12.08.15. Спин-орбит. взимод. -100п

1
УДК 530.12
Н.Н. ПРИЛЕПСКИХ
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ШАРОВ
(ГРАВИТАЦИОННОЕ СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ)
Получено выражение силы для релятивистского обобщения закона всемирного тяготения на
случай взаимодействия двух движущихся друг относительно друга и вращающихся вокруг
собственных осей шаров. Рассмотрена ориентационная зависимость этой силы от относительного
положения плоскости орбиты движущегося шара и вектора спина покоящегося шара. Установлена
аддитивность вкладов шаров в спин-орбитальное взаимодействие.
Введение
Исследователей не перестают интересовать устойчивость движения и резонансы в
небесной механике, однако, в силу принципиальной сложности задач, как правило,
анализируются довольно простые модели [1, 2]. Поэтому представляет интерес получение
реалистичных или, по крайней мере, моделирование реалистичных параметров задач
небесной механики.
В контексте проводимых автором работ, рассмотрены две близких по постановке
задачи. Первая задача – об определении силы релятивистского гравитационного спинорбитального взаимодействия двух шаров (двигающихся друг относительно друга с
некоторой скоростью V и одновременно вращающихся с угловыми скоростями ω1 и ω2 ).
Во второй задаче, в которой также рассмотрено спин-орбитальное взаимодействие двух
шаров, один из которых движется по круговой орбите относительно другого. Здесь
внимание акцентировано на установлении ориентационной зависимости величины силы
взаимодействия шаров (с учетом спин-орбитального взаимодействия) – установлена
зависимость модуля силы взаимодействия шаров от ориентации орбиты второго шара
относительно вектора спина первого шара.
Из явного вида силы релятивистского гравитационного взаимодействия
вращающихся шаров, полученной при некоторых разумных предположениях, следует, что
вклад
спин-орбитального
взаимодействия
в
релятивистское
гравитационное
взаимодействие шаров равен сумме вкладов каждого из шаров по отдельности, а вклад
одного шара пропорционален произведению орбитальной скорости движения второго
шара на величину скорости экваториальных точек этого шара.
В Приложении показано, что гравитационный аналог силы магнитного
взаимодействия проводников с током равен нулю.
Постановка задачи
Итак, рассмотрим задачу о гравитационном взаимодействии двух шаров, имеющих
ненулевую относительную скорость и вращающихся каждый вокруг своей оси со своей
угловой скоростью.
Формально задача ставится следующим образом. Даны два шара – 1 и 2, их радиусы
R1 и R2 , плотности ρ1 и ρ 2 . Шары движутся друг относительно друга и вращаются
каждый вокруг своей оси с произвольными угловыми скоростями. В системе отсчета
первого шара выберем правую систему координат: начало координат расположим в
центре первого шара, ось x направим таким образом, чтобы в момент времени t = 0 она
проходила через центр второго шара. Две другие оси системы координат можно
2
сориентировать произвольным образом. В этой системе координат в момент времени t = 0
радиус вектор центра второго шара R = ( R, 0, 0 ) , мгновенная скорость второго шара
относительно первого V , угловые скорости вращения шаров ω1 и ω2 .
Нужно определить силу гравитационного взаимодействия этих шаров.
Зададим положение точки внутри первого шара в сферических координатах в виде
ɶ
R1 = r1 = ( r1 ,ϑ1 , ϕ1 ) , где r1 ≤ R1 , ϑ1 ∈ [ 0, π ] , ϕ1 ∈ [0, 2π ) , элемент объема первого шара в
окрестности точки с координатой r1 запишется dV1 = r12 sin ϑ1dr1dϑ1dϕ1 . Аналогично,
ɶ = R + r , где r = ( r , ϑ , ϕ ) r ≤ R , ϑ ∈ [ 0, π ] ,
координата точки внутри второго шара R
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ϕ 2 ∈ [0, 2π ) , а элемент объемы второго шара в ее окрестности dV2 = r22 sin ϑ2 dr2 dϑ2 dϕ2 . В
ɶ = (x , y ,z ) и R
ɶ = (R + x , y , z )
прямоугольных координатах координаты этих точек R
1
1
1 1
2
2
2
2
соответственно.
Если следовать логике [3, 4], то пространственная часть релятивистского варианта
силы гравитационного взаимодействия F двух точечных частиц с массами покоя m01 и
m02 , движущихся относительно некоторой системы отсчета со скоростями v1 и v 2 ,
запишется в виде
G j j r
F = 2 1 22 ,
(1)
c0 r r
где G - гравитационная постоянная; c0 - константа размерности скорости; r - вектор
относительного положения частиц;
 v
v
v
v 
j1 j2 = m01m02 c02  ch 1 ch 2 − ( n1 , n 2 ) sh 1 sh 2 
(2)
c0 c0 
 c0 c0
псевдоскалярное произведение 4-векторов масса-импульс частиц
 v
 v
v 
v 
j1 = m01c0  ch 1 , n1 sh 1  ,
j2 = m02 c0  ch 2 , n 2 sh 2  ;
(3)
c0 
c0 
 c0
 c0
v1 = v1 , v2 = v 2 ; n1 , n 2 - единичные векторы скоростей первой и второй частиц; ( ⋅, ⋅) скалярное произведение пространственных векторов; c0 - размерная константа.
Тогда пространственная часть силы гравитационного взаимодействия двух
названных выше элементов объемов (точнее, соответствующих этим объемам масс) в
окрестности точки r1 шара 1 и в окрестности точки r2 шара 2, запишется в виде
G dj dj r
dF = 2 1 2 2 ,
(4)
c0 r
r
 v
 v
v 
v 
ɶ −R
ɶ ; v = ω ×r ;
где dj1 = ρ1c0 dV1  ch 1 , n1 sh 1  , dj2 = ρ 2 c0 dV2  ch 2 , n 2 sh 2  ; r = R
2
1
1
1
1
c
c
c
c
0
0 
0
0 


v
v
n1 = 1 ; v1 = v1 ; v 2 = V + ω2 × r2 ; n 2 = 2 ; v2 = v 2 ; псевдоскалярное произведение 4v1
v2
векторов dj1 и dj2 имеет вид
3
 v
v
v
v 
dj1dj2 = ρ1 ρ 2 c02 dV1dV2  ch 1 ch 2 − ( n1 , n 2 ) sh 1 sh 2  .
(4а)
c0 c0 
 c0 c0
Шестикратное интегрирование выражения (4) (по объему каждого из шаров) и даст
искомую силу гравитационного взаимодействия движущихся друг относительно друга и
при этом вращающихся шаров.
Интегрирование соотношения (4)
Чтобы сделать задачу обозримой – уместно учесть некоторые допущения.
Во-первых, естественным предположением можно считать допущение о том, что
расстояние между центрами шаров R много больше их радиусов R1 и R2 . Тогда с
точностью до первого порядка по отношению к r1 R и r2 R , куб расстояния между
шарами (знаменатель (4)) запишется в виде
r
−3
≃ ( R 2 + 2 R ( x2 − x1 ) )
−3 2
≃ R −3 d ( x1 , x2 ) ,
(5)
3
( x2 − x1 ) .
R
Во-вторых, разумным для большинства практически важных случаев будет
предположение о том, что v1 , v2 ≪ c0 - скорости движения элементов масс шаров в
где d ( x1 , x2 ) = 1 −
выбранной системе отсчета много меньше характеристической скорости c0 . Это, в первом
порядке по отношению v c0 , позволило бы гиперболические косинусы заменить
единицей, а синусы – их аргументами. Но в силу того, что в псевдоскалярное
произведение и синусы, и косинусы входят в виде произведения, то ограничение первым
порядком по величине v c0 , из-за произведения синусов, даст величину второго порядка
по v c0 . А это значит, что для обеспечения той же точности по отношению v c0 в
слагаемом с произведением косинусов, косинусы следует разлагать до второго порядка по
v c0 .
Тогда
v
v
v
v
1 ( v 2 − v1 )
ch 1 ch 2 − ( n1 , n 2 ) sh 1 sh 2 ≃ 1 +
.
(6)
c0 c0
c0 c0
2
c02
Имея ввиду свойства векторных операций [5, с. 166], квадрат разности векторов v 2
и v 2 можно представить в виде
2
( v 2 − v1 )
2
= V 2 + ω12 r12 − ( ω1 , r1 ) + ω22 r22 − ( ω2 , r2 ) + 2 ( V , ( ω2 × r2 − ω1 × r1 ) )
2
2
(7)
− 2 ( ( ω1 , ω2 )( r1 , r2 ) − ( ω2 , r1 )( ω1 , r2 ) ) .
В-третьих, так как нас в первую очередь интересует «спин-орбитальное»
взаимодействие, а во многих случаях может оказаться, что V ≫ ω2 × r2 и V ≫ ω1 × r1 ,
то в правой части (7) можно ограничиться первым, шестым и седьмым слагаемыми, в
которых сомножителем входит V .
Кроме того, в выражении (7) усматриваются еще и члены «самодействия»
(слагаемые со второго по пятое) и члены «обменного» взаимодействия (два последних
слагаемых).
4
С учетом сделанных предположений выражение для элемента силы (4) примет
существенно более простой вид
 1V2 1

ρ dV ρ dV
dF = G 1 1 3 2 2 rd ( x1 , x2 )  1 +
+ 2 ( ( N 2 , r2 ) − ( N1 , r1 ) )  ,
(8)
2
R
 2 c0 c0

где введены обозначения N1 = V × ω1 , N 2 = V × ω2 .
ρ dV ρ dV
В соотношении (8) комбинация G 1 1 3 2 2 r представляет закон всемирного
R
тяготения для двух покоящихся точечных частиц с массами ρ1dV1 и ρ 2 dV2 , вектор
относительного положения которых r
( r ≈ R ) , а фактор d ( x , x )
1
2
учитывает конечность
размеров взаимодействующих тел.
Первое слагаемое в скобке правой части (8) соответствует «нерелятивистскому»
закону всемирного тяготения, второе слагаемое дает «релятивистские поправки
вследствие орбитального (поступательного) движения, а третье и четвертое слагаемые
описывают спин-орбитальное взаимодействие.
На выражение (8) можно смотреть еще и следующим образом: это сила
взаимодействия двух точечных частиц, движущихся по круговым орбитам, определяемым
угловыми скоростями ω1 и ω2 , при этом орбиты имеют относительную скорость V .
Из (8) следует, в частности, что величина «силы спин-орбитального взаимодействия»
пропорциональна первой степени орбитальной и угловой скоростей вращения шаров, в то
время как обычная релятивистская поправка имеет второй порядок по величине
орбитальной скорости. Из расчета следует, что из-за конечности размеров тел и спинорбитального взаимодействия нарушается третий закон Ньютона: при смене индексов
шаров в (8) меняется не только знак вектора относительного положения r , но и величина
d ( x1 , x2 ) , и вклад в силу взаимодействия самого спин-орбитального взаимодействия.
Вопрос о том, является это обстоятельство фактом физическим или формальным, пока
открыт.
В предположении однородности шаров ( ρ1 , ρ 2 = const ) и в пренебрежении
отклонением от параллельности прямых, соединяющих элементы шаров, интеграл от
выражения (8) удобно представить в виде
 1 V 2 

1
(9)
F = f 0 ( R )  1 +
I
+
I
V
ω
ω
R
,
,
(
)
(
)
 ,

1
2
1
2
2
c02
  2 c0 

где f 0 ( R ) = G
ρ1 ρ 2
R3
, I1 =
∫
rd ( x1 , x2 ) dV1dV2 , I 2 =
V1 ,V2
∫
rd ( x1 , x2 ) ( ( N 2 , r2 ) − ( N1 , r1 ) ) dV1dV2 .
V1 ,V2
Элементарные вычисления дают
1
I2 = VV
1 2 J 2 ( V, ω
1 , ω2 ) ,
5
I1 = RVV
1 2 J1 ( R ) ,
(10)
 3 R2 + R2

где J1 ( R) = 1− 1 2 2 ,0,0  , J2 ( V, ω1, ω2 ) = −2( N1x R12 + N2x R22 ) , ( N1y R12 + N2 y R22 ) , ( N1z R12 + N2z R22 ) .
 5 R

Подстановка (10) в (9), после элементарных преобразований, дает искомое
выражение силы гравитационного взаимодействия двух движущихся относительно друг
друга вращающихся шаров
(
)
5
 1 V 2 

1
F = F0 ( R )  1 +
J R + 2 J 2 ( V, ω1 , ω2 )  ,
2  1( )
5c0 R
  2 c0 

(11)
m1m2
- модуль силы гравитационного взаимодействия тел с массами
R2
m1 = ρ1V1 и m2 = ρ 2V2 , находящимися на расстоянии R друг от друга.
Остается добавить, что вклад спин-орбитального взаимодействия пропорционален
обратному кубу ( ∼ R −3 ) расстояния между телами, учет спин орбитального
где F0 ( R ) = G
взаимодействия делает взаимодействие вращающихся тел нецентральным и что оба шара
по вкладу в спин-орбитальное взаимодействие равноправны.
Ориентационные аспекты спин-орбитального взаимодействия
Рассмотрим задачу, которая отличается от рассмотренной в предыдущем разделе в
двух отношениях: во-первых, будем полагать, что R ≫ R1 ≫ R2 ; во-вторых, второй шар
движется относительно первого по круговой траектории с угловой скоростью Ω.
Цель – установить зависимость силы спин-орбитального взаимодействия шаров от
ориентации плоскости орбиты второго шара относительно вектора угловой скорости
первого шара.
Пусть первый шар находится в начале координат, вектор его угловой скорости задан
в виде ω1 = ω1 ( λ1 , µ1 ,ν 1 ) , где ω1 - модуль вектора угловой скости, а λ1 , µ1 , ν 1 его
направляющие косинусы Пусть в интересующий нас момент времени t = 0 второй шар
находится в плоскости ( x, z ) .
Определим координаты центра второго шара как R = R ( cos α , 0,sin α ) = Rn R (α ) , где
nR =
R
= ( cos α , 0,sin α ) - единичный вектор в направлении вектора R ; α ∈ [0, 2π ) - угол
R
между плоскостью орбиты второго шара и плоскостью ( x, y ) или, что то же самое – угол
между векторами угловой скорости первого шара ω1 и угловой скорости орбитального
движения второго шара Ω. Другими словами, Ω= Ω ( − sin α , 0, cos α ) .
Вектор угловой скорости второго шара ω′2 = ω2′ (λ2 , µ 2 ,ν 2 ) – произволен, где
λ2 , µ2 , ν 2 - его направляющие косинусы, если его центр находится на оси x . При
повороте плоскости орбиты второго шара на угол α вектор ω′2 преобразуется в вектор
ω2 (α ) = ω′2 cos α + (1 − cos α )( ω′2 , a ) a + ( a × ω′2 ) sin α ,
где a = j - единичный вектор, определяющий ось вращения, в нашем случае – орт в
направлении оси y ; символ « × » означает векторное произведение [6].
Тогда, аналог соотношения (4) запишется в виде
G dj dj
dF = 2 1 2 2 n R cos δ ,
(12)
c0 r
где r - вектор относительного положения, а δ - угол между вектором относительного
положения элементов объема dV1 и dV2 первого и второго шаров соответственно;
псевдоскалярное произведение 4-векторов масса-импульс имеет прежний вид (4а).
6
Отличия (12) от (4) сводятся к следующему.
Во-первых, введением множителя cos (δ ) и заменой единичного вектора n r вдоль
вектора r на единичный вектор n R учитывается то обстоятельство, что при последующем
интегрировании
суммирование
вкладов
взаимодействий
элементов
масс,
соответствующих dV1 и dV2 , из-за того, что R2 ≪ R, R1 , не может, как ранее, хотя и
приближенно, осуществляться вдоль направления n r , результат будет точнее, если
суммирование осуществлять по направлению n R .
И, во-вторых, линейная скорость элементов объема второго шара, очевидно, должна
принять вид v 2 = Ω× R + ω2 × r2 .
После элементарных преобразований, в первом приближении по отношению r1 R и
r2 R ,
1
1
cos δ ≃ 4 R 2 − 2 R ( ( x2 − x1 ) cos α − ( z2 − z1 ) sin α ) .
(13)
2
r
R
В том же, что и ранее, приближении v1 , v2 ≪ c0 релятивистский фактор (скобка в
(
)
1 ( v 2 − v1 )
(4а)) сведется к прежнему выражению 1 +
с тем отличием, что иначе
2
c02
определен вектор v 2 .
Тогда квадрат относительной скорости элементов объема в обсуждаемом контексте и
в предположении, что модули скорости «спинового» вращения элементов масс,
соответствующих dV1 и dV2 , много меньше модуля скорости орбитального движения
элемента объема dV2 , примет вид
2
( v 2 − v1 )
2
≃ Ω2 R 2 + 2 ( ( Ω, ω2 )( R , r2 ) − ( Ω, r2 )( R , ω2 ) − ( Ω, ω1 )( R , r1 ) + ( Ω, r1 )( R , ω1 ) )
(
= Ω 2 R 2 + 2ΩR ω2 ( x2 Φ (α , nω 2 ) + z2 Ψ (α , nω 2 ) ) + ω1 ( λ1 z1 −ν 1 x1 )
где
)
Φ (α , nω 2 ) = cos 2α ( λ sin α + ν cos α ) + sin 2α ( −λ cos α + ν sin α ) ,
Ψ (α , nω 2 ) = − sin 2α ( λ sin α + ν cos α ) + cos 2α ( −λ cos α + ν sin α ) .
, (14)
(14а)
(14б)
Из (14а), (14б) следует, что на величины Φ (α , nω 2 ) и Ψ (α , nω 2 ) можно смотреть как
на компоненты вектора ( Φ (α , nω 2 ) , 0, Ψ (α , nω 2 ) ) , полученного в результате евклидова
( λ sin α +ν cos α , 0, − λ cos α +ν sin α )
y , который, в свою очередь, скалярно умножается на вектор ( x2 , y2 , z2 ) .
поворота на угол 2α вектора с компонентами
вокруг оси
7
5
4.897×10
V21( α )
5
4.895×10
5
4.893×10
0
2
4
α
Рис. 1
6
Таким образом, из соотношений (14) следует
довольно сложная ориентационная зависимость силы
взаимодействия элементов масс соответствующих
объемам dV1 и dV2 , что, если смотреть на элементы
dV1 и dV2 как на точечные объекты, проявится в их
динамике
как
периодическое
возмущение
орбитального движения.
Для модельных значений параметров задачи
квадрат относительной скорости как функция угла α
имеет вид Рис. 1 (функция V21 (α ) на Рис.1 – правая
часть соотношения (14)).
С учетом сделанных замечаний интегрирование (12) дает
 1 V 2 2 V  V2 R1

V R
F = F0 ( R )  1 +
−
Φ (...) cos α − Ψ (...) sin α ) − 1 1 (ν 1 cos α + λ1 sin α )   , (15)
(

2
c0 R

 2 c0 5 c0  c0 R
m1m2
- модуль силы гравитационного взаимодействия тел с
R2
массами m1 = ρ1V1 и m2 = ρ 2V2 , находящимися на расстоянии R друг от друга; V = ΩR скорость орбитального движения второго шара; V1 = ω1 R1 и V2 = ω2 R2 - максимальные
линейные скорости движения точек шаров вследствие их вращения.
Как и в предыдущей задаче, выражение (15) имеет ясный физический смысл: первое
слагаемое определяет модуль силы гравитационного взаимодействия точечных масс,
второе слагаемое дает релятивистские поправки к силе взаимодействия вследствие
орбитального движения второго шара, а последующие члены учитывают конечные
размеры первого шара и спин-орбитальное взаимодействие шаров с учетом ориентации их
«спинов». Понятно, что при α = 0 и замене линейной скорости орбитального движения
Ω× R на V , соотношение (15) сведется к модулю соотношения (11).
Существенно, что в рамках рассмотренных приближений вклады обоих шаров в
спин-орбитальное взаимодействие аддитивны.
где, как и ранее, F0 ( R ) = G
Заключение
Рассмотрены две задачи о гравитационном взаимодействии однородных
вращающихся шаров. Учет относительного движения элементов шаров и конечных
размеров самих шаров приводит не только к релятивистской поправке к силе
взаимодействия «точечных» масс, но при этом естественным образом возникает еще и
спин-орбитальное взаимодействие – влияние параметров вращения шаров на параметры
их относительного движения. Получена явная зависимость величины силы
взаимодействия вращающихся шаров от ориентации плоскости орбиты движущегося шара
относительно спина неподвижного шара.
Следствиями проведенного рассмотрения являются два обстоятельства, которые
необходимо учитывать при прецизионных расчетах орбитального движения небесных тел
и/или искусственных объектов: во-первых, влияние спинового вращения на параметры их
орбитального движения и, во-вторых, то, что при финитном относительном движении тел
спин-орбитальное взаимодействие оказывается периодическим возмущением, что может
сказаться на устойчивости движения тела.
8
Приложение
О релятивистском взаимодействии массивных движущихся стержней
В недавних работах Самохвалова В.Н. проведена серия экспериментов, в которых,
как утверждает автор экспериментов, в частности, продемонстрировано взаимодействие
двух соосно расположенных механически не связанных между собой вращающихся
дисков в вакуумной камере [7, 8]. Диски изготовлены из немагнитных материалов.
Объяснение феномена автор находит в существовании «массодинамических»
«…полей и обусловленных ими сил, действующих на движущиеся массы…» - аналогов
магнитного поля в электродинамике.
Так как из работы [9] следует, что на магнитное взаимодействие токов можно
смотреть как на релятивистское кулоновское взаимодействие зарядов, то, по аналогии,
можно предположить, что на действие «массодинамических» полей на массы можно
смотреть как на релятивистское гравитационное взаимодействие.
В духе этих экспериментов, в терминах развиваемого автором данной работы
подхода, рассмотрена задача о релятивистском гравитационном взаимодействии (в
тангенциальном направлении) двух бесконечно длинных тонких параллельно
расположенных массивных стержней, движущихся в направлении собственных осей со
скоростями v1 и v2 соответственно.
Оказалось, что релятивистский фактор (4а) для элементов стержней оказался
v −v
пропорциональным ch 2 1 , что указывает на некритичность этой зависимости ни от
c0
модулей скоростей самих стержней, ни от величины их относительной скорости.
И действительно, вычисления показали тождественное равенство нулю силы
продольного – вдоль оси стержней – воздействия стержней друг на друга.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
C e l l e t i A . , C h i e r c h i a L . Construction of stable periodic orbits for the spin-orbit problem of celestial
mechanics. Regul. Chaotic Dyn., 1998, 3 (3), с. 107-121.
D i C a p r i o U . Quantum gravity in the solar system. 6-eme Congress Europeen de Science des Systemes.
19-22 september 2005, p. 1-9.
П р и л е п с к и х Н . Н . Релятивистская динамика точечных частиц в евклидовом пространствевремени. http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12170.html
П р и л е п с к и х Н . Н . Релятивистская проблема Кеплера в евклидовом пространстве-времени.
http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12179.html
К о р н Г . , К о р н Т . Справочник по математике. – М.: Наука, 1974, 831 с.
К а з а н о в а Г . Векторная алгебра. – М.: Мир, 117 с.
С а м о х в а л о в В . Н . Экспериментальное исследование массодинамического взаимодействия
вращающихся дисков. http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9038.html (18.04.2008).
Самохвалов
В.Н.
Исследование и измерение величины силовых эффектов при
массодинамическом взаимодействии. http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12157.html (31.08.2012).
Прилепских
Н.Н.
Закон
Кулона
и
взаимодействие
токов
http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12180.html