбора базиса в линейном пространстве. 1 ) То есть для любого натурального n в данном линейном пространстве найдется n+1 линейно независимый элемент, например, система функций вида {1, cos , cos 2 , cos 3 ,..., cos n } . 169 Раздел 7 Линейное пространство §7.3. Подмножества линейного пространства Подпространство Определение 7.3.1. Непустое множество , образованное из элементов линейного пространства , называется подпространством этого линейного пространства, если для любых x, y и любого числа : 1. x y 2. x . Замечание: из определения 7.3.1. следует, что множество само является линейным пространством, поскольку для него очевидно выполняются все аксиомы операций в линейном пространстве. Пример 7.3.1. 1. Множество радиус-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей через начало координат, является подпространством во множестве радиус-векторов всех точек трехмерного геометрического пространства. 2. Множество всех многочленов, степени не выше, чем n, есть подпространство в линейном пространстве непрерывных функций C[ , ] . 3. В пространстве n-мерных столбцов совокупность решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с основной матрицей ранга r , образует подпространство размерности n r . 4. Подпространством любого линейного пространства будет: а) само линейное пространство; б) множество, состоящее из одного нулевого элемента. Определение 7.3.2. Пусть даны два подпространства 1 и 2 линейного пространства . 1. Объединением подпространств 1 и 2 называется множество элементов x , что x 1 либо x 2 . Объединение подпространств 1 и 2 обозначается 1 2 . 2. Пересечением подпространств 1 и 2 называется множество элементов x , принадлежащих 1 и 2 одновременно. Пересечение подпространств 1 и 2 обозначается 1 2 . 170 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. 3. Суммой подпространств 1 и 2 называется совокупность всех элементов x1 x2 , при условии, что x1 1 и x2 2 . Сумма подпространств 1 и 2 обозначается 1 2 4. Прямой суммой подпространств 1 и 2 называется совокупность всех элементов x1 x2 , при условии, что x1 1 и x2 2 и 1 2 {o}. Прямая сумма обозначается 1 2 . Докажите самостоятельно, что справедлива Теорема 7.3.1. Как сумма, так и пересечение подпространств 1 и 2 в суть также подпространства в . Теорема 7.3.2. Размерность суммы подпространств 1 и 2 равна dim( 1 2 ) dim( 1 ) dim( 2 ) dim( 1 2 ) Доказательство: 1. Пусть подпространство 1 2 имеет базис {g1, g 2 ,..., g k } и, соответственно, размерность k. Дополним этот базис элементами {g1 , g 2 ,..., g l } до базиса в 1 и элементами {g1, g 2 ,..., g m } до базиса в 2 . В этом случае каждый элемент x 1 2 может быть разложен по системе элементов {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m }. 2. Покажем теперь, что набор элементов {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } линейно независим в . Рассмотрим некоторую, равную нулевому элементу, линейную комбинацию этих элементов l k m i 1 j 1 p 1 ig i j g j p g p o . x Заметим, что по построению ~ (7.3.1.) m p g p 2 , но, с другой стороны, этот же элеp 1 x мент ~ m l k p 1 i 1 j 1 p g p ( ig i j g j ) 1 . x 1 2 и, следовательно, в равенстве (7.3.1.) все Это означает, что ~ i 0 , i [1, l ] ; p 0 , p [1, m] . А поскольку {g1, g 2 ,..., g k } - базис, то и все j 0 , j [1, k ] и линейная комбинация, стоящая в левой части равенства (7.3.1.), тривиальная. Следовательно, {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } - линейно независимая система элементов. 171 Раздел 7 Линейное пространство 3. Из пункта 2 следует, что {g1, g 2 ,..., g k , g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2 ,..., g m } является базисом в 1 2 . Размерность подпространства 1 2 при этом равна dim( 1 2 ) l k m (k l ) (k m) k dim( 1 ) dim( 2 ) dim( 1 2 ). Теорема доказана. В случае прямой суммы подпространств dim( 1 2 ) dim( 1 ) dim( 2 ) и каждый элемент x (1 2 ) представим в виде x1 x2 так, что x1 1 и единственным образом, поскольку набор элементов x2 2 , {g1 , g 2 ,..., g l , g1, g 2,..., g m } является базисом в 1 2 . Следствие 7.3.1. Линейная оболочка системы элементов Определение 7.3.3. Совокупность всевозможных линейных комбинаций некоторого множества элементов {x1, x2 ,..., xk } линейного пространства , называется линейной оболочкой этого множества и обозначается L{x1, x2 ,..., xk } . Пример 7.3.2. Множество многочленов степени не выше, чем n, является линейной оболочкой набора одночленов {1, , 2 ,..., n} в линейном пространстве непрерывных функций C[ , ] . Пусть задан набор элементов {x1, x2 ,..., xk } , порождающих линейную оболочку k L{x1, x2 ,..., xk } . Тогда любой элемент этой линейной оболочки имеет вид x i x i и спраi 1 ведлива Множество всех элементов, принадлежащих линейной оболочке L{x1, x2 ,..., xk } , является линейным пространством, размерности m , где m - максимальное число линейно независимых элементов во множестве {x1, x2 ,..., xk } . Теорема 7.3.3. Доказательство: 1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для совокупности элементов вида k x i xi (в предположении, что i произвольные числа) справедливы все аксиi 1 омы определения 7.1.1., то есть рассматриваемая линейная оболочка является линейным пространством. 2. Пусть максимальное число линейно независимых элементов в наборе {x1 , x2 ,..., xk } равно m k . Без ограничения общности можно считать, что эти элементы 172 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. m суть x1, x2 ,..., xm . В этом случае x j ji xi ; j [m 1, k ] и любой элемент ли- i 1 нейной оболочки может быть представлен в виде линейной комбинации элементов x1 , x 2 ,..., x m . 3. Покажем теперь, что любой набор из l ( l m ) элементов данной линейной оболочки будет линейно зависимым. Для этого выберем l элементов y1, y2 ,..., yl , принадлежащих линейной оболочке, и выразим их через элементы x1, x2 ,..., xm , m получим y j ji xi ; j [1, l ] . Приравняем нулевому элементу произвольную i 1 линейную комбинацию выбранного набора y1 , y 2 ,..., y l : l l m j 1 j 1 i 1 m l j y j j ji xi ( ji j ) xi o . i 1 j 1 Поскольку элементы x 1 , x 2 ,..., x m линейно независимы, то коэффициенты i должны удовлетворять следующей однородной системе линейных уравнений l ji j 0 , i [1, m] . j 1 Но эта система имеет (по теореме 6.7.1.) l rg ji l m 0 линейно независимых, а следовательно, ненулевых, решений, поскольку rg ji m . Принимая во внимание, что l и m натуральные числа, получаем l rg ji l m 1 , то есть существует нетривиальная линейная комбинация элементов y1, y2 ,..., yl , равная o. Теорема доказана. Гиперплоскость Определение 7.3.4. Множество Γ , образованное из элементов вида x x0 , где x0 есть некоторый фиксированный элемент линейного пространства , а x любой элемент некоторого подпространства , называется гиперплоскостью (или линейным многообразием) в линейном пространстве . Замечания: 1. В общем случае гиперплоскость не является подпространством. 2. Если dim()=k, то говорят о k-мерной гиперплоскости. Задача 7.3.1. Показать, что если элементы x и y принадлежат некоторой гиперплоскости Γ , то этой же гиперплоскости будет принадлежать и элемент z x (1 ) y , где - любое число. 173 Раздел 7 Линейное пространство §7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении n Определение 7.4.1. Коэффициенты 1 , 2 ,..., n разложения x i g i называются координаi 1 тами (или компонентами) элемента x линейного пространства n в базисе {g1, g 2 ,..., g n } . Заметим, что в силу теоремы 7.2.1. элемент x линейного пространства n в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } однозначно представляется n-компонентным столбцом, называемым «координатным представлением элемента x в базисе {g1, g 2 ,..., g n } », x g 1 2 . ... n В n базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элемента линейного пространства n при переходе от одного базиса к другому. Пусть в n даны два базиса: “старый” {g1 , g 2 ,..., g n } и “новый” {g1 , g 2 ,..., g n } , с соответствующими координатными разложениями элемента x: n n i 1 i 1 x i gi и x ig i . Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого” n g j ij gi ; j [1, n ] . i 1 Определение 7.4.2. Матрица S , j-й (j [1, n]) столбец которой состоит из коэффициентов ij координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса {g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1 , g 2 ,..., g n } . Отметим, что это определение является обобщением определения 1.8.2. Тогда справедлива Теорема 7.4.1. Координаты n 1, 2 ,..., n и 1, 2 ,..., n связаны соотношениями i ij j ; i [1, n] , где коэффициенты ij - элементы матрицы пеj 1 рехода S . 174 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. Доказательство: n Пусть известно разложение элементов “нового” базиса по “старому” g j ij g i . i 1 Тогда справедливы равенства или n n i 1 j 1 ( i ij j )g i o . n n n n i 1 j 1 j 1 i 1 n n i g i x j g j j ij g i ( ij j ) g i , i 1 j 1 Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что n i ij j ; i [1, n] . j 1 Теорема доказана. Иначе говоря, если столбец элементов “нового” базиса выражаются через столбец элементов T “старого” при помощи умножения слева на транспонированную матрицу перехода S , то координатный столбец в “старом” базисе равен произведению матрицы перехода на коордиg1 g1 g 2 g2 T S натный столбец в “новом” базисе. В матричной форме: если , то ... ... g n gn x g S x g . Рассмотрим теперь вопрос о том, как операции с элементами линейного пространn ства выполняются в координатной форме. Пусть в конкретном базисе x i gi и i 1 n y i gi , тогда в силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут спраi 1 ведливы следующие соотношения. 1. Для операции сравнения: два элемента в n равны тогда и только тогда, когда 1 1 n n 2 g x y g . x g y g 2 i i i i , или в координатной форме i 1 i 1 ... n n 2. Для операции сложения: n x y ( i i ) gi , или в координатной форме i 1 x y g x g y g. 175 Раздел 7 Линейное пространство 3. Для операции умножения на число: n n i 1 i 1 x i gi ( i ) gi , или в координатной форме x g x g. Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций. Отметим, наконец, что факт равенства или неравенства двух элементов в координатной форме можно проверять в любом базисе, поскольку в силу невырожденности S будут справедливы соотношения x g y g S x g S y g x g x g . §7.5. Изоморфизм линейных пространств Рассмотрим два линейных пространства: множество многочленов P2 ( ) степени не выше, чем 2 , и множество векторов трехмерного геометрического пространства. Операции сложения многочленов и их умножения на число выглядят следующим образом: (1 1 1 2 ) ( 2 2 2 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ( 1 2 ) 2 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 Аналогичные операции с трехмерными векторами в координатной форме, в свою очередь, записываются так: 1 2 1 2 1 2 1 2 ; . 1 2 1 2 Сопоставляя эти записи, можно заметить, что природа данных множеств не играет роли, когда исследуются их характеристики, связанные только с операциями сравнения, сложения и умножения на число. Отмеченное свойство линейных пространств носит название изоморфизма. Более точно его описывает Определение 7.5.1. Два линейных пространства 1 и 2 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение F : такое, что для x, y 1 и 1 2 176 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. 1. Fˆ ( x y ) Fˆx Fˆy ; 2. Fˆ ( x) Fˆ x Отображение F называется изоморфизмом линейных пространств 1 и 2 . Напомним, что отображение F является взаимно однозначным (биективность F ), если: а) разные элементы из 1 имеют в 2 разные образы (инъективность F ); б) каждый элемент из 2 является образом некоторого элемента из 1 (сюръективность F ). Теорема 7.5.1. (об изоморфизме) Два линейных конечномерных пространства 1 и 2 изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны. Доказательство: Пусть dim( 1 ) dim( 2 ) . Принимая правило отображения, при котором каждому элементу x 1 ставится в соответствие элемент из 2 , имеющий те же самые координаты, а также используя правила действий с элементами в координатном представлении, приходим к изоморфизму 1 и 2 . Допустим, что n dim( 1 ) dim( 2 ) m , где 1 и 2 изоморфны. Тогда некоторый набор n линейно независимых элементов из 1 отображается в n элементов в 2 , которые обязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, то мы приходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из 1 . Случай n < m рассматривается аналогично. Теорема доказана. Теорема 7.5.2. Число линейно независимых элементов в любом конечном наборе элементов из n равно рангу матрицы, столбцы которой содержат координаты элементов данного набора в некотором базисе. Доказательство: Следует из изоморфности линейного пространства n и линейного пространства всех n-компонентных столбцов, а также из теоремы 6.5.3. (о ранге матрицы). 177 Раздел 7 Линейное пространство Следствие 7.5.1. k элементов в n линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг Следствие 7.5.2. Матрица перехода невырожденная, то есть det S 0 . матрицы, столбцы которой содержат координаты этих элементов в некотором базисе, меньше, чем min{n, k } . Доказательство: Предположим противное, det S 0 , тогда rg S n и столбцы матрицы перехода линейно зависимые. Но тогда будут зависимыми и элементы g1 , g 2 ,..., g n , что противоречит условию о том, что {g1 , g 2 ,..., g n } - базис. Следствие доказано. 1 Существует матрица T S , обратная матрице перехода называемая обратной матрицей перехода. Следствие 7.5.3. g1 g2 Для обратной матрицы перехода справедливы соотношения ... gn g1 x g T x g , вытекающие из равенств g 2 ... T g1 g 2 ... g n и g1 S T g n Следствие 7.5.4. T S , g2 ... , x g S x g и теоремы 7.4.1. gn Пусть в n задан базис {g1, g 2 ,..., g n } , в котором координатное предn ставление элементов имеет вид x i g i . Тогда каждая однородная i 1 линейная система m линейных уравнений с n неизвестными n jii 0 , j [1, m] определяет некоторое подпространство в n . i 1 Доказательство: Следует из того, что данное подпространство в силу теоремы 6.7.2. является линейной оболочкой нормальной фундаментальной системы решений системы 178 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. линейных уравнений n jii 0 , j [1, m] , а n изоморфно линейному простран- i 1 ству n - компонентных столбцов Следствие 7.5.5. 1 2 . ... n Пусть в n задан базис {g1, g 2 ,..., g n } , в котором координатное предn ставление элементов имеет вид x i g i . Тогда каждая совместная i 1 неоднородная линейная система m линейных уравнений с n неизвестn ными jii j , j [1, m] определяет некоторую гиперплоскость в i 1 n . Доказательство: Аналогично рассуждениям, приведенным для следствия 7.5.4. Задача 7.5.1. Проверить, что элементы g1 , g 2 , g3 образуют базис в 3 и найти координатное представление элемента x в этом базисе, если в некотором исходном базисе: 1 1 2 3 x 3 , g1 1 , g 2 1 и g 3 0 . 1 Решение: 1 0 1 3 1. Для того, чтобы из элементов g1 , g 2 , g3 можно было образовать в базис, необходимо и достаточно (определение 7.2.2.), чтобы эти элементы были линейно независимыми. По следствию 7.5.1. данное усло1 2 3 3 вие в равносильно неравенству rg 1 1 0 3 , которое имеет ме- 1 0 1 сто, поскольку 179 Раздел 7 Линейное пространство 1 2 3 det 1 1 0 4 0 . 1 0 1 2. Обозначим искомые координаты элемента x через 1 , 2 , 3 . Тогда x 1 g1 2 g2 3 g3 , или в координатной форме 1 1 2 3 3 1 1 2 1 3 0 . 1 1 0 1 3. Использовав условие равенства двух элементов в координатной форме, получим систему линейных уравнений 1 2 2 3 3 1 3 1 2 3 1 1 , решив которую по правилу Крамера (теорема 6.4.1.) или методом Гаусса (§6.8.), получим 1 2 , 2 1 , 3 1. Откуда следует, что элемент x в базисе, образованном из элементов g1 , g 2 , g3 , имеет координатное 2 1 . представление 1 Задача 7.5.2. Найти матрицу перехода от базиса в 3 , образованного элементами {g1 , g 2 , g 3 } , к базису {g1, g 2, g 3} , если в некотором исходном базисе: 1 2 7 3 16 g1 1 , g 2 1 , g 3 0 , g1 3 , g 2 3 1 0 1 Решение: 22 5 и g 3 7 . 9 8 1. Пусть x , x и x обозначают координатные столбцы элемента x в трех базисах: исходном, {g1, g 2 , g3} и {g1, g 2, g3} соответственно. Тогда (по определению 7.4.2. и в силу теоремы 7.4.1.) имеют место равенства x G x и x F x , 180 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. где матрицы G и F составлены из координатных столбцов базисных элементов g1, g 2 , g3 и g1, g2, g3 , то есть 1 2 3 7 16 G 1 1 1 0 0 1 и F 3 5 9 3 22 7 . 8 Обозначим через S матрицу перехода от базиса {g1 , g 2 , g 3 } к базису {g1, g 2, g3} , для которой x S x . Но из условий x G x следует, что x G и x F 1 x x , поскольку матри- F ца G очевидно невырожденная. Тогда S x G силу леммы 5.1.2., S G 1 1 F x для любого элемента x , а это, в означает, что искомая матрица перехода F . 2. Подсчитав произведение 1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 7 3 16 5 22 7 3 9 8 используя, например, схему описанную в §6.8. для выражений вида G 1 F , получаем 2 3 4 S 1 2 3 . 1 3 4 Задача 7.5.3. В линейном пространстве многочленов степени не выше чем 3, найти базис и размерность пересечения двух линейных оболочек элементов x1 ( ) 1 2 2 3 3 x 2 ( ) 1 8 6 2 5 3 x 3 ( ) 10 5 2 8 3 и y1 ( ) 1 4 2 5 3 y 2 ( ) 3 2 6 2 3 3 y 3 ( ) 4 2 5 2 8 3 . 181 Раздел 7 Линейное пространство Решение: 1. По теореме 7.4.1. каждая из линейных оболочек является подпростран 1 образовано элементами вида ством. Первое из них x 1 x1 2 x 2 3 x 3 , а второе - 2 , соответственно элементами y 1 y1 2 y2 3 y3 . Составим однородные системы линейных уравнений, задающих эти подпространства (см. следствие 7.5.4.). Пусть каждое из уравнений этих систем имеет вид 1 2 3 4 1 2 0. 3 4 Тогда, воспользовавшись изоморфизмом между 1 и пространством четырехкомпонентных столбцов вида 1 2 1 3 4 1 2 1 3 2 1 8 6 5 3 0 10 5 8 , где 1 , 2 , 3 - произвольные числа, приходим к условию 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 (1 3 4 1 2 1 3 2 которое будет выполняться при любых 1 8 6 5 3 0 10 5 8 ) 0, 1, 2 , 3 , если числа 1 , 2 , 3 , 4 образуют решение следующей системы линейных уравнений 1 2 2 3 3 4 0 1 8 2 6 3 5 4 0 10 2 5 3 8 4 0 . Решив эту систему, например, по схеме описанной в §6.8., получим общее решение в виде 182 Лекции кафедры высшей математики МФТИ “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е. 1 4 7 2 1 4 , 1 2 3 2 0 4 0 5 откуда заключаем, что существует два независимых набора искомых чисел 1 , 2 , 3 , 4 и, следовательно, однородная система линейных уравнений, задающая подпространство 1 имеет вид 41 2 2 3 71 4 2 0 5 4 0. Аналогично строим однородную систему линейных уравнений, задающую 2 : 221 9 2 14 3 111 6 2 0 7 4 0. Наконец, подпространство 1 2 будет задаваться системой 41 2 2 3 7 4 1 2 221 9 2 14 3 111 6 2 0 5 4 0 0 7 4 0, общее решение которой есть 1 2 2 6 , 1 3 7 4 2 и, следовательно, для 1 2 dim( 1 2 ) 1 с базисом, состоя2 6 щим из одного элемента . 7 2