Инварианты графа

Инварианты графа
Т. А. Похальчук
В данной работе вводится новая математическая структура - реберное разрезание
графа, которое можно представить в виде множества Q матриц и векторов определенной градации, и которое в свою очередь может служить некоторым инвариантом
графа. Известно, что при решении задача распознавания изоморфизма графа разбивается
на два составных этапа. Первый этап - проверка графа на изоморфизм. В случае положительного результата на первом этапе на втором этапе - поиск соответствия. На
первом этапе путем сравнения двух множеств матриц и векторов, производится определение изоморфизма. Результаты работы применимы при решении многих прикладных
задач: в задачах распознавания образов, в химии, проектирования ЭВМ и т.д.
Введение
На первом этапе задача распознавания изоморфизма графа состоит в построении полиномиального алгоритма, который, для любых двух заданных графов, определял бы
существование биективного отображения (изоморфизм) множества вершин и ребер одного графа на множество вершин и ребер второго графа. К сожалению, такого алгоритма
ещё не найдено.
Поскольку проявление изоморфизма графов можно рассматривать как перенумерацию вершин графа, то любая количественная характеристика структуры графа остается
неизменной при изоморфном отображении графа на другой граф. Помимо очевидных
характеристик, таких как число ребер, вершин и т.п., наиболее часто для решения задачи изоморфизма графов используют следующие инварианты: число компонент связности
графа, род графа, степенная последовательность графа, спектр графа. В качестве инварианта графа иногда рассматривают не одно число, а систему чисел, в частности вектор или
кортеж [1]. Полный набор инвариантов помог бы решить проблему изоморфизма графов,
однако такого набора до сих пор не найдено, что вынуждает находить новые инварианты, какие бы дали возможность с большой степенью достоверности разрешать данную
проблему.
Основные положения
В данной работе под графом будем понимать обыкновенный граф, т. е. неориентированный граф без петель и кратных ребер. Множество вершин графа 𝐺(𝑋, 𝑈 ; 𝑃 ) будем
обозначать - 𝑋(𝐺), а множество ребер - 𝑈 (𝐺).
Определение 1. Единичным разрезом будем называть суграф, который состоит из
инцидентных ребер, принадлежащих данной вершине 𝑥𝑖 (𝑊 (𝑥𝑖 ))
Определение 2. Реберным разрезом будем называть суграф, который состоит из инцидентных ребер принадлежащим двум концевым вершинам данного ребра 𝑢𝑖𝑗 , за исключением самого ребра (𝑊 (𝑢𝑖𝑗 ) , где 𝑢𝑖𝑗 - ребро, соединяющего вершины 𝑥𝑖 и 𝑥𝑗 ).
𝑊 (𝑢𝑖𝑗 ) = 𝑊 (𝑥𝑖 ) ⊕ 𝑊 (𝑥𝑗 )
(1)
Лемма 1. Кольцевая сумма множества единичных разрезов графа есть пустое множество.
Доказательство. Этот факт следует из линейной независимость любых 𝑛 − 1 вершин.
Лемма 2. Кольцевая сумма реберных разрезов для любого квазицикла графа есть
пустое множество.
291
И кольцевая сумма есть пустое множество, так как единичные разрезы присутствуют
в правой части выражения (1) дважды.
Лемма 3. Кольцевая сумма пересечения единичных разрезов для циклических ребер
любого квазицикла графа есть квазицикл.
Определение 3. Характеристическим многочленом графа 𝐺 называется характеристический многочлен
|𝜆 · 𝐼 − 𝐴|
(2)
матрицы смежности 𝐴 графа 𝐺 и обозначается через 𝑃𝐺 (𝑋).
Определение 4. Собственными значениями и спектром графа 𝐺 называют соответственно собственные значения матрицы (т. е. нули характеристического многочлена (1))
и спектр матрицы (множество собственных значений матрицы 𝐴).
Порождение множества квалиразрезов
Для распознавания изоморфизма графов используется метод порождения множества
квалиразрезов. Реберные квалиразрезы графа порождают реберный граф. В классической
теории графов ребра реберного графа 𝐿(𝐺), в свою очередь, порождают новый реберный
граф 𝐿(𝐿(𝐺)) и т.д. [2]. При рассмотрении такой цепочки графов, можно заметить, что количество ребер при переходе от графа к графу увеличивается и такой процесс бесконечен.
В отличие от цепочки графов порождаемой реберным графом, в работе рассматривается
цепочка порождения квалиразрезов исходного графа по принципу - квалиразрезы 𝑆(𝐺)
порождают квалиразрезы 𝑆(𝑆(𝐺)). В отличие от цепочки структуры реберных графов,
такая цепочка порождает графы всегда с одним и тем же количеством ребер и такое порождение всегда конечно. А это свойство можно использоваться для создания инварианта
заданного графа 𝐺. Порождение цепочек квалиразрезов графа 𝐺 осуществляется путем
сложения единичных разрезов.
Каждое новое подмножество формируется с помощью предыдущего.
∑︁
(3)
𝑊𝑘 =
𝑊 (𝑢𝑖𝑗 ), 𝑘 = 1, 𝑚
где количество слагаемых равно количеству ребер 𝑢𝑖𝑗 предыдущего подмножества.
Все подмножества также будут представлять собой разрезы графа. Множества подмножеств 𝑊𝑘 назовем уровнем порождения. Так первый уровень будет состоять из реберных разрезов графа, а все остальные порождаться им. При получении циклического
повтора подмножества или подмножества нулевой мощности для ребра графа, порождение
прекращается.
Номер уровня, на котором заканчивается порождение квалиразрезов для ребра, и
общее количество уровней для графа - 𝑧, также являются важными характеристиками
графа для распознавания изоморфизма.
На каждом уровне образуются 𝑚 подмножеств зависящие от 𝑚 ребер, что дает нам
возможность построить квадратные матрицы размером 𝑚 × 𝑚. Поскольку спектр графа является одним из наиболее информативных инвариантов, для построенных матриц
найдем их собственные значения на каждом уровне.
Таким образом, для каждого уровня образуется набор чисел (спектр). Количество
таких наборов будет равно количеству уровней, причем 𝑧 ≤ 𝑚. Упорядочивая по признаку
возрастания значения каждого спектра, получим множество спектров.
Складывая мощность каждого подмножества:
𝑠𝑖 =
𝑘
∑︁
|𝑊𝑖𝑘 |, 𝑘 = 1, 𝑚
𝑖=1
292
(4)
порождаемого соответствующим единичным разрезом можно построить вектор, состоящего из 𝑚 чисел. Упорядочивая по признаку возрастания значения чисел набора, получим
конкретный локальный инвариант в виде вектора, который назовем каноническим, характеризующий множество квалиразрезов графа, и обозначим его через 𝑠 = (𝑠1 , ..., 𝑠𝑚 )
.
Справедливо следующее утверждение:
- равенство наборов спектров матриц двух графов и канонических векторов графов
является необходимым, но не достаточным условием изоморфизма графов 𝐺 и 𝐺′ ;
Для решения первого этапа задачи изоморфизма графов написана программа на
языке Delphi и проведены тестовые примеры для коспектральных графов (неизоморфные
графы с одинаковыми спектрами матрицы смежности) из работы [3]. Получено, наборы
спектров и вектор 𝑆 являются различными и можно судить что заданные графы неизоморфны.
Выводы
Данная методика реберного разбиения графа позволяет находить новые инварианты
для графа и производить с их помощью более глубокое различение двух графов и проверку их на неизоморфность. А программная реализация делает её более интересной для
исследователей.
Список литературы
[1] Зыков А. А. Основы теории графов. - М.: Наука, ГРФМЛ.- 1987.- 384с.
[2] Харари Ф. Теория графов. -пер. с англ. Козырева В. П. /под ред. Гаврилова В. Г. М.: Мир.- 1973.- 300с.
[3] Цветкович Д., Дуб М., Захс X. Спектры графов. Теория и применение. — Наукова
Думка, Киев, 1984.
Авторы
Татьяна Анатольевна Похальчук — аспирантка, кафедра математического моделирования и вычислительных методов, Запорожский национальный университет, Запорожье, Украина; E-mail: tanketka@gala.net
293