На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи.
Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей
1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных.
Расскажите о числовой прямой
и отождествлении её точек с числами. Расскажите о
модуле числа и его свойствах. Докажите, что число
2 иррационально.
2. Докажите, что любой интервал содержит как рациональные так и иррациональные
числа.
3. Расскажите о методе математической индукции. Докажите неравенство Бернулли.
Расскажите о биноме Ньютона.
4. Расскажите о понятии множества и отображения. Что такое обратное отображение?
Расскажите о числовых функциях на множествах D 
. Что такое инъекция, сюръекция
и биекция? Приведите примеры.
5. Расскажите об ограниченных множествах вещественных чисел. Дайте два
определения верхней и нижней грани множества D 
. Сформулируйте теорему о
существовании верхней (нижней) грани. Приведите примеры.
6. Дайте определения функции y  f ( x) ограниченной сверху (снизу), ограниченной
функции, монотонной функции, суперпозиции функций и обратной функции. Дайте
определение графика функции. Приведите примеры.
7. Дайте определение последовательности. Что такое монотонная последовательность?
Что такое ограниченная сверху (снизу) последовательность? Что такое ограниченная
последовательность? Приведите примеры. Исследуйте на монотонность и ограниченность
последовательность an 
n2
.
2n  1
8. Дайте определение пределов limn an  a, limn an  ,  ,  . Приведите
примеры. Докажите теорему о единственности конечного предела последовательности.
Сформулируйте
(с
частичным
доказательством)
критерий
Коши
сходимости
последовательности.
9. Докажите, что всякая последовательность, имеющая конечный предел, ограничена.
Покажите на примере,
что обратное неверно (рассмотрите последовательность
an   1 , n  1, 2,... ). Докажите теорему Вейерштрасса о
n
пределе монотонной
последовательности.
10. Определите бесконечно малые и бесконечно большие последовательности,
приведите примеры. Расскажите о связях между такими последовательностями. Докажите,
что limn an  a тогда и только тогда, когда an  a   n , где  n – бесконечно малая
последовательность.
11. Докажите, что сумма бесконечно малых последовательностей и произведение
бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая
последовательность.
Докажите
теорему
об
арифметических
свойствах
предела
последовательностей.
12. Докажите теоремы о предельном переходе в неравенствах и "о двух милиционерах"
(для последовательностей).
13. Докажите существование конечного предела
n
 1
e  lim 1   .
n
n 
14. Определите окрестности
O   и проколотые окрестности
O   символа
  {x0 ,  ,  , }. Дайте общее определение предела функции lim f  x    1 на
x 
языке
окрестностей.
Приведите
поясняющие
графики
для
случаев
  {x0 ,  }, 1  {a,  }.
15.
Дайте
определение
lim f  x   a
x 
на
языке
неравенств
для
случаев
  {x0 ,  },  1  {a,  }. Приведите (аналитически) примеры соответствующих
функций. Докажите единственность предела lim xx0 f ( x)  a .
16.
Определите
lim xx0 f ( x)  a
односторонние
пределы
функции
в
точке.
Покажите,
что
тогда и только тогда, когда lim xx0 0 f ( x)  lim xx0 0 f ( x)  a .
Приведите примеры.
17. Определите бесконечно малые и бесконечно большие функции при x   . Поясните
связь между ними. Приведите примеры. Покажите, что произведение финально
ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Покажите, что сумма
двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая.
18. Докажите, что функция, имеющая конечный предел в точке финально ограничена.
Верно ли обратное (рассмотреть предел lim x0 sin1 x )? Покажите, что lim xx0 f ( x)  a
тогда и только тогда, когда f ( x)  a   ( x) , где   x  – бесконечно малая функция при
x  x0 .
19. Докажите теорему об арифметических свойствах конечных пределов функций.
20. Докажите, что если lim xx0 f  x   0 , то
f  x  0
в некоторой проколотой
окрестности O  x0  . Докажите теорему о предельном переходе в неравенствах и
сформулируйте теорему "о двух милиционерах" для функций.
21. Покажите, что lim x (1  1/ x) x  e .
22. Дайте определение эквивалентности функций при x    {x0 , x0  0,  , } ).
Приведите
примеры.
Покажите,
что
если
a  x b  x
и
c  x
d  x ,
то
a  x  c( x) b  x  d ( x) и a  x  / c( x) b  x  / d ( x) . Верно ли, что a  x   c( x) b  x   d ( x) ?
23.
Дайте
соотношения
определение
f  x
соотношения
g  x , x   , и
f  x   o( g  x ), x   .
Покажите,
что
f  x   g  x   o( g ( x)), x   , означают одно и то
же. Дайте определение соотношения f  x   O( g  x ), x   . Приведите примеры.
24. Дайте определение функции, непрерывной в точке и на промежутке. Изложите
классификацию точек разрыва. Приведите примеры. Дайте определение односторонней
непрерывности. Приведите примеры.
25. Что такое элементарная функция? Сформулируйте теорему о непрерывности
основных элементарных функций. Докажите её для функции y  cos x и покажите, что
sin x
x при x  0 .
25. Приведите таблицу эквивалентностей. Выведите при
tg x
x, 1  cos x
26.
e x  1 x,
x 2 / 2 , ln(1  x)
Докажите,
что
1  x   1  x,  
x 0
соотношения:
x . Запишите эти эквивалентности в виде равенств.
при
x 0
справедливы
соотношения
. Запишите эти эквивалентности в виде равенств.
Докажите непрерывность функций y  ln x , y  x .
27. Расскажите о шкале бесконечностей при x   . Объясните, как нарисовать
набросок графика функции, выделяя главные части в особых точках и на бесконечности.
Постройте эскиз графика функции y  ln x  1  ln x  2  1/ x  1/( x  1) 2 .
28. Докажите арифметические свойства непрерывных функций: непрерывность суммы
(разности), произведения и частного непрерывных функций.
29. Докажите теорему о непрерывности суперпозиции (двух) непрерывных функций.
Получите теорему о непрерывности элементарных функций. Сформулируй теорему о
непрерывности обратной функции.
30. Докажите лемму о вложенных отрезках.
31. Докажите теорему Коши о промежуточном значении. Изложите метод решения
уравнений f  x   0 методом деления отрезка пополам. Приведите оценки точности.
32.
Дайте
определение
подпоследовательности.
Докажите
лемму
Больцано–
Вейерштрасса (о выделении сходящейся подпоследовательности). Докажите 1-ю теорему
Вейерштрасса о функции непрерывной на отрезке. Покажите на примерах, что все
условия этой теоремы являются существенными.
33. Дайте определение верхней (нижней) грани функции, заданной на некотором
множестве. Сформулируйте теорему о существовании верхней (нижней) грани функции,
ограниченной сверху (снизу). Докажите 2-ю теорему Вейерштрасса о максимальном
(минимальном) значении непрерывной функции на отрезке. Покажите на примерах, что
все условия этой теоремы являются существенными.
34. Дайте определение функции равномерно непрерывной на промежутке. Как связаны
непрерывность и равномерная непрерывность? Рассмотрите функцию 1 x на (0,1] .
Сформулируйте теорему Кантора.
35.
Исследуйте
на
равномерную
непрерывность
функции
y  kx  b ( x  )
и
y  x ( x [0, )) .
36. Дайте определение производной и односторонней производной. Вычислите по
определению производные следующих функций: y  c,
y  x2 ,
y  sin x, y  cos x.
37. Расскажите о физическом и геометрическом смысле производной функции. Дайте
определение касательной к графику функции и выведите её уравнение. Выведите формулу
для угла между кривыми. Выведите уравнение нормали.
38. Выведите асимптотическую и приближённую формулу линеаризации. Что такое
дифференциал функции? Покажите, что дифференцируемость влечёт непрерывность.
Верно ли обратное? Приведите пример.
39. Приведите таблицу производных. Выведите формулы для производных функций
y  x , y  a x , y  log a x .
40. Докажите теорему об арифметических свойствах производной Приведите примеры.
Найдите  tg x  ,
 ctg x  .
41. Докажите теорему о производной суперпозиции функций. Приведите примеры.
42.
Докажите
теорему
о
производной
обратной
функции.
Вычислите
 arcsin x  ,  arccos x  ,  arctg x  ,  arcctg x  .
43. Расскажите о старших производных. Приведите формулу Лейбница. Расскажите о
функциях, заданных параметрически, выведите формулу для их дифференцирования.
Приведите примеры (окружность, гипербола).
44. Дайте определение точки локального экстремума. Докажите теорему Ферма. Дайте
определение критической точки. Приведите примеры. Расскажите, как найти наибольшее
и наименьшее значение функции на отрезке.
45. Докажите теорему Ролля. Объясните ее геометрический смысл. Приведите примеры.
46. Докажите формулу Коши для пары функций.
47. Выведите формулу Лагранжа. Объясните ее геометрический смысл. Получите
критерий постоянства дифференцируемой функции. Как найти наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке? Решите эту задачу для функции f ( x)  x3  3x  2 на [2,2].
48. Выведите необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) функции
на промежутке в терминах ее первой производной. Как меняются эти утверждения в
случае строгой монотонности?
49. Выведите достаточное условие локального экстремума по первой производной.
Выведите достаточное условие локального экстремума по второй производной.
50. Сформулируйте правила Лопиталя, докажите это правило в случае x  x0 и
неопределенности вида 0 0 . Вычислите lim
x0
sin x  x
x3
.
51. Перечислите возможные типы неопределённостей при вычислении пределов. Как
они сводятся к неопределённости 0 0 ? Расскажите о шкале бесконечностей при x   ,
получите соответствующие соотношения с помощью правила Лопиталя.
52. Дайте определение многочлена Тейлора для функции f  x  в точке x0 и выведите
его основное свойство.
53. Докажите формулу Тейлора–Лагранжа. Выведите из неё формулу Тейлора–Пеано.
54. Выведите частные формулы Тейлора–Пеано для функций:
y  ex ,
y  sin x,
y  cos x ( x0  0) .
55. Выведите частную формулу Тейлора–Пеано для функций: y  ln 1  x  ,
y  (1  x)
 x0  0 .
56. Определите при малых значениях x  0 знак функции

 

f  x   ln 1  x  x 2  ln 1  x  x 2 .
57. Когда говорят, что функция выпукла вверх (вниз) на интервале? Выведите
необходимые и достаточные условия выпуклости вверх (вниз). Приведите примеры.
58. Что такое точка перегиба графика функции? Выведите необходимое условие
перегиба, покажите на примере, что оно не является достаточным. Выведите достаточное
условие перегиба.
59. Дайте определения вертикальной и наклонной асимптот функции. Выведите
алгоритм нахождения наклонной асимптоты. Приведите примеры.
60. Расскажите о методе Ньютона решения уравнений вида f ( x)  0.
Основные определения и понятия
(дополнительные вопросы, незнание которых может снизить оценку за экзамен)
Определения: lim an  a,   ,  ;
2.
Непрерывность функции (в точке и на промежутке).
3.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь межу ними. Сравнение
n
lim f ( x)  a;
lim f ( x)  .
1.
xx0
x
функций: f ( x)  o( g ( x) и f ( x) g ( x) при x  x0 ,  .
4.
Первый и второй замечательный предел.
5.
Таблица эквивалентности.
6.
Производная функции.
7.
Таблица производных.
8.
Формула Тейлора–Пеано.
Типовые задачи
1. Исследуйте на монотонность и ограниченность одну из последовательностей:
an  7  2n , an  12n  n2 .
5n  2
2. Найдите односторонние пределы и начертите график вблизи точек разрыва для
одной из функций:

y  2 1
4
 4 x
2 x 1
;
y  arcctg 3x  4 ;
x2
2
y  2 x  2 x  3x  5 ;
x 1
y     arctg 2 x  7 .
2
3x  1
3. С помощью формул эквивалентности найдите один из пределов:
2  3 4x  8
;
x0 (1  cos 2 x) ln(3 x  1)
lim
3  3 5 x  27
;
x0 cos2x(cos x  cos 5x)
lim
2  5 2 x  32
;
x2
)
x 0 sin(2 x  1)  (9  3
lim
(sin x  sin 2)  tg2 x
;
4
x2
x  18  2
lim
4. Выделяя главные слагаемые, найдите один из пределов:
(3x  9)(3x  1)
.
ln(3x  5)
x 2
lim
lim
x 0
2 ln x 2  ln x  1
;
ln(x 4  x 6)
4
2
2x 1
lim 2x 4ln x1x 2 10 ;
x 3ln x  4
 4x
4x  x 2  ln 4 | x |
3x  5ln | x |
. lim
;
2
x
x x  9x 2  3x  2
4x  5x  2
lim
lim
x0
x  3ln | x |
.
ln 2 | x |  ln | x |
5. Выделяя главные члены асимптотики, постройте эскиз графика функции
y  ln x  1  ln x  2  1/ x  1/( x  1) 2 вблизи особых точек.
6. Найдите y для функции y  (cos x) tg x .
7. С помощью правила Лопиталя найти:
x ctg x  1
ln(0,6 x  0,4 x )
;
lim
;
x1 Sin( x  x5 )
x 0
2 x2
lim
lim (cos x)1 sin 2 x ;
x 0
lim (1  x)cos( x 2) .
x 1
8. Напишите разложение Тейлора Пеано:
xe x  ln(1  2 x) до x3 ;
sin 2x
до x 4 ; ln 2 x до ( x 1)3 , x ln(2 x  3) до ( x  1)3 .
x
9. С помощью формулы Тейлора–Лагранжа вычислите:
e с точностью 0, 01 ; sin1 с точностью 0, 01 ; cos1 с точностью 0, 01 .
10. Исследовать по первым двум производным и построить график одной из функций:
y  1 ( x 4  6 x2  5), y  x2  2 , y  2 x  3ln x.
4
x