Ïðåääèïëîìíûé ñåìèíàð ïÿòîãî êóðñà ÌàòÌåõà ÑÏÁÃÓ Î ðàññòîÿíèè ìåæäó íåêîòîðûìè áàíàõîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè Ê.À.×åðíûø Ðàññòîÿíèåì ïî Áàíàõó-Ìàçóðó ïðèíÿòî íàçûâàòü d(X, Y ) = inf{kT k · kT −1 k : T ∈ L(X, Y )}. Ýòî ðàññòîÿíèå ñàìî ïî ñåáå íå ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé, ìåòðèêîé áóäåò åå ëîãàðèôì. Êîìïàêò Ìèíêîâñêîãî Rn ýòî ñîâîêóïíîñòü âñåõ n-ìåðíûõ áà- íàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ñíàáæåííàÿ ðàññòîÿíèåì Áàíàõà-Ìàçóðà. Õîðîøî √ n n, òî åñòü ìîæíî èçâåñòíûé ðåçóëüòàò Äæîíà ãîâîðèò, ÷òî d(X, `2 ) ≤ √ n n-öåíòðîì êîìïàêòà Ìèíêîâãîâîðèòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî `2 ÿâëÿåòñÿ √ n ñêîãî. Âîçíèêàåò âîïðîñ: à íå ÿâëÿåòñÿ ëè ïðîñòðàíñòâî `∞ òîæå nöåíòðîì êîìïàêòà Ìèíêîâñêîãî?  ðàáîòå Øàðåêà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò n-ìåðíîå√áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî X , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó d(X, `n∞ ) ≥ c n log n. Òåîðåìà 1 (Øàðåê).  ìîåé äèïëîìíîé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ ïðîñòðàíñòâî X , ÷üèì åäèíè÷n n íûì øàðîì ÿâëÿåòñÿ conv(B1 , An B1 ), ãäå An íîðìèðîâàííàÿ ìàòðèöà n n Óîëøà, à B1 åäèíè÷íûé øàð â `1 , òî åñòü îêòàýäð. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà c > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò n-ìåðíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó d(Y, X) ≥ c√n log n. Ãèïîòåçà 1. Ìû óìååì äîêàçûâàòü ãèïîòåçó ïî ìîäóëþ ñëåäóþùåé ëåììû: Ïóñòü Λ ìàòðèöà, çàäàííàÿ ñîîòíîøåíèÿìè Λui = xiui, à g ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè, ðàñïðåäåëåííûìè êàê N (0, 1). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà b1, 0 < b1 < 1, ÷òî âåðíî íåðàâåíñòâî Ëåììà 1. E (kΛgk1 − kΛgkX ) ≤ b1 E(kΛgk1 ). Íà äàííûé ìîìåíò ìû óìååì äîêàçûâàòü ëåììó äëÿ íåêîãî êëàññà ìàòðèö. 1