Числа и их свойства

Числа и их свойства
Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите
ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
1
Решите в целых числах уравнение 6х2 + 5у2 = 74.
2
В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в
среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150.
Все эти животные есть в океанариуме.
а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?
б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было
больше 2000 посещений?
в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет
между ними 7 кг рыбы?
3
Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не
изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).
а) Сколько существует пятизначных палиндромов?
б) Существует ли 2015-значное число, квадрат которого является палиндромом?
в) Сколько существует палиндромов, квадраты которых не превышают 100000 и так же являются
палиндромами?
4
Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в
другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным
квадратом:
а) при n = 6;
б) при n = 13;
в) при n = 2014?
5
Решите в целых числах уравнение 19х2 + 28у2 = 729.
6
а) Могут ли 4 последовательных члена непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами?
б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 3. Какое наибольшее количество
подряд идущих её членов могут быть простыми числами?
в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми
числами. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии.
7
На доске выписана последовательность a1, a2, ... a1010, при этом а1 = 3.
В каждом из следующих случаев определите а1000
а) Для любого натурального к среднее арифметическое первых к членов последовательности равно 3.
б) Для любого натурального к ≥ 2 среднее арифметическое первых к членов последовательности на 1 больше
среднего арифметического первых (к — 1) членов последовательности.
в) Для всех нечётных натуральных к среднее арифметические первых k членов последовательности равны
между собой и на 1 меньше средних арифметических первых 2m членов последовательность для любого
натурального т.
ID_9859
1/3
neznaika.pro
8
а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой
цифр?
б) Можно ли число 288 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой
цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных
натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
9
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее
арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них
равно -8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
10
Бесконечную последовательность b1, b2, b3 , ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа,
причём для всех n b1 + b2 + ...+ bn—1 < bn.
а) Существует ли особенная последовательность, у которой все члены меньше 2015?
б) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая геометрическая прогрессия {сn}, что bn — сn
< 2015 для всех n?
в) Существуют ли такая особенная последовательность {bn} и такая арифметическая прогрессия {аn}, что bn —
аn < 2015 для всех n?
ID_9859
2/3
neznaika.pro
Ответы
1
(3 ; 2), (3; —2), (—3; 2), (—3; —2).
2
а) 665 б) не может в) 725
3
а) 900; б) да; в) 10
4
а) нельзя б) можно в) можно
5
решений нет
6
а) Да, например, 5, 11, 17, 23; б) 3 в) 30
7
а) 3 б) 2001 в) 1003
8
а) нет б) да в) 165
9
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
10
а) нет; б) да; в) нет
Обо всех неточностях пишите на почту (с указанием темы и формулировки задания): dasha@neznaika.pro
Источник: http://neznaika.pro/test/math/p/507
ID_9859
3/3
neznaika.pro