tv_raschx

Нижегородский Государственный Технический
Университет им. Р.Е.Алексеева
Расчётная работа по предмету
Теория вероятностей
Выполнил: студент 10-В-1
Сидоренко Олег
Проверил:
Панкратова А.З.
Н.Новгород 2012
1.
Классический метод
Дано:
В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии
наудачу две детали. Используя классическое определение теории
вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали
окажутся бракованными.
Решение:
Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов,
которыми можно из 23 деталей вынуть две, т.е. числу сочетаний из 23
элементов по 2:
Число благоприятных исходов
Cледовательно, искомая вероятность
2.
Условная вероятность
Дано:
В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев
маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию
выйдет трамвай маршрута №1?
Решение:
Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай
маршрута №1, В - маршрута №2.
Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей
задачи):
. Из них нас будут интересовать только первое и
третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.
Так как все эти события совместны, то:
;
;
отсюда искомая вероятность
3.
Формула полной вероятности
Дано:
В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные
на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с
3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит
более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го —
0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были
перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит
более 1500 часов?
Решение:
Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более 1500
часов, а Н1, Н2, Н3 и Н4 — гипотезы, что она изготовлена соответственно
1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт., то вероятности
гипотез соответственно равны
Далее, из условия задачи следует, что
Используя формулу полной вероятности (11), имеем
4.
Формула баеса
Дано:
В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных.
Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из
второй урны наудачу достали один шар. Шар, взятый из второй урны,
оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую
были переложены 2 белых шара?
Решение:
Введем обозначения:
А – шар, извлеченный из второй урны, белый;
– из первой урны во вторую переложены 2 белых шара,
– переложены 2 разноцветных шара,
– переложены 2 черных шара.
Тогда
Вероятности гипотез
и условие вероятности
вычисляем по классической схеме:
Полученные результаты подставим в формулу полной вероятности:
Вероятность
5.
находим по формуле Байеса:
Формула бернулли
Дано:
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь
формулой Бернулли найти вероятность того, что из 5 наудачу взятых
деталей будут 4 стандартных.
Решение:
Формула Бернулли:
В соответствии с исходными данными, здесь:
q=0.11
p=1-q=1-0.11=0.89
n=5
m=4
Используя формулу Бернулли получим:
6.
Локальная теорема лапласа
Дано:
Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243
испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом
испытании равна 0,25.
Решение:
По условию, n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Так как n=243 - достаточно
большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
где х = (k—np)/√npq.
Найдем значение х
По таблице п найдем ф(1,37) =0,1561. Искомая вероятность
P = 1/6,75*0,1561 =0,0231.
7.
Интегральная теорема лапласа
Дано:
При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем
70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000
изделий число первосортных заключено между 652 и 760.
Решение:
Здесь
Используя формулу
получим
8.
Распределение вероятностей дискретной величины
Дано:
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один
выигрыш в 10000 рублей и десять выигрышей по 1000 рублей. Найти ряд
распределения, функцию распределения случайной величины X –
стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного
билета. Построить многоугольник распределения.
Решение:
Случайная величина X принимает значения 0,1000,10000 с
вероятностями:
P X  0 
89
10
1
 0,89 , P X  1000 
 0,1 , P X  10000 
 0,01 .Таким образом,
100
100
100
ряд распределения имеет следующий вид:
X
P
0
0,89
1000
0,1
Условие нормировки выполняется:
3
p
i 1
i
10000
0,01
 0,89  0,1  0,01  1 .
Найдем функцию распределения данной случайной величины X :
Если x ≤ 0 , то F(x) = 0 (третье свойство). Если 0 < x ≤ 1000 , то F(x) = 0,89.
Действительно, X может принять значение 0 с вероятностью 0,89. Если
1000 < x ≤ 10000 , то F(x) = 0,99.
Действительно, если x1 удовлетворяет неравенству 1000 < x1 ≤ 10000 , то
F(x1) равно вероятности события X < x1 , которое может быть
осуществлено, когда X примет значение 0 с вероятностью 0,89 или 1000 с
вероятностью 0,1. Поскольку эти два события несовместны, то по теореме
сложения вероятность события X < x1 равна сумме вероятностей 0,89 + 0,1
= 0,99.
Если x >10000 , то F(x) = 1 (третье свойство). Итак, функция
распределения аналитически может быть записана следующим образом:
0,
0,89

F x   
0,99
1
График функции распределения:
если x  0,
если 0  x  1000,
если 1000  x  10000,
если x  10000.
9.
Биноминальное распределение
Дано:
Сосуд с N молекулами идеального газа мысленно разделён на две части,
V1 и V2. Найти вероятность того, что в объёме V1 будет содержаться N1, а в
объёме V2 будет содержаться N2 молекул.
Решение:
Имеем дело с биномиальным распределением с параметрами
N = N1 + N2, n = N1,
Таким образом, искомая вероятность равна
В частности, если объёмы частей сосуда равны друг другу, то вероятность
обнаружить в половине сосуда ровно
молекул описывается
биномиальным распределением с математическим ожиданием
среднеквадратичным отклонением
10. Распределение пуассона
Дано:
В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку
объёмом V0 попадёт ровно n перчинок?
Решение:
Если количество перчинок N велико, а отношение
описывается распределением Пуассона.
мало, то задача
и
В среднем, в ложке должны оказаться
перчинок. Вероятность того,
что в ложке окажется ровно n перчинок, равна
В
частности, при V = 10 л,
л, N = 50 получаем
(то есть одна
перчинка, в среднем, попадается на 20 ложек), а вероятность:

того, что в ложке окажется ноль перчинок, p0 ≈ 0,95123,

того, что в ложке окажется одна перчинка, p1 ≈ 0,04756,

того, что в ложке окажется две перчинки, p2 ≈ 0,00119,
11. Геометрическое распределение
Дано:
Пусть игральная кость вбрасывается до выпадания первой «шестёрки».
Какова вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов.
Решение:
12. Гипергеометрическое распределение
Дано:
Из урны, в которой белых и
чёрных шаров, наудачу
и без возвращения вынимают шаров,
. Термин «наудачу»
означает, что появление любого набора из шаров равновозможно. Найти
вероятность того, что будет выбрано белых и
чёрных шаров.
Решение:
При
или
искомая вероятность равна нулю, так как
соответствующее событие невозможно. Пусть
и
.
Результатом эксперимента является набор из шаров. Общее число
элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества,
состоящего из элементов:
(по теореме 3).
Обозначим через
событие, вероятность которого требуется найти.
Событию
благоприятствует появление любого набора, содержащего
белых шаров и
чёрных. Число благоприятных исходов равно
произведению (по теореме 1) числа способов выбрать белых шаров из
и числа способов выбрать
чёрных шаров из
, т.е.
. Вероятность события
равна
(1)
13. Числовые характеристики
Дано:
Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей закон
распределения, представленный в таблице.
Xi – 2 – 1 1
2
3
Pi 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3
Решение:
Найдём математическое ожидание.
M(x) = –2 . 0.3 + (–1) . 0.1 + 1 . 0.2 + 2 . 0.1 + 3 . 0.3 = – 0.6 – 0.1 + 0.2 + 0.2 +
0.9 = 0.6
Найдём дисперсию.
Случайная величина (Х – М(Х)) имеет распределение, представленное в
таблице.
Xi – М(х) – 2.6 – 1.6 0.4 1.4 2.4
Pi
0.3
0.1
0.2 0.1 0.3
Тогда:
D(X) = M(x – M(x))2 = (–2.6)2 . 0.3 + (–1.6)2 . 0.1 + 0.42 . 0.2 + 1.42 . 0.1 + 2.42 .
0.3 = 2.028 + 0.256 + 0.032 + 0.196 + 1.728 = 4.24
Случайная величина x2 имеет распределение, представленное в таблице.
Xi
1
4
9
Pi 0.3 0.4 0.3
Тогда M(x2) = 1 . 0.3 + 4 . 0.4 + 9 . 0.3 = 0.3 + 1.6 + 2.7 = 4.6
D(x) = M(x2) – (M(x))2 = 4.6 – 0.62 = 4.6 – 0.36 = 4.24
Найдём среднее квадратичное отклонение.
(x) = D(x) = 4.24 ~2.059
14. Непрерывная случайная величина
Дано:
В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар,
причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары
перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных
белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить
ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то
испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта
не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом
опыте).
Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте
постоянна и равна
Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый
шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или
пять раз.
Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого
из этих событий.
1) Белый шар не появился вовсе:
2) Белый шар появился один раз:
3) Белый шар появиться два раза:
4) Белый шар появиться три раза:
5) Белый шар появиться четыре раза:
6) Белый шар появился пять раз:
Получаем следующий закон распределения случайной величины Х.
х
0
1
2
3
4
5
x2
0
1
4
9
16 25
р(х) 0,0102 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,0778