УДК 530.12 КУПРЯЕВ Н.В. РАСЧЕТ ПРЕЦЕССИИ ПЕРИГЕЛИЯ ОРБИТЫ МЕРКУРИЯ В РАМКАХ ОБОБЩЕННОГО ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ С УТОЧНЕННЫМИ ДАННЫМИ Проведено численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия за 100 лет в рамках обобщенного закона всемирного тяготения в поле тяготения Солнца и планет с уточненными данными орбит планет (включая пояс астероидов и Плутон), а также гравитационной постоянной и с меньшим шагом итерации (0.0002 с). Расчеты проведены с повышенной точностью вычисления. Показано, что средняя прецессия перигелия орбиты Меркурия за 100 лет в рамках обобщенного закона всемирного тяготения составляет ~ 563.1''. Это меньше наблюдаемого смещения перигелия орбиты Меркурия на ~ 11''. Наблюдаемое смещение перигелия, как известно, составляет ~ 574.1''. Не исключено, что внутри орбиты Меркурия может находиться еще какой-то неизвестный неучтенный объект (или несколько объектов) малого размера. Ключевые слова: Закон всемирного тяготения Ньютона, обобщение закона всемирного тяготения Ньютона, численное моделирование орбиты Меркурия, прецессия перигелия орбиты Меркурия. В работе [1] автором было предложено обобщение закона всемирного тяготения Ньютона на случай движущихся гравитационных масс. Рассматривались мнимые гравитационные заряды i G m , где i - мнимая единица; m - собственная масса (масса покоя) тела, совпадающая с ньютоновской массой; G - гравитационная постоянная. Обобщение базировалось на аналогии гравитации с электродинамикой Максвелла. Мнимость заряда, введенная автором в [1], отражал тот факт, что истинных гравитационных зарядов в природе, по-видимому, не существует. Автором предполагается, что существует какое-то остаточное некомпенсированное поле и, скорее всего, электромагнитного происхождения. Как и в электродинамике, предполагается, что гравитационных зарядов может быть двух сортов – один для материи i G m , другой – для антиматерии i G m . Одноименные заряды притягиваются, разноименные отталкиваются. При соединении разноименные гравитационные заряды аннигилируют и превращаются в безмассовые фотоны. Если пренебречь членами v 2 / c 2 второго порядка малости, для конфигурации гравитационного поля, движущегося со скоростью v мнимого гравитационного заряда i G m , как и в электродинамике, можно записать выражение i Gm , (1) r2 где g - величина гравитационного поля в точке наблюдения; vr - угол между вектором скорости g v заряда i G m и радиус-вектором r наблюдения. Для конфигурации гравимагнитного поля i Gm v sin vr , r2 c где H - величина гравимагнитного поля в точке наблюдения. В векторном виде это можно переписать так H g i Gm r; r3 (2) (3) i Gm vr . (4) r 3c Таким образом, в рамках обобщенного закона всемирного тяготения сила (по аналогии с силой Лоренца), действующая в этом поле на другой движущийся со скоростью v мнимый гравитационный заряд i G m , как и в электродинамике Максвелла, также описывается формулой H F i G mg i Gm vH . c 1 (5) Только в отличие от электродинамики Максвелла в рамках обобщенного закона всемирного тяготения между двумя параллельно движущимися телами одного заряда возникает не сила притяжения, а сила отталкивания. В работах [2-4], как известно, было проведено численное моделирование орбиты Меркурия (в Delphi) в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с шагом t итерации 0.0005 с в поле тяготения Солнца и планет, но, к сожалению, с устаревшими данными и без учета пояса астероидов, а также Плутона. Но, тем не менее, для среднего смещения перигелия орбиты Меркурия за 100 лет было получено значение ~ 562.2'', что меньше наблюдаемого значения на ~ 11.9''. Наблюдаемое значение смещения перигелия орбиты Меркурия, точнее, динамическая составляющая этого смещения по современным данным, как известно, составляет ~ 574.1''. Для G было принято значение 6.67258·10-8 дин·см2/г2. В данной работе мы проведем численное моделирование орбиты Меркурия в рамках обобщенного закона всемирного тяготения также в Delphi и с повышенной точностью вычисления, но с шагом t итерации 0.0002 с и с новыми уточненными данными параметров орбит планет (включая пояс астероидов и Плутон), а также гравитационной постоянной G (для G примем рекомендованное CODATA1 в 2010 году значение 6.67384·10-8 дин·см2/г2), и сравним полученный результат с наблюдательными данными. Число положений n-планеты на круговой орбите радиуса r0 n , как и прежде, оставим 16, где n — порядковый номер планеты. Это число оптимальное, так как дальнейшее увеличение числа положений планет не изменяет результат вплоть до 5 знака и более знаков после запятой. Пусть, как и в [2-4], ускорение a , приобретаемое телом массой m , движущимся со скоростью v , и сила F , действующая на это тело, также связаны формулой v v m a ma c c , (8) F 3 2 v 2 2 1 2 1 v c2 c или, если поделить на m , формулой v a v F a c c , (9) f 3 m v2 v2 2 1 2 1 c2 c где f - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в плоскости x, z ) это можно переписать так v v v z2 v x2 1 f x z f z , 2 2 2 x c c c c c (10) 2 2 2 v x v z v z vx vz a z 1 2 2 1 2 f z f x . c c c c c Пусть, как и в [2-4], также имеется мировая инерциальная система отсчета (ИСО) S , покоящаяся относительно абсолютного мирового пространства-эфира (рис. 1). (В действительности, как уже говорилось в [2], Солнце вместе с солнечной системой, по-видимому, движется в пространстве со скоростью ~ 360 км/с.) ax 1 1 v x2 Пока писалась эта статья для G в 2015 году CODATA приняло рекомендованное на момент 2014 года значение 6.67408·10-8 дин·см2/г2 – примечание автора. 2 z v1 r01 rn1 m1 vn r0n mn x m0 Рис. 1 Пусть, как и в [2-4], ось x (в плоскости страницы) также направлена вправо, ось z вверх. Ось y , очевидно, направлена от читателя. Пусть в начале координат ИСО S находится (неподвижно) Солнце с массой m0 равной 1.9891·1033 г. Радиус R0 Солнца примем 6.9551·1010 см. Пусть, как и прежде, вращение Солнца происходит в плоскости страницы против часовой стрелки, yкомпонента угловой скорости w0 y вращения Солнца вокруг оси равна -2.865·10-6 рад/с. Степень сжатия (сплюснутости) Солнца обозначим через e, где e dR / R0 , где e по современным данным составляет ~ 1.13·10-5. Для светимости Солнца примем L = 3.86·1033 эрг/с. Радиус-вектор и скорость Меркурия, как и прежде, обозначим через r01 , v1 , радиус-вектор и скорость n-планеты с массой mn - через r0n , v n . Радиус n-планеты обозначим через Rn , yкомпоненту угловой скорости вращения планеты вокруг оси – через wny . Радиус-вектор, направленный из n-точки в точку 1, очевидно, есть rn1 . Планеты, таким образом, обращаются вокруг Солнца в плоскости страницы против часовой стрелки по среднегеометрическим круговым орбитам радиуса r0n x02n z 02n со 2 2 среднегеометрической орбитальной скоростью v n v nx . Среднегеометрический радиус v nz орбиты планеты вычисляется по формуле r0n a 1 2 , где a – большая полуось орбиты планеты; ε – эксцентриситет орбиты. Площадь среднегеометрической круговой орбиты планеты, как известно, равна площади эллиптической орбиты и планета за равные промежутки времени, как и в первом, так и во втором случае, заметает одинаковые площади и оказывает (в среднем) одинаковое действие на Меркурий. Только в отличие от круговой орбиты в случае эллиптической орбиты планета на орбите будет расположена в перигелии реже, в афелии чаще. Вращение планет, очевидно, будет происходить также плоскости страницы, кроме, Урана. Ось Урана, как известно, лежит в плоскости орбиты (т.е. в плоскости страницы) и составляющая гравимагнитной силы в плоскости страницы равна нулю и не оказывает влияние на прецессию перигелия орбиты Меркурия. На Меркурий, таким образом, действует сила, и со стороны Солнца, и со стороны планет. Солнце создает поле 1/ 4 g 01 i G m0 3 r01 r01 и H 01 p m0 3 r01 , i G m0 w 0 R02 - гравимагнитный момент Солнца; w 0 - вектор угловой скорости 5c вращения Солнца; n-планета - где pm0 g n1 i G mn rn31 rn1 и H n1 3 i G mn rn31c v n rn1 Pmn rn31 , i G mт w n Rn2 - гравимагнитный момент n-планеты; w n - вектор угловой скорости 5c вращения n-планеты. Гравитационный заряд Меркурия, очевидно, равен i G m1 . Масса m1 Меркурия, как известно, равна 3.33022·1026 г. Вначале для калибровки рассмотрим поведение орбиты Меркурия с учетом только одного Солнца. Планеты, спутники, вращение Солнца и планет, сжатие Солнца, силу давления солнечного света и температуру Меркурия пока учитывать не будем. Удельная сила, действующая на Меркурий (в координатном виде), очевидно, равна Gm f 01x 3 0 x 01 , r01 (11) Gm f 01z 3 0 z 01 , r01 где pmn 2 2 где r01 x01 . z 01 Вычисление времени t , положения r01 и скорости v1 Меркурия на N шаге, начиная от начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при N 0 ), также будем проводить методом средней точки по итерационным формулам 1 (12) t N tN , rN rN 1 v N 1t a N 1t 2 , v N v N 1 a N 1t 2 с шагом t итерации 0.0002 с. Систематическая ошибка метода составляет +0.0006015'' (см. Приложение 1 в конце статьи). Начальные координаты и скорости Меркурия (в момент времени t = 0) примем следующие: x01 = 4.6001009·1012 см; z01 = 0 см; v1x = 0 см/с; v1z = 5.898·106 см/с. Вычисления будем проводить до тех пор, пока Меркурий не достигнет точки афелия орбиты, т.е. пока не наступит r01 max . Как и в [2-4], для нахождения момента t времени, при котором наступает максимум r01 , на конечной стадии вычисления в области предполагаемого максимума поступим следующим образом. Из массива данных r01 выберем ступеньку, расположенную на верхнем участке графика. Затем в начале и в конце ступеньки найдем моменты времени t1 и t 2 , соответствующие условию r01 t1 r01 t 2 , найдем среднее значение момента времени t t1 t 2 / 2 , и из массива данных x01 и z 01 выберем значения соответствующие этому найденному моменту времени t . Вычисления проведенные по этой схеме показали, что Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = -6.97884393095852885·1012 см, z01 = -3.11357101938859028·105 см в момент времени t = 3798325.3408 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x ) составило +0.0092024'' (сюда входит и ошибка метода), т.е. в ту же сторону движения, в которую движется Меркурий (для угловой секунды примем значение 4.8481368110953599141·10-6 рад). В дальнейшем это смещение необходимо будет вычитать из всех последующих расчетов, при этом автоматически будет вычитаться ошибка метода. Вычитая из этой величины систематическую ошибку метода +0.0006015'' и получаем истинное смещение афелия орбиты Меркурия +0.0086009'' в поле тяготения Солнца на одном полупериоде. Смещение перигелия орбиты Меркурия за 100 лет, очевидно, составляет +0.0086009''·2·415=+7.138747'' (здесь предполагается, что смещение перигелия равно удвоенному смещению афелия, что подтверждается расчетами). Как уже говорилось в работах [2-4], это смещение вызвано, по-видимому, так называемым эффектом изменения «инертной массы» (инертности) Меркурия при его переменном движении по орбите вокруг Солнца. Затем по очереди будем исследовать поведение орбиты Меркурия с учетом вращения Солнца, сжатия Солнца, силы давления солнечного света, температуры Меркурия, а ткже с учетом влияния (по очереди) каждой n-планеты (включая их спутники и вращение планет). Удельная сила, действующая на единицу массы Меркурия в первом случае, очевидно, равна 4 w R2 Gm0 x01 0 y 0 v1z , 3 2 r01 5c 2 w R Gm 0y 0 3 0 z01 v1x , r01 5c 2 (13) Gm0 3R02 1 e x , 3 2 01 r01 5r01 Gm0 3R02 3 1 e 2 z01, r01 5r01 (14) Gm0 L R12 1 Q L R12 1 Q 1 x01 , x x Gm 01 01 0 3 3 3 4m1c r01 4m1cr01 r01 Gm0 L R12 1 Q L R12 1 Q 1 z 01 , 3 z 01 z 01 3 Gm0 3 4m1c r01 4m1cr01 r01 (15) f 01x f 01z во втором f 01x f 01z в третьем f 01x f 01z где Q – коэффициент отражения Меркурия (для Q примем значение 0 – полное поглощение). В последнем случае с учетом температуры Меркурия уравнение движения Меркурия имеет вид v1x v12x 1 c 2 f1x c 2 2 2 v v v v a1z 1 12x 12z 1 12z f1z 1x c c c c a1x 1 v12x v12z c2 c2 v1z U f1z / 1 1 2 , c m1c v1z U f1x / 1 1 2 , c m1c (16) где 1 L 4 U1 8 1023 k 2 R13 , 8r01 -16 где k = 1.38067·10 эрг/K – постоянная Больцмана; = 5.6703·10-5 эрг/(с·см2·K4) – постоянная Стефана-Больцмана. Удельная сила, действующая на Меркурий, как и прежде, равна (11). В случае с учетом влияния каждой планеты удельная сила, действующая на Меркурий со стороны n-планеты, а также Солнца равна (в координатном виде) Gm Gm f1x 3 0 x01 3 n r01 rn1 R2 1 1 x01 x0 n 1 2 v1x v nx v1z v nz 2 v nx v1x x01 x0 n v1z z 01 z 0 n n v1z wny , 5 c c (17) Gm0 Gmn f1z 3 z 01 3 r01 rn1 R2 1 1 z 01 z 0 n 1 2 v1x v nx v1z v nz 2 v nz v1x x01 x0 n v1z z 01 z 0 n n v1x wny . 5 c c где rn1 x01 x0n 2 z 01 z 0n 2 . Координаты n-планеты (и ее скорости) будем считать фиксированными, т.е. как бы не меняющимися во времени, и находящимися как бы на равных расстояниях между собой (разделенных на 16 частей) на среднегеометрической круговой орбите радиуса r0 n : 5 x0n k r0n cosk / 8, z 0n k r0n sin k / 8, v nx k v n sin k / 8, v nz k v n cosk / 8, (18) где k пробегает значения 1;2;...;16. Для каждого положения n-планеты (18) по очереди по формуле (17) будет вычисляться сила, действующая на Меркурий со стороны n-планеты (а также Солнца), затем суммироваться и находиться средняя сила: 1 f 1x f 1x k , 16 k (19) 1 f 1z f 1z k . 16 k Затем по формуле (10) находиться среднее значение ускорения Меркурия, вызванного средней силой (19), и по итерационным формулам (12) вычисляться усредненная орбита Меркурия. Массы mn , радиусы r0 n орбит, скорости v n , радиусы Rn и y-компоненты угловых скоростей wny n-планет и их спутников будем брать из таблицы 1. Таблица 1 n Планета Масса mn, г r0n, см 27 vn, см/с 13 Rn, см 6 wny, рад/с 2.99239·10-7 2 Венера 4.8685·10 3 Земля+Луна 6.046077·1027 1.495878155·1013 2.9783·106 6.371·108 -7.2921149·10-5 4 Марс+спутники 6.41850012·1026 2.2744513·1013 2.4077·106 3.3895·108 -2.95343·10-6 5 Пояс астероидов ~ 3.3·1024 ~ 4.3·1013 ~ 1.6·106 - - 1.898997·10 1.0820768·10 30 5 Юпитер+спутн. 6 Сатурн+спутники 5.6859683·1029 7 Уран+спутники 7.780837·10 3.502·10 13 1.306·10 6 6.0515·10 8 6.9911·10 9 -7.327·10-6 1.43233533·1014 9.68121·105 5.7316·109 -7.254966·10-6 8.68411391·1028 2.871006685·1014 6.8·105 2.5559·109 0 8 Нептун+спутники 1.02451091·1029 4.503302066·1014 5.4409·105 2.4764·109 -1.09307·10-4 9 Плутон+спутники 1.455·1025 5.812813487·1014 4.6682·105 1.195·108 -1.1386·10-5 Результаты вычислений приведены в таблице 2. Таблица 2 Причина t, с x01, см z01, см Смещение афелия Меркурия отн. отр. оси x, за вычетом +0.0092024'', угл. сек. Инертность Меркурия 3798325.3442 -6.97884393095852824·1012 -3.24575157155624267·105 +0.0086009 +7.138747 (за вычетом +0.0006015'') Температура Меркурия 3798325.3410 -6.97884393111925946·1012 -3.11743462829314194·105 +0.0000114 +0.009462 Вращение Солнца 3798325.3412 -6.97884393098869837·1012 -3.12792851769254746·105 +0.0000424 +0.035192 Сжатие Солнца 3798325.3316 -6.97884390909956540·1012 -3.35631632831219648·105 +0.0007174 +0.595442 Давление света 3798325.3410 -6.97884393095928456·1012 -3.12132869038666174·105 +0.0000229 +0.019007 Венера 3798330.4134 -6.97884866628041725·1012 -1.22288452014171224·107 +0.3522298 +292.350734 3798327.1414 12 6 +0.1154125 +95.7922375 Земля -6.97884572778794978·10 6 -4.21626927693254739·10 Смещение перигелия Меркурия за 100 лет, угл. сек. 3798325.3878 -6.97884397940249903·1012 -4.08862206882001664·105 +0.0028818 +2.391894 Пояс астероид. 3798325.3412 12 -3.12851997564171833·10 5 +0.0000442 +0.036686 -6.71002945161618674·10 6 +0.1891173 +156.967359 -6.17892373608191396·10 5 +0.0090599 +7.519717 -3.18425297575309965·10 5 +0.0002089 +0.173387 -3.13602773082416523·10 5 +0.0000664 +0.055112 -3.12134526464092298·10 5 +0.000023 +0.01909 Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон 3798328 .5124 3798325.4926 3798325.3440 3798325.3418 3798325.3410 -6.97884393099238311·10 -6.97884726109163053·10 12 -6.97884409006645063·10 12 -6.97884393397170675·10 12 -6.97884393187944727·10 12 -6.97884393095858928·10 12 Как видим, полная суммарная прецессия перигелия орбиты Меркурия за 100 лет в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с новыми уточненными данными орбит планет составляет ~ 563.1''. Это меньше наблюдаемого значения на ~ 11'' (здесь не учитывался взаимный наклон орбит планет). Не исключено, что внутри орбиты Меркурия может находиться еще какойто неизвестный неучтенный объект (или несколько объектов) малого размера. Для примера рассчитаем, например, вклад в смещение перигелия орбиты Меркурия некой гипотетической планеты Вулкан. Параметры орбиты этой планеты, как известно: r0n ~ 2.139·1012 см; mn ~ 2.8·1025 г; vn ~ 8·106 см/с. Вычисления показали, что с учетом гипотетической планеты Вулкан Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = -6.97884365070090·1012 см, z01 = 3.5942500633990847·105 см в момент времени t = 3798325.1808 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x ) составляет +0.0106231'', т.е. в ту же сторону движения, в которую движется Меркурий. Вычитая из этой величины калибровочную поправку +0.0092024'' получаем истинное значение смещения афелия орбиты Меркурия +0.001421'' в поле тяготения Вулкана. Смещение перигелия орбиты Меркурия за 100 лет, очевидно, составляет +0.0014207''·2·415=+1.179181''. К сожалению, автору пока не удалось найти более точных данных об всех этих планетах, а также их количестве, и существуют ли они на самом деле. Т.е., таким образом, вопрос о соответствии или несоответствии обобщенного закона всемирного тяготения наблюдательным данным пока остается открытым. Полученные результаты верны, по крайней мере, с точностью до 1-2 знака после запятой. Действительно, если провести, например, численное моделирование орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца в рамках обобщенного закона всемирного тяготения с шагом t итерации 0.0001 с, то Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = 6.97884392633923983·1012 см, z01 = -3.02151226891245611·105 см в момент времени t = 3798325.3370 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x ) составляет +0.0089303''. Отнимая систематическую ошибку метода +0.0002949'' при данном шаге (см. Приложение 1), получаем истинное смещение +0.0086354''. Смещение перигелия орбиты Меркурия за 100 лет, очевидно, составляет +0.0086354''·2·415=+7.167382''. Это совпадает, таким образом, (с точностью до 1 знака после запятой) с полученным выше значением +7.138747'' при шаге t итерации 0.0002 с. Поэтому следует ожидать, что и при дальнейшем уменьшении шага t результат не будет существенно меняться. Минимальный шаг итерации, который можно установить на этой программе составляет 0.00005 с. Это предельное разрешение, дальше начинает уже сказываться погрешность вычисления. Приложение 1 Оценим погрешность представленного метода вычисления смещения перигелия орбиты Меркурия. Для этого проведем численное моделирование орбиты Меркурия в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона также с шагом t итерации 0.0002 с и также с повышенной точностью вычисления в поле тяготения Солнца, но без учета планет. В идеале смещение перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона должно быть равно нулю. В рамках закона всемирного тяготения Ньютона конфигурация гравитационного поля мнимого гравитационного заряда i G m , как известно, описывается формулой g i Gm r2 7 или, если переписать в векторном виде, формулой g i Gm r. r3 Сила, действующая на другой мнимый гравитационный заряд i G m , очевидно, есть F i G mg . Ускорение a , приобретаемое телом массой m , и сила F , действующая на это тело в классической механике, как известно, связаны формулой: F ma , или, если поделить на m , формулой F f a, m где f - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в плоскости x, z ) это можно переписать так: a x f x , az f z . Солнце создает поле g 01 i G m0 3 r01 r01 . Удельная сила, действующая на Меркурий, очевидно, равна (11). Вычисление времени t , положения r01 и скорости v1 Меркурия на N шаге, начиная от начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при N 0 ), также будем проводить методом средней точки по итерационным формулам (12) с шагом t итерации 0.0002 с. Начальные координаты и скорости Меркурия (в момент времени t = 0 с) прежние: x01 = 4.6001009·1012 см; z01 = 0 см; v1x = 0 см/с; v1z = 5.898·106 см/с. Вычисления будем производить до тех пор, пока Меркурий не достигнет точки афелия орбиты, т.е. пока не наступит r01 max . Вычисления показали, что Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = -6.97884349487580687·1012 см, z01 = -2.03505510650077884·104 см в момент времени t = 3798325.0538 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x ) в рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона составило, таким образом, +0.0006015'' (в идеале, как мы уже говорили, это смещение должно быть равно нулю). Это и есть погрешность (в данном случае, систематическая) представленного здесь метода вычисления. Погрешность метода за 100 лет, очевидно, составляет 0.0006015''·2·415=0.499245''. Эта погрешность, как уже было сказано выше, автоматически вычиталась из всех наших предыдущих вычислений. При шаге же t итерации 0.0001 с Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = -6.97884349025643612·1012 см, z01 = -9.97853510052193909·103 см в момент времени t = 3798325.0497 с. Т.е. смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x ) составляет уже +0.0002949''. Погрешность метода за 100 лет при данном шаге составляет, очевидно, 0.0002949''·2·415=0.244767''. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. 4. К у п р я е в Н . В . Обобщение закона всемирного тяготения Ньютона. — URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12399.html. К у п р я е в Н . В . //Изв. вузов. Физика. – 2014. – Т. 57 - №6. – С. 81. К у п р я е в Н . В . Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия с учетом Луны и сжатия Солнца. — URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14443.html. К у п р я е в Н . В . Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия с учетом силы давления солнечного света и температуры Меркурия — URL: htt://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14618.html. Самарский филиал Федерального Государственного бюджетного учреждения науки Физического института им. П.Н. Лебедева Российской академии наук (СФ ФИАН), kuprjaev@front.ru 8