Наибольший интервал с заданными пропорциями для

Наибольший интервал
с заданными пропорциями
для интервальной линейной задачи
о допусках
Шарая Ирина Александровна
Новосибирск
Институт вычислительных технологий СО РАН
План:
1. Задача о допусках
2. Новый метод решения
3. Сравнение с известными подходами
Задача о допусках
Допусковое множество решений:
определение
Интервальная система линейных
алгебраических уравнений
Ax = b,
A ∈ IRm×n, x ∈ Rn, b ∈ IRm.
Допусковое множество решений
(
Ξtol := x ∈
Rn (∀A
)
∈ A) (∃b ∈ b) (Ax = b) .
1
Допусковое множество решений.
Интерпретация 1 — управление
Дано:
Найти:
x1
x2
. . .
xn -
y1 ∈ b1
y2 ∈ b2
. . .
...
ym ∈ bm
-
Ax = y ,
Aij ∈ Aij
такие x, что
(∀A ∈ A) (Ax ∈ b).
2
Допусковое множество решений.
Интерпретация 1 — управление
Дано:
Найти:
x1
x2
. . .
xn -
y1 ∈ b1
y2 ∈ b2
. . .
...
ym ∈ bm
-
Ax = y ,
Aij ∈ Aij
такие x, что
(∀A ∈ A) (Ax ∈ b).
2
Допусковое множество решений.
Интерпретация 1 — управление
Дано:
Найти:
x1
x2
. . .
xn -
y1 ∈ b1
y2 ∈ b2
. . .
...
ym ∈ bm
-
Ax = y ,
Aij ∈ Aij
такие x, что
(∀A ∈ A) (Ax ∈ b).
2
Допусковое множество решений.
Интерпретация 1 — управление
Дано:
Найти:
x1
x2
. . .
xn -
y1 ∈ b1
y2 ∈ b2
. . .
...
ym ∈ bm
-
Ax = y ,
Aij ∈ Aij
все такие x, что
(∀A ∈ A) (Ax ∈ b).
2
Задача для интервальной модели межотраслевого баланса
Дано:
1) для значений коэффициентов прямых затрат Qij известны только границы, т. е. дана такая интервальная матрица
Q ∈ IRn×n, что Q ∈ Q;
2)
для каждой компоненты yi вектора объемов конечного продукта
задан интервал bi.
Найти
все такие векторы x объемов производства, при которых для
всех точечных матриц коэффициентов прямых затрат Q из Q,
вектор объемов конечного продукта y не выйдет за границы
интервального вектора b.
С точки зрения принятых нами обозначений и терминов,
это задача об отыскании множества допусковых решений
для интервальной системы
Ax = b, где A = I − Q.
Допусковое множество решений.
Интерпретация 2 — идентификация
Дано: x1
x2
. . .
xk
-
y=
n
P
αj fj (x), α – неизвест.
j=1
m опытов. В i-м опыте:
x(i) – точное измерение вектора входов,
y i – интервал измерения выхода.
Найти: все такие α, что Cα ∈
y , где Cij = fj x(i) .
3
Строение допускового множества решений
Шарая И.А. Строение допустимого множества решений
интервальной линейной системы // Вычисл. технологии. 2005. № 5.
Утверждение. Допусковое мн-во решений совпадает
с мн-вом решений системы двойных линейных неравенств
bi 6 ax 6 bi,
a – вершина Ai:, i = 1, 2, . . . , m.
В матричном виде
x ∈ Ξtol
где
⇐⇒
Cx ∈ d ,
C ∈ RM ×n, d ∈ IRM , M 6 m · 2n.
4
Сложность описания
допускового
множества решений
−→
переход
к оцениванию
Суть оценивания:
в качестве ответа дать простое множество,
приближающее ДМР в соответствии со смыслом задачи.
5
Требования к оценке:
1) интервал,
x3
2) внутренний,
3) как можно больший.
x2
x1

x
Интервал x =

 1
x 
 2
x3
6
Требования к оценке:
1) интервал,
2) внутренний,
3) как можно больший.
Внутренний интервал
6
Требования к оценке:
1) интервал,
2) внутренний,
3) как можно больший.
Разные
внутренние интервалы
6
Задача о допусках
Дано:
Найти:
A ∈ IRm×n, b ∈ IRm.
как можно больший интервал,
лежащий в допусковом множестве решений.
7
Новый метод решения
Интервал с заданными пропорциями
Интервал
x ⊂ Rn имеет пропорции p ∈ Rn, если
длина(x1) : длина(x2) : . . . : длина(xn) = p1 : p2 : . . . : pn.
Пример. Интервал
 
2

c пропорциями
1
x2
длина(x2)
x2
длина(x1)
x1
x1
По смыслу задачи p > 0.
8
На множестве всех интервалов с пропорциями p
можно ввести отношение предпорядка по размеру.
Пример.
9
Пусть S – множество интервалов с пропорциями p,
ограниченных по размеру сверху.
Наибольший в S – интервал, который не меньше
всякого интервала из S .
Пример.
10
Вариант задачи о допусках
Дано:
Найти:
A ∈ IRm×n, b ∈ IRm.
наибольший интервал с пропорциями p,
лежащий в допусковом множестве решений.
11
Надо записать в виде формул
требования задачи о допусках:
1) интервал с пропорциями p,
2) внутренний интервал для ДМР,
3) наибольший с указанными свойствами.
12
Интервал с пропорциями p
x
λp
x̌
x
Варианты записи интервала:
1) x = [x, x], где
x – нижний конец,
x – верхний конец,
2) x = x̌ + x̂ · [−1, 1], где
x̌ – середина,
x̂ – радиус.
Если p ∈ Rn, p > 0 - вектор пропорций, то x̂ = λp = pλ и
x = x̌ + pλ[−1, 1],
λ > 0.
13
Внутренний интервал ДМР
Из Утв. о строении ДМР :
x ∈ Ξtol ⇐⇒ Cx ∈ d .
(∀x ∈ x) (Cx ∈ d)
S
x∈x
(Cx) ⊆ d
Cx ⊆ d
в интерв. арифметике
14
Искомый интервал
1) с пропорциями p
x = x̌ + pλ[−1, 1], λ > 0 ;
2) внутренний
Cx ⊆ d ;
3) наибольший
x∗ = x∗ + pλ∗[−1, 1],
где λ∗ = max λ,
усл. 1-2
x∗ – соответствующее λ∗
значение неизвестного x̌.
15
Искомый интервал
1) с пропорциями p
x = x̌ + pλ[−1, 1], λ > 0 ;
2) внутренний
Cx ⊆ d ;
3) наибольший
x∗ = x∗ + pλ∗[−1, 1],
где λ∗ = max λ,
усл. 1-2
x∗ – соответствующее λ∗
значение неизвестного x̌.
15
Переход к задаче линейного программирования
Перепишем условия 1-2 в виде обычной системы
линейных неравенств на центр x̌ и параметр λ:
C(x̌ + pλ[−1, 1]) ⊆ d,
λ>0



Cx̌



− |C|pλ > d,
Cx̌ + |C|pλ 6 d,





λ > 0.
16
Наша задача
как задача линейного программирования
(x∗, λ∗) = arg max λ − ?
при ограничениях



Cx̌



− |C|pλ > d,
Cx̌ + |C|pλ 6 d,





λ > 0.
17
Покажем, что нашу задачу можно решать
методами поиска безусловного максимума
вогнутой кусочно-линейной функции.
18
Анализ условий на λ и x̌
Внутренний интервал с пропорциями p:
C(x̌ + pλ[−1, 1]) ⊆ d,
Рассмотрим
λ > 0.
Ci:(x̌ + pλ[−1, 1]) ⊆ di,
i = 1, . . . , M.
Подсистема 1
Подсистема 2
Idx0 := {i | Ci: = 0}
Idx := {i | Ci: 6= 0}


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
0 ∈ dIdx0
19
Порядок решения задачи
1) Проверка Подсистемы 1.
2) Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2.
3) Проверка условия λ∗ > 0.
20
Проверка Подсистемы 1
Если 0 6∈
dIdx0
то задача о допусках не имеет решений.
Если 0 ∈
dIdx0
то Подсистема 1 не влияет на λ и x̌
и ее можно исключить из рассмотрения.
21
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
}
}
λ∗ = maxn f
x̌∈R
x∗ = arg max f
22
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
}
}
λ
λ∗ = maxn f
x̌∈R
x∗
x̌
= arg max f
22
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
}
}
λ
λ∗ = maxn f
x̌∈R
x∗
x̌
= arg max f
22
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
}
}
λ
λ∗ = maxn f
x̌∈R
x∗
x̌
= arg max f
22
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
}
}
λ
λ∗ = maxn f
x̌∈R
x∗
x̌
= arg max f
22
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
λ∗ = maxn f
}
}
λ
f
x̌∈R
x∗
x̌
= arg max f
22
Поиск λ∗ и x∗ для Подсистемы 2


ˆl − |Cl:x̌ − dˇl |
d

λ 6 min 
l∈Idx
|Cl:|p
|
|
{z
f
{z l
f
λ∗ = maxn f
x̌∈R
x∗
= arg max f
}
}
λ
λ∗
f
x∗
x̌
22
Проверка условия λ∗ > 0
Если λ∗ < 0
то задача о допусках не имеет решений.
Если λ∗ > 0
то интервал с центром x∗ и радиусом λ∗p
будет наибольшим интервалом с пропорциями p,
решающим задачу о допусках.
23
Сравнение с известными подходами
Известные подходы
к решению задачи о допусках
1) формальное решение,
2) раздутие точки.
24
Формальное решение
Авторы: Зюзин В.С., Захаров А.В., Шокин Ю.Н.,
Шарый С.П., Куприянова Л.В., Markov S.M., Sainz M.A.
Суть:
аналогия:
крит.вн.интервала
решать
Ax = b
Ax ⊆ b
ax 6 b, a, x, b ∈ R, a > 0
решать ax = b
25
Формальное решение
Основной недостаток —
отсутствие формального решения для непустого ДМР
Пример.




[−1, 1]
1 1

, b=
A=
.
[−2, 2]
0 1



ДМР 
x1 + x2 ∈ [−1, 1],
x2 ∈ [−2, 2].
x2
2
1
1
−3 −2 −1
2
3
−1
−2
26
x1
Раздутие точки
Авторы: Neumaier A., Шайдуров В.В., Шарый С.П.,
Beaumont O., Philippe B.,. . . Юничева Н.Р.
Суть:
ẋ ∈ Ξtol ,
d ∋ 0 (пропорции+положение),
A(ẋ + αd) ⊆ b, max α−?
Если точку ẋ не фиксировать,
то α будет больше
27