Ивановская государственная текстильная академия Кафедра высшей математики и статистики Контрольная работа по математике № 2 для студентов I курса ФДО (направление 100100) Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Составитель: Паринов М. А. Иваново – 2013 Формулировки заданий 1. Вычислить предел функции или последовательности. 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график. 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций. 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке M0 (x0 , y0 ). Построить график и касательную. 5. Провести полное исследование функции и построить ее график. 00 , z 00 , z 00 ) ≡ 0. 6. Дана функция z = f (x, y). Показать, что F (x, y, z, zx0 , zy0 , zxx xy yy 7. Дана функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ~l. Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. Номер варианта определяется последней цифрой номера зачетной книжки (если 0, то 10-й вариант). 1 Вариант № 2 Вариант № 1 4n2 + n − 6 , n→∞ n2 − 3n + 5 x2 − 16 5x б) lim 2 , в) lim . x→4 x − 3x − 4 x→0 4 sin 2x 2x2 − x + 3 , x→∞ x2 − 5x + 3 2 sin 8x x2 − 9 , в) lim . б) lim 2 x→0 x→3 x − 3x 3x 1. Вычислить пределы: а) lim 1. Вычислить пределы: а) lim 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график: x 2 , если x ≤ 0, sin x, если 0 < x ≤ π/2, f (x) = x + 1, если x > π/2. 2. Исследовать функцию на построить ее график: −x, если cos x, если f (x) = 2 x − 1, если 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ x−1 1 а) y = 3x2 + 2 x − √ , б) y = , 2x + 1 x x в) y = cos(x2 + 1), г) y = x2 ln x. 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 1 x−4 а) y = x3 − 2 x − √ , б) y = , x+1 x в) y = sin(x2 + 3), г) y = x3 e2x . 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = x2 +1 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = 2 − x2 в точке M0 (−1, ?). Построить график и касательную. 5. Провести полное исследование функции и x2 построить ее график: y = . x−3 5. Провести полное исследование функции и x2 + 1 . построить ее график: y = x−1 6. Дана функция z = y/x. Показать, что 00 + 2xy · z 00 + y 2 · z 00 ≡ 0. x2 · zxx xy yy 6. Дана функция z = ln(x+e−y ). Показать, что 00 − z 0 · z 00 ≡ 0. zx0 · zxy y xx 7. Дана функция z = arctg(xy), точка A(2, 3) и вектор ~l = (4, 3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 7. Дана функция z = ln(x2 +xy 2 ), точка A(1, 2) и вектор ~l = (3, 4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 2 непрерывность и x ≤ 0, 0 < x ≤ π/2, x > π/2. Вариант № 4 Вариант № 3 2n2 + 6 , n→∞ 5n2 − 3n + 1 x−2 3 sin 5x б) lim 2 , в) lim . x→2 x − 3x + 2 x→0 7x x2 − 4x + 3 , x→∞ 8x2 − 2x + 3 6x x2 − 1 , в) lim . б) lim 2 x→0 7 sin 5x x→1 x − 4x + 3 1. Вычислить пределы: а) lim 1. Вычислить пределы: а) lim 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график: x2 , если x ≤ 0, f (x) = 2 cos x, если 0 < x ≤ π/2, x − π/2, если x > π/2. 2. Исследовать функцию на построить ее график: 3x , если f (x) = − sin x, если x − 1, если 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 1 2x − 3 а) y = x4 + 2x x − 2 , б) y = , x x−1 2 2x в) y = tg(x + 4), г) y = (x + 3)e . 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 1 x+3 , а) y = x4 + 3 x − 3 , б) y = x 2x + 1 в) y = ctg(x2 + 3), г) y = (x + 3) sin(4x). 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = x3 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. непрерывность и x ≤ 0, 0 < x ≤ π/2, x > π/2. 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = 2x2 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. 5. Провести полное исследование функции и x2 − 1 . построить ее график: y = x+1 r y . Показать, что 6. Дана функция z = y x 00 − y 2 · z 00 ≡ 0. x2 · zxx yy 5. Провести полное исследование функции и 2x2 + 1 построить ее график: y = . x−1 x 6. Дана функция z = arctg . Показать, что y 00 + z 00 ≡ 0. zxx yy 7. Дана функция z = x3 y + xy 2 , точка A(1, 3) и вектор ~l = (−5, 12). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 7. Дана функция z = 2x2 +xy, точка A(−1, 2) и вектор ~l = (3, 4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 3 Вариант № 6 Вариант № 5 n2 + 5n − 6 , n→∞ 3n2 − n + 1 x2 − 25 3 sin 5x б) lim 2 , в) lim . x→5 x − 5x x→0 7x 3x2 − x + 5 , x→∞ 2x2 − 6x + 5 4x x2 − 1 , в) lim . б) lim 2 x→0 3 sin 5x x→1 x − 3x − 4 1. Вычислить пределы: а) lim 1. Вычислить пределы: а) lim 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график: 2x, если x ≤ 0, −x 2 , если 0 < x ≤ 1, f (x) = (x + 1)/4, если x > 1. 2. Исследовать функцию построить ее график: x + 1, 3−x , f (x) = −x2 + 1, 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 2x − 4 1 а) y = 2x3 + 5 x − 2 √ , б) y = , x+3 x x в) y = arcsin(x2 + 5), г) y = (x − 3) cos(2x). 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 1 6x − 4 а) y = 2x4 + 5x x − 3 , б) y = , x x+4 в) y = arccos(x2 + 4), г) y = x sin(x + 2). 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = x−1 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = x−2 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. 5. Провести полное исследование функции и x2 + 1 . построить ее график: y = 2x − 1 5. Провести полное исследование функции и 1 . построить ее график: y = 2 x −1 6. Дана функция z = exy . Показать, что 00 − y 2 · z 00 ≡ 0. x2 · zxx yy 6. Дана функция z = exy . Показать, что 00 − 2xy · z 00 + y 2 · z 00 + 2xyz ≡ 0. x2 · zxx xy yy x+y , точка A(1, −2) и x2 + y 2 вектор ~l = (1, 2). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. на непрерывность и если x ≤ 0, если 0 < x ≤ 1, если x > 1. x , точка A(3, 4) и векy2 тор ~l = (−3, −4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 7. Дана функция z = 7. Дана функция z = 4 Вариант № 8 Вариант № 7 3n2 + 6n − 2 1. Вычислить пределы: а) lim 2 , n→∞ n − 7n + 8 3x x2 − 2x 1 б) lim 2 , в) lim 1 + . x→∞ x→2 x − 3x + 2 x−1 2x2 + 5 1. Вычислить пределы: а) lim , x→∞ 3x2 − 2x + 1 √ √ −x 1 4x − 1 − 11 . б) lim , в) lim 1 − x→∞ x→3 x−3 x−1 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график: x, если x ≤ 0, log2 x, если 0 < x ≤ 1, f (x) = 2 x − 1, если x > 1. 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график: 2x, если x ≤ 0, f (x) = log3 x, если 0 < x ≤ 1, √ x, если x > 1. 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 1 x−4 , а) y = x5 + 3 x − 3 √ , б) y = 2x + 3 x x √ в) y = arctg(x2 − 5), г) y = x x + 4. 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 1 4x − 1 , а) y = 3x3 + 4x x − 4 , б) y = x 2x − 3 в) y = arcctg(x2 + 3), г) y = x2 sin(x + 3). 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = ex в точке M0 (0, 1). Построить график и касательную. 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = x2 −2 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. 5. Провести полное исследование функции и x построить ее график: y = 2 . x −1 5. Провести полное исследование функции и 1 построить ее график: y = 2 . x −4 6. Дана функция z = sin2 (y − x). Показать, что 00 − z 00 ≡ 0. zyy xx 6. Дана функция z = ln(x2 + y 2 + 2y + 1). По00 + z 00 ≡ 0. казать, что zxx yy 7. Дана функция z = x2 +xy +y 2 , точка A(1, 1) и вектор ~l = (3, 4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 7. Дана функция z = 2x2 + 3xy + y 2 , точка A(2, 1) и вектор ~l = (3, −4). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 5 Вариант № 10 Вариант № 9 3n2 + 2n − 1 1. Вычислить пределы: а) lim , n→∞ 2n2 − 3n + 8 3x x2 − 4x + 4 1 б) lim 1 + . , в) lim x→∞ x→2 x2 − 4 x−1 4x2 + x − 5 1. Вычислить пределы: а) lim 2 , x→∞ x − 5x + 1 √ √ 2x 3x + 1 − 7 1 б) lim , в) lim 1 + . x→∞ x→2 x−2 x+1 2. Исследовать функцию на построить ее график: x, если f (x) = x−1 , если 1, если 2. Исследовать функцию на непрерывность и x2 построить ее график: y = : x+2 −x, если x ≤ 0, √ x, если 0 < x ≤ 1, f (x) = 1 − x, если x > 1. непрерывность и x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, x > 1. 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 3 3x − 1 , а) y = 2x4 + x2 x + 2 , б) y = x 2x − 5 2 в) y = ln(x + 3), г) y = (x + 3) cos(x − 1). 3. Найти производные 1-го и 2-го порядков: √ 2 2x − 1 а) y = 2x3 + 4x x + 3 , б) y = , x 4x − 5 2 в) y = ex +4 , г) y = (x + 1) sin(3x − 1). 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = x3 +1 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную. 4. Написать уравнение касательной к графику функции y = −x2 в точке M0 (2, ?). Построить график и касательную. 5. Провести полное исследование функции и x2 построить ее график: y = . x−4 6. Дана функция z = 00 − z 0 ≡ 0. x · zxy y 5. Провести полное исследование функции и x2 . построить ее график: y = x+2 x . Показать, что y 6. Дана функция z = exy . Показать, что 00 + 2z ≡ 0. x · zx0 + y · zy0 − 2zxy 7. Дана функция z = arctg(xy 2 ), точка A(2, 3) и вектор ~l = (4, −3). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 7. Дана функция z = ln(5x2 + 4y 2 ), точка A(1, 1) и вектор ~l = (2, −1). Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l. 6