Âîïðîñû ê ýêçàìåíó 1. Îïðåäåëåíèå òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (â òîì ÷èñëå: òî÷êè, îêðåñòíîñòè òî÷êè, çàìûêàíèå ìíîæåñòâà, óòâåðæäåíèå î çàìûêàíèå ìíîæåñòâà). Áàçà òîïîëîãèè, ïðèìåðû. 2. Îïðåäåëåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëåíèå ãîìåîìîðôèçìà. 3. Íåïðåðûâíûé îáðàç êîìïàêòà ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì. Äîêàçàòü. 4. Äèàìåòð ìíîæåñòâà, ε-ñåòü, âïîëíå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. 5. Çàìûêàíèå âïîëíå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà âïîëíå îãðàíè÷åíî. Äîêàçàòü. 6. Âñÿêîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî êîìïàêòà êîìïàêòíî. Äîêàçàòü. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ. 7. Íåïðåðûâíîå è âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå êîìïàêòà ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì. 8. Îïðåäåëåíèå ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûõ è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà ÀðöåëàÀñêîëè. 9. Ñåìåéñòâî ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûõ íà ïðîñòðàíñòâå C[a, b] ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì. Äîêàçàòü. 10. Ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ïðèìåðû ïîëíûõ è íåïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. 11. X êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî âïîëíå îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Äîêàçàòü. 12. Îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâ L2 , Lp , R2 [a, b] (ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé â êâàäðàòå, p-ñòåïåíè íà îòðåçêå [a, b] ïî Ëåáåãó è ïî Ðèìàíó ñîîòâåñòâåííî). 13. Òåîðåìà Õàóñäîðôà. 14. Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Áàçèñ Ãàìåëÿ, áàçèñ Ðèññà. 15. Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Ïðèìåðû. 16. Îïðåäåëåíèå ε-ïîêðûòèÿ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ε-îòîáðàæåíèÿ, ε-ñäâèãà. 17. Êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè â òåðìèíàõ ε-îòîáðàæåíèÿ. 18. Ïðèìåðû áàçèñà Ãàìåëÿ. 19. Îïðåäåëåíèå Ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Ñâÿçü íîðìû è ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 20. Àëãîðèòì ÁóáíîâàÃàëåðêèíà. 21. Êðèòåðèé êîíå÷íîìåðíîñòè áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà. 22. Îïðåäåëåíèÿ ñòðîãîé íîðìû, ñòðîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû ñòðîãèõ è íåñòðîãèõ íîðì. 23. Ëþáîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñòðîãî íîðìèðîâàíî. Äîêàçàòü. 24. Êèðïè÷ Ãèëüáåðòà è åãî êîìïàêòíîñòü. 25. Îïðåäåëåíèå âñþäó ïëîòíîãî è íèãäå íåïëîòíîãî ìíîæåñòâà. 26. Òåîðåìà Áýðà, ìíîæåñòâà ïåðâîé è âòîðîé êàòåãîðèé. 27. Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. ßäðî îïåðàòîðà. 28. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà. 29. Îïåðàòîð íåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íåïðåðûâåí â íóëå. Äîêàçàòü. 30. Îïðåäåëåíèå îãðàíè÷åííîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. 31. Êðèòåðèé îãðàíè÷åííîñòè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. 32. Îïðåäåëåíèå íîðìû îïåðàòîðà. Ñâîéñòâà íîðìû. 33. Ëèíåéíû îïåðàòîð íåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí îãðàíè÷åí. Äîêàçàòü. 34. Òåðåìà Áàíàõà (áåç äîêàçàòåëüñòâà). 35. Ëèíåéíîå áèåêòèâíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå (îïåðàòîð) ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì. Äîêàçàòü. 36. Ñâîéñòâà áèåêòèâíûõ íåïðåðûâíûõ (ëèíåéíûõ) îòîáðàæåíèé â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. 37. Ýêâèâàëåíòíîñòü íîðì â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ñâîéñòâà íîðì â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. 38. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Äîêàçàòü. Îïðåäåëåíèå ãðàôèêà îïåðàòîðà. 39. Îïðåäåëåíèå çàìêíóòîãî îïåðàòîðà. 40. Òåîðåìà Áàíàõà î çàìêíóòîì îïåðàòîðå. 41. Òåîðåìà Áàíàõà Øòåéíãàóçà. 42. Ïîíÿòèå äîïîëíÿåìîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. 43. Ïîíÿòèå ñîïðÿæåííîãî ïðîñòðàíñòâà. Òåîðåìà Õàíà Áàíàõà. Ïîíÿòèå äâîéñòâåííîãî áàçèñà è åãî ñâîéñòâà. 44. Äîïîëíÿåìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. 45. Ëþáîå çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà äîïîëíÿåìîå. Äîêàçàòü. 46. Ïðîáëåìà ïîëèíîìèàëüíîé àïïðîêñèìàöèè â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C[a, b]. 47. Ïîíÿòèå ïðîåêòîðà. Ïðèìåðû. 48. Ïåðåñå÷åíèå ÿäðà ïðîåêòîðà è åãî îáëàñòè çíà÷åíèé ñîñòîèò èç íóëÿ. Äîêàçàòü. 49. Ñâîéñòâà ÿäåð ïðîåêòîðà. 50. Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ïðîåêòîðîâ. 51. Âñÿêèé ïðîåêòîð ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà èìååò íîðìó ðàâíóþ åäèíèöå. Äîêàçàòü.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ýòî íåâåðíî. Ïðèâåñòè ïðèìåð. 52. Ïîíÿòèå îáðàòíîãî îïåðàòîðà ðåçîëüâåíòû, ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ. Ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. 53. Òåîðåìà ôîí Íåéìàíà (î ðÿäå Íåéìàíà). 54. Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé îãðàíè÷åííîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îòêðûòî â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äîêàçàòü. 55. Ñïåêòð ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà, åãî ñâîéñòâà. 56. Îïðåäåëåíèå êîíå÷íîìåðíîãî îïåðàòîðà. Ïðèìåðû. 57. Ïîíÿòèå êîìïàêòíîãî (âïîëíå íåïðåðûâíîãî) ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. 58. Ñâîéñòâà êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ. 59. Ïðîèçâîäíàÿ Ôðåøå è ïðîèçâîäíàÿ Ãîòå. 60. Ìåòîä Íüþòîíà íàõîæäåíèÿ êîðíåé, ñâîéñòâà ìåòîäà, ïðèìåðû. 61. Òåîðåìà Áàíàõà î íåïîäâèæíîé òî÷êå. 62. Ïðîáëåìà òàáóëèðîâàíèÿ ôóíêöèé. 13-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà. 63. Òåîðåìà Ãèëüáåðòà î ñóùåñòâîâàíèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé m-ïåðåìåííûõ, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå êîìïîçèöèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé îò ìåíüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Ñëåäñòâèå ñëîæíîñòü àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì ïåðåìåííûõ. 64. Òåîðåìà Âèòóøêèíà. 65. Ïîíÿòèå òàáëèöû ôóíêöèè. Âîññòàíîâèìîñòü ôóíêöèè ñ òî÷íîñòüþ ε ïî ñâîåé òàáëèöå. Øèôðóþùèé è ðàñøèôðîâûâàþùèé àëãîðèòìû. 66. Îáúåì òàáëèöû ôóíêöèè. Ïðèìåðû òàáëèö. 67. Ïîíÿòèå ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ àëãîðèòìà. Ïîíÿòèå íàñûùàåìîãî ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ, ïîãðåøíîñòü íàñûùåíèÿ, êîìïàêò íàñûùåíèÿ. Ïîïåðå÷íèê ïî Àëåêñàíäðîâó è Êàëìîãîðîâó.