Расчет прецессии перигелия орбиты Меркурия в

УДК
КУПРЯЕВ Н.В.
РАСЧЕТ ПРЕЦЕССИИ ПЕРИГЕЛИЯ ОРБИТЫ МЕРКУРИЯ В РАМКАХ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Проведено численное моделирование прецессии перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца и
планет в рамках общей теории относительности. Расчеты проведены с повышенной точностью вычисления и с
шагом итерации 0.0005 с. Показано, что средняя прецессия перигелия (имеется в виду динамическая
составляющая прецессии) орбиты Меркурия за 100 лет составляет +567.2''. Это на 7.8'' меньше наблюдаемого
смещения +575''. Кроме того, показано, что смещение перигелия орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца
составляет +14.36''. Это в 3 раза меньше общепринятого значения +43''.
Ключевые слова: Общая теория относительности, численное моделирование орбиты Меркурия,
прецессия перигелия орбиты Меркурия.
Общепринятое значение средней прецессии перигелия орбиты Меркурия (имеется в виду
динамическая составляющая прецессии) в поле тяготения Солнца за сто лет в рамках общей
теории относительности составляет +43'', с учетом планет +575''. Это совпадает с наблюдаемым
смещением перигелия орбиты Меркурия, что вызывает некоторое сомнение. Для того чтобы
проверить это, проведем численное моделирование орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца и
планет в рамках общей теории относительности и сравним полученный результат с общепринятым
значением.
Вначале для калибровки и оценки ошибки метода вычисления прецессии перигелия орбиты
Меркурия, проведем численное моделирование орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца в
рамках закона всемирного тяготения Ньютона без учета планет. В идеале смещение перигелия
орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца должно быть равно нулю.
В рамках классического закона всемирного тяготения Ньютона, как известно, напряженность
гравитационного поля гравитационного заряда i G m задается формулой
i Gm
r,
r3
где i - мнимая единица, m - масса тела, G - гравитационная постоянная. Мнимость
гравитационного заряда, введенная автором, отражает тот факт, что истинных гравитационных
зарядов в природе, по-видимому, не существует. Автором предполагается, что существует какое-то
остаточное некомпенсированное поле, скорее всего, электромагнитного происхождения. Сила,
действующая на другой гравитационный заряд i G m , очевидно, есть
g
F  i G mg .
Ускорение a , приобретаемое телом массой m , и сила F , действующая на это тело в рамках
закона классической механики, связаны формулой:
F  ma ,
или, если поделить на m , формулой:
F
f 
a,
m
где f - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в
плоскости x, z ) это можно переписать так
ax  f x
.
(1)
az  f z
Пусть имеется некая инерциальная система отсчета (ИСО) S (см. рисунок ниже), покоящаяся
относительно абсолютного пространства.
1
z
v1
rn1
m1
r01
vn
r0n
m0
mn
x
Ось x (в плоскости страницы), предположим, направлена вправо, ось z вверх. Ось y , очевидно,
направлена от читателя..
Пусть в начале координат ИСО S находится (неподвижно) Солнце с массой m0 равной
1.99·1033 г. Радиус-вектор и скорость Меркурия обозначим через r01 , v1  , радиус-вектор и
скорость n-планеты с массой m n обозначим через r0n , v n  . Радиус-вектор, направленный из nточки в точку 1, очевидно, есть rn1 . Планеты, предположим, обращаются вокруг Солнца в
плоскости страницы против часовой стрелки по средним круговым орбитам радиуса
2
2
.
r0n  x02n  z 02n со средней орбитальной скоростью v n  v nx
 v nz
На Меркурий действует сила и со стороны Солнца и со стороны планет. Солнце создает поле
i G m0
i G mn
g 01 
r01 , n-планета поле g n1 
rn1 . Гравитационный заряд Меркурия, очевидно,
3
r01
rn31
равен i G m1 . Для G примем значение 6.67258·10-8 дин·см2/г2.
Проведем численное моделирование орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца без учета
планет. Удельная сила, действующая единицу массы Меркурия (в координатном виде), равна
Gm
f 01x   3 0 x 01 ,
r01
(2)
Gm0
f 01z   3 z 01 ,
r01
2
2
где r01  x01
.
 z01
Вычисление времени t , положения r01 и скорости v1 Меркурия на N шаге, начиная от
начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при N  0 ), будем
проводить в Delphi методом средней точки по итерационным формулам
1
(3)
t N  tN , rN  rN 1  v N 1t  a N 1t 2 , v N  v N 1  a N 1t
2
с шагом t итерации 0.0005 с с повышенной точностью вычисления. Начальные координаты и
скорость Меркурия (в момент времени t = 0 с) будем брать следующие: x01 = 4.6·1012 см, z01 = 0 см,
v1x = 0 см/с, v1z = 5.898·106 см/с. Вычисления будем проводить до тех пор, пока Меркурий не
достигнет точки афелия орбиты, т.е. пока не наступит r01  max (предполагается, что смещение
перигелия равно удвоенному смещению афелия, что подтверждается расчетами).
Так как результаты вычислений радиуса r01 слегка колеблются от точки к точке из-за
ограниченной точности вычисления ( Delphi оперирует с 19-20 знаками), из-за чего на графике
возникает детерминированный шум из-за ошибки округления. График зависимости r01 от t
представляет собой ступенчатую форму. То для нахождения момента t времени, при котором
наступает максимум r01 , на конечной стадии вычисления в области предполагаемого максимума
поступим следующим образом. Из массива данных r01 выберем ступеньку, расположенную на
самом верхнем участке графика. Затем в начале и в конце ступеньки найдем моменты времени t1
2
и t 2 , соответствующие условию r01 t1   r01 t 2  , затем найдем среднее значение момента времени
t  t1  t 2  / 2 , затем из массива данных x01 и z 01 выберем значения соответствующие этому
найденному моменту времени t и найдем смещение перигелия орбиты Меркурия.
Вычисления, проведенные по этой схеме, показали, что Меркурий достигает искомой точки
афелия орбиты с координатами x01 = -6.97367847308423458·1012 см, z01 = -2.71258039589095368·104
см в момент времени t = 3795234.0735 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно
отрицательной полуоси x ) составляет +0.0008'' (в идеале, как мы уже говорили, это смещение
должно быть равно нулю), т.е. в ту же сторону движения, в котором движется Меркурий (для
угловой секунды '' принято значение 4.84814·10-6 рад).
Это и есть погрешность (систематическая) представленного здесь метода вычисления. В
дальнейшем при калибровке эту ошибку необходимо вычитать из всех последующих расчетов.
Проведем теперь численное моделирование орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца в
рамках общей теории относительности. Удельная сила, действующая на Меркурий со стороны
Солнца, равна
Gm0
f 01  
3
r01
1
v12

v12

1


c2


v v 
r01   r01 1  1  ,
c  c


c2
или (в координатном виде),
f 01x  
Gm0
3
r01
1
f 01z  
v12x
c2
Gm0
3
r01
1
v12x
c2


v12z
c2
v12z


v12x v12z 
v v

1

2
 2  x 01  1x 1z z 01 ,

2
c c
c
c 


 v12x
v12z

1


2

c2
c2



v v
 z 01  1x 1z x 01 ,
c c


(4)
c2
2
2
где r01  x01
.
 z 01
Ускорение a , приобретаемое телом массой m , движущимся со скоростью v , и сила F ,
действующая на это тело в теории относительности, как известно, связаны формулой:
v
v
m a 
ma
c c
,
F
 
3
2
v
2 2
1  2 1  v 

c
2 
 c 
или, если поделить на m , формулой
 v a v


F
a
c c
,
f  
 
3
m
v2  v2  2
1  2 1 


c
2 
 c 
где f - удельная сила, действующая на единицу массы этого тела. В координатном виде (в
плоскости x, z ) это можно переписать так

v v
v z2  v x2 
1 
 f  x z f z ,
2
2 
2  x
c c
c
c  c 

(5)
2
2
2
v x v z  v z 
vx vz

a z  1  2  2 1  2  f z 
f x .
c c
c
c  c 

Вычисление времени t , положения r01 и скорости v1 Меркурия на N шаге, начиная от
начальной точки перигелия орбиты Меркурия (от положительной полуоси x при N  0 ), также
будем проводить в Delphi методом средней точки по итерационным формулам (3) с повышенной
ax  1 
v x2

3
точностью вычисления и с шагом t итерации 0.0005 с. Начальные координаты и скорость
Меркурия (в момент времени t = 0 с) прежние: x01 = 4.6·1012 см, z01 = 0 см, v1x = 0 см/с, v1z =
5.898·106 см/с. Вычисления будем проводить до тех пор, пока Меркурий не достигнет точки
афелия орбиты, т.е. пока не наступит r01  max .
Вычисления, проведенные по этой схеме, показали, что Меркурий достигает искомой точки
афелия орбиты с координатами x01 = -6.97367934401498980·1012 см, z01 = -6.12055010038501647·105
см в момент времени t = 3795234.6475 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно
отрицательной полуоси x ) в рамках общей теории относительности составляет +0.0181'', т.е. в ту
же сторону движения, в котором движется Меркурий (в дальнейшем это смещение необходимо
вычитать из всех последующих расчетов, при этом автоматически будет вычитаться ошибка
метода).
Вычитая из этой величины ошибку метода 0.0008'' получаем +0.0173''. Это и есть смещение
афелия орбиты Меркурия в поле тяготения Солнца в рамках общей теории относительности в
чистом виде. Для нахождения смещения перигелия орбиты Меркурия результат надо умножить на
2. Для вычисления смещения перигелия за сто лет результат, разумеется, надо умножить на
414.938, в итоге получаем +14.357''.
Как видим, полученный результат не совпадает с общепринятым значением +43''. Разница
очень большая, в 3 раза. С чем связана такая большая разница не понятно.
Это смещение на 50 % вызвано искривлением пространства-времени вблизи Солнца, т.е.
эффектом общей теории относительности, и на 50 % так называемым эффектом изменения
«инертной массы» Меркурия при движении по орбите вокруг Солнца, т.е. эффектом специальной
теории относительности.
В последнем можно убедиться, если провести численное моделирование орбиты Меркурия в
поле тяготения Солнца в рамках специальной теории относительности, используя вместо силы (4)
силу (2). Меркурий достигает искомой точки афелия орбиты с координатами x01 = 6.97367890854948982·1012 см, z01 = -3.19590607543529910·105 см в момент времени t =
3795234.3605 с. Смещение афелия орбиты Меркурия (относительно отрицательной полуоси x )
составляет +0.00945''. Вычитая из этой величины ошибку метода 0.0008'' получаем +0.00865''. Как
видим, это в 2 раза меньше значения +0.0173'', что получается в рамках общей теории
относительности.
Проведем теперь численное моделирование орбиты Меркурия с учетом влияния по очереди
каждой n-планеты. Удельная сила, действующая на Меркурий со стороны n-планеты равна (в
координатном виде)
f n1x  
Gmn
rn31 1 
f n1z  
v12x
c2
Gmn
rn31 1 
v12x
c2


v12z
c2
v12z


v12x v12z 
v v

1

2
 2  x 01  x n1   1x 1z  z 01  z n1 ,

2
c c
c
c 


 v12x
v12z

1


2

c2
c2



v v
 z 01  z n1   1x 1z  x 01  x n1 ,
c c


(6)
c2
где rn1   x01  x0n 2   z 01  z 0n 2 .
Координаты n-планеты будем считать фиксированными, т.е. не меняющимися во времени, и
находящимися как бы на равных расстояниях между собой (разделенных на 16 частей — это число
оптимальное, дальнейшее увеличение числа точек результат не меняет) на орбите радиуса r0 n :
 x0n k  r0n cosk / 8,
 z 0n k  r0n sin k / 8,
где k пробегает значения 1,2,...,16. Для каждого положения (7) n-планеты по формуле (6) по
очереди будет вычисляться сила, действующая на Меркурий со стороны n-планеты (а также
Солнца) по формуле (4)), затем суммироваться эта сила и находиться средняя сила
4
(7)
1
  f n1x  k ,
16 k
(8)
1
f1z  f 01z    f n1z  k .
16 k
Затем по формуле (5) находиться среднее значение ускорения Меркурия, вызванного этой средней
силой (8), и по итерационным формулам (3) будет вычисляться усредненная орбита Меркурия.
Массы m n , радиусы r0 n орбит n-планет будем брать следующие:
f1x  f 01x 
n
Планета
Масса mn, г
r0n, см
2
Венера
4.87·10
1.082·1013
3
Земля
5.976·1027
1.496·1013
4
Марс
6.44·1026
2.279·1013
5
Юпитер
1.899·1030
7.78·1013
6
Сатурн
5.68·1029
1.427·1014
7
Уран
8.65·1028
2.87·1014
27
8
Нептун
1.0243·1029
Начальные координаты Меркурия прежние.
Вычисления показали следующие результаты:
Возму- t, с
щающая
планета
Венера
Земля
x01, см
z01, см
Смещение
афелия
Меркурия
отн. отр. оси
x за вычетом
0.0181'', ''
3795239.7035 -6.97368406605696214·1012 -1.24945592792320011·107 0.35146
3795236.4195 -6.97368111408095657·10
Марс
4.497·1014
12
3795234.6935 -6.97367939217360506·10
12
Сатурн
Уран
Нептун
3795234.7995 -6.97367950429092144·10
3795234.6505 -6.97367934701091508·10
12
3795234.6485 -6.97367934493690888·10
12
291.668
-4.45581842018057163·10
6
0.11369
94.349
-7.08166035802083728·10
5
0.00285
2.365
Юпитер 3795237.8100 -6.97368266575429952·1012 -6.99586982912828661·106 0.18882
12
Смещение
перигелия
Меркурия
за 100 лет, ''
156.697
-9.17459842190844964·10
5
0.00904
7.502
-6.18380097228567510·10
5
0.00019
0.158
5
0.00007
0.058
-6.14300181152846774·10
Смещение перигелия орбиты Меркурия за сто лет под действием планет в рамках общей теории
относительности составляет +552.797'', с учетом Солнца +567.154''. Как видим, это меньше
наблюдаемого смещения +575'' на 7.846''. Разница довольно-таки ощутимая. С чем связана такая
разница тоже не понятно.
Здесь не учитывалось влияние малых планет солнечной системы, которое, вряд ли, изменит
результат. Кроме того, не учитывалось сжатие Солнца, автору пока не удалось найти сведений о
величине этого сжатия и смещения, вызванного этим сжатием.
Самарский филиал Федерального Государственного бюджетного учреждения науки Физического
института им. П.Н. Лебедева Российской академии наук (СФ ФИАН), kuprjaev@front.ru
5