Вопросник к зачёту по дисциплине «Математика. Математический анализ» за модуль 1 для групп АП-15, АП-16, АП-17. Лектор А. В. Романов. На зачёте студент получает два вопроса из данного вопросника и две задачи указанных типов по выбору преподавателя. 1. 2. 3. 4. Что такое область определения и область значений функции? Найдите область x 1 определения функции y . Расскажите о возрастании и убывании функций. x2 Приведите примеры. Расскажите о функциях ограниченных, ограниченных сверху, ограниченных снизу на некотором множестве. Приведите примеры. На каком множестве ограничена (неограниченна) функция y x 2 , функция y 1/ x . Что такое обратная функция, при каком условии она существует. Как связаны между собой область определения и область значений прямой и обратной функции, как связаны их графики. Найдите обратную для функции y x 1 . x2 Что такое сложная функция, внешняя и внутренняя функция, приведите примеры. Дайте определение элементарных функций. Приведите пример неэлементарной функции. Является ли элементарной функция y x ? 5. 6. 7. Расскажите о возрастании и убывании последовательностей, их ограниченности, в том числе снизу, сверху. Приведите примеры. Докажите, что последовательность an n 2 является убывающей. 2n 1 Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности, не имеющей предела. Определить номер N , начиная с которого величина 3n 1 3 будет по модулю меньше 0.01 . 4n 2 4 Дайте определение бесконечного предела последовательности. Определите номер N , начиная с которого величина 8. 9. 5n 3 6 будет больше 1000 . n Расскажите об арифметических свойствах предела и о пределе монотонной последовательности. Определите число e . Что такое бесконечно малые и бесконечно большие последовательности? Приведите примеры. Определите окрестности O2 (3), O10 (), O5 () . Дайте определение предела функции в общем случае. Приведите (графически или аналитически) примеры функций f ( x ) , таких, что: f ( x) 0 при x ; f ( x) при x 2 ; f ( x) при x . 10. Расскажите об односторонних пределах функции, их связи с пределом функции в точке. Приведите графические примеры функций, имеющих конечные и бесконечные пределы в процессах x 1 0, 1 0. 11. Расскажите о бесконечно малых и бесконечно больших функций, их свойствах. Приведите примеры таких функций для процессов x 0, 2, . В каком процессе функция y 2 x является бесконечно малой (бесконечно большой)? В каком процессе функция y lg x является бесконечно малой (бесконечно большой)? 12. Дайте два определения записи f ( x) o( g ( x)). Сравните x n и x m (n, m ) при x 0, . Сравните бесконечно малые функции (0.2) x и (0.3) x , бесконечно большие функции 2 x и 3 x . Расскажите о шкале бесконечностей. 13. Дайте два определения записи f ( x) g ( x). Запишите первый и второй замечательный предел, приведите таблицу эквивалентностей. 14. Что такое главное слагаемое асимптотики функции? Для функции y 15. 16. 17. 18. 19. 20. x2 1 x2 1 найдите асимптотики в особых точках и на бесконечности. Постройте эскиз графика. Расскажите об арифметических свойствах предела функции. Сформулируйте теорему о замене функций на эквивалентные при вычислении пределов и докажите её в случае конечного предела. Приведите примеры. Сформулируйте два определения функции непрерывной в точке. Что означает непрерывность функции на промежутке, дайте геометрическую интерпретацию. Расскажите об арифметических свойствах непрерывных функций. Что такое разрывная функция, приведите пример. Расскажите (с графическими примерами) о классификации точек разрыва. Приведите графический пример функции, имеющей как разрыв 1-го рода, так и разрыв 2-го рода. Докажите непрерывность сложной функции. Что можно сказать о непрерывности элементарных функций? При каком условии для функции, непрерывной на отрезке, существует обратная функция; что можно сказать о её непрерывности? Сформулируйте теорему о наибольшем (наименьшем) значении функции, приведите примеры поясняющие необходимость её условий. Сформулируйте теорему о промежуточном значении и следствие из неё. Дайте геометрическую интерпретацию. Расскажите о методе деления отрезка пополам для приближённого решения уравнения f ( x) 0. Приведите оценки точности метода. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ Серия 1. Вычислить: 2 1) lim 9 3 x 3 ; x 0 2 cos 3 x 2 2) lim 2 3 x 8 ; x 0 2sin x 3 4) lim 2 4 x 8 ; x 0 3ln(4 x 1) 4 5) lim 3x 16 2 ; x 0 3tg x 4 3 3 2 3) lim 5 25 2 2 x ; x 0 9 3x 2 6) lim 3 4 x 27 . x 0 2 cos x 2 3 Серия 2. Найти односторонние пределы в точке разрыва функции: x 3 3 x 2 ; 1) y 3 2) y 1 2 x2 3 4 x ; 3) y arctg x 3 ; 2x 1 4) y arcctg 1 2 x . x3