7. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà 7.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ïóñòü A è B íåêîòîðûå ñîáûòèÿ è P(B) > 0, òîãäà P(A|B) = P(AB) P(B) óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü A ïðè óñëîâèè B . Ïóñòü A íåêîòîðîå ñîáûòèå, H1 , . . . , Hn ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîn áûòèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè âåðîÿòíîñòÿìè è òàêèå, ÷òî A ⊂ j=1 ∪ Hj . Òîãäà P(A) = n X P(Hj )P(A|Hj ) (ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè) j=1 Îáû÷íî ñîáûòèÿ H1 , . . . , Hnn íàçûâàþò ãèïîòåçàìè. ×àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå ãèïîòåçû, ÷òî j=1 ∪ Hj = Ω.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî îíè îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü P(Hi |A) ðàâíà P(Hi |A) = P(AHi ) P(Hi )P(A|Hi ) = P n P(A) P(Hj )P(A|Hj ) (ôîðìóëà Áàéåñà) j=1  çàäà÷àõ íà ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè P(A|Hi ) ëèáî çàäàíû â òåêñòå, ëèáî ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ. 7.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå  îäíîì ìàëåíüêîì ãîðîäêå ïîëèöèÿ ðàçûñêèâàåò áðîäÿãó. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî åñòü ÷åòûðå øàíñà èç ïÿòè, ÷òî îí íàõîäèòñÿ â îäíîì èç âîñüìè áàðîâ ãîðîäêà, áåçðàçëè÷íî â êàêîì îí íå îòäàåò ïðåäïî÷òåíèÿ íè îäíîìó èç íèõ. Äâîå ïîëèöåéñêèõ ïîñåòèëè ñåìü áàðîâ, íî áðîäÿãó íå îáíàðóæèëè. Êàêîâû øàíñû íàéòè åãî â âîñüìîì áàðå? Ýòî çàäà÷à íà îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. 1/3. Ãðóïïà ñòóäåíòîâ, ñäàþùàÿ ýêçàìåí, ñîñòîèò èç 5 îòëè÷íèêîâ, 10 õîðîøèõ ñòóäåíòîâ è 15 ñëàáûõ ñòóäåíòîâ. Îòëè÷íèê âñåãäà ïîëó÷àåò îöåíêó ¾îòëè÷íî¿, õîðîøèé ñòóäåíò ¾îòëè÷íî¿ è ¾õîðîøî¿ ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè, ñëàáûé ñòóäåíò ¾õîðîøî¿, ¾óäîâëåòâîðèòåëüíî¿ è ¾íåóäîâëåòâîðèòåëüíî¿ ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî íàóãàä âûçâàííûé ñòóäåíò ïîëó÷èò îöåíêó ¾îòëè÷íî¿, ¾õîðîøî¿, ¾óäîâëåòâîðèòåëüíî¿, ¾íåóäîâëåòâîðèòåëüíî¿. 1/3, 1/3, 1/6, 1/6. ×èñëî ãðóçîâûõ ìàøèí, ïðîåçæàþùèõ ìèìî áåíçîêîëîíêè, îòíîñèòñÿ ê ÷èñëó ëåãêîâûõ ìàøèí êàê 3:2. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ãðóçîâàÿ ìàøèíà áóäåò çàïðàâëÿòüñÿ, ðàâíà 0.1, à òîãî, ÷òî áóäåò çàïðàâëÿòüñÿ ëåãêîâàÿ 1. Óêàçàíèå. Îòâåò. 2. Îòâåò. 3. 1 0.2. Ó áåíçîêîëîíêè çàïðàâëÿåòñÿ ìàøèíà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî ãðóçîâàÿ ìàøèíà. 3/7. Äâà îõîòíèêà îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ñòðåëÿþò â êàáàíà. Èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûé ïîïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8, à âòîðîé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4. Êàáàí óáèò, è â í¼ì îáíàðóæåíà îäíà ïóëÿ. Êàê äåëèòü êàáàíà?  ïðîïîðöèè 6:1.  ïóíêòå ïðîêàòà èìååòñÿ 10 òåëåâèçîðîâ, äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü èñïðàâíîé ðàáîòû â òå÷åíèå ìåñÿöà ðàâíà 0.9, è 5 òåëåâèçîðîâ ñ àíàëîãè÷íîé âåðîÿòíîñòüþ 0.95. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà òåëåâèçîðà, âçÿòûå íàóäà÷ó â ïóíêòå ïðîêàòà, áóäóò ðàáîòàòü èñïðàâíî â òå÷åíèå ìåñÿöà. 3529 4200 ≈ 0.8402. Îòâåò. 4. Îòâåò. 5. Îòâåò. 7.3. Äîìàøíåå çàäàíèå  ãîðîäå N äîæäëèâûìè áûâàþò ÷åòâåðòü âñåõ äíåé. Êðîìå òîãî, çàìå÷åíî, ÷òî åñëè â êàêîé-òî äåíü äîæäü øåë, òî â äâóõ ñëó÷àÿõ èç òðåõ îí áóäåò èäòè è íà ñëåäóþùèé äåíü. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàâòðà áóäåò õîðîøàÿ ïîãîäà, åñëè ñåãîäíÿ äîæäÿ íå áûëî? 8/9. Íà ôàáðèêå, èçãîòîâëÿþùåé áîëòû, ïåðâàÿ ìàøèíà ïðîèçâîäèò 25%, âòîðàÿ 35%, òðåòüÿ 40% âñåõ èçäåëèé.  èç ïðîäóêöèè áðàê ñîñòàâëÿåò 5, 4 è 2%. • Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíî âûáðàííûé áîëò äåôåêòíûé? • Ñëó÷àéíî âûáðàííûé áîëò îêàçàëñÿ äåôåêòíûì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îí áûë ïðîèçâåä¼í ïåðâîé, âòîðîé, òðåòüåé ìàøèíîé? 140 80 0.0345; 125 345 , 345 , 345 .  êîðîáêå ëåæàò 3 íîâûõ è 3 óæå èñïîëüçîâàííûõ òåííèñíûõ ìÿ÷à. Äëÿ ïåðâîé èãðû íàóäà÷ó áåðóò èç êîðîáêè 2 ìÿ÷à è çàòåì èõ âîçâðàùàþò â êîðîáêó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü äëÿ âòîðîé èãðû èç ýòîé êîðîáêè íàóäà÷ó âûíóòü 2 íîâûõ ìÿ÷à? 2/25.  óðíå ëåæàëî 8 áåëûõ è 4 ÷¼ðíûõ øàðà. Îäèí øàð ïîòåðÿí, è öâåò åãî íåèçâåñòåí. Èç óðíû áåç âîçâðàùåíèÿ èçâëåêëè äâà øàðà, è îáà îêàçàëèñü áåëûìè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûë ïîòåðÿí ÷¼ðíûé øàð? Êàêîâ áóäåò îòâåò çàäà÷è, åñëè ðåçóëüòàò èçâëå÷åíèÿ äâóõ øàðîâ íåèçâåñòåí? 2/5; 1/3. Ñòðåëîê A ïîðàæàåò ìèøåíü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.6, ñòðåëîê B ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5, ñòðåëîê C ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4. Ñòðåëêè äàëè çàëï ïî ìèøåíè, è äâå ïóëè ïîïàëè â öåëü. ×òî âåðîÿòíåå: ïîïàë ñòðåëîê C â ìèøåíü èëè íåò? Íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè. 10/19 è 9/19, ò. å. âåðîÿòíåå, ÷òî C ïîïàë â ìèøåíü. 6. Îòâåò. 7. Îòâåò. 8. Îòâåò. 9. Îòâåò. 10. Îòâåò. 2