Ðåøåíèÿ çàäàíèé îòáîðî÷íîãî òóðà ïî ìåõàíèêå Îáîçíà÷èì M , P , O òî÷êè, â êîòîðûõ íàõîäèòñÿ ìàòðîñ, ïèðàòñêèé ôëàã è öåíòð Çåìëè ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü R ðàäèóñ Çåìëè, d ðàññòîÿíèÿ îò ìàòðîñà è ôëàãà äî âîäíîé ãëàäè (îíè ïî óñëîâèþ ðàâíû).  ïåðâûé ìîìåíò, êîãäà ìàòðîñ óâèäèò ôëàã, ïðÿìîëèíåéíûé ëó÷ ñâåòà îò ôëàãà ïîïàäåò â ìàòðîñà. Äëÿ ìàòðîñà ôëàã êàæåòñÿ íà îäíîì óðîâíå ñ ãîðèçîíòîì, ïîýòîìó äàííûé ëó÷ áóäåò êàñàòåëüíûì ê ïîâåðõíîñòè ìîðÿ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Òðåóãîëüíèê M OP ðàâíîáåäðåííûé ñ áîêîâûìè ñòîðîíàìè R+d, òàê êàê êîíñòðóêöèè êîðàáëåé îäèíàêîâû. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåäèàíà ýòîãî òðåóãîëüíèêà OK äåëèò åãî íà äâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äëÿ òðåóãîëüíèêà M OK íàõîäèì 1. Ê çàäà÷å 1 √ √ √ MP = M K = (R + d)2 − R2 = 2Rd + d2 ≈ 2Rd. 2 Îòñþäà èñêîìîå ðàññòîÿíèå Îòâåò: √ M P ≈ 2 2Rd ≈ 55 êì. 55 êì. 2. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, òðîïèêè êðàéíèå îêðóæíîñòè íà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû, ïàðàëëåëüíûå ýêâàòîðó, íà êîòîðûõ Ñîëíöå áûâàåò â çåíèòå (ëó÷è ïàäàþò îòâåñíî), à ïîëÿðíûå êðóãè êðàéíèå îêðóæíîñòè íà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû, ïàðàëëåëüíûå ýêâàòîðó, íà êîòîðûõ Ñîëíöå íå çàõîäèò çà ãîðèçîíò âî âðåìÿ ïîëíîãî îáîðîòà ïëàíåòû âîêðóã ñâîåé îñè. Ðàññìîòðèì ìîìåíò, êîãäà Ñîëíöå íàõîäèòñÿ â çåíèòå íàä ñåâåðíûì òðîïèêîì (òî÷êà A). Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëó÷ ñâåòà îò Ñîëíöà, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó A ïîïàäàåò â öåíòð ïëàíåòû O. Ðàññìîòðèì ëó÷è, ïàÊ çàäà÷å 2 äàþùèå íà ïîâåðõíîñòü ïëàíåòû ñåâåðíåå òî÷êè A. Êðàéíèé ëó÷ ïîïàäàåò â òî÷êó B . Âèäíî, ÷òî íà ìåðèäèàíå, ñîäåðæàùåì òî÷êó B , îíà ÿâëÿåòñÿ êðàéíåé, äëÿ êîòîðîé Ñîëíöå íå çàøëî íàä ãîðèçîíòîì, òî åñòü, ïðèíàäëåæèò ïîëÿðíîìó êðóãó. Òàêèì îáðàçîì, âèäíî, ÷òî øèðîòû òðîïèêîâ α è ïîëÿðíûõ êðóãîâ β ñâÿçàíû ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì: α + β = 90◦ . Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïëàíåòû β = 75◦ . ◦ Îòâåò: 75 . Òðàåêòîðèè íèæíåé è âåðõíåé òî÷åê ìîáèëüíîãî ðîáîòà îêðóæíîñòè ðàäèóñàìè r1 è r2 , êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîíÿòèÿ øèðîòû 3. r1 = R cos θ, r2 = (R + h) cos θ, ãäå R ðàäèóñ Çåìëè. Ðàçíîñòü äëèí òðàåêòîðèé åñòü s = 2πr2 − 2πr1 = 2πh cos θ, ÷òî ðàâíî h ïî óñëîâèþ çàäà÷è. Îòñþäà ïîëó÷àåì θ = arccos 1 ≈ 81◦ . 2π 1 ≈ 81◦ . 2π 4. Ïðåäëîæèì êîíêðåòíûé âàðèàíò. Ðàçäåëèì 1 ë õîëîäíîé âîäû íà äâå ÷àñòè ïî 0,5 ë. Îäíó ÷àñòü íàãðååì, ïðèâåäÿ åå â êîíòàêò ñ 1 ë ñòî÷íûõ âîä. Èç óðàâíåíèÿ áàëàíñà òåïëà ïîëó÷èì, ÷òî óñòàíîâèòñÿ ðàâíîâåñíàÿ òåìïåðàòóðà 66, (6)◦ C . Íàãðåòóþ ÷èñòóþ âîäó îòîëüåì â îòäåëüíóþ ïîñóäó. Äðóãóþ ÷àñòü õîëîäíîé âîäû ïðèâåäåì â êîíòàêò ñ 1ë ñòî÷íûõ âîä, ó êîòîðîé òåïåðü óæå òåìïåðàòóðà 66, (6)◦ C .  ýòîì ñëó÷àå óñòàíîâèòñÿ òåìïåðàòóðà 44, (4)◦ C . Íàãðåòûå äî ýòîé òåìïåðàòóðû 0,5ë ÷èñòîé âîäû â òó æå ïîñóäó.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñìåñü äâóõ ðàâíûõ ÷àñòåé ÷èñòîé âîäû ñ òåìïåðàòóðàìè 66, (6)◦ C è 44, (4)◦ C . ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ÷èñòàÿ âîäà áóäåò èìåòü òåìïåðàòóðó, ðàâíóþ ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ýòèõ òåìïåðàòóð 55, (5)◦ C . Îòâåò: arccos Ê çàäà÷å 3 5.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Ãàâðèëîé, øàðèêè áðîñàþò ââåðõ èç îäíîé òî÷êè ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ ñ ïðîìåæóòêîì τ ïî âðåìåíè. Ââåäÿ îñü y , íàïðàâëåííóþ âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ íà÷àëîì â òî÷êå áðîñàíèÿ, è îòñ÷èòûâàÿ âðåìÿ ñ ìîìåíòà áðîñêà ïåðâîãî øàðèêà, çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáîèõ øàðèêîâ: y1 (t) = U t − gt2 , 2 y2 (t) = U (t − τ ) − g(t − τ )2 , 2 ïðè÷åì ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå èìååò îòíîøåíèå ê çàäà÷å ïðè t ≥ τ . Ðàññòîÿíèå ìåæäó øàðèêàìè s(t) = |y1 (t) − y2 (t)| = |U τ − gtτ + gτ 2 |. Òðåáóåòñÿ íàéòè ìèíèìóì ýòîé ôóíêöèè. 2 τ u Åñëè 2U ≥ gτ èìååòñÿ çíà÷åíèå T = + ≥ τ , ïðè êîòîðîì 2 g s(T ) = 0, ÷òî, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó øàðèêàìè. Òàê êàê ïî óñëîâèþ ïðîìåæóòîê τ íåáîëüøîé, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íóæíîå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî.  ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå îòñ÷åòà Ãëàôèðà óäàëÿåòñÿ îò ìåñòà áðîñêà è ëèíèè, âäîëü êîòîðîé ëåòàþò øàðèêè ñî ñêîðîñòüþ V , ïîýòîìó ê ìîìåíòó âñòðå÷è ( øàðèêîâ ) ðàññòîÿíèå ìåæäó íåé è τ u øàðèêàìè áóäåò ðàâíî V T = V + . 2 g ( ) u τ + Îòâåò: Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå 0, íà ðàññòîÿíèè V 2 g îò Ãëàôèðû. 6. Èç ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ AKC è BLC , îáðàçîâàííûõ îòðåçêàìè êàñàòåëüíîé, ïðÿìîé l è ðàäèóñàìè AK è BL, ïðîâåäåííûìè â òî÷êè êàñàíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè T ïîëó÷èì L+x aT = , aT − R x ãäå ÷åðåç x îáîçíà÷åíî ðàññòîÿíèå BC . L Èç óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ íàéäåì x = aT − L. Îòñþäà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òî÷êè C ïåðåR L ñå÷åíèÿ ïðÿìûõ a . R Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ êàðòèíà ìîäåëèðóåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà, äâèæóùåãîñÿ â ñðåäå ñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþ. L Îòâåò: a . R 7. Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå ñîïðèêîñíîÊ çàäà÷å 6 âåíèÿ æåëîáà è ïëîñêîñòè êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ñâîáîäíîãî √ ïàäåíèÿ øàðèêà íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè V = 2gr cos α. Ñâîáîäíîå ïàäåíèå øàðèêà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè. gt2 x(t) = R sin α + V cos αt, y(t) = R(1 − cos α) + V sin αt − . 2 Âðåìÿ ïîëåòà T íàéäåì èç êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ y(T ) = 0: √ ] √ √ 2R [ T = sin α cos α + 1 − cos3 α . g Îòñþäà íàéäåì èñêîìóþ êîîðäèíàòó òî÷êè ïàäåíèÿ: [ ] √ 3 x(T ) = R sinα + sin 2α + cos α (1 − cos α) . [ Îòâåò: R sinα + sin 2α + √ cos α (1 − Ê çàäà÷å 7 ] cos3 α) . Äîñòðîèì òðàïåöèþ ABCD äî òðåóãîëüíèêà. Ïóñòü òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áîêîâûõ ñòîðîí òî÷êà K . Ïðîâåäåì â òðåóãîëüíèêå AKD ìåäèàíó KP . ßñíî, ÷òî öåíòð ìàññ òðåóãîëüíèêà AKD ëåæèò íà ìåäèàíå KP â òî÷êå N . Íà ýòîé æå ïðÿìîé â òî÷êå L ëåæèò öåíòð ìàññ ìàëåíüêîãî òðåóãîëüíèêà BKC . Çíà÷èò, öåíòð ìàññ òðàïåöèè ëåæèò íà ýòîé æå ïðÿìîé (â òî÷êå O). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ AD : BC = k èçâåñòíîå ÷èñëî. Ïîëîæèì ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà BKC ðàâíîé 1 (KM = 1). Òîãäà KP = k, KL = 2/3, KN = 23 k . Îáîçíà÷èì N O = x. Ðàññìîòðèì ðàâíîâåñèå òðåóãîëüíèêà AKD îòíîñèòåëüíî òî÷êè N êàê ôèãóðû, ñîñòîÿùåé èç òðåóãîëüíèêà BKC è òðàïåöèè ABCD. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî òî÷êè N ñ ó÷åòîì îäíîðîäíîñòè êîíñòðóêöèè áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 2 1 · LN − (k 2 − 1)N O = 0 ⇒ 23 (k − 1 = (k 2 − 1)x) ⇒ x = 3(k+1) Îïðåäåëèì îòíîøåíèå, â êîòîðîì òî÷êà O (öåíòð ìàññ òðàïåöèè) äåëèò îòðåçîê M P . 2k 2 − k − 1 2k + 1 M O : OP = (M N + x) : (N P − x) = 2 = k +k−2 k+2 Ðàññìîòðèì îäèí èç âàðèàíòîâ âîçìîæíîãî çàêðåïëåíèÿ òðàïåöèè, íàïðèìåð, çà âåðøèíó B . Òîãäà ëèíèÿ îòâåñà ïðîéäåò ÷åðåç òî÷êè B è O è ïåðåñå÷åò îñíîâàíèå AD â òî÷êå Q. Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ BM O è P QO ñëåäóåò: BM : P Q = (2k + 1) : (k + 2) Òîãäà ìîæíî âûÿñíèòü â êàêîì îòíîøåíèè òî÷êà Q äåëèò îñíîâàíèå AD 2 AQ : QD = (BM · k + P Q) : (BM · k − P Q) = ( 2k+1 · k + 1) : ( 2k+1 · k − 1) = k k+k+1 2 −1 k+2 k+2 k2 +k+1 Îòñþäà áóäåì èìåòü AQ : AD = 2k2 +k . Òåïåðü óæå ìîæíî îïðåäåëèòü îòíîøåíèå ïëîùàäåé: 2 AQ AB k−1 SABQ : SAKD = AD · AK = k2k+k+1 2 +k · k Åñëè ïðèíÿòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BKC çà 1, òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AKD áóäåò ðàâíà k 2 , à ïëîùàäü òðàïåöèè k 2 − 1. 2 2 Òîãäà èç ïðåäûäóùåé ôîðìóëû ïîëó÷èì: SABQ = (k +k+1)(k−1) ⇒ SABQ : SABCD = (k +k+1)(k−1) : 2k+1 2k+1 2 (k 2 − 1) = 2kk2 +k+1 +3k+1 2 Îòñþäà ïîëó÷èì îòâåò: SABQ : SBCDQ = 2kk2 +k+1 +3k+1 8. 9. Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó òåðìîäèíàìèêè Q = ∆u + A, ãäå Q êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ∆u èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè, A ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì.  íàøåì ñëó÷àå kx2 Q = 0, ∆u = cv (T − T0 ), A = , 2 ãäå x ñìåùåíèå ïîðøíÿ, k æåñòêîñòü ïðóæèíû, T òåìïåðàòóðà ãàçà ïîñëå ðàñøèðåíèÿ. Ïóñòü P äàâëåíèå ãàçà ïîñëå ðàñøèðåíèÿ, S ïëîùàäü ñå÷åíèÿ. Òîãäà kx = P S , à èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà ðàâíî ∆V = Sx. Ïîñêîëüêó îáúåì óâåëè÷èëñÿ â n ðàç, òî ïîñëå ðàñøèðåíèÿ îí n ñòàë ðàâíûì V = Sx. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà n−1 P V = RT è ïîëó÷èì P n Sx = RT, n−1 kx2 = n−1 kx2 n − 1 RT RT, ⇒ A = = . n 2 n 2 Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè èçìåíåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè è ðàáîòû, ïîëó÷èì n − 1 RT T0 cv (T − T0 ) = − ⇒T = . (n − 1)R n 2 1+ 2ncv  èñõîäíîì è â ðàñøèðåííîì ïîëîæåíèè óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ãàçà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå P0 V0 = RT0 , P nV0 = RT. Ïîäåëèâ âòîðîå íà ïåðâîå, ïîëó÷èì: P T = = P0 nT0 Îòâåò: 1 ( ). (n − 1)R n 1+ 2ncv 1 ). P0 ( (n − 1)R n 1+ 2ncv Íàïðàâèì îñü x âäîëü ïðÿìîé, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ òî÷êà. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè vx (t) ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå. Ïðè ýòîì ïî îñÿì îòëîæåíû áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû v/v0 è t/t0 .  äàííîì ñëó÷àå ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå äóãè îêðóæíîñòåé åäèíè÷íîãî ðàäèóñà, òî åñòü òî÷êè A, B, C, D, E èìåþò êîîðäèíàòû (0; 1), (1; 1), (2; 1), (2; 0), (1; 0) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåùåíèÿ íåîáõîäèìî íàéòè ïëî- Ê çàäà÷å 10 ùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì v(t) îñüþ àáñöèññ (îíà ïîêàçàíà ñåðûì öâåòîì). Çàìåòèì, ÷òî êðèâîëèíåéíûé òðåóãîëüíèê OBE ðàâåí êðèâîëèíåéíîìó òðåóãîëüíèêó BDC , òàê êàê îáà ýòèõ òðåóãîëüíèêà ïîëó÷àþòñÿ âûðåçàíèåì ÷åòâåðòè êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà èç êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü ¾ñåðîé¿ ôèãóðû ðàâíà ïëîùàäè êâàäðàòà BCDE , òî åñòü 1. ×òîáû ïåðåñòðîèòü ãðàôèê â èñõîäíûõ êîîðäèíàòàõ (v, t) ðàñòÿíåì ïëîñêîñòü âäîëü îñè t â t0 ðàç è âäîëü îñè v â v0 ðàç. Ïðè ýòîì åäèíè÷íûé êâàäðàò ïåðåéäåò â ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè t0 è v0 , à åãî ïëîùàäü, òî åñòü ïåðåìåùåíèå, áóäåò v0 t0 . Îòâåò: v0 t0 . 10.