Занятие № 9 Тема: «Бином Ньютона» Цели: 1) Способствовать ознакомлению студентов с формулой бинома Ньютона. 2) Формировать навыки использования формулы бинома Ньютона при решении примеров. Структура занятия: 1. Оргмомент 2. Анализ самостоятельной работы 3. Лекция 4. Решение примеров 5. Домашнее задание 6. Подведение итогов Ход занятия. I. Вспомнить свойства биномиальных коэффициентов. 1) 2) C n0 = Cnn 1 3) C nk C kr C nkrr C nr 4) 5) II. Лекция Числа, стоящие в строках треугольника Паскаля, встречаются при возведении в степень двучлена (a+ b): (a+b)2= a2 +2a·b+b2 (a+b)3= a3 +3a2·b+3a·b2+ b3 То есть, числа 1, 2, 1 – это 3-я строка треугольника Паскаля, 1, 3, 3, 1 – четвертая. Это замечание делает естественной гипотезу, что для каждого n истинно равенство (a+b)n= C n0 a n + C n1 a n-1 b + C n2 a n-2 b 2+…+ C nn 1 a b n-1 + C nn b n Доказательство (по индукции): 0 1) Для n=1 a+b= C1 a+ C11 b, т.е. истинно. 2) Пусть верно для n=k (a+b)k= C k0 a k + C k1 a k-1 b + C k2 a k-2 b 2+…+ C kk 1 a b k-1 + C kk b k 3) Докажем истинность формулы для n=k +1 Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 9 (a+ b)k+1= (a+b)k(a+ b)= =( C k0 a k + C k1 a k-1 b + C k2 a k-2 b 2+…+ C kk 1 a b k-1 + C kk bk) (a+ b)= = C k0 a k-1 + C k1 a k b + C k2 a k-1 b 2+…+ C kk 1 a 2b k-1 + C kk a bk+ C k0 a k b + C k1 a k-1 b2 + + C k2 a k-2 b 3+…+ C kk 1 a b k + C kk bk+1= = C k0 a k+1+ a k b ( C k1 + C k0 )+a k-1 b 2( C k2 + C k1 )+…+a b k( C kk + C kk 1 )+ C kk bk+1, воспользуемся 4) свойством биномиальных коэффициентов, (a+ b)k+1= C k0 a k+1+ a k b C k11 +a k-1 b 2 C k21 +…+a b k C kk1 + C kk bk+1, т.к. C k0 = C k01 =1 и C kk = C kk1 =1, то заменим эти коэффициенты. (a+ b)k+1= C k01 a k+1+ a k b C k11 +a k-1 b 2 C k21 +…+a b k C kk1 + C kk1 bk+1, ч.т.д. Доказанную формулу называют биномом Ньютона. Теперь, зная формулу бинома Ньютона можно доказать 5) свойство биномиальных коэффициентов. Рассмотрим 2 n =(1+ 1)n= C n0 + C n1 + C n2 +…+ C nn 1 + C nn , ч.т.д. III. Решение примеров. 1) Найти произведение (a+ 1) (a+ 2) (a+ 3) (a+ 4) = (a+ 1) (a+ 1+1) (a+ 1+2) (a+ 1+3)= = ((a+ 1) 2+ (a+ 1))( (a+ 1) 2+5 (a+ 1)+6)= (a+ 1) 4+6 (a+ 1) 3+11(a+ 1)2+6(a+1)= = a4+4 a3+6 a2+4 a+ 1+6(a3+3 a2+3 a+ 1) +11(a2+2 a+ 1) +6a+6= = a4+10 a3+35 a2+50 a+ 24 2) ) Найти разложение бинома: (x + a)6 С60 x 6 C61 x 5 a C62 x 4 a 2 С63 x 3 a 3 C64 x 2 a 4 C65 xa5 C66 a 6 = = x6+6 x5 a +15 x4 a 2+20 x3 a3+15 x2a4+6 x a5+ a6 3) Найти 4й член в разложении (a+ 3)7 C 73 a 4 b 3 =35·27·а4=945 а4 4) Найти разложение бинома: ( a b )6 = a )6+6 ( a )5 b +15( a )4( b )2+20 ( a )3( b )3+15 ( a )2( b )4+6 = а 3+6 а 2 ab +15 а 2b+20 а b ab +15 а b2 +6 b 2 ab + b 3 =( a ( b )5+ ( b )6= 5) Найти член разложения (x+y)9, содержащий x7 C97 х 7 y 2 =36 x7y2 6) Найти член разложения ( 3 C17x 1 3 a2 17 x 4 a3 x = C17x a 1 a 2 4 a 3 )17, не содержащий а 2 (17 x ) 3 3 x a4 = 2 3 (17 x) x 0 17 х=136 х=8 3 4 17! C178 =17*11*13*10=24310 9!8! 1 7) В разложении x 3 2 n коэффициент x 5го члена относится к коэффициенту 3го, как 7:2. Найти тот член этого разложения бинома, который содержит x в первой степени. Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 9 Сn4 7 (n 3)( n 2) 7 (n 3)( n 2) , 7 n1=9, n2= -4 – посторонний корень, , 12 2 6 Cn2 2 т.к. не удовлетворяет условию задачи, 2 k 3 9 k 2 C x x =C x 9k 2 k 1 k=3 2 3 k 9 9 k k 9 x 2 k 3 k 9 =C x 9 k 2 k 2 3 Ответ: C93 x 84 x IV. Домашнее задание. Домашняя контрольная работа (6 вариантов) Домашняя контрольная работа (6 вариантов) Вариант 1 Вариант 2 1) Упростите выражение: n P2 х 1 Pmn Am n 1 А2 x 1 P2 x n Pm1 2) Решите уравнение: х 1 2 12С х 3 55 Ах 1 30С хх39 19 Ах44 3) Решите систему уравнений: n 3 n2 A23nx : A23nx1 8, Ax : Ax 1 : 8, 3 x 3 x1 n 3 n 2 C2 n : C2 n 8 : 9. C x : C x 5 : 8. 4) Решите задачу: Сколько различных неправильных Сколько различных разностей можно дробей можно составить из чисел: 3, 5, 7, составить из 2-х чисел, если для 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входило составления разности брать по два числа? два числа? Вариант 3 Вариант 4 1) Проверьте равенство: С 4 m 1 C C 3 m С m8 C m8 1 C m7 0 4 m 2) Решите уравнение: С х2 х 3 4А 3 х2 С хх14 7 3 Ах 1 15 3) Решите систему уравнений: A : A 8, Amn : Amn1 9, n n1 2 n 2 n 3 Cm : Cm 3 : 2. C : C 2 . 2 x 2 x 3 4) Решите задачу: Сколько различных дробей можно На плоскости расположены 10 точек составить из чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 16 так, так, что три из них лежат на одной прямой. чтобы в каждую дробь входило два числа? Сколько различных прямых можно провести через эти точки? n2 2x Преподаватель Авдеева Е.В. n 3 2x Белгородский педагогический колледж Занятие № 9 Вариант 5 Вариант 6 1) Упростите выражение: n 1 m 1 Pmn A 10 Pm1 P10n A10n P9 2) Решите уравнение: С 4 ( х 1) 4 х 9 С хх83 5 Ах3 6 5А 3 4 х 7 3) Решите систему уравнений: A : A 1 : 7, Axn3 : Axn2 1 : 8, n 3 n 2 C : C 7 : 4. C x : C x 5 : 8. 4) Решите задачу: Сколько различных четных делителей Сколько различных произведений, имеет число 3570? кратных 10 можно составить из чисел 7, 2, 11, 9, 5, 3? n 3 5x n2 5x n2 5x n 3 5x Вариант 6 Вариант 5 Вариант4 Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 9 Вариант3 Вариант2 Вариант 1 Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж Занятие № 9 Преподаватель Авдеева Е.В. Белгородский педагогический колледж