МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 81»

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 81»
«Загадочный мир палиндромов»
«ум — он дорога лбу благородному»
Чернов Лев Владимирович
МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 81»,
8 А класс
Научный руководитель: Яковлева Лилия Геннадьевна,
учитель математики
г. Новокузнецк
2011
Оглавление.
Введение
3
Основная часть:
1.
Историческая справка
4-5
2.
Палиндромы в математике:
6-12
3.

простые палиндромы

примечательные пары

числовой конструктор
Палиндромы в литературе и в других
13-14
дисциплинах
4.
Заключение
15
5.
Литература
16
6.
Приложение
17-
2
1. Введение.
Палиндро́м (от греч. πάλιν — «назад, снова» и греч. δρóμος — «бег») —
число (например, 404), буквосочетание, слово (например, топот, фин.) или
текст, одинаково (или почти одинаково) читающиеся в обоих направлениях.
Математические палиндромы обладают тем же свойством, т.е. число
отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков
может быть как чётным, так и нечётным.
Поэтому цель моей исследовательской работы: рассказать о «магических»
свойствах палиндромов, самому узнать о них много нового и попытаться
составить свои математические и литературные палиндромы.
Задачи проекта:
1) Изучить теоретический материал по данной теме;
2) Научиться составлять палиндромы в различных дисциплинах;
3) Расширить кругозор;
4) Показать применение математики в различных областях.
Моя работа имеет прикладное значение потому, что я не только изучил
данную тему и показал, как можно самому составлять палиндромы, но и
каждый желающий может попробовать сам составить палиндром, проявив
интерес к моей теме.
3
2. Исторический материал.
Отдельные палиндромические словосочетания и фразы известны с глубокой
древности, когда им зачастую придавался магически-сакральный смысл.
Например, фраза: «На в лоб, болван», использовавшаяся русскими
скоморохами.
Из глубины веков до нас дошли не только латинские, но и греческие
палиндромы. В «Поэтическом словаре» А.Квятковского сказано: «В
византийском храме Софии в Константинополе на мраморной купели было
вырезано следующее палиндромное изречение:
«nisponanomimatamimonanopsin», означающее: «Омывайте не только лицо, но
и ваши грехи». А вот палиндромы, приписываемые самому Сатане:
Roma tibi subito motibus ibit amor (Нежданно, Рим, однажды покинет тебя
любовь.)
Уже к Х-ХI вв. палиндромы распространились сначала в Италии, а затем и в
Западной Европе. С ХII-ХIII вв. сведения о них, хотя и редкие, появляются в
учебниках поэтики и трактатах по стихосложению. Это связано с открытием
первых университетов и формированием единой европейской системы
образования, включающей «семь свободных искусств». Риторика, куда
входила и поэтика, была важной частью учебного курса.
К XIV веку относится первое появление в музыке самостоятельной
палиндромной формы. Не случайно, что это открытие принадлежит Гийому де
Машо (1300-1377) - известному поэту и музыканту, реализовавшему свой замысел в 14м рондо с символическим для музыкального
ряда текстом «Мой конец - моё начало, моё
начало - мой конец».
Авторское творчество в области
палиндрома начинается, по-видимому, в
Средние века. Особенно всё волшебство
палиндромов ощущали в древности, когда
палиндромные фразы казались магическими.
4
Самый древний из известных палиндромов был написан в IV в.: «SATOR
AREPO TENET OPERA ROTAS» («Сеятель Арепо с трудом держит
колеса»). Впрочем, зачем упорный сеятель держал колеса, не имело
никакого значения для тех, кто рисовал этот палиндром на стенах домов.
Главное было то, что из него можно было составить дивную вещицу – так
называемый магический квадрат, где выражение могло читаться как
вертикально, так и горизонтально, как слева направо сверху вниз, так и
наоборот:
Мир или Рим?
Из-за удивительных свойств этот палиндром считался оберегом от болезней
и злых духов.
5
3. Палиндромы в математике.
Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева
направо и справа налево одинаково. В математике палиндромические числа
иногда называются “числами Шахерезады” – это название было
вдохновлено названием “1001 ночь”, где 1001 – число-палиндром.
Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных
собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55; фигурных чисел —
676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита (Число
Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его
простых делителей)— 45454, 983389. Указанным свойством обладает также
всякий репдиджит (Репдиджит — натуральное число, в записи которого
все цифры одинаковые), например 2222222 и, в частности, репьюнит
(Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только
единиц).
Квадрат любого числа, состоящего из единиц до 10 знаков является
палиндромом – то есть справа-налево читается одинаково.
Например:
11² = 121
111² = 12321
…
111111111² = 12345678987654321
Из любого числа можно получить палиндром. Это делается так:
число складывается со своим перевёртышем, если в сумме не получился
палиндром, то полученное число вновь складывается с перевёртышем и в
конце концов получается палиндром.
Пример для числа 119:
119+911=1030
1030+0301=1331
6
Рассмотрим простые числа. В их бесконечном множестве имеются
немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов.
Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781
простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них
четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С
такими числами связано немало интересных фактов и красивых
закономерностей.
1) существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр —
11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр,
бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака
делимости на 11.
2) первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть
только 1, 3, 7 или 9. Любопытно, что все простые двузначные числа,
записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно
разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел).Каждая
из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается
одинаково слева направо и справа налево:
13 и 31, 17 и 71,
37 и 73, 79 и 97.
Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в
записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди
трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.
Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары
чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:
181 и 191, 373 и 383,
787 и 797, 919 и 929.
7
Аналогичная картина наблюдается и у больших простых чисел, например:
94849 и 94949,
1177711 и 1178711.
Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными
формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на
примере пятизначных чисел:
Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только
среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого
из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А
вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной,
единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины — в нём
1749 цифр.
Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные
экземпляры. Пример — числовой гигант, который содержит 11 811 цифр,
которые можно разбить на три палиндромические группы, причём в каждой
группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).
Примечательные пары
Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в
группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые
цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так,
двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 —
13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два
палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311
8
— 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно
представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).
Своими свойствами они напоминают магический и
латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма
чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна
444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток,
получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром.
Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной
Рис. 1
таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д.
Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно
палиндромом?
Если в каждую из пар 311 — 113 и 113 — 311 добавить 131 или 313,
образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в
столбик:
311
131
113
Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при
прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр
симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из
диагоналей выражается простым числом − 5. Рассмотренные числа
интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 — простое циклическое
число: при любых последовательных перестановках первой цифры на
последнее место он порождает простые числа 311 и 113.
А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в
квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721.
Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:
9
(1 + 3)2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.
Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары
«перевёртышей» с подобным свойством: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 —
31111 и др. Чем объясняется подмеченная закономерность? Чтобы ответить
на этот вопрос, нужно понять, что особенного в записи указанных чисел,
какие цифры и в каком количестве могут в ней присутствовать.
Числовой конструктор
Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом,
скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся
оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.
Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с
помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового
треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не
нарушая симметрию рисунка.
Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число
простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр:
выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за
исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого
Рис. 2
и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей
боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно
указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого
рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).
Продолжая построение, можно сконструировать на основе
данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один
Рис.3
10
треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца,
то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две
одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или
заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует
выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число
оказалось простым.
Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из
цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 4). В
частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.
Рис. 4
Другой пример — треугольник, полученный из
исходного после добавления к нему шести простых
палиндромов (рис. 5). Фигура сразу привлекает внимание
своим изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют
два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы
составляют «основание» и ещё столько же — «боковые
стороны» треугольника.
Рис. 5
Можно составить также многоугольные фигуры из чисел,
обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется
построить фигуру из простых палиндромов, записанных с
помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры —
единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в
строке — простые числа (исключение — однозначный
палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться
общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся
Рис. 6
в записи. На рис. 6 приведено одно из решений задачи —
«домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.
11
Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать
наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр.
Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают
своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько
примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 7−9).
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Теперь, вооружившись таблицей простых чисел, вы и сами можете
сконструировать фигуры вроде предложенных.
А напоследок ещё одна диковинка —
треугольник, буквально пронизанный
вдоль и поперёк палиндромами (рис. 10).
В нём 11 строк из простых чисел, а
столбцы образованы репдиджитами. И
главное: ограничивающий фигуру с боков
палиндром 193111111323111111391 —
число простое!
Рис. 10
12
4. Палиндромы в литературе и в других дисциплинах.
В русской литературе достоверно известно об авторском палиндромном
стихе Державина «Я и́ду съ ме́чемъ судия», затем об авторском
палиндромном стихе Фета «А роза упала на лапу Азора». Теоретики и
практики палиндрома выделили многочисленные пограничные с
палиндромом формы: например, оборотень — текст, читающийся слева
направо иначе, чем справа налево: «Мир удобен» - «Небо дурим»(Сергей
Федин). Среди более редких разновидностей палиндромических текстов
следует назвать также слоговые, словесные и фразовые палиндромы,
двуязычные палиндромы (в одну сторону текст читается на одном языке, в
обратную — на другом) и т. п. На русском языке наиболее длинным
буквенным палиндромом на сегодняшний день является произведение Р.
Адрианова «ЦЕН ОКНО», в которой свыше 6 000 букв.
русский язык
А в Енисее — синева.
А лама мала.
А лис, он умён — крыса сыр к нему носила. (И. Бабицкий)
Аргентина манит негра.
английский язык
Race fast, safe car (Гони быстро, безопасная машина)
Do geese see God? (Видят ли гуси бога?)
арабский язык: ‫( حوت فمه مفتوح‬Кит с открытым ртом)
болгарский язык: Кирил е лирик (Кирилл — лирик)
испанский язык: Anita lava la tina (Анита моет корыто)
итальянский язык: Autore, ero tua (Автор, я твоя)
латинский язык: Sum summus mus (Я — сильнейшая мышь)
немецкий язык: Reit nie tot ein Tier (Никогда не гони животное до смерти)
польский язык: Kobyła ma mały bok (У кобылы маленький бок)
португальский язык: Socorram-me, subi no ônibus em Marrocos (Помогите
мне, я попал в автобус в Марокко)
13
татарский язык: Ata qadaq ata (Отец кидает гвоздь)
турецкий язык: Anastas kazak satsana (Анастас, продай свитер)
украинский язык: Кому дикі ріки думок? (Кому дикие реки мыслей?)
чешский язык: Fešná paní volá: Má málo vína pan šéf? (Шикарная пани
спрашивает: У пана шефа мало вина?)
финский язык: saippuakauppias (продавец мыла) — самое длинное
употребительное слово-палиндром в мире
Другие дисциплины:
Химия: НООССООН - формула щавелевой кислоты.
14
5. Заключение.
Чтение наоборот в целом и палиндромы в частности имели огромное
значение в магических ритуалах самых разных культур и всегда считалось
так или иначе связанным со злом. Палиндромальные руннетейны (сочетания
рун, рунические "фразы"), одинаково читающиеся с любого конца или по
кругу, считались наиболее могущественными; многие сакральные
рунические слова были палиндромами. Чтение задом наперед "Отче наш"
(равно как и нескольких других молитв) считалось угодным дьяволу
заклинанием.
Определенную магию приписывали и математическим палиндромам изза их необыкновенных свойств. Еще с древности люди заметили такие
необъяснимые закономерности чисел-перевертышей, и эта загадка
сохранилась и до наших времен.
15
6. Литература.
1) Кацюба Е. А. «Первый палиндромический словарь»;
2) Кацюба Е. А. «Новый палиндромический словарь»;
3) ресурсы сети Интернет http://ru.wikipedia.org
16
7. Приложение.
Литературный палиндром: Лес осел
Математические палиндромы:
17
18