Интерференция от протяженного источника света (конспект

Интерференция от протяженного источника света.
1. Получение интерференционной картины в оптическом диапазоне возможно только в
случае, когда интерферирующие волны исходят из одного источника. В схеме Юнга свет
от точечного источника падает на плоскость с двумя бесконечно узкими щелями: именно
они и являются вторичными когерентными источниками, дающими на экране
интерференционную картину. Вопрос: как изменится картина, если источник станет
протяженным?
Протяженный
источник
представляет
собой
совокупность
некогерентных точечных источников, поэтому для расчета интерференции необходимо
просуммировать интенсивности, даваемые каждым из точечных (бесконечно малых)
фрагментов источника.

dy

Н
Рис. 1. К расчету интерференции от протяженного источника.
Пусть расстояние от протяженного монохроматического источника интенсивностью I0
до плоскости со щелями равно H>>d, размер равномерно светящегося источника D (рис.
1). Обозначим за у координату какой либо точки источника (источник расположен в
D
области y  ). Дополнительная разность хода s y между лучами, идущими от точки у
2
к двум щелям, рассчитывается точно также, как и в схеме Юнга:
yd
,
s y 
H
dy
интенсивность источника длиной dу равна dI ист  I 0
.
D
Тогда суммарная разность хода равна s  s x  s y 
xd yd

, интенсивность
L
H
интерференционной картины от такого источника дается формулой:
dI экр  dI ист  1  cosk s x  s y .
Раскрываем cosk s x  s y   cosks x   cosks y   sinks x   sinks y  и интегрируем
по у в пределах от 
D
D
до
. Интеграл от sin ks y  в симметричных пределах дает
2
2
ноль, поэтому остается:
I экр
D

2 
yd




D
sin  k



2


I
I
 H 
 0   D  cosks x    cos ks y dy     0   D  cosks x  
 
D
d
D 
D

2


k


H
D

2 
2



 Dd  
 Dd 
sin  k

 sin  k

 

I0 
2H  
2H 



  D  cosks x  
 D  I0  1
 cos ks x  .




Dd
Dd
D
k
k




2H
2H




Структура полученной формулы такая же, как и для квазимонохроматического вида,
следовательно, видность картины равна
 Dd 
sin  k

2H 
 Dd 

V x  
 sinc k
,
Dd
 2H 
k
2H
причем видность не зависит от x. Это означает, что по мере увеличения размеров
источника видность уменьшается во ВСЕХ точках экрана, а не только по краям, как в
случае с квазимонохроматическим источником (рис. 2). Видность станет равной нулю,
когда
Dd 2 Dd
k


 ,
2H
 2H
откуда условие полного пропадания интерференции запишется в виде:
Dd
 1.
H
Iэкр
4I0
sx
0
Рис. 2. Зависимость интенсивности от разности хода в случае протяженного (сплошная линия) и
точечного (штриховая линия) источника.
Заметим, что часто фразу «полное пропадание интерференционной картины»
ошибочно трактуют как отсутствие какой-либо освещенности на экране. Как следует из
формул, это не так: интерференционный член становится равным нулю, а интенсивность
на экране равна сумме интенсивностей каждого из источников, т.е. наблюдается
равномерно засвеченное поле.
На рис. 3 приведен график зависимости видности интерференционной картины от
размера источника D. Видность равна нулю при
H
Dпроп 
.
d
Часто в литературе встречается условие на размер источника, при котором
интерференционная картина еще видна:
Dпроп H
Dеще _ видна 

.
2
2d


Нетрудно подсчитать, что V Dеще _ видна 
2
.

3
1 V
2/
D
0
H/d
2H/d
H/2d
Рис. 3. График зависимости видности от размера источника D.
H
Расстояние между щелями d 0 
, при котором пропадает интерференционная
D
D
картина, называют радиусом когерентности. Вводя  
- угол, под которым виден
H
протяженный источник от плоскости щелей (или угловой размер источника), получаем
для радиуса когерентности

d0  .

Введем также понятие угловой апертуры интерференции  - угла, под которым из
центра источника видны щели:

d
.
H
С учетом введенных обозначений условие нулевого значения видности можно записать
в следующих видах:
H




1.
Dd D     d
Иными словами, видность будет ненулевой, если выполнены условия:


или d  .
D


Формулу
H
Dd
 1 легко запомнить, используя привычную схему: произведение самой
большой H  из величин на самую маленькую   равно произведению двух остальных
Dd  , к тому же еще эти величины обозначены одной и той же буквой.
Если источник не протяженный, а состоит из двух точечных некогерентных
источников, находящихся на расстоянии D друг от друга, то картина пропадает при
условии d 0 

. Данный факт используется в звездном интерферометре Майкельсона
2
для определения угловых расстояний между двумя близко расположенными звездами.
2. Обратим внимание на тот факт, что при вычислениях у нас появилась функция
СИНК, которая ранее возникала при вычислении фурье-преобразования от
прямоугольного импульса. «Поищем» его и здесь.
Действительно, СИНК появился при вычислении интеграла
D
 cosks dy .
2
y
D
2
4
Введем понятие функции излучения источника U  y  , характеризующей
распределение излучаемой энергии по различным «точкам» источника, т.е. суммарная
интенсивность, излучаемая источником, будет выражаться формулой:

I 0   U  y   dy .

I 0 , y  D

2 ).
(в рассмотренном выше случае U  y    D
D
0
,
y


2
Тогда появляется интеграл вида
D

 cosks dy ~ U  y cosks dy ,
2
y
D
y

2
или, если потребовать четности функции U  y  ,

U y e
iks y
 dy

Данное выражение есть не что иное, как пространственное преобразование Фурье от
функции излучения источника. В таком случае для видности в случае произвольного (но
симметричного) распределения излучаемой источником энергии, можно записать общую
формулу:

Vпрот 
U y e
iks y
 dy

.

 U  y   dy

Вспомним, что для точечного квазимонохроматичного источника со спектральной
плотностью интенсивности S  ранее была получена формула:

Vкваз t  
 S   e
it
d


 S d

( и здесь имеет место фурье-преобразование!)
Так как в обоих случаях при вычислении распределения интенсивности на экране
интегрирование ведется по разным переменным (по пространственной y и по частоте ),
то нетрудно сообразить, что для квазимонохроматичного протяженного источника,
используемого в схеме Юнга, видность на экране будет произведением полученных ранее
видностей:

Vкваз _ прот 
U y e
iks y

 dy


 U  y   dy


 S   e
it
d


 S d
.

Обратим еще раз внимание, что сомножитель Vпрот не зависит от пространственной
переменной х (координаты точек на экране), поэтому он одинаково влияет на видность
картины на всем экране сразу. В сомножителе Vкваз t  есть переменная t , однозначно
связанная с координатой х:
5
s x x  d
.

c
Lc
Так как в центре интерференционной картины (в нулевом порядке интерференции)
Vкваз t  0  1 , то, измеряя видность в центре, можно получить оценку для размера
t 
источника D. В свою очередь, определяя, в каком порядке mпроп интерференционная
картина размывается, можно оценить степень монохроматичности источника:

.

Пространственно-временная когерентность
mпроп 
Ранее для случая квазимонохроматического точечного источника вводилось понятие
комплексной степени когерентности:
E0* t E0 t  
,
  
2I 0
связанное с вычислением автокорреляционной функции
B  E t E t  
(напомним, что E t  
1
E0 t   e i0t  к.с. ).
2
Излучение выходило из одной точки (точечного источника) и приходило разными путями
опять же в одну точку (точку наблюдения) с временной разницей . Величина  
характеризовала временную когерентность двух колебаний в одной точке пространства.
В случае протяженного источника говорят о когерентности одного и того же
волнового поля в двух различных пространственно – временных точках.
В общем случае поле излучения создается множеством произвольных (по
пространственно-временным характеристикам) источников. Выберем в поле излучения
две точки Q1 и Q2 пространства и мысленно поместим
P непрозрачный экран с двумя малыми отверстиями в этих
точках. Эти отверстия станут вторичными источниками
волн E1 Q1 , t  и E2 Q2 , t  .
t1
Выберем точку наблюдения Р, в которую
t
2
излучение
от заданных точек Q1 и Q2, вышедшее в
Q1
моменты времени t1 и t2 соответственно, приходит
одновременно.
Пространственно-временная
Q2
корреляционная функция имеет вид:
B12   E1 Q1 , t E2 Q2 , t   ,
где =t2- t1.
Аналогично случаю временной когерентности, запишем
1
Ei t   Ei 0 Qi , t   ei0 t  к.с. ,
2
где Ei 0 Qi , t  - комплексные амплитуды сигналов от точек Q1 и Q2.
В результате получим:
 E Q , t E20 Q2 , t   i  
B12   I1I 2  Re  10 1
e 0 ,
2 I1I 2


где I1, I2 - интенсивности волн, приходящих из точек Q1 и Q2 соответственно.
Под комплексной степенью пространственно-временной когерентности понимают
6
12  
E10 Q1 , t E20 Q2 , t  
2 I1 I 2
.
Если расстояния от точек Q1 и Q2 до точки P одинаковы, т.е. моменты времени t1 = t2,
то в точке Р определяют степень пространственной когерентности. Изменяя расстояние
между точками Q1 и Q2 и наблюдая за видностью интерференционной картины в точке Р,
можно определить радиус пространственной когерентности. Если видность картины
близка к единице и не зависит от положения точек Q1 и Q2, то говорят о полной
пространственной когерентности (источник излучения, скорее всего, точечный). Если же с
ростом расстояния между точками
видность падает, то источник протяженный.
Расстояние между источниками, при котором видность становится нулевой, и есть радиус
пространственной когерентности.