L8-1

Лекция 8
Релятивистская динамика
Релятивистская кинетическая энергия. Релятивистская энергия.
Энергия покоя. Связь энергии и импульса для релятивистских
частиц. Формулы преобразования импульса и энергии. Динамика
релятивистской системы. Фотон. Эффект Доплера в оптике.
Релятивистская энергия.
Теорема о кинетической энергии, которую мы доказали в ньютоновской механике,
верна также и для релятивистской частицы. Необходимо только видоизменить формулу
кинетической энергии частицы
K  mv2 2 ,
(8.1)
и получить релятивистское выражение для кинетической энергии. Воспользуемся с
этой целью формулой релятивистской массы
mv  m
Подставляя сюда
v  p mv
1 v 2 c 2
.
(8.2)
и возводя в квадрат, получим
p 2  m2 c 2  m2  v  c 2 .
(8.3)
Дифференцируя это выражение, учитывая, что масса покоя m величина постоянная,
будем иметь
pdp  m  v  c 2 dm  v  .
Учитывая в левой части соотношение
p  m  v  v , получим
vdp  c 2 dm  v 
(8.4)
С другой стороны, формулу работы можно преобразовать следующим образом:
2
2
2
dp
A   Fdr   vdt   vdp ,
1
1 dt
1
где мы воспользовались основным уравнением релятивистской динамики
(8.5)
F
dp
dt
(8.6)
dr  vdt , vdp  v  dp v  vdp.
и соотношениями
Формула (8.5), полученная для механической работы, верна как в классической, так
и в релятивистской механике. Для ее расчета необходима связь между скоростью и
импульсом частицы. В релятивистской механике, учитывая формулу (8.4)
в
подынтегральном выражении (8.5), будем иметь
Ac
m v2 
2

m v1 
Здесь
dm  v   c 2  m  v  .
m  v1  и m  v2  -
(8.7)
значения массы частицы в начальном и конечном
состояниях.
Значит,
в
релятивистской
механике
работа,
совершенная
силой,
определяется только приращением релятивистской массы частицы и только
ею. Если движение частицы начиналось из состояния покоя, то
конечную скорость через
m  0  0
и, обозначив
v , для работы (8.7) будем иметь
A  m  v  c 2  mc 2  K  v   K  0  .
(8.8)
Здесь выражен тот факт, что, согласно теореме о кинетической энергии, эта работа
идет на увеличение кинетической энергии частицы. Учитывая в (8.8) нормировку
кинетической энергии: в состоянии покоя
K  0   0 , получим


1
K  v   m  v  c 2  mc 2  mc 2 

1
.
 1 v 2 c 2



(8.9)
Это и есть формула релятивистской кинетической энергии. В случае малых
скоростей, разложив выражение знаменателя формулы (8.9) в ряд по степеням малой
величины
v2 c2 :
1  v
и пренебрегая
членами
2
c2 
1 2
порядка выше
1
1 2 2
 v c   ...,
2
v2 c2 ,
из
(8.9)
получим
ньютоновское
выражение кинетической энергии (8.1).
Введем обозначение
E  m v  c2 ,
(8.10)
и назовем эту величину полной или релятивистской энергией частицы. Тогда из
формулы (8.9) будем иметь
E  K  v   mc 2  K  v   E0 ,
(8.11)
где величина
E0  mc2
(8.12)
является релятивистской энергией частицы в состоянии покоя и называется энергией
покоя. Графики, приведенные на рис. 8.1, выражают зависимости ньютоновской и
релятивистской кинетических энергий от скорости. Как и для других классических и
релятивистских величин, здесь также разница между ними становится существенной
при скоростях близких к скорости света. Причем, все релятивистские величины
превышают по значению соответствующие ньютоновские величины.
Рис. 8.1
Поскольку релятивистская и кинетическая энергии отличаются друг от друга на
постоянную величину (энергию покоя), то теорема о кинетической энергии верна
также для релятивистской энергии:
A  K  E .
(8.13)