(DOCX, 70KB)

№0. B урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того,
что наугад вынутый шар — цветной.
Решение. Пусть событие A — вынут красный шар, событие B — вынут синий шар. Тогда события (A +
B) — вынут цветной шар. Имеем P(A) = 13 50 = 12 , P(B) = 13 00 = 13. Так как
События A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B) = 12 + 13 = 56 = 0.83.
№1. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди них
есть шары двух цветов?
Решение:1) Найдем вероятность противоположного события: "Вынули 3 шара одного цвета".
Всего способов вынуть 3 шара из 8 равно С83= 8!/(3!*5!) = 8*7*6/(2*3)=56
Благоприятный исход - вынули 3 белых шара из 3 (такой исход 1) или вынули 3 черных из 5 (таких исходов
С53). Количество благоприятных исходов 1 +С53 = 1+ 5!/(3!*2!)= 1+ 5*4*3*2/(3*2*2) = 1+ 10=11
Вероятность, что вынули 3 одинаковых шара Р1 = 11/56
Вероятность, что вынули 3 неодинаковых шара
Р = 1/Р1 = 1 - 11/56 = 45/56 = 0,8035 ≈ 0,8
№ 2. В корзине содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеется 3 белых шара.
Решение. Перенумеруем все шары. Всего шаров 11. Исходом считаем выбор 5 любых шаров.
Количество всех исходов равно С115 = 11!/(5!6!) = 11*10*9*8*7/(2*3*4*5) = 462.
Благоприятный исход - выбор 3 белых шаров и двух черных.
3 шара из 5 можно выбрать С53 способами. А выбрать 2 черных шара из 6 можно С62 способами.
Количество благоприятных исходов равно произведению
С53 * С62 = 5!/(3!*2!) * 6!/(2!*4!) = 5*4*3*2/(3*2*2) * 6*5*4*3*2/(2*4*3*2) = 10 * 15 = 150
Р = 150 / 462 ≈ 0,325
№ 3. Из урны содержащей, 6 белых шаров, 5 черных и 3 красных, достают наугад 4 шара. Найти вероятность,
что среди вынутых шаров есть хотя бы по одному шару каждого цвета.
Решение. Всего шаров 6+5+3=14. Исход - выбор четырех шаров из 14.
Всего исходов: С144 = 14!/(4!*10!) = 14*13*12*11/(2*3*4) = 1001
Благоприятный исход - выбраны 3 разных по цвету шара, а четвертый шар - любого цвета из оставшихся 11
шаров.
Количество благоприятных исходов равно 6*5*3*11 = 990
Р=990/1001 = 0,989
№4..В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны на угад вынимают два шара. Какова вероятность того,
что это будет: а) два белых шара; б) два черных шара; в) один черный и один белый.
Решение.
a) Вероятность, что первый шар белый Р=5/9
Осталось 4 белых, всего 8 шаров, вероятность вытащить второй белый = 4/8=1/2
Р=5/9*1/2 = 5/18 =0,28
б) Р=4/9 * 3/8 = 1/6
в) Вероятность, что первый черный, а второй белый Р=4/9 * 5/8 = 5/18
Вероятность, что первый белый, а второй черный Р=5/9 * 4/8 = 5/18
Окончательно, вероятность, что 1 белый и один черный Р=5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9
№5.В урне 2 белых и 8 черных шаров. Из урны извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что эти
шары черного цвета? одинаковые? разных цветов?
Решение.
Всего шаров в первой урне 10.
1) Вероятность извлечь первым черный шар из первой урны равна 8/10, останется 9 шаров, из них 7
черных. Вероятность извлечь черны шар равна 7/9.
Вероятность того, что первый черный и второй черный Р1=8/10*7/9= 28/45 = 0,6222..≈ 0,62
2) Аналогично находим, что оба шара белые.
Р2 = 2/10 * 1/9 = 1/45 ≈ 0,02
Вероятность, что оба шара одного цвета (или оба черные или оба белые) равна
Р = Р1+Р2 = 28/45+1/45 = 29/45 = 0,64
3) Вероятность, что первый белый, а второй черный Р3= 2/10 * 8/9 = 8/45
Вероятность, что первый черный, а второй белый Р4 = 8/10 * 2/9 = 8/45
Р = Р3+Р4 = 16/45 = 0,35
№6. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых, 4 черных и 4 красных шара, во
второй – 4 белых, 6 черных и 8 красных шаров, а в третьей – 6 белых и 6 черных шаров. Наудачу
выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался красным. Какова
вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
Решение.
1. Событие А - вынут красный шар.
Гипотезы Н1, Н2, Н3 - шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й, третьей урны. Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3
P(A|H1) = 4/12 = 1/3
P(A|H2) = 8/18=4/9
P(A|H3) = 0/12 = 0
P(A) = 1/3*(1/3+4/9+0) = 1/3* 7/9 = 7/27
P(H2|A) = P(H2)*P(A|H2)/P(A) = (1/3 * 4/9) / (7/27) = 4/7
№7. В первой урне находится 6 белых и 4 черных шаров, а во второй - 5 белых и 4 черных. Из первой урны
во вторую переложили один шар, после чего из второй урны извлекли один шар, оказавшийся белым. Какова
вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?
Решение.
Н1 - выбран белый шар из 1-й корзины
Н2 - выбран черный шар из 1-й корзины
А - выбран белый шар из 2-й корзины
Р(Н1) = 6/10 = 0,6
Р(Н2)= 4/10 = 0,4
Р(А/Н1) =6/10 = 0,6 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н1}
Р(А/Н2) = 5/10 = 0,5 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н2}
Р(А) = Р(Н1)*Р(А/Н1) + Р(Н2)*Р(А/Н2) = 0,6*0,6 + 0,4*0,5 = 0,56
Р(Н1/А) = [ Р(А/Н1) * Р(А) ] / Р(Н1) = (0,6*0,56)/0,6 = 0,56
Ответ: 0,56
№8. В каждой из двух урн по 5 черных и 5 белых шара. Из первой во вторую урну переложили шар. Какова
вяроятность того, что случайно выбранный из второй урны шар окажется белым?
Решение.
Пусть событие А - из второй урны вынут белый шар.
Рассмотрим гипотезы:
Н1 - из первой урны вынули белый шар
Н2 - из первой урны вынули черный шар
Р(Н1) = 5/10 = 0,5
Р(Н2) = 5/10 = 0,5
Р(А|H1) = 6/11 (во второй урне стало 6 белых 5 черных)
P(A|H2) = 5/11 (во 2-й урне стало 5 белых и 6 черных).
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) = 0,5*6/11 + 0,5*5/11 = 0,5
Ответ: 0,5
Выборка с возвращением или без возвращения.
Две урны содержат красные и черные шары, не различимые на ощупь. Урна A содержит 2 красных и 1 черный
шар, урна В - 101 красный и 100 черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн, и вы получаете награду,
если правильно называете урну после вытаскивания двух шаров из нее. После вытаскивания первого шара и
определения его цвета вы решаете, вернуть ли в урну этот шар перед вторым вытаскиванием.
Решение задачи.
Если первый вытянутый шар - красный, то неважно, из какой урны он вынут, так
как теперь в этой урне будет поровну красных и черных шаров и второй шар не даст оснований для решения.
Поэтому, если сначала вытянут красный шар, следует вернуть его в урну перед вторым извлечением. Если же
вынут черный шар, то лучше не возвращать его в урну.
При такой стратегии вероятность правильного ответа равна:
Урна A
Урна B
Решение
Оба красные
Урна A
Красный, черный
Урна B
Черный, красный
Урна A
Оба черные
Урна B
Полная вероятность правильного решения приближенно равна (заменяя 100/201 на 1/2 и т. д.):
Если вытягивать оба шара без возвращения, то вероятность угадать приблизительно равна 5/8, а при
возвращении 21.5/36 (0.625 < 0.597).
Задачи с возвращением шаров.
№9.Из урны, содержащей 5 шаров с номерами от 1 до 5, последовательно извлекаются два шара, причем
первый шар возвращается, если номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером
два будет извлечен при втором извлечении.
Решение.
Событие А: извлекли первый шар с номером 1 (вероятность равна 1/5), то его не вернут, и вероятность вынуть
затем шар №2 равна 1/4.
Р(А) =1/5*1/4=1/20.
Событие В: извлекли шар №"2 с вероятность 1/5, осталось 4 шара, вероятность вторым вынуть шар №2 равна
0.
Р(В)=1/5*0=0
Событие С: первым извлекли шар №3 или №4 или №5. Вероятность равна 3/5, вероятность вынуть вторым
шар №2 равна 1/5 (так первый шар вернули).
Р(С)=3/5 * 1/5 = 3/25
Р= Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1/20+ 0 + 3/25 = 0,05+0,12 = 0,17
№10. Из корзины, содержащей двадцать пронумерованных шаров выбирают на удачу 5 шаров. Определитьчисло элементов пространства элементарных событий этого опыта, если:
Шары выбираются последовательно один за другим с возвращением после каждого извлечения;
Шары выбирают один за другим, не возвращая;
Выбирают сразу 5 шаров.
Решение.
Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар вернулся в корзину,
то число способов извлечь второй шар также равно 20 и т. д. Тогда число способов извлечь 5 шаров в
этом случае равно 20 · 20 · 20 · 20 · 20 = 3200000.
Число способов извлечь первый шар из корзины равно 20. Так как извлеченный шар после извлечения не
вернулся в корзину, то число способов извлечь второй шар стало равно 19 и т. д. Тогда число способов
извлечь 5 шаров без возвращения равно 20 · 19 · 18 · 17 · 16 = A52 0
Число способов извлечь из корзины 5 шаров сразу равно числу сочетаний из 20 по 5: