Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных Функция, ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области, достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значений или во внутренних точках этой области, которые являются стационарными точками функции, или на её границе. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо: 1) Найти стационарные точки функции Для этого решаем систему уравнений z x 0 z y 0 2) Найти значения функции в стационарных точках, находящихся в области 3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на каждой линии, ограничивающей область 4) Сравнить все полученные значения … ПРИМЕР 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x y 5 0 y РЕШЕНИЕ построим область А О x 1) Находим стационарные точки функции 2x y 3 0 z x 2 x y 3 z y x 4 y 2 x 4 y 2 0 В ПРИМЕР 1 РЕШЕНИЕ 2 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 область 2 x y 3 0 x 4 y 2 0 y 2x 3 x 4 2 x 3 2 0 y 2x 3 x 8 x 12 2 0 y 2x 3 x 2 x 2 y 1 y А О x y 2x 3 7 x 14 0 В ПРИМЕР 1 РЕШЕНИЕ 2 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 x 2 2; 1 y 1 стационарная точка область y А О x Значение функции в стационарной точке В z ( 2; 1) ( 2)2 ( 2)( 1) 2( 1) 2 3( 2) 2( 1) 1 4 2 2 6 2 1 3 ПРИМЕР 1 РЕШЕНИЕ 2 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 область Исследуем поведение функции на границе граница состоит из: отрезка оси Ox отрезка оси Oy отрезка прямой AB на оси Ox y0 О x В функция принимает вид z x 2 3x 1 z x 2 3 x 1 2 x 3 x 1,5 2x 3 0 А y z ( 5;0) 11 z (0;0) 1 5 x 0 5 z ( 1,5;0) 4 ПРИМЕР 1 РЕШЕНИЕ 2 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 область Исследуем поведение функции на границе на оси Oy x0 А y О x функция принимает вид 2 z 2 y 2 y 1 5 y 0 z 2 y 2 2 y 1 4 y 2 y 0,5 4y 2 0 z (0; 5) 41 z (0;0) 1 z (0; 0,5) 1 2 В ПРИМЕР 1 РЕШЕНИЕ 2 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 область Исследуем поведение функции на границе на прямой AB А y x 5 z 4 x 26 x 41 О x функция принимает вид 2 y В 5 x 0 z 4 x 2 26 x 41 8 x 26 находим соответствующее 8 x 26 0 x 13 4 значение y 7 13 y 5 4 4 5 13 7 1 z ; z (0; 5) 41 z (0; 0,5) 4 4 4 2 2 ПРИМЕР 1 РЕШЕНИЕ 2 z x xy 2 y 3x 2 y 1 область Среди найденных значений z (0; 0,5) 1 2 z (0; 5) 41 5 13 7 z ; 4 4 4 y z (0;0) 1 z ( 5;0) 11 5 z ( 1,5;0) 4 z ( 2; 1) 3 выбираем наибольшее и наименьшее zнаиб z (0; 5) 41 zнаим z ( 2; 1) 3 А О x В ПРИМЕР 2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2 z x y 6x 4 y 2 y в прямоугольнике с вершинами в точках A(1; 3), B(1; 2), C (4; 2), D(4; 3) В C РЕШЕНИЕ x построим область А 1) Находим стационарные точки функции z x 2 x 6 2 x 6 0 zy 2 y 4 2 y 4 0 3; 2 стационарная точка D x 3 y 2 z 3; 2 11 ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ 2 2 z x y 6x 4 y 2 Исследуем поведение функции на границе A(1; 3), B(1; 2), C (4; 2), D(4; 3) y В 1) На отрезке AB x 1 2 z y 4 y 3 3 y 2 z y 4 y 3 2 y 4 2 y 4 0 y 2 2 1; 2 2) На отрезке CD z y2 4 y 6 z y 2 4 y 6 2 y 4 C x z (1; 3) 6 z (1;2) 9 А D z (1; 2) 7 x4 3 y 2 2y 4 0 y 2 z (4;2) 6 z (4; 3) 9 z (4; 2) 10 4; 2 ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ 2 2 z x y 6x 4 y 2 Исследуем поведение функции на границе A(1; 3), B(1; 2), C (4; 2), D(4; 3) 3) На отрезке BC z x 2 6 x 14 z x 6 x 14 2 x 6 2x 6 0 x3 2 3; 2 4) На отрезке AD 2 z x 6x 1 z x 2 6 x 1 2 x 6 y В y2 1 x 4 C x z (1; 2) 9 z (4;2) 6 А D z (3;2) 5 y 3 1 x 4 2x 6 0 x3 3; 3 z (1; 3) 6 z (4; 3) 9 z (3; 3) 10 ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ 2 2 z x y 6x 4 y 2 A(1; 3), B(1; 2), C (4; 2), D(4; 3) y В выбираем x z (1; 2) 9 z (1; 3) 6 z (4;2) 6 z (4; 3) 9 z (3;2) 5 z (3; 3) 10 z (1; 3) 6 z (1;2) 9 z (1; 2) 7 C z (4; 3) 9 z (4;2) 6 z (4; 2) 10 z 3; 2 11 А D Пример 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z xy в круге x 2 y 2 4 y Построим область D на плоскости Oxy – круг Найдем точки, где функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти точки могут находиться, как внутри области, так и на её границе. 2 x Необходимое условие экстремума: zx 0 y 0 Точка (0, 0) находится внутри круга z (0;0) 0 z 0 x 0 y Кроме того, наибольшее и наименьшее значения функции могут лежать на границе. Их надо найти, все сравнить и выбрать наибольшее и наименьшее Уравнение границы: x 2 y 2 4 y 4 x 2 где x∈[– 2;2] Функция z на границе: z x 4 x 2 2 z 4 x x2 4x 2 4 x 2 x2 4 x 2 2( 2 x 2 ) 4 x2 0 x 2 x 2 y 2 y 2 z( 2) 2 z ( 2 ) 2 z на концах отрезка x: z (2) 0 Таким образом, zнаибольшее= 2 в точке M1( 2 ; 2 ) zнаименьшее= –2 в точке M2( 2; 2)