Проективная Геометрия.

Проективная Геометрия.
От Андрея Трепалина
Параллельные прямые не пересекаются … доказано zanussi.
Рассмотрим трёхмерное пространство. Зафиксируем в нём какую-нибудь систему координат.
Будем называть точками проективной плоскости прямые трёхмерного пространства, проходящие
через 0. Проективной прямой будем называть плоскость, проходящую через 0.
Посмотрим на плоскость А, не проходящую через 0, тогда каждой прямой, проходящей через 0
и не параллельной А, соответствует единственная точка плоскости А. А каждой плоскости проходящей
через 0 и не параллельной А - прямая в А. Сопоставим каждой прямой параллельной А, проходящей
через 0, бесконечно удалённую точку, через которую проходят все прямые плоскости А
параллельные ей. Плоскости параллельной А, проходящей через 0, сопоставим бесконечно
удалённую прямую. Таким образом, проективная плоскость - это обычная плоскость, дополненная
бесконечно удалённой прямой, на которой лежат все точки пересечения параллельных прямых (в
каждой точке пересекаются все параллельные прямые какого-то направления). В этом случае
плоскость А называется аффиной картой.
Очевидно, в проективной плоскости верно, что через любые две точки проходит одна прямая;
также верно, что две прямые пересекаются по одной точке.
В проективной плоскости координаты обычно задают одним из 2х способов: глобальные
однородные коодинаты, когда каждой точке сопоставляются координаты какого-то вектора, лежащего
на соответствующей ей прямой, с точностью до пропорциональности (a:b:c); или локальные
аффинные, когда берётся какая-нибудь аффинная карта А, в ней берётся система координат и каждой
точке проективной плоскости (кроме бесконечно-удалённых) сопоставим её координаты в этой
аффиной карте. Например, в плоскости z=1, точка с глобальными координатами (a:b:c) имеет
координаты (a/c;b/c).
Рассмотрим 3 базисных вектора в трёхмерном пространстве x=(1;0;0) y=(0;1;0) z=(0;0;1).
Линейным преобразованием трёхмерного пространства будем называть преобразование f, которое
каждому вектору a ставит в соответствие вектор f(a), причём для любых векторов a, b, любого числа k
выполнено: f(a+b)=f(a)+f(b); f(ka)=kf(b). Очевидно, линейное преобразование задаётся образами трёх
базисных векторов. Действительно, f(a;b;c)=af(x)+bf(y)+cf(z). Если вектора f(x), f(y), f(z), отложенные от
0 не лежат в одной плоскости, то преобразование называется невырожденным. В этом случае для
него существует обратное (если хотите докажите это).
Каждому невырожденному линейному преобразованию трёхмерного пространства соответствует
преобразование проективной плоскости, именнуемое проективным преобразованием.
Действительно, рассмотрим вектора отложенные от 0, тогда прямая, проходящая через 0 это
множество векторов пропорциональных какому-то и при линейном преобразовании она переходит в
другую прямую.
Далее, говоря "точка" будем подразумевать - точка проективной плоскости, говоря "прямая" проективная прямая.
У-1. Покажите, что проективная прямая переходит в проективную прямую при проективном
преобразовании.
У-2.
а)Докажите, что любые 4 точки, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой
(общего положения) можно перевести в любые 4 точки общего положения.
б)Докажите, что такое преобразование единственно (то есть образы остальных точек
определяются образами этих четырёх).
в)Доказать, что любые 3 точки, лежащие на одной прямой и точку вне неё можно
перевести в любые 3 точки лежащие на одной прямой и точку вне неё.
г)Единственно ли такое преобразование?
У-3. Докажите, что всякое взаимно-однозначное преобразование проективной плоскости,
переводящее прямые в прямые - проективное преобразование.
Интерпретация: Пусть А и В -- две плоскости в пространстве, О - точка, не лежащая ни на
одной из этих плоскостей. Центральным проектированием с центром О плоскости А на В называют
отображение, которое точке М плоскости А ставит в соответствие точку пересечения прямой ОМ с
плоскостью В. Тогда центральные проектирования (если рассматривать А и В как некоторую одну и ту
же аффиную карту проективной плоскости), параллельные проектирования, движения,
преобразования подобия, аффиные преобразования - всё это - проективные преобразования.
Далее зафиксируем какую-нибудь аффинную карту.
У-4.
а) Двойное отношение (ABCD)=(AC/BC)/(AD/BD) сохраняется при проективном
преобразовании.
б)(ABCX)=(ABCY) <=> X=Y
У-5.
а) Пусть О - точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F
точки пересечения прямых AB и СD, BC и AD cсоответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и
BC в точках M и N, прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Тогда
Прямые PN, MQ и EF пересекаются в одной точке.
б) Точки C и C' лежат на прямых AB и A'B' соответственно. Тогда три точки
пересечения прямых A'B и AB', B'C и BC', A'C и AC' лежат на одной прямой.
в) В треугольниках A1B1C1 и A2B2C2 вершины A1 и A2 лежат на прямой a, B1 и B2 лежат
на прямой b, C1 и C2 лежат на прямой c. A, B, C - точки пересечения прямых B1C1 и B2C2, A1C1 и A2C2,
A1B1 и A2B2 соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой <=> a, b, c
пересекаются в одной точке.
У-6.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность
переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности в центр образа.
б) На плоскости дана окружность и прямая, не пересекающая её. Докажите, что
существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а прямую в
бесконечно удалённую прямую.
У-7.
а) Докажите, что нельзя построить середину отрезка одной линейкой.
б) Докажите, что нельзя построить центр окружности одной линейкой.
Квадрикой называется кривая на плоскости, множество точек которое удовлетворяет
уравнению ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.
У-8.
а) Докажите, что любую квадрику проективными преобразованиями привести к одному
из следующих видов: x2+y2+1=0; x2+y2-1=0; x2+y2=0; x2-y2=0; x2=0.
б) Докажите, что через любые 5 точек, среди которых нет 4-х, лежащих на одной
прямой, можно провести квадрику, причём единственную.
в) Сколько квадрик касается пяти заданных прямых, никакие четыре из которых не
пересекаются в одной точке.
У-9.
а)(Теорема Брианшона). Если шестиугольник ABCDEF описанный, то AD, BE и CF
пересекаются в одной точке.
б)(Теорема Паскаля). Если шестиугольник ABCDEF вписанный, то точки пересечения
прямых AE и FB, BD и CE, AD и CF лежат на одной прямой.
У-10. (Теорема Понселе) Если треугольник вписан в квадрику C1 и описан вокруг C2, то для
любой точки А квадрики С1 существует треугольник, вписанный в С1 и описанный вокруг С2, одна из
вершин которого это А.