Лекция 8 Релятивистская динамика

Лекция 8
Релятивистская динамика
Релятивистская кинетическая энергия. Релятивистская энергия. Энергия покоя. Связь энергии и импульса для релятивистских частиц. Формулы преобразования импульса и энергии. Динамика релятивистской системы. Фотон. Эффект Доплера в оптике.
Релятивистская энергия.
Теорема о кинетической энергии, которую мы доказали в ньютоновской механике, верна также и для релятивистской частицы. Необходимо только видоизменить формулу кинетической энергии частицы
K  mv2 2 ,
(8.1)
и получить релятивистское выражение для кинетической энергии. Воспользуемся с этой целью
формулой релятивистской массы
mv  m
Подставляя сюда
v  p mv
1 v 2 c 2
.
(8.2)
p 2  m2 c 2  m2  v  c 2 .
(8.3)
и возводя в квадрат, получим
Дифференцируя это выражение, учитывая, что масса покоя m величина постоянная, будем
иметь
pdp  m  v  c 2 dm  v  .
Учитывая в левой части соотношение
p  m  v  v , получим
vdp  c 2 dm  v 
(8.4)
С другой стороны, формулу работы можно преобразовать следующим образом:
2
2
2
dp
A   Fdr   vdt   vdp ,
1
1 dt
1
где мы воспользовались основным уравнением релятивистской динамики
(8.5)
F
и соотношениями
dp
dt
(8.6)
dr  vdt , vdp  v  dp v  vdp.
Формула (8.5), полученная для механической работы, верна как в классической, так и в релятивистской механике. Для ее расчета необходима связь между скоростью и импульсом частицы. В
релятивистской механике, учитывая формулу (8.4) в подынтегральном выражении (8.5), будем
иметь
Ac
m v2 

2
m v1 
Здесь
dm  v   c 2  m  v  .
(8.7)
m  v1  и m  v2  - значения массы частицы в начальном и конечном состояниях.
Значит, в релятивистской механике работа, совершенная силой, определяется только
приращением релятивистской массы частицы и только ею. Если движение частицы начиналось из состояния покоя, то
m  0  0
и, обозначив конечную скорость через
v , для работы (8.7)
будем иметь
A  m  v  c 2  mc 2  K  v   K  0  .
(8.8)
Здесь выражен тот факт, что, согласно теореме о кинетической энергии, эта работа идет на
увеличение кинетической энергии частицы. Учитывая в (8.8) нормировку кинетической энергии: в
состоянии покоя
K  0   0 , получим


1
K  v   m  v  c 2  mc 2  mc 2 

1
.
 1 v 2 c 2



(8.9)
Это и есть формула релятивистской кинетической энергии. В случае малых скоростей,
разложив выражение знаменателя формулы (8.9) в ряд по степеням малой величины
1  v
c2 
2
и пренебрегая членами порядка выше
1 2
1
v2 c2 :
1 2 2
 v c   ...,
2
v 2 c 2 , из (8.9) получим ньютоновское выражение кинети-
ческой энергии (8.1).
Введем обозначение
E  m v  c2 ,
(8.10)
и назовем эту величину полной или релятивистской энергией частицы. Тогда из формулы (8.9)
будем иметь
E  K  v   mc2  K  v  E0 ,
(8.11)
где величина
E0  mc2
(8.12)
является релятивистской энергией частицы в состоянии покоя и называется энергией покоя.
Графики, приведенные на рис. 8.1, выражают зависимости ньютоновской и релятивистской кинетических энергий от скорости. Как и для других классических и релятивистских величин, здесь
также разница между ними становится существенной при скоростях близких к скорости света.
Причем, все релятивистские величины превышают по значению соответствующие ньютоновские
величины.
Рис. 8.1
Поскольку релятивистская и кинетическая энергии отличаются друг от друга на постоянную величину (энергию покоя), то теорема о кинетической энергии верна также для релятивистской энергии:
A  K  E .
(8.13)
Преобразования импульса и энергии.
Если в соотношении (8.3) учесть выражения для релятивистской энергии (8.10) и энергии покоя (8.12), то получим
E 2  E02  p2 c2 ,
(8.14)
которая выражает связь между энергией и импульсом в релятивистской механике. Заметим,
что величина
E 2  p 2 c2  E02 ,
(8.15)
которая является квадратом энергии покоя частицы, инвариантна относительно преобразований
Лоренца, хотя релятивистский импульс и энергия меняются при переходе K  K  . Эти формулы
преобразования можно получить, пользуясь формулами преобразования релятивистских скоростей. Например,
px 
mvx
m 1  uvx / c 2 

1 u
m 1  uv / c 
1 u c   1 v c
1 v 2 c 2
2
c2 
2

x
2
2
2
2



1  v 2 c 2

px  uE  c 2
.
1 u 2 c 2
Подобным же образом получим остальные преобразования:
 vx  u 


2 

1

v
u
c

x

px 
px  uE  c 2
1 u c
2
2
, p y  py , pz  pz , E 
E   upx
1 u c
2
2
.
(8.16)
Заметим, что величины
px , p y , pz , E c 2
(8.17)
преобразуются по одним и тем же формулам, что и координаты события x, y, z, t, т.е.
составляют лоренцева группу.
Нетрудно проверить, пользуясь формулами преобразования энергии и импульса (8.16), что
p2  E 2 c2  p2  E2 c2  inv ,
(8.15´)
2
которое с точностью до постоянного множителя c совпадает с (8.15).
Приведем еще два полезных соотношения. Из формул релятивистской энергии и импульса следует, что
p  Ev c2 ,
(8.18)
а с учетом (8.11) из (8.15) получаем
pc  K  K  2mc 2  .
(8.19)
Последнее есть связь между кинетической энергией и импульсом в релятивистской механике. В случае медленных движений частицы, когда
кинетической энергии и импульса:
K
p  2mK
а в противоположном пределе -
K
mc2
mc2 , (8.19) дает классическую связь
,
(8.20)
(ультрарелятивистское движение)-
p  K c.
(8.21)
Динамика релятивистской системы.
В отличие от ньютоновской механики, переход от динамики релятивистской частицы к динамике релятивистской системы несравнимо более сложная задача. Тем не менее, попытаемся выявить
некоторые общие закономерности динамики релятивистских систем.
Если нас интересует движение системы как целого, отвлекаясь от движений внутри нее, систему можно рассматривать как частицу, наделенную энергией E, импульсом p и массой покоя m,
и утверждать, что все соотношения, полученные для частицы, верны также для движения системы
как целого. Остается выяснить, что нужно понимать под релятивистской энергией, импульсом
и массой покоя системы? В общем случае, когда система состоит из взаимодействующих релятивистских частиц, ее энергию, импульс и массу покоя представим таким образом:
mi c 2
n
E
i 1
P
1 vi c
mi vi
2
1  vi2 / c 2
2
 Eвз ,
 Pполя
(8.32)
,
(8.33)
n
m   mi  Eвз с 2 .
(8.34)
i 1
mi  vi  c 2
Обсудим сначала выражение для полной энергии, где величина
– полная энергия i-
той частицы (в него не входит энергия взаимодействия с другими частицами), а член
Eвз выражает
полную энергию взаимодействия частиц.
В ньютоновской механике
Eвз
– это собственная потенциальная энергия, которая зависит от
конфигурации системы в данный момент (от распределения частиц). Легко заметить, что в основе
понятия собственной потенциальной энергии лежит абсолютность пространства и времени, т.е.
идея мгновенного взаимодействия. Действительно, в случае изменения положения одной из частиц собственная потенциальная энергия системы сразу же принимает новое значение, соответствующее новой конфигурации. Но понятно, что благодаря конечности скорости распространения
взаимодействия, другие частицы могут «почувствовать» рассматриваемое изменение спустя некоторое время. По этой причине для систем, состоящих из релятивистских частиц, понятие
собственной потенциальной энергии неприменимо.
Так что же представляет собой энергия взаимодействия релятивистских частиц?
Если взаимодействия в системе осуществляются посредством материальных полей, то член
Eвз
и есть энергия этих полей. Эту энергию можно представить более наглядно, если представить соответствующие поля в виде потока частиц. Например, электромагнитное поле можно представить
как совокупность квантов с различными энергиями. В этом случае
энергий квантов, составляющих это поле. Подобным образом, член
Eвз
Pполя
представится как сумма
в выражении релятивист-
ского импульса (8.33) – это суммарный импульс полей, осуществляющих взаимодействие частиц.
Что относится к члену энергии покоя
E c2 ,
то он является суммарной массой полей в системе
центра инерции системы.
В общем случае написать выражение для членов
Eвз , Рполя невозможно.
По этой причине по-
строение динамики релятивистской системы становится возможным только в относительно простых случаях. К этому ряду относятся системы невзаимодействующих частиц и те простые системы, в которых взаимодействия между частицами носят контактный характер.
Изучением подобных систем займемся в последующих параграфах данного курса. Здесь заметим только, что для системы, состоящей из невзаимодействующих частиц,
E   Ei  K  mc2 ; P   Pi ,
(8.35)
где
K   K i ; m   mi .
(8.36)
Так как формулы преобразования импульса и энергии линейные функции и верны для любой
отдельно взятой частицы системы, то тем же преобразованиям будут подчиняться также
полная энергия и импульс системы (8.35).
Полная энергия и импульс замкнутой системы сохраняются независимо от процессов, протекающих в системе. Сохранение полной энергии системы равносильно сохранению ее релятивистской
массы.
Фотон.
Релятивистская механика объясняет существование частиц, не имеющих массу покоя. Из
формул релятивистской энергии и импульса
p
mv
1 v c
2
2
,E
mc 2
1 v c
2
2
(8.37)
следует, что частица с нулевой массой покоя (m=0) может иметь отличные от нуля значения энергии и импульса только в том случае, если она движется со скоростью света. В этом случае формулы (8.2),(8.37) для релятивистских массы, энергии и импульса дают неопределенность типа 0/0 ,
что приводит к конечным значениям величин m, p и E этих частиц. Связь энергии с импульсом подобных частиц дается формулой
E  pc ,
(8.38)
которая получается из (8.14) при подстановке m=0.
Значит, частицы с нулевой массой покоя могут существовать только в состоянии движения со скоростью света в вакууме. Их остановка равнозначна их поглощению, уничтожению.
Современная физика имеет дело с двумя такими частицами. Это фотон и нейтрино. Квант
электромагнитного поля – фотон с частотой ν имеет энергию
E  h
,
(8.39)
где h = 6,62 . 10-34 Дж.с – постоянная Планка.
Пользуясь формулой (8.38) получим импульс фотона –
p  h c ,
(8.40)
а с помощью формулы E = mc2 определим релятивистскую массу фотона:
m  h c2 .
(8.41)
Поглощаясь атомом, фотон сообщает ему свой импульс и энергию и, наоборот, атом теряет импульс (8.40) в направлении излучения фотона, энергию (8.39) и связанную с ней массу (8.41).
Вычислим давление электромагнитного поля в кубическом ящике стороной
, если энергия излучения в единичном
объеме равна U. Поле излучения представим как «газ», состоящий из большого числа хаотически движущихся фотонов
(фотонный газ). Каждый фотон наделен энергией E, а, отражаясь от грани куба (поглощаясь и снова излучаясь в противоположном направлении), передает ему импульс
р1  2 Е / с . Давление фотонного газа на какую-либо грань куба – это
импульс, переданный им за единицу времени. По причине хаотичности движения в любой момент времени по направлению
к каждой грани будет двигаться равное количество фотонов, то есть N/6 фотонов, которые за единицу времени столкнутся
с данной стенкой куба (N/6)(c/ℓ) раз. Значит, импульс, переданный каждой из граней куба за единицу времени, то есть
сила, действующая со стороны фотонного газа, будет
F
Nc
NE
p1 
,
6
3
а давление –
p
где введена плотность фотонного газа
nN
3
F
2

NE nE U


3 3
3
3
и учтено, что
,
(8.42)
U  En . Значит, давление фотонного газа равно трети
плотности поля излучения.
106 эрг / см2  с лучевой энергии за единицу времени (Сол6
2
5
2
нечная постоянная). Поглощаясь, эта энергия создает давление 10 дин / см  3  10 дин / см (при отражении
Солнечный свет передает поверхности Земли около
давление будет в два раза больше). Это довольно маленькое давление, которое практически никак не влияет на орбитальное движение Земли. Однако для чрезвычайно разреженного хвоста кометы световое давление Солнца существенно и
вкупе с солнечным ветром (поток частиц, испускаемых Солнцем) определяет вытянутую форму кометы.
В выражении, показывающем релятивистскую связь между энергией и импульсом
E 2  p 2 c2  E02 .
Энергия
E0
неизменна, а член
p2 c2
(8.43)
неограниченно возрастает при приближении скорости ча-
стицы к скорости света. Следовательно, всегда можно указать такую область скоростей, в которой
pc  E0
и энергией покоя в правой части (8.43) можно будет пренебречь. Подобные значения
скоростей называются ультрарелятивистскими и для частиц, двигающихся с такими скоростями связь между энергией и импульсом похожа на связь энергии и импульса фотона. Однако это не
означает, что ультрарелятивистские частицы проявляют присущие фотону свойства. Например,
всегда можно выбрать систему отсчета, двигающуюся со скоростью u  c , в которой ультрарелятивистская частица будет покоиться. Но невозможно выбрать систему отсчета, в которой фотон
находился бы в состоянии покоя, так как систему отсчета можно связать только с частицей, имеющей массу покоя, которая не может двигаться со скоростью света.
Эффект Доплера в оптике.
То, что фотон двигается с одинаковой скоростью во всех системах отсчета, конечно, не означает,
что фотон будет иметь одинаковые импульсы, энергию и массу во всех системах отсчета. Эти
величины независимы от скорости движения фотона и изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой благодаря изменению частоты фотона (эффект Доплера). Пусть в
системе
K
неподвижный атом излучает фотон с частотой
0
(рис. 8.2), и в которой колебания
электрического поля даются законом
Рис. 8.2
x 

E   E0 sin 2 0  t    .
c

(8.44)
Согласно принципу относительности, в системе К колебания электрического поля принятого
фотона будут выражаться той же математической формулой
x

E  E0 sin 2 0  t   ,
c

(8.45)
где ν – частота принятого фотона в K . Если пренебречь потерями энергии фотона при распространении, то амплитуда колебаний его электрического поля будет одинаковой при излучении в
K
и регистрации в
K : E0  E0 .
Приравнивая фазы волн (8.44) и (8.45) и воспользовавшись преобразованиями Лоренца, получим связь
v
и
v0 :
æ x ¢ö
æ xö
t - ux c 2 + x c - ut c
ççt ¢+ ÷
n ççt + ÷
=
n
=
n
=
÷
÷
÷ 0
èç c ÷
ø 0 èç
cø
1- u 2 c 2
æ x öæ u ö÷
ç
= n0 ççt + ÷
÷
÷çç1- c ø÷
÷
çè c øè
1- u 2 c 2 ,
откуда
  0
1 u c
  0 1  u c  .
1 u c
(8.46)
Здесь, преобразовав корень в ряд по степеням величины u / c , мы ограничились линейным
приближением.
Полученная формула (8.46) выражает продольный эффект Доплера в оптике, из которого
ясно видно, что от удаляющегося источника света (u>0) мы принимаем свет с меньшей частотой
(
 0
– красное смещение), а свет, принимаемый от приближающегося источника (u<0) имеет
большую частоту (
 0
– фиолетовое смещение).
рис. 8.3
Если свет распространяется перпендикулярно линии наблюдения (рис. 8.3), то наблюдается поперечный эффект Доплера, который является выражением релятивистского эффекта замедления времени для периода световой волны. Согласно релятивистскому эффекту замедления времени
 0
где

и
  1/
0
1 u 2 c 2
,
периоды соответственно принятых и излученных световых волн. Для частоты волны
будем иметь:
   0 1 u 2 c 2
.
(8.47)
Значит, в поперечном эффекте Доплера частота принятой волны всегда меньше частоты излученной волны.
Изменениями частоты фотона (8.46), (8.47) и обусловлены преобразования его энергии и импульса при переходе из одной ИСО в другую.
Контрольные вопросы:
● Выведите формулу релятивистской кинетической энергии.
● Что характеризует энергия покоя?
● Какова связь между релятивистской энергией и импульсом?
● Как преобразуются энергия и импульс в релятивистской механике?
● Как определяются релятивистский импульс, энергия и масса покоя
системы частиц?
● В чем состоит эффект Доплера для фотона?
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука,
1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220
стр. (на армянском яз.).
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.