Многоугольником или точнее n-угольником называют часть

Многоугольником или точнее n-угольником называют часть плоскости, ограниченную nзвенной (n  3) замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины и звенья этой ломаной
соответственно называют вершинами и сторонами этого многоугольника. На рисунке 12
(слева – направо) изображены выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Под выпуклым
многоугольником понимают такой, который расположен в одной полуплоскости
относительно каждой прямой, проходящей через его стороны. Многоугольник является
выпуклым тогда и только тогда, когда
все его внутренние углы меньше 1800.
Сумма всех внутренних углов любого
(и даже невыпуклого) n-угольника равна
(n – 2)180 0. Отрезок, соединяющий не смежные (не лежащие на одной стороне) вершины
Рис. 12
называется диагональю многоугольника. В n-угольнике n(n – 3)/2 диагоналей. Если d1, d2 –
длины диагоналей четырехугольника, угол между которыми равен , то площадь этого
d d Sin
четырехугольника может быть найдена по формуле S  1 2
. Оказывается, что в
2
четырехугольнике,
с
перпендикулярными
диагоналями,
суммы
квадратов
противоположных сторон равны.
Окружность, проходящая через все вершины многоугольника, называют описанной
около него, а окружность, касающуюся каждой его стороны, – вписанной в этот
многоугольник. Ясно, что если около многоугольника описана окружность или в него
вписана окружность, то он является обязательно выпуклым. Не во всякий даже выпуклый
многоугольник можно вписать окружность, но если ее можно в него вписать, то она
единственна и ее радиус может быть найден по формуле r = S/p, где S – площадь и p –
полупериметр этого многоугольника. Также не около всякого многоугольника можно
описать окружность. Если около некоторого многоугольника все же можно описать
окружность, то она единственна и его обычно называют вписанным, а радиус этой
окружности, зная информацию о двух каких-то смежных сторонах и углу между ними,
можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника, построенного на этих
двух смежных сторонах многоугольника. Полезно знать связанные с описанной и
вписанной окружностями четырехугольника следующие два утверждения:
- около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда
сумма его двух каких-то противоположных углов равна 1800 ;
- в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он
выпуклый и суммы его противоположных сторон равны.
Многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы тоже равны,
называется правильным. В такой многоугольник можно вписать окружность, а также около
него можно описать окружность, причем центры этих окружностей совпадают.
Необходимые формулы, связанные с правильным n-угольником A1A2…An , можно получить
в результате рассмотрения треугольника А1 О А2 , где О – центр вписанной (а значит и
описанной) окружности. Действительно, угол А1 О А2 равен 3600 / n (кстати, внешний угол
при вершине правильного n-угольника тоже равен 3600 / n), А1 О – радиус описанной около
многоугольника окружности, высота треугольника А1 О А2, проведенная из О, – радиус
вписанной в многоугольник окружности, n S А1 О А 2 – площадь n-угольника и т. д.. Для
примера приведем одну из версий таких формул для правильного n-угольника, в случае,
когда известна длина а его стороны:
n2
a
180 0
a
n a2
180 0
0

180 ; r  Ctg
; R
; S
Ctg
,
n
2
n
4
n
180 0
2 Sin
n
где , r, R и S - соответственно внутренний угол, радиус вписанной окружности, радиус
описанной окружности и площадь этого правильного n-угольника.
Теперь можно переходить к решению заданий 3.1 – 3.5.
8.1. В пятиугольник с площадью 22 вписали окружность радиуса 2. Найдите
наименьшую из его сторон, если их длины относятся как 3 : 2 : 1 : 2 : 3.
8.2. В правильном шестиугольнике А1 А2…А6 проекция диагонали А1 А3 на диагональ
6
А3 А6 равна
. Найдите площадь вписанного в этот шестиугольник круга.

8.3. Около правильного многоугольника А1 А2 …Аn с внешним углом 30 0 описана
окружность радиуса 6  2 . Найдите расстояние от точки А1 до прямой А3 А8 .
8.4. Найдите диаметр окружности, описанной около четырехугольника со сторонами
7, 15, 20 и 24 .
8.5. В четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписана окружность.
Найдите ее радиус, если известно, что какие-то две стороны четырехугольника равны 13 и
15 , а одна из его диагоналей равна 24 .