Рецензия на книгу «Математические кружки (русский олыт)

Рецензия на книгу «Математические кружки (русский олыт).
Дмитрий Фомин, Сергей Генкин и Илья Итенберг»
Андрей Тоом
Перевод с английского А. Тоома
Для краткости я буду называть эту книгу Кружками. Кружки написаны тремя
русскими математиками, с которыми у меня много общего. В течение многих лет
мы участвовали в аналогичных проектах, включая организацию математических
соревнований и преподавание неформальных занятий, называемых в России
«кружками». Шесть лет назад я переехал в Соединённые Штаты и работал в
нескольких университетах. На основе этого опыта я хочу поразмыслить, как
Кружки могут быть использованы в Америке.
Прежде всего это богатая коллекция хороших задач. Кроме того есть полезные
советы учителям. Я думаю, что Приложение А, которое описывает несколько типов
математических соревнований, будет особенно интересно тем, кто имеет дело со
всеми формами кооперативного обучения. Чтобы получить некое представление об
этой книге, давайте посмотрим на несколько задач.
Задача 1 на с. 1. Несколько бактерий помещены в колбу. Секунду спустя каждая
бактерия делится на две, в следующую секунду каждая из получившихся бактерий
снова делится на две, и так далее. Через минуту колба полна бактерий. Когда
колба была наполовину полна?
Некоторые ученики предлагают пол-минуты в качестве ответа, неявно предполагая,
что рост линеен. Эта задача показывает убедительнейшим образом, как сильно
экспоненциальный рост отличается от линейного.
Задача 10 на с. 172. Злой король держит в секрете три двузначных числа a, b и c.
Прекрасный принц должен назвать три числа X, Y и Z, после чего король сообщит
ему сумму aX+bY+cZ. Затем принц должен назвать все три секретных числа. В
противном случае он будет казнён. Помогите ему в этой опасной ситуации
.
Может показаться сначала, что невозможно найти три переменных из одного
уравнения и что принц обречён, но на самом деле он может спастись. Решение
основано на плодотворной идее, которая может послужить хорошим введением в
теорию информации.
Кружки могут быть очень полезны всюду, где ведутся занятия по решению
нестандартных задач. Возможно, таких занятий больше, чем мы думаем -- в
некоторых школах для избранных. Но русские «кружки» никогда не были для
избранных в каком-либо формальном смысле: вход был свободен для всех. Так я и
поступил будучи школьником примерно сорок лет назад: я просто сел в
троллейбус, доехал до старого здания университета в центре Москвы и начал
посещать неформальные занятия, которые вели студенты Московского
университета. Я не подавал никакого заявления, ничего не платил и не получал
никаких отметок, но именно там я стал профессиональным математиком.
Большинство кружков были заняты решением задач олимпиадного типа, но наш
преподаватель, Саша Олевский, был увлечён епсилон-дельта рассуждениями, и для
меня это было как раз то, что нужно. В последующие десятилетия я не раз вёл
математические кружки и теперь встречаю своих бывших учеников в самых разных
местах от Бостона до Тель Авива.
Однако, я думаю, что возможное использование Кружков шире. Я не могу
вообразить математическое образование без того, чтобы учить решать
математические задачи. Я удивляюсь, когда профессора образования выдвигают
какой-то специальный «подход к преподаванию математики, основанный на
решении задач», как будто противоположный подход когда-либо имел смысл.
Университеты предлагают специальные «курсы по решению задач». Означает ли
это, что на остальных курсах не учат решать задачи? Как бы то ни было, курсы по
решению задач следует всячески приветствовать, и Кружки – весьма подходящая
книга для использования на таких курсах. К тому же, университеты нередко
объявляют курсы по математике, не указывая в точности их содержания. Когда я
преподаю такие курсы, я стараюсь научить моих студентов решать как можно
больше разных задач. До сих пор мне очень трудно было найти книгу для этого.
Теперь я нашёл по меньшей мере одну: Кружки.
В этот момент я должен признаться в непоследовательности. Я должен согласиться
с переводчиком Кружков, когда он заявляет: «Это не учебник». В тоже время я
собираюсь использовать Кружки как учебник. Дело в том, что это необычный
учебник. Он необычный в нескольких отношениях, но мы сосредоточимся только
на некоторых из них. Во-первых, большинство задач в Кружках требуют строгой
аргументации. Некоторые прямо требуют доказать что-либо, другие задают
вопросы, ответить на которые можно лишь на основе рассуждений. Во-вторых,
большинство задач в большинстве учебников решаются способами, объяснёнными
заранее. К тому же, многие задачи имеют идентичную математическую структуру
и отличаются только «реалистическими» оформлениями. В Кружках всё это
отсутствует. Большинство задач требует индивидуального подхода, хотя задачи и
сгрупированы и подчас объясняется общая теория.
Теперь мы приближаемся к очень важному понятию переноса умений. Давайте
представим множество всех возможных задач в какой-либо области математики
как метрическое пространство. Каждая конкретная задача – это точка в этом
пространстве и похожие задачи близки друг к другу. Обсуждая задачу с учениками,
мы покрываем сферу с центром в этой задаче и радиусом равным способности
наших учеников переносить приобретённые при этом знания и умения на другие
задачи. Наша цель – покрыть этими сферами как можно большее пространство.
Возможен ли перенос в принципе? Для авторов Кружков, для меня и для всех, кто
когда-либо преподавал в кружковом стиле, ответ очевиден: «Да, конечно, перенос
возможен и тесно связан с другой драгоценной человеческой способностью:
обобщением».
Однако, некоторые американские специалисты в образовании подвергали
сомнению полезность и даже самую возможность переноса умений. Взамен они
предлагали решать в классе только такие задачи, которые встречаются в
повседневной жизни. Эти специалисты усердно распространяли представление,
будто ученики не интересуются задачами, не имеющими немедленного
применения к реальной жизни. В результате, у некоторых учеников способность к
обобщению и переносу почти полностью атрофировалась. Как только задача на
контрольной слегка отличается от задач, решённых ранее, они жалуются: «Мы не
решали таких задач». Какой бы курс эти студенты ни окончили, они научаются
решать только те конкретные задачи, которые преподаватель выбрал, чтобы
обсудить. Радиусы их сфер близки к нулю и мера объединения этих сфер тоже
близка к нулю. Можно с уверенностью предсказать, что задачи, которые встанут
перед ними впоследствии, практически никогда не совпадут с теми немногими,
которые они научились решать в классе.
Всё это не означает, что форма, в которой задачи представлены, не имеет значения.
Она имеет большое значение и мы можем упрекнуть Кружки в некотором
пренебрежении ею. Проиллюстрируем эту мысль несколькими примерами.
Задача 11 на с. 53. Хижина лесника находится на полуострове, имеющем форму
острого угла. Лесник должен выйти из своей хижины, дойти до одного берега
полуострова, затем до другого берега, затем вернуться домой. Как ему выбрать
кратчайший путь для этого?
Это очень полезная задача. Она вводит учеников в важную область геометрических
преобразований. Кроме того, она даёт учителю возможность поговорить о связях
между математикой и физикой, потому что свет тоже «выбирает» кратчайший
путь. Однако, к сожалению, непонятно, почему леснику понадобилось ходить
таким странным образом. В книге Штейнгауза аналогичная задача сформулирована
более красочно: «Араб хочет вернуться в свой шатёр, но перед этим он хочет
накормить своего коня и набрать воды из реки» (2, с. 111-112). Эзаметьте, что моя
критика не имеет ничего общего с глупыми требованиями прямолинейной
применимости к «реальному миру». Подлинная применимость здесь – через
теорию, как обычно. Ещё один пример: в задаче 22 на с. 3 фигурирует странная
река, делающая поворот на 90о. В книге Кордемского (1, задача 126 на с. 54) это
был ров, окружающий замок, что и правдоподобнее и романтичнее.
Раз уж я начал критиковать, давайте я продолжу делать это с точки зрения
преподавателя. Кружки не говорят ни слова об иррациональных числах, не
приводят даже знаменитое доказательство от противного того, что никакое
рациональное число не даёт в квадрате 2. Собрать серию задач такого рода очень
легко. (Я делаю это в моих курсах.) Почему авторы Кружков этого не сделали?
Некоторые другие важные факты включены, но не подчёркнуты. Например, только
при внимательном чтении можно заметить задачу 53 на с. 29 в секции под
названием «Ещё несколько задач», как будто это нечто второстепенное:
Докажите, что простых чисел бесконечно много. Ни слова не сказано о важности
этого фундаментального факта.
На с. 177 авторы объясняют один способ придумывать задачи, который они
называют «неравенства à la Ленинград». Типичный пример – задача 1 на с. 175:
Какое число больше: 3111 или 1714? Задачи этого типа, повидимому, были полезным
вкладом в прошлые олимпиады, но я боюсь, что присутствие калькуляторов
убивает большинство из них. С другой стороны, взгляните на задачу 43 на с. 161:
Если длины всех сторон треугольника больше 1000 метров, может ли его площадь
быть меньше одного квадратного метра? Эта задача и несколько похожих на неё
были придуманы в Заочной Школе в Москве и они остаются полезными в
присутствии любой техники.
Задача 10 на с. 23 предполагает знакомство с признаками делимости на 3 и 9,
которые вводятся только в задаче 31 на с. 99. То же самое, повидимому, верно для
задачи 76 на с. 72; я смог решить её только опираясь на признаки делимости. Чтото напутано в задаче 65 на с. 71. В фигуре 123 на с. 163 буква М помещена
неправильно, а буква К отсутствует.
Должен признаться в некоторой путанице, связанной с возрастом. Кружки
адресованы детям 12-14 лет. Это контрастирует с тем, как я собираюсь их
использовать. Все мои студенты умны и хотят учиться, но им около двадцати или
больше. Иногда я удивляюсь, чем они занимались столько лет. Теперь им надо
думать о получении диплома и поисках работы. Их поджимает время и деньги,
некоторым приходится подрабатывать, у некоторых уже есть дети. Конечно, всё
это мешает их занятиям. Было бы гораздо лучше для них начать решать
нетривиальные задачи много лет назад.
Эта путаница с возрастом особенно заметна, когда читаешь вводную Нулевую
Главу, предназначенную для 10-11-летних. «Задачи в этой главе фактически не
имеют математического содержания», наивно заявляют авторы. На самом деле,
задачи этой главы требуют самой фундаментальной способности – способности к
абстрактному мышлению. Эта способность никоим образом не должна считаться
сама собой разумеющейся, она развивается в результате тщательного и хорошо
продуманного школьного обучения. Двайте вспомним, что большинство
преподавателей кружков в России не были профессиональными педагогами. По
большей части это были студенты университетов, вдохновенные но неопытные. Их
преподавание было успешным благодаря солидной подготовке их учеников,
обеспеченной национальной системой образования. Когда я был молод, система
российского образования казалась мне очень тупой, но теперь я вижу, как
эффективна она была на самом деле. Не спрашивайте меня как это согласуется с
тиранией советской власти и больной российской экономикой, потому что у меня
нет ответов на все вопросы.
Некоторые спрашивают, есть ли в Америке компетентные энтузиасты, которые
смогли и захотели бы давать уроки творческого решения задач. Да, конечно есть,
но вопрос не в этом. Вопрос, который действительно стоит очень остро, это может
ли образовательная система обучать основам математики так, чтобы дети были
готовы посещать такие уроки.
(1) Boris A. Kordemsky. The Moscow Puzzles. 359 Mathematical Recreations. Dover
Publications, 1992.
(2) H. Steinhaus. Mathematical Snapshots. New York, Oxford University Press,
1969.
Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как
Andre Toom. Review of “Mathematical circles (Russian experience) by Dmitri Fomin,
Sergey Genkin, and Ilia Itenberg, AMS, 1996”. The American Mathematical Monthly,
May 1997, pp. 474-477. У меня нет оригинала рецензируемой книги, поэтому
цитаты из неё даны в обратном переводе.
kruzhki.doc