Применение статистического метода анализа в нефтегазовом

Д. Н. Цивинский ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА АНАЛИЗА В НЕФТЕГАЗОВОМ ДЕЛЕ Учебное пособие Самара 2014 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д.Н. Цивинский применение статистического метода анализа в нефтегазовом деле Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов 130500 «Нефтегазовое дело» Самара 2014 УДК 622.24 (519.22:681.3(076.5)} Ц57 Рецензенты: канд. физ.-мат. наук В.А. Акулов, канд. техн. наук В.К. Давыдов Цивинский Д.К. Ц57 Применение статистического метода анализа в нефтегазовом деле: Учеб. пособ./Д.Н.Цивинский. - 2-е изд., испр. и доп. - Самара: Самар, гос. техн. ун-т, 2014. 377 с., с илл. ISBN 978-5-7964-1591-7 Рассматривается применение статистического метода анализа к решению задач тех нологии строительства и эксплуатации скважин. Достаточно подробно рассмотрены веро ятности событий и распределения случайных величин с точки зрения причинно-следствен ных связей, необходимости и случайности. Произведено обобщение различных распреде лений и обоснование нормального распределения как результата хаоса и динамичности множества причинно-следственных связей. Описаны все виды вероятностей - житейская, классическая, математическая и статистическая, метод моментов, вопросы проверки ста тистических гипотез. Основам математической статистики предшествуют статьи о специальных терминах и понятиях, общенаучных понятиях и категориях. Определение многозначных понятий даны в контексте математической статистики, теории вероятностей и явлений переноса им пульса, энергии и массы. Для всех терминов и понятий приведено их этимологическое про исхождение. Повсеместно произведено цитирование ряда статей словаря В.И.Даля. Рассмотрены также важные для образованного инженера термины, понятия и катего рии, имеющие общенаучное и философское значение, освещены вопросы имеющие непос редственное отношение к процессу познания. Всего в учебном пособии более 360 словар ных статей. Предназначено для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направле нию "Нефтегазовое дело”, специальности 130401,130501, 130503,130504, а также мо жет быть полезно аспирантам и инженерам при анализе промысловых данных. УДК 622.24 (519.22:681.3(076.5)} Ц57 ISBN 978-5-7964-1591-7 О Самарский государственный технический университет, 2014. "Цель расчётов - понимание, а не числа.11 (Ричард Хэмминг, 1915-1998). СЛОЖНОЕ В ПРОСТОМ Статистический методанализа - метод, позволяющий п о час т ис у д и т ь оцелом. П р и это мчаст ьц ел о г оо бы ч н о представляет с о б о й раз ро з не н ны е факты, события, чис ла л ю б о г о количества и качества*, а о с а м о мцеломможет н еб ы т ьд а ж е малейшего представления. Более того, д ос т а то ч но ч а с т о череда фактов, событий, чисел п ри анализе рассмат р и в ае т с яв н е пространства и в н е времени. Другими словами, причин но-следственные связи вявном в и д е может б ы т ь и присутствуют, н он е рассматриваются. Как показывает практика, анализ подобной информа ц и ив н е пространства и времени п о существу оказывается да л е к о н е п ро с т ой задачей. С л е ду ю щ ая особенность статистического метода анализа заключа е т с я втом, ч т о разрозненные факты, события, числа (признаки) в б о л ь ш и н с т в е с лучаев являются результатом действия множества при ч ин (факторов), к ак соизмеримых, т а кинесоизмеримых п ос и л е или интен с и в н о с т ии, ч т о немаловажно, окоторых уисследователя т а к же может н еб ы т ьд а ж е малейшего представления. Возможности человекадостаточно ограничены - абсолютное з н а н и е и бес к о не ч но с т ье м унедоступны. Б ы т ь может, поэтому д л я человека о ч е н ь важно, и м е я некоторое с к у д н о е количество о п я т ьж е фактов, с о бытий, чисел, распределённыхвпространстве и/или в о времени, про и з в ес т и мысленное моделирование и врезультате анализа с д ел а т ь б о л е еи л именее надежный вывод ос одержании (функционировании) объек т а (системы) или с ущности явлен и я (процесса), сделать прогноз. С д р уг о й стороны, е два л ин еб о л е ев а ж н о мысленно обобщить вереницу событий, поступков, явлений, ф а к т ов или просто чисел и в ы яв и т ь ‘Примечание 1. Это могут быть погода, урожайность, производство и потребление ма териальных благ, экономические данные, положения звёзд и планет в связи с какими-либо событиями, психотипы людей, жизненные ситуации, удачливость в них, игры азартные и не очень, слова, состояния души, социальные явления, частота появления какого-либо приз нака в популяциях, рождаемость, смертность, заболеваемость, излечиваемость, преступ ность, спортивные и производственные результаты, аварийность, ДТП, браки и разводы, результаты научных и прикладных исследований и т.д. Практически всё что угодно, любая информация, которую можно представить численно. Единственное условие - наблюдений должно быть много; статистический метод анализа невозможен в случаях единичных явле ний, событий, фактов. В таких случаях продуктивен детерминистический подход. И ещё одно замечание. Можно предположить, что сознательное мысленное моделирование расп ределений достаточно проблематично, решение может появиться в сознании извне... - 4 - с кр ы т у ю закономерность вповторяющихся признаках (фактах, событиях, числах). Первому человек начинает учить с я смомента рождения и от но сительно легко, мысленное моделирование физического мира - ес т ественный процесс, нормальная жиз н ьб е зн е г о невозможна, очё ми свидетельствуют люди спсихическими аномалиями и б е з оных. Второму - зн а чи т е л ь н о позже и н е всегда успешно. Вполне возможно, ч т о при чины к р о ю тс я в закономерностяхфизиологического развития человечес к о г о мозга. Как э т о понимать? Из физиологии известно, что человек рождается с недоразвитым мозгом, и, по мнению части психологов, мозг новорождённого - "чистая доска" (tabula (tabellae) rasae). И пос кольку, родившись, человечек попадает в трёхмерный мир, то и мозг формируется для ана лиза трёхмерного физического мира и событий, происходящих в нём; в мозге формируют ся соответствующие нейронные ансамбли. Вполне возможно, что анализ временных проме жутков между событиями при этом либо не производится вообще, либо отодвигается на второй план. Фактически, в первые годы жизни одна из важнейших категорий - время - ре бёнком не воспринимается, и разговоры о днях, часах и минутах лишены смысла. Понима ние длительности процессов, временных интервалов приходит к годам семи, иногда позже. Способность к моделированию пространственно-временных связей наступает в отрочес ком возрасте и позже. А понимание течения времени приходит в зрелом возрасте. Но и у взрослого человека со временем даже очень непростые отношения...* Необходимость сопоставления и анализа жизненных ошибок и удач (своих и чужих) разрозненных случайных событий приходит тогда, когда первичное развитие мозга завер шено. Вполне возможно, что длительное созревание и формирование человеческого мозга является одной из причин проблемы выявления скрытой закономерности в повторяющихся событиях (явлениях) и последовательностях чисел. Первое (мысленное моделирование че тырёхмерного пространства-времени) более или менее успешно с детства осуществляют все люди, а второе** (обобщение и анализ разрозненных фактов, событий, чисел вне прост ранства и времени) является уделом поживших и более или менее мудрых людей. По су ществу бытовые градации людей на глупых, бестолковых, дураков, "звёзд с неба не хвата ющих", середнячков, толковых, умных, мудрых и т.п. и различают людей по их способнос тям к мысленному моделированию мира, выявлению причинно-следственных связей и опять же мысленному анализу разрозненных однородных рядов признаков. Конечно, можно "...не умея мыслить и понимать, заставить делать это цифры." (В.О.Ключевский; 1841-1911). Так вот математическим анализом одномерных выборок (рядов признаков, последователь ностей явлений, событий) занимается наука - математическая статистика. ‘Примечание 2. Освободиться от "временности” можно по завету Б.Л.Пастернака (1890-1960): Не спи, не спи, художник, Не предавайся сну, Ты вечности заложник У времени в плену! ^Примечание 3. Естественно, что разрозненные факты, события, повторяющиеся числа являются частью мира, окружающего человека, членами пространственно-временных за висимостей, либо неизвестных, либо очень сложных, либо несущественных с точки зрения человека, учёного и не очень, в частности, исследователя. - 5 - Наск ол ь ко важны д л я человека статистические данные, к а к объек тивные, т а к и субъективные? О т в е т интересен! Начнём сжизненных ситуаций. Человек постоянно д ел ает в ы б о р между д в у м яи л ин ес колькими в о з м ож н ым и решениями. О б г о н ят ь- н е обгонять; е ха т ь налево, п р я м о и л и направо; н еп и т ьи л ип и т ьт о л ь к о первую и/или последнюю; ста в и т ь н а карту в с ё ил ит о л ь к о часть; м в с ёб р ос и т ь и на ч ать ж и з н ьс начала1' и л ин е стоит; н ев ернуться ли, е с л и всё прощают, н ов с ёл и простят, в о т вчё м вопрос; н е пасть, а е с л и пасть, т ок а книзко... П р и н и м ая решение, человек подсознательно ориентируется н а о п ы т (статистику) человеческих оши бо к и удач. Иногда удаё т ся в о в р е м я "подстелить соломку”. Плохо, е с л и человек дошел д о точки, к о г д ау н е г он е т выбора... В о т иполучается, ч т о человекун е безразлично, "сколько засея н о гр е ч и х ииг д ео н а растёт1' (М.Жванецкий; р. 1934), како йо ж и д а е т с я у р о в е н ь инфляции, п рогноз ц е нн а энергоносители, колеб а ни як у р с о в валют, дефицит и л и профицит, демографический прогноз ит.д. (это о б л а с т ь объективных статистических данных). Так же н е бе з ра з л ич н ы н а р о д н ые приметы в отношении погоды, несмотря н а то, ч т оо н и объек т и в н ы в меньшей степ е н и и ст е чением времени теряют верность. А в а ж н о с т ь при ме т свадебных идругих ритуалов т р удно переоценить вви д уи хживучести и т а к же т р у д н оо ц е н и т ь их объективность*. Н аэ т ии м н о г и е дру ги е вопросы математическая статистика может д а т ь б о л е е и л им е н е е надёжный ответ. Н у ж н ол и инженеру нефтегазового дела (буровику, разработчику) владение статистическими методами анализа? Посмотрим... Простейший а н а л и з данных о б о тработке долот - вычисление средн е го з н а ч е н и я п р о х о д к и и квадратичного от к ло н е ни я - позволяет выделить л у ч ш е г о п р о и з в од и т ел яс р е д и нескольких заводов, выбрать подходящий инстру м е н т и соответствующий режи м бурения, подобрать вид п ро мывочной ж и д к о с т и идр. Метод дисперсионного анализа позволит шире в зг л я ну т ь н а вопросы в л ия н ия различных факт о р ов н а показатели проходки. Седим е н тационный а н ализ в с о ч ет а ни и сметодом моментов поможет подо б р а т ь реагенты д л я приготовления цементных растворов с необходимой с ед иментационной устойчивостью. Статистический анализ распределения о б р а з ц о в породы п о проницаемости, п о радиусам пор, п о насыщенности ‘Примечание 4. По поводу ритуальных примет; во времена В.Даля встретить свадебный поезд - к несчастью, а встреча похоронных дрог - к удаче. - 6 - флю и до м поможет в оце н ке перспективности месторождения. А н ал и з час т о т ыпесчаниковых прослоек внефтеносном пласте вразных сква жи н а х м есторождения в сочетании сдругими данными позволит выбр а т ь стра т е г и ю разработки и эксплуатации месторождения. Важное з н ач е ни е име е т идентификация распределений и определение параметров фу н к ци и распределения, визуализация распределений. Рассмотрению этих идругих вопросов посвящено д ан н о е у ч е б н о е пособие. Изредка б уд е м к ас а ться временности жизни инеизбежности смерти, вопросов од у ш е ио бе е отсутствии, обоснованности азартных игр, упоминать людей иживотных умных ин е очень, обсудим миф опа д е н и иб у т ербродов иреальности вероятности житейской и дал ё ко й о т н е ё математической. П р и цитировании ук азания н а текс т ов ы е источники в б о л ьш и н ст в е с л у ч а е в сознательно опускались, н о в библиографическом с п и с к ео н и д а ю т с я полностью. Цитаты и эпиграфы, приведённые к статьям онеко торыхпонятиях и терминах, имеют ц е л ь показать, ч т о "академическое" о п р е д е ле н ие термина н е исчерпывает е г о значения, ч т о термин-слово о х в ат ы в ае т значительно б о л ь ш и е обла ст и смыс л ов и значений, ч е м в к л ю ч е н о в определении. Сло в аи термины, выделенные в т е к с т е курси вом, снабжены отдельными статьями, вкоторых даются этимологическое п р о исхождение термина, е г оз н а ч е н ие и содержание. О с н ов а м математической стати с т ик и предшествуют с т а т ьи оспеци а л ьн ы х терминах ипонятиях, общенаучных понятиях и категориях. Оп ределе н ие многозначных понятий даныв контексте математической ста тистики, те о рии вероятностей и философии. Дл я всех т ерминов и поня т и йприв ед е н о их этимологическое происхождение. Описаны в с ев и ды вероятностей - житейская, классическая, математическая и статисти ческая. В ыполняя методические з а да ч иизложения положений т ео р ии ве роятностей иматематической с татистики произведено цитирование р яда с т а т е й с ло в а р я В.И.Даля; т о лкования В.И.Даля следует воспринимать н е изолированно, авконтексте определений соответствующих п о н ят и й и терминов. П ри цитировании с л о в а р я В.И.Даля сохранена о рф о г ра ф ия XIX в., купюры автора. Рассмотрены так же в а ж ны е д л я образованного инженера термины, п он я т и я и категории, имеющие о б щ енаучное и философское значение, о с в ещ е н ы вопросы, имеющие непосредственное отношение кпроцессу познания. В с е г о в учебном пособии б о л е е 360 словарных статей. - 7 - Условные обозначения Усло в н ое о б о зн а ч е н и е 4 в в ъ С п D, й ж D2 Е ЕХ Е к F F(x) Hi h г J кр К 1 Mlt т1 т тх. ту Величина Коэффициент асимметрии Параметр, с о б ы т и е Матрица параметров Параметр (оценка генерального параметра (*) Биномиальный коэффициент виспытаниях Бернулли Диаметр, м Математическое о ж и д а ни е дисперсии случайной вели чиныX В ыборочная д и сперсия (смещённая оценка генеральной дисперсии, б2х) Математическое о ж и д а н и е Математическое о ж и д а ни е случайной величиныX Э кс ц е с с Критерий Фишера Функция вероятностей случайной величиных, фу н к ц и я распределения сл учайной величиных Высота г-того столбика в гистограмме; высота, м Частота i-того с о б ы т и я Доверительный интервал Номер наблюдения (эксперимента), ном ер эл е ме н т а массива, номер стр о киматрицы наблюдений Номер фактора, н о м е р интервала, номер стол б ц а матрицы наблюдений Квантиль распределения случайной величиныX Количество интервалов разбиения исследуемого диа пазона данных, о б щ е е количество успехов виспыта нияхБернулли Число связей, накладываемыхна выборку Масса вещества (t-той фракции частиц осадка), к г Мода О це нки математических ожиданий случайныхв е л ич и н X иУ - Ус л ов н ое обознач е н ие Г О * N п Р Р р(х) Pi р а Я, Г Г ^ху S Sx , Sy ^ ад S 0 2 Оп q2Х , О«2 у О t V*> V» щ X, У х, у X 8 - Величина Начальный момент p-того порядка Число о ч ко в ви г р е Размерность массива данных, ч и сл о наблюдений (опы тов), ч и с л о точ ек Вероятность с о б ы т и я Доверительная вероятность Плотность вероятностей случайной величины х, плотность распределения случайной величины х Вероятность г~того с о б ы т и я Вероятность "успеха" виспытаниях Бернулли, веро ятность "успеха'* враспределении Паскаля Вероятность "неудачи" виспытаниях Бернулли, пара метр биномиального распределения, знаменатель гео метрической прогрессии Размах выбо р ки Р а ди у с частиц дисперсной фазы, м Параметр распределения П аскаля Выборочный коэффициент корреляции величин X и У Сумма (Мх-т п х)2, (Му-Шу )2 ил и (УХ ~У1 >расч)2 Квадратичные отклонения переменных X и У (выбороч н ы е стандарты) Дисперсия адекватности Дисперсия воспроизводимости (опытная дисперсия) Дисперсии эмпирическихраспределений случайных ве личин X и У (несмещённые оценки б 2 х , 62у) Критерий Стъюдента Коэффициенты в ариации случайных величин х, у В е с г-того результата измерения, и л и количество параллельных измерений Случайные величиныX, Y Арифметические с р е д н и е значения переменныхX, У Независимая переменная величина (фактор), з н а ч е н и е случайной величиныX - У с л о вн о е об о зн а че н и е Х0 ,5 У Z Z а 3 Г д «1 £ н п 0 з е X М х» Му Me N V П Р х у I 6г 6гу их» и 6х , бу Т и Ф X2 9 - Величина Медиана Функция, з н а ч е н и е случайной величины У Стандартизованная случайная величина Значение стандартизованной случайной величины Уровень значимости, параметр распределений Пирсона Порядок момента, параметр распределений Пирсона Гамма-функция Граница 'jf-Toro интервала Интервал Ошибка г-того измер е н ия Малое ч и с л о Гипотеза овероятностной природе данных Малое ч и с л о Статистика гипотетического критерия Центрированная с л у ча й на я величина Параметр показательного распределения, распределе н и й Пирсона, распределения Пуассона Математические ожид а н ия случайных величин X, У Центральный момент p-того порядка Чис л о исходов виспытаниях Бернулли Число степеней свободы, о бщ е еч и с л о исходов в классической вероятности Произведение (от г=1 д о пи л ио т j=l д о к) Генеральный коэффициент корреляции величин X и Y Сумма (от г=1 д о пи л ио т j=l д о к) Генеральные дисперсии случайных величин X, У Стандартные от кл о н ен и я (стандарты) случайных вели ч и нX и У Время, с Характеристика процесса (неизвестная функция) Ф ункция Лапласа Хи-квадрат к р итерий - 10 - СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ ’’Людей честных связывают добродетели, людей обыкновенных - удовольствия, а злодеев преступления." (Жюльетта Ламбер: 1836-1916). С в я зи б ы в ают интимные, семейные, родственные, социальные, ме ханические, физические, математические, химические, биологические, физиологические, функциональные, логические, простые и сложные, п р я м о г о и обратного действия, внутренние и внешние, положительные и отрицательные, линейные инелинейные, постоянные и случайные, регу л я р н ы е инерегулярные, периодические и апериодические, множествен н ы еи единичные, de Jure иde facto идр. Связь, п о существу, озна ч а е т контакт, соединение, соотношение, зависимость, пр ичинное сродство, общность между чем-либо, отношение взаимной зависимости, обусловленности и т.п.* В с я наша жизн ь пронизана множеством связей, м ыв с е "повязаны". Задавшись целью научиться применять статистичес к иеметодып р и анализе промысловых данных, необходимо о б с у д ит ь свя з и вотношениях причины и сл едствия и связи, возникающие между ре зультатами наблюдений (экспериментов) и параметрами, вычисляемыми п о э т и м данным ихарактеризующими т еи л и иные свойства изучае м ог о явления. нНи одна вещь не возникает беспричинно, но всё возникает на каком-нибудь основании и в силу необходимости." (Демокрит; 460/470 360/370 г. до Р.Х.). Причинаявляется основанием, и з которого снеобходимостью фи зиче ск иил и логически вытекает следствие. Познание причинной с в я зи явл е ни й играет огромную р оль винтеллектуальном развитии человека. П ри чинность является о сн о в ой практической деятельности человека, е г о ст ратегии и тактики. Разу м- э т о способность человека** выяв л я т ь причинно-следственные с в я з и в природе, обществе и м ышлении и использовать и х вдальнейшей деятельности. “ У м заключается н е толь к о в знании, н о и вумении прилагать з на ние на деле." (Аристотель ‘Примечание 5. Например, в человеческом мозге приблизительно 30 миллиардов нерв ных клеток. Между ними (опять же приблизительно) один миллион миллиардов связей (1015). **Примечание 6 - см. след. стр. - и - ГАрьбтотеХпС 384-322 д о Р.Х.)). Внастоящее время "Ум”и, реже, "Разум”характеризуют в обще м интеллектуальные способности челове ка. Причинность является цетральнът ядром детерминизма, ос н о в о й научных теорий и прогнозов. Э т о обусловливает некоторую о строту п роблемы причинности вфилософии вооб щ е и внауке, в частности. В общефилософском аспекте причинно-следственная с в я з ь - од н аи з $орж в се о б ще й взаимосвязи явлений н а ш его мира. Причинно-следственная с в я з ь- т а к о е отношение между о т де л ь ны м и событиями, п р и котором о д н ои зс о бы т ий (причина) при е г о осущест в ле н и и неизбежно влечёт з а с о б о й возникновение д ругого с о б ы т и я (следствия), а уничтожение причины приводит к неосуществимости следствия. Например, ядро, б р о ш ен н о е спортсменом, неизбежно у п адёт н а землю. и То, ч т о принято называть "причиной” , э т он еб о л е еч е м п р и с у щ а я душ е человека привычканаблюдать о д н о явление п о сл е друго г ои з а к л юч а ть и з этого, ч т о явление, б о л е е позднее п о времени, за виситпроисхождением о тб о л е е раннего" (Дав и д Юм; 1711-1776). Со г л а с н о современной концепции объективной причинностив м и р е н е т беспричинных явлений - л ю б о е явление природы и о бщества е с т ь с ле д с тв и ет о й или другой причины. "Из ничего (без ничего) н и ч ег он е бывает" (Тит ЛукрецийКар; 99-55 г . д о Р.Х.). Одинаковые причины в о д ни хитехж е условиях вызывают одинаковые следствия. С д р у го й стороны, следствие н е пассивно п о отношению к причине, о н инаходят с я внекотором единстве, взаимодействие причиныи следствия являет с яп р ич иной последующих процессов. Не т явлений, которые н е имели б ы с в о и хпричин, и также т о ч н о нет явлений, которые б ын е порождали **Примечание б. Конечно автор хватил через край. Градации неизмеримо сложнее. Например, спо собность выстраивать параллельные цепочки причинно-следственных связей, многоканальность при ёма и анализа информации, многоуровневость и многозадачность мышления и, что немаловажно, раз мерности многоуровневости и многозадачности. Рейтинг задач по важности, времени и месту. Лёг кость связи души с Ноосферой (Космическим Сознанием, Пространством Вариантов) и эффектив ность интерпретации разумом новой неформализуемой информации. И это малая толика поддающих ся формализации характеристик интеллекта человека. Не следует думать, что выявлять причинно-следственные связи в природе и обществе способен только человек. Жизнь даёт немало примеров умных и глупых животных и птиц. Так, древний греческий философ отметил, что ворона - самая умная птица, а курица самая глупая, овца - самое глупое животное. Если важнейшим содержанием жизни считать пост роение мысленных моделей, то ум живого существа характеризует преобладание мыслен ных моделей, создаваемых в течение жизни, над инстинктивными моделями поведения, пе~ редаваемыми генетически. С другой стороны, в житейском понимании деревенская дворня га умнее породистой овчарки (мнение кинологов прямо противоположное). Необходимо также отметить, что до X X в. в русском языке различали "Умение” ("Ум”, "Уметь”) и "Разум” (духовная сила, могущая помнить, судить, заключать, выводить следс твие... "Разум" - В.И.Даль [82, 83]), в пределе - мудрость. См. также примечание 17 на стр. 278, рассуждения Якоба Бернулли на с. 32 и рассуждения П. Лапласа на с. 300. - 12 - т е х и л и иных следствий. "Роком яназываю порядок и последователь н о с т ь причин, когда од на причина, связа нн а я сдругой причиной, по р о ж да е ти зс е б я явление" (Гераклит Эфесский; 535-475 г . д о Р.Х.). Следствие, произведённое некоторой причиной, с а м ос та новится причи н о йд р уг о г о явления; последнее, в с в о ю очередь, становится причи н о й т р е т ь е г о явления и т.д. Эту последовательность явлений, с вязанных д р у г сдругом отношением внутренней необходимости, называют причин н о йи л и причинно-следственной цепью. Е ё мож н о назвать "цепью причи нения". Люб ая и з цепей п р ичинения н е имеет н и начала, н и конца, и л ю б ы еп опытки найти "первопричину" и л и последнее с л едствие доста т о ч н о бесперспективны. "Всё вприр од е является причиной, вызывающей какое-либо следствие" (Бенедикт Спиноза: 1632-1677). Вн а у к е и технике результаты наблюдений и экспериментов, к а к правило, подвергаются т о й ил и ин ой математической обработке. П р и э т о м представляют интерес к ак преобразованные данные, т а к ипара метры, характеризующие т е ил ии н ы е свойства изучаемого я вления и л и в х о дя щ и е вматематическую модель. В зависимости о т метоЭа математи ч е с к о й обраб о т ки данных наблюдается б о ль ш а я ил и меньшая с в я з ь к а к м ежду д анными и параметрами, т а к имежду с а м им и параметрами. Пос л е д н я яс в я з ь нежелательна, о н амешает познанию физической сущности объ е кт а (явления, процесса) имоделированию. Естественно, в озникает п роблема поиска метода обработки, дающего возможно б о л е е объектив н у юм о д ел ь объекта п р и наименьшей взаимосвязи параметров. "Случай - это нелепая и необходимая при чина, которая ничего не приготовляет, ничего не устраивает, ничего не выбирает и у которой нет ни воли, ни разума." (Франсуа Фенелон; 1615-1715). Человек в с юс в о ю жизнь пытается найти закономерность в событи я хо к р у жа ю ще г ое г о мира. Н а восьмом месяце развития е щ ён е родив ш и й с я ребёнок у ж е внимательно вслушивается вреч ь и музыку, окружа ю щ у юе г о мать, пытаясь сопоставить короткие, повторяющиеся фрагмен т ыв э т о мхаос е звуков. Сн е меньшим усердием игрок вк а з и н ос л е д и т з амельканием шарика, пытаясь най т и какой-нибудь закон в е г о блуж даниях. Результаты известны - родившись, ребёнок кполутора г о д а м н ачинает говорить, аазартный игрок, ка к правило, разоряется... Известно, что невозможны, в природе какие-то события неизбежны, какие-то а какие-то б о л е е возможны п р и одних условиях им ен е е- - 13 - п р и других. Например, неизбежный исход подбрасывания идеальноймо неты- "орёл" или “ решка", т р е т ье г он е дано; исход б ро с ан и я идеаль н о й игральной кости, число "очков” , - целое числ оо т единицыд о шести, в ер о я тн о ст ь выпадения какого-либо результата о динакова и равн а 1/6. Вероятность выпа д ен и я любого результата о т1 д о 6 равна 1, э т о достоверное событие. Подбрасывание монеты и б ро с ание играль н о йк о с ти - с ам ы е простые примерыд л я иллюстрации соотношениякате г о р и й необходимости и случайности. Авжизни? На ком мужчинаженит ся, внекотором смы с л е - случайность, а то, ч т ое г о жена п о психо т и п уб у д е т похожа на е г о мать, - неизбежность (древний Эд и пов комп лекс; аналогично, женщинам свойственен комплекс Электры). Ав о т п р и м е р острее. Иногда п р и разводе мужчина пытается остав и ть ребёнка с е б е (сына, к а к правило). Какова вероятность того, ч т ое г ов т о р а я жена с у м е е т замен и ть ребёнкумать? Возможность та к ого с о б ы ти я нахо д и т с я внекотором соответствии стем, ч т о "мачеха" - с л о в о нарица т е л ь н о е вязыкахмногих народов мира (в отлич и ео т“ отчима” ). Инаконец. "Неизбежность см е р т ио тчасти смягчается тем, ч т о мы н е знаем, когда о н анастигнет нас; в э т о й неопределенности е с т ь н е ч т оо т бесконечности и того, ч т ом ы называем вечностью." (Жан Лабрюйер: 1645-1696). “Каждый день или через день заставляй се бя делать то, чего ты не любишь, чтобы час жестокой необходимости, когда он наступит, не застал тебя врасплох." (Уильям Джеймс; 1842-1910). Понимание единства необходимости и случайностии их фундамен т ал ь н о йр о л и вприроде и о б ще с т ве я вляется одним и з главных элемен т о ввформированиичеловека. Необходимость и случайность - соотно с ит е л ь н ы е философские категории, кото ры е конкретизируют представле н и е охарактере зависимости событий {явлений), выражают типы свя зей, с т е п е н ь детерминированности системы, процесса, явления. С в я з ь ю между с лучайным инеобходимым является, п о существу, закон б о л ь ш и х чисел формализующий естественную с в я з ь между случайныминеобходи мым. Другими словами, в совокупности, г д е происходят т еил ии н ы е м ассовые случайные явления, с лучайные собы ти яв о времени и/или в п ростр а нс т в е осуществимые впринципе, реализуются неизбежно. - 14 - Проблема необходимости и случа йн о с ти разрабатывалась вестест в е н ны х науках и вфилософии начи н а я сглубокой древности, истоки необходимости и случайности - физический, объективный мир. [86]. "Действительность заключена в явлениях" (Демокрит; 460/470 360/370 г . д о Р.Х.). "Что сильнее всего? - Необходимость, ибо она властвует над всем." (Фалес Милетский; 625-547 г. до Р.Х.). Необходимость - внутренняя объективная закономерность возник н ов е н и яявленийи событий, с уществования иразвития процессов наше г о четырёхмерного пространства-времени, которая непременно должна п р о я в ит ь с яп р и определённых условиях, х о т яб ыкак их тенденция. Э т о пр о яв л ен и е повторяющихся, устойчивых, внутренних связей э ле м е н т о в с ис т е мыи отношений системы свнешним миром; события, я вления вих в се о б ще й закономерной связи, о т р а же н и е основных направлений разви т и я действительности [86]. Конечно, "Необходимость е с т ь бедствие, н о н ет никакой необходимости ж и т ь с необходимостью" (Эпикур; 341-270 г . д о Р.Х. ). "Смелость - начало дела, но случай - хозя ин конца." (Демокрит; 460/470- 360/370 г. до Р.Х.). С л у ч а й н о с т ь - проявление несущественных, неустойчивых, единич н ых с в я зе й элементов системыи отношений системы свнешним миром; результат перекрещивания множества независимых причинных с обытий; с п о с о б превращения возможностив действительность, п р и котором в д а н но й системе, при данных условиях имеется несколько различных возможностей, могущих превратиться вдействительность, н о реализу е т с ят о л ь к оо д наи з них. Случа й но с т ь вприроде и обществе неизбежна и закономерна, э т о форма п роявления необходимости идополнение к н е й [86]. "Случай ло ви з а чуб: л и ш ь спереди о н лохматый, с з а д иж е л ы с совершенно. У пустишь - вов е к н е поймаешь" (ДионисийКатон: III-IV вв. п о с л е Р.Х.). Необходимость вызывается основными движущими с ил ами процесса, полнос т ью ими детерминирована, подготовлена всем предшествующим хо д о мр азвития процесса, характеризуется строгой однозначностью, о п ределённостью и достаточно ч а с т о неизбежностью. Н о необходимость н е с в о д и т с я кнеизбежности. Неизбежность т о л ь к оо д н аи зс т ад и йе ёраз - 15 - вития, о д н аи з форм е ёо существления [86]. "Будущее - э т о необходи мость, с о т к а н на яи з возможностей." (Виктор Кротов; р. 1946). В с ё жив ое на з е м л е смертно, н о когда, г д е и какнаступит "пос л е д н и й час" - случайность. С лу чайность с т о л ьж е причинно обусловле на, к а кинеобходимость, н о отл и ча е т ся о тнеё особенностью с во и х причин. О н а появляется врезультате действия отдалённых, нерегуляр ных, непостоянных, незначительных, малых причин или одновре м е нн о го воздей с тв и я множества факторов, совокупности причин. В о т л и ч и ео т необходимости случайность характеризуется неоднозначностью, неопре деленн о ст ь ю с в о е г о протекания. О д н аи т аж е совокупность факт о ро в мож е то бусловливать необходимые процессына одном структурномуров н е материи, в о д н о йс ис т е м ес вя з ейи вызывать случайные с о б ы т и ян а д ру г о му р о в н е ил и вдругой си с т е м е связей. Необходимость и случай н о с т ьр е д к об ы ва ю т вчистом виде, п р и определённых условиях э т ика тегории тождественны, т.е. с л у ч ай н о е необходимо, анеобходимое слу чайно. С о б ы т и еб ы в а е т случайным т о л ь к оп о отношению кдругому собы тию, необходимому. Вподтверждение этих "туманных", н а перв ы й взгляд, рассуждений м о ж н о коснут ь с я та к называемых "штатных" и "нештатных" ситуаций в подводных лодках, летательных аппаратах, космических станциях, атомных электростанциях и других с ложных сис темах. Высококлассные специалистымоделируют множество возмож н ых с о ч е та н ий различных факторов, детерминированных по сво е й природе, и приёмыпреодоления сложившихся ситуаций, опасных д л я функционирова н и яс л о ж н о й системы. Например, в си с т е м е управления реактором Черноболь с ко й атомной электростанции б ы л ос е м ь уровней блокировок... Ц е л ьс л ужбы охраны труда (безопасности жизнедеятельности) - пре д о т в р а ще н ие трагических случайностей. Взависимости о т степенидетерминированности, структуры иха рактера системы, процесса, явле н ия необходимость и случа й но с ть мо г у тб ы т ь подразделены на несколько видов. В э т о м пособии рассматри в а е т с яс л о ж н а я необходимость, о п ре деляющая поведение совокупности о б ъ е к т о в и сложных систем, кото р ая одновременно выражается детерми нистическимии статистическими закономерностями, объективная слу чайность, внутренне п рисущая данной систе м е (процессу), и случай ность, вызываемая преимущественно побочными факторами, случайн о ст ь внешняя, посторонняя. Например, в сист е ме "бурильная колонна - скважина - пласт" п роисходят процессы проводки скважины, спуско-подъёмные операции, - 16 - жёлобообразования, о с ложнения имногие другие. В общем случае, про ц е с с проводки скважины включает вс е б я вращение породоразрушающего инструмента, разрушение г ор ной породы, движение промывочной жидкос ти, гидротранспорт шлама, тре н и еб у ри л ьн о й колонны о ст е н к и скважи н ыидр. Э т и процессы описыв а ют с я детерминистическими моделями, уравнениями, отражающими физическую с у щ н о с ть процесса. Собственно, сп о м ощ ь ю этих уравненийи производятся проектный и поверочный рас ч е т процессов строительства скважины. Сдругой стороны, проводка с кв а ж ин ы сопровождается различными осложнениями: инструмент в сл у ч айном п ор я д ке встречается спрожилками кварца и тектоническими на р у шениями подразличными углами, изменяется скорость вращения инс трум е н таирасход промывочной жидкости, происходит вибрация буриль н о й колонны, образуются жёлобы, каверны, обвалы, меняется механи ч е с к а я скор о ст ь бурения, происходит искривление скважиныим н ог о е другое. В с еэ т и осложнения происходят случайно, н оэ т а сл уч а й но с ть объективна, о на внутренне п р и су щ ая системе "бурильная коло н на с к в а жи н а - пласт”. Случайности, происходящие впроцессе пров о д ки с кважин, в значительной ст е пе н и являются результатом о т с у т с т в и я в а ж н о й информации опроцессах, происходящих в скважине. "Случай н о с т ь - удобное с л о в од л я об о значения неведомых д л я на с причин". (АлександраДавид-Ноэль; 1868-1969). Таким образом, систему "бу р и л ьн а я колонна - скважина - пласт" м о ж но характеризовать как Эетершнированно-стохастическую систему. Примером случайности, вызываемой побочными факторами, случай н о ст и внешней, посторонней, я вляются ошибкиизмерений. О ш иб к и изме р е ни й неизбежнып р и любой процедуре измерения, о н и присущи измере н и ю объект и вн о (вследствие неточности приборов и влияния на проце дуруизмерения множества детерминированных причин) и субъект и вн о (вследствие несовершенства о р г а н о вч у в с т в человека). О д н ии з первых п опытокформализации и сточников о ши бок наблюдений принадлежат в 1783 г. П.Лапласу (Laplace Pierre Simon; 1749-1827) ив 1794-95 г. К.Гауссу (Gauss Carl Friedrich; 1777-1855). Учитывая невозм о жн о ст ь а бс о л ют н о точных измерений, К.Гаусс в 1821-23 г. разработалматема тическийметод обработкинеравноценных опытных д а н н ы х - метод наи меньшихквадратов, широко применяемый и поныне. Величайший физик XX века А.Эйнштейн (A. Einstein; 1879-1955), к от о р ом у принадлежит знамен и та я фраза "Господь Бог н е играет вкос ти. ", б ы л детерминистом - о н верил, ч т о развитие событий предопре- - 17 - д е л е н о е щ ё н е познанными за к о на м и природы. Несовершенство наш е го з н а н и я превращает мир вхаос, г д ев сем правит Случайность - маска непознанной закономерности. В э т о йс в я зи уместно процитировать Ва д и м а Зеланда: "Случайностей н е бывает. Понятие случайности - э т о л и ш ьо с о б а я формавосприятия с л ед с т ви яп р и отсутствии детальной ин ф о рм а ци и опричинах." Вреальном мире одновременно происходит множество независимых явлений, част ьи з них конкурирует, одновременно влияя н ар азвитие д р у г о г о множества процессов. Э т о множество независимых о б ъ ективных и субъект и в ны х причин, одновременно влияющихна развитие событий, прив о д итк тому, ч т о тр е тье внашей последовательности рассмотрения м н о же с т во соб ы ти й происходит случайно. Эт а развивающаяся причинно-следственная ц е п ь детерминированных п о своей физической сущности явле н и йи приводит к детержнированно-стохастическому процессу су щес т во в а ни я белковыхинебелковых тел. Ка кт у тн е вспомнить русскую пословицу: "Русский человек на т рёх сваях стоит: авось, н е б о с ьд а как-нибудь". Пре ж де че м переходить к опис а ни ю приложений математической статис т ик икрешению некоторых з а д ачнефтегазового дела, рассмотрим о п р ед е л е н и янекоторых важнейшихпонятийитерминов. При первом чте н и и и х можн о пропустить, о б р а щ ая с ь кним п о мере необходимости. П о д б о р понятий и терминов, определяемых впервомразделе, осущест в л я л с я п о принципу логической замкнутости или п о принципумакси м альногоминимума (максимальной целесообразности). О сн о в на я за д а ч а о п р е д е ле н ий - удобство изучения иминимизация проблем спониманием п он я т ийи т ерминов имеющих важ но е значение. Термины, имеющие о тд е л ьн ы ес т а ть и сэтимологическим происхож дением, толкованием и достаточно подробным описанием, в т е к с т е вы д еленыкурсивом. Термин (как, впрочем, и любое с л о в о человеческое) п о до б ен т о ч к ен а окружности, у с ло в н о разделяющей мир постигнутый и м и р непознанный. Поэтому иногда т е рм и нн а с поавоЗиш: со д н о й сторо ны ведёткпроблеме ил и ново йо бл а ст и знания, а сдругой - пугает, уводит прочь! Отом, ч т о терм и нн а с подвёл, мы узнаём л и ш ь post factum... < - 18 - "Верно определяйте слова, и вы освободи те мир от половины недоразумений.” (Рене Де карт (Descartes Rene; 1596-1650)). 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙИ ТЕРМИНОВ А Абсолютно непрерывное распределение случайной величины с м . Распределение вероятностей случайной величины. "АБСОЛЮТНЫЙ лат. отрешенный; о предметах духовных, невещественных: бвЗГраничный, безусловный, безотносительный, непременный, несравниваемый, самостоятельный, отдельный и полный; пртвпл. относительный, сравни тельныйподчинённый, условный. А б с о л ю т н о с т ь ж. состоян1е абсолютнаго, безусловность. (...) || научи, абсолютность, исключительность, безусло в н ос т ь стремлен!я к ъ высшему, к ъ первообразу; ф и л с ф . убежден!е в ъ сб ы точности созерцан1я умомъ вы с ш аг о начала быт!я; (...)” (В.И.Даль; 1801-1872) [821. "Абсолютное, какого бы рода оно ни было, не принадлежит ни природе, ни уму человечес кому." (Жорж Луи Леклерк де Бюффон; 1707-1788). Абсолютный (лат. absolutus - законченный, полный, доведённый д о (достигший) совершенства, совершенный, неограниченный, безуслов н ы й < absolvere - освобождать, о тab— от- и solvere - освобож дать, избавлять) - 1. Безотносительный, беспредельный, безусловный, в з я т ы йв н е связи, в н ес р авнения счем-либо, свободный о т каких-либо ограничений. 2. Достигший совершенства, совершенный, полный. 3. мат. Абсолютная величина (модуль) действительного числа а - неотри ц ател ь но е число (обозначается |а|), определяемое следующим образом: е с л и а>0, т о |а|=а, е с л и а<0, т о |а|=-а. Абсолютная геом ет р ия - ге ометрия, в ос н ове которой лежат в с е аксиомы евклидовой геометрии, к р о м е аксиомы опараллельных прямых. 4. физ. Абсолютная температура - температура п о абсолютной термодинамической шкале Кельвина, вко т о р о й принята единственная реперная точка - тройная точка воды. Е й п р и с в о е н оз на ч ение температуры 273,16 К (точно). Точка т а я н и ял ь да л е ж и тн а 0,01° ниже тройной точки, т.е. п о шкале Кельвина т о ч к а та- - 19 - я н и ял ь д аравна 273,15 К. О д и нг р а д у сп о абсолютной шкале равен о д ному градусуп о стоградусной шка л е Цельсия. Абсолютный н у л ь - ниж н я я гр а н и ц а шкалыКельвина, рав на я -273,15°С . Абсолютная в ла ж н ос т ь - влагосодержание единицы о б ъ ё ма воздуха, кг/м3. 5. зеод. Абсолют н а я высота - высота точ ки з е м н ой поверхности над уровнем моря. 6. фил. Абсолютная истна - истина, к о то р ая тождественна своему пред м етуипоэтомун е может б ы т ь опровергнутапри дальнейшем развитии познания. "Кто желает абсолютного совершенства, то т желает б о л ь ш о г о зла.’ 1 (Жан Батист Антуан Стюард; 1733/347-1817). См. также Отношение, ПОВЕРХЬ. Абстракция (< лат. abstractus - отвлечённый, < abstrahere отвлекать, < ab— от- и trahere - тянуть; лат. abstraho - исклю чать, освобождать) - 1. П роцесс м ысленного исключения множества к онкретных с в о й с т в или с в я зейисследуемого объектаили явления с ц е л ь юв ыделения определённых свойств, характеризующих объект, явле н и е втребуемом аспекте. 2. Отвлеч ё нн о е понятие, образуемое вре з у л ь т а т е исключения впроцессе позн ан и я несущественных с т о р о н исс л е д у е м о г о объе к та или явления сцел ь ю выделения свойств, раскрываю щи хе г о сущность. Адекватность (франц. adequat - адекватный < лат. adaequatus соответственный, тождественный, приравненный, равный; лат. adaequo - сравнивать, уравнивать) - соответствие, соразмерность, верность, точность, п о лн о е соответствие физической, математическойи ли мыс л е н но й модели исследуемому предмету. В теории п ознания термин ’ ’ адекватность” служит д л я обозначения в е р но г о воспроизведения о бъ е к т и в н ы х свя з ейи отношений действительности впредставлениях, по н я т и я хи суждениях. В э т о мс м ы с л е истина определяется к ак адекват н о с т ьм ы ш ле н и я бытию. "Здравый с м ы с л- э т о инстинктивное ч у в с т в о истины" (Макс Жакоб; 1876-1944). См. также Воспроизводимость, Детерминированно-стохастическая модель, Детер министическая модель, Модель, Модель экспериментально-статистическая, ПОНИ МАТЬ, Понятие, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Связь, Следствие, Статистическая модель, Стохастическая модель, Структурная модель, Сущность, Явление. Аксиома (< лат. axioma - аксиома, о с н ов н ое положение, исходный прин ц и п < позб. греч. а^ш}ха - положение, н е требующее доказатель ств. - А.Д.Вейсман, И.X.Дворецкий. [80, 84]) - 1. Истина о ч е в и д н а я и л иистина, принимаемая б е з доказательств. 2. Положение (суждение, предложение), которое п р и дедуктивном построении какой-либо теории вг раницах замкнутой теор и и принимается б е з доказательств вкачест- - 20 - в е исходного. Принимаемое по ложение используется д л я доказательства в с е х других положений (теорем) э т о й теории. Аксиомы имеют опытное, эмпирическое происхождение. И м и стано в и л и с ь логические мысленные модели, воспроизводящиеся в о множестве с о з н а н ий н а протяжении развития цивилизации. Н е следует думать, ч т о прини ма е м ая вто йи ли и н о й те о р и и аксиома вообще в водится вт е о р и ю б е з какого-либо первичного обоснования. Обоснование аксиом осущест вляется, но, к ак правило, з а границами аксиматически построенных математических теорий. Системааксиом должна удовлетворять требова н и я м непротиворечивости, полноты и независимости (например, си с т е м а а к с ио м Пеано, система аксиом Фре г е [86]). Критерием истинности ак с и о мявляется практическая применимость т е ории вцелом. Т е р ми н "аксиома" применялся у ж е Аристотелем ('АрьбтотеХт^ 384-322 г г . д о P.X.) в к а че с тв е истинного положения, к о т ор о е н е н у ж д а е тс я вдоказательстве ввиду ясности и простоты. Позж ея с н ос т ь ип ростота с т а л и истолковываться к а к очевидность. А в т о р "Начал" Е в к ли д (III в . д о P.X.), древнегреческий математик, исходил и з то го, ч т от ак и е понятия, ка к "точка”и "прямая" ясны каждому иаксио мы, распространяющиеся н аэ т и геометрические понятия, являются оче в ид н ы м и истинами. Такое понимание аксиомы просуществовало д о сере д и ныXIX в., когда б ы л о признано, ч т о требование "очевидности" но с и т субъективный характер. Б ы ло т а к ж е опровергнуто мнение, ч т о ак с и о м ыявляются абсолютно неизменными, законченными, непреложными и а б с о л ю тн о завершёнными истинами. Практически системы аксиом изменя ю т с я впроцессе развития науки, иих содержание может б ы т ь доста т о ч н о произвольным. Подробно см. [86]. Анализ (< франц. analyse < лат. analysis < зреч. avaA,u6it разложение, растворение. М.Фасмер: (1886-1962). [100]; avaXu6it ~ разрушение, освобождение о т чего: aecoearv; смерть. А.Д.Вейсман; (1834-1913). [80]) - метод исследования, заключающийся втом, ч т о исследуемый объект (субъект, система) расчленяется на со с т а в н ы е части, элементы, каждый и з которых зат е мисследуется в о т дельности к а кч а с т ь расчленённого целого. А н ал и з может осуществляться физи ческиимысленно, ка к логический приём. Выделенные в процессе физического анализа характеристики эле м е н т о в обогащ а ют человека нов ы м знанием, споследующей сбор ко й объ екта, системыили реконструкцией. Например, д л я ребёнка с о в е рш е н но ес т е с т в е н н о стремление разобрать игрушку на составные части, изу - 21 - ч и т ьи хи попытаться собрать. Известно, ч т о свозрастом э т о стрем л е н и е ослабевает и пожившие люди, т о ж е совершенно естественно, фи з и ч е с к и йа н а ли з заменяют мысленным. Мысленный анализ - логический приём, метод исследования, п р и к отором о бъ ект (субъект, система) впроцессе мысленного моделирова н и яразделяется на составные элементы, скоторыми, в зависимости о т с ущ н о ст и объекта, осуществляются т еи л ии н ые интеллектуальные про цедуры. Выделенные иисследованные впроцессе интеллектуальных про ц е д у рэ лементы дале ем ысленно соедин я ю тс я вцелое, обогащённым но в ы м знанием, спомощью друг о го логического приёма - синтеза. А н а л и з ис и н т е з неразрывно связанывинтеллектуальном процессе, я в л я ю т ся н еотъемлемой частью мысленного моделирования. Более того, аналитико-синтетическая деятельность голов н ог о мозга является физиологи ч е с к о йо с н ов о й деятельности человека. Другие виды анализа: математический (дисперсионный, корреляци онный, регрессионный и т.д.), химический, рентгеноструктурный, фа зовый, термометрический, микроскопический и т.д. Термины "анализ”и "синтез”в в ё л Платон (ПХатол/; 428 и л и 427 д о Р.Х.- 348 или 347 д о Р.Х.). Апостериори (нем. a posteriori < лат. a posteriori - букв, и з п ос л едующего (а - из, posterior - следующий, последующий, ближай ший)) - н а основании опыта, и с х од яи з фактических данных. Б ол е е поздний, апостериорный: cognitio a posteriori познание "ab effect!bus ad causas” , впосл. "ex phaenomenis" и з явлений, т.е. н а основа н и и опыта. Противоп. Априори. Априори (лат. a priori, букв. - и з предшествующего (а - от, prior - первый)) - умозрительно, б е з учёта фактов. Познание "ех саusis ad effectum", т.е. (познание) и з "чистых" понятий; впоследс твии "ex notionibus", т.е. следовательно независимо о т опыта. Про тивоп. Апостериори. Аргумент (польск. argument < лат. argumentum - довод, факти ч е с к о е основание, доказательство, умозаключение, о т arguere - дока зывать) - независимая переменная величина (фактор), о т зн а ч е н и я ко т о р о й за в и с я т значения функции. Арифметико-геометрическое сред не е см. Концепция, Середа, Сред нее, сред н е е значение. Арифметическое взвешенное средн е е см. Концепция, С е р ед а , Сред нее, с ре д н е е значение. - 22 - Арифметическое распределение - дискретное распределение вер о ятностей случайной величины, сосредоточенное на множестве точек ви д а ±nh, г д е h>0 и п-1. 2,... . Арифметическое распределение предс т а в л я е т собой частный случай решётчатых распределений. См. также РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Арифметическое среднее см. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. Асимметрии коэффициент, ассиметрии (допустимо) коэффициент (< греч. а - н е и боддетрш - соразмерность, надлежащая пропорция, симметрия; абиддетрса - недостаток соразмерности) - наиболее упот ре б ит е ль н а я мера асимметрии распределения, определяемая с о о т н о ш е н и е г д ед2 ид3 ~ центральные моменты 2-го и 3-го порядков соответс твенно. Коэффициент асимметрии характеризует скошенность и л и асим м е т р и юраспределения. Для распределений, симметричных о т но сительно математического ожидания Лх=0 (рис.1.1). Рис.1.1. Асимметричное распределение вероятностей случайной величины: 1 - кривая с положительной асимметрией; 2 - кривая с отрицательной асимметрией; 3 - кривая нормального распределения (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) Взависимости о т знака Ахг оворят о распределении с положи т е л ь н о й асимметрией Мх>0) и сотрицательной асимметрией (Лх<0). Д л я нормального распределения Ах=0; математическое ожидание Мх , мо датимедианах0 5 совпадают (рис. 1.1,3). См. также Асимметрия распределения, РАСПРЕДЕЛЯТЬ, Симметрия. - 23 - Асимметричность (< греч. а - н е и биддетркх - соразмерность, н адлежащая пропорция, симметрия; абиддетркх - недостаток соразмер ности) - асимметричное отношение. См. также Асимметрии коэффициент, Асимметрия распределения, РАСПРЕДЕЛЯТЬ, Симметрия. Асимметрия, ассиметрия (допустимо) (< греч. а - н е иб и д /х е т р ta - соразмерность, надлежащая пропорция, симметрия; а б о /х /х е т р к х - не достаток соразмерности) - отсутс т в ие соразмерности, с оо тветствия в расположении частей ц ел о го относительно центра, среднейлинии, плоскости; отсутствие правильности врасположении, размещении чего-либо. Например, распределение случайной величиныможет и м е т ь ск о ше н но с т ь относительно математического ожидания. Причинно-следс твенным связям свойственна асимметрия, поскольку с корость распрост ра н е н и я материальных воздействий впо лн е конечна и н е превышает ско р о с т и света. Умлекопитающих наблюдается асимметрия некоторых внут ренних органов, у членистоногих о д н а кл е ш н яб ыв ает б о л ь ш ед ру гой и т ому подобное. Учеловека, внорме, наблюдается асимметрия лица. См. также Симметрия. Асимметрия распределения, ассиметрия (допустимо) распределения (< греч. а - н е и бидоетркх - соразмерность, надлежащая пропорция, симметрия; абиддетркх - недостаток соразмерности) - свой с т во кривой распределения случайной величины, выражающееся внеравной вероят н о ст ип о явления значений признака больших ил и меньших сред н е го зна чения н а одинаковую величину. Качественно асимметрия распределения проявляется в отсутствии си мметрии распределения, п р иэ т о мб о л е е "длинная" ч а с т ьк р ив о й ле ж и тл и б о правее, л и б о леве е моды (рис.1.1). Количественно асимметрия распределения характеризуется т р ет ь и м центральным моментом: + 00 Мз= f(x-Mx)3p(x)dx, —со (1.2) г д еМх - математическое ожидание случайной величиныX. Выборочный ц ен тральный момент третьего порядка вычисляется п о формуле: +00 ц3= f(x-mx ) 3p(x)dx. (1.3) -0 0 г д е тх - оценкаматематического о жи д ан и я случайной величиныX, в - 24 - частности, начальный момент п ер в о го порядка тг, (3.5). К ро м е цент р а л ьн о г о момента т ретьего порядка (в случ а е физических величин и м е ющ е г о размерность) используется безразмерный асимметрии коэффи циент (1.1): Лх= — si . (1.4) Д л я нормального распределения Ах=0 (рис. 1.1). Е с л и п р а в а я в е т в ь к р и в ой распределения является б о л е е "длинной", т ог о во р я то р аспределении с положительной асимметрией (Ах>0), е с л иб о л е е "длин ной" я вляется лева я ветвь кривой, т о говорят ораспределении со т рицательной асимметрией Мх<0). Множеству распределений физических величин, характеризующих т е ил ии н ы е свойства совокупностей, свойственна асимметрия. Э т о объяс ня е т с я тем, ч т о причинно-следственным связям присуща асимметрия, п оскольку скоро с т ь распространения материальных воздействий в п о л н е конечнаин е превышает с к ор ости света. Вполне логичный вывод, выте к аю щ и йи зэ т о г о положения, заключ ае т с я втом, ч т о информативность распределения является следствием е г о асимметричности. Другими сло вами, асимметричность распределения указывает н а наличие фактора, п ос и л еи л и интенсивности выделяющегося н а фо не всех факторов, т а к и л ии н а че влияющих на исследуемый признак и е г о распределение. Причиной выраженной асимметрии может б ы т ь нелинейная зависи м о с т ь исследуемой физической величины о тдругой, нормально распре делённой, и л и факт статистической неоднородности совокупности, и з к о т о р о й взята анализируемая выборка [95]. См. также Моментов метод, РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Асимптотакривой с бесконечной ветвью (< греч. аби^жхтоХ^ несовпадающий) - прямая, ккото р ой э т а ветвь неограниченно прибли жается. Асимптота может б ы т ь вертикальной, горизонтальной инаклон ной. Например, у гиперболы у=1/х асимптотами являются о с и ко ординат О хиОу. Д л я существования наклонной асимптоты, имеющей у р авнение у=Ъ0+Ъ1х, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы: f(x) (1.5) Ьх= l i m ------, b0 = lim {/(ж) ~ bjX}; х п р и х->+*> (или пр и х-*-т). Е с л ив д ол ь бесконечной ветви кривой су щ ествует предельное положение касательной, т оэ т а касательная е с т ь асимптота. Обратное н е всегда верно. - 25 - Т е р ми н "асимптота” (применительно к гиперболе) приписывают Апол л о ни ю Пергскому (АяоШлнсЯ; оПерхаю*,; 262 - 190 д о Р.Х.). Б Безразмерная физическая величина - величина, вразмерности ко т о р о йв с е показатели степени п р и обобщённых символах основных физи чес к их величинравны нулю. Например, в с е относительные ф изические в еличины (массовая доля, мольная доля, объёмная доля, о тн о сительная плотность, относительная электрическая имагнитная проницаемость, к п дидр.), параметрические величины, кодированные переменные в за дача х планирования эксперимента, критерии подобия, нормированные переменные, приведённые переменные, стандартизованные сл учайные ве личины, статистические критерии идр. См. также Отношение, Производить, Производная. "Успех - дело чистого случая. Это вам ска жет любой неудачник.” {Эрл Уилсон, 1907-1987). Бернулли испытания - повт о рн ы е независимые испытания сд в у м я возможными взаимоисключающими исходами ("успехом" и "неудачей") и такие, ч т о вероятности исходов оста ю тс я неизменными о тиспытания к испытанию. Вероятность "успеха" (У) обозначают б у кв о й р, авероят н ос т ь "неудачи" (Я)- q. Очевидно, ч т о p+q=l. Пространство элемен тарн ы х событий каждого отдель н ог ои с пытания состоит и з двух т о ч е кУ иЯ. Пространство элементарных с о б ы ти й писпытаний Бернулли содер жи т 2пточек или последовательностей и з п символов (У) и (Я); каж д а я т оч к а представляет с о бо йо д и н возможный исход испытания. Пос к ол ькуиспытания независимы, соответствующие вероятности перемножа ются. Таки м образом: Р(УНУУН...УНУ)=pqppq... pqp. (1.6) Практически представляет и нт е р ес число "успехов" вписпытани яхБернулли ил ич и с л о "неудач", предшествущих "успеху". Е с л и нас т у п л е н ию "успеха" присвоить знач е н ие 1, а "неудачи" - 0, вероят н о с т ь вышеприведённого испытания: Р(10110... 101) =pqppq..,pqp=pkqn-k, (1.7) - 26 - г д ек - ч и сл о "успеховивпоследовательности п испытаний. Рассмот р е н и е числа "успехов" Nn вписпытаниях Бернулли приводит к биноми альн ом ураспределению: ( 1. 8) биномиальный коэффици ент. Выражение (1.8) означает вероятность того, ч т о п испытаний Б ер н у лл и с вероятностями "успеха" ри "неудачи" q=l-p з а к о н ч ат с я Nn=7c успехами ип-к неудачами. Вчастности, qn - вероятность того, ч т о у с п е х о вн е будет, авероятность того, ч т об у д е тх о т яб ыо д и н успех, равна 1-qn. Рассмотрение числа испытаний Нхд о первого "успеха" прив о ди тк геометрическому распределению: P(N1=k)=qkp, k=0, 1, 2.... (1.9) г д ер - параметр распределения. Ч и с л о "неудач" Nj, предшествующих j-тому появлению "успеха", име е тт а к называемое отрицательное биномиальное распределение (см. Паскаля распределение). Н аиболее известным примером испытаний Бернулли являются после довател ь н ые брос а ни я идеальной монеты, д л я которых p=q=1/2. Е с л и монета несимметричная, т о вероятность "успеха" р может б ы т ь произ вольной, н о последовательные б р о с а н и я монеты мож н ос чи т а т ь незави симыми. Повторные случайные извлечения и з урны содним и т е мж е на б о р о м ш а р о в представляют с о б о й испытания Бернулли. Е с л ин е разли ч а т ь несколько возможных исхо д ов в б о л е е сложных испытаниях, акаж д ы й результатрассматривать ка к "успех" и л и "неуспех", т овс л у ч а е б р о с а н и я идеальной игральной кос т и различие между появлением 1 {У} и н е ед и ни ц ы {Я} приводит киспытанию Бернулли ср=1/6, разл и ч ие меж д увыпадением чётного (У) инечетного Ш) числа о ч к о в приводит к ис пытанию Бернулли ср=1/2. Е с л и игральная кос ть несимметрична, т о последовательные б ро с а ни яв с ёж ео бразуют испытания Бернулли, н ос другими вероятностями р. Представляя "успехом" десятку, валета, да му, к о р о л я ит у за о д н о й мас ти вп о ке р еи л ид в е единицы п р иб р о с а н и и д в у х к о с те й и называя в с е оста л ьн ы е возможные исходы "неудачей", п ол у ч им испытания Бернулли свероятностями р=1/649740 ир=1/36 со ответственно. Э т и имножество других вероятностей, связанных сис пыта ни я ми Бернулли, б ы л и вычисленына с а м о й ранней с тупени разв и т ия - 27 - т еории вероятностей в с в я з исз а д а ч е й оразорении игроков. См. также Геометрическое распределение, РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Бернулли распределение - ди с кр е тн о е распределение вероятностей случа йн о й величиныX спараметромр (0<р<1), если: Р(Х=1)=р, Р(Х=0)=1-р. (1.10) ( 1. 11 ) Функция распределения: ( 0, F (ж)=< 1-р, I 1, £<0, 0<х<1, х>1. (1.12) Р аспределение Бернулли является моделью любого с л уч а йн о г о эк с перимента, имеющего дв а вз а и м н о исключающих исхода. См. также Бернулли испытания, Биномиальное распределение, Геометрическое расп ределение, РАСПРЕДЕЛЯТЬ. "Бесконечное - истинная сущность конеч ного, подлинное конечное." (Л ю д в и г Фейер бах; 1804-1872). Бесконечность [мат.) - понятие, возникающее вразличных разде л а хматематики в основном к а к противопоставление понятию конечного. П он я т и е бесконечности используется ваналитических и геометрических теориях д л я обозначения “ несобственных*' ил и "бесконечно удалённых" элементов, в теории множеств иматематической логике п р и изучении "бесконечных множеств" и в других разделах математики. В математи ч е с к о м анализе одн и ми з основных я вляется представление о бесконеч н о малых и б е сконечно боль ш их переменных величинах, причём беско н еч н о е рассматривается внеразрывной связи с конечным: реальный с м ы с л имее т толь к о разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых. М а л о толк уо т п оп ы т к и подсчёта количества точ екн а небольшом отре з ке л ю б о й линии (парадокс: вконечном э ле м ен т е - бескон е чн о еч и с ло точек!). Д е л ов том, ч т о практический интерес представляет н еб е с конечно м а л а я ве лич и на с а м ап о себе, а т е случаи, в которых рассмотрение б е с к о н е ч н о мал ы х вели чи н приводит квеличинам конечным. Так, отношения беско н е ч н о малых величин, лежа щи е в о с н о в е определения производной (1.61), (1.184), приводят кв по л не конечным значениям тангенса у г л а наклона касательной; сумма б е ск о н еч н о боль ш о го числа беско не ч н о ма- - 28 - лых (площадок) приводит кконечному значению интеграла (площади п о д кривой). Аналогичный характер име е т пополнение системы действительных ч и се лд в у м я несобственными числами +<» и -с о , соответствующие м н о г им требованиям математического анализа. Бесконечность (фил.) - философская категория, характеризующая неисчерпаемость материи иформдвижения, многообразие пр е дм е т ов и явлений материального мира, ф о р м итенденций е г о развития. Беско н еч н о ст ьк а к категория - п родукт интеллектуальной деятельности че ловека, пытающегося позна т ьс е б яис в о ём е с т о вмире. Человек обре ч ё нж и т ь в окружении бесконечности, поскольку бесконечность е с т ь неотъемлемая час т ь нашего четырёхмерного пространства-времени. Категория "бесконечность” з а р о д и ла с ьб о л е е двух тыс я чл е т на з а д впроцессе развития наш е й цивилизации. Платон (Г Ш х т о г у ; 428 и л и 427 д о P. X. - 348 или 347 д о Р.Х.) утверждал, ч т о бесконечность су щест ву е т то л ь к о потенциально, ан е реально, н е актуально. О н предс т а в ля л бесконечность как н е ч т о вдвижении, которое "становится в сегдаиным ииным". Аристотель ('АрьбтотеХг^,; 384-322 д о Р.Х.) признавал потенциальную бесконечность, н ое г о интересовала н е абс трактная безграничность, а т а величина, которую можн о позн а т ь чувс твами. С то л е ти яс п у ст я Джордано Б р у н о (1548-1600) рассматривал бес конечн о ст ь неподвижной и а к т уа л ьн о существующей. Глубокий философс к и йа н ал и з проблемы бесконечности принадлежит Г.Гегелю (Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831), который различал истинную (качест венную) и "дурную" бесконечность (как безграничное увеличение коли чества) и связывал бесконечность сразвитием. Б л ез Паскаль (Pascal Blaise; 1623-1662) утверждал, ч т о мир е с т ь "бесконечная сфера, ц е н т р которой везде, а о кружность нигде". Бесконечность, как и вечность, каже т ся трансцендентной, непоз н а ва е мо й категорией. Так, Р.Декарт (Descartes Rene; 1596-1650) ка тегори ч ес к и отказывался вс т упать в с п о р о бесконечности, с ч и т а я с в о й разум, д а илюбой другой конечный у м недостаточным д л я понима н и я бесконечности как божественной сути. К э т о й категории обраща л и с ьн ет о ль к о учёные, н о и писатели, поэты ихудожники. "Рассказ в рассказе", "картина в картине", "сны в о снах" - э т ов с ёа ллегории б есконечности. И ли е щ ё- б есконечность зеркальных повторов, беско н ечн ос т ьу зо ров в калейдоскопе п р и постоянстве б ы т и я стёкол. Мате м ат ик ифилософ П.Д.Успенский в о д н о йи з своих к н и г написал: "В са - 29 - м о м деле, ч т о так ое бесконечность, ка ке ё рисует с е б е обыкновенный ум? Э т о пропасть, бездна, куда падает наш ум, поднявшись н а высоту, н ак о то р о йо нн е может удержаться". См. так ж е БЕЗКОНЕЧНЫЙ. "БЕЗКОНЕЧНЫЙ, беспредельный, безграничный, безрубежный, неиз меримый, нескончаемый, в е чн ы йп о врем е ни и л ипространству. (...) || Ч р е з м е рн о великш, п о размерамъ своимъ, необычайно б ол ь ш о йи л ипро должительный. (...) Безконечная величина матем. несоизмеримая н ис ъ к а к о ю величиной; н е выражаемая никакою цыфрою, числомъ. Сравнитель н ос ъб ез к о н е ч н о великою, в с я к а яд а н н а я величина ничтожна, а безкон е ч н о малая, передъ всякою данною, с а м а ничтожна. (...) Безконечн о с т ь ж. состоян1е, свойство безконечнаго. || вматем. положительнаяи о трицательная безконечность, б е зк о н е ч н о великое и б е зк о н еч н ом а л о е число." (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. также Бесконечность, Величины соизмеримые и несоизмеримые, Данные, Конеч ное, Мера, Середа. Биномиальное распределение - д искретное распределение вероят н ос тей случайной величины X, принимающей целочисленные з н а ч е н и я к=0, 1,..., п, свероятностями, соответственно: p(k,n,p)=P(X=k)=cl pk(l-p)n~ \ ( 1 . 13 ) г д е 0<р<1 - параметр, а Сп - б и но миальный коэффициент: k к\ С=---------- , п к\(п-к)! (1.14) ч и с л о сочета н и йи зпп о к. Биномиальное распределение п о является в последовательности п независимых Бернуллииспытаний в т ех случаях, к о г д аисследователя интересует н е порядок появления "успехов", аи х о б щ е е количество к. Предполагается, ч т о некоторое собы т и е А вкаж д о м и з испытаний имеет дв а взаимоисключающих исхода - о н ол и б о по я в л я е т с я со д н о й ит о йж е вероятностью р , л и б он е появляется све р оятностью 1-р. Вероятность появле н и яс о б ы т и я Акра з впнезависи мыхиспытаниях - р(к,п,р), (рис. 1.2). Выс о та каждого столбика характеризует вероятность р(к,п,р) ч и с л а успех о в к (Х=к) в с х е м е Бернулли и з п испытаний п р и вероят н о ст и рп оявления с о бы т и я А. Вчастности, вероятности выпад е ни як "решек" (или "орлов") п р и п=20 бросаниях представлены гистограммой н а рис.1.2,б . Вероятность того, ч т о успехов н е б у д е т р{к,п,p)=P('X=0)=qfn, а вероятность того, ч т об у д е тх о тя б ыо д и н ус пех, равна l-qn. 30 - Р(к,п,р) n=10 P=0,3 n-30 p*0,3 «им 0 0 2 4 к 4 В к P(k,n,p) 12 16 20 ns20 p=0,75 n=20 0,2 p=0,5 6 0,1 л з Ц 1 0 4 8 к 12 0 16 4 8 12 к 16 20 Р(Кп,р) n=5 P=0,6 0,3 n~15 n=30 pÔr1 p=0,2 0,2 0,1 0 2 4 к Щ *?- 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 к к Рис.1.2. биномиальные распределения: а - для фиксированной вероятности "успеха" р и различных значений Т1; б - для фиксированного П и различных Р; в - для различных значений П и р , таких, что 71*p=const Моменты случайной величины X с биномиальным распределением равны: тг =пр, il. 15} т2=пр+п(п-1)рг, (1.16) т3^пр(1-р)(1-2р), (1. П) (1.18) тА=Зпг р2 (1-р2)+пр(1-р)(1-6р(1-р)) Центральныймомент второго порядка: дг«пр(1-р). (1.19) Коэффициент асситетрии: Ax Р /np(l-p) ( 1. 20) - 31 - Функция биномиального распределения определяется п р и л ю б о м действительном значении 0<к<п формулой: к F(k)=?(X<K)= I cl pX(l-p)n~X (1.21) Х=0 Биномиальное распределение - о д н о и з основных распределений вероятностей, связанных споследовательностью независимых испыта ний. Биномиальное распределение б ы л о названо так потому, ч т о веро я тн о с ти р(к, п,р) е с т ь членыразложения б ин о м а (p+q)n п р и q=(l-p) с парамет р а ми п, р. Есл и количество независимых испытаний п велико, а в е ро я тн о с ть рмала, аих произведение пр ин е мало, и н е в е л и к о (см. рис.1.2,в), т об и номиальное распределение приближается кПуас с о н араспределению: ч р(К п,р -Р м „к к ( л =С р (1-р) п п- к (Рф) -пр ~------- е К\ . ,i (1.22) Р а з в и т и еб иномиального распределения связ ан о срассмотрением экспериментов, имеющих б о л е еч е м дв а возможных исхода - полиноми а л ь н ы е распределения. Термин "биномиальное" свя з ан стем, ч т оэ т о т р ядвероятностей можн о полу ч ит ь ка к последовательные члены разложе н и яб и н о м аНьютона. Биномиальному распределению подчиняются числа з ё р е н минерала и ископаемых организмов данн ог о вида, подсчитанные вн а бо р е в ы б о р о к з а д а н н о г о объёма. См. также Бернулли испытания, Бернулли распределение, РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Больших чисел зако н- о б щ и й принцип, в с и л у которого совмест н о е д ействие множества случа й ны х факторов приводит, п р и некоторых в е с ь м а общи хусловиях, крезультату, п о ч т ин е зависящему о т случая. Т а к и м образом, в законе больш и х чис е л проявляется с в я з ь между слу ч а й ны м и необходимым. Внастоящее в р е м я закон больш и х чис ел предс т а в ля е т с о бо й совокупность предельных теорем исчисления вероятнос тей, к от о р а я разделяется н ад в е группы теорем (или н ад в е теор е мы с и зм е няющимися условиями). П о существу, з а к о н больших чисел о б р а з у е т п е р в а яг ру п па теорем, к о т о ра я указывает вероятности, с к о л ьу г о д н о б л и з к и е кдостоверности. Н ачало в с е й совокупности теорем, объеди нённыхназванием "закон большихчисел", положила теорема Якоба Бер н у л л и (Jacob Bernoulli: 1654-1705), доказанная и м в п ер и о д 1686-1690 г . и посмертно изданная в 1713 г. е г о племянником Никола- - 32 - е мБ ернулли (Nicolas Bernoulli; 1695-1726) под названием "Искусство предположений" и фактически по л ожившая начало теории вероятности к а кполноправной научной дисциплины. Теорема, доказанная Я.Бернул ли, - пе р в а я асимптотическая теорема вероятностейтеории. Н и ж е при в ед е н ае ёформулировка в обозначенияхЯкоба Бернулли. "Пусть чис ло благоприятных сл у ч а е в относится кчислунеблаго приятныхт о ч н о или приближённо, ка к гкs, или к числу всех с л у ч а е в - к а кгкr+s или г к t, к ак о в о е отнош е ни е заключается в пределах (r+l)/t и (г-1)/£. Требуется доказать, ч т о можно взять с т о л ь к о опы тов, чтобывкакое угодно д а н ное ч и с л ор а з (с раз) б ы л о вероятнее, ч т оч и с л о благоприятныхнаблюдений попадёт в э т и пределы, ан ев н е их, т.е. ч т о отношение числа благоприятныхнаблюдений к чис лу в с ех б у д е тн е более, чем (r+l)/t, ин е менее, чем (г-l)/t." [4, с.56] > 1 - 1+с (1.23) п р ич ё мдостаточное д л я выполнения неравенства (1.23) ч и с л о испыта н и йv линейно возрастает слогарифмом с : v = nt = tik-log c+v0), (1.24) г д е - ч и с л о появлений с об ы т ия вv испытаниях, ки v0 - возраста ю щ ие функциигиб; п р и возрастании ги s величина v увеличивается н ет о л ь к о вме ст е сЬ , н ои в м е с те сп* (формулы (1.24) уЯ.Бернулли нет, н оо н а выводится и зе г оо ц е но к [4, с. 106]). В ф ормуле (1.23) v1/v - классическая вероятность, a r/t - вероятность статистическая. Як о б Бернулли исходил и зт о г о факта, ч т о любой человек, д а ж е о ч е н ь ограниченный и б е з предварительного обучения, д е л а яв ы б о р м еж дуд в у м я ил иб о л е е возможностями, интуитивно принимает в о внима н и ечастоту ошибок и удач. Э т о ес т ественно д л я человека и в с е м из вестно, б о л е е того, уро в ен ь интеллекта внекоторой степении оп р е д е л я е т с я способностью мысленным взором охватить возможно б о л ь ш е е ч и с л о событий, провести а н ал и з причинно-следственных связейивыя в и т ь аналогии. Э т о естественным обр аз о м всем известно, но, б ы т ь мо жет, м а л ок т о задумывался, б у д е тл ипр и увеличении числа наблюдений с оо т н о ш е н и е ошибок и удач п о стоянно возрастать или ж ез а да ч аимеет ‘Примечание 7. Ни Якоб Бернулли, ни другие учёные вплоть до С.Д.Пуассона (1781-1840) не различали вероятностей вида: ?{Х<Х) И ?(Х<Х). - 33 - с в о ю асимптоту. Доказывая теорему, Якоб Бернулли рассмотрел проце д у р у в ы е м ки свозвратом каме шк о вб е л о г о и чёрного ц в е то ви з урны, с о д е р ж ащ е йт р и тысячи белыхид в е ты с ячи чёрных камешков. Висто р ии н а у к иэ т об ы л а первая попытка н ау чно обосновать вероятность с о б ы т и я a posteriori почти ст о йж е точностью, ка ке с л иб ыо н иб ы л и извест н ыa priori. Притом, с об ы т и я тривиального. Р е ш а яэ т у задачу, Як об Бернулли рассмотрел процедуру последо в а т е л ьн о г о уточнения и с ходного априорного полуторного с оо тношения б е л ы хичёрных камешков, 3/2, опытными л и апостериорным определени ем, т.е. п р и г=30 и s~ 20 пределы (r+l)/t=31/50 и (r-l)/t=29/50, п р и г=300 и s=200 пределы (г+1)/£=301/500 и (r-l)/t=299/500 и т.д. Ви т о г е Якоб Бернулли доказал, "что п р и 25550 опытах б у д е т более, ч е м втысячу р а з вероятнее, ч т о отнош ен и е числа благоприятных наб л ю де н ий кчислу всех б у д е тз а кл ю че н о впределах 31/50 и 29/50, ан е в н еих. И так им ж е образом, п о л ож и в с=10000 или е=100000 и т.д., найдём, ч т от о ж еб у д е т более, ч е м в 10000 раз, вероятнее, е с л иб у д е тс д е л а н о 31258 опытов; и более, ч е м в 100000 раз, вероятнее, ес л и б у д е тв з я т о 36966 опытов; и т.д. д о бесконечности, п р и ба в ля я и м е н н оп о стоянно к25550 опы т ам 5708 других. Откуда, наконец, выте к а е тт о удивительное, по-видимому, следствие, что, е с л иб ынаблюде н и я над в с е м и событиями продолжать в с ю вечность (причём вероят ность, наконец, перешла б ыв п ол н у ю достоверность), т об ы л об ыз а мечено, ч т ов с ё вмире управляется точными отношениями ипостоянным з ак о н о мизменений, так ч т од а ж е ввещах, ввысшей степ е ни случай ных, м ы вынуждены б ы л иб ыпризн а ть к а кб ынекоторую необходимость и, с к а ж уя, рок." [4, с.59]. С о о тношение (1.23) иформула (1.24), вместе взятые, являю т ся з а п и с ь ю зако н а больших чисел вф о рм еЯкоба Бернулли. Е г оо б ы ч н оз а п исы ва ю твб о л е е слабом виде: Пт Р ( у-юа V Vi Г V t < е) = 1, J (1.25) г д е е- с к о л ьу г о д но мал о ез а д а нн о е число. В з а п и си (1.25) класси ч е с к а я вероятность vt/v является состоятельной оценкой в е роятности статистической r/t. ФактическиЯкоб Бернулли доказал "естествен н о с т ьо б щ е г о представления отом, ч т о частота появления какого-либо с л у ч а й н о г ос о б ы т и яп р и неограниченно увеличивающемся ч и с ле незави- - 34 - с и м ы х наблюдений, производимых в одинаковых условиях, с бл и ж а е т с яс е г о вероятностью" [4, с.4]. Вформулировке академика А.А.Маркова (1913 г.) теорема выгля д и т так: "Если производится неограниченный ряд испытаний ип р ив с е х э т и хиспытаниях некоторое с о бы т и е имеет о д н уи т у ж е вероятность, т оп р ид о статочно большом ч и с л еи хм о ж н о утверждать свероятностью, с к о л ьу г о д н о близ к ой кдостоверности, ч т о отношение числа п о я в л ен и й с о б ы т и я кчислу испытаний отклон и тс яо т вероятности с о б ы т и я менее, ч е мнад а нное число, к а кб ым а л оо н он и было" [4, с.10], см. т а к ж е (1.25). Современная формулировка з акона больших чисел приведена в н а ч а л е статьи. И з других определений з а к о н а больших чисел отметим следующие: м атематическое ожидание частоты событияВ равно вероятности е г о по явления; с тандартное отклонение стреми т ся кнулю сростом п, и п р и ф иксированном п о н о не превосходит l/2/fT. Иногда з а к о нб ол ь ш и х чи с е лз а писывают по-другому: Р{\п1/п-р1 |>е) -» 0. (1.26) Понятие "закон б ольших чисел" в 1835 году предложил С.Д.Пуас с о н (Poisson Simeon Denis; 1781-1840). С в о ё определение о н повт ор и л ч е р е зд в аг о д а в "Исследованиях овероятности приговоров в уголов н ыхи гражданских делах": "Явления в с е г о мира подчинены универсаль ному закону, который м о ж н о назвать законом больших чисел. О н состо и т втом, ч т ое с л и наблюдают вес ь м а значительные количества с о б ы т и й о д н о йит о йж е природы, зависящихи о т постоянных причин, и о т при чин, изменяющихся иррегулярно ..., т о между э т и м и количествами о б наружа т ся п о ч ти постоянные соотношения". Переменные причины, уточ н ил С.Д.Пуассон, н е должны действовать односторонне, и добавил, ч т о вп ределе указанные соотношения б у д у т выполнены т оч н о [4, с.110]. Взаключение необходимо отметить, ч т о эмпирическое распределе н и еформируютвнутренние причиныявления, ан ез а к о н больш и х чисел. Б ол ь ш о еч и с л о наблюдений - у с л о ви ед л я того, чтобы с л учайные откло н е н и я щ/п о т pi погашались. П о существу, з а к он больших ч и се л фор м ализует естественную с в я з ь между случайным инеобходимым. Д р уг и м и с ловами, в совокупности, г д е происходят т еи л и ин ые массовые слу чайн ы е явления, с л учайные с о б ы т и яв о времени и/или впространстве имею щи ем ес т об ы т ь (в принципе осуществимые) реализуются неизбежно. См. также Вероятность классическая, Вероятность математическая, Вероятность статистическая, РАСПРЕДЕЛЯТЬ, Частота случайного события. - 35 - В Вариациикоэффициент (< польск. warjacja или нем. Variation < лат. variatio - различие, изменение; variatim - различно, разнооб разно; variatus - разнообразный. - И.X.Дворецкий, Н.Ю. Шведова [84, 104]) - безразмерная мера р а ссеяния случайной величины о т н осительно математического ожидания: Vx= — (1-27) мх г д е бх- стандартное отклонение с лучайной величины, Мх- математи ч е с к о е ожидание. Коэффициентв ариации б ы лпредложен в 1895 г о д у К.Пирсоном (Pearson Karl; 1857-1936). Выборочный коэффициент вариа ц и и вы ч исляется п о формуле: (1.28) У х----— . тх г д е sx - квадратичное от клонение случайной величины, тх- о ц е нка математического ожидания. Вп р ак тике экспериментальных исследований коэффициент вариации сл у ж и тт ак ж е оцен ко й точности (воспроизводи мости) эксперимента; в отечественной литературе е г о называют отно с и т е ль н ой о шибкой и о б ы ч н о выражают впроцентах. В а ж н о различать к о э ффициент вариации выборочного распределения и оценку воспроизво д и мо с ти эксперимента. Первый характеризует закон распределения, в т о р о йв с е г о лиш ь ошибки эксперимента. См. также Генеральный, Вариация, Дисперсия воспроизводимости, Стандарт. Вариационныйряд (< польск. warjacja или нем. Variation < лат. variatio - различие, изменение; variatim - различно, разнообразно; variatus - разнообразный. - И.X.Дворецкий, Н.Ю. Шведова [84, 104]) последовательность э ле м е нт о в (xt, xz> ..., x lf..., хп) случайной вы б о р к иразмерности п, получаемая путёмих расположения в в ы б ор к е в п ор я д к енеубывания: . . , ,, „ жj40^2 ■ -• ... . {1. ) Вариационный ряд необходим п р и первичной обработке данных, ха рактеризующиходин признак совокупности, в частности, д л я построе н и я гистограммыраспределения случайной величиныи д л я п о с троения э м п ирической функциираспределения Р(ж)=пх/п, г д е пх - число э л е мен т ов ря даменьше х. Представление случайной выборки вв и д е вариа ц и о н н о г о ряданеобходимо т а к ж ед л я определения законараспределения с л у ч а й н о й величины. В те х случаях, когда элементы выборки с о держат вс е б е несколько признаков, м о ж н о получить соответствующее коли ч е с т в о вариационныхрядов п о каждому варьирующему признаку. - 36 - Подразумевается, ч т о функция распределения случайной величины Fix) ип лотность вероятности р(х) отличны о т нуля. См. также Вариация. Вариация (< польск. warjacja и л и нем. Variation < лат. variatio - различие, изменение; variatim - различно, разнообразно; variatus - разнообразный. - И.X.Дворецкий, Н.Ю.Шведова [84, 1041) - из менение, видоизменение, разновидность; изменение, некоторое откло н е н и ео то сновной формы, (муз.) Приём композитора (исполнителя), с о с т о я щ и й вмногократном, разнообразном изменении ритма, тональнос ти, аккомпанемента и т.д. глав но й мелодии (темы) в границах узнава емости. (мат.) Вариационное исчисление, о д и ни з разделов математи ч е с к о г о анализа. [84, 93, 104]. См. также Вариации коэффициент, Вариационный ряд, Среднее, среднее значение. Величина - именованное число, отвлечённое ч и с л о (действитель н о еи л и комплексное), несколько чисел (точка пространства) и, вооб ще, элем е н тл ю бого множества (в с а мо м широком смысле). Величина о д н ои з основныхматематических понятий, с м ы с л которого сразвитием математики неоднократно у т очнялся и обобщался. 1. Е щ ё в ’ 'Началах” Евклида (III в . д о Р.Х.) б ы л ио т ч ё т л и в о с формулированы свойства величины, называемые теперь д л яо т л и ч и яо т дальнейших обобщений положительными скалярными величинами. Э т о пер в он а ч ал ь но е понятие величины являе т с я непосредственным об о бщением б о л е е конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т.п. 2. Рассмотрение скоростей, могущихиметь дв а противоположных направления, ускорений и т.п. в е л ич и н естественно приводит квклю ч е н и ювс истему величин н у л я и отрицательной величины. 3. В б о л е е обще мс м ы сл е величиной называются векторы, тензоры ит.п. 4. Действительные числа п ри н я т о называть величинами, поскольку о н и об л а да ю т все ми свойствами скалярных величин. 5. Переменные величины, количественно характеризующие процес сы, свой с т ва системы т е л иявления, п о существу являются числами, вход я щ им и вп онятие величины (аналогично, переменные векторы, тен з о р ыи т.п.). 6. "Случайные величины" т о ж е входят впонятие "величина" н а т о м основании, ч т о результатынаблюденийи экспериментов в боль ш и н ст в ес лу ч а ев являются числами и ч ислами случайными. См. также Величина физическая. - 37 - Ав о т к а к о е определение физической величины в с в о ей "Алгебре" (1766 г.) д ал математик и физик Леонард Эйл е р (Leonhard Euler; 1707-1783): "1. Прежде всего называется величиной всё то, что способно увеличиваться или умень шаться, или то, к чему можно нечто прибавить или от чего можно нечто отнять. Таким образом, сумма денег является величиной, потому что допускает добавле ние к себе или отнятие от себя. Также и вес является величиной по тем же причинам. 2. Существует очень много разного рода величин, которые не поддаются счёту, и от них происходят различные разделы физики*, каждый из которых имеет дело со своим осо бым родом величин. Физика* вообще есть не что иное, как наука о величинах, занимающа яся нахождением средств, как измерять последние. 3. Однако невозможно определить или измерить одну величину иначе, как принять в ка честве известной другую величину этого же рода и указав отношение, в котором она нахо дится к ней. Так что если эта величина должна определять сумму денег, то принимается в ка честве известного некоторое количество денег, например, гульден, рубль, талер или дукат и т.д., и указывается, сколько раз такое количество содержится в данной сумме денег. Аналогично, если эта величина должна определять вес, то принимается в качестве известного некоторый вес, например, фунт, центнер или лот и т.д., и указывается, сколько раз он содержится в данном весе. Если же требуется измерить какую-нибудь длину или ширину, то при этом пользу ются одной определённой известной длиной, именуемой футом. 4. При определении или измерении величин всякого рода мы приходим, следовательно, к тому, что прежде всего устанавливается некоторая известная величина этого же рода, именуемая мерой или единицей и зависящая исключительно от нашего произвола. Затем определяется, в каком отношении находится данная величина к этой мере, что всегда вы ражается через числа, так что число является не чем иным, как отношением, в котором од на величина находится к другой, принятой за единицу." Кэ т и м определениям физической величины, единицы и чи с ле н н ог о з н а ч е н и яд аже вн аше в р е м ят р у д н о что-то добавить принципиально но вое. [30]. Величинафизическая - характеристика физических т е л (системы тел), процессов, явлений материального мира, о б щ а яд л я множества о б ъ е к т о ви л и явлений вкачественном отношении, н о в отно ш ен и и коли чества конкретная н ет о л ь к од л я каждо г ои з них, н оид л як а ж д о г о э л е м е н т а системы. Примерами физических величин являются разли ч ны е коэффициенты (диффузии, проницаемости, фильтрации, динамической вязкости, кинематической вязкости, пластической вязкости, гидравли ч ес к о г о сопротивления имногие др.), параметры состава (концентраИримечание 8. Леонард Эйлер пишет здесь о математике, но по смыслу редактором перевода Матвеевым А.Н. она заменена на физику [30]. - 38 - ц и ио б ъ ё м н а я массовая, о б ъ ё м н а я мольная, массовые им ольные д о л и компонентов), характеристики в е ще с тв (плотность, удел ьн ы йв е си др.), параметры состояния (давление, температура, э н е р г и я Гель мгольца, эн е р г и я Гиббса, энтальпия, энтропия), параметры п роцесса (массовый расход, температура, давление, время, скорость идр.), ге о ме трические характеристики (объём, длина, высота, радиус, площ а д ь и т.п.), а т а кж е работа, ускорение, сила, масса, в е с тела, ус к о р е н и ес и л ы тяжести и т.д. Физические величины могут б ы т ь размер н ы м и и безразмерными. В б ол ь ш ин с тв е физические величины - ч и с л а действительные (вещественные). Впределах системы физические величины могут изменяться и в о времени, и впространстве. Например, параметры процесса б у р е н и яме х аническая скорость бурения, нагрузка н а инструмент и с к о р о с т ь е г о вращения, искривление траектории, температура в забо йн о й зоне, расходи параметры промывочной жидкости и др. - являются одновре м е н н о физическими величинами, переменными, случайными величинами и, наконец, величинами. Физическая величина - понятие мене её м к о еп о значению, ч е м величина, н об о л е е конкретное. Практически в с е физи ч е с к и е величины, определяемые спомощью т ех и л и иных измерительных приборов, являются случайными величинами. См. т а к ж е Мера. Величины соизмеримые инесоизмеримые - дв е однородные в еличины (например, длины, площади и т.д.), обладающие или, соответственно, н ео б ла д а ю щ и ео бщеймерой. Примерами несоизмеримых в е л ич и н м о г у т с л у ж и т ь длины диагонали и с тороны квадрата и л и площади круг аи квадрата, построенного н а радиусе. Е с л и величины соизмеримы, т ои х о т н о ш е ни е выражается рациональнымчислом, е с л и несоизмеримы, т о ир рациональным. Поэтому, е с л и всовокупности однородных ве л и чи н при н я т ьо д н уз а единицу, т о величины, соизмеримые сней, б у д у т выра ж а т ь с я рациональными числами, авеличины несоизмеримые - иррацио нальными. Открытие несоизмеримых в еличин составляет о д н уи з важней ш и хз а с л у г древнегреческих математиков. Впрактике математического моделирования технологических про ц е с с о в соизмеримыми и несоизмеримыми величинами иногда называют фи з и ч е с к ие величины, различающиеся между с о б о йн а несколько порядков. Е с л и с так и ми величинами производятся многократные арифметические операции, т о в результате происходит накопление ошибок округления, к о т о р ы е могут привести кневерным результатам расчёта. См. также БЕЗКОНЕЧНЫЙ, Количество, Мера, Отношение. - 39 - В ероятное отклонение, срединное отклонение, семиинтерквартильн а я широта - о д н аи з характеристик рассеяния распределения вероят ностей, рав н а я 1/2(К3/4 - К1/4), г д е Кр - квантили р а с пределения с луч ай н о й величиныX . Ес ли распределение случайной величиныX неп реры в н о и симметрично относительно т о ч к ит п х, т о вероятное отклоне н и е Вудовлетворяет условию: 1 Р{|Х-тх|<£} = Р(|Х-тх|>В} = ---. (1.30) 2 Д л я нормального распределения существует простая с в я з ь вероят н о г о откло не н ия с о стандартным (квадратичным) отклонением 6Х: Ф(В/бх) = 3/4, (1.31) г д еФ(я) - функция стандартизованного нормального распределения (см. раз д ел 2.8). Приближённо: В~0,6745бх ~2/3бх. (1.32) "Во всех прочих делах мы имеем дело лишь с вероятностью, но когда речь заходит о пред метах веры, то отпадают всякие "может быть." (Аврелий Август ин ; 3 5 4 -4 3 0 ). Вероятностей теория - математическая теория, п о зволяющая п о в ероятностям одн и х с л учайных явлений находить вероятности других с л у ча й н ых событий, связанных каким-либо образом спервыми. Познава т е л ь н а я ценность теории вероятностей обусловлена тем, ч т ом а сс о вы е с л у ч а й н ы е явления в своём совокупном действии создают стро г и е зшсономерносш. Практическая ценн ос т ь вероятностиматематической заклю ч а е т с я внекотором постоянстве частоты осуществления какого-либо с о б ы т и яп р и многократном повторении однородных условий (в пределе неизбежность). Утверждение отом, ч т о какое-либо событие наступает свероят ностью, равной, например, 1/2, е щ ён е представляет с а м оп ос е б е о кончательной ценности, ну р а з ве ч т оп р и розыгрыше. Практическую познавательную ценность имеют т е результаты теории вероятностей, к о т о р ы е позволяют утверждать, ч т о вероятность наступления како го-либо с о б ы т и я В весьма б л и з к аке ди н иц е ил и (что т ож е самое) ве р оятность ненаступления со б ы т и я В весьма мала. В соответствии с принципом ’ ’ пренебрежения достаточно малыми вероятностями”т а к о е со б ы т и е сп р аведливо считают практически достоверным. Т а кого рода вы - 40 - воды, имею щ ие научный и практический интерес, о б ы ч н о основаны н а допущении, ч т о наступление и л и ненаступление с о бы т и яВз а в и с и то т б о л ь ш о г о числа случайных, м а л о связанных друг с другом факторов. Поэтомум о ж н о сказать, ч т от ео р ия вероятностей е с т ь математическая наука, выясняющая закономерности, кото ры е возникают п р и взаимодейс т в и иб о л ь ш о г о числа случайных факторов. Предметом теории вероятности я вляется изучение свойств вероят н ос тей событий, являющихся результатом некоторого множества воз действий, на о с н ов е достаточно простых соотношений. Подразумевает ся, ч т оп р и условиях S с об ы ти е В имеет определённую вероя т н ос т ь Р(В1S), равную р (случайная и л и стохастическая реакция системын а с овоку п но с т ь условий S ). Э т о означает, ч т о почти вкаж до й достаточ н о длин но йс е р и и испытаний п частота пх /п собы т и я В приблизительно равна pj. Например, п р и бу р е н и и внеустойчивых горных породах прих в а тм о ж ет произойти, аможет ин е произойти. Практическую ц е н н ос т ь б у д е ти м е т ьс вя з ь вероятности прихвата о т конкретных усло в ий (спо с о б а бурения, литологии разрезов, диаметров скважины и б у р и л ь н о й колонны, свой ст в буро во г о раствора, состояния фильтрационной к о р к и идр. Т ак и е статистические модели описаны в литературе). Подро бн е е см. раздел 2.3. В детерминированных процессах с остояние системы вмомент вре ...... м е н и т0 однозначно определяет хо д процесса в б удущем - х1г хг хх . Этим предмет теории вероятностей отличается о т детерминирован ныхреакц и й сист е м на совокупность условий S: п р и каждом осущест влении условий S наступает и л и не наступает событие В (однозначная реакция). Например, в с е законыклассической механики, х и ми и идр. Источником теории вероятностей явился интерес математиков к азар тн ы м играм, в частности, труды Б.Паскаля (Pascal Blaise; 1623-1662), П.Ферма (Fermat Pierre; 1601-1665) и X.Гюйгенса (Huy gens Christian; 1629-1695) вXVII в . п о теории азартных игр. См. также Вероятность классическая (априорная), Вероятность математическая, Вероятность статистическая (апостериорная), Вероятный, Статистика математи ческая, Совокупность, СОВОКУПЛЯТЬ, Частота случайного события. "Опыт- это название, которое каждый да ёт своим 1856-1900). ошибкам" (Оскар Уайльд; Вероятность житейская - оценка человеком осуществимости како го-либо случайного события (СС, явления, процесса), реальность ко- _ 41 - т о р о г о относительно далека и о т неизбежности (Р(СС)=1), и о т невоз можности (Р(СС)=0). Житейская вероятность неразрывно связана счас тотой случайных событий (1.284) и, в большинстве случаев, о снована н аней. Главная проблема э т и х оце но к - их субъективность, времен н о ст ь инеопределенность, иногда оценка вероятности с о бы т и я выража е тл и ш ьо т ношение человека кделу. Стечением времени и/или в зави с и м о с т ио тнастроения человека о ц ен к аможет меняться, меняеться о н а т а к ж еи о тинтонации произнесения, и о трасставленных акцентов. Понятия, характеризующие различные случайные события вж и з н и ч еловекаи е г о социального окружения, в значительной с те п е н и субъ ективны, медленно меняются о тпоколения кпоколению, изменяются и в о времени, и в пространстве. Люб ы е оценки случайных событ и й отно сительны, поскольку рождаются в сравненияхи противопоставлениях. И с о в е р ш ен н о естественно между вероятностью житейской и математичес кой, формализованной вXVIII—XIX вв., в обыденном сознании пролегла непреодолимая пропасть. Изменения свойственны всем понятиям, и э т о т процесс характери з у е т с я законами развития языковых форм, содной стороны, и действи е ммножества детерминированных факторов (физических причин, произ в о л ь н о сочетающихся), сдругой стороны. Детерминизм, д и н а м и ч н о с т ьи х а о с впричинно-следственных с в я з я х человека и е г оо к ружения и т о т факт, ч т од л я большинства люд е й ихжизнь - детерминированно-стохастическийпроцесс, приводят ктому, ч т о втрансформациях с о д ер ж ан и я п о ня т ий присутствуют ка к закономерности, та к и случайности*. Попробуем связать понятия житейской вероятности с нормальным распределением (рис. 1.3, см. также рисД.20,6, рис.1.43, рис.2.27 и рис.2.28). 'З а к о н нормального распределения - предельный з а к о н биномиального распре деления, з а к о н формализующий результат хаосаи динамичности впри чинно-следственных связях множества детерминированных факторов, к а жд ы й и з которых п о интенсивности н е выделяется на фо н е других. С о г л а с н оз а кону нормального распределения вероятность того, ч т о с л у ч а й на я величина примет зн а ч е н и е винтервале Мх-б<Х<Мх +б равна "Примечание 9. Например, слово "ноль" является следствием особенности артикуляции губ при произнесении звуков "о" и "у", первично слово "нуль" (лат. nullus); в случае слова "номер” (лат. numero) процесс перехода от "у" к "о" почти завершился (мы ещё пока говорим "нумерация"). Сло во "ненавидеть" когда-то означало всего лишь нежелание видеть какого-либо человека, а сейчас?... Слово "целомудрие" когда-то соотносилось с человеком пожившим и набравшимся целой мудрос ти, а в середине XX в. целомудренной называли невинную девушку. И наконец, словом "херь" во времена В.И.Даля называли букву в слове, которую либо приписывали (прихеривали), либо зачёрки вали (захеривали). Подобных примеров множество. См. также Понятие, Термин технический. - 42 - Рис.1.3. Сопоставление кривой плотности вероятностей для нормального закона и градаций понятий житейской вероятности (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) 0,683, вероятность попадания в интервал Мх-2б<Х<Мх+2б равна 0,954, а вероятность попадания случайной величины в интервал Мх-Зб<Х<Мх+Зб равна 0,997 (рис.1.3). Вероятность того, что случайная величина X окажется за пределами трёх сигма, равна 0,003, и практическое пре небрежение этой вероятностью называется п равилом трёх сигма (1.255). Математически это выглядит так: Р(Х<(Мх-3б)}=0,0015 и Р(Х>(Мх+Зб))=0, 0015. И это еще не всё - кривой плотности вероятно стей нормального распределения обязательно свойственна симметрия, выражающаяся в равной в ероятности появления значений признака боль ших или меньших с реднего значения на одинаковую величину. И нако нец, считаются возможными значения случайной величины как -с о , таки +оо. в нашем случае всё достаточно конечно. Вероятности случайных событий ограничены невозможностью и неизбежностью (нулём и едини цей). Вероятность попадания нормально распределённой случайной вели чины X в интервал четыре сигма (Мх-2б<Х<Мх+2б) равна 0,954, в те о р и и проверки статистических гипотез эта вероятность эквивалентна доверительной вероятности Р=0,95 (соответствующий у р ов е нь значимос тиа=0, 05)). Уровень значимости а=0,05 принимается при проверке статистических гипотез в научных и прикладных исследованиях доста точно часто. Попробуем предположить, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал Мх-26<Х<Мх+26 равная 0,954 характерна не только для физических явлений, но свойственна и другим явлениям. Вероятности м ассового случайного явления Р-0,95 - 43 - с оответствуют некоторые социальные явления. Например, в с о временной Р о с с и ит о л ь к о каждый 20-тый человек спрашивает у полицейского доку менты, каждый 20-тый россиянин вооружён, только каждая 20-тая суп р уж е с ка я пара распадается п р и изменахмужа, о тжё н страдающих алко голи з м ом уходят 19 и з 20 мужчин... Подобная статистика достаточно обширна, как впрочем и м н ог и е другие. Приведённые примеры н е единственные - см. рассуждения С.Д.Пуассона (1781-1840) овероятностях приговоров в уголовных и гражданских делах н а с.34. П оа налогии справилом трёх сигм аинтер в а лМх-2б<Х<Мх +2б и вероятность Р=0,95 попадания случайной величины вн е г о назовём "правилом двух сигма". Боле е 300 лет назад Якоб Бернулли предложил считать вероят н о ст ь невозможного событ и яз ан о л ь (Р(ЯС)=0), а вероятность досто в е р н о г о (неизбежного) с о бы т и яз а единицу (Р(ДС)=1), (см. стр. 47). О б с у ж д а я житейскую вероятность сопоставим э т о интервал ш ес т и стан дартамт.е. 0*1 соответствует 66. Естественно считать, ч т о вероят н о с т ь Р(СС)=0, 5 характеризует по л ную неопределенность ч еловека в о т н о ше н ии оцен к и вероятности случа йн о г о события. Примем ве р оятность Р(СС)=0, 5 з ацентр распределения понятий, характеризующих осущест в и м о с т ь событий, аинтервалу рискованных (неопределённых) с у жд е н ий сопост а ви м интервал вдва сигма (0,1585*0,8415 или 0,5±0,3415), с о о тв е т ствующий вероятности Р(СС)=0,683. Отметим также, ч т о кжитейс к о й вероятности имеют непосредственное отношение условия: "если то...", "если бы..." (например, "если бы, д а кабы, д ав о рт ур о с л и Грибы, ТО бЫЛ б ыН е рот, ацелый огород". Логично задаться вопросом - какую вероятность имел в виду произносящий (с вызовом?) зтот аргумент? Явно не невозможность!) . Правилу трёх сигма сопоставим вероятности случайного с о б ы т и я 0<Р(СС)<0,0015 и 0,9985<Р(СС)<1. Предположим, ч т оэ т им вероятностям - крайне малой вероятности (Р(СС)<0,0015) и крайне в ысокой (Р(СС)>0,9985) соответствуют "крайние случаи" вжизни человека и ситуации, п р о которые говорят, например, "земл я треснет, ачёрт выскочит", "когда рак н аг о р е (в поле) свистнет" или та к н о в е р о я т н о с т ь (всётаки) есть!". В случаях крайне высокой вероятности о существимости событий врусском язык е имеется о б илие си н он и м ов с п редлогом "не" выражающих о п а се н ие в благоприятном исходе: (вдруг) н е будет, н е выйдет, н е вырастет, н е доведётся, н е закончится, н е получится, н е придёт, н е прикончит, н е произойдёт, н е свершится, н е случится, н е совершится, н е удастся, н е явится..., впрош. вр. н е - 44 - сладилось, н е склеилось, н е сбылось..., промашка, ошибка, незадача, неувязка, осечка... Поскольку внашем с л у ч а ер е ч ьи д ё т опонятиях, характеризующих о существимость случайных событий, вероятности Р(СС)=0,954 сопоста в и м интервалы (0,023-0,1585) и (0,8415-0,977). Врезультате т а к о г о сопоста вл е ни я вероятности событ и й Р(СС)=0,023 и Р(СС)=0,977 оказы в а ю т с я между б о л е е обоснованными интервалами (0,0015-0,1585), со д н о й стороны, иинтервалами (0,8415-0,9985), сдругой. Н аэ т о м предполагаемые а налогии нормального распределения и распределения понятий, характеризующих случайные с о б ы т и я вж и з ни человека, заканчиваются, т а кк акмежду интервалами вероятностей, соответствующими шести с и г м а (Р(СС)>0,0015 и Р(СС)<0,9985), иин т е р ва л а ми вероятностей, соответствующими двум с и г м а (0,1585<Р(СС)<0,8415), появляются д в а интервала в облас т и маловеро я тн ых с о бы т и й (0,0015-0,023) и (0,023-0,1585) идва интервала в о б л а с т и реальных событий (0,8415-0,977) и (0,977-0,9985). Поскольку п од о б ра т ь понятия, соответствующие име нн о эт им интервалам, пробле матично, их луч ш е объединить. Н и ж е представлен о д и ни з возможных в а р и а н то вг радации понятий русс к ог о языка (и н е только), характери з у ю щ и х житейскую вероятность случайных событий. Р(СС)=0. Невозможно, исключено, невыполнимо, недоступно, недосягаемо. неосуществимо, недостижимо, 0<Р(СС)<0,0015. Поч т и невозможно, практически невозможно, не мыслимо, несбыточно, невероятно, невообразимо, недопустимо. О бэ т о м Не МОЖет б ы т ь речи; ЭТОТ номер н е пройдёт. (Иллюзорно, нереально, фантастично, утопично, химерично). "'З емля треснет, ачёрт выскочит", "когда ра кн а го р е свистнет", н о вероя т н ос т ь (всётаки) есть!", "в крайнем случае", "на всякий случай", "на худойконец". 0, 0015<Р(СС)<0, 023^ Быть н е может(!), н е может быть(!); (дос т ат о ч н о уверенное утверждение с у дарением н а "быть", причём разговаривающие различа ю т некоторую неравнозначность сочетаний: "быть н е может1' и "не может быть". (Но э л е ме н тс ом н е ни я всетаки есть!)). Н е исключено, что..., е с т ь шанс, что..., вряд ли, маловероятно, сомнительно, гада0, 023<Р (СС) <0, 1585. тельно. "Была н е была!", "Будь ч т о будет!" 0,1585<Р(СС)<0,8415. Вероятно, возможно, относительно возмож но, н е всегда возможно, видимо, по-видимому, очевидно, кажется, ка - 45 - жись, верно, наверно, наверное, (как) видно, может, пожалуй, похо же, к а кб у д т о (разг.); о т ча с т и возможно, некоторая возможность; ви дать, слыхать, знать, чай, поди, гляди, глядишь, почитай, никак (прост.); чаятельно (устно) сможет быть, может н е быть, м о же т статься, н а д о думать, н а до полагать, дол ж но быть, п ов с е й вероят ности, п о (всей) видимости, е с л и угодно, е с л и хотите, по х о ж е (на то) что..., ка к (я) погляжу; н а д об ы т ь (прост.); д ол жно статься, д о л ж н оп олагать (уст. и обл.). Случайно, п о случаю, п ов о л е случая, в о л е ю случая, нечаянно. Заблудящий (прост, и обл.), ш а л ьн о й (разг.). Бабушка надвое с казала (разг.). Середина на половину (разг.). Н и два н и полтора (разг.). Н и Богу свечка ни чёрту кочерга (разг.). НИ Пава НИ МЯСО (разг.). [70, 90, 94]. Потенциальный, эвентуальный, 0,8415<Р(СС)<0,977^ В п ол н е возможно, также возможно, ско р ее всего, вернее всего. Осуществимо, выполнимо, достижимо, испол0 , 9 7 7 < Р (С С )< 0 , 9985J н имо, совершимо, свершимо, реально. О,9985<Р(СС)<1,0. Наверняка, действительно, несомненно, точно, "в крайнем случае", "во всяком случае". В прош.вр. промашка, ошиб ка, незадача, неувязка, осечка, н е сладилось, н е склеилось. Р(СС)=1. Неизбежно, достоверно, неминуемо, неотвратимо, непре дотвратимо; ф а т а л ь н о (в знач. сказ, б ы т ь чему, н е миновать чего, н е у й т ио тчего, никуда н е деться о тче г о (В.И.Даль; 1801-1872)). Н а сам ом д е ле любое определённое с уждение может б ы т ь т о л ь к о истинным ил и ложным, с о бы т ие в большинстве случ а е в неизбежно и л и невозможно. Например: верность - измена, истина - ложь, спокой с т ви е - бешенство, постоянство - временность, естественность - искусс твенность, выигрыш - проигрыш, закон н ос т ь - анархия, с ч а ст ь е - нес частье, подлинность - фальшивость, победа - поражение, реальность вымысел, уп ал - устоял и т.д. Э т и диаметрально противоположные оп р е д е л е н и я первичны, г радации отношений возникали позже. Р а з в и в а я анал о г ии снормальным распределением мож но предположить, ч т о в рассматриваемом аспекте совершенствование языка ш л оп оп у т и запол н е н и яэ т и х противоположных определений промежуточными формами, от ражающими х а ос и динамичность жизненных перипетий человека. (См. т а к ж е примечание 16 на с.277). Вмалозначимых реалиях жизни градации (оттенки) н ет а ку жи существенны. Э т о подтверждает о б и л и е синонимов (48) т о л ьк ов с е м и синонимических рядах интервала вероятностей 0,1585<Р(СС)<0,8415 - 46 - (всего 57 с л о в и словосочетаний винтервале 0,5±6). Сдругой сторо ны, интервал вероятностей доста т оч н о велик, поскольку зафиксирован ст а нд а рт н ы ми отклонениями 6 нормального распределения, взятым з а к рит ер и й градации понятий. Таким образом, средняя область житейской вероятности характеризует с о б ыт и я случа й н ые п о существу с в о е г о про явления, н е обладающие постоянством частоты. Такие собы т ия н ем о г у т с л у ж и т ьо сновой прогнозов и каких б ыт он иб ы л о закономерностей. На о б л а с т ь 0,5±6 пришлась половина с л о в и словосочетаний (49,6%). Н ои п ок р а ямраспределения понятий случайных событий с л о в до ст а т оч н о много. На о бл а с ть 0,5±2б приходится 67%, ана область 0,5±3б 85,2% с л о ви словосочетаний. Очевидно, ч т о основная гипотезаможет б ы т ь отклонена, пропасть преодолеть н е удалось*. Также очевидно, ч т од л я русского человека града ц и и случайных, п о существу, с об ы т и й вреалияхжизни н е безразличны (иначе з а че м так много синонимов?!). Достаточно интересен т о т факт, ч т о понятия характеризующие о б л а с т ьрискованных суждений со ставляют 17,4% (10+10), понятия харак т е р и зу ю щи е "крайние случаи" в жизни человека составляют 18,3% (8+13), апоня т ия характеризующие невозможные инеизбежные с о б ы т и я - 14,8% (8+9) впринятой выборке. П о существу, внашей д а л е к он е п ол н о йв ы бо р к е распределение п онятий недалеко о травномерного. Подв о д ё митог. Разнообразие языковыхформ житейской вероятности с л у жи т приё м о м самовыражения и коммуникации люде йв с е м ье и обществе. См. также Абсолютный, Бесконечность, БЕЗКОНЕЧНЫЙ, Больших чисел закон, Веро ятность классическая (априорная), Вероятность статистическая (апостериорная), Возможность, Действительность, Достоверность, Независимость, Необходимость, Необходимость и случайность, Норма, Объективность, Объективный, Отношение, Причина, Причинность, Причинно-следственная связь, ПРИЧИНЯТЬ, Равновозможность, Связь, Следствие, СЛУЧАЙ, Статистика математическая и раздел 2.3 (Вероятности событий). "Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать выжнейшим объектом человеческого знания..." (П.Лаплас (Laplace Pierre Simon; 1749-1827)). Вероятность классическая (априорная) - отношение числа исхо дов, "благоприятствующих" некоторому событиюВ, к общ е му ч и сл у 'Примечание 10. Автор признаёт, что произведённая им попытка связать понятия жи тейской вероятности с нормальным распределением в значительной степени условна и субъективна. Кроме этого, автор сознательно не производил поиск в таком словаре, как "Толковый словарь живого великорусского языка" Владимира Даля, а также в "БОЛЬШОЙ ЭНЦИКЛОПЕДИИ’ 'С.Н. Южакова и в ЭНЦИКЛОПЕДИИБрокгауза Ф.А. и Ефрона И.А. - 47 - "равновозможных" исходов v*; Р(B)=Pi= V (1-33) г д е vx иv известны заранее, д о испытаний или наблюдений. Э т о определение вероятности, ст а в ш е е позж е классическим, прин адл еж и тЯкобуБернулли (Jacob Bernoulli; 1654-1705), х о тя с а мЯ к об Б ерн ул л и н е использовал е г оп р и доказательстве б о л ьш и х чисел зако на: "Вероятность ж ее с т ь ст е пе н ь достоверности и отличается о тн е ё к а к ч а с т ьо тцелого. Именно, е с л и полн а я и безусловная достовер ность, обозначаемая нами б у к в о йа и л и единицей 1, будет, д л я приме ра, предположена состоящей и зп яти вероятностей, ка кб ычастей, и з которых т р и благоприятствуют существованию или осуществлению како го-либо события, о с тальные ж ен е благоприятствуют, т об у д е т гово риться, ч т оэ т ос об ы ти е имеет 3/5а и ли 3/5 достоверности" [4, с.24]. Примерыисчисления вероятности классической. Результат броса н и я идеальнойигральной кости - чис л оо ч к о во то д ного д о шести, а поскольку к а ж да я грань может о тк р ыт ь с я с одинаковой вероятностью, т о ив е роятность л юб о го результатаравна 1/6. Результаты б р о с а н и я двухигральных костей отличнып о существу с во е г о проявления. Пос кольку к о с т и падают независимо д р уг о тдруга, ч и сл о очков, напри мер, 5, может выпасть врезультате четырёхравновозможных комбина ц и й - (1+4), (2+3), (3+2), (4+1), ав с ег о возможно 36 комбинаций. Таки м образом, вероятность выпаде н ия 5 о чк о в равна 4/36. Очевидно, ч т о вероятность классическую м о ж но назвать вероятностью a priori. Д е л о втом, ч т о вероятность классическую в большинстве с л у ч а е в мож н о вычис л ит ь (a priori), вчастности, д л я игр, азартныхин е очень. Изобретатели и г р продумали с од е рж а н ие и г р так, чтобы б ы л и т о ч н о "известны числа случаев, влекущихвыигрыш или проигрыш, а с а м ис л у ч а имогли б ывстретиться о д и н ак о во легко. В большинстве ж е других явлений, зависящихи л ио т действий с и л естественных, или о т свобод н о йв о л и людей, н е имеет местан и то, ни другое" [4, с.40]. Т о чн о е (значит - бесспорное) ч и с л ос л у ч а е в выигрыша и проигрыша в о з мо ж н о т о л ь к оп р ииспользовании целых чисел; отчасти п оэ т о й причте н е т ‘Примечание 11. Принцип равновозможности применялся в различных культурах с глу бокой древности как в философии, так и в практической деятельности людей, - распреде ление материальных и природных ресурсов, повинностей, должностей и т.п. по жребию. В настоящее время в различных численных процедурах используются генераторы случайных чисел, выдающие, как правило, нормированную равномерно распределённую случайную ве личину. - 48 - азартныхигр, результаты которых выражались б ы вещественными числа ми. ИногдаЯкоба Бернулли называют основателем с убъективного п редставления о вероятности, в гл.2 "Искусства предположений" о н п и ше т "Делать окакой-либо вещи* предположения - в с е равно, ч т о из м е р я т ье ё вероятность". Ав 1685 или 1686 г . в своём дневнике Я к об Б ер н у лл и упоминал овероятности ка к од о л е уверенности в к он т ек с т е з а д а ч и овероятности одному человекупережить другого [4, с.96]. Необходимо отметить то т факт, ч т од о 1713 г . (года и з да н ия ру к о п и с и Я.Бернулли "Искусство предположений") определённости ввы числ ен и и вероятности н е было. О б ы ч н о уч ё ные использовали н е формулу (1.33), а соотношение шансов "за" и "против", х о т я математическое о ж и д а н и е выигрыша, которое с л у ж и л о основным понятием у Б.Паскаля (Pascal Blaise; 1623-1662), П.Ферма (Fermat Pierre; 1601-1665) и X.Гюйгенса (Huygens Christian; 1629-1695) в простейшем с л у ч а е сво д ил о с ь квероятности (1.33). Б.В.Гнеденко (1912)-1995) и M.T. П е р е с п р и д а в ал иб ол ь ш о ез начение появлению классического и статистическо г о оп р еделений вероятностей уЯкоба Бернулли. Сэ то г о момента нача л а с ь теория вероятностей [4, с.96]. См. также Больших чисел закон, Вероятность математическая, Вероятность ста тистическая (апостериорная), Вероятный и разделы 2.3. и 2.4. "Вероятность - это придуманная нами ве личина, оценивающая возможность придуман ного нами события.” (Виктор Кротов; р.1946). Вероятность математическая - понятие, лежащее в о с н о в ео с о б о г о к ла с с а закономерностей - вероятностных или статистических - иявля ю щ е е с я выражением качественно своеобразной связи между случайным и необходимым. Плодотворность математической вероятности находит с в о ё о су щ ествление вв и де некоторого постоянства** частоты появления ка кого-либо результата п р и многократном повторении однородных усло вий. В научном познании поня ти е "вероятность" отражает о с о б ы йт и п "Примечание 12. В оригинале на латинском языке "res". Латинское слово "res" имеет много значений. Это не только "вещь" в переводе с латинского, сделанного в 1913 г. при ват-доцентом Санкт-Петербургского университета Я.В.Успенским (1883-1947), но и, сре ди прочего, случай, явление, событие, факт. ""Примечание 13. Частота события, по существу, случайная величина, и некоторое пос тоянство частоты не следует понимать буквально, т.к. частота 7г ± =пх /п -> Pi п р ип-*» - 49 - с в я з е й междуявлениями, характерными д л я массовых процессов. Д е л ов том, ч т о массовые случайные явления в сво ём совокупном проявлении с о з д а ю тматематически с трогие закономерности, выявив которые, м о ж н о д е л а т ьд ал е ко идущие выводы. В о многих сложных ситуациях определе ц ен к и н и е чи с ле н но г оз начения вероятности события или численной о надёжности суждения требует статистического подхода. В случаях симметричных распределений случайной величины веро я т н о с т ь ргсобы т ия В является пределом: P(B)=pi=lim — ГНсо , (1.34) П г д е пх- число исходов и благоприятствующих" появлению с об ы т и я В, п - о б щ е еч и с л о равновозможных исходов. С в я з ь вероятности pt счасто т ой события h ^ n t/n достаточно с ло жна и зависит о то б щ е г о чис л а ис п ы т ан и й п и закона распределения случайного со б ы т и я В. В с л у ч а е симметричных распределений, ч е мб о л ь ш еч и с ло п, тем р е же встречают с я сколько-либо значительные о тк л о не н ия частоты щ/п о т вероятности В соответствии с э т и м вероятность собы ти я В будет, п о определе нию, нормированной величиной: 0 < Р(В) < 1. (1.35) В современной теории вероятностей свойства вероятности форму л и р у ют с я вв и д е аксиом. О д н а к он иэ т и аксиомы, ни классический под х о д квероятности, н и статистический подход н е дают исчерпывающего о п и с а н и я реального содержания п о н я ти я "вероятность", а я в ля ю т ся л и ш ь приближениями к ов с ёб о л е е полному е г о раскрытию. Дал е к он е в с я ко е событие, наступление ко торого п р ид а н н ы х условиях н е являет с я о д н о з н ач н о определённым, имеет п р иэ т их условиях определённую вероятность. Предположение, ч т оп р и данных условиях д л яд а н но г ос о б ы т и я вероятность, как в по лне определённая нормальная д о л яч и с л а н аступления данного с обытия п р иб ол ь шо мч и с л е повторений данных ус ловий, существует, является гипотезой, которая вкаждом отдель н о м в о п ро с е требует специальной проверки или обоснования. Например, п р и ст р е л ь б е бессмысленно г оворить опопадании в цель вообще, е с л ио б у словиях стрельбы н и чего н е известно. Вжитейском сознании вероятности событий ч а с т о отождествляют с частотой. В отождествлении вероятности счастотой большой б е д ынет, необхо д им о т ол ь к о иметь ввиду, ч т о частота собы т и я во тл и чи ео т - 50 - вероятности является случайной величиной. "На жизненном п о п ри щ е з н а н и еб е з опыта - зр я чий нан е известной ем у дороге, о п ы тб е з зна н и я- с ле пец н ан е знакомой е м у стезе: вся ка я перемена н ан е й сби в а е те г о столку." (Ш.Пьермон). Е с л и п- ч и с л о повторных испытаний, осуществляющих заданные условия, ип1 - чис ло испытаний, в к оторых д ан н о ес о б ы т и е наступает, т о частота ка к правило, м а л оо т л ич а е тс яо т вероятности р*. Че мб о л ь ш еч и с л о п, те мр е же встречают с я сколько-нибудь значительные отклонения частоты пх /п о т вероят н о ст и рх. Наибольший интерес представляют с о б о й вероятности, б л и з к и ек1 и л и 0. Соответствующие со б ы т и я рассматриваются как "практически достоверные" и л и "практически невозможные". Эт о т интерес о бу с ло в л ен о т в ет о мна вопрос, какими вероятностями мож н о пренебрегать внауч ных исследованиях и технологии. П р и предварительныхисследованиях рекомендуют пренебрегать вероятностью порядка 0,05, в "обычной" п р а к т и ке экспериментальных исследований приняты величины о т 0,03 д о 0,01. В ответственных случаях, д о разработки нанотехнологий, "кри тическая'' вероятность составляла величину 0,0027 (т.н. Т р ё хс и г м а правило) и д а ж е менее. П одробно см. разделы 2.3. и 2.4. См. также Больших чисел закон, Вероятностей теория, Вероятность классическая, Вероятность статистическая. Вероятный, Доверительная вероятность, Математи ческая статистика, Совокупность, Частота случайного события. "Кто хочет знать, что случится, должен об ращать внимание на то, что уже случилось.” {Никколо Макиавелли ; 1 4 6 9 -1 5 2 7 ). Вероятность статистическая (апостериорная) - вероятность, рав н а я отношению числа пхпоявлений случайного события В п р и писпыта ниях кчислу осуществлённыхиспытаний п: Р(B)=pt= — П . (1.36) О т л и ч и е формулы (1.36) о т (1.33) заключается в том, ч т оn t о п р еделяются врезультате писпытаний, Р(В) зависит о т п, причём в б о л ьш и н с т в е случаев ип за р ан е ен е известны. С в я з ь вероятности Pi счастотой события h l=n1/n достаточно сложна и зави с ит о то б щ е г о ч и сл а испытаний п и закона распределения случайного с о б ы ти яВ . Проблема исчисления вероятностей заключается в том, ч т о в б о л ьш и н с т в е "явлений, зависящихили о т действий с и л естественных, - 51 - и л ио тс вободной воли людей", за р а н е ен е известны числа случаев, влекущих удачу ил и неудачу, б о л е е того, неизвестно, встретятся с а м и с л у ч а ии л и не т (Якоб Бернулли; 1654-1705) [4, с.40]. Е с т ь неко т ор а я о пр е д елённость в результатах б р о с а н и я о д но й идеальной игральной к о с т и - равновозможность о т к ры т ия любой и з шести граней. Н он ик а к ой предварительный расчёт невозможен, е с л и гра н и кости б у д у т различной ф ормыи л и ун е ё буде т сме щё н центр тяжести. В рукописи п е ри о да 1664-1666 г г . И.Ньютон (Newton Isaac; 1643-1727) заметил, ч т о "от носител ь н ая лёгкость" выпадения отдельных граней неправильной иг р аль но йк о с т и может б ы т ь определена и зо пы та [4, с.99]. Практическое определение статистической (апостериорной) веро ятно с т ип о формуле (1.36) со в ер ш е нн о естественно в озникло в статис т и к е народонаселения и в о з ни к ло значительно раньше 1686-1690 гг. Якобу Бернулли принадлежит зас л уг а вформализации понятий априорной иапостериорной вероятности. Непосредственный повод д л я формализа ц и и понят и я статистической вероятности предоставила Я.Бернулли за д а ч а отом, насколько вероятнее ю н о ш е 20 л е т пережить 60-летнего старика, ч е м старику п е режить юношу. П о этому поводу вп и с ь м е Г.В.Лейбницу (Leibniz Gottfried Wilhelm; 1646-1716) Я.Бернулли пи сал: "Исходя и зо п исанного примера, яначал спрашивать себя, нел ьз я л иб у д е ту з н ат ь то. ч т о на мн еи звестно априорно, хотя б ыапостериорно, п о исходу б о ль ш ог о числа сход ны х наблюдений...” [4, с.100]. Т а к ж е ес т ественно решается в о пр о со б опасности д л я человека различ н ых б о л е з н е й и причин сме р ти впользу статистической вероятности, а н е вероятности (1.33), и б от о л ь к он а основании апостериорной веро я тн о с т и м о ж но "составить предположение ожизни или с м е р т и в буду щем" [4, с.100]. Житейские прогнозы погоды в значительной с т еп е ни о сн о в ан ын а народных приметах, т. е. на наблюдениях и анализе про ц е с со в ватмосфере (причинно-следственных связей) поколений людей. Н ар о д ны е приметы подтверждают то, ч т о массовые случайные я вления в с в о ё м совокупном проявлении с оз д а ю т строгие закономерности. Напри мер, дым, выходящий и з трубы с в е ч о й вверх, указывает на п ре дстоящее р е з к о е похолодание, с т елющийся - н а потепление, длинные и т о н к и е с о с у л ь к и ранней весной указывают на то, ч т о весна б у д е т за т я ж н о йи х олодной и т.д. Собы ти я случа й н ые п о существу с во е го проявления, н е о бл а д а ю щ и е постоянством частоты (это ср е д н я я область житейской ве роятности) н е могут служ и т ьо с н о в о й прогнозов и каких б ыт он иб ы л о закономерностей. - 52 - Непосредственное отношение к апостериорной вероятности имеют всем известные гороскопы. Казалось бы, какая может быть связь между датой рождения человека и характерными признаками его личности? Но древние мудрецы нашли статистически значимые связи между положением Солн ца, Луны, множества других небесных тел в момент рождения и структурой личности человека, которые прошли проверку на протяжении не одного тысячелетия. Одна из главных проблем личных и социальных отношений людей - проблема несовместимости, особенно острая в замкнутых прост ранствах летательных, подводных и космических аппаратов [69]. Попробуем разобраться. В челове ке более трёхсот биоритмов, в их основе - структура центральной нервной системы [69]. Можно думать, что амплитуды, периоды и фазы биоритмов определяют разной природы совместимость и несовместимость людей. Известно, что идеальный партнёр по знаку противоположен, а несовмести мый - соседний, партнёры одного знака через некоторое время расстаются ("от любви до ненависти - один шаг" не про них ли? Возможно, что причиной разрыва является резонанс биоритмов...). Так вот, архитектоника головного и спинного мозга, структура центральной нервной системы закладываются в первые две-три недели развития плода человека. Можно предположить, что в этот чрезвычайно важный период фон космического излучения производит некоторые изменения в фор мирующейся нервной системе, изменения, нарушающие наследственно предрасположенное. Фон космического излучения изменяется достаточно циклично. Древние мудрецы отмечали циклы - су точные, месячные, сезонные, годичные, двенадцатилетние и шестидесятилетние. Первые четыре про являют себя в Солнечной системе, а два последних - в более крупных звёздных системах. В основе двух наиболее известных гороскопов - три последних цикла. Не следует думать, что невозможно проследить влияние на психотип человека циклов более высокого порядка, оно есть, но жизни од ного мудрого человека не достаточно для выявления причинно-следственных связей расположения звёзд в космическом пространстве и психотипа родившегося человека. В отношении последнего ав тор позволит внести небольшую коррекцию: для преждевременно родившихся необходимо вводить соответствующую поправку и тогда рекомендации гороскопов в отношении совместимости партнё ров будут более успешны. Каждому человекуясно, ч т од л я предположительного "рассуждения о каком-либо явлении н е доста т о чн ов з я т ьо д н о или другое наблюде ние, н о требуется б о ль ш о йз а п а с наблюдений. Потому-то даж е с а м ы й ог р ан и че н н ый человек п о какому-то природному инстинкту с а мс о б о йи б е зв с як о г о предварительного о б у ч е н ия (что о ч ен ь удивительно) зна ет, ч т о чем б о л ь ш еп ринято в ов нимание такихнаблюдений, те ммене е о п а с н о с т ьн е достичь цели" [4, с.42] . В с ёэ т о самым естественным о б р а з о мв семизвестно, н о впопытках подвести под з дравый с м ы слна у ч н о е обоснование, Я.Бернулли доказал, ч т о экспериментируя м о жн о с к о л ьу г о д н о т о ч н о определить неизвестную вероятность события. П о з дн е е е г о теорему идоказательство С.Д.Пуассон (Poisson Simeon Denis; 1781-1840) назвал законов б о л ь ш и хчисел. См. также Вероятный, Истина и раздел 2.3. и 2.4. Вероятный образовано о тдр.-русск., ст.-слав., букв, "принять веру", "уверовать" (М.Фасмер; 1886-1962. [100]). Достаточно очевид но, ч т о этимологически понятие вероятность включает в с е б я какна деж д уна успех, так и сомнение вдостижимости цели. М о ж н о предпола гать, ч т о "вероятное" с о бы т и е может осуществиться свероятностью 0,5 (см. Вероятность житейская). См. также Вероятностей теория, Вероятность, Вероятность классическая (априор ная), Вероятность математическая, Вероятность статистическая (апостериорная). - 53 - В е с арезультатов измерений (англ. weigh - вес, влияние, значе н и й [88]) - числа, выражающие относительную точность результатов измерений. Веса результатов измерений обратно пропорциональны д и с персиям соответствующих ошибок. Игнорировать э т и различия п р и ис пользовании результатов разноточных измерений нельзя, т.к. э т о о б е с ц е ни в а ло б ылучшие измерения, с т а в я их на о д и н уро ве н ь смало надёжными. Поэтому б о л е е точнымизмерениям присваивается б о л ь ш и й вес. В с л у ч а е нескольких независимых измерений хх, хг, ..., хп о д н о й ит о йж е величиныX, впредположении, ч т о измерения лишены система т ич е с ко йо ш и бк и и имеют с о от ветственно веса W2,..., Wn, наибо л е е надёжной линейной оценкой величиныМхявляется а рифметическое в з в еш е н но е среднее (1.213). С р е д ив с ех линейных оценок взвеше н но е с р е д н е е арифметическое о б л ад а ет минимальнойдисперсией. П р и определении дисперсии воспроизводимости п о текущим измере н иям вк ачестве весов б е р у т с яс тепеней свободычисла (1.242) соот ветствующих дисперсий. См. также Квадратичное отклонение, Мера, Пропорциональность, Среднее, среднее значение. Взвешенное квадратичное отклонение см. Квадратичное отклоне ние, (1.78). Взвешенное степенное сре д не е см. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. "Единственный способ определить границы возможного - выйти за эти границы." (Артур Кларк; р. 1917). Возможность - философская категория, проявляющаяся в объектив но й тенд ен ц ии развития процессов иреализации явлений и собы т и йв природе, технике, технологии имышлении. Возможность - то, ч т о мо ж е т произойти, мыслимое, осуществимое, допустимое. Возможность под р азумевает наличие условий д л я возникновения объекта; подразумева е т с я также, ч т о тенденция развития заложена в существующих процес сах, явленияхи событиях. Возможность потенциальна в о т л и ч и е о т действительности, т.е. у ж е существующего объекта ил и реализовавше г о с я явле н и яис обытия в р езультате некоторой возможности, В озможность пр и определённых условиях может перейти вдействи т е л ь н о ст ь с т о й или иной вероятностью, а действительность м о ж е т с т а т ь возможностью д л я возникновения новой действительности [86]. См. Причина, Причинность, Причинно-следственная связь, Связь, Следствие. См. так- - 54 - же раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ и статьи Бернулли испытания, Бино миальное распределение, Больших чисел закон, Вероятность классическая (априорная), Вероятность статистическая (апостериорная), Диалектика, Доверительная вероят ность, Доверительный интервал, Измерение, Категория, Количество, Конечное, Мера, Момент, Ошибок теория, Равновозможность, Распределение вероятностей случайной величины, Распределения закон, Совокупность, Стандартизация случайной величины, Статистика, Статистических гипотез проверка. Хи-квадрат распределение, Явление. "Эксперимент должен быть воспроизводи мым, то есть терпеть неудачу одним и тем же способом .” (Неизв.). ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ в теории и практике экспериментальных исследований - Харак т еристика точности лабораторного или промышленного эксперимента, а т а к ж е подтверждение результатов т е хили иных наблюдений в прир о д еи об щ е с т в е другими исследователями вдругое вре м я в тех и л и иных ус ловиях. Проблема воспроизводимости связана стем, ч т о абсолютное с о в п а де н и е результатов экспериментов проводимых в одинаковых усло ви я х невозможно. Рассеяние результатов эксперментов возникает п о д в ум причинам: неточное измерение физических характеристик (о ш и бк и измерений) инеизбежные изменения условий экспериментов п р и повто р е ни и опытов, да же е с ли опыты проводятся п р и усиленном контроле. О б ы ч н о воспроизводимость характеризуется количественно - коэф фициентом варийщи (т.е. числом, впроцентах и л и долях единицы, см. формулы (1.27) и (1.28)), н о может характеризовать явление и л и про ц е с с икачественно. Движения звёзд, планет, комет и т.д. воспроиз во д я т с я свысокой точностью. Воспроизводимость некоторых событий в п ри р о д е явилась причиной возникновения т а к называемых народных при мет. См. т а кж е Дисперсия воспроизводимости, Шум, ШУМЪ. "ВОСПРОИЗВОДИТЬ, воспроизвестичто, производить снова, обнов л я т ьи л и созидать былое, говор, особ, опредметах духовных и одействш воображен1я. -ся, б ы т ь сно в а производиму. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. т а к ж е Воспроизводимость, Шум, ШУМЪ. Второй закон Лапласа см. Нормальное распределение. "ВЫБИРАТЬ, выбрать что, избирать, б р а т ь любое изъ многаго; от б и р а т ьч т о особо; || опоражнивать; || вырубать, вытёсывать и л и вы далбли в ат ьв ъдлину, вдоль, ил и внутри; || собирать всё, д о последняго; || выкраивать, выгадывать из ъ чего; (...) Выборный, отборный, с а м ы й лучшш, выбранный; избранный, назначенный куда п о выбору о б щества; (...) Выборочный, о тн осящейся д о выбора, д о выборки вещей, - 55 - н е людей. Выборочная рубкалеса, н е сплошная и н е порядная, н е ле сосеками, а г д е рубятся деревья п о выбору, как!е нужны." (В.И.Даль; 1801- 1872 } [82 ]. См. также Выборка, Выборка представительная, Выборка случайная. Выборка - понятие математической статистики, объединяющее ре зультатыкаких-либо однородных наблюдений. Выборкой вшироком смыс л ес л о в аназывается массив результатов наблюдений Xj, Х2___ _ Хп, представляющих с о б ой независимые, один а ко в о распределённые случай н ы е величины. Определённая т а к и м образ о м выборка называется случай ной, а е ё конкретные значения вкаж до м отдельном с л учае x lf х2,..., хп- прос т ой выборкой. Вузком с м ы с л е понятие выборки с в я за н о сте о р ие й статистического выборочного методаи предполагает наличие не к о т ор о йконечной совокупности, и зк оторой э т а выборка извлекается (рассматриваются, например, повторные и бесповторные выборки). С т о ч к из р е н и я исследователя, осуществляющего экспериментальные исс л ед о в ан и я сцелью моделирования процесса, выборкой б у д е тн азываться конкре т но е количество анализов, опытов, измерений и т.п., ап о дс о вокупностью б у д е т подразумеваться абстрактная бесконечность возмож н ы ханализов, опытов, измерений и т.п. Д л я различения параметров совокупности и параметров выбо р ки по с ле д ни е принято обозначать латинскими буквами, например, выбороч н а я ди сперсия s2x, квадратичное (стандартное) отклонение sx, в от л и ч и ео т генеральной дисперсии 62х и генерального стандарта 6Х. Аналогично, математическое ожид а н иеМх, а е г о оценка тх. См. также ВЫБИРАТЬ, Выборка представительная, Выборка случайная, РАСПРЕДЕ ЛЯТЬ, Эмпирическое распределение. Выборка представительная (репрезентативная) - выборка, д а ю щ а я доста то ч н о полное представление о б особенностях совокупности. Вма тематической статистике (в частности, в статистике народонаселения, производства и потребления материальных благ) разработано достаточ н о методов, приёмов, программ д л я получения представительных выбо рок. См. также ВЫБИРАТЬ, Выборка случайная, Статистика, Статистика математичес кая, Статистическая оценка, Эмпирическое распределение. Выборка случайная - ч а с ть совокупности, результаты к о н к р е тн о реализованных экспериментов, измерений, наблюдений, фиксации собы тий. Случ ай н а я выборка дал е ко н е всегда является представительной (репрезентативной). Тем н е мен ее результаты экспериментов впромыш ленности, внаучных лабораториях и т.п. достаточно ч а с т ос л у ч а йн ы е - 56 - выборки. П о существу, химический, физический, физико-химический и т.д. а н а ли з любой пробы органического или минерального материала с л у ч а й н а я выборка. См. также ВЫБИРАТЬ, Выборка, Выборка представительная, СЛУЧАЙ, Случайность, Эмпирическое распределение. Выборочное распределение - см. Эмпирическое распределение. Гамма-распределение - непрерывное распределение вероятностей с лу ч а йн о й величиныX спараметрами (а, X) (а>0, Х>0), описыв а е мо е плотно с ть ю вероятностей: ( Ха ------ ха “1е"Хх, х>0, р{х)= Г(а) I 0, £<0, (1.37) (рис.1.4.). Частный случай Пирсона распределений, тип 3, (1.155). р(х) () х Р(Х) 1<а<2 /Тч п V Рис.1.4. Плотность гамма-распределения Гамма-распределению подчиняются мощности слоев осадочных по род, соотношение песчаников и сланцев, содержание некоторыхмалых ко м по н ен т о в в породах, показатели сферичности и окатанности облом к о вб о ль ш ихразмеров. Гамма-распределение имеет значительную р о л ьв приложениях; в статистике математической часто встречается благода- - 57 - р ят е с н о й связи снормальным распределением. Такие важные распреде ления, ка к Стьюдента распределение, Фишера распределение идр. тес н о связ а н ы с гамма-распределением. Гамма-функция, Г- функция, - трансцендентная функция Г(ж), распространяющая значения факториала на случай любого компле к с но г о х*0, -1, -2,... Г(ж)= l i m ------------------------ п**"1. П -*с о х(х+1) (х+2)... (х+п-1) (1.38) и зк о т о р о г о Л.Эйлер {Leonhard Euler: 1707-1783) получил интеграль н о е представление (Эйлеров интеграл второго рода): 00 Г(х)= fzx~1e~zdz) д л я х>0. О (1.39) График гамма-функции представлен н а рис.1.5. Рис. 1.5. Г рафик функции у-Г(Х) Гамма-функция нигде не о б ра щ а ет с я вноль. При нуле и п р иц е л ых отрицательных значенияхх - Г(х)=±п >. Для положительных х гам ма-функция имеет единственный минимум пр и х=1,4616321..., р а в н ы й 0.885603... Локальные минимумы функции |Г(а с ) | при ж-»-~ обра з ую т последовательность, стремящуюся кнулю. Гамма-функция б ы л ав ве д е на в 1729 г . Л. Эйлером (Leonhard Euler; 1707-1783), обозначение Г(а с )и - 58 - н аз в ание б ы л и предложены в 1814 г . А.М.Лежандром (Legendre Adrien Marie; 1752-1833). Гамма-функция применяется в статистике математи ческой ин е только. Например, гамма-функция описывает распределение некоторых химических соединений оксида углерода с мозговой жид к ос т ь ю мозжечка человека, подвергшегося отравлению угарным г а з о м (частное сообщение д.м.н. 0.Ю.Урюпова). См. также Гамма-распределение. Гармоническое среднее см. Концепция, Середа, Среднее, с ре д н ее значение. Гаусса зако н см. Нормальное распределение. Гаусса-Лапласа распределение см. Нормальное распределение. Генеральная дисперсия см . Дисперсия совокупности. Генеральный (возм. через польск. generalny < лат. generalis общий, всеобщий) - общий, в сеобщий (М.'Фасмер; (1886-1962), В.И.Даль; (1801-1872)). В с татистике математическойтермин "гене ральный" иногда используется д л я различения параметров, характери з у ющ и х совокупности, и статистик (параметров), характеризующих в ы б о р к ии з совокупностей. Например, генеральная дисперсия б2х (см. (1.58), (1.59)) используется в основном при теоретических построе ниях (см. (1.101), (1.102), (1.104), (1.105), (1.106), (1.240), (1.256), (1.267), (1.272), (1.273), (1.274)), а выборочная диспер с и я s2x является статистикой (конкретным параметром) и вычисл я ет с я п о формулам (1.54), (1.73), (1.77), (1.124), (1.137), (1.203), (1.268), (1.319), (3.11), (3.36). См. такж е Д исперсия совокупност и, Доверительная вероят ност ь, Оценка, Ст ат ис тическая оценка, Совокупность. Геометрическая прогрессия - последовательность чисел, к а ж д о е и з к оторых (начиная с о второго) р а в н о предыдущему, умноженному н а неко т о ро е постоянное д л яд а н но йпрогрессиичисло ц*0 (знаменатель г ео м е трической прогрессии). Взависимости о тз начения q различают г ео м е трические прогрессии возрастающие (q>l), убывающие (0<q<1) и знакочередующиеся (qKO). Формула д л я г-того члена геометрической п рогр е сс и и имеет вид: ak=atqk (1.40) г д е ах- пе р вый член геометрической прогрессии. Сумма п первых чле н о в геометрической прогрессии, знаменатель которой н е равен 1: - 59 - Т е р ма н "Геометрическая прогрессия" связан с тем, ч т од л я гео м етри ч ес к ой прогрессии сположительными членами любой член я в л я е т с я с р е д н и мгеометрическим между предыдущим и последующим членами: ах = / а1_1а1+ 1 . (1.42) См. также Среднее, среднее значение. Геометрическое распределение распределение вероятностей д ис к р е т н о й случайной величиныX с целочисленными неотрицательными з н а ч е н и я м и х1г хг.... хп, вкотором вероятности событий о б р а з у ю т геометрическую прогрессию (отсюда и название - "Геометрическое распределение"). Распределение вероятностей геометрического распре д е л е н и яз адается формулой: pk =Р (Х=?с) =р(1 -р)к , 0, 1, 2 .......... ( 1 . 43 ) г д ер- параметр распределения (рис.1.6.). Рис.1.6. Графики геометрического распределения (р=0,2): а - вероятности ; б - функция распределения F (к) Впростейшем случае геометрическое распределение оп и с ыв а ет ч и с л о испытаний в схеме Бернулли, необходимых д ля того, чтобы полу ч и т ьз н а ч ен и е 1 ровно о д и нр а з (см. Бернулли испытания). Геометрическое распределение появляется в последовательности п незави с им ы х Бернулли испытаний вте х случаях, когда исследователя ин т ересует н е общее количество успехов, а порядок и хп оявления и л и ч и с л о испытаний д о первого успеха (Х^к): pk = P ( X i = k ) = q kp, к=0. 1. 2 ___ ( 1. 44 ) - 60 - Е с л и пос ле первого успеха (Xj) испытания Бернулли продолжить д о появл ен и я втор ог о успеха (Х2), то: Р(Х!=Л, X2=k)=q3+kp2. j, к=0 , i, 2 ,... (1.45) г д еХ2 - чис л о неудач междупервыми двумя успехами. Моменты геометрического распределения: % = (1-р)/р, (1.46) р2 = (1-р)/рг, (1.47) (1-р)(2-р) /X з= ------------, (1.48) Р3 9 (1-р)2 М4 = — Р ----+ 1 (1-р) р • f1'49) Коэффициентасимметрии и эксцесс, соответственно: 2-р Лх= ------- , / 1-Р р2 £х= 6 + -----. 1-р (1.50) (1.51) Геометрическое распределение является единственным д и скретным распределением, обладающим свойством отсутствия последействия и в э т о мс м ы с л е аналогично показательному распределению. См. также Бернулли испытания, РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Геометрическое среднее см. Геометрическая прогрессия, Концеп ция, Середа, Среднее, сред н е е значение. "Вечная трагедия науки: уродливые факты убивают красивые гипотезы." ( Томас Гекели; 1825-1895). Гипотеза (<греч. u?code6tt, - основание, принцип, предположение, гипотеза; и я о т ь д т ц и - полагать в основание, принимать что-либо з а основание, предполагать) - н аучное предположение и л и допущение, ис т и н но с т ь которого неопределённа. Различают гипотезу к акметод науч н о г о познания, включающий вс е б я выдвижение и последующую экспери ментальную проверку предположений, и ка к структурный элементнауч н о йтеории. Кроме э т о г ом о жн ов ыд е л ит ье щ ё два з на ч е ни яэ т о г о тер - 61 - мина: гипотезу вшироком см ы с л ес л о ва - как догадка очё мб ыт он и б ы л о и гипотезу в узком см ы с л ес л о в а - как научная гипотеза, кото р а я всегда выходит з а пределыизученного круга фактов, объясняет и х ипредсказывает новые факты. Например, гипотеза Н.Коперника (Корегnik Mikolaj; Copernicus Nicolaus; 1473-1543) остроении С о л н е чн о й системы оставалась гипотезой вт ечение трёхсот лет, п ока ас троном У.Ж.Ж. Леверье (Le Verrier Urbain Jean Joseph; 1811-1877) н е рас с ч и т а ло р би т у неизвестной планеты, вносящей возмущения в орбиты не которыхпланет, а в 1846 году одновременно сДж.Адамсом Udams John Couch; 1819-1892) н е нашёл врассчитываемом месте Солнечной сист е м ы планету, названную позднее Нептуном. Научная гипотеза в ыд вигается д л я р е ше н ия какой-либо конкретной проблемы, д л я объяснения новых эмп и ри ч е ск и хд а нных или д л я устранения противоречия су щ е ствующей т ео р и и с новыми экспериментальными данными. Вкачестве научных предположений гипотеза должна удовлетворять условию принципиальной проверяемости, т.е. свойствамифальсифицируемости (опровержения) и верифицируемости (подтверждения). Кром еэ т и х необходимых условий, с ов р е ме н ны е гипотезы должны обладать: 1. Определённым уровнем общ ности, т.е. объяснять к ла с с явлений б о л е е широкий, ч е м явления, в ы з в а в ши ее ё возникновение. 2. Моделируемостью. 3. Прогностической мощью и л и предсказательной силой. 4. Логической простотой. 5. Пре емственностью, т.е. связью спредшествующим знанием. Исторически гипотеза какметод зародилась н а ранних эт а п а х разв ит и я античной математики. Древнегреческие математики ш и р о к о п ри м е ня л и в качестве метода математического доказательства дедук т и в н ы й мысленный эксперимент, включавший в с е б я выдвижение гипотезы и выво ди зн е ё спомощью аналитической дедукции следствий с ц е л ь ю п ро в е рк и правильности первоначальных предположений. Э тот метод б ы л пересмотрен Платоном (Г Ш х т о д о ; 428 и л и 427 д о Р.Х. - 348 ил и 347 д о P.X.) и окончательно отвергнут Аристотелем ('АрсбтотеХт^; 384-322 д о Р.Х.). Вантичной наук е и естествознании нового времени метод г и п о т е з применялся в основном л и шь внеявной, скрытой ф орме врам к а х других методов научного познания, например, вмысленном экспе рименте, виндуктивном методе идр. См. также Статистических гипотез проверка. Гипотезаосновная см. Основная гипотеза. Гистограмма - (< древнегреч. i6xot - мачта и крадда - буква, изображение, образ, рисунок, надпись), столбчатая диаграмма - о д н а - 62 - и зформ графического представления эмпирического распределения, п р и кот о ро м на о с и абсцисс откладывают значе н и я результатов наблюдений, разделённые на к (обычно) равных интервалов А, а над каждым интер в ал о мс тр о я тс я столбики, высота которыхHi пропорциональначастотам П^щ/п появления наблюдаемого признака, попавших винтервал х , x t}. Е с л и высота столбиков вычисляется п о формуле т о гис тограмма представляет с о б о й возможную форму плотности вероятности с лучайной величины. В с л у ч а е неравныхинтервалов высоты с т ол б и ко в вычис ля ю т ся п о формуле H 1=h1/(xi-x1_1), см. рис. 3.3. Гистограмма позволяет наглядно представить форму плотности вероятности наблюде ний. См. рис. 1.2, 1.14 - 1.17, 1.19, 1.27, 2.2,а, 2.7, 2.8, 2.9,6, 2.10,6, 2.11, 2.15 - 2.24, 2.30, 2.31. Ч и с л о интервалов к выбирается и з особенностей конкретного распределения. Внекоторых случаях ч и с л о интервалов, позволяющее о т р а з и т ь существенные особенности распределения, может б ы т ь вычисл е н оп оформуле: ?c=i+3,3321g(n), (1.52) г д еп - ч и с л о наблюдений в выборке. След у ет иметь в виду, ч т о ин тервалы б е з элементов недопустимы, с т р о г о говоря, п^>2 (желательно rij >5-s-10). Е с л и обнаруживаются интервалы сп3<2, т от а ки е интервалы объеди н яю т ся ссоседними; л у ч ше уменьшить к . Ес ли д л я гистограммы ч и с л о интервалов н ес т ол ь существенно, т о для расчётов моментов распределения следует с т ремиться кв о з можно большим з н ачениям к. В т е х случаях, когда эквидистантные интервалы н е дают требуемой точ ности, в о п р о с свеличиной интервалов решается исходя и зи з особен н о ст е й конкретного распределения. См. примеры расчётов. В за к лючение необходимо о т м е т и т ь факт некорректного представ л е н и я гистограмм на экранахмониторов и, соответственно, п р и печа ти. Гистограммы (на плоскости, в объёме) представляются в в и д е с то л б и к о в спромежутками междуними. Красиво, н о в случаях предс т а в л е н и я плотностей и функций распределения непрерывных с л учайных в ели чи н разрывов между столбиками н ед ол жно быть. См. например рис. 2.7, 2.15 -ь2.23. Пример правильного представления гистограммы д л я непрерывных случайных величин см. рис. 2.24, 2.30, 2.31, 3.3, ад л я д искретных случайных величин см. рис. 2.2,6, 2.9 и 2.11. Впрочем, у г истограмм распределения дискретных случайных величин разрывы т о ж е н ев се г да уместны (рис. 2.2,а, 2.8, 2.10). Влитературе встречаются п я т ь вариантов возможного графическо г о представления функции распределения дискретной случайной величи- - 63 - ны. Н и ж е приведены четыре рисунка функции распределения F(N) н а п р и м е р е игры содной игральной костью (пятый вариант - рис. 2.2,а). Рисунки возможных форм графического представления функции распределения дискретной случайной величины F ( N ) на примере игры с одной игральной костью Н ое щ ё хуже скомпьютерными представлениями функций распреде л е н и я непрерывных величин - с толбики зде с ь совершенно неуместны, о н иискажают суть. Д л я непрерывных случайных величин такой свободы нет, т о л ь к о ст у п е н ч а т а я функция распределения (рис. 3.4) ил и кривая ф у н к ц и и распределения. Для эмпирического распределения (выборки) рисунок ф у н к ц и и распределения непрерывной случайной величины можно п о л у ч и т ь з а д а в а яч и с л о интервалов К какм о ж н о больше. В пределе, н аэ к р а н е м он и т ор аи п ри печати можно п олучить достаточно гладкую к р и в у ю (близкую ккривым рис. 1.47, 2.3, 2.5). См. также Хи-квадрат критерий, Хи-квадрат распределение, Частота случайного события. График функции (< греч. 'Kpcopiaeot, - относящийся д о живописи, живописный; поза, письменный. А.Д.Вейсман; (1834-1913). [80]) м ноже с тв о точек плоскости спрямоугольными координатами (ж, у), г д е у=/(х), х£Е, Е - область определения данной функции. Зде с ь y=f(x) действительная функция о дн о го действительного переменного. Д л я - 64 - п ос т р ое н ия графика функции сле ду е т нарисовать "кривую" - с е м е й с т в о т оч е к плоскости в прямоугольных координатах (х, у) удовлетворяющих урав не н ию y=f{x), х^Е. См. также Корреляционная таблица, Корреляционное поле, Множество и раздел 4.1. д Данные - общепринятое название д л я информации, используемой д л я математической (или другой, п о существу, численной) обработки. Вп р ак т ик е научных исследований д анными являются условия и резуль таты экспериментов, результаты наблюдений в технике, втехнологи чес к их процессах и природе, ат а к же промежуточные результаты. См. также Данных обработка математическая, Середа, ФАКТОРЪ. Данных обработкаматематическая - общепринятое выражение д л я процедурыпреобразования информации, получаемой в результате наблю дений, научныхи промышленных экспериментов, а также путём ф иксации событий. Обработка данных производится, как правило, численными ме тодами, которым предшествует мысленный анализ имысленное моделиро вание. Ц е л ь математической об работки - получение параметров эмпири ч ес к и храспределений, констант, коэффициентов детерминистических ур а вн е ни й иматематических моделей, а т а к же построение эксперимен тально-статистических моделей и проверка статистических гипотез. Процедура обработки данныхначинается спредположения охарак т е р ес в я з и между величинами ванализируемой выборке и выбора метода обработки. Е с л и выборка представляет с о б о й группу независимых чис ел (фактов, событий, явлений), характеризующих о д и н признак совокуп ности, т о обработка данных включает в с е б я достаточно п р о ст ы е про ц ед у р ы сортировки случайных величин (получение вариационного ряда), вы ч ис л ен и я арифметического с ре д н ег о и дисперсии, стандартизации распределения, вычисления моментов распределения и б о л е е сложные, в интеллектуальном плане, процедуры проверки статистических ги п о т е зи установ л е ни я закона эмпирического распределения. Е с ли наблюдается расслоение признаков п о уровням, т о применя е т с я дисперсионный анализ, включающий, п о существу, т еж е прос т ые процедуры. В сл у ч а е наличия двух и б о л е е гру п п чисел, характеризующих д в а и б о л е е признака совокупности, может представлять и нтерес наличие связ имежду случайными величинами вида y^f(x) или y=f(xlf х2,..., - 65 - хк). В э т и х случаях с и л аи л и теснота с в я з и проверяется корреляцион н ы м анализом (1.81), (1.82), (1.83). Е с л иж е исследователя интере с у е тн е то л ь к о наличие, н о ихарактер с в я з и между г руппами случай н ы х величин, т о возникает з а да ч а восстановления неизвестной зависи м о с т и и л и вычисления неизвестных параметров подходящего у р а в не н ия (например, (1.112), (1.113) идругих). З а д а ч и восстановления неизвестной зависимости в б о л ьш и нс т в е с л у ч а е в решаются методом наименьших квадратов (МНК), который д а ёт состоятельные, несмещённые и э фф ективные оценки неизвестных пара метров. Поскольку задача МН К во б щ е мв и д е неразрешима, п р оцедура начина е тс я спредположения ов и д е уравнения, y=f(x). Предполагаемое у р а в н е ни е подставляется в выражение д л я принципа Лежандра Ф=1 (У1 ~У1>расч)2* г ДеУ р ас ч “принимаемое уравнение регрессии. Выра ж е ни ед л я Ф дифференцируется п о всем параметрам, кот ор ы е вэ т о м с л у ч а е рассматриваются к ак переменные величины, производные прирав н и в аю т с я кнулю, и получаемая сис т ем а нормальных уравнений р е ш а ет с я о т н о с и те л ь но параметров и скомого уравнения. Например, обработка т а бл и чн оз ад а н но й функции y=f{x) п о линей ному уравнению у=Ьх включает сл едующие процедуры: (1) вычис л ен и е с у мм1хх ухи 1хгх\ (2) в ычисление параметра b=Ix1y i/Zx21; (3) фор м а л из а ц ия уравнения ураСч=^х' (4) вычисление дисперсии адекватности з2ад=£(У1 “У1 ,расч)2/(п-1 )* (5) вычисление дисперсии коэффициента Ь: szb=szajl/Ixz1. Далее следует проверка параметра Ь н аз н ач и мо с т ь и у р а в не н ия н а адекватность. О бработка таблично з а д ан н ой функции y=f{x) п о линейному урав н ен ию j^bo+bjX включает следу ю щи е процедуры: (1) вычисление с у м м 2ух, Ixit Ix2it Ix1yi; (2) вычисление г лавного определителя с ис т е мы нормальных уравнений D=nlx21-{lxl)2; (3) вычисление параметров b0^(Iyilxz1-'Zxi2xiij1)/D и b1=(nlx1yi~lx1lyi)/D; (4) формализация у р а в н е ни я Урасч^о+^х; ^ вычисление дисперсии адекватности з2ад=^(У1 "У1 .расч)2/(п_2); (6) в ычисление дисперсий коэффициентов: ^ь.о ^а д^2!/^ и s2brl-s2a4n/D. Дале е следует проверка парам ет р ов Ь0 иbj н а значимость и уравнения на адекватность. Обработка таблично з ад а н но й функции нескольких переменных о уравнению y=b0+b1x1+b2x2+...+Ьк хквключает y=f(xt, хг___ _ хк) п п роцедуры с матрицами всоответствии свыражением В={ХТ Х)~1(ХТУ), проверку коэффициентов Ь0, Ъх , Ь2>--- bk на значимость, иуравне н и я уР асч=Ь0+Ь1х1+Ь2х2+...+bkxk на адекватность. - 66 - Очевидно, ч т о собственно обработка данных состоит и зп ростых арифметических процедур. На д о лю разума исследователя прихо д ит с я в аж н е йш и йи о ч е н ь да же непростой мысленный (иногда графоаналитичес кий) а н а л из зависимости, предположения офизической сущн ос т и явле н и я (процесса) и предположение ов и д е уравнения y=f(x). Пос л е вы п о л н е н ия процедур обработки данных (где роль разума минимальна) с л е д у е т проверка статистических ги п о т е з означимости полученных ко э ф ф и ц ие н т ов уравнения, а с а м о г оу р авнения - н а адекватность. Н а э т о й заключительной ста д ии з а д а ч и восстановления зависимости раз ум о п я т ь включается вработу, и б о выдвижение статистических г и по т е зи и хпроверка далеко н е та к просты как кажут с я вначале. Существенно б о л е ес л ож н ой за д а ч е й обработки нелинейных зависи м ос т е й является преобразование сист е мы координат спомощью процедур обращения, логарифмирования, в з я т и я экспоненты, возведения в сте п е н ь и т.д. Ц ель преобразования - спрямить исходную зависимость. Зависимость, приведённая клинейному виду, позволяет п р именить к н е й вышеупомянутые процедуры метода НК. В этих случаях р о л ь разума т р у д н о переоценить, и б о глав но е - понимание физической с у щ н о ст и процесса. А на л и з череды фактов, событий, чисел неочевиден, поскольку ис х о д н ы е выбор к и и соответствующие и м вариационные ряды рассматрива ю т с яв н е пространства и/или времени. Какие-либо умозаключения воз можны т о л ь ко после вычисления сред н их значений выборок, д и сперсий и/или построения гистограммы, в ы числения моментов распределения и с р а в н е н и я эмпирического распределения снормальным распределением, ап о т о ми сдругими. Другими словами, вариационные ряды н ес вя з а ны ссист е ма м и координат, привычных д л я разума человека. Ч т ок а с а ет с я с о б с тв е нн о обработки данных (вариационныхрядов), то, как и в слу ч а е вы числения параметров математическихмоделей, о н а с остоит и з прос т ы х арифметических процедур. См. т а к ж е Середа, ФАКТОРЪ. Двойное экспоненциальное распределение см. Лапласа распределе ние. Двустороннее показательное распределение см. Лапласа распреде ление. Действительность - 1. Философская категория, характеризующая объект, явление, событие, к о т ор ы е существуют врезультате реализа ц и ит о йи л и другой возможности. Действительностью являются материя, природа, сообщества - объективный мир, в о всём разнообразии е г о причинно-следственных связей, с т о р о н и отношений, в ов с ей е г о конк- - 67 - р ет н о ст и [86]. 2. (жат.) Понятие математики, предназначенное д л я различ е ни я и конкретизации характеристик пространства-времени, нап ример: действительная и мнимая о с и гиперболы; действительная проек т и в н а я плоскость, представляющая с о б о й евклидову плоскость, допол н е нн у ю несобственными элементами; действительная часть, х (ac=Re z), к о м плексного числа z^x+iy; ч и с л о действительное (вещественное), в ключ а ющ е е рациональные ииррациональные числа, д л яо тл и ч и яо т чи с е л простых инатуральных; действительная функция о дн о г ои л и нес коль к и хдействительных переменных. См. т а к ж е Объективность. "Детерминизм - идея, что сумма сил даёт лишь одну определённую равнодействующую." (Александр Круглов; р. 1954). Детерминизм «лат. determino - ограничивать, определять, уста навливать) - философское у ч ен и ео б объективной закономерной взаи м о св я зи и взаимозависимости явлений материального и духовного мира. Центральным ядром детерминизма является положение осуществовании причинности, т.е. так о йс вя зиявлений, вкоторой о д н о явление (при чина) п р и впо лн ео пределённых условиях снеобходимостью порождает, п роизводит другое явление (следствие). Современный детерминизм предполагает наличие разнообразных о б ъ е к т и в н о существующих форм взаимосвязи явлений, многие и з которых в ыр а ж аю т ся вв и де соотношений, н е имеющих непосредственно причинно г о характера, т.е. п р я мо н е содержащих в с е б е моментов порождения, производства о д н о г о другим. С ю д а входят пространственные ивремен н ы е корреляции, функциональные зависимости, отношения с имметрии и т о м уподобное. О со б е нн о важн ы ми в современной наук е оказываются в е роятностные соотношения, формулируемые на языке статистических распределений и статистических законов. О д на к ов с е формы реальных в з а имосвязей явлений в конечном ито ге складываются на о с н о в е всеоб щ е действующей причинности, в н е кото р ой н е существует н ио д н о явле н и е действительности, в т.ч. ит а к и е события (называемые случайны ми), в совокупности которых выявляются статистические законы. См. также раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ и статьи Детерминисти ческая модель, Модель, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь, СЛЕДИТЬ, Следствие, Статистическая модель, Стохастическая модель, Сущность, Яв ление. Детерминированно-стохастическая модель (<лат. determino - ог раничивать, определять, устанавливать [84]; < греч. бтоХабпаеп - 68 - te X vti - искусство предположений, искусство угадывания; 6xoXa6tt8eot, - у ме ю щ и й целить, попадать; умею щи йв е р н о отгадывать, с у д и т ь [4, 80] ифранц. modele, и франц. modele, итал. modello, <лат. modulus - мера, образец, норма [81, 84]) - математическое выражение, урав нение, формула, содержащее детерминистическуюмодель, переменные величины, параметры, константыи о д н у (или более) случайную компо ненту. Случайная компонента характеризует вариацию т е ч е ни я (разви тия) процесса, е г о разветвление. Детерминированно-стохастический п р о ц е с с- э т о процесс, течен и е ко т ор о г о обусловлено физическими причинно-следственными связями, с о д н о й стороны, имножеством слу чайных воздействий, сдругой стороны. Течение детерминированно-стохастического процесса может б ы т ь различным в зависимости о т случая, д л ян е г о существует ве р оятность т о г о ил и иного течения. Примером детерминированно-стохастического процесса може тб ы т ь проводка скважины, - с о д н о й стороны, п роцесс проводки скважины о п ре д еляется вполне объективными факторами: прочностью породы, харак т ер и с ти к ой долота, нагрузкой, скоростью вращения инструмента и т.д., ас другой стороны, осложняется множеством случайных факто ров: флуктуаций вращения инструмента инагрузки н а него, т в ё р д ы ми вк л ючениями в пласт иразличными углами встречи сними и т.д. При мер о м детерминированно-стохастического процесса так же мог ут б ы т ь г о н к ин а автомобилях, мотоциклах ит.д., - каждый участник к а ж д ы й к р у г проходит п о разным (случайным, п о существу) траекториям и с р азными скоростями. Жизнь человека (и н ет ол ько человека) - детерминированно-стохастический процесс. См. также Детерминизм, Детерминированно-стохастическая модель, Математичес кая модель, Модель, ПОНИМАТЬ, Понятие, Причина, Причинность, ПРМИНЯТЬ, Связь, Следствие, Случайный процесс, Статистическая модель, Стохастическая модель, Сущ ность, Явление. Детерминистическаямодель (<лат. determine - ограничивать, о п ределять, устанавливать [84] ифранц. modele, итал. modello, <лат. modulus - мера, образец, н о рм а [81, 84]) - математическое уравне ние, система уравнений, ад екватно описывающие процесс, вк отором с о с т о я ни е системы вмомент времени т0 однозначно определяет х о д п роцесса в будущем - т4, т2,..., х1. Детерминированная реа к ци я сис т ем ын ас о в окупность у словий S означает однозначную реакцию: п р и к аж д о м осуществлении условий S со б ы т и е В происходит и л ин е происхо дит. Например, в с е законы классической механики, физики т в ё рд о го тела, термодинамики, гидродинамики, теплопередачи, массопередачи, - 69 химии, химической кинетики и др. Изучение непрерывных детерминиро в а н н ы х процессов с водится квыводу (к построению) интегрально-дифференциальных уравнений, си с тем уравнений, описывающих исследуемую систему. См. также Детерминизм, Детерминированно-стохастическая модель, Математичес кая модель, Модель, ПОНИМАТЬ, Понятие, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Связь, Следствие, Статистическая модель, Стохастическая модель, Сущность, Явление. "Диалектика - это наука заблуждаться по правилам." (Адриан Декурсель; 1821-1892)). Диалектика (нем. Dialectic - диалектика < ст.-нем. Dialectica < лат. dialectica - искусство рассуждения < греч. бюйеатзеп - ис к у с с т в о вест и разговор и л и прение; диалектика, о т бюс - п осредством иХеКш - говорить, рассказывать, излагать) - учение о б общ и хд е те р м инированных связях и становлении, оразвитии б ы т и я и позн ан и я и основа н ны й на эт ом учении метод творческого мышления. С л о в о "диа лектика”впервые употребил Сокр а т (469-399 д о Р.Х.), обозначивший и мискусс т в о вести эффективный спор, диалог, направленный н а взаимозаинтересованное обсуждение проблемы с целью достижения истины п у тё м противоборства мнений. Всмысле, близком к современному, по н я ти е диалектики впервые употребляется Г . Гегелем, трактовавшим е ё к а к у м е н и е отыскивать противоположности в сам ой действительности. "Противоречие е с т ь критерий истины, отсутствие противоречия е с т ь к р и т е р и й заблуждения" Г . Г е ге л ь (Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831). Н а протяжении последних, п о край н е й мере, 26 веков п о д диалек т и к о й подразумевали: уче ни е овечном становлении и изменчивости б ы т и я (Гераклит Эфесский; 535-475 г . д о Р.Х.); искусство до стижения истинып утём противоборствамнений вдиалоге (Сократ; 469 и л и 470 399 д о P.X.); метод расчленения и с вязывания понятий сцелью пости ж е ни я сверхчувственной сущности в е щ ей (Платон (ПХахт); 428 и л и 427 д о Р.Х. - 348 или 347 д о Р.Х.); у че н ие осовпадении противополож ностей, олюбом влюбом, ос овпадении максимума иминимума (Николай Кузанский (Nicolaus Krebs Cusanus; 1401-1464)), оединстве противо положностей (Джордано Бруно; 1548 - 17.02.1600); с п о соб разрушения з а бл у жд е н ия человеческого разума, который стремясь кпознанию исти ны. н еминуемо запутывается в противоречиях (Иммануил Кант: - 70 1724-1804); всеобщий метод постижения противоречий (внутренних им пульсов) развития бытия, духаи истории (Г.Гегель; 1770-1831); уче н и е иметод, выдвигаемые вкачестве основы познания действительнос т иие ёреволюционного преобразования (К.Маркс (К.Marx; 1818-1883), Ф.Энгельс (F. Engels; 1820-1895), В.Ленин (1870-1924)). Глав н ы е философские категориии законыдиалектики: переход ко личественных изменений вкачественные; взаимное проникновение по лярн ы х противоположностей ипревращение и х друг вдруга, ког да о н и доведеныд о предела; развитие путём противоречия ил и отрица н и яо т рицания; спиральная формаразвития. ’ ’ В с ё действительное с о д е р ж ит в ну т р ис е б я противоположные определения, и следовательно познание, аточнее, определение предмета впонятиях означает познание е г ок а к конкре т но г о единства противоположных определений" (Г.Гегель (Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831)). Понимание и уместное применение диалектики помогает пользо в а т ь с я понятиями и суждениями, учитывать взаимосвязь явлений, и х противоречивость, изменчивость, возмож н ос т ь перехода противополож нос т ей д р у г вдруга. "Вообще впротивоположности различное имее тв к а ч е ст в е противостоящего с е б ен ет о л ь к о некое иное, н ос в о ё иное" (Г.В.Ф.Гегель; 1770-1831). См. т ак ж е Д1АЛЕКТИКА. "Д1АЛЕКТИКАж. греч. умослов1е, логика на деле, в ъ прен1и, наука правиль н а го разсужден!я; п о злоупотреблен1ю, искуство у бедительнаго пустослов1я, ловкаго спора, словопрен1я. Д1алектческЫ, к ъд!алект и к е относящ1йся. ДicuieicmKb, ловк1й, искусный спорщикъ, доводчикъ; иногда с офистъ. (...)" (В.М.ДОЛЬ; 1801-1872) [82]. “Память с возрастом становится всё более динамичной. Не успеешь что-то запомнить, как уже всё забыл.” (Болеслав Вольтер, р. 1929). Динамичность (франц. dynamikos - динамичный, нем. dynamisch тж. [103, 104] < греч. бмацьХоЪ, - могущий, имеющий с и лу (позд.) < бмараЪ - сила, способность, могущество < бишдси - мочь, б ы т ьв состоянии. А.Д.Вейсман; (1834-1913). [80]) - бо гатство движением, действием, внутренней силой; способность кразвитию, видоизменению [92, 93]. Дискретность (< лат. dlscretus - разделённый, прерывистый, discerno - отделять, разделять) - прерывистость; противопоставляет с я непрерывности. Например, дискретное изменение какой-либо величи - 71 ныв о време н и- э т о изменение, происходящее чер ез определённые про межу тк и времени (скачками); система целыхчисел (в противополож н о с т ьс ис т е ме действительных чисел) является дискретной. Дисперсия (< лат. disperse - рассеянно, разбросанно, т а м и сям; dispersio - рассеяние, разбросанность) вматематической ста т ист ик е итеории вероятностей - центральный момент второго порядка, параметр, характеризующий ра ссеяние (разброс) значений с л учайной в еличины относительно друг о го параметра, принимаемого з а центр: о 1П s = -----I(Xi-mx)2, mx п-1 г=1 (1.53) г д е mx - п араметр принимаемый з а ц е н т р распределения (например, о ц е н к а математического ожиданияМх). Выборочная дисперсия s2mx яв л я е т с я статистикой, т.е. параметром конкретной выборки и з совокуп ности. С ле д у е т различать дисперсию эмпирического распределения (дис п е р си ю выборочного распределения) и дисперсию воспроизводимости (опытную дисперсию, т о ж е выборочную). Д ля определения ди сперсии воспроизводимости осуществляют так называемые параллельные опы тыи о ц е н к уматематического о ж и д а ни як акправ и л о производят п о ф ор м ул е с р е д н е г о арифметического. П р и э т о м предполагают (или проверяют), ч т оо ш и б к и измерения физических величин подчиняются закону нормаль н о г о распределения. В о всяком случае, распределение результатов па раллельных о п ы т о в должно б ы т ь симметричным. Вс л у ч а е эмпирического распределения параллельные о п ы т ыимеют второстепенное з начение и производятся д л я отладки методики наблю дений, экспериментов. Г лавная задача исследования эмпири че с к ог о распределения - сдела т ь представительную выборку и з совокупности. Е с л и эмпирическое распределение асимметрично, т о возникает доста т о ч н о серь ёз н а я проблема выбора центра распределения. Центром расп ределения могут б ы т ь медиана, мода, начальныймомент п ервого поряд ка, арифметическое среднее, арифметическое взвешенное среднее, в з в е ш ен н о е степенное среднее, гармоническое среднее, геометрическое среднее, среднее квадратичное, с ре д н е е кубическое, арифметико-гео метрическое среднее и др. параметры. Другими словами, диспе р с ия вы б о р о ч н о г о распределения характеризует вариацию признака относитель н о с р е д н е г о значения выборки - параметра, определяемого с ущностью з а д а ч и иконцепцией исследователя. - 72 Д л я оц е нки результатов наблюдений о д н о й дисперсии недостаточ но. К ор ень квадратный и з выборочной дисперсии называется квадратич ны м отклонением или стандартом. Ст о ч к из ре ния ценности информации оповедении случайной вели чин ы то, ч е м бол ь ше дисперсия (т.е. б о л ь ш е разброс значений случай но й величины относительно центра распределения), т е м оце нк аМхху же, информация осущности явления, процесса разнесена на б ол ь ше м интервале. Подробно см. раздел 2.5. См. также Воспроизводимость, Генеральный, Дисперсия воспроизводимости, Несмещённая оценка, Стандарт, Стьюдента критерий. Дисперсия воспроизводимости (< лат. disperse - рассеянно, разбросанно, там и сям; dispersio - рассеяние, разбросанность) количественная характеристика точности эксперимента ил и воспроизво д и м о с т ирезультатов наблюдений вприроде, науке, технике и техноло гии; вычисляется п о формуле: 10П(а^-т*)2. ( 1. 54) П о п ” * i=1 г д е шх- оценкаматематического ожидания, п0П - число о п ы т о в н а воспроизводимость, von=non-l - степеней свободычисло д исперсии воспроизводимости. Другими словами, дисперсия воспроизводимости мера от к ло н ен и я (разброса, рассеяния) случайной величиныX о то це н киматематического ожиданияМхихарактеризует точность эксперимен т а (точность измерений физической величины). Е с ли ошибкиизмерений н о р м а л ьн о распределены, то, к а к правило, вкачестве о це н ки матема т ич е с к о г о ожидания используется арифметическое среднее: х ( 1. 55) В зависимости о тс ущности з а д а ч и иконцепции исследователя мо г у т б ы т ь использованы другие о ц е н к и математического о ж и д а н и я (см. Среднее, среднее значение). Д л я практического расчёта дисперсии воспроизводимости б о л е е у д об н а и точна формула: 1 on non (^оп 1) ( 1. 56) - 73 Ст о ч к из ре н и я метода моментов дисперсия воспроизводимости яв л я е т с я центральным моментом в то р о г о порядка и д л я непрерывной слу чайной величиныможет б ы т ь определена п о формуле: +00 д2= 2 p(x)dx. (1.57) г д етх- начальный момент перво г о порядка, оценка математического ожидания. Д л я оценки достоверности результатов наблюдений о д н о й диспер с и и воспроизводимости недостаточно. Корень квадратный и з ди сперсии воспроизводимости называется квадратичным отклонением, стандартным от к лонением и ли выборочным стандартом. При э т ом подразумевается, ч т оо ш и б к и измерений (да и с а м и результаты параллельных измерений, анализов) подчиняются законунормального распределения. Начинающие исследователи о б ы чн о струдом развивают интуитивное восприятие чис л е н н о г оз на ч ен и я дисперсии и л и стандартного отклонения. Является л и д и с п е рс и я воспроизводимости, равная, например, 77, б ол ь ш о йи л и ма лой? Ч т оз н а чи т квадратичное о тк л он е н ие 0,51-КГ4? Оказывается, д л я интерпретации к ак дисперсии воспроизводимости, та к и квадратичного о тк л о н е н и яг лавное н еп о лучить численные зн ачения последних, апра в и л ь н ос р а в н и т ь дисперсию воспроизводимости с какой-либо д р у г о й дисперсией, например, дисперсией адекватности ил и квадратичное отк л он е н ие ссоответствующим параметром, чтобы проверить нулевую гипо тезу (гипотезу о б отсутствии различия). Н а начальных э т ап а хиссле д ова ни й квадратичное отклонение ±sx сравнивают с о средним з н а че н ие м выборки, хср. Е сли Isx |<хс р т о говорят о значимом о тличии резуль т а т о в наблюдений о тн у ля и предварительную оценку точности экспери мен т а осуществляют п о отношению sx/xcp (см. Вариации коэффициент). Е с л иэ т о отношение н е превышает 3*4%, т о в первом приближении ре з у л ьт а т ы наблюдений счит аю т воспроизводимыми; в противном с л у ч а е необходимыдополнительные изыскания. След у е т различать дисперсию воспроизводимости (опытную диспер сию) и дисперсию эмпирического распределения (дисперсию выборо ч но г о распределения). Дл я определения дисперсии воспроизводимости осу щ ествляют та кназываемые параллельные опытыи оценку математическо г оо ж и д а н и як а к пра в и ло производят п о формуле с реднего арифметичес кого. П ри эт о м предполагают (или проверяют), ч т о ошиб к и из мерения физических величин подчиняются з ак о нунормального распределения. - 74 См. также Воспроизводимость, ВОСПРОИЗВОДИТЬ, Ошибок теория, Параллельные измерения, Параллельные опыты, Стьюдента критерий, Эмпирическое распределение, Шум, ШУМЬ. Дисперсия совокупности, генеральная дисперсия - мера отклоне н и я (разброса, рассеяния) случайной величиныX о те ё математическо г оо жи д ан и я Мх. Ка к и математическое ожидание, дисперсия совокуп н о с т и (генеральная дисперсия) - некоторая гипотетическая величина, кото р у ю м о ж но б ы л о б ы определить, осуществив бесконечно б о л ь ш о е ч и с л оо пы т о в (наблюдений): о 1 п-*» б = --- 2 (£i-Mx)2. х п 1=1 (1.58) Эквивалентом генеральной дисперсии является центральный момент в т о р о г о порядка (1.57), (1.118), (3.11): +00 М2 " f (х-т1)2р(х)йх. (1.59) -0 0 Оценкой генеральной дисперсии б у д е т выборочная дисперсия: s I n = ----- Ка^-т*)2, mx n-1 t=l о (1.60) г д е% - начальный момент перво г о порядка, тх - оценка математичес к о г оо жи д а ни я Мх и ли какой-либо параметр, принимаемый з а ц е н т р распределения (например, арифметическое среднее (1.212)). Дисперсия совокупности (генеральная дисперсия) используется в о с н о в н о мп р и теоретических построениях. См. например, (1.94); (1.99); (1.100); (1.103); (1.104); (1.106); (1.121); (1.125); (1.136); (1.139); (1.173); (1.193); (1.205); (1.225); (1.240); (1.256); (1.267); (1.272); (1.273); (1.274); (1.299); (1.304); (2.20). См. также Среднее, среднее значение. Генеральный (еозж. ч ерез польск. generalny < лат. generalIs общий, всеобщий) общий, всеобщий (М.Фасмер; (1886-1962), В.И.Маль; (1801-1872)). Встатистике математической термин "гене р альныйм используется д л я различения параметров, характеризующих совокупности, и статистик (параметров), характеризующих выборки и з совокупностей. Генеральные параметры обозначаются греческими буква ми, авыборочные параметры (оценки генеральных) - соответствующими латин ск и м и буквами. Например, б2х - генеральная дисперсия (диспер с и я совокупности, s2x - выборочная дисперсия; Мх- математическое - 75 о ж и д а н ие случайной величины (генеральный параметр совокупности), тх - о ц е н каматематического о ж ид а н ия (с реднее значение выборки). Дифференциал (< лат. differentia - разница, различие) ~ глав н а ял инейная час т ь приращения функции. Д л ят о г о чтобы удостоверить с я в этом, давайте выражение д л я производной: АУ lim ---- = у\ Дх-Ю А х (1.61) Ау ---- = у'+ е , А х (1.62) з а п и ш е м ввиде: г д еА х и ебесконечно малые величины, причём Дх-*0 и £-»0. П р и умно ж е н и иэ т о г о равенства н аА х получим линейное уравнение: Ау = у'-Ах + е*Дх. (1.63) И з последнего равенства очевидно, ч т о приращение Д у функ ци иу в ключает в с е б я два беско не ч но малых слагаемых: у'-А х и с-Ах. Пер в о ес ла г а ем о ее с т ь беско не ч н ом а ла я величина первого порядка п о от ноше н и ю кАх, и б о отношение е ё кА хе с т ь собственно производная у', постоя н но е число, отли чн о е о тн у л я (за исключением экстремумов). В т о р о ес л агаемое е с т ь беско н еч н ом а л ая величина б о л е е высо ко г о по ряд к ап о отношению кАх, поскольку отношение е ё кАх, равное, оче видно, е-Ах/Ах=е, стремится кнулю. Втакой ситуации Ау и у'-Ах ок а зы в аю т с я эквивалентными беско не ч но малыми величинами, причём у'-Д х является главной частью бесконечно малого приращения Д у (Г.М.Фихтенгольц; р.5.06.1888). Э т а главн а я часть называется диффе ренциалом функции и обозначается символом: dy=y'-Ax. (1.64) Таким образом, сточностью д о бесконечно малых высш ег о поряд ка, приращение функции можно з а м е ни т ье ё дифференциалом: Ау*йу. (1.65) Дифференциал - о д н ои з важнейших понятий математического ана лиза. Дифференциальное исчисление о с н о в а но н аметоде бескон е ч но ма л ы х величин или методе пределов. З адача дифференцирования функц и й я вл я ется предметом дифференциального исчисления, начала к о то р ог о б ы л иразработаны Г.В.Лейбницем (G. VI. Leibniz; 1646-1716) иИ .Ньюто н о м (I. Newton; 1643-1727) иприоритет в открытии которого б ы л при - 76 ч и н о й многолетних, достаточно жестких спо ро в между э т и м и вели к им и у чё н ы м и [49]. См. также БЕЗКОНЕЧНЫЙ, Бесконечность, Интеграл, Кривая, Переменная, Производ ная, Функция. Доверительная вероятность - в ер оятность достоверности принима е м о й гипотезы, характеристика надёжности, полученной п о в ыб о р к е о ц е нк ит о г ои л и иного параметра: Р=Р{1Р-Ъ|<ср>, (1.66) г д е р- генеральный параметр; Ь - е г о оценка; е р=/(р) - оши б ка о п р едел е ни я генерального параметра; Р - вероятность настолько боль шая, ч т о с обытие |р-Ь|<ерм о ж н ос ч и т ат ь практически достоверным. Очевидно, ч т о диапазон возможных свероятностью Р з н ачений о ш и б к и о тз а м ен ы Рна b равен ±ер. Вероятность появления ошибок, б о л ь ш и х п о абсолютной величине, чем е р, и л и вероятность с обытий |р-Ъ|>е$ н азывается уровнем значимости: а=1-Р=Р{|р-Ъ|>ер). (1.67) Инач е выражение (1.66) может б ы т ь интерпретировано к а к вероят н о ст ь того, ч т о неизвестное з н ач е н ие параметра рнаходится впределах: Ь-Ер<Р<Ь+Ер, (1 .6 8 ) г д е выборочный параметр Ъ, п о существу, случайная величина, а ошиб к ае г о определения (р-Ъ) ввыражениях (1.66) и (1.67) т а к же случай н а я величина. Интервал 1р=Ф±ерназывается доверительныминтервалом. Границы интервала Ьт1п=Ъ-ериЬтах=Ь+ерназываются доверительными границами. Доверительный интервал п р и принятой доверительной веро ятно с т и определяет точность оценки. Величина доверительного интер в а ла з а в и си то т принимаемой доверительной вероятности, т.е. о тт о й вероятности, скоторой гарантируется нахождение искомого параметра рв н у т р и доверительного интервала. Другими словами: ч е мв ы ш е гаран т и я надёжности оценки, те мб о л ь ш е величина интервала, вк отором мо ж е т на ходится генеральный параметр. Висследованиях прикладного ха рактера доверительная вероятность о б ы ч н о принимается Р=0,95. Соот ветственно, у ро в е нь значимостиа=1-Р=0,05. В слу ча е нормально расп р ед елённой случайной величины э т о соответствует вероятности попада н и яс л у ча й но й величины винтервалМх~2бШМх +26 или, п о аналогии с вероятностью 0,997, правилу двух с и г м а (вероятность попадания слу ч а й н о й величины винтервал Р(МХ-36ШМХ+36)=0,997 называется прави - 77 ломтр ёх сигма, (1.255)) . См. также Значимость параметра, Уровень значимости. Доверительное отклонение - функция о т результатов наблюдений и д овери т ел ь н ой вероятности, позволяющая о це н и т ь доверительный интер вал, кото р ый свероятностью Р=1-а "накрывает”неизвестное з н а ч е н ие параметра: г д е sx - квадратичное (стандартное) отклонение; п - количество наб л юд е н и й в выборке; t - критерий Стьюдента, случайная величина, ха рактеризующая соотношение неизвестной о ш и б ки определения Мхиквад ратичн о го отклонения sx: (х-Мх) / -----V п , Sx (1.70) г д е v=n-l - степеней свободычисло, а - значимости уровень, вероят н о с т ьо ш и б о ч но отвергнуть нулевую гипотезу, когда о н а верна. Крите р и й Стьюдента вычисляется независимым путем и табулируется д л яр я да з н а ч е н и й чисел степеней свободы v уровн е й значимости а. Центральный м о ме н тп р и вычислении доверительного отклонения заключается в том, у ров не м значимости исследователь з а д аё т ся д о начала исследований и с х о д яи з сущности задачи, природы процесса, явления и с т е п е н и рис ка. П р и выбо р е уровня з н ачимости сле д уе т учитывать ущерб, неизбеж н о возникающий п р и использовании л ю б о г о критерия значимости. Так, например, е с л и уровень з н ачимости чрезмерно велик, т о о с н о в н о й у щ е р бб у д е т происходить о т оши б о чн о го отклонения правильной гипоте зы; е с л иж е уров ен ь значимости мал, т оу щ е р б будет, ка к правило, в о з н ик а ть о т ошибочного принятия гипотезы, когда о н а ложна. Э т и о ш и б к и неравноценны. Исследователь (руководитель) должен решать, к а к о й ри ск п р и отклонении о сновной (нулевой) гипотезы я вляется до пустимым. Критерий Стьюдента зави си т о т степеней свободычисла v выбо р о чн о й дисперсии и уровня значимости а. (Сравните с (1.129), (1.130), (1.138), (1.235)). Необходимо отметить, ч т о доверительное о тк л о не н ие н е зависит н ио тматематического ожидания Мх, н ио тг е н е р ал ь н ог о параметра бх. Э т ос луч ай н а я величина, з а висящая т о л ь к о - 78 о тк вадратичного отклонения sx и принимаемого исследователем у р о в н я з на ч и м о с т иа. См. также Дисперсия воспроизводимости, Доверительная вероятность. Значимость параметра, Параллельные измерения: Доверительные границы см. Дисперсия воспроизводимости, Довери т ельная вероятность, Доверительное отклонение, Доверительный интер в ал , 'З н а ч и м о с т ь параметра. Доверительный интервал - статистическая оценкапараметра ис с л е д у е м о г о вероятностного распределения, имеющая в и д интервала, г р а н и ца м и ко торого с л уж а т функции о трезультатов наблюдений и д о в е рительной вероятности, котор ы й свероятностью Р "накрывает" неиз в е с т н о ез на ч е ни е параметра. Д е л о втом, ч т оз начение о ц е нк и вкаж д о м конкретном с л уч а е мож ет от л ич а т ьс яо тистинного з на ч е ни я пара м е т р а (математического ожидания, генеральной дисперсии идр.), и, следовательно, винтерпретациирезультатов эксперимента им е е т с я не ко т о р а яд о л я неопределенности. П р и грубых оцен к а х величина э т о й не о пр е д еленности выражается спомощью выборочной дисперсии и л и квад р ат и ч но г о отклонения, т.е. в по л не возможно, ч т о неизвестный гене р альныйпараметр Мхнаходится винтервале xcp±sx; т а к ж е возможно, ч т о о ннаходится винтервале xcp±2sx и т.д. Другими словами, д л я в е р н о й интерпретации результатов эксперимента в а жн оу с тановить д л я о ц е н к и генерального параметра Мхинтервал вместо отдел ьн о йт о ч к и хср, при ч ём х о тя б ыо д н а точк аэ т о г о интервала, аименно хср, и рассматривалась б ы ка к "наилучшая" о ц ен к ад л я Мх. Задача определе ния доверительного интервала решалась б ыдостаточно просто, е с л иб ы б ы лизвестен закон распределения о ц е н к и хс р (1.55): (1.71) р Т а к ж еп р о с т о решалась б ыэ т а задача пр и известной г ен еральной дисп ер с ии б2х (знание генеральной дисперсии б2хпозволяет о ц е н и в а т ь доверительный интервал д а ж еп оо дн о му наблюдению), но, к сожалению, генера л ьн у ю дисперсию б2хн евозможно получить и з наблюдений, е ё м о ж н от о л ь к о оце н ит ьп р и по м ощи выборочной дисперсии s2x. Так, д л я в ыб о р к ио бъ ё м ап о це н ки математического о жидания Мх и ге н еральной д и с п е р си и 62хсоответственно равны: х 1 п — 2! l ; п г=1 (1.72) - 79 - S2 1 n = ----- I (Xi-X)2, n-1 1=1 (1.73) С 1809 го д аб ы л о известно, ч т о распределение случайных ош и б о к наблюденийподчиняется закону нормального распределения, о т к р ы т о г о К.Гауссом (Gauss Carl Friedrich; 1777-1855). (Хронологически, нор м а л ьн о е распределение б ы л о впер вы е най д ен о в 1733 го д у А.Муавром (i4.de Moivre; 1667-1754). Позднее, в 1770-1771 гг. Д. Бернулли (Da niel Bernoulli; 1700-1782) независимо вывел локальную п ре дельную теоремуМуавра-Лапласа и составил первую небольшую таблицунормаль н о г о распределения). В 1894 г о д уК.Пирсон (Pearson Karl; 1857-1936) в в ё л в статистику математическую 12 т и п о в распределений (1.152) (1.173), познее названных е г о именем. О д н ои з них, вчастности т и п 7, (1.165), оказалось предшественником Стьюдента распределения, (1.252). В 1908 году У.Госсет (William Sealy Gosset; 1876-1937), из в ес т н ы й по д псевдонимом Student, решил проблему оценки доверитель н о г о интервала д л я математического ожидания нормально распределён н о й случайной величины: а _ Sx а X -------- 1 V< Мх < х + ------t , л _____ V — ]/~П (1.74) |/л7 г д е tv - Стьюдентакритерий, случай н ая величина, з ависящая т о л ь к о о тс тепеней свободычисла v выборочной дисперсии и уровня значимос т иа (сравните с (1.128)). То, ч т о доверительный интервал з а в и с и т о то б ъ ё м а выборки п, очевидно, н он адоверительный интервал влия е т т а к ж ет а к а я важн а я величина впроцедуре проверки статистических ги потез, к а ку р ов е нь значимостиа. Чем меньше уровень значимости, т е м б о л ь ш е критерий Стьюдента. Зн а че н и я критерия Стьюдента д л я ограни ч е н н о г о количества чисел степ е не й свободы v и уровней значи мо с т и a приведены вПриложении 6. См. также Доверительная вероятность, Доверительное отклонение, Доверительные границы, Значимость параметра. Достоверность - правильная, точная, н е вызывающая с о м не н ий м ысленная модель предметов иявлений окружающего мира. Достовер н о ст ь применяется вкачестве характеристики зна н ия как обоснованно го, доказательного, бе с спорного и ка к синонимистины. В естество з н а н и и достоверными нередко называют события, суждения о которых - 80 р ассматриваются как эмпирически (экспериментально) подтверждённые или, шире, общественной практикой. Достоверное событие - неизбежное событие, с обытие в е р о я тн о с ть к о т о р о г о равна единице. Например, п р и брос ан и ио д н ой игральной кос т и вероятность выпадения любого результата о т1 д о 6 равна 1, э т о д ос товерное событие. Вс л у ч а е непрерывных распределений вероятностей случайной ве личиныпопадание случайной величины в интервал (-со*+<х>) явля е т ся достоверным событием, н о в ер о я тн о ст ь каждо г о отдельного з н а ч е н и я мож е тб ы т ь равна нулю (1.191), (1.192). Б ольших чисел закон, п о существу, указывает на вероятности, с к о л ьу г о д н о близкие кдостоверности. И з закона больших чисе л выте к а е т удивительное "следствие, что, е с л иб ынаблюдения над в с е ми со б ы т и я м и продолжать всю вечность (причём вероятность наконец перешла б ы вп о лную достоверность), т об ы л об ы замечено, ч т ов с ё вм и ре уп р а в л яе т ся точными отношениями ипостоянным законом изменений, т а к ч т од а ж е ввещах, в высшей с т еп е ни случайных, мы вынуждены б ы л иб ы п р и зн а т ь как б ынекоторую необходимость" и д аже неизбежность. [4, с.59]. Вероятность достоверности принимаемой гипотезы, характеристика надёжности, полученной п ов ыборке оценки т о г о или иног о параметра, н аз ы в ае т ся доверительной вероятностью. Доверительная вероятность в се гд аменьше единицы. В большинстве случаев мерилом (мерилом оценки) д л я определения достоверности, соответствия человеческого зна ни я объективной реаль ности, ат ак ж е признаком, на о с новании которого производится оцен ка, о п р еделение ил и классификация чего-либо, является критерий. См. также Адекватность, Состоять. 3 Зависимость - "ЗАВИСЕТЬотъ чего, отъ кого, б ы т ь подъ властью, п о д ъ полн ы м ъ вл1яньемь, б ы т ьв ъч ь е й воле; || б ы т ь следств1емъ известной остоянье завися причины. (...) Зависимый, зависяицй. Зависимость, с щая. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. Необходимо добавить, ч т о статистическая зависимость, к а кб ын и б ы л ао н а сильна, никогда н е может установить причинной связи: н а ш и и д е и о причине и следствии должны приходить извне математической - 81 статистки, вконечном с ч ё т еи з некоторой другой теории. Предполо ж е н и я о причинах и следствиях след у ет искать в н е статистики, в частности, в с ф е р е физической сущностиявления. Зависимость п о су ществу предполагает наличие причины и следствия. Другими словами, г о в о р и т ь о "статистической зависимости" некорректно. Правильнее го во р и т ь остатистической связи. См. т а к ж е Независимость, Отношение. ’'Знание законов заключается не в том, что бы помнить их слова, а в том, чтобы постигать их смысл." (Марк Туллий Цицерон: 106-43 до Р.Х.). З а к о н - естественная, всеобщая, необходимая и существ е нн а я с в я з ь и взаимозависимость процессов иявлений вприроде, обществе, п опуляциях и вмышлении; перманентное, повторяющееся, доста т оч н о р е д к о меняющееся, идентичное вявлении. Вн а ук е прогресс неразрывно с в я з а н соткрытием за к о н о в приро ды. Фундаментальные законыприроды достаточно просты, о н им а л оч т о о б ъ я с н яю ти т о ль к о констатируют факты. Например, вявлениях перено с аимпульса, энергии имассы фундаментальные законы: основополагаю щ и йз а к о н равновесия (во множестве см ы с л о в э т о г о понятия), з а к о н Авогадро, з а к о н Архимеда, з а к о н гидростатики Паскаля, законы состо яний идеальных г а з о в (законы Амага, Авогадро, Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Дальтона, Шарля), з ак о ныНьютона (инерции, с о х р а не н ия к оличества движения, равнодействия сил, всемирного тяготения), за к о ны сохранения, зако н причинностиимногие другие. Недоказуемые фундаментальные законы называются т а к ж е постулатами. Б о льшинство з а к о н о в формализуют факт ил и явление в н е свя з и спространством и временем, причёмформализация до статочно краткая. См. т а к ж е Физика. З а к о н больших чисел см. Больших чисел закон. "Чем фундаментальнее закономерность, тем проще её можно сформулировать." (Пётр Капица; 1894-1984). З акономерность (доел. мера закона) - проявления з ако но в приро ды, социальных отношений, взаимоотношений впопуляциях, в ы являемые н аколичественном уро в н е врезультате экспериментов и наблюдений. В о т л и ч и е о т фундаментальных законов, т ол ь к о констатирующих факты и м а л оч т о объясняющих, закономерности формализуют математические, физические, химические, физиологические, (зоо)психологические и - 82 т.д. причинно-следственные связи вв и д е математических уравнений, си с темуравнений, графических зависимостейи различных теорий. Частным случаем закономерности является правило, которое от ра ж а ет действующие нормы, постоянное соотношение каких-либо явлений и л и событий, устоявшиеся причинно-следственные связи. В области физических, химических, физиологических и некоторых других наук иссле дования тех или иных закономерностей изучаемого явления или проверка правильности и границ применимости найденных теоретическим путём результатов осуществляются пу тём физического моделирования. Физическое моделирование - это метод изучения объек та, явления, процесса путём экспериментального исследования его модели, имеющей ту же физическую природу, но другие компоненты и масштабы. В тех случаях, когда объект, явление, процесс не могут быть воспроизведены частично или полностью на физической модели, применяются различные методы математического моделирования. При математическом моделировании исследование свойств объекта сво дится к задаче изучения свойств математической модели, представляющей собой систему уравнений математического описания, отражающую моделируемое поведение оригинала. Математическая модель с помощью определённого алгоритма позволяет прогнозировать это поведение при изменяющихся условиях функционирования объекта. В зависимости от целей математического моделирования и исходной информации об объекте моделирова ния и условиях его функционирования применяют различные по форме и структуре мате матического описания модели. К числу наиболее распространённых типов моделей отно сятся детерминистические, статистические и экспериментально-статистические. "Как показывает опыт, н и ч т о ст а к о й сил ой н е побуждает вы с о к и е у м ыкрабо т е над обогащением знания, ка к постановка т рудной и вмес т е ст е м полезной задачи.” (ИоганнБернулли; 1654-1705). (примечание, в книге Е.Вигнера [14] опечатка либо в годах, либо в имени. Справка: Бернулли Якоб (1654-1705), Бер нулли Иоганн (1667-1748), Бернулли Николай (1695-1726), Бернулли Даниил (1700-1782), Бернулли Иоганн (1744-1807; внук И.Бернулли), Бернулли Якоб (1759-1789; внук И.Бернулли) [48]. См. также Измерение, Мера. Значимости уровень статистического критерия - вероят н о ст ь оши б о ч н о отвер г н ут ь основную (нулевую) проверяемую гипотезу, ког д ао н а верна. Понятие "уровень значимости" возникло в связи с за д а ч е й про в е р к и согласованности теории сопытными данными. Если, например, в р е зультате наблюденийрегистрируются з начения п случайных в е ли ч ин оэ т и мданным проверить гипотезуН0, Xlt X2t ___ Хп и требуется п с о г л а с н о которой совместное распределение величин Х1§ XZ t Хп о б л а д а е т некоторым определённым свойством, т о соответствующий ста тистическийкритерий конструируется с помощью подходящим образ о м подоб ра н н ой функции 0=/(Xlf Х2#..., Хп). Эт афункция о б ы ч н о прини ма е тм а лы е значения, когда г ипотезаН0 верна, и б о л ь ш и е значения, к о г даН0 ложна; таку ю гипотезу е щ еназывают гипотезой о б отсутствии различия, и л и нулевой гипотезой. Соответствующий критерий значимос типредставляет собой правило, с о г л а сн о которому значимыми считают - 83 с яз н а ч е н и я 6, превосходящие некоторое критическое зн а че н и е 8а. В с в о юо ч е р е д ь выб о р величины0аопределяется заданным уровнем значи м о с т и а, который в с л уч а ео т к ло н ен и я гипотезыН 0 совпадает сверо ятностью с обытия {0>0а} . Центральный момент пр и проверке гипотезы Н0 з а к л юч а ет с я в том, ч т о уровнем значимости а зада ю т ся д о анализа в ы б о р к ин а основании физической сущности з а д а чи и последствий о т о ш и б о ч н о г о принятия решения. Диапазон значений уровней значимости, принимаемых внауке, техн ик е и технологии, достаточно широк: 0,001; 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,2 и т.д. Наиболее употребительно з н а ч е н и е а=0,05; о н о соответствует доверительной вероятностиР=0,95 или, п о ан а ло г ии с вероятностью 0,997 (см. Т р ё х сигма правило), правилу двух сигма, т.е. вероятности попадания нормально распределенной с л у ч а й н о й величины винтервал (Мх -2б<Х<Мх +2б). Соответствующая ве ро я тн о ст ь Р=0,954. При э т о мс л е д уе т иметь ввиду, ч т оо б щ а я вероят н о с т ь (общая площадь под кривой плотности вероятностей гипотетичес к о г ок р итерия р(0)) равна единице, ауров е нь значимости а соответс т в у е т площади по д крайней в е т в ью к р и в о йп р и 0>0а. Вт ео р и и статистической п роверки гипотез уровень з н а ч и м о с т и называ е тс я вероятностью ошибки первого рода. Вероятность т а к о й о ш и б к ин еб о л ь ш е принятого у р ов н я значимости. Например, п р и ос=0, 05 м о ж н о совер ш и ть ошибку перво г о рода вп я т и случаях и з ста. Пр и нятие о с н о в н о й проверяемой гипотезы, когда о н аневерна, называется ошиб кой в то р о г о рода. Фиксация у р ов н я значимости находится целиком в к о м петенции исследователя: о н должен решать, какой риск п р и откло н е н и и нулевой гипотезы является допустимым. Вг еологии о бы ч но имеют д е л о собстоятельствами б о ль ш о й неоп ределенности, например, о б ъ ё м образцов (кернов), извлекаемых и з с к в а ж и нп р и разведочном бурении, несоизмеримо меньше об ъ ёма иссле д у е м о й залежи. Нулевой гипотезой вданном случае б у д е т явля ть с я ги п о те з ао б отсутствии различия о бр а з цо в исследуемой з ал е ж ио т пу с т о й породы; подтверждение гипотезы б у д е т оз начать бесперспективность д альн е йш е го бурения, а опровержение - наличие т о й или ин ой нефтегазоносности. Ес ли позволить допустить ошибку в одном с л у ч а еи зс т а (а-0,01) и л ид а ж е в одн ом с л у ч а еи з двадцати (а=0,05), то, и м е яв распоряжении керны и з нескольких скважин, б у д е тт р уд н оо т в е р г ну т ь н уле ву ю гипотезу (т.е. д оказать перспективность залежи), ивозник н е т необходимость в ов с ёб о ль ш ем и боль ше мо б ъ ём е образцов, полу ч и т ь котор ы е непросто. Прин им а яб о л е е скромные уровни з н а ч и мо с ти (а>0,1), м о ж н о быс тр е е при й т и к заключению, хот я вероятность полу - 84 ч и т ьо шибочные выводы может о к а з а ть с яо ч ен ь высокой в сравн е н ии с о стандартами, принятыми вдругих областях. К ритерий значимости, спомощью которого гипотеза проверяется, конструируется таким образом, чтобы критическое значение к р и т е р ия м о г л об ы т ь вычислено независимымпутём впредположении, ч т о прове р я е м а я гипотеза верна. П р иэ т о м знач е ни я собственно критерия распо л а г а ю т с яв до л ь о с и абсцисс, функ ци я представляет с о б о й некоторую кривую, площадь под которой равна единице, а критерий значи м о ст иа т о ч н о раве н площади под кривой вкритической области, т.е. в облас т и от кл о н ен и я проверяемой гипотезы. Примерный характер кривых при в е д ё нн арис. 1.7, 1.8, 1.21, 1.22, 1.23, 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40, 1.41, 1.42, 1.44, 1.45, 1.48, н о в общем с л учае о н может б ы т ь и н ы м (полезно сопоставить с вероятностьюнаблюдения с л учайной вели ч и ны Z з а пределами интервала {-z+z) вразделе 2.9.). Представим себе, ч т о нефтяная комп ан и я сконструировала статис т ич е ский критерий прогноза нефтегазоносности 0, состоящий и з неко т о ры хколичественных переменных, позволяющих определять приоритеты п р и бурении. Це ль применения статистического критерия - с д е л а т ьб о л е еи л и мен е е верный прогноз продуктивности скважин. Н улевая гипо т е з аН0 сост о и т в том, ч т о керны отобраны и з совокупности бесперс пективных разрезов, альтернативная Н1 - ч т о керны отобраны и з неф т я н о г о ил и газового месторождения. Альтернативных г и п от е з м о же т б ы т ь несколько. Е с л и принять уровень значимости, например а=0, 05 (рис.1.7, а), т о о ч е н ь малая част ь обра зц о во ка ж е тс я отличающейся о т неперспек т и в н о й породы (нулевой совокупности). Е с ли ж е окажется, ч т о образ ц ы о т л и ч а ю т с яо тнеё, т оэ т о поч т и наверняка даст открытие месторожде н и яп р и бурении. Компания получит о ч е н ь высокое соотношение д л я числ а успе х о в пр и бурении, н оп р иэ т о м пропустит много залежей, ко т о р ы е могли б ы оказаться продуктивными. Другими словами, ко м п ан и я б у д е тр е д к о бурить, ред ко с овершать ошибки первого рода, но, соот ветственно, оставит мно г о месторождений неоткрытыми. Е с л и принять уровень з н ачимости побольше, например а=0,40 (рис.1.7, б), т о придётся осуществлять частую с е т ь бурения, соот вет с тв е н но частота неперспективных с кважин б у д ет значительно выше, н о ве р оя т н о с т ь пропуска з а л е ж иб у д е т меньше. Пр и так о й п ра к ти к е п р и н я т и я решений компания б у д е тч а с т о бурить, ч а ст о ошибаться, н ои з на ч и т е л ь н о меньше месторождений нефт и останется неоткрытыми. - 85 - 0 Рис.1 .7. Распределение статистики гипотетического критерия с критической областью СС отклонения гипотезы о бесперспективности бурения (гипотезы об отсутствии различия между сравниваемыми комплексами величин) (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Внефтяной промышленности с л у ч а и получения отрицательного ре з у л ь т а т ап р и бурении перспективных площадей встречаются з н а чи т е л ь н о чаще, ч е м последствия получения положительного результата п р и буре н и и пуст ы х скважин. Причина э т о г о сост ои т в том, ч т о финансовый ус п е хо д н о г о большого открытия може т покрыть стоимость нескольких де с я т к о в пустых скважин. Оценка вероятности успеха буре н ия м етодом "дикой кошки" внефтяной промышленности СШ А примерно равна 10%. Ес л иб ыэ т и скважины б ы л и пробурены на основе применения статистичес к и х критериев, т о эта оценка соответствовала б ы уровню з на чимости п р и м е р н о а=0,9. Рассмотренный выше пример иллюстрирует выбор уровня зн а ч и м о с т и т а кназываемого одностороннего критерия, поскольку нефть л и б ое с т ь в залежи, л и б о нет, т.е. соответствующий критерий располагается т о л ь к о вположительной области. Вте х случаях, когда физическая ве л ич и н а может принимать з н а ч ен и як а к положительные, т ак и отрица тельные, л и б о критерий, соответствующий нулевой гипотезе, м о ж е т располагаться в обеих областях декартовой системы координат, приме н я ютдвусторонний критерий значимости. Термин "нулевая гипотеза" в о з н и к оттого, ч т о математическое о жидание критерия, соответствую щ е е подтверждению основной проверяемой гипотезы, равно нулю (рис. 1.8, 1.21, 1.22, 1.36, 1.37, 1.40, 1.41, 1.42. а). - 86 - Рис. 1.8. Левая (-0 /2) и правая (0 /2) критические области гипотетического двустороннего критерия 0 (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Очевидно, ч то вероятность попад а ни я критерия ка к в леву ю об ласть, т а ки в правую одинакова, соответственно одинакова ивероят н о с т ь по падания критерия 0 ка к влевую, так и в правую критические обла с т и. Таким образом, уровень значимости а, т.е. вероятность отк л о н е н и я нулевой гипотезы, распадается на д в е равные площади, к а ж д а я и зк о т о р ы хравна а/2. Критическое з начение 0 пр и этом увеличивает ся. И зэ т о г о следует важный вывод - прин я в уровень значимости ад л я п р о в ер к и гипотезыН0, табличное значение критерия 0 следу е тб р а т ь д л яв д в о е меньшего значения, т.е. д л я а/2. Соответствующие з н а ч е н и я к р и т е р и е в иногда записывают, например, так: д ля левой критической о б л а с т и 01_а/2, дл я правой - 0а/2. П р и выборе уровня значимости следует учитывать ущерб, неизбеж н о возникающий при использовании л ю б ог о критерия значимости. Так, например, ес л и уровень значимости чрезмерно велик, т оо с н о в н о й у щ е р бб у д е т происходить о т ош и бо ч н ог о отклонения правильной гипоте зы; е с л иж е уровень значимости мал, т о ущерб будет, к а к правило, в о з н и к а т ьо т ошибочного п ринятия гипотезы, когда он а ложна. П р и м е р Дж.С.Дэвиса - крайний случай, н оо н показывает, ч т ои сследователь д о л ж е н принимать решения на границе области риска и выбирать уро в е н ьз н а чимости в соответствии сконкретными обстоятельствами. См. также Нормальное распределение, Нулевая гипотеза, Основная гипотеза, Правило определения критического значения статистического критерия, Статистических гипо тез проверка, Степеней свободы число, Стьюдента критерий, t-критерий, Стьюдента распределение, Фишера критерий, F-критерий, Фишера распределение, Хи-квадрат кри терий, Хи-квадрат распределение. Значимость параметра - ф а к то т ли ч и я выборочного параметра о т нуля. Некоторая неопределенность ответа на вопрос оравенстве пара м е т р анулю, свойственная начинающим исследователям, заключ а ет с яв том, ч т о при вычислении параметра п о данным выборки ноль п о л у ч и т ь - 87 практически невозможно. Параметр мож е тб ы т ьо ч е н ь малым числом, н о н е нулём, п р иэ т о ме г о величина б у д е т соответствовать е г о сущности ио нб у д е т значимым. Например, к=0, 00000789+0,000000789. Инаобо рот, вычисленный параметр может б ы т ь весьма значителен п о величине, н о п о физической с ущности з а д ач и должен б ы т ь равен нулю, н а пр и м ер к=15789±15987. Проблема решается путём с р а вн е ни я параметра се г о квадратичным отклонением, sk, которое т а к ж ен е может иметь нулевого значения. Квадратичное отклонение т а к ж е может б ы т ьи о ч е н ь малым числом, и о ч е н ь большим, вопрос в соизмеримости Ки sk. З д е с ь возможны вари анты: |7c|<|sk | и |fc|>|sk | (равенство k=sK возможно т о л ь к о теорети чески). Е с л и |fc|<|sk |, т оэ т о означает, ч т он о ль попадает ввыбо р о ч н ы е стандартные границы параметра ки нулевая гипотеза вп е р в о м приближении подтверждается. Сд р угой стороны, е с л и |fc|>|sk |, т о э т о т ф а к т е щ ё н е означает з н а ч и м о г о отл ич и я параметра к о тнуля, поскольку доверительный интервал з а в ис и те щ ёи о т соотношения Сть юдента критерия ичисла о п ы т о в п, см. (1.69) и (1.250). См. также Доверительное отклонение, Доверительный интервал, Квадратичное отклонение, Мера, Статистических гипотез проверка. И Идеальная монета, идеальная игральная кость - симметричная мо нета и л и игральная кость, кото ры ен е имеют флуктуаций плотности п о о б ъё м уиукоторых центр тяжес т и расположен вцентре. Предполагает с я, ч т о идеальная монета н е може т встать н а ребро, аи гральная к о с т ьн е может встать на угол и л и ребро. Идеальный г а з - газ, моле кулы котор о го н е взаимодействуют д р у г сдругом и п р и столкновениях в е д у тс е б як а к упругие шары. В действительности в с ё сло ж не е - "Нич т о т а кн е компрометирует идеалы, к а к реальность" (Аркадий Давидо вич; р. 12.06.1930). "Именно абсолютность, и, следовательно, недостижимость идеала и является лучшей га рантией бесконечности движения к нему." (С. Н. Булгаков: 1871-1944). Идеальное (идея < польск. Idea, нем. Idee, франц. idee < лат. idee, греч. i6ea : i6etv "видеть". Ш.Фасмер; 1886-1962. [100]) - 1. - 88 Воображаемое, реально н е существующее. 2. Совершенное, образцовое, безукоризненное, безупречное, соответствующее идеалу. 3. фил. Отно ся щ е е с я кидеям, кфункционированию мышления; духовное, п си хическое впротивоположность физическому. См. также Бернулли испытания, Вероятность классическая (априорная), Вероят ность статистическая (апостериорная), Закон, ИДЕЯ, Максвелла распределение, Нор мальное распределение, Понятие, Экспоненциальная функция. "ИДЕЯ ж. латин. понят!е овещи; умопонят1е, представленье, вооб р аж е н ь е предмета; умственное изображенье. || Мысль, выдумка, изоб ретенье, вымысель; || Намеренье, замыселъ. (...) Идеалъм .м ы сленный о бр а з ец ъ совершенства ч е г о либо, в ъ какомъ л и бо роде; первообразъ, прообразъ, началообразъ; представитель; образецъ-мечта. Идеаловыйя к ъидеалу относящхйся; идеальный, воображаемый, думный, мысленный; первообразный, прообразный и л и началообразный. Идеальность противо положна реальности, мыслимый первообразъ насущному. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872). [82]. См. т а к ж е Идеальное. Измерение - нахождение значе н и я физической величины опытным п у т ё м спомощью специальных приборов. Различают прямые и ко с в ен н ые измерения. П р и прямом измерении результат получают непосредственно и з измерения сам о й физической величины, например, измерение длины п редмета проградуированной линейкой и ли рулеткой, измерение массы т е лан аравноплечих весах спомощью г и р ь и т.п. О дн а ко п ря м ые изме р е н и ян е всегда возможны (например, измерение температуры в о з м о ж н о т о л ь к о косвенным путём) и л и недостаточно точны. Пр и косвенном изме р е н и и искомое з начение величинынаходят н а основании известной за в иси мо с т имежду э т о й величиной ивеличинами, доступными пря мы м из мерениям (например, плотность жидкостей можно о пр еделить взвешива н и ем пикнометра сизвестным объёмом; предварительно калибровка пик нометра производится п о дистиллированной во д е и т.п.). И з мерение является о сновным средством впрактике научных исс ледований, втехнике и технологии. Полностью измерение включает в с е б я следу ю щи е элементы: (1) объект (процесс или явление), т уи л и и н ую физическую характеристику к от о ро г о необходимо измерить; (2) конкретизированную единицу э т о й физической величины; (3) техничес к и ес редства измерения, проградуированные в выбранных единицах; (4) мет о д измерения; (5) приёмник результатаизмерения (наблюдателя и л и регистрирующее устройство); (6) з н а ч ен и е измеряемой величины; (7) статистическую оценку т очности результата (имеется ввиду ф а к т не в озможности абсолютно точн о го измерения). - 89 В с я к о е измерение неизбежно с вя з ан о спогрешностью измерения. П о источникам погрешностей измерений различают методические и инс трументальные погрешности. Методические погрешности яв л я ются ре з у л ь т ат о м несовершенства метода, инструментальные обусловлены несо в ер шенством технических с р ед с тв (приборов), используемых п р и изме рении. П о поведению погрешностей различают систематические погреш н о с ти и случайные. Характер повед е н ия систематических погрешностей д о с т у п ен обнаружению, фиксациииформализации, поскольку о н ив е д у т с е б я закономерно (в лучшем случае, постоянны) и могут б ы т ьу ч т е ны соответствующими поправками. Сл учайные ошибкиявляются результатом в л и я н и я множества факторов н ас а м проце с с (явление) ин аизмерение. Кн и мо тн о ся т с я случайные колебания параметров окружающей среды температуры, атмосферного давления, освещённости, уро вн яв и бр а ци ии др у г и е шумы, а также субъективные факторы. Влияние случайных по гр е шн о ст е й исключить невозможно, и хможно оценить методами матема тической статистики. Д л яэ т о г о измерения производят многократно. Единством измерений за нимается метрологическая служба, поддер жива ющ а ят а к ое состояние измерений, п р и котором их результаты выра женыв системных единицах ипределы погрешности измерений известны. См. также Количество, Мера. Интеграл (< лат. integer - нетронутый, незатронутый, невреди мый, целый; чистый, несмешанный; (rebus integris Cs, VP (re integra С) когда д е л о е щ ёб ы л о висходном положении или н еб ы л о решено); aliquem in integrum restituere юр. С, Cs восстановить кого-л. в п р е жн е м положении (правах); или < лат. integro - восстановление, возобновление.- И.X.Дворецкий, (1894-1979). [84]) - (1) первообраз н а я функция о т производной и (2) площадь, объём, длина дуги, работа с и лз ав р е м я Ат и т.п., о д н ои з важнейших понятийматематики. Впер в ы е с л о в о ’ ’ интеграл" употребил в 1690 годуЯкоб Бернулли (Jacob Bernoulli; 1654-1705). Интегральное исчисление осно в ан он аметоде б е с к о н е ч н о малых величин ил и методе пределов. Первым вистории ма т е м а т и ки примером интегрирования явля ет с я метод вычисления пл о ща д и круга, описанный Архимедом ГАрХь/щбт^; ок. 287-212 д о Р.Х.) [49]. Неопределённый интеграл представляет собой с е мейство первооб разных функций вида Jf(x)dx=F(x)+C, г д е Fix) - первообразная функ ция, fix) - е ё производная, а С- т а к называемая постоянная интег рирования. - 90 Определённый интеграл функции fix) снижним пределом аиверх ним пределом Ьможно определить выражением a/b/(x)dx=F(b)~F(a), г д е Fix) е с т ь первообразная функ ц ия fix). Подробнее см. [47, 48]. См. также БЕЗКОНЕЧНЫЙ, Бесконечность, Дифференциал, Кривая, Математическое ожидание, Переменная, Производная. Интервал (<лат. intervallum - промежуток, расстояние, промежу т о к времени, интервал) - (1) мат. совокупность всех действительных чисел (или точек), заключённыхмежду двум я данными числами аи Ь (или точками), н е содержащая их. Обозначается (а, Ъ); (2) перерыв, промежуток, расстояние впространстве и л ив о времени; (3) муз. Со о тн о ш ен и е двух зв у к о вп о их высоте. Интерпретация ( < лат. interpretatio - разъяснение, истолкова ние, перевод) - 1. Разъяснение, истолкование, объяснение смысла, з н а ч е н и я чего-либо. 2. В несение личных характеристик, определяемых индивидуальными особенностями исполнителя, вреализацию какого-либо (художественного) произведения. Интерпретация - процесс творческий. Информация (< лат. informatio - разъяснение, осведомление, ис толкование) ~ подмножество цепочек причинно-следственных с в яз е й (ПСС), выбранное и з множества б е сконечных цепочек ПСС. Подмножество цепо ч е кП С С мож но классифицировать следующим образом. 1. Сведения, с о о б щ е н и я очём-либо, передаваемые люд ь м и (первоначальное традици о н н о е понимание информации). 2. Уменьшаемая, снимаемая неопределен н о с ть врезультате получения св е де н и й опропущенных эл ементах цепо ч е кП С С (по вероятностно-статистической теории информации). 3. Пе редача, о тражение разнообразия ц епочек П С С (наиболее о б щ а я интер п ретация понятия информации). Информация представляется вв и д е чер тежей, рисунков, текста, зв уковых и световых сигналов, энергетичес к и хинервныхимпульсов и т.п. и передаётся сигналами какой-либо физической природы п о линиям с в я з и источника сполучателем. Инфор м а ц и я может носить непрерывный (аналоговый) или прерывный (дискрет ный) характер. Информация - о с но в но е понятие кибернетики. Киберне т и ка изучает машины иживые организмыисключительно ст о чк и з р е н и я их способности воспринимать определённую информацию, с о хранять её, пер е да в а ть п о каналам связи, перерабатывать п о соответствующему ал гори тм уииспользовать. Интуитивное представление о б информации от н о с и т ел ь н о каких-либо величин и л и явлений, содержащейся внекоторых данных, в кибернетике ограничивается и уточняется. - 91 “Истины бывают ясные и глубокие. Каждой истине противостоит ложь. Глубокой истине противостоит другая истина, не менее глубо кая..." {Нильс Бор; 1885-1962). Истина - адекватное о т ражение объекта познающим субъектом, воспроизведение е г о таким, каким о н существует с а мп о себе, в н еи н ез а в и с и м оо т человека и е г о сознания; объективное содержание чувс твенного, эмпирического опыта, понятий, идей, суждений, теорий, у ч е н и й ицелостной картинымира в диалек т ик ее ёразвития. Категория "истина" характеризует ка к результаты процесса познания с т о ч к и з р е н и я их объективного содержания, т а к иметоды, спомощью ко т о р ы х о существляется познавательная деятельность. Истина - внутренне про тиворечивый процесс, связанный спостоянным преодолением заблужде ний, бесконечный процесс д вижения о тз н а н и я ограниченного, прибли з и т е л ь н о г ок ов с ёб о л е е всеобщему, глубокому, точному. В с о з н а н и и к а ж д о г о человека истина интерпретируется по-своему, индивидуализи руется. Истинная вера, п о существу, представляет соб о й знание. См. также Абсолютный. ’'Полагаю, что истину знает один только Бог и, может быть, узнает душа человека, ког да оставит это тело, то есть эту мрачную тем ницу.1' {Аврелий Августин: 354-430 г.). Истинное значение - абстрактный объект ("истина" и л и "ложь"), с опоставляемый высказыванию в зависимости о т того, я в ляется э т о в ысказывание истинным и л и ложным. "Истина" - э т от о общее, ч т о при с у щ ев с е м истинным высказываниям. П р и статистической о бработке э к с периментальных д а нн ы х (в зада ча х восстановления зависимости) и в моделировании под истинным значе ни е мо б ы ч н о подразумевается т о не и з в ес т н ое зн ачение параметра, оценка которого получается врезуль т ате обработки данных. Как э т он и прискорбно, н о истинное з на ч ен и е параметра, определяемого п о результатам наблюдений и экспериментов, п о л у чи т ь невозможно. См. т а к ж е Абсолютный. к Категория (< нем. Kategorie, франц. categorie <греч. а е а т т ^о р а - о б в ин е ни е < греч. жщуореху - порицать, упрекать, обвинять. - 92 М.Фасмер; (1886-1962). [100]) - {фил.) совокупность предметов, яв лений, субъектов, имеющая какие-либо о б щи е и существенные свойства, признаки, связи и отношения (материя, время, пространство, движе ние, причинность, качество, количество, противоречие и т.д.). Категории образовались врезультате попыток философов в ыя в ит ь о с н о вн ы е принципы бытия. Аристотель ('АрьбтотеЩ,; 384-322 д о Р.Х.) п е р в ы й о бобщил попытки предшествующей философской мысли выде ли т ь н а и бо л е ео б щ и е понятия ом и ре и с пособах е г о познания. Составленный и м с в о д категорий включал т а к и е категории, как с ущ н ость (субстан ция), количество, качество, отношение, место, время, положение, состояние, действие и страдание. Аристотель утверждал, ч т о катего р и и- н аиболее высшие, логические понятия, под которые п о дводятся в с е остал ьн ы е понятия, ч т о они, п о существу, "высказывания осу щем". Аристотель отрицал изменчивость категорий, о н полагал, ч т о к ат е г ор и и н е то л ько вечны инеизменны, н о ин е переходят д руг в друга, н е превращаются в о что-нибудь б о л е е общее. Кро м е этого, к лассификация Аристотеля б ы л а неполная, например, отсутствовали ка т е г ор и и содержание и форма, в оз м ож н о ст ь и действительность и др. Классификация Аристотеля оказала определяющее влияние н а ра звитие у ч е н и я окатегориях вплоть д о Иммануила Канта. И.Кант (1724-1804) рассматривал категории как априорные формы м ы ш ле н и я человека, характеризующие н ем и р "вещей в себе", а с а м о г о ч еловекаи структуру е г о мышления. Классификация категорий И.Канта вклю ча е т в себя: качество (реальность, отрицание, ограничение), ко л и ч е ст в о (единство, множество, цельность), отношение (субстанция и свойство, причина идействие, взаимодействие), модальность (возмож н о с т ь и невозможность, действительность инедействительность, необ х од и м ос т ь и случайность). Нов ы й подход к диалектике категорий выдвинул Г.Гегель {Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831). В основе е г о классификации и д е я овзаимосвязях и взаимопереходах категорий: б ы т и е (качество, количество, мера), с ущность (основание, явление, действительность. Действительность включает субстанцию, причину и взаимодействие), п он я т ие (субъект, абсолютная идея, объект). Диалектический материа л и з м рассматривает категории к а к результат обобщения опытаистори ч е с к о г о развития познания и общественной практики. Разв ит и е науки и техники сопровождается трансформацией катего рий, п онятий итерминов (например, информация, симметрия и з терми - 93 н о в превратились в категории). На осно в е результатов р азвития о т дельныхнаук система категорий о бобщает историю развития наук и способствует прогрессу п ознания мира. Современный э т а пр аз в ития на у к и характеризуется как появлением новых категорий в конкретных на уках, т а к и превращением некоторых понятий вкатегории. Последнее наблюдается сте м и понятиями, которые приобретают общенаучный ха р а к те р (например, информация, саморегуляция, симметрия). Вэ т о м издании предельно к р а т ко описаны только некоторые кате гории, имеющие прямое и л и косвенное отношение к статистическимме тодам анализа. П р и желании, вфилософской литературе м о ж н о н а й ти б о л е е подробные описания категорий времен античности, средних ве ков, XIX и XX в. См. статьи Бесконечность, Возможность, Действительность, Истина, Качество, Количество, Конечное, Мера, Необходимость и случайность, Отношение, Причинность, Симметрия, Сущность, Явление. См. также БЕЗКОНЕЧНЫЙ, Величина, Выборка, Константа, Математическое ожида ние, Множество, ОБОЗНАЧАТЬ, Определение, ОПРЕДЕЛЯТЬ, Оценка, Переменная, Сово купность, Состояние, Состоять, Среднее, среднее значение, Суждение, Функция. "Качество ср. с вой ст в о ил и принадлежность, все, ч т о составляетъ с у щ н о с ть лица и л и вещи. Количество означает счот, весь имеру, на вопрос С К О Л Ь К О ; к ачество, на вопрос какой, поясняетъ доброту, цвет ъ идруrie с во й ства предмета. || Народъ понимаетъ качество человека в ъ дурномъ знач. 'З анимъ, кажись, никакихъ качествъ нетъ. Качествен ный, ккачествуотнсщ. [См. какъ]. и {В.И.Даль; 1801-1872) [83]. "Не забывайте о качестве. Гроб, например, должен быть сделан так, чтобы его хватило на всю жизнь." (Курт Тухольский; 1890-1935). Качество (лат. quailtas - качество, свойство, характер, приро да) - философская категория, выражающая совокупность свойств, ука зыва ю щ ихна то, ч т ос о б о й представляет данный объект. О тс о с то я н ия к а ч е с т во отличается тем, ч т оп о следнее обозначает прочное, ап е р в ое изменчивое определение сущности; с остояние может изменяться (напри мер, агрегатные состояния вещества), причём содержание о с т а ё т с ят е м же, с о с т о ян и еб о л е е или мен ее случай н ое свойс т во объекта, между т е м к а кк а ч е с тв о - существенное е г о определение. Впе р вы е категория "качество" б ы л а проанализирована Аристотелем ('АрсбтотеХт^; 384-322 д о Р.Х.), определявшим е ёк а кв идовое отли - 94 ч и е сущности. Аристотель о тмечал текучесть качеств как с о с т о ян и й вещей, и х способность превращаться в противоположное. Р.Декарт (Descartes Rene; 1596-1650) иД.Локк (J.Locke; 1632-1704) "ввели р а зличение качества н ап е рвичные и вторичные: первичные принадлежат с а м и м вещам, каковы величина, форма, движение, а вторичные - цвета, тоны, з ап а х и и т.п. - субъективныи обусловливаются с в о йс т в ам и воспринимающего впечатления о т вещ ей лица, е г о телесной идухо в но й организации...”. Г.Гегель {Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831) определил качество к а к логическую категорию, составляю щ у юн а чальную ступень познания веще й и становления мира, к а к непос р едственную характеристику б ы т и я объекта. Позже, в XIX веке, наука (в частности, физиология ор г ан о в чув с тв ифилософия признали субъ е к т и в н ым и качествами многое такое, ч т о прежде приписывалось с а м и м о бъектам: качественные р азличия б ы л и возведены кколичественным, например, различение цве то в и звуков. Ч и с то ж е качественные разли ч и ян е мог ут б ы т ь сведены к чему-либо третьему. К ачество выражает неотделимую о тб ы т и я объекта е г о существен н у ю определённость, ограничивающую данный объект о тв с ех друг и х о б ъ е к т о в и сисчезновением кот ор о й о б ъ е кт перестаёт сущест в ов а ть к а к д ан н ый объект. Исчезновение качества влечёт з ас о б о йк о р е нн о е и змен е ни е данного объекта. И м е нн о бл а го д а ря качеству каждый о б ъ е к т с ущ е с тв у ет имыслится ка кн е ч т о ограниченное о т других объектов. С д ру го й стороны, качество характеризует и т о общее, ч т о свойс т в ен н о к л а сс у однородных объектов. К ачество объекта обнаруживается в совокупности е г о свойств. П р и э т о мо бъ ект н е состоит и з свойств, а обладает ими, - "...су щ е с тв у ю тн е качества, а т о л ь к о вещи, обладающие качествами, ипри т о м бе с к он е чн о многими качествами" (Ф. Энгельс; (F.Engels; 1820-1895)). По д свойством понимается с п ос о б проявления определён н о йс т ор о н ы качества объекта п о отношению кдругим объектам, ско т о р ы м и данный объект вступает в о взаимодействие. Категория качества о бъ е к т ан ес водится к отдельным е г о свойствам. О н а выражает целост н у ю характеристику функционального единства существенных с в о й с т в объекта, е г о внутренней и в нешней определённости, относительной ус тойчивости, е г о отли ч ия о т других об ъ ек т о в или сходства сними. К атегория "качество" выражает определённую с т уп е н ьп о з н ан и я ч е ловеком (исследователем) объектов, процессов иявлений. На на чальном э т а п е познания о бъ е к т исследования выступает п ре ж де в с е г о - 95 каким-либо отдельным свойством и л и рядом свойств. Внепосредственно чувственном восприятии к ачество выступает к ак некоторое м ножество свойств. Другими словами, внач а ле возникают ощущения, впечатления, н ао с н о в е которых формируются понятия, качества (определения объек та, процесса, явления) и, наконец, количества. Познание ид ё то т ка ч е с тв а к количеству и д а л е е ки х единству - мере. Любой объект, процесс, явление представляет с о б о йе д и н с т во качества и количества. См. также Отношение. Квадратичное отклонение, квадратичное уклонение - мера откло н е н и я (разброса, рассеяния) случайной величиныX о т оценки матема тического ожиданияМх. Другими словами, квадратичное от клонение ха рактеризует вариацию признака о тн о сительно среднего значения выбор к и - параметра, определяемого сущностью задачи иконцепцией иссле дователя. Во б щ е м случае, квадратичное откло не н и е величин х1г х2,..., хп о ттх- выражение: / sx=± / у (а^-т*)2 + (хг -тх)г+...+ (хп-тх)2 ------------------------------------, п (1.75) г д е тх- оце н ка математического о ж ид а н ия Мхил и значение какого-ли б о параметра распределения, определяемого сущностью з а д ач и и кон цепцией исследователя. Минимальное значение квадратичное отклонение имеет п р и тх=хср, г д ехс р - сред н е е арифметическое в еличин х4. xz,... , хп: х1 + х2 +... + хп хс р= х - ------------------ . п (1.76) Во б щ е мс л у ч а е анализа несимметричных распределений вк а ч е с тв е о ц е н к и тх неизвестного математического ожидания Мхмогут б ы т ь ис пользованымедиана, мода, начальный момент п ервого порядка, арифме тическое среднее, арифметическое взвешенное среднее, взвеше н но е с т е п е н н о е среднее, гармоническое среднее, геометрическое среднее, с р е д н е е квадратичное, сред не е кубическое, арифметико-геометрическое с р е д н е е идр. параметры, определяемые сущностью задачи и концепцией исследователя. Дисперсия б у д е т определяться выражением: 1 п s2x ------- I (Xi-mx)2, n-1 1=1 (1.77) - 96 - г д е mx - оценка математического о жи д ан и я Мх, a s2x - оценка гене ральной дисперсии 62х, или, точнее, выборочная дисперсия. Употребляется такж еб о л е ео б щ е е понятие взвешенного квадратич н о г о отклонения, определяемого ка к выражение: Sv=± / у + W2 (ж2-тх)г+...+ №п(хп-тх)г ------------------------------------------ ; Wj + + ...+ Wn (1.78) ч и с л а Wj, W2___ _ Wn называют п р иэ т о м весами, соответствующими ве лич и на мхх, х2,..., хп. Взвешенное квадратичное отклонение достига е тнаименьшего знач ен и яп р итх, равном взвешенному среднему. Т а к о е представление оквадратичном о т клонении соответствует использованию квадратичного отклонения втеории о ши б о к ив экспериментальных исс ледованиях. Ввероятностейтеории квадратичное отклонение бх случайной ве личиныX (от е ё математического ожидания) определяют ка к квадратный к ор е н ьи з дисперсии/6х и вангло-американской литературе называют стандартным отклонением величиныX и л ип ро с то стандартом. Д л ял ю б о й с л у ч а й но й величиныX сматематическим ожиданием Мх и с та ндартным отклон е ни е м 6Х в ер оятность от клоненийX о тМх, больших п о абсолют н о йв ел и ч ин е к6х, к>0, н е превосходит 1/кг. В с л у ча ен ор мального распределения указанная вероятность п р и к=1 равна 0,3174, п р и к=2 р а вн а 0,0456 и п р и к=3 равна 0,0027. Впрактических задачах, приво дящ и хкнормальному распределению, от клонения больше, чем у троенный с т а н д а р т (квадратичное отклонение) практически невозможны, или, друг и м и словами, на практике пренебрегают возможностью отклон е ни й о т среднего, больших 36х (Т р ё х сиг маправило). В статистике математической квадратичное отклонение употребля ю тк а кмеру качества статистических оценок иназывают в э т о мс л у ч а е квадратичной погрешностью (ошибкой). Одн им и з частных о п ределений за к она б о л ь ш и х чисел является т о т факт, ч т о квадратичное о тклонение с т р е м и т с я кнулю сростом п и п р и фиксированном п о н он е превосхо д и т 1/2|/fu См. Среднее, сред не е значение. См. так же раздел 2.5. Квадратичное среднее см. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. Кван ти л ь (< лат. quantum - сколько; quantillus - ч т оз а (какой же) маленький; quantitas - количество, величина, размеры; quantulus - 97 - на с к ол ь ко (же) маленький, како й ничтожный) - о д н аи з числовых ха рактеристик распределения вероятностей. Если функция распределения Fix) случайной величиныX непрерывнаи с т р о г о монотонна, т од л я лю б о г о р, 0<р<1, квантиль порядка рраспределения случайной величины X определяется ка к корень Кр уравнения F(Kp)=p или, иначе, к а к зна ч е н и е (при данном р) функции F‘1 (p), обратной кFix). И з определе н и я следует, ч т оп р и р<р' вероятность Р(Кр<Х<Кр-) равна р'-р. Кван т и л ь К1/2 е с т ь медианаX; квантили К1/4 иК3/4 называются квартиля ми, соответственно, нижней и верхней. Знание квантиля д л я некоторо г омножества значе н ий рд аёт представление орасположении ирассея н и и з н а че н ий случайной величины и, в частности, ов и де ф у н к ци и распределения. К вартиль - частный с л у ч а й квантиля. Кодирование переменных см. раздел 2.7. ’ ’ Количеством называется то, ч т од е л и м о на составные части, к а ж д а я и з которых, б у д е т л ии хд в еи л и больше, е с т ьп оп р ир о де что-то о д н о и определённое нечто. В с я ко е количество е с т ь множество, е с л и о н о счислимо, а величина - е с л и измеримо" (Аристотель, (’ АрьбтотеЩ,; 384-322 д о Р.Х.), Met. V 13, 1020 а 7-10; рус. пер., Соч., т.1, М., 1975). См. т а к ж е Мера. "Количество (< коли', к о л ь "если", укр. коли* "когда, если", б л р . кол! "когда", ст.-слав, коль..., словен. koli "насколько, сколько"... М.Фасмер; (1886-1962). [100]) - "КОЛИ н а р . когда, в ъ ка к у ю пору, в ъ како е время. (...) Количество с р . мера чего либо, счетомъ, весомъ, п о величине или объёму. (...) Количество п р о т и в о п о л а г а е т с я качеству, степени доброты, х о т яо б ап о н я т 1я э т ив з а и м н он е с о и з м е р и м ы . Количест венный, к количеству относящийся. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [83]. См. также Величины соизмеримые и несоизмеримые, Измерение, Мера. Количество - философская категория, формализующая о б щ е е и еди н о е впредметах иявлениях, объективная определённость предмета и явления, в с и л у которой их м о ж н о разделить на однородные части. Ко л и ч е с т в о предмета ил и явления - э т о то, ч т о может б ы т ь измерено, а т а к ж е увел и ч ен о ил и уменьшено. Такчисло, время, протяжённость в пространстве и т.п. - с у т ь количества. В математике количества обозначаются символами и классифицируются на известные и неизвест ные, ч и с л а действительные имнимые, постоянные ипеременные, ч и сл а рациональные ииррациональные, чис л а простые, натуральные, транс - 98 ц ен дентные и др. Количество - э т от а к а я определённость предметов, явлений, процессов материального идуховного мира, изменения кото ры хд о определённого момента (см. Мера) н е вызывает коренных, ка чественных изменений, ал и ш ь подготавливает их. Количество как проблему первы м и формализовали пифагорейцы в с в я з и сизучением природы чис елиих использованием впроцессе поз н а н и я мира. Аристотель ('АрсбтохеЩ,; 384-322 д о Р.Х.) выделил "ко личество" в особую категорию (см. выше). Категория "количество" по л у ч ил а развитие в трудах Р.Декарта (Descartes Rene; 1596-1650), И.Ньютона (Newton Isaac; 1643-1727) и Г.Лейбница (Leibniz Gottfried Wilhelm; 1646-1716) в с в я з и сисследованиями движения и в в едением переменных величин вматематику, врезультате которых "количество" с т а л о включать в с е б ян ет о л ь к о постоянные величины, н о иперемен ные, ат а к ж е отношения порядкаи сравнения. Г.Гегель (Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831) впер в ы е выявил диалектическую взаи мос в яз ь категорий количества икачества: е с л ип р и изменении качест в а происходит превращение данной в е щ и вдругую вещь, т о количест в е н н о е изменение визвестных границахн е вызывает подобного превра щ е н и я. П ознание реальности начинается сп ознания качественных харак т еристик предмета иявления. Количественная определённость предмета ияв л е н и я производится путём срав н ен и я пространственных характерис тик, ди н амических составляющихидр. сединицами измерения физичес ких величин. Сложность явления в значительной степени опред ел я ет с я возможностью использования количественных методов при его изучении. Например, социальные процессы, культурные явления. "Количество находится в ед и нс т в е с качественной определён н о с ть ю явлений, вещей, процессов; э т о един с тв о составляет их меру. Измене н ие количественной определённости предметов иявлений в гра ницахмеры н е затрагивает и х качества. З а эти м и пределами количест в е н н ы е изменения сопровождаются изменениями качества." [101]. См. также Мера, Отношение. К омплекс (англ. complex - компл е к с < лат. complexus - объятие; сочетание; связь, о т complecti (complectere) - обхватывать; содер ж а т ь в себе, о т сот- (из con-) - с- (со-), вместе и plectere плести, сплетать) - 1. Совокупность, сочетание предметов, явлений, действий, свойств. 2. Болезненная отрицательная оценка соб с т ве н но й личности. 3. О д н ои з основных понятий комбинаторной топологии. - 99 "КОНЕЦЪ м. (умал. конь) пределъ в ъ пространстве, в ъ протяженш, в о времени, вдействш и пр., противоположное началу. В ъ пространстве и л и в ъразмерахъ предмета, н а ч а л о и конецъ о д н ои т о же, потому, ч т о в с я к и й край, пределъ предмета, условно, может б ы т ь принят з ан а ч а л о из аконец его. || ... Конечная величина матемт. всякая цыфра и л и ве личина, которую мож н о выра зи т ь числомъ, въ противоположность б е з к о н е ч н о малойили великой. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. также Конечное, Начало, Предел, ПРЕДЕЛЪ, Предельный, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ. Конечное - философская категория, характеризующая всякую опре д е л ё н н о с т ь и ограниченность о б ъ ек т о в (тел, процессов, явлений, сос тояний, с в ой с т в и т.д.). Определённость конечному придаёт е г о гра ница. Граница может б ы т ь количественной икачественной. Ст о ч к и з р е н и я количества граница может б ы т ь пространственной и/или времен ной, например, геометрические размеры объектов, расстояния, дли т е л ь но с ть протекания процессов и явлений. Примерами качественных г р а ни цявляются фазовые переходы, границы многофазных систем, нап ример, пар-вода-лёд. Диалектическая противоречивость конечного зак л ю ч а е т с я втом, что, со д н о й стороны, конечное обладает самостоя тельным, обособленным бытиём, а, сдругой стороны, обусловлено ок р ужающими е г о объектами. Граница и отделяет конечный объ е к то т дру г и хи связывает е г о сними. Достаточно полное представление о ко нечном д а ё тс я знанием присущей е м у меры, которая предполагает воз м о ж н о с т ь выхода з анеё, т.е. перехода ил и превращения е г о вкачест в е н н о и/или количественно дру г о е конечное. Рассмотрение из м е не н ия конечного, впроцессе ко т о ро г о совершается выход з а е г о границу, п р и во д и т к идее бесконечного. П о определению Ф. Энгельса, (1820-1895) познание "заключается втом, ч т о мы выходим и констати р у ем бескон е ч но е вконечном, в е ч но е - впреходящем". См. также Конец, Начало, Предел, ПРЕДЕЛЪ. Константа (нем. Konstante - постоянная величина, константа (от konstant - постоянный), фр. constante - константа < лат. constans, род. п. constantis - постоянный, неизменный, о т constare - с т о я т ь твёрдо, оставаться неизменным; б ы т ь определённым, твёрдым, решён ным, о т con- - с-, в м е ст е и stare - стоять) - постоянная величина. П о с тоянство величины х записывают x=const. Константу об ы ч н о обозна чают б у к в а м и К, Сили const. Т е рм и н "константа" б о л е е значителен, фундаментальнее, ч ем термин коэффициент. Например, мировая констан та, н он е мировой коэффициент. К ак правило, константа - н езависимая - 100 п о с то я н на я величина. Н об ы в а ю т исключения. Например, константа ско р о с т и химической реакции константой, п о существу, н е является, т.к. з а в и с и то т температуры. См. т а к ж е Коэффициент, Параметр. Концепция (< лат. conceptio - соединение, сумма, совокупность, система; резервуар, хранилище; зачатие, принятие семени; с л о в е с н о е выражение.- И.X.Дворецкий; (1894-1979). [84]) - система понятий о состояниях, событиях, явлениях ипроцессах вприроде, технологии, о б щ е с т в е и мышлении. Концепция является основополагающей идеейка кой-либо теории; э т о единый, определяющий замысел, ведущ а ям ы с л ь художника, писателя, учёного, политика и т.д. Как правило, концеп ц и и формулируются выдающимися личностями и оказывают вли ян и ен а р а з в ит и е науки, техники и о бщества вцелом. Коротко обсудим т о л ь к о концепции, имеющие непосредственное отношение ктехнологическим пр оцессам ик статистическимметодам обработки данных. концепциявремени Вп роцессе развития цивилизации в р е м я претерпело н ес к ол ь к о концепций. Втеологии в р е м я рассматривалось к ак преходящая иконеч н а яформа проявления вечности, п рисущей Богу и л и абсолютному духу. Всубъективно-идеалистических концепциях в р ем я толковалось к а кфор ма упорядочения комплексов ощущений, к ак априорная форма чувствен н о г о созерцания, ка к форма с убъективного существования человека, ис ч езающая вмес т ес о смер ть ю лич н ог о "Я". В естествознании инатурфилософии XVII-XIX век о в различалось а бсолютное в р е м я ка кв н еш н ее у с л ов и еб ы т и я и относительное время, в ыр а ж аю щ ее длительность конкретных состояний и процессов. В соответствии ссовременной концепцией в р е м я проявляется к а к в с е о б щ а я и всегда сохраняющаяся форма б ы т и я материи н а вс ех е ё с т р у к ту р н ых уровнях. В ре м я одномерно, асимметрично инеобратимо, в с е из менения вмире происходят о тп рошлого к будущему. В р е м я н е явле ни е ин е процесс. Однонаправленность времени обусловлена асим м ет р и ей причинно-следственных связей, о б щ е й необратимостью проц е с са р аз в и ти я материальных систем. Специфическим свойством времени явля е т с я длительность, характеризующая последовательность су щ ес твования и с м е н ы состояний систем, и гомохронность (секунда практически н е и з м енилась з а 5500 ле т свре мё н Древнего Вавилона). концепция пространства Концепция пространства рассматривает такие с пе ц и фические с в о йс т в а пространства, как протяжённость, связность, трёхмерность. - 101 симмет р ияи асимметрия, концентрацию вещества и поля, наличие и от с у т с т в и е границ. Протяжённость т е с н о связана с о структурностью ма т е р иальных систем, о н ао значает рядоположенность и сосуществование различных элементов, атак ж е возможность количественного и зменения с о с та в а системы. Связность и непрерывность означают о т су т ст в и е ка ких-либо "разрывов" впространстве, т.е. сплошность среды. Трёхмер н о с т ь является свойством пространства, обнаруживающимся н а всехиз вес т ны х структурных уровнях. Известные физические (гидродинамика, массообмен, теплообмен и их с о че т ан и я - абсорбция, адсорбция иде сорбция, растворение, плавление и кристаллизация, испарение, субли м а ц и я иконденсация, сушка, экстрагирование), физико-химические, химические, физиологические процессы и взаимодействия реализуются в п р о странстве трёх измерений (и в о времени). Сдругой стороны, н а у к а д опус к ае т существование мир о в сбольш и мчисломизмерений. В современной математике и вматематическоммоделировании и оптими з ац и и технологических проц е с со вш ир око применяются абстракт н ы е (концептуальные) многомерные пространства, образуемые п у тё м до б а в л е н и я кт р ё м пространственным координатам координаты врем ен и и другихфакторов, учёт в з аимного в л и я ни я которых необходим д л я пол н о г оо п и с а н и я процесса. Более того, (fc+1)-мерное пространство мож е т б ы т ь сформировано д л я к любых факторов и любой целевой функции, представляющей интерес вматематическом моделировании и оптимизации технологических процессов. Концепция Г.В.Лейбница (Leibniz Gottfried Wilhelm; 1646-1716), трактовавшего пространство и в р е м як а к определённые т и п ы о тношений м ежду объектами и их изменениями, н е имеющими самостоятельного су ществования, б ы л а развита А.Эйнштейном (Л.Einstein; 1879-1955) в теорию относительности, кото р ая раскрыла неразрывную с в я з ь прост ранс т в аив ремени ка ке ди н о й формы существования материи (прост ранство-время), установила е д и н с т в о пространственно-временной и причинно-следственной структуры мира, обнаружила относительность пространственно-временных характеристик т е л и явлений. концепция с р е ды Концепция сред ы рассматривает пространство, содерж а ще е мно ж ес т в о однородных и л и разнородных функционально связанных элемен тов, находящееся вконтакте сдругим пространством ил и субстанцией. С р е д аможет б ы т ь внешняя и внутренняя, сплошная и дискретная. Д л я - 102 с р е д ы характерно сопротивление производимым вн е й изв не изменениям - перемещениям элементов, изменениям количества икачества, наруше н и юфункционирования, структурнымизменениям и т.п. В с л уч а е одно родных элемен т ов можн ог ов о ри т ь осредах: сплошной, языковой, ин теллектуальной, культурной, криминальной, с р е д ео б щ ен и я идр.; в с л у ч а е относительно разнородных элементов: ос р е д е обитания, обра зовательной, операционной (в ЭВМ), производственной, с о циальной и д ругих средах. концепция объективной причинности Концепция объективной причинности заключается в постулате, с о г л а с н о которому любое явление природы и общества е с т ь с л е д ст в ие т о йи л и другой причины, причём од и наковые причины в одн их ит е хж е у сл о виях вызывают одинаковые следствия. Не т явлений, к о то р ые н е и м е л и б ы сво их причин, и т а кж ет о ч н о не т явлений, кото р ы еб ын е порожд а ли те хил и иных следствий. Последовательность явлений, свя з а н н ы хд руг сдругом отношением внутренней необходимости, называют причинно-следственной цепью и л и "цепью причинения". Л ю б ая и зц е п е й п ри ч и не н ия н е имеет н и начала, н и конца, и любые попытки н а й т и "первопричину" или последнее след с т ви е бесперспективны. концепция среднего значения совокупности чисел Вс лу ч а е несимметричных распределений случайных величинимеет с яп роблема выбора с ре д н ег о значения и з множества возможных - моды, медианы, начального момента п е р во г о порядка и средних (арифметичес кого, арифметического взвешенного, взвешенного степенного, гармони ческого, геометрического, квадратичного, кубического, арифметико-геометрического) и др. Проблема выбора решается концепцией сред н е г оз н а ч е н ия в зависимости о т природы совокупности. Проблема выбора с р е д н е г о з н а ч ен и я и з множества возможных с б о л ь ш е й остр от о й возникает п р и статистическом анализе социа ль н ых процессов, в статистике народонаселения, производства и п от ребления имногих других цивилизационных явлениях. См. также Причина, Причинность, ПРШИНЯТЬ, Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь, СЛЕДИТЬ, Сущность. Корреляционная таблица - табли ц а экспериментальных д а н н ы хи л и л я построения графика, р ез ультатов наблюдений, подготовленная д предварительного анализа и ч и сленной обработки. Пример корреляцион н о й табл и цы - см. пример 4. См. также Данных обработка математическая, Корреляция, Корреляционное поле, Корреляционный анализ, Корреляции коэффициент. - 103 Корреляционное поле - системакоординат у-х снанесёнными н а к оорди н ат н у ю плоскость двумерных в ыборочных точек. Корреляционное поле, п о существу, график экспериментальной зависимости y=f(x) (ес л ит ак о в а я имеется, например, рис.1.9). Ей с_ Г «I, а / аов 006 005 ОА am QOOB 0.006 о о а оооз ш ООО! ю о 1Г Т Т Т Т 9Л е о о J ( i 19 «ООО 1 j гТТттг ю о с о о 2 J юоахю i 5 6 7S9 ' } (56 Ш1Re Рис.1.9. Корреляционное поле зависимости критерия Эйлера (точнее, соотношения критериев Eu/Г) от критерия Рейнольдса для гладких труб (реконструкция автора) П о виду расположения точ е кп о л я мож н о сделать предварительное з а к л ю ч е н и е оналичии и форме з ав исимости случайных величин Y и X. В с л у ч а е критериальной зависимости очевидно, ч т од о значения к р и т е р и я Re*2000 (в области ламинарного т е ч е н и я жидкости) и пос л е Re-3000 и м е е т с я отрицательная линейная корреляция,.т.е. Eu/r=/(Re), а воб л а с т и зарождения турбулентных пульсаций корреляция от с у тс т ву е т (рис. 1.9). Данные после визуального анализа группируют вв и д е кор реляционнойтаблицы дл я последующей численной обработки. См. также Данных обработка математическая, Детерминизм, Корреляционный ана лиз, Корреляция. Корреляционный анализ - совокупность основанных н а математи ч е с к о йтеории корреляции методов обнаружения функциональной зависи м о ст имежду случайными величинами ил и признаками. В отлич и ео тт е х статистических методов, предметом которых являются выборки, харак т ер и з у ю щ и е один признак совокупности, предметом корреляционного ан а л и з аявляются выборки, характеризующие два и б ол е е признака. В э т о й с вя з и корреляционный анализ занимает промежуточное п о л о ж ен и е м е ж д у классическими статистическими методами анализа и ме т одами ма т емати ч ес к о го моделирования. - 104 Достаточно час то между сл учайными величинами существует т а к а я связь, ч т о сизменением о д н о й величины меняется распределение дру гой. В с л у ча е парных зависимостей изменение случайной величины у, соответствующее изменению величиных, разбивается п р иэ т о мн а д в е (три) компоненты: функциональную (связанную сзависимостью y=f{x)) ис л у ч а йн у ю (третьей компонентой могу т б ы т ь влияния неизвестных исследователю факторов или пренебрегаемыхим, п р иэ т о мм о ж н о гово р и т ь оразличных "сечениях" многомерного пространства). Е с л и пе р в а я к омпонента отсутствует, т о величины ут лхнезависимы; в с л у ч а е на л и ч и я зависимости y=f(x) б о л ь ш а яи л и меньшая точность эксперимента и измерений обусловливают б о л ь ш и йи л и меньший вклад случайности в о б щ у ю картинурезультатов наблюдений, вплоть д о затушёвывания сле д о в существующей функциональной зависимости*. С оотношение между функциональной и случайной компонентами определяет силу (тесноту) свя з и. Важнейшим показателем э т о йс в я з и является корреляциикоэффи циент (1.81), (1.82). Процедура корреляционного анализа включает в себя: (1) построение корреляционного поля и построение корреля:ционно йтаблицы; (2) вычисление в ыборочных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений; (3) проверку статистической гипотезы о значимости (силе) связи. Пр и подтверждении корреляционной с в я з и п ро и зводится регрессионный а н а л из сцелью установления вида функци о н а л ьн о й зависимости y=f{x). См. также Данных обработка математическая, Детерминизм и раздел 4. Корреляция (<позднелат. correlatio - соотношение) - вероят ностная или статистическая з а висимость между двум яиб о л е е случай н ы м и величинами. В отли ч ие о т функциональной зависимости (рис. 1.10, а) корреляция возникает тогда, когда зависимость о д н о г о приз нака (случайной величины У) о т дру г ог о (от другой случайной величи н ы X) осложняется случайными факторами. Такого рода зав и си м о ст и о б ы ч н о выявляются визуально спомо щ ью графиков и последующего рег р ес сионного анализа. Поскольку в природе в с ё происходит впространстве и в о време ни, р е а л ь н о след у ет г оворить оситуациях, когда случайная величина Y з а в и с и то т трёх координат. В с л у ч а е концептуальных многофакторных пространств случайная величина Y зави си то тмножества случайных веПримечание 14. Достаточно часты ситуации, когда парная корреляция является грубым приближением и нужно учитывать другие факторы, оказывающие существенное влияние на характер течения жидкости. Например, область зарождения турбулентных пульсаций при возрастании критерия Re, см. рис. 1.9. Рис.1.10. Примеры тесноты (силы) связи случайных величин X и У: а - идеальная линейная корреляция; б - положительная линейная корреляция со средним рассеиванием; в - отрицательная линейная корреляция со значительным рассеиванием; г - экспоненциальная или гиперболическая корреляция; д - положительная параболическая корреляция; е - положительная параболическая корреляция со свободным членом; ё - S -образная нелинейная корреляция; ж - случай отсутствия корреляции, так называемое "звёздное небо", (Г~0) л и ч и нХх, Х2,.., Хк. Бывают и б о л е е слож н ые случаи, когда с р е д и ус ловий, о т которых зависят две (три, четыре...) случайные величины, н а п ри м е р Y и Z, имеются о б щ и ед л я ни х обеих условия X lf Х2,.. Хк. П р иэ т о м корреляционная зависимость н е очевидна, многомерное прост р а н с т в он а листе бумаги и л иэ к р а н е монитора представить н е в о зм о ж но - 106 д аимысленное моделирование проблематично. В таких случаях корре ляцио нн у ю зависимость выявляют спомощью корреляционного анализа. Н ео б х од и мо отметить, ч т о статистическая зависимость, ка кб ын иб ы л а о н а сильна, никогда н е может у с тановить причинной связи: предполо ж е н и я опричинах и следствиях с л е д у е т искать в н е статистики, напри мер, вс ф е р е физических сущностейявления. Во с н о в е математической теории корреляции лежит предположение отом, ч т ов с е явления вп рироде в б о ль ш е й или меньшей м ере подчи нен ы определённым вероятностным закономерностям. Зависимость между д в у м я сл учайными событиями проявляется в том, ч т о условная вероят н о с т ь наступления о д н о г ои з ни хп р и наступлении д ругого о т л и ча е т ся о т безус л ов н о й вероятности. Или, другими словами, в лияние о д н о йи з н их (например X) н а другую (например У) н е вполне конкретно, н е ж ё с т к о функционально, х о т я п р и возрастании случайной величиныX другая, Y, имеет тенденцию возрастать (рис. 1.10,6, рис. 1.10,д , рис. l.lO.e, рис. 1.10,6) и л и убыва т ь (рис. 1.10, в , рис. 1.10,г). Э т о характеризуется тем, ч т оп р и каждом фиксированном з н ач е н ииX в р ез ультате наблюдений получается множество значений Y, характеризу ю щ е е с я некоторым распределением вероятностей. В таких случаяхфунк ц и я y=f(x) называется регрессией величины Уп о X, а график т а к о й за в ис и мо с т и - линией регрессии Уп оX. П р иб о л е е близком рассмотре н и и зависимостей рис. 1.10 д л яс л у ч а е в (рис. 1.10,6 ирис. 1.10,в) м о ж н о предположить линейную корреляцию, д л я с лу ч а я (рис.1.10, г) м о ж н о предположить гиперболу ил и обратную экспоненту, д л яс л у ч а е в (рис. 1.10,д и рис. 1.10,е) - параболу. Рис. 1.10,ё является доста т о ч н о определённой S-образной зависимостью. Зависимость, представленную на рис. 1.10,а экспериментируя по л у ч и т ь невозможно, э т о результат расчёта (r«1), а врис. 1.10,жна л и ц о от с утствие корреляции (г~0), т а к называемое "звёзное небо" (см. т а к ж е пример 6 и рис. 4.2). Иногда полезно иметь ввиду, ч т о собственно парных зависимос т е йн ет а к уж имного. Вприр о де в с ё происходит в пространстве ив о времени, т.е. в четырёх измерениях. В с е фундаментальные математи че с к и е уравнения переноса количества движения, теплоты имассы, по л у ч е н н ы ео к о л о 100-140 л е т назад - уравнения в частных производных, вб о л ь ш ин с тв е случаев неразрешимые д л я конкретных аппаратов и усло вий. Их упрощали. Рассматривали т о л ь к о стационарные процессы, пре н ебрегали изменениями функции е щ ёп о двум о с ям и приходили кпар н ы м - 107 зависимостям. Например, вила y=-?c-gradx: закон фильтрации А.Д а р с и w=-k-(dp/dl), зак о н вязкого т ре н и я И.Ньютона 6t=-ja- (dw/dl). дисси п а ц и я впотоке жидкости iMV=-6t •(dw/dl), закон плотности то к аГ.Ома 5=-g-[dU/dl), закон диффузии А.Фика g i=-D1 •idCi/dl), з а к о н теплоп р ов о д но с ти Ж.Фурье q=-\‘(dT/dl). Это, и другие, простые ли н е йн ы е м о д е л и вс в о ё время сыграли важ ну ю роль вразвитии науки оп е р е но с е субстанции. П о существу, э т о "сечения”реальных многомерных м о д ел е й вч ас т ны х производных. Подобный при ё м обработки данных примен яе т ся ипоныне. См. также Данных обработка математическая, Детерминизм, Корреляционная таб лица, Корреляционное поле, Корреляционный анализ, Коэффициент корреляции. К о ш и распределение - непрерывное распределение вероятностей с пл отностью вероятностей: р(х) = — 1 ж иф ункцией распределения: F(x) = X Х2+(х-д)2 Ж arctg - Го<Х <со, X-fi (1.79) (1.80) г д е -co<jx<™ и \>0 - параметры, Распределение Коши одновершинно и с и м м ет р ич н о относительно т о ч к и х=д, являющейся модой имедианой э т о г о распределения вероятностей (рис. 1. И) . Рис.1.11. Распределение Коши: а - плотность вероятности; б - функция распределения (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Н ио д и ни з моментов порядка р>0, втом числе и математическое о жидание, н е существуют. Также, к а к и нормальное распределение, распределение Коши принадлежит кклассу устойчивых распределений. - 108 Так, сум м а независимых случайных величин, имеющих распределе н и е Коши, в с в о ю очередь имеет распределение Коши; арифметическое с р е д н е е случайных величин, имеющих распределение Коши, с но в а расп ределе н ие Коши. Распределение К о ш и подчиняются линейным преобразо ваниям, аименно, е с л и случ а йн а я величина X имеет распределение Ко ш и спараметрами X ид, т о сл у ч ай н ая величина У=Ь0+Ь1Х т а к ж еи м е е т распределение Коши спараметрами A/ = |bi|X иjLi^bo+bj/i. Распределе н и еК о ш и спараметрами 1=1 ид=0 е с т ь t-распределение Стыодента с о степ е н ей свободычислом V, равным 1. Распределение К оши б ы л о расс м о т р е н оо к о л о 1830 г . С.Пуассоном (Poisson Simeon Denis; 1781-1840) и в 1853 г . 0.Коши (Cauchy Augustin Louis; 1789-1857). Коэффициент «лат. с о (cum) - совмес т н о и efficiens (efficientis) - производящий, выполняющий) - числовой множитель п р и буквен н о м выражении, известный множитель п р ит о й ил и иной степени неиз в е с т н о г о и л и постоянный множитель п р и переменной величине, множи тель, о б ы ч н о выражаемый цифрами. Е с ли произведение содержит о д н у и л и неск о ль к о переменных (или неизвестных) величин, т о произведение вс е хпостоянных, вт.ч. и выраженных буквами, т а к ж е называется ко эффициентом. Многие коэффициенты имеют особые названия, например, к оэ ффициент трения, коэффициент теплопроводности, коэффициент гид р ав л ического сопротивления т.д.. См . т а к ж е Константа, Параметр. Коэффициент корреляции - количественная характеристика с и л ы и л и тесноты связи между с лучайными величинами. Например, характе р и с ти к о йс в я з и случайных величин X и Уявляется безразмерный коэф фициент корреляции, рху: Е[(Х-Мх )(У-Му )] г д е бхи бу - генеральные квадратичные отклонения случайных в е л и ч и н X иУ ; Е - математическое ожидание. Коэффициент корреляции характе ризует н е всякую зависимость, а т о л ь к о линейную. Линейная вероят н ос т н ая зависимость случайных вели ч и н заключается втом, ч т оп р и возрастании о д н о й случайной величины д ру г ая имеет тенденцию возрас т а т ь и л и убывать снекоторым постоянным коэффициентом пропорцио нальности, т.е. п о линейному закону. Коэффициент корреляции харак т е р и з у ет с т е п е н ь тесноты линейной зависимости. Ес ли случайные вели ч и н ыX и У связаны точной линейной функциональной зависимостью у=Ь0+Ь1х, т о рху=±1, причём з н а к соответствует знаку коэффицента bt - 109 (рис. 1.10,а). В общем случае, когда величины X и Усвязаны произ во л ь н о й вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции м о же т и м е т ьз н ач е ни е в пределах -1<рху<+1. При рху>0 существует положи т ел ь н ая корреляционная с в я з ь между величинами X и У (рис. 1.10,6), п р и рху<0 - отрицательная (рис. 1.10,в). Д л я независимых с лучайных в ел и ч ин рху=0 (рис. 1.10,ж). Подо б н о математическому ожиданию случайной физической величи ны, котор о е невозможно определить врезультате эксперимента, коэф ф и ц ие н т корреляции, рху, т а к ж е является некоторой абстрактной величиной; о тчасти п оэ т о й причине е г о называют генеральным. Реальный, выборочный коэффициент корреляции, гху, определяется п о результатам эксперимента, тол ьк оп р иэ т о м используются выборочные с редние хс ри ус р ивыборочные дисперсии s2x и s2y: П I (X1-x)(yi-y) 1=1 гху" (П— 1) SyrS х^у п п п (1.82) Степеней свободы число v д л я найденного таким путём коэффици е н т акорреляции гх у равно v=n-2, поскольку вычисление хс р иус р со ответс т ву е т наложению на выборку двух связей. Далее необходимо про верить, з н а ч и м ол и отличается о тн у л я выборочный коэффициент корре л я ц и и гху. Нулевая гипотеза предполагает, ч т од в е переменные неза висимыилюбое ненулевое з на ч е ни е гвозникло из-за случайных флук туаций, т.е. Н0:рху=0. Альтернативной гипотезой б у д ет :рху*0. Опытный Стьюдентакритерий вычисляется п о формуле: t°S г/п-2 (1.83) i/i-i О пы т н ый критерий Стьюдента сравнивается стабличным д л я числа с т е п е н е й свободы v=n-2 ипринятого уровня значимостиа. См. Статистических гипотез проверка. - 110 Коэффициент корреляции одина ко в о отмечает и слишком б о л ь ш у ю д о л ю случайности (большие ошибки наблюдений), и значительную криволиней но с т ь э т о й связи. В таких случаях вто йи л и иной ст е п е н и “1<гху<1 всегда. Между величинамиX и Y может б ы т ь достаточно опре д ел ё н на я нелинейная функциональная зависимость, а коэффициент кор р е л яц и иб у д е т меньше единицы (в таких случаях можно произвести пре о бр а з ов а ни е факторного пространства сцелью нахождения с истемы ко ординат, вкоторой линеаризуется исходная экспериментальная зависи мость). И наоборот, между величинами X и Y может яв но отсутствовать какая-либо зависимость, а выборочный коэффициент корреляции б у д е т о тл и ч а т ь с яо тнуля. Необходимо отметить, ч т о статистическая зависимость, к а кб ын и б ы л ао н а сильна, никогда н е может установить причинной связи: н а ш и и д е и оприч и не должны приходить и з в н е математической статистики, в конечном с ч ё т еи з некоторой дру г ой теории. Например, очевидна с в я з ь м е ж ду количеством выпавших дождей ивеличиной урожая - дожди в л и яю т н ау р о ж а й и, совершенно определённо, урож а йн е воздействует н а дож ди. Н о не т никаких с т а т и с т и ч е с к и хпричиндля отказа о т ид еи зависи м о с ти д о жд е йо т урожая: о т к а зс д е л а нн а осн ов е совершенно других соображений. И д а ж ее с л иб ыдожди иурожай б ы л и вполном функцио нальном соответствии, т ов с ёр а в н о не т оснований д л яо бращения э т о й о ч е в и д но й причинной связи. См. также Данных обработка математическая, Корреляция, Параметр. "Кривая - это прямая, отредактированная жизнью." (Аркадий Давидович: р. 12.06.1930). Кривая - (мат.) о б ы ч н о линия вообще, н е исключая и ча с т но г о с л у ч а я - прямой. См. так же КРИВОЙ. Кривизна - (шт.) величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) о тпрямой (плоскости). С т е п е н ь кривизны м о ж н о охарак т ериз о ва т ь спомощью т акназываемой средней кривизны ?с с р =а/Д1, г д е а - величина угла между касательными вдвух точках а иЬ, a At д л ин ад у ги аЬ. См. т а к же Кривой. ’ 'Кривой, непрямолинейный, идущ!й н еп о прямой черте. Косой, у к л онившийся о т ъ уровня и л иотвеса; кривой, уклонивш1йся о т ьп р я м о й черты, гнутый, лучковый, луковатый, излучистый. (...) || Кривина, кривизнаж. свойство, состоян1е кривого, кривость н а деле; погибъ, лука, дуга. (...) Кривота, ж. кривизна, кривда, криводуш!е, какъ - Ill свойство, состоян1е 1801-1872) [83]. кривого, одноглазаго. (...)" [В.И.Даль; "Критерий - способ интерпретации реаль ности, адекватный нашим задачам в ней." (Александр Круглов; р. 1954). Критерий (<греч. aepitripto - критерий, признак, п о к оторому м о ж н о с у д и т ь верно) - м ерило д л я определения достоверности, соот в е т с т в и я человеческого з н а н и я объективной реальности, а т а к ж е приз нак, н а основании которого производятся оценка, определение и л и к ла с сификация чего-либо, мер ил о оценки. Критерии являются ч астным с лу ч а е мфилософской категории - отношения. Статистические критерии, п о существу, являются с оотношениями параметров, характеризующих т еи л и иные свойства совокупностей. В математической статистике различают опытные и табличные критерии, к от о р ы е собственно и сравнивают п р и проверке статистических гипо тез. Главной особенностью табличных критериев является и з независи м о с т ь - табличные критерии вычисляются независимым о т эксперимента путём. В большинстве сл у ч а е в статистические критерии являются пре д е л ь н ы м и соотношениями параметров п р и принятии и л и отклонении ста ти с тической гипотезы. Например, Стьюдентакритерий является соотношением параметра и е г о квадратичного отклонения, о п ы т н ы й Фишеракритерий характеризует соо т но ш е ни е дисперсий, а е г о табличный аналог характеризует пре д е л ьн о е соотношение однородных дисперсий и т.д. Ф изические критерии характеризуют соотношения сил, действующих в си с т е м е (движущейся жидкости ил и газе), ил и соотношения п о т о к о в массы, энергии, импульса и т.п. См. также Правило определения критического значения статистического критерия. Критерий опытный (статистикакритерия) - фактическое соотноше н и е параметров (параметров, определённых п о выборке), характеризую щ и хт еи л и ины е свойства совокупности. Например, Стьюдента критерий явля е т ся соотношением выборочного параметра (в частности, с р е д н е г о арифметического) и е г о квадратичного отклонения, а е г о табли ч н ый ан а л о г характеризует предельное соотношение параметра и е г о квадра т и ч н о г о отклонения в соответствии спроверяемой гипотезой. Фишера критерийявляется соотношением двух дисперсий - дисперсий адекват н о с т и и воспроизводимости, дисперсии факторной идисперсии о ш и б о ки т.п. - 112 См. также Критерий табличный, Правило определения критического значения ста тистического критерия. Критерий табличный (статистический) - критическое соотношение параметров, характеризующих т еили и н ые гипотетические свойства со вокупности. Главная особенность табличного критерия - н езависимость о т эксперимента. В большинстве с л уч а е в статистический критерий яв л я е т с я предельным соотношением параметров п р и принятии ил и отклоне н и и статистической гипотезы. Например, табличный критерий Фишера характеризует предельное соотно ше н ие однородных дисперсий, а е г о о п ы т н ы й аналог характеризует фактическое соотношение дисперсий (со о т н о ш е н и е выборочных дисперсий). См. также Критерий опытный, Правило определения критического значения статис тического критерия. Критический (< греч. эершаео^ - способный разбирать, судить, разбирающий, судящий, критик; aeptttaeri - искусство разбирать и л ис у дить, критика) - 1. Относящийся ккритике, содержащий критику, спо с о б н ы й ккритике. 2. Относящийся ккризису, находящийся в с о с то я ни и кризиса, решающий, переломный, опасный. Критическое значение - численное значение какого-либо парамет р а системыи л и процесса, п р и котором происходят качественные изме нения. Д ля систем характерно нарушение равновесия системы, напри мер, явление изгибания с ж а то г о уп р у гого тела - стержня, пластины, п р и превышении некоторого критического значения сжимающей силы, т а к называемой Эйлеровой силы. Д л я процессов свойственно резкое измене н и е каких-либо параметров, например, превышение некоторого крити ч е с к о г оз н а че н и я скорости в ращения в ала приводит крезкому возрас т а н и ю амплитуды вибрации. Превышение некоторого критического значе н и я температуры приводит кт а янию л ь да (плавлению металлов ии х со лей), кпроцессу к ипения и кисчезновению границы раздела ф а з между ж идкостью и паром. Статистические критерии, п о существу, я в л яю т ся предельными соотношениями однородных дисперсий, оценок параметров и и х (квадратичных) стандартных отклоненийи др. См. также Правило определения критического значения статистического критерия. Кубическое среднее см. Концепция, Середа, Среднее, с ре д н е е значение. Кумуляция (< позднелат. cumulatio - скопление, нагромождение < лат. cumulo - складывать, сгребать, собирать в кучу, накоплять, усиливать) - накопление, приумножение, усиление, добавление, присо единение, заполнение и т.п. (И.X.Дворецкий; (1894-1979). [84]). - 113 - л Лапласа-Гаусса распределение см. Нормальное распределение. Лапласаинтеграл - интеграл: L(z) Liz) -= ------ e~z dz, (1.84) О с в я з а н н ы й с функцией стандартизованного нормального распределения (2.24) формулой L(z)e24>(i/§z)-l. Интеграл Лапласа - приближённое з н а ч е н и е (при больших п) вероятноститого, ч т о число '‘ успехов" вп Бернуллииспытаниях с вероятностями "успеха" р и "неудачи" q=l-p б у д е т з аключено винтервале np-z|/£np(l-p) и np+z[/£np(l-p) (так наз ы в а е м а я предельная формула Лапласа). Одн а ко соотношение, г д е нор м а л ь н о е распределение появляется какпредельная форма б и н ом и а ль н ог о ср=1/2, б ы л о найдено в 1733 г . А.Муавром (Moivre ЛЬгаШт de; 1667-1754). Лапласа распределение, двустороннее показательное распределе ние, д в о й н о е экспоненциальное распределение - непрерывное распреде ление вероятностей сплотностью: X р(я)=--- exp (-X |х~а|), -оо<х<+оо, (1.85) г д еа - параметр сдвига, -оо<а<+оо, \ - масштабный параметр, \>0. П ло т н ос т ь распределения Лапласа симметрична относительно т о ч к их=а (рис. 1.12), производная плотности имеет разрыв пр и х=а. Р(х) О а Рис.1.12. Плотность распределения Лапласа (плснцадь под кривой плотности вероятностей равна 1) х - 114 распределение Лапласа имеет конечные моменты любого порядка, в частности, математическое о жидание Мх=а, дисперсия дХ=2/Хг, модаи медиана совпадают с а; асимметрии коэффициент Лх=0, э к с ц е с с Ех=&\~3. Распределение Лапласа б ы л о впер в ы е введено в 1812 г . П.Лапла с о м (Laplace Pierre Simon; 1749-1827), е г о часто называют "первым закономраспределения Лапласа”в о т ли ч ие о т’ 'второго" - нормального распределения. Лапласа функция - функция стандартизованного нормального расп ределения, определяется выражением: Ф(2Г)= f г j exp i 0 1 ж Z2 У dz = F (z) —F (0) -F (Z) 2 * 1 ( 1 . 86 ) г д е z - стандартизованная случайная величина, плотность вероятнос тей к оторой выражается формулой (2.21), афункция распределения в ыражением (2.24). Знач ен и я функции Лапласа приведены вПриложении 2. С помощью ф у н кц и и Лапласа легко вычислить в ер оятность попадания стандартизо в а н н о й случайной величины I винтервал z ^ z 2: P(z1<Z<z2) = #(z2)“ 0(zi). (1.87) Ф ун к ц ия Лапласа - нечетная функция, т.е. Ф{-г)=~Ф(г). Во б щ е м случае вероятность наблюдения случайной величины X в интерв а ле х^х2: ( s, *<Z<* хг-тх = Ф s, Ф г д е Р(х1<Х<х2) - до л яо т единицы [2]. Сравните с (2.5) s, ( 1. 88 ) - 115 П р и проверке статистических г ипотез практический и н т ер е с п редставляют критические з н а ч ен и я стандартизованной случайной вели ч и н ыza, которые определяют д л я принимаемого уровня значимости а, руководствуясь правилом: 00 1 ( «1 — ------рZ > Z к. у /----- /2Ж * Z2 А е х р ------------- dz 2 ) /V = а, (1 Za г д еа - площ ад ь под кривой стандартизованной плотности вероятностей p(z), характеризующая ве р оя т но с т ьо ш и бо ч но отвергнуть верную нуле в у югипотезу (рис. 2.29). См. т а к ж е уравнения (1.180) - (1.183). Табулированные з начения z п р и различных уровнях значимости а приве дены вПриложении 4. Линеаризация (лат. linearis - состоящий и з линий, штриховой, линейный) - математическая аппроксимация н а относительно к оротком и нтервале сложной функциональной зависимости простейшей зависи мостью, задаваемой линейными функциями. См. также Линейный, ЛИН1Я, Линия, Линейный (лат. linearis - состоящий и з линий, штриховой; ли нейный, геометрический) - (мат.) относящийся клинии, имеющий в и д линии; относящийся к первой степени (например, линейное уравнение, л и н е й н ая функция), простейший видфункциональной зависимости; ли н е й но е преобразование пространства; линейная алгебра; линейные сис темы. Линейный - к линии относящийся. См. также Линеаризация, ЛИН1Я, Линия, М ЛИН1Яж. черта; порядокъ, с т р о й или рядъ; направлен1е. Лингя прямая, кратчайшее соединен!е дву х ъ точекъ; она б ываетъ уровнем, отвесная, косвеная: - кривая, лучковая, гнутая, дуга. ( . . . ) 11 как мера протяжен1я, линия двенадцатая ч а с ть дюйма. (...) Линейный, к ъ линш относящшся. Линейная мера, с л уж а щ ая д л я измерен!я длины, ши рины, вышины: верста, сажень, аршинъ, футъ ипр. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. также Линеаризация, Линейный, Мера. "Линия - длина без ширины." (Неизв.) Линия (лат. linea - льня на я нить, нитка; отвес; линия, черта; граница, предел) - (мат.) о б щ а яч а с т ь двух пересекающихся поверх ностей, черта н а поверхности; черта, определяющая направление, пре - 116 д е л , урове н ь чего-либо; един иц а длины врусской сис т е ме мер, отме н ё н н о й в 1918 г., равная 1/10 дюйма (еще раньше - 1/12 дюйма). См. та к ж е Л и н е а р и з а ц и я , Л и н е й н ы й , Л И Н 1 Я . ЛогарифмчислаN п о основанию а*1 (< греч. Xo'yofc, - с л о в о [ска занное, н е грамматическое], условие, учение, дело, с ч ё т (число), соотношение, пропорция, разум, причина, мнение, понятие, смысл; apidjnot - число, количество; мера и л и протяжение; счёт, счисление; с ч ё т [как искусство или наука]; количество [как противоположность качеству]. А.Д.Вейсман; (1834-1913). [80]. См.также ...Логия) -по к а з а т е л ь степени х, в которую н у ж н о возвести а, чтобы по лучить чис л о N. Обозначение: logaN=x. З а п ис ь logaN=x равнозначна з а п и с и aX=N. И з определения логарифма вытекает следующее тождество: а108аХ= N. (1.90) Т е рм и н "логарифм" предложил Дж.Непер (John Napier; 1550-1617) н ао с н о в е сочетания греческих с л о в Xoyot, (здесь - отношение) и apifljiot (число). Де ло втом, ч т о вантичной математике квадрат, к у б и т.д. отно ш е ни я а/Ь назывались "двойным", "тройным" и т.д. отноше нием. Возможно, п о аналогии д л я Дж.Непера словосочетание apifljiurt; оз начали "число (кратность) отношения", т.е. "логарифм" у Дж.Непера - вспомогательное ч и с л од л я измерения отношения д вух чи с е л . О т к ры т и е логарифма б ы л ос в я з а н о сусовершенствованием астроно м ических наблюденийи усложнением астрономических расчётов. Настоя т е л ь н а я потребность вумножении, делении, возведении в с т е п е н ь и и з в лечении к о р н я сиспользованием многозначных чисел явилась причи н о йпоиска методов замены э т и х трудоёмких действий простыми - сло жением и вычитанием. Авторы первых таблиц логарифмов исходили и з зависимостимежду свойствами геометрической прогрессии и составлен н о й и з показателей степ е ни е ё член о в арифметической прогрессии. Ч а с ти ч н оэ т и зависимости б ы л и подмечены в 3 в. д о Р.Х. е щ ё Архиме дом ('ApXtjLin&fll; о к . 287-212 д о Р.Х. ). Первые таблицы логарифмов с основаниями, близкими к единице, б ы л и составлены почти од н овременно швейцарцем Й.Бюрги (ок. 1590 г., а=1,00001) и шотландцем Дж.Непером (а=1-0, 0000001). Й.Бюрги (Burgi Jobst: 1552-1632) опубликовал "Таб л и ц ыарифметической и геометрической прогрессий) в 1620 г.; р а н ьш е (в 1614 г.) выш л и вс в е т таблицы Дж.Непера. - 117 О с н о вн ы е свойства логарифмов: (1) логарифм произведения рав ен с у м м е логарифмов сомножителей: log(xy)=log(x)+log(y); (2) логарифм ч а с т н о г о равен разности логарифмов делимого и делителя: log(x/y)=log(x)-log(y); (3) логарифм степени равен произведению по к а з а т е л яс тепени на логарифм е ё основания: logxy=ylog(x); (4) лога р и ф мк о р н я равен частному о тделения логарифма подкоренного чис л а н апо казатель корня: logyj/£=(logx)/y (здесь и вы ше подразумевается о д и н а к о в о е основание а). (5) с к ор о ст ь изменения логарифмической ф ун к ц и ио б р а т н о пропорциональна аргументу, т.е. (1пх)'=1/х. Некоторые част ны ес л учаи общихформул: logax=logbx-logab; logax=logbx/logba; logab=l/logba. (1.91) Когда основание афиксировано, говорят о б определённой с ис т е м е логарифмов. Наиболее употребительными с т ал и десятичные логарифмы (а=10). Идея составления десятичных логарифмов принадлежит Дж.НеперуианглийскомуматематикуГенри Бригсу (Briggs Henry; 1561-1630). О н ис о в м е с т н о начали работуп о пересчёту таблиц Непера нан о в ое о с н ов а н ие 10. После с м е рт и Дж.Непера в 1617 г . Г.Бригс продолжил э т у рабо т у и в 1617 г. оубликовал 8-значные таблицы д л я чисел п е рвой тысячи, ав 1624 г . 14-значные о т1 д о 20 О О Оио т 90 О О Од о 100000 (поэтому десятичные логарифмы е щ ёназывают бригсовыми). П ри деся т ич н о й си с т е м е счисления логарифмы соснованием 10 имели определён ны е преимущества, с у т ь которыхв следующем. Для рациональных чисел, о т л ич н ы хо т 10к сцелым к, десятичные логарифмы - трансцендентные числа, кото р ы е приближённо выражают вдесятичных дробях. Цел ую ч а с т ь числаназывают характеристикой, дробную - мантиссой. Так к а к lg(10k *x)=?c+lgx, т о десятичные логарифмычисел, отличающихся множи т е л е м 10к, имеют о д инаковые мантиссыиразные характеристики. Э т о с в о й с т в о и лежит в о с но в е таблиц логарифмов, которые с одержат л и ш ь мантиссылогарифмов целых чисел. Е с ли д л я практическихрасчётов наиболее удобны десятичные ло гарифмы, т о втеоретическихисследованиях исключительно в а ж н о дру г о е основание, а именно иррациональное трансцендентное ч и с л о е=2,718281828459045... Э т о т поразительный на первый взглядф а к т п ол н о ст ь ю объясняется ввысшей математике и подтверждается уравне ния м и химической кинетики, термодинамики и процессов переноса им пульса, э нергии (теплоты) имассы (экспонента описывает многие ди на м ические процессы). Так вот, ч и с л о ее с т ь предел, ккоторому - 118 с т р е м и т с я выражение (1+1/п)пп р и п-*». Логарифмы, в которых основа н и ем я в ля ется ч и с л о е, называются натуральными логарифмами, б ы т ь м о ж е т потому, ч т о экспонента описы в ае т множество процессв вприро де. Переход о тнатуральных логарифмов кдесятичным логарифмами об р а т н о осуществляется п о формулам: lgx=lnx/lnlO=lnx•0, 43429; (1.92) lnx=lgx/lge=lgx-2, 30258. (1-93) Т е рм и н "натуральный догарифм" принадлежит П.Менголи (1625 7.06.1686) (1659) иН.Меркатору (ок. 1620-1687) (1668), "характе ристика" - Г.Бригсу (1561-26.01.1630) (1624), "мантисса" и "основа ние" логарифма в нашем с м ы с л е - Л.Эйлеру (Leonhard Euler; 1707-1783), (1748), понятие омодуле перехода ввёл Н.Меркатор. С о в р е м ен н о е определение логарифма б ы л од а н о в 1742 г. У.Гардинером (Gardiner William; 18 в.). См. та к ж е П о к а з а т е л ь н а я Э к с п о н е н ц и а л ь н а я ф у н к ц и я , Л о г а р и ф м и ч е с к и н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е , М е р а , ф у н к ц и я . Логарифмирование - действие, заключающееся внахождении лога р иф мачислового, алгебраического и л и иног о выражения. Логарифмиро в а н и е- о д н ои з двух действий, о братных возведению в степень: е с л и у=хп, т ох=п [/{Г, n=logxy. Логарифмически нормальное распределение, логнормальное распре д ел е н и е - закон распределения случайной величины п ое ё логарифмам. Например, распределение частиц дисперсной фазы п о логарифмам разме р о в частиц. Логнормальный з а к о н получается и з нормального зак о н а (2.20) вр езультате замены аргумента х на логарифм диаметра частиц: р(Х) 1 (1.94) г д еХ=1пй, р(Х) - плотность вероятностей случайной величиныX, М* математическое о ж идание случ ай н о й величиныX=lnd, бг\ - генеральная д и с п е р с и я (вместо диаметра (радиуса) может б ы т ь любой определяющий р а з м е р частиц, например, д л я твёрдых частиц неправильной формы (1.219)). Кривая т а ко г о распределения подобна форме кривой нормаль н о г оз а к о н а какна рис. 2.25. Известно, ч т о многие геологические характеристики н е подчиня ю т с яз а к о н унормального распределения. Концентрация с ел ена врасти тел ь но мвеществе, концентрация йода впробах грунтовых вод, распре д е л е н и я частиц п о размерам в осадочных породах, длина русел п е р в о г о - 119 п ор я д к а вречных бассейнах зада н н ог о порядка» коэффициент проницае м о с т и осадочных пород, с о держание редких элементов в породах, длина м ор с к и хк о с некоторых участков берега, площади, занимаемые реч н ы ми з о ло т он о с ны м и отложениями, - э т и идругие геологические характерис т и к и подчиняются закону логнормального распределения [25, 39]. С т е п е н ь минерализации породы может убывать п о экспоненциально м уз а к о н у взависимости о трасстояния д о источника минерализации. Т а к а я ж е экспоненциальная завис им о ст ь существует между ра з м ер а ми п е р еносимых частиц осадка и скоростью потока. Экспоненциальная з а в и с и м о ст ь характерна для за к о н о в охлаждения тел, колебания маятни ка, колебательныхявлений врадиоконтуре, формулы Циолковского д л я с к о р о с т и ракеты, роста клеток идр. Е с л и распределение массы частиц п о размерам подчиняется лог нормальному закону, т о распределения частиц дисперсной фазы п о раз мерам, п о удельной поверхности частиц, п о скоростям витания частиц, п р и ламинарном режиме обтекания т а к ж е буд ут подчиняться логнормаль н о м уз а к о ну [251. Логнормальному распределению подчиняются м н о г и е геологи ч е ск и е структуры, например, объемы нефтяных зале же й [25], э в о л ю ц и о нн ы е процессы (например, изменения размеров коло н и й микро б о в и численности популяций з афиксированные интервалы в р ем е н ии другие). Н а рис. 1.14 представлена гистограмма распределения о б ъ ё м о в н ефт ян ы хполей, а на рис. 1.15 - гистограмма распределения концент р а ц и им е д и в осадочном русле наЮконе. Эти распределения д о с та т оч н о асимметричны. Асимметричное распределение типично для многих геоло г ич е с ки ххарактеристик [25]. Рис.1.14. Гистограмма распределения продуктивности нефтеносных полей открытых в Денверском бассейне в 1969 г. V - продуктивность поля, тыс. баррелей, П - число полей в каждом классе - 120 - сс ~ 3 3,0 3 = 4 0 ,6 п - 158 ^7 7 \т Й $ 1 7 А г 1 -т У /\? /\> ') в )v ) л__ I_____ i_____ a n 60 I_______ 80 100 120 140 160 180 200 2 20 240 х Рис.1.15. Гистограмма содержания меди в осадочных породах на площади Нансен в Юконе. X - содержание меди в породе, г/ т , fl - частота, % Е с л и распределения геологических характеристик, представленных нарис. 1.14 и 1.15, представить в логарифмической форме, т.е. в м е с т о переменной х формул (1.225), (2.20) использовать перем е нн у ю Х=1пх (или, как в данном примере, X=logx), т оэ т и распределения с т а н у т похожими на нормальные (рис. 1.16 и рис. 1.17) [25]. 1 ю юо юоо <оооо lg V Рис. 1.16. Гистограмма распределения продуктивности нефтеносных полей открытых в Денверском бассейне в 1969 г. Масштаб логарифмический; V - продуктивность поля, тыс. баррелей, П - число полей в каждом классе Логарифмически нормальный з а к о н формализует взаимодействие ме ханических сил, возникающих п р и измельчении твердых тел, ии хре зультат, силы физико-химического взаимодействия в процессах крис таллизации, конденсации, гидратации окислов, мицеллообразования, агрегации, растворения, осадкообразования и т.п., приводящие к об- 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 |g x Рис.1.17. Гистограмма содержания меди в осадочных породах на площади Нансен в Юконе. X - содержание меди в породе, г/ т , h - частота, %. Представлена в логарифмическом масштабе разова н июи распаду дисперсных систем. В середине XX в. Раз у мо в с ки й Н.К. отмечал, ч то на основании результатов многих исследований "вы ри с ов ы ва е т ся весьма важных факт - у частие логарифмически нормально г оз а к о н ав о всех тех случаях, г д е мы имеем дело с частицами ве щества, индивидуализирующимися впространстве тем и ли и н ы м спосо бо м , б у д ьт о механическое дробление ихимическое выпадение и л и сег р е г а ц и яо д н ог о соединения сре д и других, ем у подобных (как, напри мер, вгорных породах)". Проявления это г о закона невозможно объяснить б е зп р и вл е че н и я з а к о н о в термодинамики, физической хими и и специальных р азделов ма т е м а т и к и в случаях выпадения о са д к о ви з растворов (например, вре з у л ь т а т е химических реакций), впроцессахмассовой кристаллизации (например, образование и рост кристаллов сахара в "маточном раство ре" ит.п.), конденсации и кристаллизации веществ в п ар огазовых с м ес я х, образования мицелл вколлоидных растворах имногих дру г и х процессах. Достаточно просто пр оявление закона логнормального расп р ед е л е н и яд л я размеров частиц, наблюдаемых в естественных осад к а хи враздробленном (измельчённом, раскрошенном, растолчённом) тв ё р д о м веществе, объясняет так называемая "теория дробления". Е с л и взять некоторое множество частиц одинакового р азмера и к а ж д у ю частицу расколоть надвое случайным образом, т о во б щ е м слу ч а ео д и ни з обломков каждой исходной частицы б у д ет больше, д р у г о й меньше. Если затем каждый и зэ т и х обломков снова расколоть на д в о е с л у ч а й н ы м образом, т ои з малых к ус к о в получатся е щ ё меньшие, вт о в р е м я к а к каждый большой обломок даст снова больший и м еньший кус ки. Е с л иэ тот процесс повторять многократно, т о врезультате полу ч и т с яо ч е н ь большое числ оо ч е н ь малых частиц и немного частиц, раз мерыкоторых близки кисходным. Таки м путём и формируются логнор - 122 м а л ьн ы е распределения некоторых ос а д к о в вприроде и продуктов пере ма л ыв а ни я (дробления, измельчения, крошения, раскалывания, истолчен и я ит.п.). Ср е д н е ез начение и дисперсия логарифмически преобразованной пе р ем е нн о й X вычисляется, к а к обычно, п о формулам (1 .122) и (1-124): X = х = (1 95) П 1 П S = --- I (Х,-\Г. х П- 1 г =1 2 (1.96) Представляет интерес т о т факт, ч т о среднее арифметическое (1.95) соответствует среднему геометрическому (1.219) исходной пе р е м ен н о й х: X = к ПХ! , (1.97) адисп е рс и я логарифмически преобразованной переменной (1.96) назы в а е т с я геометрической дисперсией и эквивалентна: (1.98) Xg ср О д н и ми з возможных объяснений появления логнормальных распре де л е н и й может б ы т ь возникновение условий, когда совокупное в ли я н ие множества случайных факторов, т а ки л и ина ч е влияющих н ар а з в ит и е процесса, н е аддитивно, как в с л у ч а е нормального распределения, а мультипликативно. Большинство случайных возмущений, как б ыперемно женные, д а ю тз н а че н и е совокупного влияния, близ к ое к геометрическо м у среднему. Вредких случаяхможе т возникать случайное с оч е т а н и е о ч е н ь малых возмущений, иих произведение б у д е тб л и з к о кнулю. Т а к ж ер е д к о может возникать случа й но е сочетание оче нь больших возмуще ний, ии х произведение б у д е т достигать экстремально больших значе ний. Результатом подобного развития с обытий б у д у т распределения, аналоги ч н ые гистограммам, рис. 1.16 и 1.17 [25]. Во б щ е м случае, с л у ч а й на я величина X б у д е т подчиняться з а к о н у логнормального распределения: 1 { р(х) --------- е х р /2%62 (1шс-а)2^ 2б: (1.99) - 123 г д е a=ElnX - математическое о жи д ан и е натурального логарифма случай н о й величины X, 62=DlnX - математическое ожидание дисперсии нату р а л ь н о г о логарифма случайной величины X. Логнормальное распределе н и е являе т с я унимодальным распределением и имеет положительную асимметрию. Шоменты случайной величины X подчиняющейся зак о ну лог нормаль н о го распределения спараметрами аи б2 выражаются форму л ой [47]: Emr ехр(0а+р2б2/2 ), (1 .100) о т к у д аматематическое о ж и да н ие и дисперсия случайной величиныX с о о т в е т с тв е н но равны: ЕХ=ехр(а+б2/2), (1.101) DX=exp(2a+62 )•(ехр(б2 )-1). (1.102) См. также Воспроизводимость, Детерминизм, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Связь, Следствие, Сущность, Экспоненциальная функция, Явление. Локализация (< лат. localis - местный) - ограничение распрост р а не н ия и л и развития какого-либо процесса и ли явления какими-либо пределами. См. т а к ж е Локальный. Локальный (< лат. localis - местный) - свойственный д анному месту, н е выходящий з а определённые пределы, местный. м Максвелла распределение - непрерывное распределение вероятнос тей сплотностью вероятностей: 2 -х2/2б2 е , х>0, (1.103) , х<0, г д е б- параметр, б>0. Функция распределения Максвелла имеет вид: 2Ф(х/б) - 2 х2 -х2/2б2 ----- — ■ е - 1, х>0, ж б3 0 (1.104) , х<0, г д е Ф(х) - функция стандартизованного нормального распределения. Распред е л ен и е Максвелла имеет конечные моменты л ю бо г о порядка ипо- - 124 л ож ительный асимметриикоэффициент, о н о унимодально - е д и нс т в ен н ая м о д о . п р их=б[/Г. Математическое отдание и дисперсия равны, соот в етственно: ЕХ=2бх/ 2/Я ; (1.105) ЗЯ-8 (1.106) DX= ----------- б2 . Ж х Распределение Максвелла может б ы т ь получено как распределение д л и н ы случайного вектора, координаты которого втрёхмерной декартов о й си с т е м е координат независимыинормально распределены спара метрами 0 и б2. Распределение Максвелла известно как распределение с к о р о с т е й частиц макроскопической физической системы, находящейся в статистическомравновесии, пр и условии, ч т о движение частиц (моле кул) подчиняется законам классической механики (например, идеальный газ). В первые установлено Дж.Максвеллом в 1859 г . (Maxwell James Clerk; 1831-1879) при решении з а д а ч и ораспределении с к оростей мо л е к у лидеального газа. по скоростям при различных температурах: Т 1 < Г 2 < Т 3 (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) Со г л а с н о распределению Максвелла вероятное число моле к у л в е д и н и ц е объёма f(w), проекции в екторов скоростей которых л е ж а тв ин т ер в ал а хо т wx д о wx+dwx, о тwy д о wy+dwy и о тwz д о wz+dwz, опи с ы в а ю т с я функцией распределения Максвелла: f(w) = п т 2ЖкТ 3/2 ■е х р m(w2x +w2y+w2z кТ (1.107) - 125 г д ет - масса молекулы, п - ч и с л о молекул в единице объёма, к п остоянная Больцмана. Распределение числа молекул, абсолютные зна ч е н и я скорос т е й которых находятся винтервале о тw д о w+dw, и м е ет вид: т \ п№ е х р (1.108) dn=F (w) dw=4tfn 2ЖкТ 2К Т Распределение достигает максимума п р и скорости wB= / 2kT/m, на з ы в а е м о й наиболее вероятной скоростью. Дл я молекул водорода п р и т е м п ер а ту р е 273,15 КwB=1506 м/с. П р и возрастании температуры мак с и м у м распределения Максвелла (т.е. скорость д о в) с м ещается к б о л е е высо к и м температурам. Распределение Максвелла справедливо т а к ж ед л я идеаль н ых жидкостей, д л я броуновских частиц, взвешенных вж и д кости и л и газе, и д л я стрельбы п о сферической цели. Максимум (< лат. maximum - чрезвычайно сильно, и з ов с е х сил) наибольшая, наивысшая величина, предельное количество чего-либо (противоположное - минимум). Максимум функции - наибольшее з начение функции, п р инимающей действительные значения. Точку об л а с т и определения рассматриваемой функции, вкоторой о н а принимает максимум, называют точкоймаксиму ма. Условием максимума функции является равенство нулю пер в ой про изводнойи отрицательное з н а ч е н и е второй производной: dy dx = о ; ’ d2y ------ < dx2 о. (1. Ю 9 ) Е с л и некоторая точка я вляется точкой абсолютного (локального) максимума функции, с т р ог о го и л и нестрогого, т о значение функ ц и ив э т о йт о ч ке называют абсолютным (локальным), соответственно, с тр о ги м и л и нестрогим максимумом. Максимум функции называют так ж ее ё экс тремумом. Марковский процесс см. Случайный процесс б е з последействия. Массовые случайные явления - явления многократного повтор е н ия с о б ыт и йп р и осуществлении о ди наковой совокупности условий. В слу чайныхявлениях мышления, физиологии, общества, природы, т е хн и ки и ы т ь выявлены, фор техно ло г и и закономерности проявляются (и могут б мализованы) статистическимиметодами т о л ь к о в случаях многократного по в то р ен и я собы т ия п р и осуществлении одинаковой совокупности усло вий. Массовые случайные явле н и я вс в оё м совокупном проявлении соз д а ю тматематически с трогие закономерности, выявив которые, м о ж н о - 126 д е л ат ь д а л е ко идущие выводы. Н оэ т и прогнозы основаны н а за к он а х статистки математической и, соответственно, имеют т уи л ии н у ю ве роят н о ст ь реализации (вплоть д о неосуществимости), направление т о г о и л ии н о г о течения. В а ж н о отметить, ч т ок а ж до ес о б ы т и е вмомент с в ое г о осуществле н и яу н и к а ль н о и обусловлено з а к он а м и природы. С т а в единичным а к т о м реальности, событ и е таковым и остается, е с л и подобная совок у пн о с ть у сл о в и йб о л ь ш ен е формируется. Е с ли ж е подобная совокупность усло в и й осуществляется многократно, т о рассматриваемое нами с о б ы т и е со о т в е тс т ве н н о повторяется и стано в и тс я членом (элементом) масс ов о г о сл у ч а й н о г о явления. С о бы т и е тер яе тс в о ю индивидуальность и вм а с с е приобретает новое качество, друг и м и словами, количество переходит в н о в о е качество. События, случайные п о существу с в о е г о проявления, н е обладаю щ и е к а к и м б ы т о н иб ы л о постоянством частоты в ов ремени и/или в пространстве, разрозненные п ос в о е й природе, н е могут с лу ж и т ь осно в о й каких б ыт он иб ы л о статистических закономерностей и прогнозов. Т а к и ес об ы т и я являются частностями д л я наблюдателя. Сдругой сторо ны, э т и единичные и уникальные с об ы т и я обусловлены за к он а м и приро ды, з д е с ь законы природы о пределяют в с ё или почти всё. У с пе ш н ым и мог у тб ы т ь построения математических моделей, описывающих физичес к у юс у щ н о с т ь процесса, явления. Э т оо бл а с т ь естественных наук. Нап ример, относительно редкие болезни, извержения вулканов, землетря сения, цунами, долгосрочные прогнозы погоды (больше двух недель), изме н е ни я климата и т.д. Практическая невозможность прогнозирования землетрясений (цу нами) обусловлена тем, ч т оо н и я вляются результатами глобал ь н ой т е к т он и ки п л ит и циркуляции магмы внедрах Земли. Закономерности о б о и х пр о це с с ов пока неизвестны, причинно-следственные с в я з и вяв но мв и д ен е присутствуют. Д остаточно ч а с т об ыв а ет так, ч т о сразвитием науки пр и перехо д е к совокупностям б о л е е высо ко г о уровня, б ольшей сложности и орга низованности частности ст а н ов я тс я частотами и появляется возмож н о с т ь формализации явления статистическими методами. См. та к ж е я т н ы й , С л у ч а й н а я в е л и ч и н а , В о с п р о и з в о д и м о с т ь , ч а й н а я в е л и ч и н а , С л у ч а й н о е н о с т ь , С т а т и с т и к а В е р о я т н о с т ь , М н о ж е с т в о , с о б ы т и е , м а т е м а т и ч е с к а я . В е р о я т н о с т ь П р и ч и н а , С О Б Ы Т И Е , м а т е м а т и ч е с к а я , П р и ч и н н о с т ь , С о б ы т и е , С в я з ь , В е р о С л е д с т в и е , С О В О К У П Л Я Т Ь , С л у С о в о к у п - 127 "Математика - единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос." ( А л ь б е р т Э й н ш т е й н : 1879-1955). Математика (грен, [х а д г щ а- знание, познание, наука; jLiaflT\6il; учение, изучение, познание < juxvflavu) - учиться, узнавать, замечать, п о н им а т ь (первоначально: "учусь ч е р е з размышление")) - наука око личественных соотношениях и пространственных формах как ок р у ж а ю щ е г о н а с четырёхмерного пространства-времени, та к и пространств б о л е е в ы с о к о г о порядка. Современная математика состоит и з множества раз делов: арифметики, алгебры, геометрии, математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений), теории множеств, вероятностейтеории, математической статистики имногих других. Д л я математики характерна высокая степень: (1 ) абстрактности е ё понятий (точки б е з размеров, линии б е з толщины, множества любых о б ъ е к т о ви т.п.); (2 ) общности понятий (например, валгебре б у к в а мож ет обоз н а ч а т ь вс я к о е число, вте о рии оши б ок случайная - люб ая ошибка: из мерения, взвешивания, химического анализа и т.д.). Люб а я нау ка в п роцессе с в о е г о развития о тизучения качественных с т о р о н явления пе реходит кизучению количественных соотношений и привлекает мате м ат ические методы д л я решения с в о и х конкретных проблем. См. также М е р а , Ч И С Л О . Математическая модель - математическое описание т р ебуемых с в о й с т в реального объекта (оригинала), включающее в с е б я интеграль н ы е (алгебраические), дифференциальные уравнения, системы уравне ний, статистические зависимости, функции распределения вероятностей входныхивозмущающих переменных, функции распределения вероятнос т е й переменных, характеризующих исследуемые свойства объекта. См. также т и ч е с к а я Связь, Д е т е р м и н и з м , м о д е л ь , С л е д с т в и е , М о д е л ь , Д е т е р м и н и р о в а н н о - с т о х а с т и ч е с к а я П О Н И М А Т Ь , С т а т и с т и ч е с к а я П о н я т и е , м о д е л ь , П р и ч и н а , м о д е л ь , П р и ч и н н о с т ь С т о х а с т и ч е с к а я м о д е л ь , Д е т е р м и н и с , П Р И Ч И Н Я Т Ь , С у щ н о с т ь , Я в л е ние. Математическая статистика см. Статистика математическая. "Если вопрос задан правильно, ответ будет неожиданным." ( А в е с с а л о м П о д в о д н ы й ; р. 1953). Математическое ожидание - мера центральной тенденции враспре де л е н и и случайной величины в ов р е ме н и и/или в пространстве. Матема т и ч е с к о е ожидание определяет положение центра, вокруг к о т о р о г о гру п пи р у ют с яв с е возможные з н ач е ни я случайной величины. - 128 Математическое о жи д а ни е EX ди с к р е т н о распределённой с л уч а й но й величины определяется выражением (1.197), д л я случайных величин X с а б с о л ю тн о непрерывным распределением вероятностей выражением (1.198), д л я непрерывной случа й но й величины - формулой (1.116). В п р а к т и к е наблюденийи экспериментальных исследований математическое о ж и д а н и е понятие достаточно абстрактное - д л я физических в е л и чи н о пр е деляемых врезультате наблюдений и экспериментов математическое о ж и д а н и ео п ределить невозможно, е г о мож но т о л ь ко оценить. А б с о л ю т н о т о ч н о математическое о ж и д а н и е м о ж но указать т о л ьк о внекоторых а зартныхиграх. Например, математическое о жидание результата броса н и я двухигральныхкостей р а в н о 7 (точно!), в гипотетической и г р ес ч е т ы р ь м я костями - 14 (точно!), ав сл у ч а е трёх игральных кос те й е с т ьд в анаиболее вероятных результата - 10 и 1 1 , н о такназываемый з д р а в ы йс м ы с лн е хочет мириться сутверждением, ч т о Мх=10,5, т.к. резуль т ат игры - натуральные числа. Оценкамиматематического ожида н и ям о г у тб ы т ь мода, медиана, арифметическое (или другое) ср е д н е ев з ав и с им о ст ио т сущности з а д а ч и иконцепции. См. та к ж е чи ны , С р е д н е е , Э м п и р и ч е с к о е с р е д н е е з н а ч е н и е , р а с п р е д е л е н и е Р а с п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т е й с л у ч а й н о й в е л и . П о д ро бно см. раздел 2 .5 . Медиана (<лаm. medianum - с р е д н я я часть, середина; medianus находя щ ий с я посреди, средний, центральный), в вероятностейтеориии с т а т ис т ик е математической, - о д наи з числовых характеристик распре д е л е н и я вероятностей случайной величины. Дл я непрерывно распреде л ён н о й случ ай н ой величиныX с т р о г о монотонной функциираспределения Fix) медиана т определяется к а к единственный корень уравнения Fix) = 1 /2 (или ка кквантиль К1/2), т.е. условием, ч т о случайная величи н аX принимает свероятностью 1 / 2 к а к значения, бол ьш и е ж0>5, т а ки значения, меньшие х0 _5. Выборочная медиана определяется выражением: з с (т), при п=2т+1 , [ Х(ш- 1 )+ Х(т)]/2 , п р и п=2т, (1 .11 0) г д е х(т) - элементы вариационного ряда, соответствующего результа тамнаблюдений xlf хг,..., з с п. В о б щ е мс л уч а е медиана опреде л яе т ся неоднозначно, н од л я любо й случай н ой величины существует, п о край ней мере, о д на медиана; в симметричном с л у ч ае медиана (если о н а единственна) совпадает сматематическим ожиданием, е с л ио н о сущест вует. В условиях асимметричных кривых распределения медиана распо л ож е н а между арифметическим средним значениемимодой (рис. 1.33 и 2.12). См. т а к ж е С. 71, 102, 153, 220, 269. - 129 ’ ’ МЕРАж. способъ определенья количества п о принятой единице; меравообще прилагается кЪ протяженью И КЪ пространству, а отвлечённо, вооб ще п ред е л ъино пора, срокъ. Погонная, линейная мера служить д л я означ е н ь я разстоян1йили величинылингй; квадратная - плоскостей; куби ческая - телъ, толщи. Мера с ыпучихъ и жидкихъ телъ о пр е деляется е д и н и ц е ю емкости. Мера имеркахлебная четверикъ, маленка, пудовка, ПО ОСЬМИ н а четверть; местами (влз9. ) мерою называютъ ОСЬМ ИННИКЪ, и даже (кстр.буйс.) т р и четверика. (...) || Пределъ, граница. (...) Мероч ка, умал. более употрб. какъ меньшая мера пит1й: стаканчикъ, чарка. (...) Меркаумал. все, ч т о служит д л я определенья величины, особенно в ъработахъ; тесьма ил и бумажная лента, к о е юп ортные и сапожники снимают мерку; тесьма, бичевка ил и прутъ, с отметкою на немъ размеровъ в е щ и ипр. (...) Мерочный, к ъ мер к е (аршину, ведру и п р.) относяиЦйся. Ме р и т ь или мерять что, меривошь {мерить и меряю), измерять, о п р е де л ят ь п о известной мере ил и мер ке величину или качество. (...)" (В.М. Даль; 1801-1872), [82]. См. также И з м е р е н и е , Л и н е й н ы й , М е р а , М е р а м н о ж е с т в а , К а ч е с т в о , К о л и ч е с т в о , О т н о ш е н и е . "Может ли мерить вещи тот, у которого нет мерки даже для самого себя?” ( П л и н и й С т а р ш и й ( Г э й П л и н и й С е к у н д ) - , 23/24-79 гг.). Мера - философская категория, выражающая ед и н ст в о качественных иколичественных характеристик предмета, явления. Мера о т р ажает не обходимую, закономерную с в я з ь количественной и качественной с т о ро н ы объектов, явлений и п роцессов окружа ющ е го мира. К аждый предмет и ли явление имею т качественные характеристики (форма, состояние (например, фазовое), цвет, блеск, вкус, чистота в с а м о м широком смы сл еэ т о г ос л о в аи т.п.) и количественные (масса, вес, состав, скорость, интенсивность, д о л я и т. д.). Количественные характеристики могут меняться врезультате развития предмета, явле н и я и л и воздействия н а пред м е т других явлений ил и предметов. М ера п оказывает границу, з а которой изменение количества влечёт з ас о б о й изме не н ие качества предмета, и ли границу, з а которой изменение ка ч е с тв а вед ёт к изменению количества. Мера играет б о л ь ш у юр о л ьв п оз н а ни и и внауке, вчастности. Невозможно познать процесс, опи с а т ь е г о математической моделью б е з изучения количественных ика чественных характеристик, н е исследовав их взаимосвязи и взаимоот ношения. См. также И з м е р е н и е , К о л и ч е с т в о , М Е Р А , М е р а м н о ж е с т в а , М е р а о б щ а я , О т н о ш е н и е . - 130 Мерамножества - обобщение понятия длины отрезка, п л о щ а д и п ло с к о й фигуры и объёма т е л ана множества б о л е ео б щ е й природы. См. также М Е Р А , М е р а , М е р а общая. Мераобщая двух или нескольких однородных величин - величина т о г ож е рода, с о де р жа щ а яс я цел о е число р аз в о всех заданных величинах. Д в е вели чины, н е имеющие о б щ е й меры, на з ываются несоизмеримыми. См. также М Е Р А , М е р а , М е р а м н о ж е с т в а , В е л и ч и н ы с о и з м е р и м ы е и н е с о и з м е р и м ы е . Мета... (греч. дета (одного к о р н я срусским между) - 1. Между, с реди. 2. После, з а (означает с ледование в о времени, пространстве). 3. В сложных словах означает: 3.1) соучастие, общение; 3.2) проме жут о к впространстве и времени; 3.3) следование з а чем-либо; 3.4) пер е хо ди зо д н о г о места и л и состо ян и я вдругое, как русское [пе ре-] . 4. П е р ва я составная ч а с т ь сложных слов: 4.1) хим. сок р а щё н но е обозна ч ен и е положения двух заместителей в бензольном к о л ь це - между о р т о ипара, а точнее - 1,3; 4.2) хим. тривиальное название к ис лот ср а зличной степенью гидратации, например, НР03 - метафосфорная к-та, Н3Р04 - ортофосфорная к-та; 4.3) обозначает следо в а ни ез а чем-либо, переход кчему-либо другому, перемену состояния, превра щение, например, метаболиты, метагенез, метафаза, метастабильное состояние; 4.4) логическая система, с лужащая д л я исследования и л и о п и с а н и я других систем, например, металогика, метаматематика, мета теория, метафизика, метаязык. Метод (греч. деОобо^ - н ауч н ое исследование, с по с об исследова ния, метод) - подход к явлениям природы и общества, с п о с об позна ния; путь теоретического или практического исследования явлений природыи общества; приём, последовательность действий. Минимум (< лат. minimum - наименьшее количество, к р ай н е мало; minimus - наименьший, со ве р ш ен н о ничтожный) - наименьшая величина, н аи меньшее количество чего-либо (противоположное - максимум). Минимумфункции (< лат. minimum - наименьшее количество, край н е мало; minimus - наименьший, с о вершенно ничтожный) - наименьшее з н а ч е н и е функции, принимающей действительные значения. Точку облас т и определения рассматриваемой функции, в которой он а принимает ми нима л ь но е значение, называют т о ч к о й минимума. Условием минимума фун к ци и является равенство нулю первой производной и положительное з н а ч е н и е второй производной: dy ---- = 0; dx d2y ---- > 0. dx2 (l. ill) - 131 Е с ли некоторая точ к ая вляется точ ко й абсолютного (локального) минимума функции, строгого ил и нестрогого, т оз начение ф ункции в э т о йт о ч к е называют абсолютным (локальным), соответственно, ст р о г и м и л и нестрогим минимумом. Минимум функции называют т а к же е ё экстре мумом. "МН0Г1Й, велшай числомъ, в ъ бо льшомъ количестве; избыточный, И ЗО бИ Л ЬНЫ Й ; чаще употребл. во мн. числе: М Н О г ъ е , или как нареч1е: /И Н 030, ОбИЛЬНО , юж. запд. богато, кал. жуть, сев. дородно; в высш. степ, пропасть, бездна, вволю. (...) Множествоср. б ол ь ш о е число, великое количество, много, в ъизбытке, обильно; страсть, тьма, пропасть, бездна, б е з ь числа. (...) Множить что умножать; увеличивать, усиливать; помножать, уве л ич и в ат ь кратно, внесколько разъ. (...) “ (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. т а к ж е Количество, Множество. "М н о ж е ств о - э т о соед и нени е по с х о д с тв у , со зд а ю щ е е с у щ н о с т ь из ж изней, но не жизнь из с у щ н о с т е й .” ( В и к т о р К р о т о в ; р. 1 9 4 6 ). Множество - совокупность каких-либо однородных э л е м е н то в и л и элементов, обладающих о б щ и м характеризующим свойством (например, результаты экспериментов, наблюдений, событий, бук в ы алфавита, б и б л иот ек а книг, фонотека, музыкальный ансамбль, собрание, колле к ци яи т.п.). Множество - с а м о е широкое п о объёмупонятие математики има т ем а тической логики. Множество м о ж н оз а д а т ь двояко: е с л и мн о ж ес т во конечно, е г о можно перечислить (в нашем с л уч а еэ т оз н а ч е н ия факто р о в х1г хг,..., хк и л и экспериментальные з начения функции у1, у2,..., ут), аможно д а т ьп равило д л я определения того, принадлежит л и рассматриваемый объект тому и л и иному множеству. Первое называ е т с я перечислениеммножества, вто ро е - описанием множества. И н т е р е с п редставляют так ж е результаты расчётов п о математическоймодели, к о т о р ы ет а к ж е являются множеством. Вп рактике экспериментальных исследований и в с татистике мате матической совокупность результатов измерений какой-либо физической величины, подверженной случайным ошибкам, такж е можно называть мно жеством. Д л я решения практических з а д а ч потенциально б ес к о не ч но е м н о ж е с тв о значений физической величины интереса н е представляет; п рактический интерес представляют т еил ии н ы е характеристики про ц ес са и л и явления. В э т о мс л у ч а е конкретные результаты и з мерений (выборка) являются подмножеством бесконечной совокупности, п о кото р ы м опред е ля ю т ся необходимые параметры. - 132 Множество точек плоскости с прямоугольными координатами (х, у), г д ех£Х, называется графикомфункции y=f{x). Пон я ти е множества ввёл вматематику Г.Кантор (Cantor Georg; 1845-1918) в 80-х годах 19 в. ("Множество е с т ь многое, мыслимое на м ик а к единое” ). В своей теории м ножеств Г.Кантор опирался н а поня т и е актуальной, т.е. завершённой бесконечности. Канторовская т е о р и я мн о же с тв а исследовала общ ие свойствамножеств, н е зависящие о т при род ы входящих в множество элементов. См. та к ж е И н ф о р м а ц и я , М е р а , М Н О Г 1 Й . Мода (<лот. modus - мера, величина, размеры, положение) - о д н а и з числовых характеристик распределения вероятностей случайной ве личины. Д л я случайной величины, имеющей плотность вероятностир(х), мод о йназывается любая точкамаксимума р(х) (рис.1.33, 2.12, 2.25). М о да определяется и дл я распределений, н е имеющих плотности. Расп р е д е л е н и я с одной, двумя и л и больш и м числом максимумов назыв а ет с я соответ с т ве н но унимодальными (или одновершинными), б и м о да л ь ны м и (рис.1.19, рис.1.35) или мультимодальными. h 15 20 25 30 35 I mk Рис.1.19. Распределение трипанозом в мухе цеце в соответствии с длиной в микронах Д л я многовершинных распределений понятие моды теряет смысл. В вероятностейтеории и статистике математической наиболее в а ж н ы м и распределениями являются унимодальные распределения. Д л я унимодаль н о г о и симметричного относительно некоторой точки а распределения м о д ар ав н а аи совпадает смедианойиматематическим ожиданием, е с л ип ос л ед н е е существует. Мода встатистике - то, ч т о во б ыч н о й жиз н ис ч и т а е т с я массовым, типичным. Примером моды является цена, п о к о т о р о й данный товар чаще в с е г о реализуется на рынке. В о т л и ч и ео т - 133 с р е д н е г о арифметического вероятная ошибка определения модыподдаёт с яо ц е н к е вредких случаях. См. та к ж е К о н ц е п ц и я , С р е д н е е , с р е д н е е з н а ч е н и е и с .2 1 3 , 2 6 9 , 2 9 1 . М о д е л ь (франц. modele, итал. modello, <лат. modulus - мера, образец, норма) - отражение реаль н ог о объекта в сознании человека, на б у м а г еи впространстве. Модель влогике и методологии науки а н а л о г (схема, структура, з н а ко в ая система) определённого фрагмента п р и р о дн о йи ли социальной реальности, порождения человеческой куль т у р ы - оригиналамодели. Э т о т аналог с лу ж и тд л я хранения ирасшире н и яз н а н и я (информации) о б оригинале, конструирования оригинала, преобразования и управления им. Различают модели физические, мате матические (знаковые, символьные) имысленные. Физическая модель - устройство, установка, система маши ни л и а п п а ра т ов ит.д. Первые и последние физические модели вжизни чело в е к а - игрушки. Человекиграет всюжиз н ь- ’ ’ Ребёнок играет куклой, к о шк а - мышью, авсяк - л юбимою мечтою”. Математическая моде л ь- о пи с ан и е компонентов ифункций, отоб р а ж аю щ е е существенные свойства какого-либо объекта, процесса и л и явления. Мы сленная модель - образ, создаваемый человеком в с в о ё мр а зу м е ии зучаемый е г ож е мысленным взором. Мысленные модели, п о существу, - м о д ел и детерминированно-стохастические. См . та к ж е н я т и е , Д е т е р м и н и з м , П р и ч и н а , С т о х а с т и ч е с к а я Д е т е р м и н и с т и ч е с к а я П р и ч и н н о с т ь , м о д е л ь . П Р М И Н Я Т Ь , С у щ н о с т ь , Ф о р м а , Связь, м о д е л ь , М е р а , С л е д с т в и е , Н о р м а , П О Н И М А Т Ь , С т а т и с т и ч е с к а я П о м о д е л ь , Я в л е н и е . Модель экспериментально-статистическая - у равнение регрессии вида: л К К ^ 2 ^ 3 У=Ъ0+ YbjXj +Îb1 >mx 1xm + + _2b-j -jjXj..., (1.112) m= 2 im 3 авс л у ч а е парной зависимости вид а y=f(oс): Л Уe ^ к z bjX , j=0 (1 .ИЗ) г д еу - аналитическая функция, т.е. функция, полученная врезульта т е анализа результатов экспериментов, xlt х2.... хк- независимые п е р е м ен н ы е или факторы, a ь0, bJf Ь 1 лп , bjj - коэффициенты уравне ния, к оторые достаточно л е г к ом о ж н о в ы ч и с л и ть методом наименьших - 134 квадратов. Штематические модели в и да (1.112), (1.113) находят при м ен е н и е впрактике научных исследований, п р и решении з а д а ч оптими з а ц и и и вавтоматизированных с и стемах управления технологическими процессами, втех случаях, ког д ан е важен у чёт сущности, структуры объекта, процесса, явления, а важ на то л ь к о формальная з ав и с и м о с т ь аналитической функции у о тф акторов х3: y=/(xt, х2.... хк). (1.114) Реал ь н ый объект п р и так ом подх о де рассматривается ка к "чёрный ящик", в котором е с т ь входыXj ивыходы у-,. Сточки з р е ни я адекват н ос тимодели и оригинала, че мэ т о т "чёрный ящик" б у д е т светлее, т е м лучше, ина ч е мож но н ео т л ич и т ьв х о до т выхода. В таком п о дх о д ее с т ь определ ё н но е удобство - можн о получить математическую мод е ль слож н о г ои л и неизученного процесса путё м одновременной фиксации экспе риментальных значений функции у, факторов xd и последующей обработ ки д а н н ы х численными методами. Парадоксально, н оф а к т - с л о ж н ы й о б ъ е к т достаточно просто оп и с а т ь статистической моделью. Практичес к а я ценно с ть экспериментально-статистических моделей з а ключается в о тносительной простоте получения уравнения регрессии и потенциаль н о й возможности о писания процесса люб о й сложности. О с но в ны е недос т а т к и - формальность о п и с а н и я (физический смыс л коэффициентов Ъ0, kj' blfJn, крайне ограниченный), невозможность экстраполяции и незначительный вклад вп ознание физической сущности процесса. Необ х о д и м о добавить, ч т об ы в а ю т случаи, когда д а ж е интерполяция невоз мож н а - уравнение адекватно т о л ь к о "в узлах таблицы". С а м ы йг ла в н ы й недостаток эмпирического метода - уравнение несёт минимум информа ц и и острукт у ре системы, осущности процессов, происходящих вней. Ст о ч к из р е ни я обобщения, р азвития теории и прогресса впри к лад ны х областях, детерминистические (структурные) модели - основа. С д р у г о й стороны, статистические методы необходимы п р и пе рвичном а на л и з е данных, п р ио б работке экспериментальных результатов, д л я в ы я в л ен и я значимых инезначимых факторов и т.д. Другими словами, мысл е н на я модель, структурная м од е л ь - цель, а статистические мето д ы - средство, инструмент исследователя. Э т о тж е момент м о ж н о фор м ал изовать п о другому. Экспериментально-статистический метод - спо соб, приём, техника, а построение структурной модели - п у т ь научно г о познания, творческий процесс, искусство, з д е сь е с т ьс т и л ь иссле дователя, "авторский почерк", подход. "Выше всех умозрительных зна - 135 н и й иискусств сто и т умение производить опыты, и э т а наука е с т ь ца р и ца наук" (Роджер Бэкон; 1214-1292). См. также Детерминизм, Детерминированно-стохастическая модель, Детерминис тическая модель, Математическая модель, Модель, Понятие, Причина, Причинность, Связь, Следствие, Случайный процесс, Стохастическая модель. М о д ул ь (< лат. modulus - мера) - 1. Модуль вектора - дли н а (норма) вектора. 2. Модуль действительного числа - т о же, ч т о абсо лютная величина. См. Абсолютный. "МОМЕНТЪм. мигъ, мгновение, минтъ; 11 пора, срокъ, короткое, с р о ч н о е время. Момент силы, въ механике: произведение силы на отвес. инерцги, косность, сила с опротивленья тела движению. Моментальный, минутный, миговой, мгновенный." (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. также Мигать. Момент «лат. momentum - движущая сила, толчок, побудительное начало, мгновение, момент; вес, важность, значение < movere - дви гать) - 1. (физ.) Момент силы, момент инерции, момент количества д в и же н и я (импульса), угловой момент. 1.1. Начало отсчёта времени, т о ч к а отсчета. 1.2. О ч е н ь мал а я причина чего-либо, косвенная причи на, незначимый фактор. 1.3. Элементычего-либо. 1.4. О ч е н ь мал ы й п ромежуток времени. 2. (мат.) Одна и з числовых характеристик распределения вероят ностей случайной величины. Начальным моментом порядка р (Р>0, це лое) непрерывной случайной величиныX называется выражение: +00 Щ = fx^p(x)dx. ~00 (1.115) Начальный момент первого порядкаили первый начальный момент характеризует математическое о жи д ан и е случайной величины. Математи ч е с ко ео жи д а ни е определяет положение центра, вокруг к оторого груп п ир у ю тс яв с е возможные зн а ч ен и я случайной величины. Математическое о ж и д а н и ед л я непрерывной случа й но й величины определяется формулой: +00 Мх =т!= /жр(ж)йж. -00 (1.116) Примечание: начальный момент п е рв о г о порядка б у д ет явля ть с я о д н о йи з возможных оценок математического ожидания (см. т а к ж е Кон цепция, Среднее, среднее значение, Эмпирическое распределение). Центральным моментом p-того порядка д л я непрерывной с лу ч а йн о й в еличиныназывается выражение: - 136 - / (x-Mx)Pp(x) doc. -00 (1.117) В т ор о й центральный момент характеризует рассеивание сл у ча й н ой в еличины о тносительно математического ожидания и называется диспер сиейобозначаемой s2x. Д л я непрерывной случайной величины опреде л я е т с я формулой: +о о jli2 = f (x-m1 )2 p(x)dx. (1.118) — 00 А налогично вычисляют моменты б о л е е высокого порядка. И ме е т ся прямая а налогия моментов в вероятностейтеории смо ментами, играющими важную р о л ь вмеханике: момент первого порядка (оценка математического о жи д ан и я Мх) аналогичен статическому момен ту, центральный момент в т о ро г о порядка (дисперсия s2) - моменту инерции, соответствующей формулой определяется момент распределения масс. 3. (соц.) - Особ ы е состояния, явления и процессы вмежличност ныхи социальных отношениях: точ к а зрения, точка отправления, по п а с т ь вс а м ую точку, дойти (довести) д о точки. См. также Концепция, Отношение, Понятие, Среднее, среднее значение. Элемент. М оментов метод в вероятностейтеории и статистике математичес кой - мет од нахождения распределения вероятностей п ое г о моментам. Вматематической ст атистике метод моментов - э т оо д и ни зо б щ их м ет о д о в нахождения статистических о ц е но кд л я неизвестных параметров распределений п о результатамнаблюдений. Метод моментов б ы лисполь з о в а н д л я эт и х целей в 1894 г. К.Пирсоном (Pearson Karl: 1857-1936), п р и решении з а д а ч и аппроксимации эмпирического распре д ел е н и й спомощью системыПирсона распределений. Процедураметода моментов такова: определяются вы б орочные мо менты (моменты эмпирического распределения) и вколичестве, равном числу оцениваемых параметров, приравниваются к соответствующиммо мен т амраспределения, являющимся функциями о тнеизвестных парамет ров; п о лученные уравнения решают относительно параметров инаходят и ск о м ы е оценки. Практически метод моментов связан свесьма п ростыми вычислениями. При некоторых д о в о л ь н о общи хусловиях метод моме нт о в п озволяет найти оценки, котор ы еп р и большихп асимптотически нор мальны, имею т математическое ожидание, л и шь величиной порядка 1 /п отл и ча ю щ ее с яо т истинного з н а ч е н и я (генерального) параметра, и с т ан д ар т н ое з н а ч ен и е - порядка 1//Й7 О д н а к о оценки, найденные мето - 137 д о м моментов, н е являются наилучшими сточ ки з ре н ия эффективности и хд и с п е р си ян е является наименьшей возможной дисперсией. Вс л у ч а е оц е н и в а н и я параметров нормального распределения метод м оментов и метод максимального правдоподобия приводят касимптотически несме щённым иасимптотически эффективным оценкам. М ощность критерия - в ер о я тн о ст ь правильного отклонения ло ж н о й н ул е в ой гипотезыН0, т.е. вероятность (1-Р) н е совершить о ш и б к у в т о р о г о рода. Другими словами, мощность критерия - вероятность по п а д а н и я статистики критерия вкритическую область, п р и том, ч т о справедлива конкурирующая гипотезаН4 (т.е. нулевая Н0 ложна). Че м б о л ь ш ем ощность критерия (1-Р), т е м вероятность о ш и бк и втор о го р о да меньше. Очевидно, ч т о че мменьше вероятности ошибок перв ог о и вто р о г о родов, те моптимальнее критическая область. М ощность критерия н е св о д ит с я к доверительной вероятности Ри с о о тношению (1.57). Проблема втом, ч т од л яд анной выборки одновре м е н н о уменьшить у ров ен ь значимостиа идоверительную вероятность Р невозможно, т.к. а=1-Р. Фиксация у р о в ня значимости находится цели к о м вкомпетенции исследователя: н а основании физической с у щн ости з а д а ч и ипоследствий о т ош и б оч н ог оп ринятия решения о н должен ре шать, к а к о й риск п р ио т клонении нулевой гипотезы является допусти мым. Единственная возможность одновременного уменьшения вероятнос т е йо ш и б о к перв о го и второго род ов - увеличить размерность выборки. Подр о б не е см. [2, 13, 26, 34, 61]. "Наблюдения - это история естественных наук.” (Шарль Луи Монтескье; 1689-1755). Наблюдение (лат. observatio) - метод исследования предметов и явлений реальности в т о м виде, вкак о мо н и существуют и происходят впр и р о д е и обществе. Наблюдение от личается о т простого в о с п р ия т ия и нформации наличием ц е ли и а ктивной позицией наблюдателя. "Испокон в е к о в наблюдения б ы л ид о с таточно убедительны т ол ь ко д л я тех, к т о с п о с о б е н рассуждать и желает з н а т ь истину.” (Галилео Галилей; 1564-1642). Наблюдение отличается и о т эксперимента отсутствием ак т и в н о г о управляющего воздействия на явление ил и процесс. Наблюдение - э т офиксация характерных п ризнаков предмета или развития я в ле н ия вп р о странстве и/или в о времени. Ярким примером является древне й ша я - 138 наука - астрономия. Мож но т а к ж е упомянуть наблюдателей на выборах, экологов, социологов, археологов, историков и т.д. См. также раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ, раздел 2,1. и статьи При чина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь, Случайное событие, СОБЫ ТИЕ, событность, Событие. Наблюдений обработка см. Данных обработка математическая. Начальный момент см. Момент, Моментов метод и раздел 3 (Метод моментов). "Началоср. чемъ начинается б ь г п еи ли действ1е; оди н ъ изъ д в ух ъ пределовъ, между коими з а к л юч е н о бьгпе, вещественное л и б о духовное; починъ, зачинъ, исконъ, зачало, источникъ, корень, рожденье, исходъ; противоп. конецъ. (...) || Межа, грань, рубежъ, край, п ределъ вещи, предмета или част и его, откуда, условно, измеряютъ предметъ, д о кон ц а его. (..) || Первый источникъ и л и причина быпя; с и л а рож дающая, производящая, создающая. (...) || Начала [мн.], нравственныя о с н ов ыв ъ человеке, правила иубежден1я, п о коим о н живетъ: В ък о мъ н ач а л а искажены, тотъ н е можешь возродиться. || Первыя и г л а в н ы я истинынауки, основанья ея, основы знанья. Начала чистой математи ки. || Начало, стоая, о д наи зъ и з основныхъ составныхъ частей, принимаемыхъ какъ б ыз анеделимое, з анечт о целое, однородное. Че ловек состоишь изъ д в у х ъ началъ: д у х о в н а го и плотского, - д у х о в н о е ж еи з ъ умственнаго и нравственнаго. || Стих1я химическая, с о с т а в н а я ч а с т ь какого-либо тела, веще с т во про ст о е или однородное, неразлагаемое. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [83]. См. также Конечное, Математика, Мера. Невозможность - н еосуществимость, невыполнимость; противоположно В о з можность (см.). См. раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. См. также разделы 2.3. и 2.4. и статьи Вероятность математическая, Доверительный интервал, Значимость параметра, Измерение, Истинное значение, Категория, Корреля ция, Мера, Отношение, Причинность, Случайная величина, Статистических гипотез про верка, Степеней свободы число, Трёх сигма правило, Эмпирическое распределение, Выбо рочное распределение. "НЕЗАВИСИМЫЙ, н ио т ък о г ои л ич е г он е зависящш; вольный, сво б одный, неподчинённый, ничемъ н е связанный, самостоятельный, с а м ъ с е б е господин. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См. также Зависимость, Независимость. Независимость двух случайных событий втеории вероятностей ф а к т приближенного равенства частотыhB появления с л учайного собы т и яВв о всех испытаниях ичастоты е г о появления в т е х испытаниях, в которых наступает случ а йн о ес о бы т и е А. Независимость - о д н ои з важнейших специфических понятий те о р и и вероятностей. - 139 Перейдём к вероятностям независимых случайных событий. П у с т ь Р{А) и Р(В) - вероятности двух случайных событий А и В. У с ло вную в ер о я тн о ст ь ?{В\А) соб ыт и яВп р и условии осуществления с об ы т и я А (с ?(А)>0) определяют формулой: Р(А ПВ) Р(В\А) = ---------- , (1.119) Р(А) г д е ?{А ПВ) - вероятность с о в ме с тн о г о осуществления соб ы ти й АжВ. С о б ы т и еВназывается независимым о тс о б ы т и я А, е с л и Р(В|Л)=Р(В). Э т о равенс т во может б ы т ь з а п и с а н о ввиде, свободном о ту с ло в и я ?(А)>0) и симметричном о т носительно ЛиВ: Р(А ПВ) = Р(А)-Р(В). (1.120) Очевидно, ч т ое с ли с о б ы т и е Вн е зави с ит о тА, т о иАн е зави с и то тВ. Таким образом, независимость случайных соб ыт и й указывает л и б он ао тс утствие связимеждунаступлением э т и х событий, л и б о н а несущественный характер э т о й связи. П р и определении независимости нескольких (более двух) случай ных с о б ы т и йразличают попарную и в заимную независимость. Анало г ич н о о пр е д е л е н и е независимости д л я нескольких случайных величин. См. также НЕЗАВИСИМЫЙ, Статистических гипотез проверка, Связей число, Степе ней свободы число, Уровень значимости статистического критерия. Н езначимость параметра - ф а кт налич и я ну ля в пределах д о вери т е л ьн о г о интервала. См. также Доверительное отклонение, Значимость параметра, Квадратичное отк лонение, Стандартное отклонение, Стьюдента критерий. Неизбежность ( неминуемость, неотвратимость, непредотвратимость; фатальность) ф а к т осуществимости соб ы ти я свероятностью 1; достоверное событие. Д ру г и ми словами, то, ч т о невозможно избегнуть, предотвратить. См. также раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ и статьи Вероятностей теория, Измерение, Отношение, Причина, Причинность, Связь, Следствие, Случайное со бытие и высказывание Жана Лабрюйера на с. 13. Необходимость см. раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. См. также раздел 2.3., статью Необходимость и случайность, а также статьи Больших чисел закон, Вероятность математическая, Детерминизм, Закон, Мера, Нормальное распределение, Причина, Следствие, СЛУЧАЙ. Необходимость и случайность - соотносительные философские ка тегории, кото ры ев н осят ясность и ч ё ткость впредставление охарак т е р е взаимозависимостей соб ыт и йиявлений, выражают формы причин но-следственных связей, с т е п е н ь детерминированности системы, про цесса, явления. С в я з ь между случайностью инеобходимостью проявля е т с я в з а к он еб ол ь ш их чисел, в с и л укоторого совместное дейс тв и е - 140 множества случайных факторов приводит, п р инекоторых весьма о б щ и х условиях, крезультату, поч т ин е зависящемуо т случая. Другими сло вами, естественную с в я з ь между случайныминеобходимым формализует з а к о н боль ш и х чисел. Необходимость - присущая реальности тенденция развития, обусловленная фундаментальными законами четырёхмерного пространства-времени, в котором существует наша цивилизация. Случай ность - это форма проявления необходимости, сопровождаемая множеством несущественных, не устойчивых причинно-следственных связей элементов системы друг с другом и с внешним миром. По степени детерминированности, причинам возникновения и формам проявления необходимость может быть классифицирована на следующие основные виды: 1. Необходимость, выражающая объ ективно существующие причинно-следственные связи природы и общества; 2. Необходимость, вы ражающая объективно существующие связи мышления; 3. Внутренняя необходимость, обусловлен ная структурой систем, сущностью явлений и процессов природы; 4. Внешняя необходимость, по рождаемая окружающей средой; 5. Необходимость, более общего, фундаментального порядка, действие которой распространяется на сравнительно широкий круг явлений действительности; б. Необходимость менее общего порядка, действие которой охватывает сравнительно узкий круг явле ний; 7. Сложная необходимость, определяющая поведение совокупности объектов, сложных сис тем, которая выражается статистическими закономерностями, 8. Простая необходимость, опреде ляющая поведение индивидуальных макрообъектов, которая выражается детерминистическими зако номерностями (все законы и закономерности так называемых точных наук); 9. Необходимость, уп равляющая явлениями действительности, которая может одновременно описываться как статисти ческими, так и детерминистическими закономерностями (так называемые детерминированно-стохастические процессы). Случайность также подразделяется на ряд видов: 1. Внутренняя случайность, физически связан ная с данной необходимостью (например, методические ошибки); 2. Внешняя случайность, являюща яся посторонней по отношению к данной необходимости и вызываемая побочными факторами (например, случайные ошибки измерений); 3. Объективная случайность, которая вызывается влияни ем различных объективных условий; 4. Субъективная случайность, вызываемая неразумными и глупы ми действиями людей; 5. Благоприятные или неблагоприятные случайности, соответственно ускоря ющие или тормозящие развитие явлений, событий, процессов. Необходимость и случайность разрабатывались в философии и естествознании начиная с глубо кой древности, истоки необходимости и случайности - мышление, природа, техника, технология и социальные сообщества. Необходимость и случайность не бывают в чистом виде, при определённых условиях эти категории тождественны, т.е. случайное необходимо, а необходимое случайно. Собы тие бывает случайным только по отношению к другому событию, необходимому. Подробнее см. [86]. См. также раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ, раздел 2.3., а также статьи Больших чисел закон. Вероятность математическая, Детерминизм, Закон, Мера, Нормальное распределение, Причина, Следствие, СЛУЧАЙ. Непрерывность - о д н о и з важнейших математических понятий, вс т речающееся вдвух основныхконцепциях - непрерывность множества инепрерывность отображенияя. Исторически раньше подверглось мате ма тической обработке п онятие непрерывного отображения, и л и непре рывной функции, че м логически предшествующее е м у понятие непрерыв н о с т и множества. См. т а к ж е Непрерывный. "Непрерывный, непрестанный, длящ!йся безперечь, б е з ъ перерыва, непереставая; безпрерывный, безпрестанный, безперемежный, безпромежный, безотдышный, неотступный, неуёмный, сплошной, всегдашн!й; || в е с ь м ач а с т о возобновляемый, повторяющейся. (...) Непрерывность ж. с остоянье, свойствопо пряг. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872) [83]. - 141 Несмещённая оценка - статистическая оценка параметра распреде л ен ия вероятностей, вычисленная п о результатам наблюдений, л и ш ён н ая с и стематической ошибки. Например, е с л ирезультаты наблюдений хх, хг,..., хпявляются взаи м н о независимыми случайными величинами, и м е ю щ и ми одинаковое нормальное распределение, з аданное плотностью: 1 -(Мх-х)г/2б2 р(х) = ------- е х, (1 .1 2 1 ) [/^Яб2 снеизвестными параметрами Мхи б2х, т ос р е дн е е арифметическое: х = (х± +хг +...+хп)/п (1 .122) б у д е т несмещённой оценкой д л яМх. Используемая ранее д л яо ц е н к и б2х в ыб о р о ч н а я дисперсия: p i n s = — I (Xi-X)2 (1.123) х п г=1 н ея вл я ет с я несмещённой оценкой, т а ккак средн е е арифметическое с а м оз а в и с и то т элемен т ов выборки (сравните с (1.245) и (2.14)). Д л я у ст р а н е н и я с мещения о ц е н к ин у ж н о степеней свободычисло (1.242) в в ы р а же н ии д л я s2x уменьшить на единицу. Несмещённой оценк о йд л я 62х служит: 2 I n s = --- 1 (х1-х)г. (1.124) х п- 1 г=1 Попроще, оценка является несмещённой, е с л и пр и любом п е ёма те м ат и че с к ое о жидание т о ч н ор а в н ов е личине оцениваемого параметра. См. также Квадратичное отклонение, Стандартное отклонение. Несоизмеримые и соизмеримые величины см. Величины с о и змеримые инесоизмеримые. ’ ’ НОРМАж . л а т .о б ще е прав и ло коему должно с ледовать в о всехъ подобн ы х ъ случаяхъ; образецъ или примерь. Нормальное состоянье, обы ч ное, законное, правильное, н е выходящее изъ порядка, не в п ад а ю ще е н и вк а к у ю крайность. Нормальный весь, мера, принятые з ао б щ е ег д е л и б оп р а в и л о и служащ1е основаньем; единица веса и меры. Нормаль ная, вм а т е м а т . прямая черта, проходящая черезъ точку касан!я и о т в е с н о к ъкасательной. (...)”(В.И.Даль; 1801-1872) [82]. "Норма - то, что встречается лишь изред ка." (Сомерсет Моэм; 1874-1965). Норма «лат. norma - руководящее начало, правило, образец, норма) - 1. Узаконенное установление, признанный обязательным поря - 142 док, с т р о й чего-либо. 2. Установленная мера, средняя величина че го-либо. Норма - внекоторой степени относительное понятие (этимо логически, термин), например, случайность (ошибки) в э ксперименте норма, в психологии норма - относительна. См. также Правило. Нормализация - 1. Установление нормы, образца. 2. Приведение к норме, кнормальному состоянию, урегулирование. 3. Вид т ер мической о б р а б о т к и стали. 4. Нормализация или нормирование переменных - пре о бр а з о в а н и е переменных (температура, давление, концентрация и т а к далее) кнормированному виду, п р и котором все переменные, независи м оо тфизической сущности и величины, изменяются в пределах о тн у л я д о единицы. См. также Величина параметрическая, Приведение переменных. Н ор м а ль (< лат. normalis - прямой) ккривойлинии (поверхнос ти) вт о ч к е х0 - прямая, проходящая чер е з точку х0 и перпендикуляр н а я ккасательной прямой (касательной плоскости) в точке х0 к р и в о й (поверхности). Плоская глад к ая к ри в ая имеет в каждой т о ч к е т о л ь к о о д н у нормаль, пространственная кр и в а я имеет вкаждой т оч к е беско н е ч н о емножество нормалей, лежащих в так называемых нормальных плоскостях. Нормальное распределение, распределение Гаусса - распределение вероятностей случайной величиных, описываемое функцией: х 1--------------------------- г~(х-мх)2/гб2 Х0х, (1.125) F{x) = ------- е |/2ТГб2 -00 х г д еМхиб2х - математическое ожид а н ие и дисперсия соответственно. Ч а с т н ы й случай Пирсона распределений, тип И, (1.173), рис. 1.20,а. Рис.1.20. Функция Fix) (а) и плотность р ( Х ) (б) нормального распределения (б) П т F(X)~0, lim F(X)“1 ; (площадь под кривой п л отн ост и вероятностей равна 1) Х->-со - 143 Со г л а с н о закону нормального распределения вероят н ос т ь того, ч т о случа йн а я величина примет з н а ч е н и е винтервале Мх-б<Х<Мх+б рав н а 0,683, вероятность попадания в интервал Мх-2б<Х<Мх +2б р а в н а 0,954, а Р(Мх-36<Х<Мх +36)=0, 997. Э т и вероятности эквивалентны соот ветствующим площадям подкривой р(х) (рис. 1.20, б , 1.43). П о следнее с оо тношение называется правиломтрёх сигма. Ч т оо н о означает? То, ч т он апрактике пр и принятии решений относительно возможных резуль т а т ов событ и й подчиняющихся з а ко н унормального распределения пре небрегают возможностью отклонений о тМх, превышающих 36 (соответс т в у ю щ а я вероятность меньше 0,003). См. так ж е рис. 1.3, 1.43, 2.28. Н ормальное распределение т а к ж е называют "вторым законом расп ределения Лапласа" в от л и ч и ео тп ервого - Лапласа распределения, з акономГаусса, Гаусса-Лапласа распределением, Лапласа-Гаусса расп ределением. Нормальное распределение является предельным д л я би но миал ь н ог о распределения с о средним значением тхи дисперсией s2x. О н оз ан и м ае т центральное мес то в с татистике математической, особен н о в о шибоктеории. З а к о н нормального распределения - преде ль н ый з а к о н распределения событий, являющихся результатоммножества д е терминированных причин (факторов), каждая и з которых п о величине, п о интенсивности н е выделяется н аф о н е других (что и приводит к и х в за и м но й компенсации, кпоявлению симметриикривой распределения и квышеупомянутым соотношениям вероятностей осуществления). С у щ н о с т ь з а к о н а нормального распределения о б ъясняется центральной предельной теоремой, которая утверждает, ч т о сум ма б о ль ш о го числа с ов м е с т н о действующих независимых случайных величин в общем с л у ч а е распреде л е н ап о закону, близкому к нормальному. Э т о положение ч а с т и ч н о о бо с н о в а н о в разделе 2 .6. и т а к ж е отча ст и иллюстрируют рис.1 .34, 1.51, 2.10,6, 2.11, 2.14, 2.15, 2.24, 2.25, 2.28. Н ормальное распределение б ы л о впервые найдено в 1733 г о д у А.Муавром (A.de Moivre; 1667-1754). Непосредственным поводом д л я исследования и доказательств локальной и интегральной предельных т е ор е м послужило желание А.Муавра исследовать задачу о мужских и женских рождениях, ав б о л е е широ к ой перспективе - установить кри терий д л я отли чи я необходимого (установленного провидением) о т слу ч а й н о г о [4, с.109]. Используя д а нн ы е очастоте рождений мальчиков и д ево че к А.Муавр получил соотношение (18:17). В своих расчетах А.Муа в р использовал приближённую формулу Дж.Стирлинга (Stirling Jamas; 1692-1770) (им ж е и уточнённую) д л я п\: - 144 п\~Вппе~п [/Л п, г д е В=\/1>Ж. (1.126) К сожалению, в пл о ть д о рубежа XIX-XX век ов за с л у г и А.Муавра я в н о недооценивались [4, с.107]. Позднее, в 1770-1771 гг. Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 1700-1782) опубликовал мемуар, вкотором, очевидно, н ез н а я оре зульта т ах А.Муавра, независимо выв ел локальную предельную теорему Муавра-Лапласа и составил первую небольшую таблицу нормального распределения. Как и А.Муавр, Даниил Бернулли исследовал соотноше н и е мужскихиженских рождений (использовав новы е статистические данные) ид а же отыскал е г о "истинное”значение (16:15) [4, с.110]. Некоторое в р е м я с п у с т я нормальное распределение б ы л ос н о в а о т к р ы т о в 1809 годуК.Гауссом (Gauss Carl Friedrich; 1777-1855) ив 1812 г о д у П.Лапласом (Laplace Pierre Simon; 1749-1827). П.Лаплас док а за л "теорему Муавра-Лапласа" заново, пользуясь формулой сумми рова н и я Эйлера-Маклорена, ииме н н ое г о вывод с т ал ши р о к о извес т е н [4, с.110]. Классические примеры возникновения нормального распре де л е н и я как точно г о принадлежат К.Гауссу (закон распределения оши б о кнаблюдений) иДж.Максвеллу {Maxwell James Clerk; 1831-1879) (закон распределения молекул идеального газа п о скоростям). Понятие "нормальное распределение" принадлежит К.Пирсону (Pearson Karl; 1857-1936). Примеры геологических характеристик, подчиняющихся з а к он у нор маль но г о распределения: топография, плотность морского песка, пока з а т е л ь сферичности д л яз а д а н н о го размера частиц, показатель окатанн о с т иг а л е к разного размера, у р о ве н ь воды в скважине втечен и е вре мени, плотность гидросети, удельный в е со бразцов и з гр а нитного мас сива, плотность заполнения з ё р е н впесчанике, размеры беспозвоноч н ыхископаемых организмов, у г о лнаклона морского пляжа, у г о лс к л о на р еч ной долины, уг ол падения косо й слоистости песчаника, п о ристость песчаника, содержание минералов впородах, содержание вла г и в оса доч н ых породах, содержание некоторых химических элементов [39]. См. также Лапласа интеграл, Ошибок теория, Причина, Причинность, РАСПРЕДЕ ЛЯТЬ, Статистическая оценка, Шум, ШУМЬ. Подробнее см. раздел 2.8. Нормальное состояние см. Норма. Нормирование переменных - част ны й случай преобразования физи ческих величин к безразмерному виду путём деления исходной перемен н о й величины на аналогичную постоянную. Локализация обла ст и варь и ро в а ни я фактора производится путём нормирования переменных, п р и - 145 ~ э т о мминимальное значение фактора принимается з а ноль, амаксималь н о ез аединицу. В результате бе з размерная нормированная в е ли ч и на и зм е н я е т с я винтервале о тн у л яд о единицы: iП r zd= ----------- . max_ min (1.127) Например, в задачах оптимизации технологических процессов нор м и р о в а н и е переменных позволяет пере й ти вфакторное пространство, в к о т о р о мв с е переменные находятся вположительной области и изменя ю т с яо тн у л яд о единицы. См. также Нормализация, Стандартизация случайной величины и раздел 2.7. Нулевая гипотеза - гипотеза о б отсутствии различия между пара метрами, характеризующими т е ил ии н ые свойства выборки. Критерий, к онструируемый и з этих параметров, 80П, сравнивается скритическим 9а, вычисляемым независимымпутем. Обла с ть значений Воп, м е н ь ш а я к р и т ич е ск о г о 0а, считается о бластью принятия нулевой гипот е зы Рис Л . 21. Плотность вероятностей гипотетического критерия 0 . Заштрихована критическая область, составляющая (X площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Например, п ри определении о ц е н китхнеизвестного математичес к о г о ожидания Мх подходящей нулевой гипотезой будет предположение о б отсутствии различия между нулём иарифметическим средним выбор ки, хср, т.е. Но:хср=0: _ х sx -------- ----- t kV sx < О < х + ----------- t , |/гГ ( 1 . 128 ) - 146 г д е t - Стьюдента критерий (сравните с (1.74)). Критерий конструи р у е т с я вв и де отношения арифметического среднего хс рие г о квадра т ич н о г о отклонения sx: С= (х-Мх) п (1.129) г д е v=n-1 - степеней свободы ч ис л о (сравните с (1.69). (1.70). (1.138), (1.235)). В условияхнулевой гипотезы Мх=0 и опытныйкри т е р и й Стьюдента вычисляется п оформуле: tonv (х-0) (1.130) О п ы т н ы й критерий Стьюдента сравнивается скритическим ta, оп ределя е мы м распределением Стьюдента. и ес ли ton<ta, т он у л ев а я ги п от е з а с доверительной вероятностью Р=1-а принимается (рис.1 .22). t Рис Л . 22. Плотность вероятностей -кр и тер и я. Заштрихована критическая область, составляющая (X площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Нали чи е или отсутствие линейной связи между случайными величи н а м иX и Упроверяется спомощьюкоэффициента корреляции рху. Нуле в а я гипотеза предполагает, ч т од в е переменные независимы и л ю б о е н е н у л ев о е значение г возникло из-за случайных флуктуаций, т.е. Н0:рХ у=0. Альтернативной гипотезой б у д е тНа:рху^0. Опытный Стьюден такритерий вычисляется п о формуле: t°S l/n- 2 l/f-i (l.131) - 147 О п ы т н ы й критерий Стьюдента (т.е. критерий, вычисленный п о ре зульт ат а м эксперимента) сравнивается стабличным д л я числа с т е п е н ей с воб од ыv-n-2 и принимаемого исследователем уровня значимости а (рис. 1 .22). П р и проверке уравнения регрессии на адекватность п ро в ер я е тс я н у л е в а я гипотеза Н0 о б отсутствии различия между генеральной опыт н о йд исп ер с и й 62о п и дисперсией адекватности б2ад, - Н0:б2ад=б20П. Д л ят о г о чтобы подтвердить э т у гипотезу, необходимо доказать одно ро д н о с т ь выборочных дисперсий s2aM иs2on, а д л ят о г о чтобы отверг н у т ь - доказать значимость разли ч ия s2aA и s20U. В условиях н у л е в о й г ип о т ез ыб2ад=62оп, б2ад/б20П=1 (см. так ж е (1.256)) и Фишера расп р е д е ле н ие может б ы т ь непосредственно использовано д л яо ц ен к и отно ш е н и я выборочных дисперсий s2afl/s2on: °S 2 ад _оп v V 1* Е с л и Fon (рис. 1 .23). = 2 - Г ^ ^ (1-132) ОП меньше критического F“, т о дисперсии од н ор о д ны Рис.1.23. Плотность вероятностей критерия Фишера F. Заштрихована критическая область, составляющая (X площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) См. также Правило определения критического значения статистического критерия, Статистических гипотез проверка, Уровень значимости. О "ОБОЗНАЧАТЬ, обозначитьили означать, означитьчто, п о(от, наме чать, отличать какими-либо приметами, заметками; письмомъ и л и зна ками. Обозначать ближе къ помечать, с т а ви т ь знакъ; означать - къ знамено вать, значить. (...) || появляться, высказываться, подавать з н а к ъ и л ив е с т ь осебе. (...)" (В.И.Даль: 1801-1872) [82]. - 148 См. также Категория, Определение, ОПРЕДЕЛЯТЬ, ПОНИМАТЬ, Понятие, Состоять, Суждение, Термин технический. Обработкарезультатов экспериментов - математические процедуры п о преобразованию числовой информации, получаемой врезультате э к с периментов, с целью опреде л ен и я распределения закона, н аличия и т есн от ы свя зи случайных величин, восстановления зависимости, вычис л е н и я параметров, констант, коэффициентов уравнений и проверки статистических гипотез. Подробнее см. Данных обработкаматематическая. См. также Анализ, Величина, Вероятность, Веса результатов измерений, Воспроизво димость, Выборка представительная, Выборка случайная, Данные, Дисперсия, Дисперсия воспроизводимости, Измерение, Математическое ожидание, Метод, Наблюдение, Оши бок теория, Погрешности измерений, Проба, Случайная величина, Случайное событие, Событие, Совокупность, Стандартное отклонение, Статистика математическая, Фактор, Функция, Эмпирический метод. "ОБШИБАТЬ, о бшибитьчто, обить, околотить, о б л о ма т ь ударомъ, колотя. (...) Ошибаться, ошибиться, погрешить в ъ чемъ; думать, г о в о р и т ь ил и делать ч т о ошибочно, н ет а къ какъ есть, какъ должно, не верно, неправильно. Тош н е ошибается, кто ничего н е делает. Умелъ ошибиться, умейипоправиться. Ошибаться - человеческое дело, ан е с ознав а ть с я - дьявольское. Ошибся, что ушибся: в п р е д ь наука! Оши бай с я, д а сознавайся. Ошибиться в ъ счете, обчесться. Ошибся впись ме, описался, ил и луч ше н е зналъ. О шибся в ъмерке, обмерялся. Ошиб с яв ъразсчете и л ив ъ надежде, н ет о сталось, че го чаял. (...) Ошиб каж. ошибинкакал. погрешность, неправильность, неверность, промахъ, огрехъ; обмолвка, л и б о недоразуменье; дурное, о ш и б о ч но е рас п о р я ж е нь е ил и поступокъ; неумышленный проступокъ, или невольное, ненамеренное искаженье ч е г о либо. О шибка н е обманъ. Ошибка вф а л ь ш ь н е ставится. (...) Она о шибочка сделала, некстати забеременела. (...) Ошибочный. къ о ш и б к е относящ.; неверный, неправильный, погрешный. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также ВОСПРОИЗВОДИТЬ, Мера, Нормальное распределение, Оценка, Ошибок те ория, Шум, ШУМЬ. О б щ а ямера см. Мера общая. О бъект (лат. objecio - б р о с а ю вперёд, противопоставляю; позднелат. objectus - лежащий впереди, находящийся впереди, предмет, явление, зрелище) - 1. В нешний мир, существующий в н ен а с и незави с и м оо тнаше г о сознания, являющийся предметом познания, практичес к о г о воздействия субъекта. 2. Предмет, явление, на который направ л е накакая-либо деятельность. О б ъ е к т выступает как ч а ст ь объектив н о й реальности, которая находится в о взаимодействии с субъектом. - 149 "Убедительность только в субъективности, искать объективность - значит заблуждаться. Истина есть субъективность." (Сёрен Кьерке гор: 1813-1855). Объективность (лат., см. Объект) - 1. Действительное, н е зави с и м о ео тв о л и и сознания человека существование мира, предметов, и х с в о й с т в и отношений; принадлежность к объективной реальности. 2 . С о д е р ж а н и е знания, соответствующее, адекватное объекту. 3. Соот в е т с т в и е объективной действительности, беспристрастность, непред взятость. См. также Истина. Объективный (лат., см. Объект) - 1. Существующий в н е и незави с и м оо т сознания, присущий самому объекту или соответствующий ему. 2. Соответствующий объективной действительности, беспристрастный, непредвзятый. См. т ак ж е Истина. "Всё действительное содержит внутри себя противоположные определения и, следователь но, познание, а точнее, определение предмета в понятиях означает познание его как конкрет ного единства противоположных определе ний." (Г.Гегель: 1770-1831). Определение (научн.) - 1 . Формулировка, объяснение н а у ч н ог о термина, понятия, явления, процесса, объекта, раскрывающее е г о фи з ич е с ку ю сущность, содержание, смысл. 2 . Задание размеров, границ, пределов, началаиконца, констатация известных причин, предположе н и е каких-либо причинно-следственных связей. 3. Вычисление т о йи л и и н ой физической величиныкоэффициента, параметра и т.д. "Определение - исходный пунк т ирезультат мышления. О п р е д ел и т ь - э т ос д ел а ть всё, ч т от о л ь к о может рассудок, чтобы подготовить о з а р е н и е понимания... В с я ко е определение какую-то истину в с е б е со д е рж и т (в отл и чи ео т умозаключений, которые т о ль к о и могут б ы т ь правиль н ы ми инеправильными). Истина - н е вумозаключениях, ав о п ределениях." (Александр Круглов), [87]. Наиважнейшее з н а ч е н и еи ме е т интеллектуальная сред а - среда, способствующая мышлению. Ч т оик а к чело ве к думает, как ие о нс т р ои т мысленные модели, имеет исключи т ел ь н о е значение. См. также Диалектика, Д1АЛЕКТИКА, Категория, ОБОЗНАЧАТЬ, ОПРЕДЕЛЯТЬ, ПОНИ МАТЬ, Состоять, Суждение, Термин технический. - 150 "ОПРЕДЕЛЯТЬ, о пределитьчю , решать, постановлять, д е ла т ь ре шенье, приговоръ, постановленье властью. (...) || ч т о , чемъ, о бъяс нять, изъяснять коротко сущность, отличительные признаки чего. Ч е м ъ п р о щ е и обиходнее вещь, темтруднее о п ределить е е общимъ и обиход нымпорядкомь. (...) 11 Что, почему, решить задачу, узнать, вычислить. (...) Определеньес р. дейст. п о гл. въ разн. знач. и || сущность, итогъ и произведенье его. (...) Определенье научное, краткое озна ч ен ь е сущ ности, признаковъ предмета. (...)" {В.И.Даль; 1801-1872) [82]. См . т а к ж е Определение. О пыт на я дисперсия см. Дисперсия воспроизводимости. О п ы т - "ОПЫТЫВАТЬ, о пыт ат ького, опросить, допросить, с н я т ь допросъ, показан1 е . (...) || что, испытать, опробовать, изведать, иску сить. (...) О'пшъм. опытъ, опытка, испытанье, проба, искусъ, по пытка, изведка; || показан1 едругимъ каких л и б о явлен1й, д л я обна р у ж е н и яс илъ природы и действ1й ихъ. (...) У на с ъ физикучитают с ъ опытами, д ел а ю т ъ опыты об ъ ясняютъ учен1 еявлен1ями, доступными чувствамъ. О'пытный человекъ, искусивш1йся опытом, бывалый, знающ1й иумекщй, живш1й, видавш1й, делавшш много, привычный к ък а к ой ра боте, сведущХйн ет о л ь к он а словах, н о ина деле. (...) О пы т е ньм . прм. опытокъм. влгд. проба, обращикъ, частица какого л и б о товара на показ, д л я видимости качества его. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Эксперимент, Эмпиризм, раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ, раздел 2.1. Основная гипотеза - гипотеза о непротиворечии эм п ирического распределения нормальному закону. См. также Правило определения критического значения статистического критерия, Статистических гипотез проверка, Уровень значимости. Хи-квадрат критерий, Степе ней свободы число. ''Относительность - это принцип, относи тельно верный для мира физического и относи тельно ложный в применении к миру этическо му." (Виктор Кротов; р. 1946). Отношение - философская категория, форма всеобщей взаимосвязи объектов, субъектов, событий, явлений, процессов и величин вприро де, о бщ е с тв е имышлении. О т н о ш ен и я объектов, субъектов, событий, явлений, процессов и величин исключительно многообразныи охватыва ю тматематику, физику, физиологию, химию, логику, философию, социо- - 151 логию, лингвистику, природу, технику, технологию и многое другое. Например, абсолютный - относительный, час т ь и целое, р авенство и неравенство, зависимость - независимость, невозможность - случай н о с т ь - неизбежность, причина и следствие, причинность и следствие, симме тр и я и асимметрия, отно ш е ни ес о держания и формы, о т н о ше н и я ка чества (лучше - хуже), о тн о ш ен и я количества (больше - меньше), от н о ш ен и я ориентации, относительность систем, характеристика о бъ е к т а впонятии л и ш ь в одном каком-либо отношении, структурность и сис т е м н о с ть в отношении какого-либо уровня, множество условных вели чин, обстоятельств, параметров, коэффициентов и т.д. Да же н орма п оня ти е относительное. Наконец, всео бщ а я теория относительности А ль б ерта Эйнштейна (A.Einstein; 1879-1955). 1 . (лоз.) - аналогия, а на л из и синтез, причина и следствие, причинн о с ть и следствие, "...больше, чем... "... включено в...", "... влечёт.. . " . . . исключает..." идр. 2 . (сок.) - руководство и подчинение, партнёрство, дружба и вражда, любовь и ненависть и т.п., ат а к ж е ос о бые моменты вмежлич ностных и социальных отношениях (точка зрения, точка отправления, по п а с т ьвс а м ую точку, дойти (довести) д о точки). 3. (жат.) - отношение двухчисел и л и алгебраических в ыражений (вычитание иделение, ч а с т ь и целое, пропорция), функциональное от н о ш ен и е (аргумент (фактор) ифункция, следование в о времени и слу чайность), величины соизмеримые - несоизмеримые, величины нормиро ванные, кодированные и стандартизованные. Выборочное сред н ее значе н и е совокупности всегда относительно. Большинство с татистических критериев, п о существу, являются предельным соотношением парамет ров, характеризующих т еи л ии н ы е свойства совокупностей. Число, п о существу, отношение количества к единице. Частота события е с т ьо т н о ш ен и е числа исходов, пх , "благоприятствующих" данному событию, к о бщ ем уч и с л у равновозможных исходов, п, - П^щ/п. Вероятность е с т ь п редел э т о г о отношения: =п1 /п-» рхп р и п-*». 4. (физ.) - отношения двух физических величин: параметрические в еличины (параметрические время, концентрация, давление, объём, температура), нормированные величины (вероятности событий, коэффи циент п олезного действия, относительная влажность, массовая доля, моль н а я доля, объёмная доля), приведённые величины (относительная молекулярная масса, относительная плотность и др.), вт.ч, парамет р ич е ские величины. Отношение сис т ем отсчета, скорости и др. Крите - 152 ри и п о д о б и я характеризуют соотношения сил, действующих в с и с т е м е (движущейся жидкости или газе) ил и соотношения потоков массы, энер г и и и т.п. Константы подо б ия - т а к ж е соотношения физических вели чин, определяющих процесс. Результатыизмерений всехфизических величин относительны ип о точности, и п о единицам измерений; относительны шкалы практически в с ехизмерительных приборов. Температурные шкалы Кельвина, Ранкина, Реомюра, Фаренгейта и Цельсия относительны применяемого термометри ч е с к о г о вещества и соответствующихреперных точек (необходимо заме тить, ч т о шкалы Кельвина и Ранкинаназываются абсолютными, посколь к у отсчитывается о т абсолютного нуля, - температуры, п р ик о т о р о й п р е кращается тепловое движение ато м ов имолекул). Различают т а к ж е о ш и бк иабсолютные и относительные. Поня т ия "частица" и "комок" от носительны. С корость т ечения жидкости вканале произвольного сечен и я относительна и зависит о т об ъ ём н о го расхода, места рассмотре ния, параметров жидкости иметода расчёта. Например, с р е д н я я ско р о с т ь течен и я жидкости в с к ва ж и не п р и проведении спуско-подъёмных о п е р а ц и й относительно б урильной колонны больше, ч е м отн о си т е ль н о с т е н к и скважины. Н оис а м ас к ор о ст ь течения жидкости изменяется п о кольцевому сечению п о достаточно сложному закону. М о ж н от а к же упомянуть о ч е н ь важ ны е соотношения един и ц измере н и я различных систем единиц измерений физических величин. Боле е то го, физическая величина, п о существу, является отношением кприни ма е мой е ди н и це измерения физической величины (неважно, осно вн о йи л и производной). Связь, п о существу, соотношение между причиной и следствием. 5. (линзе.) - з н ач ение какой-либо языковой формы, е ёр о л ьв с и с т е м е языка, определяемая соотношением сдругими формами. См.также Адекватность, Безразмерная физическая величина, Бесконечность, Величи на физическая, Вероятность, Веса результатов измерений, Детерминизм, Дисперсия, ИДЕЯ, Категория, Концепция, Линеаризация, Логарифм, Математика, Математическое ожидание, Мера, Момент, Объективность, Относительная физическая величина, Оши бок теория, Переменная, Понятие, Правило определения критического значения статис тического критерия, Пропорция, Связь, Симметрия, Среднее, среднее значение, Сужде ние, Функция, Экспоненциальная функция. Отрицательное биномиальное распределение см. Паскаля распреде ление. Оценка - количественная характеристика параметра, получа е м ая п о результатам выборки. Проблема о ц ен к и неизвестного параметра яв л я е т с яо д н о йи з центральных втеории обработки результатов наблюде - 153 ний. К оценкам параметров предъявляется комплекс требований. Важ не й ш и ес р е д и них: несмещённость, состоятельность и эффективность. В а ж н о отметить, ч т о в от л и ч и ео тматематического ожидания (некото р о й неизвестной абстрактной величины, меры центральной тенде нц и и распределения случайной величины) о ц е но к математического о ж и д а н и я множество, например, арифметическое взвешенное среднее, арифмети ко-геометрическое среднее, арифметическое среднее, вз вешенное сте п ен н о е среднее, гармоническое среднее, геометрическое среднее, с ре д н е еквадратичное, сре д н ее кубическое, а так ж е мода, медиана и начальныймомент первого порядка: ^тах тх= % = / xp(x)dx. (1.133) iп Очевидно, ч т о разные виды средних различаются; отсюда возника е тпроблема правильного выбора формы с р ед н ег о значения. Р еш а ющую р о л ьз д е с ь играет физическая с у щ н о с т ь объекта (процесса, явления), ат а к ж е интуиция и добросовестность исследователя. См. также Концепция, Ошибка, Ошибок теория, Среднее, среднее значение. Ошибка втолковании В.М.Даля см. ОБШИБАТЬ. Ошибка второго родапри статистических гипотез проверке - при н я т и е неверной нулевой (основной) гипотезы Н0 и о т клонение ка кой-либо верной альтернативной гипотезыН*. Вероятность д опустить о ш и б к у втор о го рода равна доверительной вероятности Р. Э т а оши бк а м ож е тб ы т ь сведена кминимуму спомощ ь ю функции мощности критерия. Ошибка первого рода п р ис татистических гипотез проверке- отк ло н е н и е верной нулевой (основной) гипотезыН0. Вероятность допус т и т ь о ш иб к у первого рода равна принимаемому уровню значимостиа. См. также Мощность критерия. "Промах мгновенен, длинно (И. К.Ф. Шиллер: 1759-1805). раскаяние." Ошибок теория - раздел с татистикиматематической, охватывающий методыанализа надёжности, достоверности экспериментальных д а н н ы хи вычисл е ни я оценок неизвестныхпараметров. Измерения, выполняемые в п роцессе экспериментальных исследований, как правило, дают резуль таты сошибкой. Известны д в е методики определения искомых парамет р о в впроцессе исследований. П о перв о й искомая величина непосредс т в е н н о измеряется ил и вычисляется п о результатам нескольких косвен ных измерений (например, измерение размеров, массы, объ ём а тел; оп - 154 р едел е ни е содержания примесей, концентрации вещества, физико-хими ч е с ки х характеристик и т.п.). В э т о мс л у ч а ед л я повышения точно с ти оп р ед е ле н и я неизвестной величины, а т ак ж ед л я оценки точности экс периме н та ка к прямые, т а ки косвенные измерения мож но произвести многократно. Вторая методика, б о л е ев ысокого порядка, сост о ит и з д в ух этапов, та к называемой экспериментальной ч а с т и ирасчётной. О н аиспользуется пр и исследовании процессов, развивающихся в о вре м е ни и (или) впространстве. Втече н ие развития процесса произво д и т с я измерение тех ил и иных физических величин, которые и подвер г а ю т с я вдальнейшем математической обработке. Обработка может б ы т ь д остаточно сложной, дифференциальной и (или) интегральной, а ре з у л ь та т ом может б ы т ьв с е г ол и ш ьо д и н параметр (например, п р и иссле д о в а н и ис корости химической реакции влабораторном химическом реак т о р е ч е р е з определённые промежутки времени и з реактора о т б и ра ю т пробыд л я анализа исходных вещ е ст в и продуктов реакции; п о резуль т а т а м анализов с троятся т а к называемые кинетические кривые, к о т о р ы е иподвергаются дифференциально-интегральной обработке, результатом к о т о р о й является константа скорости химической реакции). Естествен но, ч т о многократное повторение подобных сложных экспериментов воз м о ж н о т о л ь к о висключительных случаях, н о независимо о тметодики, п е р в о йи л и второй, возникает з а д а ча о б установлении соответ с тв и я м ежду неизвестным искомым параметром и е г о оценкой, полученной в результате экспериментального исследования. Различают два основных источника ошибок: несовершенство конт рольно-измерительных приборов и ошибки, обусловленные о р г а н а м и ч у в с т в человека и е г о нервной системой. Выявлением, устранением и у ч ё то м первых занимается ошибоктеория. О н аж е уделяет в н и м ан и еи вторым, н о вторые внекоторых случаях с л а б о поддаются количествен н ом у анализу. С приборами б о л е еи л и мене ея с но - принципы работы (анализа), различные классы точности, культура н а заводах изготови телях, поверка приборов, тест ы и т.д. Несколько с ложнее сор г а н а м и ч у в с т в человека - б е зних н е обойтись. Например, определение яркос т и и цветности источника излучения (объекта) св я за н о сфизиологи ч е ск и м процессом (в с етчатке дв ав ида рецепторных клеток - к олбочки ипалочки) ипотому носит субъективный характер [30]. Относительное несовершенство органов чувств человека иногда корректируют оцифров к о й аналогового сигнала и т.п. способами. Х у ж е обстоят дела снерв н о й си с т е м о й - "Душа человека - д е л о тонкое". - 155 Особенностью экспериментальной ч а ст и химических, химико-биоло гических, медицинских идр. на у к является значительная д о л я проце дур, выполняемых непосредственно исследователем. И н а пер в ый п л а н выходят о ши б к и манипуляций иприема, хранения, переработки и пере д а ч и информации. Ошибки о рг а но вч у в с т в достаточно очевидны (смотрел ин е заметил, наблюдал и пропустил событие, слушал, н он е расслышал ит.п.), т а к же очевидны о ш и б к им ышления (забыл, оговорился, н е за метил, споткнулся, неадекватная реакция... и т.п. В с я наша ж и зн ьч ереда оши б ок мышления и у д а ч- т о ж е мышления). Причин множество: у стал о ст ь нейронов и нейронных ансамблей (в т.ч. эффекты торможе ния), влияние на процессымышления химических веществ, вызывающих заторможенность или изменение с о з на н ия (нейролептики, транквилиза торы, препараты, обладающие се д ативным эффектом и т.п., и, наконец, алкоголь, наркотики и т.п.), нечеткость передачи с иг н а ло вп о ней р он ным цепям, нечеткость функционирования одно г ои з важнейших эле м е н то вЦ Н С - аксон-синапс-нейрон и др., ухудшение взаимодействия о перат и вн о й и долговременной памя т и и т.п. Когда о ши бки м ы шл е н ия с у м м и р ую т ся сошибками приборов, возникают грубые ошибки, в осталь ных случ ая х возникает конкуренция влияния на результат из мерения о ш и б о к приборов, о рганов ч ув ств и психики человека. Различают т р и основных в и д а ошибок: систематические, г р у б ы еи случайные. Систематические о ш и б к и постоянно л и б о преувеличивают, л и б о преуменьшают результатыизмерений и являются следствием совер ш е н н о определённых причин (неверные показания приборов и несовер ш е н с т в о экспериментальной установки и л и методики). Оценка система т ич е с ки х ошибок производится сп омощью методов, выходящих з ар а м к и м атематической статистики. Грубые о ш иб к и возникают врезультате неправильного ч те ния показаний измерительных приборов, у с талости зрения, снижения внимания, дрожания рук и т.п. Результаты измере ний, содержащие грубые ошибки, к а к правило, резко от л ич а ю тс я о т д ругих ипоэтому ч а с т об ы в а ю тх о р о ш о заметны. Случайные о ш и б к и про и сходят о тразличных случайных причин, действующих п р и каждом и з отдельныхизмерений непредвиденным обра з о мт о в сторону уменьшения, т о в сторону увеличения результата. М етодами анализа грубых и случайных ошибок занимается о ш и бо к теория. Основными задачами т е ор и и ош и бок являются: установление за к о н о в распределения случайных ошибок, отыскание статистических оце - 156 н окнеизвестных величин п о результатам измерений, определение пог решностей таких оценок и выявление и устранение грубых ошибок. Пус т ь врезультате п независимых измерений некоторой неизвест н о й величиныМхполучены значе н ия x lt х2,..., хп. Тогда разности: “ Xj ""Мх, 62 =Х2—Мх, ..., 6n=£n~MX (1. 134) называ ю тс я истинными ошибками; впонятиях вероятностной т е о рии оши б о кв с е 5i трактуются ка кс л учайные величины, независимость измере н и й понимается как взаимная независимость случайных в еличин 6j, 62,..., 5П. П р и э т ом измерения называются равноточными (в широ ко м смысле), е с л и величины 6j имеют одинаковое распределение. Так им об разом, истинные ошибки равноточныхизмерений п о существу являю т ся независимыми одинаково распределёнными случайными величинами. П р и э т о м математическое ожидание случайных ошибокМ5=Еб1 =::Еб2:=. •• Н Е б п называ е тс я систематической ошибкой, аразности ^-Mg, 62-М5,..., бп“ М § - случайными ошибками. Очевидно, ч т о отсутствие систематичес к о йо ш и б к и означает М§=0, аистинные о ш иб к и 61, б2,..., 5Пстано в я т с я случайными ошибками. Величину 1/б|/*Г, г д е б- квадратичное о т к л о н ен и е 6х , называют мерой точности (при наличии систематической о ш и б к и мера точности выражается отношением l/|/£(M2 s+62)). Равноточн о с т ь измерений в узком с м ы с л е понимается как идентичность меры т о чн о ст и всех результатов измерений. Наличие грубых оши б ок о зн а ча е т н аруш е ни е равноточности (как вшироком, та к и в узком смысле) д л я некоторых отдельных измерений. Вк ачестве оценки неизвестной величины Мх о б ы ч но принимают с р е д н е е арифметическое и з результатов измерений x lf х2,..., хп: хср-(х1+х2+...+хп)/п, (1.135) ар а зности Д^х^хср, Д2=х2~хср,..., An=^n"x cp называют ка ж у щи м ис я ошибками. Выбор хс р вкачестве о ц е н к ид л я Мх основан н а том, ч т о п р и достаточно боль ш о м числе правноточных измерений, лишённых сис тематической ошибки, оценкахс р с вероятностью, с к о л ьу го д но б лиз к о й к единице, с к ол ьу г о дн ом а ло о тл ичается о т неизвестной величины Мх; о ц е нк ахс р лишена систематической ошибки (оценки стак и м свойс твомназывают несмещёнными оценками); дисперсия э т о йо ц е нк и равна: DXcp=E(xcp-M)2=6z/n. (1.136) Практически о ч е н ь ч а с т о сл учайные о ш и бк и подчиняются расп ределениям, близ к и м к нормальному. В э т о м случае распределение - 157 с р е д н е г о арифметического, хср, м а л о отличается о т нормального расп реде л е ни я сматематическим ожиданиемМх и дисперсией б2/п, Е с л и р аспределение величин 6j нормально, т о дисперсия всякой другой нес м ещё нн о йо ц ен к и дл я Мх, например, медианы, н е меньше DXcp. Е с л иж е р аспределение истинных ошибок, 5^ н е подчиняется закону нормально г о распределения, т о возможнадру г ая несмещённая оценка д л я Мх м е н ь ш е DXcp. Оценка неизвестной генеральной дисперсии 62х, называемая д и с персией воспроизводимости, s2B0cnp, производится п о формуле: S 2 x = s 2 B 0 cnp = 2 (Si- Жср)2 . n- 1 1=1 (1.137) Вформу л е (1.137) s2x является несмещённой оценкой д л я б2, т.к. Es2x=62x. См . также (1.123), (1.124), (1.203), (1.245). Е с л ис лучайные ошибки 6i имеют нормальное распределение, т о отношение: ( ^ с р "Мх ) V^ t = ------------- , (1.138) Sx по д чи н яе т с я распределению Стьюдента сп-1 степенями свободы. Э т о я вл я е тс я основанием д л яо ц енки погрешности приближённого равенства д*Хср. См. также (1.69), (1.70), (1.129), (1.130). В еличина X2=(n-l)s2/62 (1.139) п р ит е хж е предположениях имеет распределение хи-квадрат сп- 1 сте п е н я м и свободы (см. т а к же (1.267)). Э т о позволяет о це н и ть погреш н о с ть приближённого равенства 6*s. Относительная погрешность |s-6 |/s н е превосходит числа есвероятностью: p=F(z2, n-l) - F(zlf п-1), (1.140) г д е F(z, п-1) - функция распределения хи-квадрат: 1/п-Г zx = ------; 1+Б /п-1 zz = ---------- . (1.141) (1.142) 1-Е См. также ВОСПРОИЗВОДИТЬ, Мера, Нормальное распределение, Шум, ШУМЬ. Под робно см. например, [27, 30, 58]. - 158 - П Параллельные измерения - многократные измерения, анализы о д н о й ит о йж е физической величиныв одинаковых, повторяющихся условиях с ц е л ью оцен к и точности эксперимента и ли сцелью повышения т о ч но с ти о ц е н к и неизвестного математического ожидания. См. также Дисперсия воспроизводимости, Ошибок теория, Параллельные опыты. Параллельные опыты - многократная постановка экспериментов, ос у ще ствляемая в с т ро г о одинаковых, повторяющихся условиях. См. также Дисперсия воспроизводимости, Параллельные измерения, Ошибок теория. Параметр (< греч. яарадетреш - мерить что-либо, сопост а в ля я е г о счем-либо, измерять что-либо п о чему-либо, сравнивать что-либо п о чему-либо.- А.Д.Вейсман; (1834-1913), [80]) - величина, з н а ч е н и я ко т о р о й слу ж а тд л я различения э ле м е н т о в некоторого множества меж д у собой. В зависимости о т конкретного множества различают с л е д у ю щ и е параметры. В статистике математической параметр - характеристика совокуп ности, например, математическое ожидание, дисперсия, момент р-того порядка. Параметр совокупностей о б ы ч н о обозначают греческими буква м и во т ли ч ие о т их оценок, вычисляемых п о результатам выбо р ок и обозначаемыхлатинскими буквами. Вматематическом моделировании параметр - величина, з н а ч е н и я к от о р ой с л у жат д л я конкретизации т о йили иной математической моде ли. В экспериментально-статистических моделях параметрами б у д у т на зываться, например, коэффициентыЬ0, blt Ь2___ _ Ьк уравнения у=Ъ0+Ъ1х1+Ъг хг+...+ftkxk. Параметр вфизическом моделировании, в технике и технологии величина, являющаяся существенной характеристикой системы, техни ч е с к о г о устройства, процесса, явления. Например, в гидромеханичес к и х процессах такими величинами я в ляются скорости течения жидкостей и газов, с корости движения твёрдых частиц, коэффициент динамической в яз к ости жидкой фазы, плотности жидкой и твёрдой фаз, размерыи ко э ф ф и ц ие н т формы частиц твёрдой фазы идр.; для тепловых п р оцессов т а к им и параметрами являются удельные теплоёмкость и теплопровод ность, температурный напор и т.д.; вмассообменных процессах пара метр а м и являются коэффициентымолекулярной диффузии, коэффициенты массоотдачи имассопередачи. Параметры могут б ы т ь постоянными ипе- - 159 ременными (т.е. могут завис е т ьо т времени и/или системы координат). См. также Детерминированно-стохастическая модель, Детерминистическая модель, Математическая модель, Константа, Коэффициент, Мера. Модель, Модель эксперимен тально-статистическая, Причина, Причинность, Связь, Следствие, Статистическая модель, Стохастическая модель, Структурная модель, Сущность, Явление. Параметрическая величина - безразмерная физическая величина, р а в н а яо тношению физической величинык одноимённой физической вели чине, принимаемой з анекоторый эталон. См. также Нормализация, Отношение, Параметр, Производить. Паскаля распределение (отрицательное биномиальное распределе ние) - д ис кретное распределение вероятностей случайной величины X, приним а ющ е й целы е неотрицательные з н а ч е ни я k=1 , 2 ,... всоответс т в и и сформулой: Р(X-fc)-ff"1 У(1-р)\ К+Г- 1 (1.143) г д е 0<р<1 и r=1, 2, 3,... (целое) - параметры. Математическое ожи д а н и еEX=rq/p=r(l-p)/p, диспер с ия DX=rq/p2=r(l-p)/p2. Пл отность в е р оятностей выражается формулой: k^v— 1 р(к)=------- рг(1-р)к. к (1.144) Т ипичное толкование распределения Паскаля - р(х) е с т ь вероят н о с т ь появления события (успеха) вк-й р а з после т о ч н о к+г-1 испы т а н и йп ос х е м е Бернулли п р и вероятности успеха р. При к=1 распреде л е н и е Паск ал я свод и тс я кгеометрическому распределению. Во д н о й и з интерпретацийраспределение Паскаля имеет приложе н и я кс татистике несчастных с л уч а е в и заболеваний, к задачам, свя з а н н ы м с количеством ос о бей д а нн о г о вида в выборках и з биологичес кихп о п у л я :ц и й , и т.д. Меняются и время, и мечты, Меняются, как время, представленья. Изменчивы под солнцем все явленья, И мир всечасно видишь новым ты. (Луис Камоэнс, 1524-1580). Переменная - величина, кото ра я визучаемой зада ч е принимает р азличные значения, причём так, ч т ов с е допускаемые зн а ч ен и я пере м е н но й полностью определенынаперёд заданными условиями. П р и наличии визучаемой з а д а ч еб о л е е че м одн о й переменной раз л ич ают независимые и зависимые переменные. Последние рассматривают- - 160 с я ка кфункции о т независимых переменных (аргументов ил и факторов), п р и ч ё м переменные являются з а висимыми ил и независимыми л и шь п о от н оше ни юд р уг кдругу, иихразличение достаточно усло вн о и опреде л я е т с я условиями задачи. Понятие переменной возни к ло в XVII в . первоначально п о д влия н ием з а п ро с ов естествознания, выдвинувшего н а первый п л ан из у че н и е движения, процессов, ан ет о л ь к о состояний. Э т о понятие н е уклады в а л о с ь вформы, выработанные математикой древности и средних веков, ит р е б о ва л од л яс в о е г о выражения новых форм. Такими новыми ф о р ма м и я в и л и с ь букв е н на я алгебра и аналитическая геометрия Р.Декарта (Des cartes Rene; 1596-1650). В б ук в а х декартовой алгебры, могущих при н и м а т ь произвольные числовые значения, инашли с в о ё си м во лическое выраже н ие переменные. Декартова переменная величина явил а сь пово р о т ны м пунктом вразвитии математики, благодаря е й переменную с т а л и рассматривать "не ка к состояние и зк р а йн е малых частей", ак а к про цесс, развитие, движение - т а к возникло дифференциальное иинтег раль н о е исчисления. "Всё меняется, кро м е перемен" (Израэль Занзвилл; 1864-1926). Н ач и н ая с о второй половины XIX в. математика начинает рассмат р ив а т ь ка к переменные н ет о л ь к о величины, н о ив с ёб о л е е разнооб р а з н ы е иширокие классы других свои хо бъектов - развиваются теория множеств, топология иматематическая логика. 0 том, насколько рас ши р и л о с ь вXX в. понятие переменной, свидетельствует т о т факт, ч т о вматематической логике рассматриваются н ет о л ьк о переменные, про б е г а ю щ и е произвольные множества предметов, н о и переменные, значе ния м и которых служат высказывания, предикаты (отношения между пред метами) и т.д. Пирсона критерий с о гласия с м. Хи-квадрат критерий, (1.276). Пирсона распределения - с е м е йс т в о непрерывных распределений вероятностей, плотности которыхр(х) являются решениями дифференци а л ь н о г о уравнения: йр(х) а0+а<х (1.145) -— :--- = ------------ --р(ж), й х Ъ0+2Ъ1х+Ъг х* г д е a0, а1# Ъ0, Ъ1г Ъг- параметрыраспределения (действительные числа). Графики зависимости р(х) о тхназываются кривыми Пирсона. Распред ел е ни я Пирсона полностью о пределяются первыми четырьмя цент ральнымимоментами. В случае, е с л и ах =1, то: - 161 Мз(М4+3/4) а0 = ------------ , (1.146) М2(^М2М4“ ЗДз) Ъ0 = ----£------------ , А ь (1.147) Мз<Д4+ЗМг) -------------- f 2А ,л (1.148) 2Д2М4-34'6Д2) Ъ2 = ------------------ , (1.149) г д е Л=10д4|Х 2-18д2-12/1з . Кривые Пирсона классифицируются в зависимости о т распределения к о р н е й квадратного трёхчлена: b0+2b1x+b2x2=0. (1.150) С е м ей с т во распределений Пирсона (или кривых Пирсона) составля е тдвенадцать типов. Т ип 1. D=b0b2-b21<0; Х=Ь21/(Ь0Ь2)<0; ^ b0+2b1x+b2x2=(a+x)(-£+х), ( а , р>0). / (1.151) П л о тн о с ть вероятностей: ( р(х) = a2fnp2n (a+x)m (fbx)n ----------------- ---------------------- , осе [-а, £], (а+р)т+п+1В(тгн-1, п+1) (1.152) ^ 0, х£[-а, р]; Г(т+1 ) Г(п+1 ) г д еВ(т+1, п+1)=--------------- . т>-1, п>-1. Г(т+п+2 ) (1.153) Частный с л у чай распределений т и па 1 - бета-распределения. Тип 2. Частный с л у чай т и па 1 п р иа=р, т и п а 2 имеют вертикальную о с ь сшшетрш. Тип 3. 0=Ь0Ьо-Ь21<0; Х=«>; > Ь0+2Ь1Х+Ь2Х2=2(а+Х)Ь1. ) Х=0 т=п. Распределения (1.154) - 162 Плот н о ст ь вероятностей km + 1 (а+х) х>-а, к>0, ехр(к(а+х)} Г(т+1) ’ * ' р(х) = (1.155) с0, х<-а; Ч а с т н ы е с л уч а и - Гамма-распределение, Хи-квадрат распределение. Тип4. D=b0b2-b21>0; 0<Х<1; Ъ0+2Ъ1х+Ъ2х2={й2+хг)Ъ2. 1.156) П лот но с т ь вероятностей: х\ р(х) * k{a2+x2)~mexp -Xarctg--- , хЕ[-~, <\>], т>1/2, (1.157) а г д е 00 к -1 (а2+х2)"те х р -Xarctg- _ хА dx. (1.158) -0 0 Тип 5. О=Ъ0Ъ2-Ъ2!=0; Х=1; Ь0+2Ь1х+Ь2х2::=(а+х)2Ь2. Пл о т н о с т ь (1.159) > вероятностей: / Xm_1 x_m е"Х/х Г(т-1 ) х>0, Х>0, т>1 , (1.160) I 0, х<0; Тип 6. Б=Ъ0Ъ2-Ь21<0; \=Ъ21/(Ъ0Ъ2)>1; (1.161) Ъ0+2Ъ1х+Ъ2х2=(а+х)(х~Р)Ъ2. Пл о т н о с т ь вероятностей: (х+а)т(х-р)п р(х) = (а+Р)т+п+1В(-т-п-1 , п+1) х>р, (1.162) О , х<Р; Г(-т-п-1 )Г(п+1 ) г д еВ(-т-п~1, п+1) = ----------------- , т>1, Г(-т) п>-1. (1.163) Частные слу ч аи - бета-распределение 2-го рода, д еление. Фишера распре - 163 Т ип 7. В=Ь0Ьг-Ь2j>0; (1.164) Х=Ь2 1 /(Ь0Ь2 )=0; ъ0 + 2 ь 1 х+ь2 х2 = (а2+х2)ъ2 Плотн ос т ь вероятностей: р(х) = а(а2+х2 Гт ХЕ(-оо, с о ), т>1/2. В(т-1/2, 1/2) (1.165) Ч ас т н ый с л у чай - Стьюдента распределение, (1.252). Тип8. D=b0b2-b21 <0; Х=Ь2 1 /(Ь0Ь2 )<0; (1.166) Ъ0+2Ь1х+Ь2х2=х(а+х)Ь2. Плотно с ть вероятностей: г (т+1 )(а+х)ш ат+1 р(х) = < х£[-а, 0], -1 <т<0, (1.167) О , х£1-а, 0]; Ти п 9. D=b0b2-b2 1 <0; (1.168) Х=Ь21 /(Ь0Ь2 )<0; Ь0+2bj х+Ь2х2 =х(а+х)Ь2. Пл отность вероятностей: г (тп+1 ) (сс+х)ш аm1 + 1 р(х) = < х£[-а, 0], тп<-1 . (1.169) О, х£[-а, 0]; Тип 10. 0=Ъ0Ь2-Ъ21=0; Х=Ь2 1 /(Ь0Ь2 )=0; (1.170) Ь0+2Ъ1х+Ь2х2=Ь0, ах =0. Плотно с ть вероятностей: р(х) = Х е Хх, х>0, у>0 О, ХСО; Ч ас т н ый с л у ч ай - показательное распределение, (1.177) (1.171) - 164 Ти п 11. В=Ъ0Ъ2-Ъгi=0; X неопределено; (1.172) Ъ0+2Ъ1х+Ъг хг =Ъ0, сц^О. Плот но с ть вероятностей: 2 £Е(~со, С»), х р р Р(х Я) = ------- е |/2т С б 2х (1.173) х Распределением Пирсона т и па И является нормальное распределение. Т ип 12. Частный с л у чай т и п а 1 пр иш=-п. Распределения Пирсона используются д л я приближённого о п и с а н и я э м п и ри ч ес к и х данных. Д ля опред е ле н и я типа распределения Пирсона, аппроксимирующего наблюдённые данные, вычисляют в ыборочные цент р аль ны емоментыи п о формулам д л я а0, Ь0, blf Ь2 находят о ц ен к и па р а м е т р о в распределения. Р аспределения Пирсона б ы л и введены в 1894 годуК.Пирсоном (Pe arson Karl; 1857-1936), систематическое о писание тип ов распределе ни йПирсона б ы л од а н о У.Элдертоном (W.Elderton) в 1938 г. Плотно с ть вероятностей - функция, характеризующая в ер о я т н о с т ь того, ч т о з начения случайной величиныX б у ду т заключены вт о мил и и н оминтервале. Другими словами, плотность вероятностей характери з у е т вероятность попадания случа й но й величиныX винтервал (ххх1+1); плотность случайных велич и нX в т о м или ином интервале. П л о т но с ть вероятностей р(х) е с т ь всегда действительная неотрица т е л ь н а я функция. П ос у т и плотность вероятностей аналогична гистог р а м мераспределения, н о опери р у ет бе с к о н е ч н о малыми величинами: х2 P(x1<X<x2)=f p(x)dx=F(x2)-F(x1). х1 Естественно, ч т о Р(х1 <Х<х2) - д о л яо т единицы, э т оп л о щ ад ь под к ри в о й плотности вероятностей винтервале х± *хг (рис.1.24). Сравни т е срисунком 1.29. П одробно см. раздел 2.4. Погрешности измерений (ошибки измерений) - отклонения резуль т а т о в измерений о тистинных з н ач е ни й измеряемых величин. Различ а ют систематические, случайные и г р у б ы е погрешности измерений (послед н ийви дпогрешностей измерений иногда называется промахами). Систе м атич е ск и е погрешности измерений обусловлены главным образом пог- Рис.1.24. Плотность вероятностей случайной величины X. Заштрихована область, площадь которой соответствует вероятности попадания случайной величины в интервал X j (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) ре ш но с тя м и средств измерений инесовершенством метоЭое измерений; с л у ч а й н ы е - рядом неконтролируемых причин (незначительными измене н и я м и условий измерений и др.); промахи - неисправностью с р е д с т в измерений, неправильным отсчитыванием показаний, резкими изменения б р а б о т к е м иу с л о в и й измерений и др. Гру бы е ошибки заметны, и п р ио ре з ул ь та т о в измерений их просто отбрасывают, влияние систематичес к и хо ш и б о к стремятся уменьшить различными поправочными множителями, о ц е н к и случайных погрешностей измерений осуществляют методами сташотики математической. См. также Мера, Ошибка, Ошибок теория. Шум, ШУМЬ. Показательная функция, экспоненциальная функция, экспонента функция: у=ех=ехр(х), (1.174) д л ял ю б о г о значения х (действительного или комплексного), определя е м а я соотношением: х \п ех = lim 1+ (1.175) п-*я п) г д е е- неперово число, иррациональное трансцендентное число, осно в а н и е натуральныхлогарифмов: е= lim 1+ г н с о п п * е=2,718281828459045... (1.176) Число е=2,718281828459045... и сключительно важно втеоретичес к и хипрактических исследованиях; э т о т факт полностью объяс н яе т ся в в ы с ш е йматематике и подтверждается уравнениями, описывающими дина- - 166 шческие процессыхимической кинетики, радиоактивного распада, тер мо д ин а ми к и и процессов переноса импульса, энергии (теплоты) имас с ы , колебательных явлений, роста клеток, зако н нормального распре д е л е н и я имногое другое. И, наконец, з а к о н забывания Г.Эббингауза. Показательная функция у>0 п р и любых значениях х. График пока з а т е л ь н о й функции называется экспонентой (рисЛ.25). еX X Рис.1.25. Показательная функция Функцию у=ахпр и а>0 т а к ж е иногда называют показательнойфунк цией, о н а связана с основной показательной функцией е х формулой ах=ех1па. См. также Логарифм, Экспоненциальная функция. Показательное распределение, экспоненциальное распределение, непрер ы вн о е распределение, адекватное показательной функции (част н ы йс л у ч а й Пирсона распределений, т и п 10, (1.171)). Плотность веро ятностей (рис. 1.26): (1.177) г д еX - параметр распределения, Х>0. Моментыраспределения: (1.178) 1 (1.179) Медиана: m=ln2/X; коэффициент асимметрии: Их-2; эксцесс: Е х=6. - 167 геометрического распределения. свойст в ом отсутствия последействия. Непрерывный аналог Обладает Рис.1.26. Плотность вероятностей показательного распределения (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) "ПОНИМАТЬ, п онятьчто, постигать умомъ, познавать, разуметь, уразумевать, обнять смысломъ, разумомъ; находить в чемъ смыслъ, толкъ, видеть причину и последств1я. ( . . . ) || П онятге, способность понимать, даръ уразуменья, соображенья и заключенья. (...) || Мысль, представленье, идея; что сложилось въ уме и осталось въ па мяти, по уразуменш, посташпи чего либо. ( . . . ) Н еобходимость без- к онечной величины доказываетсяматематикой, н о понятгя о б ьн е й сос т а в и т ьс е б е нельзя. (.. .) || П онятный, могуцЦй быть понятымъ, вра зумительный, постижимый, ясный, доступный смыслу, уму. (...) П оня т н о с т ь ж. качество по прглт., ясность, вразумительность. ( . . . ) " (В.И.Даль; 1 8 0 1 -1 8 7 2 ), [82]. См. также Диалектика, Д1АЛЕКТИКА, Категория, ОБОЗНАЧАТЬ, Определение, ОПРЕ ДЕЛЯТЬ, Понятие, Состоять, Суждение, Термин технический. "Понять - это научиться воспроизводить, и запомнить - это научиться воспроизводить. Но почувствуйте разницу: понять - научиться восп роизводить, не помня, запомнить - научиться воспроизводить, не понимая." (Александр Круглов; р. 1954). Понятие - целостная с ов о купность суждений, мысленная модель, отражающая в обобщённой ф орме объектыи явления действительности и с в я з имежду ними посредством фиксации общих и специфических призна ков. "Моменты понятия суть всеобщность, особенность и единичность. - 168 П оня ти ее с т ьи х единство” (Г.Гегель (Hegel Georg Wilhelm Friedrich; 1770-1831). Вкачестве признаков выступают свойства о б ъе ктов ияв л е н и й и отношения между ними. Объект характеризуется вп о н я т и и обобщённо, ч т о достигается з ас ч ё т применения впроцессе п о з н а ни я т а ки х умственных действий, ка к абстракция, идеализация, обобщение, сравнение, определение. Процесс образования понятий о с н ов а н н а е д и н с т в е анализа и синтеза. "Понятие - э т о всеобщее, которое в ме с т е ст е мо п ределено и остаётся в с в о ё м определении т е мж е сам ы м целы м и т е мж е самы м всеобщим, т ое с т ьт а к а я определённость, вкото р о й р азличные определения в е щи содерж а тс я как единство" (Г.Гегель; 1770-1831). В отличие о т сужде н и я впонятии только утверждается на л и чи е признаков и свойств объекта. Так же в понятии должны б ы т ь о тображены тол ьк о отличительные и существенные признаки, св ойства о бъ е к таиявления, находящиеся в органической взаимосвязи. Наконец, п о н я т и е - детерминированно-стохастическая мысленная модель объекта, явления. Посредством отдельных понятий и систем понятий отображаются фрагменты действительности, изучаемые различными науками инаучными теориями. "Понятие е с т ь то, ч т о раскрывает, че м являлся и л и являет с я т о т и л и иной предмет" (Антисфен и з Афин; 444-366 д о Р.Х.). В к аж дом п онятии различают е г о содержание (совокупность приз н ак о в предметов, отражённых впонятии) и о б ъ ём (множество, к л а с с предме тов, каждому и з которых принадлежат признаки, относящиеся к содер жанию понятия). Например, г л ав н ое содержание понятия "молекула" мельчайшая частица, сохраняющая физические и химические с в о й ст в а д а н н о г о вещества, а объё мэ т о г о понятия бесконечен ~ молекулы в сех веществ. Полярный пример, Жар-птица, Конёк-горбунок, Царевна-лягуш ка, Змей-Горыныч, "ковёр-самолёт" и т.д. - понятия спустым объ ёмом, и х объёмы н е содержат н ио д н о г о элемента. Большое з н а ч е н и е представляют о б щи е понятия: атом, молекула, химический элемент, на т уральныечисла, вещественные числа, иррациональные числа, млекопи тающие, насекомые, земноводные, рыбы, птицы, растения, вулканы, ре к и и т.д. Понятие непосредственно с в я з а н о спроцессом понимания челове к о м си с т е м иявлений. Понимание, п о существу, означает с о з да н ие адекватной мысленной модели. Поня т ия и связи имеют о п р еделённый т о ч н ы йс м ы сл врамках некоторого множества моделей, которые конс труиру ю тс яд л я научного описания. Стечением времени модели изменя- - 169 ются, изменяются и понятия. Та кнапример, термин "технология" в к он це XVIII - начале XIX в е к о в озна ч ал науку охимической перера б о т к е пр иродного с ы р ь я в продукты, нужные человеку. В настоящее в р е м я "технология" ста л а понятием, т.к. впромышленности б ы л о раз р а б о т а н ом н о г о технологий, и э т о т проц ес с продолжается. Понятия, к а китермины, н е неподвижны, о н ипереходят друг вдруга, непрес т а н н о изменяются, как непрерывно меняется жизнь. "Всё меняется, к р о м е перемен" (Израэль Зангвилл; 1864-1926). Примером того, к а к п о н я т и я наполняются новым содержанием, являются названия проц ед у р п е р е ме щ ен и я автомобиля в гар аж (из гаража), в автосервис (из авто сервиса), сместанеудачной парковки, и зо д ного города (села) в д р уг о й и т.п., полностью заимствованные и з обращения сдомашним скотом. Понятия, характеризующие различные случайные события вж и з ни ч е л ов е к аи е г о социального окружения, в значительной степ е н и субъ ективны, медленно меняются о тп о коления кпоколению, изменяются и в о времени, и впространстве. Люб ые оценки случайных соб ы ти й отно сительны, поскольку рождаются в сравнениях и противопоставлениях. И с о в е р ш е н н о естественно междужитейской вероятностью и математичес кой, формализованной вXVIII-XIX вв., в обыденном сознании пролегла непреодолимая пропасть. И зме не н и я свойственны всем понятиям, и э т о т процесс характери з у е т с я законами развития языковых форм, содн о й стороны, и действи е ммножества детерминированных ф акторов (причин, сл у ч ай н о сочетаю щихся), сдругой стороны. Х а о си д и н а м и чн о с ть впричинно-следствен н ы хс в я з я х человека и е г о окруже н и яит о т факт, ч т од л яб ол ьшинства л ю де йихжизн ь - детерминированно-стохастический процесс, приводят к тому, ч т о в трансформациях с о де р жа н и я понятий присутствуют к а к закономерности, та ки случайности (см. примечание 9 на с. 41). Источником понятий является диалектически развивающийся мате р иальный мир. Когда вп р оцессе исследования объекта или явле ни яо б наружи в ае т с я новая, б о л е ег л у б ок а я сущность, с т а р ое поня т ие м о же т с т а т ьв с е г ол и ш ь суждением, ам е с т ое г о займёт новое понятие, н о в а я м ы с л е н на я модель, включающая в н о в ь от к ры т ы е отличительные и сущест в е н н ы е признаки и свойства э т о г о объе кт а ил и явления. "Понятие неразрывно с в я з а н о сязыковой средой. Ре альность каж д о г оп он я т и я проявляется вязыке. Пон я т ие возникает на б а з ес л о ви н е мож е т существовать в н е слов. С л о в о является носителем понятий. - 170 Слово, обозначающее с т р о г о определённое понятие какой-нибудь облас т инауки, техники, называется термином. Будучи неразрывно с в я з а н о с о словом, понятие н е является тождественным слову. Э т ов и д н о и з т о г о факта, ч т о вразных языках о д н и ит еж е понятия регистрируют ся, закрепляются в различных словах." (Я.И.Кондаков; (1900 (?)-1984), [86]). См. также БЕЗКОНЕЧНЫЙ, Бесконечность, Величина, Вероятность, Выборка, Диалек тика, Д1АЛЕКТИКА, Категория, Константа, Концепция, Математическое ожидание, Множество, Момент, ОБОЗНАЧАТЬ, Определение, ОПРЕДЕЛЯТЬ, Отношение, Оценка, Переменная, ПОНИМАТЬ, Распределение вероятностей, Совокупность, Состоять, Сре да, Среднее значение, Статистика, Суждение, Термин технический, Функция. О встречающейся нечеткости различения "Понятие" и "Термин1' см. Больших чисел за кон, Информация, Категория, Норма, Математическое ожидание, Результат, Производ ная, Совместные распределения, Степень, Эмпирический метод. Популяция (< фр. population - (народо)население, жители; попу ляция < ср.-лат. populatio < лат. populus - народ, народность, тол па, множество, рой, масса) - (мат.) подмножество совокупности. В к а ч е с т ве вспомогательного термина статистики математической т ер м и н "популяция" с т ал использоваться впоследние десятилетия. (биол.) Совокупность о со б ей о д н о г о биологического вида, обита ю щ а я в определённом пространстве, в т о й или иной степениизолиро в а н н а яо тдругих таких ж е совокупностей. В биологии популяция рас с м а т р ив а е тс я ка к элементарная е д и ни ц а эволюционного процесса, спо с о б н а я относительно длительно существовать вследствие д е йствия сба лансированных факторов наследственности, изменчивости и конкурен ции. Различают популяции з а мкнутые (приток новых г е н о в и з других попу л я ци й исключён), о тк р ы ты е (приток новых ген о в возможен) и сба лансированные, вкоторых наблюдается равновесие между возникновени е м мутаций и естественным отбором. Термин "Популяция" употребляют т а к ж е в этногенезе и вантропологии, а т а к ж еп о отношению к ка ким-либо группам клеток. Термин "популяция" б ы л введён В.Иогансеном (3.02.1857 11.11.1927) в 1903 г. д л я обозначения неоднородной в генетическом от н ош е ни и группы осо бе йо д н о г о вида в о т ли ч и ео т однородной ч и с т о й линии. О д н а к оу ж е Ч.Дарвин объяснял происхождение в ид о в вп р о ц е сс е эволюции, опираясь на д а н н ы е о наследственности, изменчивости и ко н куренции впределах совокупности о с о б е й (см. выше). См. т а к ж е Множество. Постулат (< лат. postulatum - требование, иск. - И.X.Дворец кий; (1894-1979). [84]) - термин, означающий суждение, тр е бование - 171 и л и положение, которым пользуются д л я доказательства ка кисходным, несмотря на то, ч т о истинность е г он е может б ы т ь доказана непос редственно. Другими словами, постулат - недоказуемая истина. См. также Состоять. "Нет правила без исключения, но исключе ния не нарушают правила." (Луций Анней Сене ка; 4 до Р.Х.- 65 после Р.Х.). Правило - 1. Положение (норма, закон, канон), вкотором отра жена закономерность, постоянное соотношение каких-либо явлений и л и событий, устоявшиеся причинно-следственные связи, какие-либо нор м ы (например, грамматические правила, арифметические правила, правило т р ё хс и г м а идр.). 2. Постановление, предписание, устанавливающее порядок чего-либо (например, правила дорожного движения, п равила те х н и к и безопасности и др.). 3. О б р а з мыслей, норма поведения, обыкновение, привычка (например, взят ьз а правило, человек с т р ог и х п ра в и л и т.п.). 4. Софизм, з аключающийся вследующем рассуждении: Нет правила без исключения; Это положение есть правило; Оно имеет исключения, ч т о означает, ч т о имеется, п о крайней мере, о д н о правило, к о то р о е и м е е т исключения. <=> Как правило и л и как общее правило - обычно. Правило определения критического значения статистического кри терия заключается в том, ч т о исследователь (руководитель) принимает н ас е б я ответственность з афиксацию уровня значимостиа, т.е. при н и ма е т допустимую вероя тн о с ть ошиб о чн о отвергнуть основную (нуле вую) проверяемую гипотезу Н0, когда о н а верна. Центральный мом е нт п р ип р о в ер к е гипотезыН0 заключается в том, ч т о уровнем зна ч им о с ти аз а д а ю т с яд о анализа выборки н а основ а н ии физической с ущности за д а ч и и последствий о то ши бочного прин ят и я решения. П р ив ы б о р е уров н яз н а чи м ос т и следует учитывать ущерб, неизбежно возникающий п р и использовании любого критерия значимости. Так, например, е с л и уро в е н ь значи м о ст и чрезмерно велик, т о основной у щ ер бб у д е т происхо д и т ьо т ошибочного отклонения правильной гипотезы; е с л иж е уров е нь з на ч и м о с т и мал, т о уще рб будет, ка к правило, возникать о т ошибочно г о п ринятия гипотезы, ког да о н а ложна. Э т и ошибки неравноценны. Исследователь (руководитель) должен решать, какой риск п р и отклоне н и и ос н о вн о й (нулевой) гипотезы является допустимым. - 172 Критические з начения критерия Стьюдента определяютд л я прини м а ем о го уров н я значимости а, руководствуясь правилом: ( оп I p(t)dt - р tv >tv - а, а ^ tv (1.180) г д е ton - опытное значение к ритерия Стьюдента, а - площадь п о дкри в о йpit), характеризующая вероятность ошиб о ч но отвергнуть в е р ну ю нуле в у ю гипотезу (см* рис. 1.22, 1.37, 1.40. См. т а к же уравнение (1.254) и соответствующий раздел). Табулированные з на ч ения tv д л я различных уровней значимости а приведены вПриложении 6. См. также Стьюдента распределение. Критические значе н и я критерия Фишера определяют д л я принимае м о г оу р о в н я значимости а, руководствуясь правилом: 00 Г П0П а ' / p(F)dF = РF V V >F V V = а, а 4 1> 2 1» 2 F (1.181) г д е Fon - опы тн о е значение к р ит е ри я Фишера (1.257), а - площадь по д кр и в о й р(F), характеризующая вероятность ошибочно отвергнуть ве р н у ю нулевую гипотезу (см. рис. 1.7, 1.23, 1.39, 1.44. См. т а к же уравне н и е (1.262) и соответствующий раздел). Табулированные з н а ч е н и я FVi,V2 Д л я различных у ровней значи мо с т иа приведены в Приложениях 7, 8, 9. См. так же Фишера распределение. П р и проверке статистических ги п о т е з представляют инте ре с кри т и ч е с к ие з на ч ен и я хи-квадрат критерия. И х определяют д л я принимае м о г оу р о в н я значимости а, руководствуясь правилом: со . J p(X2)dX2 - pfx* > Xе V cl а, (1.182) ХV“ г д е X2V ~ о пы т н ое з на ч ение хи-квадрат критерия, (Х%)а- т а б л ич н ое з н а ч е н и е хи-квадрат критерия, а - п лощадь под кривой р(Х2), харак теризу ю ща я вероятность о ш и б о чн о отвергнуть верную нулевую и л и о с новную гипотезу (рис. 1.48. См. т а к ж е уравнение (1.281) и соответс т ву ю щ и й раздел). Табулированные з н а ч ен и я хи-квадрат крит ер и я п р и различных уровнях значимости а приведены вПриложении 5. См. также Хи-квадрат распределение. - 173 П р и проверке статистических г и п о те з практический и н т е р е с представляют критические знач е ни я стандартизованной случайной вели чиныza, которые определяют д л я принимаемого уро в н яз н ачимости а, руководствуясь правилом: 00 z Т О ( е х р \ - Z > Z \ dz = а, (1.183) za г д е а - площадь под кривой стандартизованной плотности вероятностей р(х), характеризующая вероятность ошиб о ч но отвергнуть верную нуле в у ю гипотезу (рис. 2.29. См. т а кж е уравнение (1.89) и соответствую щ и й раздел). Табулированные з н а ч ен и яz п р и различных уровнях значи м о с тиа приведены вПриложении 4. См. т а кж е Лапласа функция. Правило трёх сигма см. Т р ё х сигмаправило. "ПРЕДЕЛЪ м. начало и л и конецъ, конъ, межа, грань, разделъ, край, рубежь и л и граница; конецъ о д н о г о иначало другаго, въ смысле в е щ с т в . идухв. (...) Быдти и з ь пределовь чего, изъ границъ, из ъ меры; нарушить порядокъ, правила, обычай. (...) Предельный, к о пред ел ам ъ въ р а з н .з н а ч . отнсщс." (В.И.Ладь; 1801-1872), [82]. См. также Конец, Конечное. "Конечно, всё на свете имеет свой конец и предел и, достигнув до высшей точки, падает вниз, ибо долго пребывать в таком положении не может." (Франсуа Рабле; 1494-1553). Предел - 1. Последняя мера, с т е п е н ь чего-нибудь, к ра й н я я грань. 2. Пространственная и л ив р еменная граница чего-либо. 3. (жат.) О д н ои з основных понятийматематики, означающее, ч т о некото р а я переменная врассматриваемом процессе е ё изменения неограничен н о приближается кнекоторому постоянному значению. Понятие "предел" име е тт оч н ый смысл ли шь п р и наличии корректного понятия б л и з о с т и рассматриваемых о бъектов вообще, имежду элементами множества, в к отором указанная переменная принимает значения, вчастности. Ч е р ез п р ед е л определяются основные п о ня т ия математического анализа - неп рерывность, производная, дифференциал, интеграл. К понятию предела вплотную подошли древнегреческие философы при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания. Так, Архимед (ок. 287-212 до Р.Х.), рассматривая последовательности вписанных (описанных) ступенчатых фигур (тел) с помощью метода исчерпывания, доказывал, что разность между их площадями (объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины (следует заметить, что термин "исчерпы вание" был впервые употреблён Григорием из Сен-Винцента (1584-1667) [48]. - 174 Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем тео рии пределов. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предела не было сфор мулировано, не было создано каких-либо основ общей теории предела. Это было сделано в XVII в. Галилей Г. (1564-1642), Кеплер И. (1571-1630), Паскаль Б. (1623-1662) и др. при вычислении площа дей (объёмов) стали использовать метод неделимых, метод актуальных бесконечно малых, т.е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. В этот же период продолжает применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента (1584-1667), П.Гульдин (1577-1643), X.Гюйгенс (1629-1695) и др.). И.Ньютон (1643-1727) в сво ём труде "Математические начала натуральной философии" описывает "Метод первых и последних отношений", который он положил в основу своего метода флюксий. В этой теории И.Ньютон вместо актуальных бесконечно малых предлагает концепцию "потенциальной” бесконечно малой величины, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой по ложительной конечной величины. Теория И.Ньютона была прогрессом в развитии представления о пределе. В XVIII в. понятие предела (намечавшееся у математиков XVSI в.), всё более анализирова лось и уточнялось (Л.Эйлер (1707-1783), Ж. Д'Аламбер (1717-1783), Л.Карно (1753-1823), братья Я.Бернулли (1654-1705) и И.Бернулли (1667-1748) и др.) [48]. Современная теория предела начала формироваться в начале XIX в. в связи с изучением свойств различных классов функций. В работах О.Л. Коши (1789-1857) понятие предела впервые стало осно вой построения математического анализа. Им был получен внутренний критерий сходимости после довательности (носящий теперь его имя), а также были получены основные признаки существования предела последовательностей и основные теоремы о пределе. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно поня тие предела последовательности и функции оформилось в работах Б. Больцано (1781-1848) и К. Вейерштрасса (1815-1897) [48]. Вообще, пределов внауке и техни к е немало: п р е де л длительной прочности, предел ползучести, нальности, предел прочности, предел текучести, предельно-допустимая доза, п р едельное состояние, щенные) соединения и др. предел усталости, предел пропорцио предел упругости, предельные (насы См. также Конец, Конечное, Л и н и я , ПРЕДЕЛЪ. Предельный - 1. Наибольший, с а м ы й большой, максимальный, наи высший, рекордный. 2. Являющийся границей, пределом чего-нибудь. 3. Крайний, доходящий д о предела. "ПРИБЛИЖАТЬ, приблизить что къ чему, переставить, переложить, п ри д в ин у ть ближе, умалять разстояньеили время, пртвпл. отдалять, уда лять. (...) Приблизительный., приближающш. II О количестве, качестве, б Л И З к!й, подходящхй, примерный, неточный, прикидной, о к о л о чего. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. т а к ж е Качество, Количество. П риведение к параметрическомувиду см. раздел 2.7. Признак - показатель, примета, знак, метка, заметка, отличие, всё, п о чему узнают ил и определяют что-либо [83, 90]. Достаточно ч а с т о признак является мерилом д л я определения достоверности, соот в е т с т в и я человеческого з н а н и я объективной реальности, а т а к ж е осно ван и ем д л я оценки, определения и л и классификации чего-либо. Преде- - 175 ломпризнака, внекотором смысле, является критерий. В каче с тв е п ри з н ак о в выступают свойства о б ъ е к т ов и явлений и отношения между ними. Например, неотъемлемый признак дисперсных систем - наличие г р а ницраздела фаз. Признаки подразделяются на о б щ ие и специфичес кие. Вы с ш а яс т е п е н ь признака оп ре д е ля е тс я словом "ультра...", низ ш а я - "инфра.При статистическом анализе признаками б у д у т лито л о г и я разрезов, вид промывочной жидкости, размеры частиц вдиспер сиях, рост, вес, возраст люд ей (животных), цвет волос, г л а з и т.д. См. также Вариационный ряд, Данных обработка математическая, Категория, Ка чество, Корреляционный анализ, Понятие, Примечание 1. "Обстоятельства переменчивы, принципы никогда.” (Оноре де Бальзак; 1799-1850). Принцип (< лат. principium - начало, происхождение, принцип, первопричина, основа, основоположение) - 1. Основное положение, ис хо д ный пункт, предпосылка какой-либо теории, концепции, учения. 2. Внутре н н ее убеждение, взгляднареальность, законы поведения. 3. О с н о в а устройства, действия какого-либо механизма, прибора, ус тановки. "Роком я называю порядок и последова тельность причин, когда одна причина, связан ная с другой причиной, порождает из себя яв ление." (Гераклит Эфесский; 535-475 г. до Р.Х.). Причина {укр. причина, польск. przyczyna < чин, чинить. JIam. causa - причина, повод, основание, побудительное начало) - явление, в ыз ы в а ю щ е е возникновение другого явления - следствия. Другими сл о вами, п од причиной/подразумевается явление, которое та кс в я з а н ос д р у ги м явлением, называющимся следствием, ч т ое г о возникновение не и зб е ж но влечёт з ас о б о й возникновение следствия, ауничтожение е г о в л е ч ё тз ас о б о й уничтожение следствия. Например, поступление тепло т ывжидкость или г а з немедленно вызывает градиент температуры, с ле д с тв и ем которого является град и е нт плотности среды. В с в о ю оче редь, немедленным следствием изменения плотности с а м о й жидкости (газа), обусловленного термическимрасширением, является естествен н а я конвек ц ия - движение с л о е в жидкости (газа) сменьшей плотностью вверх, а с л о е в жидкости (газа) сбо л ь ш е й плотностью вниз. "Детерми ни з мпредполагает "долженствование": причина должна порождать та кое-то и такое-то следс тв и е (и о ч е н ь час то добавляется "сразу - 176 же")... 'З а к о нс тр о гого детерминизма может основываться (или опро вергаться) о д н и м единственным экспериментом: следствие е с т ьи ли е г о нет". До с таточно очевидно, ч т о вм и р е не т беспричинных явлений - лю б о еяв л е н и е природы и о бщества е с т ь следствие т о й или другой причи ны. Од ин а к ов ы е причины в одн и хи те хж е условиях вызывают одинако в ы е следствия. Сдругой стороны, с л е дс т ви ен е пассивно п оо тношению к причине, взаимодействие причины и с ледствия является причиной последующихпроцессов. Нет явлений, которые н е имели б ыс в о и хпри ч и ни т а к ж ет о ч н о нет явлений, к от о ры еб ын е порождали те хили иных следствий. Следствие, произведённое некоторой причиной, с а м о стано в и т с яп ричиной д ругого явления; последнее, в с в о ю очередь, стано в и т с я причиной третьего явления и т.д. "Что сильнее всего? - Необ ходимость, и б оо н а властвует над всем" (Фалес Милетский; 625-547 г . д о Р.Х.). Эт упоследовательность явлений, связанных д р у г сдру г ом о тн о ш е н и е м внутренней необходимости, называют причинно-следственной ц е п ь юи л и "цепью причинения". Л ю б а яи з цепей причинения н е име е тн и начала, н и конца, и люб ые попыт к и найти "первопричину" ил и послед н е ес л е дс т ви е достаточно бесперспективны. Познание причинно-следс т в е н н о й с в я з и явлений играет о г р о м н у юр о л ь винтеллектуальном раз в и т и и человека. См. также Возможность, Информация, Отношение, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Ре зультат, РЕЗУЛЬТАТЬ, СЛЕДИТЬ, Следствие и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУ ЧАЙНОСТЬ. "То, что принято называть "причиной”, это не более, чем присущая душе человека привыч ка наблюдать одно явление после другого и заключать из этого, что явление более позднее по времени зависит происхождением от более раннего." (Давид Юм; 1711-1776). Причинность - с в я з ь между от дельными состояниями в и д о в и форм м а т ер и и впроцессах е ё движ е ни я иразвития. Причинность - философс к а я категория. Э т оо д н аи з форм всеобщей взаимосвязи явлений четы р ёх м е рн о го пространства-времени, вкотором существует з е м н а я циви лизация. Причинность является о с н о в о й практической деятельности че ловека, е г о стратегии и тактики, основ о й научных прогнозов. Некото р а я остр о тапроблемы причинности вфилософии вообще и в науке, в частности, обусловлена см ешением понятия "причина" и к атегории "причинность". Во тч т о писал опричинности французский физ и к Ле о н - 177 Бриллюэн: "Причинность принимает утверждение, содержащее "может”: о п р ед е л ён н ая причина может вызва т ь такие-то и такие-то с л е д с тв и я с некоторыми вероятностями и некоторыми запаздываниями. Р а з л ич и е о ч е н ь важно. Зако нс тр о го г о детерминизма может основываться (или опровергаться) единственным экспериментом: следствие е с т ьи л ие г о нет. Э т оо т в е тт и па "да ил и нет" и содержит л и ш ьо д и нб и тинформа ции. Т а к а яс ит у а ци я может иногдавстречаться, н оо н ае с т ь исключе ние. Вероятностная причинность требует множества экспериментов, п р е ж д е че м з а к о н вероятности к а к функцию запаздывания в р ем е ни t у да с т с я сформулировать приблизительно. <...> Вместо ст р ог о г о детер мин и зм амы получаем некоторый з а к о н корреляции, некий б о л е ет о н к и й т и п определения, который мож н о применить к великому многообразию проблем". Вреальном мире од н овременно происходит множество независимых явлений, час ть и з них конкурирует, одновременно в л и яя наразвитие д р у г о г о множества процессов. Э т о множество независимых о бъ ективных и су б ъе к ти в н ых причин, од н ов р е ме н но (или, п о мнению ЛеонаБриллюэна, сзапаздыванием) влияющих н аразвитие событий, приводит ктому, ч т о т р е т ь е внашей последовательности рассмотрения множество собы т и йп р оисходит случайно. "Одно и зс а м ы храспространённых заблужде н и й - принимать результат с о б ы т и яз ае г о неизбежное следствие." (Гастон д еЛевис; 1764-1830). В о тл и ч и ео т "причины" пр и чинность д опускает разветвление следствий. Впределе случайность начинает преобл а да т ь тами тогда, г д е икогда детерминизма с т ановится слиш к о ммного, - множество причинно-следственных связей, соизмеримых п о интенсивности, приводит кхаосу, и з которого рождается нормальное распределение с обытий (в частности, о шибок измерений), аинформа т и в н о с т ь собы ти й рассеивается. Таким путём развивающаяся причин но-следственная ц е п ь детерминированных п о своей физической сущно с ти я вл е н ий иприводит к детерминированно-стохастическому процессу су щ е ст в ов а н ия белковыхинебелковых тел. Ре а ль н ос т ь экспериментальной работы такова, ч т о невоз мо ж н о п р о в е с ти эксперимент б е зо ш иб о к поддержания требуемых у словий и о ш и б о кизмерения. Х орошая ил ип л ох а я воспроизводимость эксперимен т о в- э т о другой вопрос, н оо ш и б к иб у д у т - невозможно избавиться о т т а кназываемого шума. П о существу, результаты экспериментов - слу чайные величины. И ме нно поэтому к обработке д а н н ы х привлекаются с та т и стическиеметоды корреляционного, дисперсионного, регрессион - 178 н о г оа нализов имногие д р у ги е методы. Достаточно час то проблема н е вошиб ка хизмерений, ав слабых причинно-следственных связях иссле д у е м о г о явления, процесса, ви х соизмеримости сполезным сигналом. Ста т ис т и че с ки е методы н е могут однозначно утверждать - причин но-следственная с в я з ье с т ь ил ие ёнет. Единственно, н ач т оо н и спо собны, - спринимаемой самимисследователем доверительной вероят н о с ть ю утверждать, что, например, свероятностью Р=0, 95 причин но-следственная с в я з ь есть, авероятность того, ч т о искомой с в я з и н е т - Р=0,05. И н еб о л е е того. См. также Возможность, ВОСПРОИЗЕЮДИТЬ, Информация, Мера, Отношение, Причи на, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Результат, РЕЗУЛЬТАТЬ, СЛЕДИТЬ, Следствие и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. "Слабые люди верят в удачу, сильные - в причину и следствие." (Ралф Эмерсон; 1803-1882). Причинно-следственная с в я з ь- т а к о е отношение между о т д е л ьн ы ми событиями, п р и котором о д н ои зс об ы ти й (причина) п р ие г о осущест в ле н и и неизбежно влечёт з а с о б о й возникновение дру го г о с о б ы т и я (следствия), а уничтожение причины приводит кнеосуществимости следствия. Причинно-следственным с в яз я м свойственна асимметрия, поскольку с корость распространения материальных воздействий (пере д а ч иинформации) вполне конечна ин е превышает скорости с в е т а (по к ра й н е йм е р ен а общепринятом физическомуровне). Причинно-следственная связь, п о существу, о значает соединение, о т н о ш е н и е взаимной зависимости, причинное сродство, общн ос т ь между чем-либо и т.п. Д л я успеш н ог оп рименения статистических методов п р и а на л и з е промысловых д а н н ы х не обходимо понимать иразличать с в я з и в о тн ошениях причиныи следс тв и я ис в я з и возникающие между результа таминаблюдений (экспериментов) ипараметрами, вычисляемыми п оэ т и м д а н н ы м ихарактеризующими т еи л ии н ы е свойства изучаемого явления. П оз н а ни е причинной с в я з и явлений играет огромную роль винтеллекту а ль номр азвитии человека. См. также Возможность, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Результат, РЕЗУЛЬТАТЬ, СЛЕДИТЬ, Следствие и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. "ПРИЧИНЯТЬ, причинитьчто, б ы т ь причиною, причинникомъ чего; де лать, творить, соделывать, учинять, чинить, производить. (...) || Причтаж. начало, источникъ, вина, коренной поводъ действ1ю, слу чаю; ч т о производить последств1я, ч т о служить виною, рычагом, ос н о вн о й силой, начальнымъ деятелемъ явленья. Всему с в о я причина. - 179 Всему е с т ь причта. Одна и та же причина рождает о д н о итож е следствге. Мгръ причин, духовный: мгръ последствий, вещественный. ( . . . ) Причина рождаешь следствге, которое в е де ш ькъ цели. Причина е с т ь исходная, начальнаяточка, ац е л ь конечная; посему 11 причинойзовутъ и цель, намеренье, то, д л яч е г о (а въ перв. случае о т ъ чего) ч т о случается, б ывает. (...) || Причинность, лат. via causalitatis, доведете д о уверен н ос т ив ъ чем либо, исходя о т ъ причины к ъ причине (Наум.). (...)" (В.И. Даль; 1801-1872), [82]. С м . Начало. См. также Возможность, Информация, КОНЕЦ, Конечное, Отношение, Причина, При чинность, ПРИЧИНЯТЬ, Результат, РЕЗУЛЬТАТЪ, СЛЕДИТЬ, Следствие. Прог но з (< греч. Ttpolfvatfit - предузнавание, предопределение) з а к л ю ч е н и е опредстоящем развитии иисходе какого-либо процесса о с н о в а н н ое на специальном исследовании. Прогноз предполагает вариа т и в н о с т ь ивероятность осуществления. Прогрессия (< лат. progressio - движение вперёд, преуспеяние, развитие) - последовательность xt, хг,..., хп,..., каждый ч л е н хк к о т ор о й получается и з п р едыдущего sck_1 прибавлением п ос тоянного (для д а нн о й прогрессии) числа (арифметическая прогрессия) или умно ж ен ием н а постоянное чис л о (геометрическая прогрессия). Производная - 1. (мат.) Функция, определяемая д л я кажд о го зна ч е н и я хка кпредел отношения: Ау f(x+Ax)-f(x) (1.184) lim ----= 11т --------------- , Дх-*0 Д х Дх-Ю Д х е с л ио н существует. Производная - о сн о вн о е понятие математического анализа; производная характеризует с к ор о ст ь изменения функции f{x) п р и изменении аргумента х. Производные функции y=f(x) обозначают f'(x), у’ , dy/dx, df/dx, Df(x). Соотношение dy/dx с ле д у е т рассматривать именно целиком, к а к сп е ци а ль н ы й символ, н он е ка кдро бь счислителем dy и знаменателем dx. Процедура нахождения производной f ’(x), т.е. предела соотноше н и я Ау/Ах называется дифференцированиемфункции y=f(x). Задачадиф ференцирования функций я в ляется предметом дифференциального исчис ления, начала которого б ы л и разработаны Г.В.Лейбницем (G.W. Leibniz; 1646-1716) иИ.Ньютоном (I.Newton; 1643-1727) и приоритет в откры т и ик о т о р о г об ы л причиной д о статочно жёстких с п оров между э т и м и д в у м яв еликими учёными [49]. Функция, имеющая производную, непрерывна, н он е вс я кая непре р ы в на яф ун к ц и я имеет производную в о всех точках заданного промежут- - 180 ка. Е с л и существует производная функции /'(х), т ое ё называют вто р о й производной функции y=f(x) и обозначают f*'(x), у**, d2y/dx2, d2f/dx2, B2f(x). Аналогично о п ре деляется производная л ю бо г о (цело го) порядка п. Дл я функций многих переменных определяются ч а ст н ы е п р о и зв о дн ы е - производные п о одному и з аргументов, вычисленные в предположении, ч т о остал ь ны е аргументы постоянны. Частные производ н ы е фун к ци и y=f(xi$ х2,..., хк) обозначают ду/дх1г ду/дх2,..., ду/дхки л и df/dxlt df/dx2,..., df/dxK. Т е рм и н "производная" (а т а к ж ев т о ра я’ ’ производная" и т.д.) в 1797 г. в в ё лЖ,Лагранж (Lagrange Joseph Louis; 1736-1813), обозна ч е н и я у', /'(я), /"(х) - о нж е (1770, 1779), обозначение dy/dx в 1675 г. ввё л Г.Лейбниц {Leibniz Gottfried Wilhelm; 1646-1716). Ч аст ны е производные появились в трудах И.Ньютона (Newton Isaac; 1643-1727), Г.Лейбница, Якоба Бернулли (Jacob Bernoulli; 1654-1705) и Иоганна Бернулли (Johann Bernoulli; 1667-1748), обозн ач е н ия df/dx, ду/дх в 1786 г. в в ё л А.Лежандр (Legendre Adrien Marie; 1752-1833), обозначения f'x, z \ в 1797 и 1801 гг. ввёл Ж.Лагранж, о б о з н а ч е н и я d2z/dx2, d2z/dxdy в 1837 г. ввё л К.Якоби (Jacobi, Carl Gustav Jacob; 1804-1851), [47]. См. та к ж е Б е с к о н е ч н о с т ь (м ат .) . 2. (физ.) Производная физическая величина - величина, образуе м а я и з основных физических велич и н системы спомощью определяющих уравнений, описывающих законыфизического мира. Законы физического м и раформализуются вв и д е уравнений, описывающих зависимость о д н и х вели ч и н {функций) о т других (факторов). Характер э т о й свя зи позво л я е тв ы р а з ит ь чере з несколько произвольно выбранных величин, назы в а е мы х втаком с л уч а е основными, в с е остальные производные величи ны, используемые внауке, т е хн и к е и технологии. См. та к ж е на, Б е з р а з м е р н а я ф и з и ч е с к а я в е л и ч и н а , О т н о ш е н и е , П а р а м е т р и ч е с к а я в е л и ч и П р о и з в о д и т ь . Пропорциональное сред н е е между д в ум я положительными числами геометрическое среднее э т ихчисел. Пропорциональность (< лат. proportio - пропорция, соотношение, соразмерность) - простейший в и д функциональной зависимости. Разли ч а ю тп р ям у юи о братную пропорциональность. Дв е переменные величины н азывают п р я м о пропорциональными (или п ро сто пропорциональными), е с л ио тно ше н и е их н е изменяется, т.е. в о скол ьк о р а з увелич и т ся (или уменьшится) одна и зних, в ос т о л ь к ож е раз увеличится (или уменьшится) идругая. Аналитически пропорциональность величинхи у - 181 характеризуется соотношением у=кх, г д е к - та кназываемый коэффици е нт пропорциональности. Графически пропорциональная з а в и си м о ст ь и з о бражается прямой линией (или полупрямой), проходящей ч е р е з нача л о координат, угловой коэффициент которой равен коэффициенту про порциональности. Переменные величины называются обра тн о пропорцио нальными, е с л ио д на и з нихпропорциональна обратному зн а ч ению дру гой, т.е. у=к/х ил и ху=к. Графиком о б р а т н о пропорциональной зависи м о с т ис л у ж и т равнобочная гипербола (или о д н ае ё ветвь). См . та к ж е П р о п о р ц и я . Пропорция (< лат. proportio - пропорция, соотношение, сораз мерность) - (1) соразмерность, определённое соотношение частей це л о г о (элементов системы) между с о б о йи сцелым. Пропорции наблюда ю т с я (соблюдаются) вживой инеживой природе, в архитектуре, живо писи, литературе, втехнике, технологии, физике, химии и т.д. (2) (жат.) Равенство между д в у м я отношениями четырёх ве л ич и н a:Ъ=с:й. Величиныа, Ъ*О, с, d*0 называются членами пропорции, при ч ё маиd называются - крайними, аЪи с- средними. Произведение с р е д н и хчле но в пропорции р а вн о произведению крайних: be=ad. См. та кж е О Т Н О С И Т Ь , О т н о ш е н и е , П р о п о р ц и о н а л ь н о с т ь , С е р е д а . Процедура (франц. procedure < лат. procedo, processi, processum - двигаться, протекать, продвигаться, продолжаться, действо вать, достигать) - 1. Порядок в ы полнения последовательности дейс т в и й вкаком-либо сложном деле. 2. Процедура программы - о д н ои з характерных с р е дс т в языков программирования д л я сокращённой з а п и с и с к о л ьу г о д н о длинных вычислений. О п и с а н и е процедуры программы вво д и тс о к р а щё н но е параметризованное функциональное обозначение д л я н екот о ро йч а с т и программы (тело процедуры). Выполнение т е л а проце д ур ы впоследствии может трактоваться как элементарное действие, и н и циируемое вызовом процедуры, вносящим одновременно в т е л о проце д у р ыфактические зн а че н и я параметров. См. такж е Процесс. П р оц е сс (< лат. processus - д вижение вперёд, течение, хо д со бытий, успех, удача, преуспеяние, процесс) - последовательные изме н е н и я какой-либо системы, объекта, с убъектаили явления, происходя щ и е врезультате стохастических или детерминистических закономер н о с т е й ("стохастические закономерности" следует понимать буквально, п о скольку в соответствии сзаконом б о л ьш и хчисел массовые с лу ч а йн ы е я вл е н и я в своё м совокупномдействии созд аю т математически с т ро г и е закономерности. Э т о проявляется отча с ти в том, ч т о наблюдается не к о т о р о е постоянство частоты о существления какого-либо соб ы ти яп р и - 182 многократном повторении однородных условий (в пределе - неизбеж ность}). См . та к ж е Д е т е р м и н и р о в а н н ы й п р о ц е с с , Д и н а м и ч е с к и й п р о ц е с с , С о б ы т и е , С О Б Ы Т И Е . "П рям ой п у ть - к р а тч а й ш е е р а ссто я н и е между двумя н е п р я тн о стя м и ." ( В . О . К л ю ч е в с кий; 1 8 4 1 -1 9 1 1 ). Прямая, прямой (прям, пряма, прямо, укр. прямий, прямо, др.-русск. прямо, прямъ ’ 'прямой, правильный, честный, простой" (...). М.Фасмер; 1886-1962. [100]) - о д н ои з основных геометричес ки хпонятий. Прямая о б ы ч н о косвенным о бразом определяется аксиомами геометрии. Например, евклидова п ря м а я - аксиомами инцидентности, порядка, конгруэнтности, непрерывности. В обыденном понимании пря м а яе с т ь кратчайшее расстояние между д в у м я точками. Вплоскости под пр я м о йо б ы ч н о понимают линию пер во г о порядка. В прямоугольной (де картовой) систе м е координат (х, у) прям а я определяется линейными уравне н ия м и у=Ьх и у-=Ь0+Ь1х (в о б щ е м с л у чае ах+Ъу+с=0, н о т а к а я форма з а п и с и принятая вматематике н е понятна экспериментатору). В природе прямые линии встречаются в основном вкристаллографии. Прямоугольное распределение см. Равномерное распределение. Пуассона распределение (по имени С.Пуассона (1837) (Poisson Simeon Denis; 1781-1840)) - ди с кр е тн о е распределение вероятностей сл учайной величины X сцелочисленными неотрицательными значе н ия м и х=0, 1, 2, ..., заданное формулой: Р(Х=х)= ---- е , х\ х (1.185) г д е Х>0 - параметр распределения (рис.1.27). Р исунок 1.27 характеризует вероятности рхраспределения Пуас сона. Функция вероятности F(x)\ х Xх 1 F(x)=P(Xix)= I ---- е . х-0 х! (1.186) Математическое ожидание, Мх=Х, дисперсия, 6х=Х. Коэффициент асимметрииАх=Х'1/2. Е с ли независимые случайные величиныXt и Х2 и м ею т распределение Пуассона спараметрами Ххи12, т о их с у м м а Xj+Xg име е т распределение Пуассона спараметром Х^Х2. Р и с .1 .2 7 . Распределения Пуассона для различных значений параметра распределения X Распределение Пуассона п о лучается и з биномиального распределе н и яп р и боль шо м п и маломр (см. рис. 1.2, в); е г о применяют кпро ц е с с а мсбольшим количествомисходов, из которых только малая ч а с т ь о б л а д а е тинтересующими исследователя свойствами, т.е. много испыта ний, н ом а ло успехов. В статистическихмоделях распределение Пуас с о н аиспользуется и как аппроксимирующее, и как точное распределе ние. Например, если п р и п независимых испытаниях с о б ы т и я At, Аг.... Лп осуществляются со д н о й и той же малой вероятностью р, т о вероятность одновременного осуществления каких-либо ж с о б ы т и й (из о б щ е г о числа п) приближенно выражается функцией Рх(пр). Распределение Пуассонаявляется приемлемой моделью д л я описа н и я сл у ч ай н ог о числа появления определённых событий вфиксированном п ро м е жу т ке времени или вфиксированной области пространства. Так. распределению Пуассона подчиняется однородный поток требований в теориимассового обслуживания населения, например, вызовов, посту п а ю щи хна телефонную станцию, в ые з д о в медицинских машин "скорой по мощи" п р и транспортных происшествиях в большом городе; в т е о р и и на д ёж н о ст и - числа отказов технологического оборудования в е д и н и ц у времени, атакже многие физическиеявления, например, процесс ради о а к т и в н о г о распада и др. Р Равновозможность - осуществимость двух и более событий, испы т а н и йили исходов с одинаковой вероятностью. Например, п р иб р о с ан и и о д н о йигральной кости все гра ни открываются с одинаковой вероят н о с ть ю‘ /6. - 184 См. та к ж е Вероятность классическая (априорная), Вероятность математическая, Вероятность статистическая (апостериорная), Возможность, Отношение и раздел 2 .3 , а та к ж е прим ечание 11 на с. 47 . Равномерное распределение, прямоугольное распределение - не п реры в но е распределение вероятностей случайной величиныX, з а д а н н ое плотностью: 1/(Ь-а) пр и хЕ[а, Ы, (1.187) р(х; а, Ъ)=< Овином случае. Понятие равномерного распределения на [а, Ь] соответствует п редставлению ослучайном в ы бо р е точ к ин а отрезке [а, Ъ]. р(х) 1 b - a О а ь * Р и с.1.28. Равномерное распределение случайной величины X на участке а ~Ъ Математическое о ж идание и д и с п ер с и я соответственно равны ЕХ=(Ъ+а)/2* и DX=(b-a)2/12. Произвольное равномерное распределение свышеуказанной плотностью может б ы т ьс ве д ен о линейным преобразова ниемкравномерному распределению н а отре зк е [0, 1], характеристики к о т о р о г о имеют наиболее п ростой вид. Например, моментыл ю б о го по р яд ка 3 равны Е Х ^ = 1 / (3+1)• Равномерное распределение я вляется о д н и м и зс а м ы храспространённыхраспределений в вероятностейтеории. При мерыравномерного распределения - распределение числа о ч к о вп р и иг р е со д н и мрезультатообразующимобъектом (одна игральная кость, ру л е т каи т.п.), смертность взро с ло г о населения. См. та к ж е РАСПРЕДЕЛЯТЬ, Случайные числа, а та к ж е прим ечание 11 на с. 4 7 . Р а зм а х выборки- р азность между наибольшим, хтах=хп, и наи меньшим, хт1п=х1, значениями случайной величиныX в вариационном р я дуразмерности п: Rx ~Хде а х — 1 п — —^1 * Xj^Xg...^X^...^Xjj. (1.188) Подразумевается, ч т о выборка получается врезультате п незави с и м ы х измерений о д н о й ит о йж е случай н о й величиныX. ‘ Примечание 1 5 . А в т о р у нело вко р а ссу ж д а ть о м а те м а ти че ск о м ож идании (как э т о при н я то в л и те р а ту р е ) п о ск о л ь к у зд есь н е т меры ц ентральной тен д ен ц и и . В се значения сл учай ной величины на о тр е з к е a-b равновероятны , равновозмож ны . - 185 "РАЗУМЪм . духовная сила, могущая помнить (постигать, позна вать), с у д и т ь (соображать, применять, сравнивать) и заклю ч ат ь (ре шать, в ыводить следств1 е); способ н о ст ь вернаго, последовательнаго, сцеплен1я мыслей, о т ъ причины, следств1й е яи д о цели, конца, особенно в ъ приложены к ъ делу. Р а з у м ъ , смыслъ, intellectus, Verstand; у м ь , ratio, Vernunft. Д у х ъчеловека двухполовинчатъ: у л г ьи воля; у м ъсамое об щее, а въ частномъ значенш самое высокое свойство первой половины духа, способное къ отвлечоннымъ ТЮНШШНХе, ШШЯШЬ, С О О б р О Ж в Н Ь б , р а з с у д о к ъ , р а з у м е н ь е , с у ж д е н ь е , з а к л ю ч е н ь еи п р . , ближе подходит къ с м ы с л у , р а з с у д к у , применяется к обиходному и насущному. ( . . . ) | | Р а з у М Ьчего, СМЫСЛЪ, ЗНапоняп’ямъ; р О З у Л Г Ь , которому можно подчинить: ченье, толкъ, сила. (...) Ра з ум е в ат ьили разуметьчто, понимать, пос тигать, знать, усвоить с е б е разумом и л и наукой. (...) Разуменье, уразуменье, знанье, пониманье, постиженье и понят1е, у м ственное (но н енравственное) усвоенье. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. Распределение в е р о я т н о с т е йс л у ч а й н о йв е л и ч и н ы- з а к о н , описы в а ю щ и й поведение случайной величины, е ё способность какие-то значе н и я прин и ма т ь чаще, какие-то реже, акакие-то практически никогда. Е с л и с л у ч а й н ая величина - ф и з и ч е с к а я , т о зак он б у д е то п и с ы ва т ье ё сп о со б но с т ьр а с п р е д е л я т ь с яв ов ре м е ни или впространстве р а в н о м е р н о и л и неравномерно, где-то с б о л ь ш е йп л о т н о с т ь ю , где-то сменьшей, где-то появляться ч а щ е всего, а где-то н е появляться вообще. Э т о т з а к о н может име ть ви дф у н к ц и и- ф у н к ц и ир а с п р е д е л е н и яили п л о т н о с т и в е р о я т н о с т е й , аможет б ы т ьз а д а н перечислением в е р о я т н о с т е йслучай н о й величины. Распределение вероятностей случайной величины - о д н о из центральных понятий вероятностей теории и статистики математи ч е с к о й . О п р е д е л е н и ераспределения вероятностей равносильно заданию вероятностей всех случайных с о б ы т и й , характеризующих некоторое слу ч а й н о ея в л е н и е . Распределение вероятностей называется д и с к р е т н ы м , если случай н а яв еличина X задаётся указанием конкретных в о з м о ж н ы х значений: гр vA> J Гр f 0^2 гул * * ■ ■ » / П и соответствующихим вероятностей P(X=Xi) Pi. Р г .......... Рп* п р иэ т о м Pi должны б ы т ь положительныи сум м а вероятностей должна б ы т ь рав на единице. Например, ряд возможных значений числ а выпадаю щ и хо ч к о вн а верхней г р а н и игральной к о с ти имеет вид: 1, 2, 3, 4, 5 и6, е м у соответствует ря д вероятностей 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, - 186 1/6 (см. рис. 2.2 и с т ат ь ю Гистограмма); ряд возможных з н а ч е н и й с у м м ыо ч к о в двух костей: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12, е м у соответствует ряд вероятностей 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36 (см. рис. 2.9). Примерами д и с к р е тн ы х р аспределений вероятностей я вляются биномиальное распределение, оп ре д ел я ем о е вероятностями: P{X=rn}=Cmnpm(l-p)n‘ m, (1.189) г д ет=1, 2,..., п , п>0 - целое, 0<р<1; Пуассона распределение, оп ределяемое вероятностями: Х ,т Р{Х=т}= ---- е-\ (1.190) т! г д е т=1, 2.... Х>0. См. также Геометрическое распределение, Паскаля распределение. В о многих случаях с л у ч а йн а я величина может принимать л ю б о е з н а ч е н и е винтервале, например, (а-Ъ); вероятность с о б ы т и я аШЪ п р иэ т о м равна: Ь Р(а<Х<Ы = / p(x)dx, (1.191) а г д е функ ц и я р(х)>0 - плотность вероятности, причем: +00 J p{x)dx =1, (1. 192) — 00 т.е. попадание случайной величины винтервал (-о о -г +о о ) е с т ь достовер н о е событие, н о вероятность к а жд о г о отдельного знач е н ия мож е тб ы т ь р ав нанулю. Тако е распределение вероятностей величины X назыв ае т ся а бсол ю тн о непрерывным. Важней ш ее распределение вероятностей непрерывного т и па - нор м а л ьн о е распределение сплотностью: 1------------- -{х-а)г/2бг х, р(х) = ------- е 1/27С62 (1.193) X г д е -о э <а <о ои б>0 (см. т а кж е Коши распределение, Максвелла распреде ление, Пирсона распределение, Показательное распределение, Рэлея распределение, Стьюдента распределение, Фишера распределение, Хи-квадрат распределение). Кро м е ди с кр е тн ы х и непрерывных т и п о в распределений вероятностей встречаются распределения и б о л е е слож - 187 н о й природы. Более или мен ее универсальное описание распределения в е р оятностей может б ы т ь по л уч е н оп р и помощи распределения функции, иногда называемой интегральной (кумулятивной) функцией распределе ния, кото р ая д л я любой с л учайной величиныX п р и каждом действитель но мх определяется формулой: F (х)=Р{Х<х), прич ё м функция F(x) такая, что: - монотонно неубывающая, 11m F(x)=0, lim F(x)=l. £-»-оо (1.194) непрерывная с л е ваи (1.195) £-Юо Вероятность события а<Х<Ъ (1.191) на интервале (а-b) в интег раль н о мв и д е имеет вид: Р{а<Х<Ы = F (Ъ) -F(а). (1.196) Фун к ци я Р однозначно з а да ё т соответствующее распределение ве роятностей случайной величины. О п и с а н и е распределения вероятностей п р и помощи плотности веро ятно с т и или функции распределения н е всегда удобно в практическом использовании (например, п р и сравн е ни и распределения ча с тиц п о ра д иу с а м вцементной суспензии и л и вколлоидных растворах). Н аиболее ч а с т о втехнологии и научных исследованиях используется с р е д н е е з н а ч е н и е случайной величины (о це н к аматематического ожидания) и е г о квадратичное (стандартное) от клонение или дисперсия. Д л яс л у ч ай н о й величины X с дискретнымраспределением вероятностей математическое о ж и д а н и еЕ Х определяется следующим выражением: со ЕХ= I хп рр, П=О Р (1.197) ад л я случайных величин X сабсолютно непрерывным распределением вероятностей выражением: +С О ЕХ= fxp(x)dx, (1.198) —г о п р и условии, ч т о указанные р ядиинтеграл с х одятся абсолютно. Дис п е р с и яс лучайной величиныX п о определению равна: DX = Е(Х-ЕХ)2. (1.199) Практически полную информацию ораспределении случайной вели ч и н ыд а ю тчисловые характеристики распределения, так называемые мо ментыраспределения. - 188 См. также Вероятное отклонение, Квадратичное отклонение, Квантиль, Концепция, Медиана, Мода, Моментов метод, Моменты выборочные, Моменты распределения, Мо менты эмпирические, Среднее, среднее значение. Стагтстческим аналогом распределения вероятностей я в л я ет с я т а кназываемое э мпирическое распределение. Де л о в том, ч т ов с е ре зультаты наблюдений - результатынаучных экспериментов, результаты р аботы технологических установок ив о о б ще в с е фиксируемые д а н н ы е о процессах, происходящих вприро д е и обществе, являются выборками и з совокупности, и врезультате обработкиданных можно получить л и ш ь т о л ь к о оценки те х или иных параметров. Кроме этого, надёжность о ц е н к из а ви с ит о т точности измерений, методики экспериментальной работы, ошибок впроцессе л ю б о й практической деятельности и т.д. Н е б о я с ьв п а с т ь в преувеличение, м ож н о утверждать, ч т о потребность че ловека найти истину п о результатам скудных данных человеческой п р ак т ик и в значительной с тепени обусловила развитие м ощного матема т и ч е с к о г о аппарата вероятностейтеории и статистики математической. В результате обработки выборочных результатов наблюдений 'Xlt Хг, ... , Хп, которые предполагаются независимыми, од и н ак о во распре делё нн ы ми случайными величинами сфункцией распределения вероятнос т е й F{x), м о жн о получить эмпирическую функцию распределения: F*n (х)-пх/п, г д епх- ч и с л о наблюдений ввыбо рк е сХк<х, т а кназываемое выборочное среднее: _ 1 п Х =--- I Хк п k= 1 (1.200) которой соответствует (1.201) ив ыборочная дисперсия: S 2 X= — • I п к=1 (Хк-Х)г, (1.202) Н еобходимо заметить, ч т о вфор му л е (1.202) s2x - т а к называе м а я смещённая оценка генеральной дисперсии. Д л я устранения с м е щ е н и я ч и с л о степ ен е й свободы (1.242) в знаменателе необходимо у м ен ь ши т ь н а единицу: s V ----- Z (Xk-X)z, n-l k-1 (1.203) Э т ос в я з а н о стем, ч т ов м е с т о математического о ж ид а ни я вфор м у л е (1.202) используется арифметическое среднее, за висящее о т эле м ен т о в выборки. - 189 Эмпирическое распределение и е г о характеристики используются д л я приближенного представления теоретического распределения веро я тностейи е г о характеристик, см. о бэ т о м в статьяхМатематическая статистика, Непараметрические методы математической статистики, Статистическая оценка. См. т а к ж е РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Понятие “ распределение вероятностей”следует о тличать о тпоня т и яи функция распределения" к о то р ое применяется кнеубывающим функ циям, ст р емящимся кнулю п р и х-*-™ ик е динице п р и Функция распределения, например, дискретной случайной величиныX определя е т с яформулой: F(x)=P(X<x)= р(х<), (1.204) Х I/ л п I вк о то р ой сумм аб е рё т ся п о все м значениям хх , н е превосходящимх. См. также Распределения функция случайной величины X, Функция распределения и раздел 2.4. Распределение выборки см. Эмпирическое распределение. Распределений устойчивость - распределение вероятностей слу чайной величиныX, вкотором с у мм а независимых случайных величин, имеющихраспределение F(x), в с в о ю очередь имеет распределение F{x); арифметическое среднее случайныхвеличин, имеющихраспределе н и е F(x), сновараспределение F(x). Распределения закон - удобное описательное понятие, которое, в за в исимости о т контекста, может оз н а чать распределение вероятностей (какой-либо случайной величины), распределения функцию или плот н о с т ь вероятности. З а к о н распределения устанавливает с в я з ь между во зможными значениями случайной величиныи соответствующими и м в е роятностями. См. так же РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Распределенияфункция случайной величиныX - функция действи т е л ьн о йпеременнойх, принимающей п р и каждом х значение, равн о е ве роятностинеравенстваХ<х. К а ж д а я функция распределения F(x) обладает следующими свойс твами: 1. F(x1)<F(x2) пр и хг <хг; 2. F(x) непрерывна с л е в а пр и каждомх; 3. lim F(x)=0, lim F(x)=l. X^-oo X-^+oo К аж дая функция F, о бл а да ю щ ая свойствами (1)-(3), может рас сматрив а т ьс я как функция распределения некоторой случайной величины X. - 190 F(x) 1 F(X2) F(*i) x 0 Функции распределения наиболее употребительных распределений вероятностей (например, н ормального, биномиального, Пуассонаи др. распределений) табулированы. П онятие функции распределения естест венным образом распространяется на многомерный случай, но многомер ные функции распределения значительно менее употребительны, чем од номерные. См. также РАСПРЕДЕЛЯТЬ, Функция распределения случайной величины. "РАСПРЕДЕЛЯТЬ, р а с п р е д е л и т ь что, кого, расписать, назначить, да вать место и дело, назначенье, разсылать по местам; подводить подъ разряды, порядки, отделы. (...) Р аспределенье, дейст. по гл. Р а с п ределяетель, распределтельтца, распределивши что, кого. Распр е д е л ё н ы й , къ распределенью служаицй, относящс. Р аспределённость ж. точность или порядок въ распределен!^.н {В.И.Даль; 1801-1872), [82]. "РЕЗУЛЬТАТЪм. фрнц. следств!е чего либо, последств1е, конечный выводъ, итогъ, развязка, исходъ, конецъ дела.“ (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Р езультат. Результат (fip. resultat - результат, следствие, итог < лат. resultatuo - отскакивание, отражение) - итог; то, что получено в завершении какой-либо деятельности. См. также Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, РЕЗУЛЬТАТЬ, Следствие. Репрезентативная выборка см. Выборка представительная. Р э л еяраспределение - непрерывное распределение вероятностей сл у ча й но й величины X, заданное плотностью вероятностей: ( х р(х) = б2 О, е -хг/26г (1.205) , ж<0, - 191 з а в и с я щ е йо т параметра б>0. Распределение Рэле я имеет положительную асимметрию, е г о мода находится вт о ч к е х=б (рис.1.30). (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) В с е моменты распределения Р э л е я конечны, математическое ожида н и еи ди сперсия равны, соответственно: ЕХ=/ тс/26 , (1.206) DX=(4-JE)62/2. (1.207) П р и 6=1 распределения Р э л е я совпадает сраспределением арифме т и ч е с к о г о кор н яи з случайной величины, имеющей Хи-квадрат распреде л е ни е сдву м я степенями свободы. Влюбом случае распределение Р э л е я м о ж е тб ы т ь интерпретировано ка краспределение длины вектора, коор д и на т ыкоторого в декартовой с ис т е м е координат на плоскости незави с и мы и имеют нормальное распределение спараметрами 0 и б2 (см. Максвелла распределение). Распределение Р э л е я имеет о сновное приме н е н и е в теории стрельбы п ок руговой ц е л и и статистической т е о р и и связи. Распределение б ы л о введ е но в 1880 г . Д.У.Рэлеем (J.Rayleigh; 1842-1919) в связи с задачей с л о ж е н и я гармонических колебаний. с "Свойство - это слишком общее понятие, в котором каждый различает мойство, твойство иегойство." (Виктор Кротов; р.1946). Свойство - проявление какой-либо характеристики объекта (пред мета, вещи) ил и явления. Каждый объект ил и явление о бладаетмно- - 192 шеством свойств, характеризующих е г о качество {сущность). Какие-то св о йс т ва объекта (явления) существенны, какие-то несущественны. Из м е н ен и е существенных свой с т во бъекта (явления) равносильно измене н и ю качественного с о стояния объе к та (явления). См. т а к же Категория. Свойство отсутствия последействия см. Случайныйпроцесс б е з последействия. С в я з а т ь - соединить, установить связь, общность, б л и з ос т ь меж ду чем-либо (например, откры т ьс в я з ь между двумя явлениями, устано в и т ь причину и следствие). См. также Информация, Результат, РЕЗУЛЬТАТЬ, СВЯЗЫВАТЬ, Связь и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ, Св я зей ЧИСЛО (число связей, наложенных на выборку) - Ч и С Л Оп а р а м е т р о вИЛИ ч и с л оо ц е но к генеральных параметров, определённых п о выборке. Мак с им а л ьн о е ч и сл о связей, которое м о ж н о наложить на выборку, р а в н о размерности выборки п, н овэ т о м сл у ч а е степеней свободы ч и с ло (1.242) р а в н о нулю; э т о значит, ч т о нет ни одн ой степе н ис вободы д л яп роверки статистических гипотез. См. также Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь. ’ ’ СВЯЗЫВАТЬ, связатьчто, (связываюили связда), с креплять и сое д и н я т ь В ЯЗКО Ю , образуя узелъИ З Ъ с а м о йв е щи этой, а также о с о б о ю за вязкою. (...) || Т ож ев иноскзтльн. поставлять въ зависимость, находить в ъч е м общность, нераздельность, причину и следств1еи пр. ( . . . ) || Связь, состоян1е п о знч. гл. на ся; соединенье, скрепа, сцепленье, соотношенье, зависимость, прич ин н о е сродство; || товарищество, д ру ж б а и знакомство, взаимныя дела; || все, ч т ос обрано изъ различныхъ частей, н о составляет одно. (...)” (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Информация, Отношение, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Результат, РЕЗУЛЬТАТЬ, Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь, Следствие и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. "С некоторыми людьми мы строим отноше ния на правде. С другими - на лжи. И эти пос ледние не менее прочны." (Альбер Камю; 1913-1960). С в я з ь - контакт, соединение, соотношение, зависимость, причин н о е сродство, общность между чем-либо, отношение взаимной зависи мости, обусловленности и т.п. Внауке, технике, технологии и вжиз н и различают свя з и - математические, физические, механические, хи - 193 мические, физиологические, биологические, социальные, родственные, семейные, интимные, функциональные, простые и сложные, прямые и о б ратные, внутренние и внешние, положительные и отрицательные, цикли ч е с к и е и ациклические, линейные инелинейные, постоянные и случай ные, множественные, единичные идр. С в я з ь (шт.) - отношение, возникающее между результатами наб людений (экспериментов) и параметрами, вычисляемыми п оэ т и мд анным. П ар а метр характеризует т е ил и и н ы е свойства изучаемого явления, поскольку имеет отношение взаимной зависимости с о всеми эл ементами выборки. Например, арифметическое среднее связано с о все м и элемен т а м и выборки, и е г о определение приводит куменьшению информацион н о г о потенциала выборки на единицу, степеней свободычисло v выбор к ип р иэ т о м становится равным п-1 (в соответствии с (1.242)). Важ ны м следствием уменьшения числа с те п ен е й свободы является некоторое увели че н и е квадратичного отклонения. Определение коэффициентакорреляциигх у между случайными величинамих и у, п о существу, сопро в о ж д ае т с я вычислением двух параметров хс р и уср> ч т о приводит к уменьш е ни ю информационного потенциала выборки на д в е единицы, и ч и с л ос т епеней свободы в ыборки с та новится равным v=n-2. С в я з и в отношениях причиныи следствия - т а к о е отношение между о тд е л ьн ы ми событиями, п р и котором о д н ои з событий (причина) п р ие г о о су щ ествлении неизбежно влечёт з ас о б о й возникновение друг о г о собы т и я (следствия), а уничтожение причины приводит кнеосуществимости следствия. Например, поступление теплотыв сплошную средужидкости и л и г а з а неизбежно приводит квозникновению конвекции. Причин но-следственным связям свойственна асимметрия, поскольку с к о ро с ть распространения материальных воздействий вполне конечнаи н е превы ш а е т скор ос т и света. Связи, в о множестве с мы с л ов э т о г о понятия, между случайными необходимымформализуются б о л ь ш и х чисел законом. См. также Информация, Отношение, Причина, Причинность, ПРМИНЯТЬ, РЕЗУЛЬТАТЬ, Результат, Связать, СВЯЗЫВАТЬ и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙ НОСТЬ. С в я з ь - отношение взаимной зависимости, обусловленности, общ нос т и между чем-нибудь... {С.И. Ожегов; 1900-1964. [90]). См. также Информация, Отношение, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, РЕЗУЛЬТАТЬ, Результат, Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь, Следствие, СОБЫТИЕ, Событие и раздел СВЯЗИ НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. - 194 "Середа, среда, середина, серединка, серединочка, средина, се рёдка, серёдочкаж. точка (на черте), чер та (на плоскости) или плос кость, мнимый разрезъ (въ толще), обозначавшие половину, р а в н ы й разделъ, и л иб ли з к ое о т ъэ т о г о место, удаленное о т ъ краевъ. (...) || Нутро, внутренность, глубина, утроба, глубь, дальность о т ъ края. (...) || С е р е д аи л ис реда, вещество, тело, толща, пластъ, б о л е еовещест в а хъжидкихъ и прозрачныхъ. (...) || Община, общество, сборъ, толпа. (...) || С редина , повремени, п оловина. (...) || Середи, среди, средь, серёдъ нар., с р е дэ црк., посреди, в ъ (на) средине, п о (на) се редке, между, промежъ и л иокружонный чемъ-либо; 11 въ числе, и з ъ числа, между прочими. (...) [Середина, серединка см. середа]. Серединковый, серединный, срединный, серёдковый и серёдочный, в ъ сере д и н е находящшся, к ън е й относящ!йся. (...) Серединчатый, серёдчатый, в ъ чомъ е с т ьо с о б а я середка, серединка, ядро, мякоть, моз г ъ ипр., пртвплжн. г лухой и ли сплошной. (...) Середн1йили средне, ч т ов ъ средине, между чемъ-либо, п осреди крайностей, п о местуи п о време ни, ПО мере, весу, числу, л и б оп о качеству. Въ строгомь смысле, въ математ. с р е д н я яцена, средняяс л о ж н о с т ь цепь: сумма несколькихъ ценъ (одно г о предмета), разделенная на их число. С р е д н я ядолгота, шрота, вы в е д е нн а яп о такому жъ счисленью изъ многихъ данныхъ. Среднее время, равномерное, разделенное, д л я обихода, на равновременные часы, ми нуты; пртв. истинное, астрономическое, идущее н е равномерным ходомъ, ап о солнцу. (...) Средний р о дграм. н и мужск1й, н и женск1й, п о местоимен1ям оно, сге, это. Среднгй залогьграм. глаголы, н е переносящ!е действ!я о д н о г о предмета на другой, или выражакще состоянье: с и деть, ходить, жить. (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Данные, Данных обработка математическая, Истина, ФАКТОРЬ. Си мметрия (< греч. биддетркх - соразмерность, надлежащая про порция, симметрия. А.Д.Вейсман; (1834-1913), [80]) -философская категория, характеризующая соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно центра, с редней линии, плоскости; с т р ог а я правильность врасположении, размещении чего-либо . 1. мат. Симметрия (в узком смысле) и л и отражение (зеркальное) от н о с и т е л ь н о относительно прямой ан а плоскости - преобразование п л о с ко с ти такое, ч т ок а ж д а я точк аМ переходит в точкуМ\ п р и чё м о т р ез о кММ’перпендикулярен прямой аиделится е ю пополам. П р иэ т о м прям а я а называется о с ь ю симметрии. Аналогично впространстве с и м м е т р и я относительно плоскостиа - преобразование пространства, - 195 п р и котором к а ж дая точка М переходит вточкуА Г такую, ч т о отре з о к ММ" перпендикулярен плоскости аи делит с яе ю пополам. Плоскость а называ е тс я плоскостью симметрии. 2. жат. Симметрия (в широком смыс ле) - свой с т во геометрической фигурыФ, характеризующее некоторую правильность формыФ, неизменность е ёп р и действии движений и зер кальных отражений. Различают: центральную симметрию, о с е ву ю симмет р и ю и симме тр и ю переноса. 3. физ. Фундаментальное с в ой ство природы, скотор ы м связаны законы со хр а не н и я энергии, количества движ ен и я (импульса), массы идр. (например, свойства элементарных частиц, с т р о е н и е атом о в и молекул, структура кристаллов). Некоторые законы физики инвариантны относительно определённых преобразований. Э т о значит, ч т о законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физическую систему, н е изменяются п р и техил и иных преобразованиях. Аналогично д л я динамических систем (нестационарных процессов): е с л и законы, устанавливающие соотношение между величи нами, определяющих изменение э т их величин с о временем, н ем ен я ют с я п р и определённых преобразованиях, т оэ т и законы обладают си мм е т ри е й о т но с ит е л ьн о производимых преобразований. 4. биол. Симме т ри я - зер кальное, билатеральное, радиальное и л и ин ое правильное расположение одноимённых частей тела и ли о р г а н о вп о отношению к некоторой о с и и л и плоскости, называется о с ь юи л и плоскостью симметрии. Отсут ст в и е симметрии с в о йственно причинно-следственным связям, поскольку скорость распространения материальных воздействий в п о л н е конечнаин е превышает с корости света. Множество соизмеримых при чинно-следственным связей, участвующих вформировании случайной ве личины, приводит к симметрии кривой плотности распределения случай н о й величины в о времени ил и пространстве. Например, гистограммы распределения вероятностей результатов б р ос а ни я двух и б о л е е иг ральных кост е й (рис. 2.9, 2.10, 2.11), результатов подбрасывания м о н е т (рис. 2.8), кривая н ормального распределения (рис.1.1,з, 1.20,6, 1.34,2, 1.43, 1.52,2, 2.25), крив а я плотности распределения К о ш и (рис.1.11), к р ив а я плотности распределения Лапласа (рис.1.12), к р и в ы е плотности распределения (рис. 1.34,1, 1.34,3, 1.52,1, 1. 52, 3, 2.14) и др. Трансформация симметрии и з термина в категорию произошла в п ос л е дн и е десятилетия вп роцессе развития науки, техники итехноло гии. См. также Асимметрия, - 196 Система (< греч. б с б т к ц л а- составленное и з многих частей, сое д ин ё н но е в о д н о целое, состав, соединение, стро й но е целое. е ч т о целое, представляющее с о б о й А.Д.Вейсман; (1834-1913), [80]) - н е д и н с т в о закономерно расположенных инаходящихся в о взаимной с вя зи ч а с т е й (элементов): предметов, явлений, а так ж ез н а ни й оприроде, о б щ е с т в е имышлении. Внауке, технике, технологии ииску сс т в емножество элементов (узлов, агрегатов, приборов, фрагментов различ н о г о рода), понятий, идей, норм сотношениями и связями между ними, о бразующих некоторую целостность, законченность, с о вершенство и п одчинённых определённым задачам функционирования. (1) Д л я систем характерен уров ен ь рассмотрения и л ив л о ж е ни ямакросистема, система, подсистема,..., микросистема. Уров н ей вложе н и я (рассмотрения) может б ы т ь много; т а к ж е мож но говорить опарал лельных подсистемах и о б относительности систем. С у щ н о с т ь с и с те м ы определяется' способом в заимодействия элементов друг сдругом и с в неш ни м миром; свойства сист ем ы н е являются совокупной с у м м о й с в о й с т в составляющих е ё элементов, э т о качественно и н ое образова ние. (2) П о осуществимости взаимодействия элементов системы свнеш н им м и ро м системы подразделяются на открытые, закрытые и замкнутые. П о температурному режиму системыподразделяются на системы изотер мические, политропические и адиабатические. П о природе взаимодей с т в и я эл е ме н т ов системы д р у г сдругом системы подразделяются н ад е терминированные, стохастические и детерминированно-стохастические. Например, система "скважина-пласт”является открытой детерминированно-стохастической политропической системой. (3) П о характеру изменения параметров системы впространстве и/или в о времени системы подразделяются на динамические, стационар н ы е и статические. Примером п е р во й является система "скважи на-пласт", а последней: геологическая система - с ов окупность отло ж ен и йг ор ных пород, характеризующаяся определённой ископаемой фау н о йиископаемой флорой, образовавшаяся в течение г еологического периода, имеющая относительно определённые пространственные харак тери ст и ки ипотоки массыи энергии. (общ.научн.) Классификация - с истема соподчинённых п о ня т ий (классов объектов, явлений, процессов, фрагментов), со с тавленная н а о с н о в е анализа их общих признаков вданной области знаний, техники, те х нологии и закономерных с в я з ей между ними. - 197 {фаз.) Система мира. Атомы, молекулы. Система тел. С и ст е мы времени. Система отсчёта (понятие, представляющее совокупность объ е к т о ви л и субъекта (наблюдателя), относительно которых определяется п о л о ж ен и е материала (вещества, с п л ош н ой среды)). Русс к ая (британ ская) система мер. Системы е д и ни ц измерений физических в е л и чи н (Международная система единиц (СИ), МКГС, МКСА, МКСК, МКС, МТС, С Г С идр.). Система (сингония) вкристаллографии. Система геологичес кая. Термодинамически (не)равновесные системы. (мат.) Совокупность аксиом, принимаемых д л я доказательства те о р е м ыи л и принципов, положенных в основу какой-либо теории. Напри мер, с ис т е м а аксиом Пеано, сист ем а аксиом Фреге [86]. Сист е м а коор д и н а т (например, декартова прямоугольная, цилиндрическая, сферичес кая, полярная, географическая, небесная). Системы чис ел - целых, простых, действительных, иррациональных. Системы счисления: двоич ная, пятеричная, восьмиричная, десятичная, двенадцатиричная, шести десятиричная, позиционная и др. С истема логарифмов. Система распре д е л е н и йПирсона. Системы уравнений. (техн.) Определённая последовательность, организация каких-ли б одействий, процедур, операций, процессов. Например, с истема раз работки, система учёта, систе м а контроля. (мех. ) Материальная сист е ма тел. Солнечная системы, з в ё з д н ы е системы. (физиол.) Совокупность атомов, молекул, клеток, нервных узлов, органов, связанных друг сдругом д л я выполнения какой-либо функции. Например, простейшие (одноклеточные; амёбы, бактерии, инфузории), макромолекулы (РНК, ДНК), клетки, многоклеточные, центральная нерв н а я система, сердечно-сосудистая система, желудочно-кишечный т р а к т и т.д. В с е жив ые организмы. (фил.) Система категорий. Системыпонятий - концепции. Концеп ц и и - системы понятий о состояниях, событиях, явлениях и п р оцессах в природе, технологии, об щ ес т в е имышлении. Логические системы, с л у ж а щ и ед л я исследования и л ио п и с а н и я других систем (см. Мета). (соц.) Популяции живых организмов: муравейник, улей, термит ник, стадо, стая, прайд и т.п. Сообщества людей т о г ои л и и н о г о уровня. (юрид.) Система права (совокупность всех действующих вгосу д ар с т в е правовых норм, регулирующих общественные отношения), напри мер, римс к ое право. - 198 (линзе.) Языковые системы. Впоследние десятилетия т а к ж ег оворят осистемообразующихфак торах, осистемном подходе кте мил и иным событиям, явлениям, про цессам. С ка ляр (< лат. scalarIs - имеющий форму лестницы, ступенча тый), скалярная величина - величина, каждое значение которой м о ж е т б ы т ь вы р а жено одн им (как правило, действительным) числом, б е з ука з а н и я направления. Например, в язкость (динамическая, кинематичес кая), давление, диаметр, длина, д оли (массовые, мольные, объёмные), концентрация, критерии подобия, масса, объём, относительные физи ч е с к и е величины, плотность, площадь, радиус, температура, тепло в о й э фф е к тфазовых переходов АН, теплоёмкость, теплопроводность, энер г и я (активации Е, внутренняя U, диссипации е ду, свобо д н ая F), э н т а л ь п и я Н, энта л ьп и я свобо д на я G, энтро п ия S идр. Тер м ин "скаляр ный”в 1843 г оду в вёл Уильям Гамильтон (Hamilton William Rowan; 1805-1865). "СЛЕДИТЬк о г о , идти п о следамъ, искать или преследовать п о приметамъ ил и какимъ л и б опризнакамъ пути. (...) II - з ак е м ъ ,з ач е м ъ , наб людать, у знавать о б о всемъ, ч т од оэ т о г о предмета относится, ста р а т ь с я знать, ч т ок т о делает, и л и каковъ ходъ дела. (...) Следъ, м . и л иследы, признакъ, примета чего либо прошлаго, бывшаго, остатокъ, отпечатокъ; вл1ян1е минувшаго, былаго; улика и поличное. (...) || Оттискъ, отпечатокъ ступни, ногъ, лапъ, и л иколеи колесъ, полозьевъ, п р о каченной и л и протащенной вещи. (...) С л е д о в а т ьз ак е м ъ ,з ач е м ь , идти и л ие х а т ь следомъ, вследъ. (...) || С ле д о ва т ьк о м уич е м у , подражать, п о с т уп а т ьп о примеру чего, с о г л а с но с ъ чемъ. (...) || С л е д о в а т ьи з ч е г об ы т ь следствХемъ, заключеньемъ чего, какъ явлен1е ипри ч и на его; з а в и с е т ь от ъ известныхъ условХй, явствовать изъ чего, к а к не обходимое, неизбежное д е л ои л и очевидность. (...) || Следуешь, сле д ов ал о , б е з л и ч н о ; должно, нужно, надо, надлежитъ, прилично, необходи мо, с о к р щ . следъ. (...) || Следовать, ч т о , делать следств!е, разыски вать, дознавать, разбирать. (...) Cnedcmeie с р . следованье, в ]з н а ч . действ1я, розыскъ п о делу. (...) || Слedcmeie, последств1я, то, ч т о з ач е м ъ неминуемо следуетъ, к он е чн о е проявленье действ1я, причины, повода. (...) || Въ OAedcmeie ч е г о , и л иеслеЭствге, к а к ън а р .п о причине, для, р а д и чего, отчего, почему, н а основании чего. || Следств1еи з ч е г о , заключенье, выводъ. (...) Следовательно, следственон а р . итак, посему, с т а л о быть, изъ с е г о явно, следуетъ, видно, ясно, верно. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. - 199 См. также Информация, Отношение, Причина, Причинность, ПРИЧИНЯТЬ, Результат, РЕЗУЛЬТАТЬ, Следствие и раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. "Одно из самых распространённых заблуж дений - принимать результат события за его неизбежное следствие.1' (Гастон де Левис; 1764-1830). Следствие - то, ч т о физическии л и логически снеобходимостью выте к а ети з чего-либо другого, каки з причины и л и основания. См. также Возможность, Информация, Отношение, Причина, Причинность, ПРИЧИ НЯТЬ, Результат, РЕЗУЛЬТАТЬ, Связать, СВЯЗЫВАТЬ, Связь, СЛЕДИТЬ, а также раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. "СЛУЧАЙм . (со-лучать) б ы т ьи л ибыль, приключенье, происшеств!е, притча, дело, ч т о сталось, случилось, сбылось; обстоятельство, встреча; в с е нежданное, н е предвиденное, внезапное, нечаянное. (...) Случай, случайное и ли удобное, спопутное к ъ чему время, пора, обстоятельство; нечаянное совпадение, л и б о встреча чего. (...) Слу чайили случайность, безотч е тн о еи л и безпричинное начало, в ък от о р о е веруют, отвергакще провиденье. (...) Случайный, о деле, нечаянный, недуманный, случивш1йся, приключившшся собою, б е з ъ ч ь е г ол и б о умысла, намеренья, старанья. (...)" {В.И.Маль; 1801-1872), [82]. См. также Начало и эпиграф на с. 12 в разделе СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙ НОСТЬ. "Весьма вероятно наступление невероятно го." (Агафон; V-IV в. до Р.Х.). Случайная величина - величина, знач ен и е которой н ев о з мо ж но пр е дс к аз а т ь исходя и зу с ло в ий эксперимента и л и наблюдений. П о ч т и в с е результатыизмерений физических величин п о существу с л у ч а й н ы е величины. Случайные величины могу т изменяться непрерывно (темпера тура, давление, концентрация, рад и ус частиц дисперсной фазы) и л и д и с к р е т н о (число "очков" вазартной игре, ч и с л о частиц, ч и с л о де фектов, ч и с л о отказов, аварийность). П о мнению В.Феллера (W.Fel ler; 1906-1970) , понятие "случайная величина" внекоторой с т е п е н и некорректно, б о л е е подходящим б ы лб ытермин "функция случая" [61]. Д е л о втом, ч т о независимой переменной является положение т о ч к ив простр а нс т в е элементарных событий, т.е. результаты эксперимента, н аб людения и л и реализация т о г ои л ии н о г о случая. См. также СЛУЧАЙ, Случайное событие, Эмпирическое распределение. Подробнее см. разделы 2.1. и 2.2. - 200 Сл учайная выборка см. Выборка. ’’Случай - псевдоним Бога, когда он не хо чет подписаться своим собственным именем." (Анатоль Франс; 1844-1924). С лучайное событие - событие, наступление ил и ненаступление ко т о р о г о внекотором испытании {эксперименте) зависит о т множества случай н ых факторов ид л я котор о го постулируется определённая веро я тн о с т ье г о наступления (ненаступления) п р и да н ных условиях. Слу ч а й н о ес о б ы т и е- о д н ои з основныхпонятийтеории вероятностей. На л и ч и е ус л учайного с об ы т и я определённой вероятности рх пр о яв л яе т с я вп ов е де н и ие г о частоты щ/п вп повторных испытаниях, к от о р ы е про исходят внеизменных услових; п р и бо л ь ш и х п частота щ/п оказывает с яб л и з к о й к вероятности р*. Во тл и чи ео т вероятности частота явля е т с я случай н о й величиной. Достаточно ч а с т о случайное - неизбежно, а неизбежное - случайно. "Случайность главным образом з ав и с ит о тна ш е г о знания." (Якоб Бернулли; 1654-1705). См. также СЛУЧАЙ, Случайная величина, СОБЫТИЕ, Событие и раздел СВЯЗИ, НЕОБ ХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ. "Всё новое, необычное утверждается в ми ре случайно. В основе любого творчества торжество духа случайности. В основе любого развития - реализация той или иной случайнос ти, её самораскрытие." (Неизв.) Случайность (эвентуальность < фр. eventuel - случайный; воз м о жн ы й < лат. eventus - исход, конец, результат; успех, удача; приключение, случай; участь, удел, судьба. Н.Ю. Шведова, [104], И.X.Дворецкий; (1894-1979) [84]) - проявление множестванезависимых де т ерминированных причин (факторов), совокупное действие которых в д а нн о йт о ч к е пространства и/или вдан н ый момент времени вызывает т о и л ии н о е событие, явление. Случайность - э т о наблюдение с л е д с т в и я п р ио тс утствии полной информации опричинах. Например, вазартных игр а х (и н е только): е с л и максимально т о ч н о зафиксировать началь н ое п ол о ж ен и е и с корость объекта, физические характеристики с п л о ш н о й с р е дыи объекта, т оп о зако н ам классической механики иаэродинамики м о ж н о рассчитать движение идеального объекта идостоверно предска з а т ь исход опыта. Поскольку с де л ат ьэ т о невозможно, т о ирезультат аз а р т н о й игры (и н е только) - случаен! Случайность вприр о де и об - 201 щ е с т в е совер ш ен н о естественна, неизбежна и закономерна. Больших чи с е лз а к он объясняет как случайность переходит вдостоверность. См. раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧАЙНОСТЬ, разделы 2.2., 2.3., 2.6, статью Необходимость и случайность, а также статьи Больших чисел закон, Вероятность мате матическая, Детерминизм, Закон, Мера, Нормальное распределение, Причина, Следствие, Случайная величина, Случайное событие, СЛУЧАЙ. Сл учайные числа - числа, кото р ые могут рассматриваться к а к з н а ч е н и я независимых, од и на к о во распределённых случайных величин. К ак правило, имеются в виду з н а ч ен и я случайных в еличин сравномер н ы мраспределением н а интервале (0, 1) ил и приближения кт а к и м зна чениям, имеющие конечное число ц и ф рвс во ё м представлении. Исполь з о в а н и е случайных чисел б ы л ос в я з а н о стехникой с лучайного в ыб о ра в математической статистике итеорииигр. В с в я зи с возникновением метода статистических испытаний р о л ь случайных чисел з н а ч и те л ьн о возросла. Первоначально с л уч а й ны е числа получали экспериментальным п у т ё м спомощью рулетки, игральных костей и т.п. методами. П е р в ы е с п е ц иа л ьн ы е таблицы случайных чис е лб ы л и составлены в 1927 г о д уд л я процедуры случайного выбора (рандомизации) п р и планировании экспе римента. В с в я з и сз адачами моделирования на Э ВМ б ы л и созд а ны спе ц иа л ь ны е устройства - датчики и л и генераторы случайных чисел, дейс т в и е которых о сн о ва н о на физических явлениях, обладающих соответс т в у ю щ и м и случайными характеристиками, например, шумах радиоэлект ронных ламп, радиоактивном распа д е идр. Основной недостаток э т о г о с п ос о ба - необходимость специального оборудования, котор о ед о л ж н о р аб о т ат ь согласованно свычислительной машиной. Поэтому наибо л ьш е е распространение получили программные способы получения случа й ны х чисел, основанные на вычислительных алгоритмах. Найденные алгорит м ич е с ки последовательности случайных чис е л на само м де л ес л уч а йн ы м и ч ис л а м ин е являются, т.к. имеют период, ч т о существенно от л ич а е ти х о т сл учайных чисел. О д н а к оп р и решении практических з а д а ч программ н о получаемую последовательность чисе лм о жн о рассматривать к а к слу ч а й н у юп р и условии, ч т оо б ъ ё м получаемой выборки н ес лишком велик. Т а к и еч ис л а прин я т о называть псевдослучайными числами. И з алгорит м о вм о ж н о отметить метод произведений, метод вычетов, метод получе н и я псевдослучайных чис е ли з иррациональных чисел и др. Случай н ый процесс б е з последействия (Марковский процесс) с лу ч а йн ы й процесс, в котором д л я двух любых моментов в ре м е ни т0 и *4 (Т0<х1), условное распределение р(х) п р и x=t1 з ависит т о л ь к оо т р(х) п р и т=т0. п р и условии, ч т о заданы в с ез начения р(х) п р и т<т0. - 202 Э т о свойство, определяющее Марковский процесс, называется свойс тв о м о т с у т с тв и я последействия: состоя н ие некоторой системы вмомент вре м е ни т0 о д нозначно определяет распределение вероятностей р а з в и ти я процесса п р и т > т 0 , причём динамика процесса впрошлом (при т < т 0 ) н е в ли я е тн аэ т о распределение. Марковский проце с с служит моделью д л я многих процессов вфизике (броуновское движение, диффузия, распад радиоактивного вещества), в б и о л о г и и (развитие популяций, мутации, распределение эпидемий), вхимии, втеории массового обслуживания. Примером Марковского процесса я в ляются так ж е ветвящиеся процессы. [61]. Случай н ый процесс, вероятностный, и л и стохастический проц ес сп р о ц е с с изменения в о времени с о с то я н ия какой-либо системы в соот ве т ст в ии свероятностными закономерностями. Характеристики случай н о г о процесса влюбой момент времени являются случайными велич и на м и сопределённым распределением вероятностей. Типичным п римером слу ч а й н о г о процесса является п р о ц е с с б р о уновского движения. Др у г и е примеры: турбулентное теч е ни е жидкостей, процессы тепло- имассообм е н а втехнологических аппаратах, распространение радиоволн п р и на л и ч и и помех, движение транспортных пото к о в и др. См. также Детерминированно-стохастическая модель, Детерминистическая модель, Модель экспериментально-статистическая, Причина, Причинность, Связь, Следствие, Статистическая модель, Стохастическая модель, Структурная модель. Смещённ о с ть оценки см. Несмещённая оценка. "СОБЫТИЕ, событностького съ кемъ, чего съ чемъ, пребывание в м е с те ив ъ о д н о время; с обытность происшествш, совместность, п о времени, сов ременность. С о б ъ т г н ы япроисшествия, современные, в ъо д н ов р е м я случивийеся. || Событге, происшеств1е, ч т о сбыл ос ь (...). Э т о событчик мой б ы в ш и йг д ел и б ос ом ною вместе, в о д н о время, сосвидетель." (В.#.Даль; 1801-1872), [82]. См. т а к ж еС обытие. "Когда надо постичь какие-либо события, то исходя из места и времени, на различение предшествующего и последующего опирается в своих рассуждениях человек." {Тхакура Видьяпати: 1380-1466). С о б ы т и е - уникальное явление, происшествие, случай, факт, эпи зод, дело, казус, инцидент, курьёз, пассаж. Соб ыт и е является следс твиемпредшествующего иможет б ы т ь причиной последующего. С о б ы т и е к а кявлен и е окружающего н а с мира в большинстве сво ём п роходит неза- - 203 меченным, аможет б ы т ь целью. Впоследнем случае можно г о в о р ит ьо с о б ы т и и к а к результате наблюдения. Полезно различать с о б ы т и я эле м е н та р н ые (неразложимые) и с о бы т ия составные (разложимые н а элемен тарные). Так, например, одиннадцать возможных результатов б р о с а н и я д в у х игральных костей (от 2 д о 12 очков) раскладываются н а 36 соче т а н и й (элементарных событий) открывающихся граней. Современное тол к о в а н и ес обытия существенно отлича е тс яо т толкования с о б ы т и я Влади м и р о мДалем в XIX в. См. раздел 2.1, а также Причинность, Связь, Случайное событие, СОБЫТИЕ, Событие. Совместные распределения - о б щ и й термин, относящийся краспре д е л е н и ю нескольких случайных величин, заданных на одном ит о мж е вероятностном пространстве. Например, многофакторные норма л ьн ы е р аспределения p(xlt х2,..., xK)=Cexp(-Q(x1, х2,..., хк)) [7]. Рис.1.31 ирис. 2.26. иллюстрируют двухфакторное нормальное распре деление. Рис.1.31. Совместная плотность вероятностей двух независимых нормально распределённых случайных величин См. также Распределение вероятностей. ’ 'СОВОКУПЛЯТЬ, совокупитьчто съ чемь, придавать, прибавлять, сое динять; собирать вместе, в ъ одно, сочетать, пр!общать. (...) Сово купны й, вмеетный, совместный; соединённый, пр1общённый; общхй. (...)" {В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Совокупность. - 204 - "То, что людьми принято называть судь бою, является в сущности лишь совокупностью учинённых ими глупостей." (Артур Ш о п е н г а у э р ; 1788-1860). ' Совокупность ( < цела6., cm.-слав. с овокоупи ти < др.-русск., цслав. в к у п е - вместе, куп - куча. М.Фасмер; (1886-1962), [100]) 1. Сообщество, сочетание, соединение, о б щ е е число, сумма. 2. жат. Поня т и е теории статистического выборо чн о г о метода. В с та тистике ма тематической совокупностью называется множество каких-либо однород ны х элементов, и з которого п о определённому правилу выделяется не ко т о р о е подмножество, называемое выборкой. Например, п р и приёмочном с татистическом контроле в р о л и совокупности выступает мн о же с т во в с е хизделий, подлежащее о б щ ей характеризации. В простейших с л у ч а я х к он т р олируемая выборка извлекается и з совокупности с лу ч а йн о (нау гад), ч т о ст о ч к из р е н и я вероятностейтеории означает: е с л и сово к у п н о с т ь содержит N элеме н то в и отбир ае т ся выборка и зпэ л е м е н т о в (п<Ю, т ов ы б ор должен б ы т ь осущес т вл ё н таким образом, чтобы д л я л ю б о й г р у пп ыи з п элемен т о в вероятность б ы т ь извлечённой р ав н ял а с ь п\(N-n)\/N\. Вп р ак т ик е экспериментальных исследований и вматематической с та т и с т и к е выборкой и з совокупности прин я т о так ж е называть резуль татыизмерений какой-либо физической величины, подверженной случай н ы м ошибкам. В э т о мс л у ч а еп о д совокупностью подразумеваются в с е в о з м о ж ны е з на ч ен и я физической величины. Д л я решения практических з а д а ч бескон е чн о е множество з на ч ен и й интереса н е представляет; п ра к тический интерес представляют т еил и иные характеристики соот в ет ствующей функции распределения Fix). В э т ом с л уч а е выборка и з б е с к о н е ч н о й совокупности представляет с о б о й наблюдаемые з н а ч е н и я нескольких случайных величин, п о которым определяются необходимые параметры. См. также Г е н е р а л ь н ы й , С О В О К У П Л Я Т Ь . С оизмеримые и несоизмеримые величины см. Величины со из м е ри м ые и несоизмеримые. С оотношение см. Отношение. С о стояние (< церк.-слов., ср. ст.-слав. състо1ание - "устойчи вость, настойчивость" о т гл. съ-сто1ати с я - существовать, держать с я (рус. состоять). Я.Ю.Шведова, [104]) - 1. Процесс развития слож н о й системы. 2. Пространственное и/или временное положение, вкото - 205 р о м нахо д ит с я система (кто-либо и л ичто-либо) вданный момент време ни. 3. Равновесие термодинамической системы. 4. Совокупность нерв ны хипсихических реакций человека вданный момент времени. Потен ц иальная готовность кте ми л и иным поступкам. 5. Звание, со ци а ль н о е п ол о ж ен и е (устар.). 6. Имущество, собственность. Состоятельность оценки - статистическая оценка параметра расп ределе н ия вероятностей, об л ад а ю ща ят е м свойством, ч т оп р и увеличе н и и числа наблюдений ве р о ят н ос т ь отклонений оценки о т оц ен и в ае м ог о пара м е тр ан а величину, превосходящую некоторое наперёд заданное ма л о е число, стремится кнулю. Другими словами, оценка шх, вычислен н а яп о вы б о р к е размерности п, б у д е т состоятельной оцен к о йд л я Мх, е с л ид л я любых с к о л ьу го дно малых положительных чисел е иx[t су щ ест ву е т N такое, ч т о вероятность неравенства: |тх - Мх | < е, б о л ь ш е 1~т[ д л я всех n>N [33]. р о я тностей мож но записать: (1. 208) Вформальных обозначениях теории ве Р{ |тх- Мх| < Е> > 1-ть n>N. (1.209) Э т о значит, ч т о д л я любо г о наперед з аданного мал о г оч и с л ае м о ж н о най ти т а ко е достаточно б о л ь ш о еч и с л о N, ч т оп р ил ю б о й размер н о с т ив ыборки п, превышающей э т о число, вероятность того, ч т о тх б у д е то т личаться о тистинного з н а ч е н и я больше, че м на е , б у д е т с к о л ьу г о д н о бли зк а кнулю. В э т о мс л у ч а е оценка шх б у д е т называть с я сходя ще й ся п о вероятности и л ис х о дя щ ей с я стохастически кМх. Та к и м образом, оценкатх б у д е т состоятельной оценкой д л я Мх, е с л ио н а с х о д и т с я кМхп о вероятности [33]. Попр о щ е - оценка параметра называется состоятельной, е с л и п о м е р е роста числа наблюдений п-*» о н а стремится кматематическому о ж и д а н ию оцениваемого параметра. Так, арифметическое сред не е ивы б о р о ч н а я д исперсия представляют с о б о й состоятельные о ц е нк и соот в е т с тв е нн о математического ож и да н и я и дисперсии нормально распреде л ённой с лучайной величины. См. также Больших чисел закон, Квадратичное отклонение. и з ъчего, б ы т ь составлену, заключать въ с е б ес ос т а в н ы я части, и с лагаться изъ нихъ. (...) || - в ъч е м ъ , содержаться, заклю чаться, составлять с ущность чего. (...) Находиться ил и быть. (...) С о с т о я т ь с я , исполниться, сбыться, свершиться. (...) С о с т о я н ь е , "СОСТОЯТЬ - 206 бы т ь, положенье, в ъ каком к т оили ч т о состоитъ, находится, есть; от н о ш е н и я предмета. (...) || Сослов1е, зван!е, каста; зван1е, родъ занят1й иродъ жизни, п о рожденью, л и б о наследственно, и л ип о изб раны). (...)" (Б.М.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Состояние, Состоять. "Состоять изъ чего, б ы т ь составлену, заключать в ъс е б ес о с т а в н ы я части, и слага т ь ся изъ нихъ. (...) П олное сужденье с ос т оишь и з ъ трёхъчастей: и зъ о бщ аго даннаго, и з ъ приложенья е г о ии з ъ заклю ченья. (...) || - в ъч О м ъ , содержаться, заключаться, со с тавлять сущ н о с т ь чего-либо. (...) Состояться, исполниться, сбыться, совершить ся. (...)." (В.И.Даль; 1801-1872), [83]. См. также Состояние, СОСТОЯТЬ. Сост оя т ь (< церк.-слов., ср. ст.-слав. съ-сто!ати - "состоять; существовать, держаться"; в е р о я т н о ,к а л ь к агреч. syn-istasthai ~ "состо я т ь из", в о з м ., в л и я н и енем. bestehen - "сосуществовать, состоять". Н.Ю.Шведова. [104]) - 1. И м е т ь что-либо в своём составе. 2. И м е т ь содержанием, сутью что-нибудь. 3. Пребывать, находиться (в к ач е ст в е кого-нибудь или где-нибудь, в с о с т а в е кого-нибудь или чего-нибудь. См. также Состояние, СОСТОЯТЬ, Состоять. Сре д а - концептуальное пространство, содержащее множество о д нородных взаимосвязанных элементов, находящееся в контакте сд р у г им пространством и л и субстанцией. С р е д а может б ы т ь внеш ня я ивнутрен няя, с п л о ш н а я и дискретная. Д л я средыхарактерно стремление к "го меостазу", т.е. сохранение целостности, сопротивление в сяческим "насильственным" изменениям, - перемещениям элементов, изменению количества, нарушению функционирования, структурным изменениям и т.п. Ив т ож е время сред ас пособна естественно развиваться. О дн о р од н ые элементы подразумеваются в сам ом широком смысле: атомы, молекулы, ионы (сплошная среда); люди, разговаривающие н а о д н о мя з ы к е (языковая среда); лю ди о д н о г оу ро вня образования, раз вития, характера деятельности (культурная среда, интеллектуальная среда, среда общения, криминальная сред аи т.п.). Сре да мож е тб ы т ь к ом ф о рт н ая и дискомфортная. Интеллектуальная с ре д а - среда, способствующая мышлению. Ч т ои к а к человек думает, каки ео нс т р оит мысленные модели, имеет первос т еп е нную важность. Вп оследние десятилетия наблюдается расширение понятия "сре да": образовательная среда (школы, специализированные образователь н ы еу ч реждения различного уровня, лицеи, вузы); операционная с р е д а - 207 (элементы компьютеров и программное обеспечение); производственная среда; биоэнергетическая сред а (люди, способные изменять биоэнерге т и ч е с к и й потенциал, как свой, т а к ичужой); совокупности людей: го сударство, общество, община, сбор, коллектив, толпа, о ч ер е д ь и т.п. (социальная среда); живые существа, растения и природный л андшафт р е д е (среда обитания). В э т и х (и других) случаях мож н ог оворить ос к а к омножестве функционально связанных разнородных элементов. Быв а ют среды, являющиеся одновременно и внешними, и внутренни ми. Например, дисперсионная с р е да всуспензиях и эмульсияхя вляется в нутренней с ре дой п о отношению к окружающему пространству (техноло гичес ко м у аппарату, грунту и т.д.) и в нешней средой п оо т но ш е ни юк ча с ти ц ам твёр до й фазы в суспензиях и частицам другой жидкой фазы в эмульсиях. С р ед а может б ы т ь по движной инеподвижной, с п л о шн о й (дис п ер сионной средой) и несплошной (дисперсной фазой), г ом о ге н н ой и/или гомофазной. См. также Качество, Количество, Определение, ПОНИМАТЬ, Понятие, Середа, Сос тоять. Сред н е е арифметико-геометрическое см. Концепция, Середа, Сред нее, с р ед н ее значение. Сред н е е арифметическое см. раздел 2.4, 2.5. а т а к ж е Концепция, Середа, Среднее, с реднее значение. С р е дн е е арифметическое взвешенное см. Концепция, Середа, Сред нее, с р ед н е е значение. С р е дн е е гармоническое см. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. Сре д не е геометрическое см. Геометрическая прогрессия, Концеп ция, Середа, Среднее, сред не е значение. С р е дн е е квадратичное см. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. С р е дн е е кубическое см. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. С р е дн е е пропорциональное между двум я положительными ч и с л ам и г еометрическое среднее э т и хчисел. Сре д не е степенное взвешенное с м. Концепция, Середа, Среднее, с р е д н е е значение. "Середина есть точка, ближайшая к муд рости; не дойти до неё - то же самое, что её перейти." (Конфуций; 552-479 гг. до Р.Х.). Среднее, среднее значение совокупности чисел х1г хпк онцептуальное число, з а к лючённое между наименьшим инаибольшим и з - 208 н и х иполучаемое и зэ л е м е н то в выборки п р и помощи некоторой процеду ры, к от о ра я ка кр а з и определяет специфический ви дс р е д н е го значе ния. С р е дн е е значение может б ы т ь цел ь ю исследования, а м о же т прив л е к а т ь ся д л я характеристики совокупности вцелом ка ко д и ни з момен т о ви л и ка к оценкаматематического ожидания. Среднее з н а ч е н ие сово к у п но с т и выражает равнодействующую влия н ия множества факторов н а в а р и а ц ию признака независимо о т ви д а распределения случайной вели чины. С р е дн е ез начение п од о бн о центру т яжести - точке, ч е р е з кото ру ю проходит равнодействующая с и лт яжести всех элем ен т ов выборки. Т ак им образом, мож н ог оворить о б уравновешивании о т клонений о т с р е д н е г оз н а че н ия васимметричномраспределении, а непосредственное взаимопогашение отклонений о тс р е д н ег о значения, присущее нормаль н о м у распределению, рассматривать к ак частный сл у чай уравновешива н и я (проявление закона равновесия), которое н е изменяет прир од ы с р е д н е г оз н а че н ия и отклонений о тнего. С р е д н е е значение - понятие статистикиматематической, п о су ществу, некоторая абстрактная величина, зависящая о тметода вычис л е н и я (т.е. о т концепции) и в с л у ч а е арифметического с р е д н ег о удов л е т в ор я ющ а я условию метода наименьших квадратов: п I (Ж!-хс D)2=min. 1=1 (1.210) р И ногда условие (1.210) запис ыв а ют в б о л е е простом, н о нереаль н о м виде: п I (Xi-XCD)=0. (1.211) 1=1 Р Внаучных исследованиях технологических процессов в большинс т в ес л у ч а е в особых проблем сисчислением среднего з н а че н и ян е воз никает. Наиболее употребительным средним является арифметическое среднее: Xi+Xg+...+Хп £с р = х = -------------- . (1.212) п Е с л и результаты наблюдений х1г хпявляются вз а и мн о не за в исимыми случайными величинами, имеющими одинаковое нормальное распределение, т о среднее арифметическое б у д е т несмещённой, состоя тельной и эффективной оценкой математического ожидания Мх (см. так ж е (1.76), (1.122) и соответствующие разделы). Вероятная оши б ка о п р еделения с р ед него арифметического всегда поддаётся оценке. - 209 Е с л и переменные величины xt имеют различные частотыи л и вес, правильнее вычислять арифметическое взвешенное среднее: W1x1+W2®2+...+И/„жп ®со «= xw= ----------------------- Wi+W2+..,+W„ (1.213) г д е Wj - частота ил ив е с г-того наблюдения (см. так же (1.78)). Сре д ив с е хлинейных оценок взвешенное с р е д не е арифметическое об л а д а е т минимальной дисперсией. Примером приложения арифметического взвешенного с р е д н е го в те х но л ог и и строительства с к ва ж и н является сре д н ий взвешенный диа м е т р бу р ил ь н ой колонны: d1l1+dzlz+...+dn ln d,s -------------------- , Ц+ 12+ ...+ln (1.214) г д е di - диаметр г-того э лемента бурильной колонны, Ц - д л и н а г-того элемента, п - количество э л ементов в бурильной колонне. Не о б х о д и м о добавить, ч т о применительно к среднему диаметру бу р и л ь н о й к оло нн ыпонятие математического ож и да н и я теряет смысл. Внауке, технике и технологии к р о м е арифметического с р е д н е г о п рименяют т а к же взвешенное с тепенное среднее; гW xa+W ха +. ..+1/ ха> 1/а 1 1 2 £ w ,о т Щ 2 n п + ...+Wn Е с л и частоты или в е с а вс е х наблюдений равны, (1.215) упрощается: ( xa+xa+...+xa î/a п (1.215) т о ф ормула (1.216) С т е п е н ь а определяет конкретный ви дс реднего значения. П р и а=-1 о б щ а я формула с тепенного с р е д н ег о превращается вгармоническое среднее, т.е. в среднее и з обратных величин: п xh = --------------------- . 1 1 1 --- + --- +... + --х1 х2 хп (1.217) П р иа=0 получим геометрическое среднее: П/-----------п х( = /х^х^х..,ххп = / Пхх. (1.218) - 210 С ра в ните сформулами (1.40), (1.42) геометрической прогрессии. См. также Логарифмически нормальное распределение, (1.94) и соответствующую статью. Примером среднего геометрического является средний диаме т р частиц твёр д ой фазынеправильной формы: d4 = /ixbxh . (1.219) г д е I, Ъ, h - максимальные длина, ширина, высота частицы. П р и а-1 получим формулу с р е д н ег о арифметического (1.212). П р иа=2 получим формулу с р ед н е го квадратичного: х& = / (хг +хг +.. .+хг):п , 1 2 П (1.220) П р иа=3 получим формулу с р е д н е го кубического: 3/-----------------^сиь = V (х13+х 3):п . 2 3+...+хП (1.221) Внауке, технике и технологии находит применение такж е арифме тико-геометрическое среднее, xcp>g. Арифметико-геометрическое с р ед не е- о б щ и й предел последовательностей арифметического с р е д н е г о хср<п и геометрического с р е д не г о xg n , получаемых врезультате сле дующих операций. Дл я пары положительных чисел аи Ь вычисляют ариф метическое среднее жсрЛ и геометрическое среднее xg>1. Д а л ее д л я пары£ср>1 иxg l снова вычисляют арифметическое среднее хср2 и геометрическое среднее xg>2 и т.д. Врезультате получают последова т ел ь н ос т ь чисел хс Р г П и xg n , п~1, 2,... Вычисления продолжают д о п о л у ч е ни я результата стребуемой точностью. Анализ формулы (1.215) позволяет определить соотношения между различными видами среднего. Чем бо л ь ш е значение а, т ем б о л ь ш е вели ч и н ас р е д н ег о значения; п р иэ т о м получается следующая цепочка нера венств: xh<xg<xcP'g<x<xs<xcub. (1.222) Рисунок 1.32 отчасти иллюстрирует э т о т феномен (см. с. 211). Например, ес ли Xj=l, х2=2, х3=3, т о жь=1.636; xg=l,817; £ cp=2; xs=2,161; xcub=2,29. Дисперсии, соответственно равны: s2h=l, 1987; s2g=l,0502; s2cp ,g=l, 0128; s2cp=l,0; s2s=l,0389; s2cub=iЛ262. См. таблицу 1 на с. 211. - 211 - Рис.1.32. Общий случай распределения оценок математического ожидания выборочного распределения: Х^ - гармоническое среднее, Xg - геометрическое среднее, Х Ср g - арифметико-геометрическое среднее, Х ср - арифметическое среднее, X s - квадратичное среднее, X cub - кубическое среднее (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Таблица 1. Выборочные оценки неизвестного математического ожидания: xh- гармоническое среднее, хе - геометрическое среднее, х ^ - арифметико-геометрическое среднее, - арифметическое среднее, х, - квадратичное среднее, х ^ - кубическое среднее Вид среднего значения С р е д н е е з н а че н и е Гармоническое Геометрическое Арифметико геометрическое Арифметическое Квадратичное Кубическое 1,636 1,817 S2h=l,1987 s2g=l.0502 1,9075 2,0 2, 161 2, 29 S2cp g=l,0128 S2oP=1.0 s2s= l, 0389 s2cub=l,1262 Дисперсия Очевидно, ч т о разные виды среднихразличаются; отсюда возника е тпроб л е ма правильного выбора формы среднего значения. Т а кж е оче видно, ч т о уарифметического с р е д н е г о минимальная дисперсия. Други м и словами, арифметическое ср е д н е е является эффективной статисти ч еской оценкой. Если ошибки измерений подвержены закону нормал ь н ог о распределения, т о состоятельной, несмещённой и эффективной о ц е н к о й неи з ве с т но г о математического о ж и д а н и я буд ет арифметическое с реднее, ав с е остальные оценки смещены относительно Мх. - 212 Решающую роль врешении проблемы выбора формы ср еднего значе н и яи г р ае т физическая су щ но с т ь объекта (процесса, явления), интуи ц и я идобросовестность исследователя. С л е ду е т отметить, ч т о задача поиска среднего з начения д л я сим м е т ри ч н о распределённой случайной величины решается о т н о си т е ль н о просто. В этом случае мож но г о во р ит ь овзаимной компенсации проти в оположных влияний множества факторов, влияющих на результат наблю д е н и я (эксперимента). И н ое д е л о - несимметричное распределение (рис. 1.33). Х с р - арифметическое среднее, Х 0 5 - медиана, 771 - мода (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Васимметричном распределении случайной величины противополож н ы ев л и я н и я различных факторов н е компенсируют друг друга ирезуль т а т ынаблюдений концентрируются л и б о слева, ли бо справа от.середины диапаз о на распределения (рис. 1.1, 1.18, 1.30, 2.7,6, 2.12, 2.16, 2.22, 2.23, 3.3), кроме э т о г о распределение может б ы т ь островершин н ы миплосковершинным (рис. 1.34, 1.52, 2.14, 2.25), И , ИНОГДа, и м е т ь дв а максимума (рис.1.19, 1.35). Рис.1.34. Плотности вероятностей симметричных распределений: 1 - островершинное распределение; 2 - нормальное распределение; 3 - плосковершинное распределение (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) - 213 - (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Д л я таких распределений ср е д н е е значение выражает равнодей с т в у ю щ у ю влияния всех факторов н а вариацию случайной величины. С р е д н е е значение подобно центру т я же с т и - точке, через кото ру ю про х о д и травнодействующая всех гравитационных сил. В IV в. д о Р.Х. по н я т и я с реднего значения н е было, интуитивная и неформализованная и д е я о б оптимальных свойствах средних исходила о т А р и с т от е л я ГАр^тотеХтг^; 384-322 д о Р.Х.) - понятие "истинная середина", уче н и е одостоинствах среднего поведения, средней уверенности, с р е д н е й у м е р ен н ос т и и т.д. "Прекрасна в о всем середина: мне п од у ш ен и из б ыт ок , н и недостаток" (Демокрит (Дтуюзерстои; 460/470 - 360/370 г . д о Р.Х.). В III в. д о Р.Х. А рхимед ('ApXiMnSnt; о к . 287-212 д о Р.Х.) в в ё лп о ня т и е "центр тяжести", соответствующее понятию с р е д н е г о зна чения. Вучебнике Теона С м ир н с ко г о (II в.) идёт речь о разраб о тк е ц е н т р а ль н о го члена непрерывнойпропорции (в т о врем яе щ ён е разли ч а л ип о ня т и я среднего значения и пропорции). Разработку о пр е д е л е н и я це н тр а ль н о го члена непрерывной пропорции следует, по-видимому, счи т а т ь началомразвития понятия с р е д н е г о значения. А в XX в. английс к и й статистик У.Дж.Рейхман написал: "Каждый понимает, ч т от а к о е с ре дн и е, д о тех пор, пока н е начнёт применять их". См. также Веса результатов измерений, Квадратичное отклонение, Концепция, Ме диана, Мера, Мода, Отношение, Параллельные измерения, Середа. С тандарт (англ., нем. - standard) - 1. Норма, образец, мерило, модель, принимаемые з аисходные д л я сопоставления сними других по доб н ых объектов. 2. Нормативно-технический документ. 3. Н е ч т о шаб лонное, трафаретное, н ес о держащее в с е б е ничего необычного, исклю ч ительного, творческого. 4. Стандартный, типовой, нормальный. 5. Квадратичное отклонение нормально распределённой случайной величи н ы . - 214 См. также Вероятность житейская, Генеральный, Дисперсия, Дисперсия воспроизво димости, Несмещённая оценка, Стандартизация случайной величины, Стьюдента крите рий. Стандартизация случайной величины - преобразование случайной величины сцелью получения распределения сцентром вн у ле и диспер сией, равной единице. Стандартизация нормального распределения (1.121), (1.225), (2.20) производится спомощью соотношения: х - Мх z = --------. (1.223) бх г д еМх- математическое ожидание, абх- стандартное о т клонение и л и п р о с т о стандарт. См. т а к ж е (2.22). Стандартизация случайной величи ны X производится путём в ычитания и зн е ё среднего значения в ыб о р ки ид е л е н и я на квадратичное отклонение: х<- тх Z 1 = -----------------, Sx (1.224) г д ешх - оценка математического ожида н ия (в частном сл у ч а ес р е д н е е арифметическое), a sx - выборочное квадратичное о т к лонение (выбо р о чн ы й стандарт). См. так ж е (2.23) ираздел 2.9. Врезультате стандартизации случ а й на я величина Z, в о б щ е м слу чае, и ме ю щ а ят уили иную размерность, становится безразмерной. Кро м е этого, появляется некоторая возмож н ос т ь непосредственного срав н е н и я разных распределений, поскольку случайные величины с т а н о в я тс я соизмеримыми. Например, в с ез н а ч е н и я стандартизованной с л у ч а й н о й величины в большинстве с лу ч а е в укладываются винтервал о т -3 д о +3, п оскольку в ероятность от клонения нормально распределённой с лу ч а й н о й вели ч и ны з апределы Мх±3б м е н ьше 0,003 (Т р ё х сигма правило). Стандартизованное нормальное распределение см. раздел 2.9. Стандартное отклонение, стандарт (квадратичное отклонение) мера от клонения (разброса, рассеяния) нормально распределённой слу чайной величиныX о тматематического ожидания Мх. Т е рм и н сформиро в а л с я вангло-американской литературе к а к квадратный к о р ен ьи з ма т ем а т ического ожидания дисперсии, |/6х. Другими словами, станд а рт н ое о тк л о н е н и е характеризует вариацию признака относительно математи ч е с к о г о ожид ан и я Мх. 'З а к о ннормального распределения математически выражает резуль татхаоса и динамичности впричинно-следственных связях явлений: - 215 - р(х) 1 f expr U - M x )2 (1.225) x г д е p(x) - плотность вероятностей случ ай н ой величиныX, Мх- мате матич ес к о е ожидание, 62х- генеральная дисперсия и л и дисп е рс и я со вокупности. Квадратный к ор ень и з генеральной дисперсии называется с танда р тн ы м отклонением, 6Х=±l/Й2^. Математическое ожид ан и е идис п е р с и я полностью определяютрасположение иформу кривой y=f(x; Мх, бх), (рис.1.1,3, 1.20,6, 1.34,2, 1.43, 1.52,2, 2.25). Д л я нормально распределённой с лучайной величины X в интервале Мх -6х<Х<Мх +бх б у д ет находиться 0,683 значений, в интер в а ле Мх -2бхСХ<Мх +26х - 0,954 значений, авинтервале Мх-Збх<Х<Мх+Збх) 0,997 значений. В практических задачах, приводящих кнормальному распределению, отклонения больше, ч е м утроенный стандарт (квадра т и ч н о е отклонение) практически невозможны, или, другими словами, н а пр а к т и к е пренебрегают возможностью откло не н и йо т среднего, б о л ь ш и х 36х (Т р ё х сигма правило). К р ив а я нормального распределения у=/(х; Мх, бх) симметрична относительно ординаты, проходящей ч е р е зт о ч к у х=Мх, иимеет в э т о й точ ке единственный максимум, равный 1/|/^яб2х, п ерегибы кривой наблюдаются п р и значенияхх=Мх-6хих=Мх +6х. Г рафик п ло т н ос т и нормального распределения называется нормальной кр и в о й и л и кр и в о й Гаусса (C.F. Gauss; 1777-1855). Вероятное отклонение д л я н о р мального распределения р ав н о 2/Збх ~0,6745б х. Кро м е задач, связанных сс о б с т ве н н о нормальным распределением (имеющим важн о е теоретическое значение), стандартное откло не н ие к а к терминифизическая величина встречается п р ио ценке т очности экспе р и м е н т ов ив задачах стандартизации случайных величин п р и а нал из е эмпирич е с ки х распределений. См. также Вероятность житейская, Генеральный, Дисперсия воспроизводимости, Несмещённая оценка, Стандарт, Стьюдента критерий. См. также разделы 2.7, 2.8, 2.9 и 3.1. Стандартные границы - интервал значений величины, снеизвест н о й вероятностью р '’ накрывающего”неизвестное значение параметра Мх и сс л едуемого явления или процесса: х - sx < Мх < х + sx, (1.226) г д е sx - стандартное отклонение. Э т и м соотношением пользуются прак т и ч е с к ип р и обработке экспериментальных данных, п р и определении ко- - 216 э ффициента вариации Vx ирешении вопроса о точности экспери м е нт о в и л и наблюдений. Условия - симметричность распределения случайной в еличиныX и соответствие распределения ошибок измерений з а ко н у нормального распределения. Ср е д н е е зн ачение выборки о пределяют п о формуле: -1 П х = ---- I х1м (1.227) п0П 1=1 а вы б орочную дисперсию п о формуле: * 1 п _ sz = ------ I (х<-х)г; о п Поп-1 1=1 (1.228) г д е п0П - ч и с л о опы т ов ввыборке, von=non“l - чис ло степеней свобо д ыв ы борочной дисперсии. С та ндартное отклонение (квадратичное отклонение и л и стандарт) опреде л яю тп о формуле: Sx= ±/ s2 . (1. 229) Статистика (< нем. StatistIk - статистика < позднелam. (colle gium) statlsticum - (статистическая) коллегия < лат. status - уста новленный, назначенный, определённый; гражданское состояние, сосло вие, общественная ступень < лат. stare - стоять. [84, 92]) - функ ц и яо трезультатов наблюдений. Другими словами, статистики - харак т е р и ст и ки выборки в о т л и чи ео тпараметров, характеризующих совокуп ности. П оо д но йит о йж е выборке м ож н оо пределить несколько статис тик, например, среднее значение, дисперсию, начальные и центральные моменты эмпирического распределения. Та к ка к результаты вс ех наблю д е н и й яв л яются случайными величинами, т о статистики б у д у тт о ж е слу ча й н ы м и величинами. Поэтому, е с л ит аил и ин а я статистика использу е т с яд л я оценки параметра 0 , т од л я отдельных выборок могут полу ч и т ь с я значения, си л ь н о от л и чающиеся о т истинного. О ч е в ид н о также, ч т он е ль з я найти оценку, к о то р а я принимала б ы значения, б л и з к и е к0 д л яв с ех возможных выборок. Целесообразно принимать такую процедуру оценивания, которая пр и многократном использовании давала б ыхоро ш и е результаты и в среднем" и л и имела б ы значительную в е р о я тн о с ть успеха. Другими словами, с л е ду е т иметь ввиду, ч т о методы оценива н и я порождают распределения з н а ч е н ий оценок и сравнивать и х досто инства с л е д уе т исходя и з сво й ст вэ т и храспределений. Статистика - б о л е ео б щ и й термин, че м оценка. Например, экспе риментальный Стьюдента критерийи др. критерии используются д л я - 217 п ро в е рк и гипотез, сформулированных относительно соответствующих с о вокупностей. См. также Статистика математическая, Статистических гипотез проверка. Статистикакритерия см. Критерий опытный, Статистика. Статистический критерий см. Критерийтабличный, Статистика. "Статистика есть наука о том, как, не умея мыслить и понимать, заставить делать это цифры." (В.О .Ключевский; 1841-1911). Статистикаматематическая (< нем. Statistik - статистика < позднелат. (collegium) statisticum - (статистическая) к о л л ег и я < лат. status - установленный, назначенный, определённый; граждан с к ое состояние, сословие, общественная с т у пе н ь < лат. stare - стоять. [84, 92]) - разделматематики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки ииспользования статистических д а н н ы хд л я н аучных и практических выводов. П р иэ т о м статистическими д а н н ы м и н азыв а ют с я сведения околичестве о б ъе к т ов в какой-либо б о л е е и л и м е н е ео б ш ир н ой совокупности, обладающих т еми и л и иными признаками. З ад а ч е й математической статистики является переход о т частностей к с в ойствам совокупности. Другими словами, э т о наука, изучающая мас с о в ы е случай н ые явления и пытающаяся описать их математически стро г и м и закономерностями. Предмет иметод математической статистики. Статистическое опи с а н и е совокупности объектов зани ма е т промежуточное положение между индивидуальным описанием кажд о го и з об ъ е ктов совокупности, со д н о й стороны, и описанием совокупности п ое ё общим свойствам, с о в с е мн е т р е бу ю щ им е ё расчленения н а от д ел ь н ые объекты, - сдругой. М етод исследования, оп и рающийся н а рассмотрение статистических данных отех ил и иных совокупностях объектов, называется статисти ческим. Статистический методиспользуется в самых различных облас т я х знания. О б щ и е черты статистического метода вразличных областях з н а н и я с в о д я т с я кподсчётучисла объектов, входящих вт еи л ии н ы е группы, рассмотрению распределения количественных признаков, применению вы б о р о ч н о г о метода (в случаях, когда детальное исследование в с е х объ е к т о во б ши р но й совокупности затруднительно), использованию вероят н о с те йтеории пр и оценке достаточности числа наблюдений д л ят е хи л и и н ых вы в о до в и т.п. Э та формальная математическая сторона статисти - 218 ческих мето до в исследования, бе з различная к специфической п р ир о д е изучаемых объектов, и составляет пред ме т математической статистики. С в я з ь математической статистики ст еорией вероятностей и м е е тв разных случ ая х различный характер. Теория вероятностей изучает н е л ю б ы е явления, аявления с л уч а й ны е иимен н о "вероятностно случай ные", т.е. д л я которых имеет с м ы сл говорить о соответствующих и м распределениях вероятностей. Те мн е менее теория вероятностей игра е т определённую роль ип р и статистическом изучении массовых явлен и й л ю б о й природы, которые могут н е относиться ккатегории вероя т но с т но случайных. Э т о осуществляется ч е р е з основанные на теории вероятнос т е й теор и ю выборочного метода и оши б октеорию. В э тих случаях веро ятностным закономерностям подчиненын ес а м и изучаемые явления, а п р и ём ыи х исследования. Причинами возникновения ир азвития математической стати с т ик и я вл я л ис ь практические потребности общества и правящих элит. "Факты - у п р я м а я вещь, н о статистика г о р а з д о сговорчивее." (Лоренс Питер; 1919-1990). Статистическая гипотеза - предположительное суждение о в ероят н о с т н ы х закономерностях, к оторым подчиняется изучаемое с л у ч а й но е явление. Ка к правило, статистическая гипотеза определяет з н а ч е н и я п ар а м ет р ов распределения случ а йн о й величины или непосредственно в и д ис войствараспределения. Статистическая гипотеза называется прос той, е с л ио н а определяет единственный з а к о н распределения. Статис т и ч е с к а я гипотеза называется сложной, е с л ио н а определяет н е с ко л ьк о з а к о н о в распределения иможет б ы т ь представлена как множество прос т ы х статистических гипотез. См. также Правило определения критического значения статистического критерия, Статистических гипотез проверка. Статистическая модель (< нем. StatistIk - статистика < позднелат. (collegium) statisticum - (статистическая) коллегия < лат. status - установленный, назначенный, определённый; гражданское сос тояние, сословие, общественная ст у п е н ь < лат. stare - с т о я т ь [84, 92] ифранц. modele, итал. modello, <лат. modulus - мера, образец, кор ж а [81, 84]) - математическое выражение, уравнение, формула, со д е рж а ще е переменные величины, параметры, константыи о д н у (или б о лее) случайную компоненту. С л у ч а й на я компонента характеризует рас с е я н и е результатов измерений, связа н н ое спогрешностью и зм е р ен и й п р и осуществлении наблюдений и л и экспериментов, приближенным харак т е р о м математическоймодели, разветвлением событий ил и ж е ссоб - 219 с т в е н н о й изменчивостью анализируемых о бъектов (например, многообра з и еф о р м в совокупностях галек, случайность и прихотливость изви л и с т ос т ип о р в проницаемых породах). Статистическая моде л ь может б ы т ь получена путём в ведения в 9етерминистическую мод ел ь те хи л и иных случайных компонент. Простей ш и йп р и м е р преобразования закона осажд е ни я Стокса (Stokes George Gabriel; 1819-1903), оп и с ывающего с корость осаждения сферических ч ас т и црадиуса ги плотности ртв спло ш но й с р е д е с динамической в я з к ос т ью ]Ии плотностью р: 2 r2g(рт-р) w ----------. (1.230) 9 м в статистическую модель за кл ю ча е т ся вдобавлении случай н о й компо н енты в экспериментально определяемую с к о ро с ть осажд е ни я од и н о ч н о й частицы. Запишем зако нС т о кс а ввиде: С'Г2 + 0i, (1.231) г д е С=(2/9) •(pT-p)g//i, а - от клонение результата г-того опреде л е н и яс к ор о ст ио тз н а ч е н и я скорости, предсказываемого за к о но м Сток с а (1.230). Е сли уравнение (1.231) з ап и са т ь в виде: w 1= wT + £t, (1.232) г д е wT=C-r2 - теоретическая с к о р о с т ь осаждения, вычисляемая п о фор м у л е (1.230). Очевидно, ч т о теоретическая скорость осаж д ен и я wT яв л я е т с я величиной постоянной д л я один о чн о й частицы сплотностью рти р адиусом г вжидкости связкостью диплотностью р. Врезультате п из мерений скоростей о саждения о д н о йит о йж е частицы п р и о д н и х и т е х ж е условиях получается выборка и з совокупности всех в озможных результатов измерений, причём в одн и х случаях случайная компонента имее т положительное значение, а вдругих - отрицательное. Э т а выб о рк ам о ж е тб ы т ь использована д л яо ц е нк и математического ожид а н ия w, дисп ер с ии s2w, квадратичного от клонения sWf коэффициента вариа ци и Vw (1.28) и других п араметров [39]. О тк л о не н ия реальных результатов о т теоретической м о дели зави с я то т природы явления, процесса. Например, д л я рассмотренного за к о н ао с а ж д ен и я Стокса о ч е н ь хорош е е совпадение расчётных и экспери ментальныхданных наблюдается п р и ос аждении в в о де частиц с плот н о ст ь ю 2800 кг/м3 и размером о т 0,0005 д о 0, 08 мм. Н аб о л е ем ел к ие частицы влияет хаотическое д вижение молекул воды, ан аб о л е е круп н ы е - турбулентные завихрения. Че мд а ль ш ео т эти х условий, т е мх у ж е - 220 соотве т ст в и е модели Стокса ирезультатов эксперимента. Н а и вн об ы л о б ы предполагать, ч т о падение б улыжника вв о де или в воздухе б у д е т о п и с ыв а ть с я законом Стокса (1.230). (Точнее, формула Сто к с ас т р о г о огран ич е н а значениями к ритерия Архимеда, Аг<3,6, критерия Лященко, Ly<2•10”3 икритерия Рейнольдса, Re<0,2). Уравнения (1.231) и (1.232) - простейший пример статистической модели, т а кк а ко н и включает т о л ь к оо д н у случайную компоненту it. Н о д а ж е в вышеупомянутых условиях наилучшего приложения з а к о н а С т о к с ан еб у д е т совершенного с оо т ветствия данных эксперимента рас ч ё та мп оф ормуле (1.230). Э т о является результатом влиян и ян а усло в и я экспериментов множества случайных ф акторов п р и повторении опы том, д а ж ее с л и эксперименты проводятся п р и усиленном контроле. Рас с е я н и е экспериментальных данных относительно рассчитанных п о форму л е (1.230) называется ошибкой, возникающей п о двум причинам: собс т в е н н оо ш и б к и измерений величинфизических и несоответствие приме н яе мо й формулы реальномуявлению (ошибка математической модели). Рассмотренный пример с з а к он о м Стокса и е г о эксперименталь но-статистическим приложением подтверждает т о т факт, ч т о математи ч е с к и е модели - э т о средства выяв ле н ия и анализа движущих с и л про цесса, кото ры е приводят кнаблюдаемым значениям [39]. См. также Воспроизводимость, Детерминизм, Детерминированно-стохастическая модель, Математическая модель, Модель, Модель экспериментально-статистическая, Понятие, Причинность, Связь, Следствие, Случайный процесс, Стохастическая модель, Сущность. Статистическая оценка - некоторая функция о т результатов наб людений, предназначенная д л я статистического оценивания неизвестных характеристик ипараметров э мпирического распределения вероятностей случай н ой величины. Например, е с л и результаты наблюдений ж1# л уч а йн ы е величины, имеющие о д н о ит ож е х2___ _ хп- независимые с но р мальное распределение снеизвестным математическим ожиданием Мх и снеизвестной генеральной д исперсией б2х, т о арифметическое взве шен н ое с реднее (1.213), арифметико-геометрическое среднее, арифме т ическое с реднее (1.212), взвешенное степенное среднее (1.215), гармоническое с реднее (1.217), геометрическое среднее (1.218), (1.219), с р е дн е е квадратичное (1.220), с реднее кубическое (1.221), с р е д н е е степенное (1.216), мода, медианаи начальныймомент п е р в о г о порядка (1.116) б уд у т являться статистическими оценками неизвестно г опараметра Мх. Пр иэ т о м арифметическое среднее (1.212) б у д е т нес мещённой, состоятельнойи эффективной оценкой неизвестного матема- - 221 т ич е с к о г о ожидания Мх. В с л у ч а е генеральной дисперсии т а к о й неопре деленности с оцен к о й нет: несмещённой статистической о це н ко й неиз в ес т н ой генеральной дисперсии 62х (см. формулы (1.58), (1.59), (1.118), (1.199), (2.12), (2.13), (ЗЛО), (3.11)) б у д ет в ыб орочная д ис п е р с и я s2x (см. формулы (1.53), (1.54), (1.56), (1.60), (1.73), (1.77), (1.124), (1.137), (1.203), (1.245), (1.248), (1.268), (1.319), (2.14)), а смещённой - о це нка вычисляемая п о формулам: (1.123), (1.202), (1.318). О д н и ми з удобных методов получе н ия статистических оцен о к неиз вестных параметров распределения является моментов метод, к от о р ый позволяет опреде л ит ь оце н ки с е м и наиболее употребительных начальных ицентральных моментов, ат а кж е коэффициентыасимметрии и эксцесса. Б о л е е важным, стеоретической т о ч к и зрения, является метод макси м ального правдоподобия, к оторый приводит к оценкам, являющимся п р и н екоторых общ их условиях асимптотически наилучшими; достаточно бли з о к кметоду максимального правдоподобия и метод наименьших квадра тов. Т е о р и я точечных статистических оце но кн е даёт возможности сде л а т ь заключ е н ие о "точности”и л и "достоверности" таких оценок. Ин тервальное оценивание производится спомощью доверительных интерва лов. Статистический критерий см. Критерий табличный. "Опасность не совершить попытку и опас ность испытать неудачу не равны. Ибо в первом случае мы теряем огромные блага, а во втором - лишь небольшую человеческую работу." (Фрэнсис Бэкон; 1561-1626). Статистических гипотез проверка {греч. \)Xodi6it ~ основание, принцип, предположение, гипотеза; итпшдтци - полагать в основание, п р и н им а т ь что-либо з а основание, предполагать. - А.Д.Вейсман; (1834-1913) - о д и ни з основныхразделов статистикиматематической, объедин я ю щи й методы проверки с о о тветствия статистических д а н н ы х не к о то р ой статистической г ипотезе (гипотезе о вероятностной п ри р о д е данных). Статистической гипотезой называется некоторое предположи т е л ь н о ес уждение овероятностных закономерностях, которым подчиня е т с я изучаемое случайное явление. Проблема проверки гипотезы ста т истическими методами возникает вт е х случаях, когда гипотезу нель “222 з яп роверить непосредственно и приходится довольствоваться провер к о й некоторых следствий, которые логически вытекают и зс о де р ж ан и я гипотезы. Ес ли следствия, вытекающие и з предполагаемой гипотезы, невозможны и ли противоречат физической сущности процесса, з н а ч и т гипо т е за неверна. Сдругой стороны, е с л ит е или и н ые с обытия невоз мож н ыи л и возможны со че н ьм а л о й вероятностью, н о всё-таки происхо дят, т о гипотезу также приходится отвергать. Очевидно, что, придер ж и в ая с ь подобной логики рассуждений, снекоторой вероятностью м о ж н о о т в е р г ну т ь гипотезу, а выяв и ть физическую сущность изучаемого явле н и яи л и показать, ч т ож е происходит н а самом деле, невозможно. Процедуры проверки статистических гипотез позволяют п р и ни м ат ь и л ио тв е р га т ь статистические гипотезы, возникающие п р и о бр а б от к е и л и интерпретации результатов наблюдений (результатов измерений пе ременных). Пуавило. в соответствии скоторым принимается и л и откло н я ет с я т а и л и иная гипотеза, заключается в сравнении некото р о го комп л е кс а физических величин, вычисленного п о данным выборки, спо д об ным комплексом, вычисляемым независимым путём. П ервый назыв ае т ся с т а тистикой критерия (опытным критерием), последний - статистичес кимкритерием (табличным критерием). Проверка статистической гипо т езыначинается сформулировки подходящей гипотезы о б исследуемой переменной. О б ы ч н от а к а я гипотеза называется нулевой, обозначается Н0 и , ка к правило, является ги потезой о б отсутствии различия. Нап ример, п р и определении оценкитхнеизвестного математического ожи д а н и яМхподходящей нулевой гипотезой б у д е т предположение о б от с у т с тв и и различия между нулём и арифметическим средним выборки, хср. Математически э т о записывается ввиде: Н0 : х ср=0. (1. 233) П одходящей альтернативной гипотезой в э т о м сл у ч а еб у д е т нера венство: Н^ХсрО. (1. 234) П остроение критерия оп р еделяется выбором подходящей функции 0-/(Xj, Х2,..., Хп) о трезультатов наблюдений Xj, Хг Хп, кото р а я с л у ж и тмерой расхождения между опытными и гипотетическими зна чениями. Функция 0 является случайной величинойи называется ста т истикой критерия. Центральный момент п р и выборе функции 0 заключа е т с я втом, ч т ое ё теоретическое распределение вероятностей д о л ж н о б ы т ьв ы чи с ле н о независимым путём, п р ио б щ ем допущении, ч т о проверя е м а я гипотеза верна и ч т ое ё распределение н е зависит о т характе - 223 р и с ти к гипотетического распределения. Распределение стати ст и ки 0 та б ул и ру е т ся дл я различных степеней свободы чисел v и уровней зна чимостиа; спомощью э т о г о распределения находится критическое зна ч е н и е 0 а , такое, ч т ое с л и гипотеза верна, т о вероятность с о б ы т и я Заштрихована критическая область, составляющая ОС площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) О б л а с т ь значений (xlf х2___ _ хп), для которых 0(Xj, хг.... хп)>9а, называется критической областью, э т о область откло не н ия ги п о т ез ыН0. Если в конкретном с л у ч а е обнаружится, ч т о 0>0а, т ог и по т е з а отвергается; при э т ом считается, ч т о значимость э т о г о расхож д е н и я рав н аа, а доверительная вероятность правильности о т к л о н е н и я г и п о т е з ыравна Р=1~а. Есл и вконкретном случае 0<0а, т о считается, ч т о свероятностью Р гипотеза верна. Такого рода критерии-использу ю т с як а кд л я проверки параметров распределения на значимость, т а ки д л я пр о в ер к и гипотез осамих распределениях. Вс л у ч а е проверки гипотезы о б отсутствии различия между н у л е м ио ц е н к о й математического о ж ид а ни я тхкритерий конструируется вви н ош е ни я неизвестной ошибки определения арифметического средне д е от г о (хс р -Мх) иквадратичного о т клонения sx: (х-Мх) /— х /— 0ОП“-------- V п = — V п> sx sx (1.235) п р и ч ё м вусловиях нулевой гипотезыМх=0 (сравните с (1.69), (1.70), (1.129), (1.138)). Очевидно, ч т од о л жн об ы т ь некоторое кр ит и ч ес к ое с о о тн о ш е н и е 0 к р И т найденной о ц е н к и хс р и квадратичного о т к л о н е н и я sx, д о которого можно б ы л об ыутверждать онезначимом о т ли ч и и хс р о тнуля, ав случае превышения - о достоверности хс р ст о йи л ии н о й - 224 вероятностью. Очевидно также, ч т о 0к р и т должен вычисляться незави с и м ы мпутём. Вданном случае 80П является опытным Стьюдента критерием tv, а 9к р и т - статистическим критерием t%. Опытный критерий Ст ьюдента с р а в н и ва е тс я скритическим tav, определяемым распределением Сть юдента, и ес л и ton<ta, т о нулевая гипотеза с доверительной вероят н о с т ь ю Р=1-а принимается (рис.1.37). Рис.1.37. Плотность вероятностей t -критерия. Заштрихована критическая область, составляющая (X площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Д ругой пример “ пусть имеется д в е выборки: $1,1» $1jg, ..., ^2.1» ^2,2 * * • • > ,n1* ^ 2 . п2• Необходимо проверить, являются л иэ т и две выборки ч а с т я м и одн о й ит о йже совокупности и л иэ т оч а ст и разных совокупностей. Д л я э т о г он у ж н о определить выборочные дисперсии s2j и s22 и п р о ве р ит ь и хн а однородность (однородными называются дисперсии двух и л иб о л е е в ыб о р о ки з одной и т о йж е совокупности): I n * s2 -------- 1 (ххi-Xj)2; 1 гц-1 г=1 (1.236) 1 щ ж4 ----- I х< <; щ 1=1 ' (1.237) 1 П2 s2 -------- I (хг i-х2)2; 2 п2-1 г=1 (1.238) г д еXj их2 - средние значения, a s2x и s22 - выборочные дисперсии, о п ре д ел ё н ны ес о степенями свободы v^r^-l и vz=n2-1 соответственно. Предположим, чт о первая выборка взята и з совокупности сд и сперсией б2!, ав т о ра я - из совокупности сдисперсией 622. Проверяется нуле в а я гипо т ез аН0 оравенстве генеральных дисперсий б2t и б2 (1.240) Н0: б2! я б22. Дл ят о го чтобы подтвердить э т у гипотезу. необходимо д ок а з ат ь о д н ор о д но с ть дисперсий s2x и s2g) ад л ят ого чтобы отвергнуть - до каз а ть значимость различия эг1 и s22. Вкачестве статистики 0ОП используется дисперсионное соотноше н и е (1.256): /б1 .оп S% /6! В условиях нулевой гипотезы 62j=62 (рис. 1.38, см. также (1.258)). б2 j / б2 2 ~ 1 И 0 ОП = (S2t / S 2g ) с критической областью ОС отклонения нулевой гипотезы (гипотезы об отсутствии различия между сравниваемыми дисперсионными соотношениями) (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Так и м образом, для оценки соотношения выборочных ди с пе р с ий s2 j/s2g может б ы ть непосредственно использовано F-распределение (1.259) S' ад .оп (1.241) оп Вкачестве статистики 8 д л я проверки гипотезы о б о д н о р од н ос т и д ис п е рс и й s2! и s22 используется Фишера критерий, который, п о су- - 226 ществу, характеризует предельное соотношение однородных д ис п е рс и й (рис. 1. 39). Заштрихована критическая область, составляющая CL площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Е с л и Fon меньше критического Fa, т о дисперсии о дн о р од н ы (рис.1.39). П р и решении вопроса оп ринятии и л и отклонении какой-либо гипо т е з ыН0 спомощью любого критерия, основанного на результатах наб людения, могут б ы т ь допущены ошибкидвухродов. Ошибка перв о го рода с о в е р ш а е т с я тогда, когда о тв ергается верная гипотеза Н0. О ш и б к а в т о р о г о рода совершается в т о м случае, когда- гипотеза Н0 принимает ся, ан ас а мо м деле верна н е она, акакая-либо альтернативная г ипо т е з аHj. Вероятность допустить о ш иб к у первого рода равна а, т.е. у р о в н ю значимости критерия; вероятность допустить ошибку в т о р о г о ро даравнаР, т.е. доверительной вероятности. Э т и ошибки н е равно ценны, т а к как отвергнутая гипотезаН0 в худшем случае на какое-то в р е м я помешает другим исследователям работать в этом направлении и о н аб у д е т подтверждена позже. П ринятие ж е неверной гипотезы-напра в и ту с и л и я некоторых исследователей п о неверному пути, и н е о б хо д им о б у д е т сначала опровергнуть неверную гипотезу Н0, а потом в ы д в и г а т ь альтернативные Н1# Н2, Н3 и т.д. Естественно стремиться к тому, ч т о б ы критерий для проверки данной гипотезы приводил возм о ж но р е ж е ко ш и б оч н ымрешениям. Обычная процедура построения наилучшего кри т е р и яд л я простой гипотезы за к лю ч а ет с я в выборе среди вс е х критери е в сзадан н ым уровнем значимостиа такого, который имел б ынаимень ш у ю вероятность ошибки второго рода (или, ч т от ож е самое, наиболь ш у ювероятность отклонения неверной гипотезы). Вероятность 1-Р на з ы в а е т с ямощностью статистическогокритерия. Очевидно, ч т оп р и лю - 227 б о мо б ъ е м ев ыборки п вероятность допустить ошибку первого ро да мож н о уменьшить, уменьшая у ро в е н ь значимости а. О д на к оп р иэ т о м увели ч и в а е т с я вероятность Р допус т ит ь оши бк у второго рода (снижается мо щ но с ть критерия). Единственный с п о с о б уменьшить и а, и Р с о с т о и т втом, чтобы увеличить о б ъ ё м выбор к и п. Природа статистических в ыв о д о в такова, ч т оп р ио тк лонении ги потезы м о ж н о зара н е ео ц е н и т ь вероятность возможной о ш и б к и (откло н и т ь истинную гипотезу), з а д а ва я сь у ровнем значимости. С д р у г о й стороны, е с л и гипотеза н е отклонена, т оэ т он е означает, ч т оо н а подтверждена сзаданной вероятностью, э т о означает л и ш ь то, ч т оо н а н е противоречит экспериментальным данным, н о вполне в о з м о жн о осу щест ви м ыд ру гие экспериментыид р у г а я статистическая проверка, в р ез ультате которых гипотеза б у д е т отвергнута. Вз ак л юч е н ие необходимо упомя н у ть мнение Г.В.Лейбница (Leibniz Gottfried Wilhelm; 1646-1716) отом, ч т о вероятностные методы н е могу т полностью подтвердить статистическую гипотезу. См. та к ж е С т ь ю д е н т а П р а в и л о к р и т е р и й , о п р е д е л е н и я к р и т и ч е с к о г о з н а ч е н и я с т а т и с т и ч е с к о г о к р и т е р и я , t-к р и т е р и й . Степ ен е й свободы число - 1. (жат.) Ч и с л о независимых источни к о в информации п р и вычислении какого-либо параметра, характеризую щ е г о совокупность. Чис ло с т еп е не й свободы характеризует информаци о н н ы й потенциал выборки, э т ов с егда цел ое положительное число: v=n-1. (1.242) г д еп - размерность выборки, I - ч и с л о параметров, вычисленных п о д а н н ы м выборки. Например, п р и вычислении дисперсии воспроизводимос ти в м е с т о математического о жиданияМхиспользуют сред н е ез н а ч ен и е выборки, вычисляемое п о данным выборки. П р иэ т о м происходит п о т е р я о д н о й ст е п е н и свободы, поскольку дисперсия вычисляется п р иэ т о мп о п0П-1 независимым источникам информации. Таким о бразом von=non-l. Ч и с л о параметров, определённых п о выборке, е щ ё называется чис лом связей, наложенных на выборку. Та к вот, сточ к из р е н и я теории информатики ч и с л ос тепеней свободы р а в н о числу параметров, к о т о р о е е щ ё м о ж н о определить п ов ыб о рк еп о с л ет о й ил и ин ой обработки, а с т о ч к из р е н и я статистики математической v равн о числу независимых ис точников информации, п о которым вычисляется т о ти л ии ной выбороч н ы й параметр. Д е л о в том, что, используя одну и т уж е выборку, не в о з м о ж н о решить сразу д в е задачи: о ц е н и т ь параметры совокупности и п р и м е н ит ь соответствующий критерий д л я проверки достоверности полу - 228 ч ен н ы х оценок б е з какой-либо компенсации, связанной сдвукратным об р ащ е ни е м кимеющемуся массиву наблюдений. Такой компенсацией яв л я е т с я уменьшение зн а менателя в формуле выборочной д и с п е р си ио т ч и сл анаблюдений пд о числа независимых источников информации оце н и в ае м о го параметра V. Если, например, математическое о ж и да н иеМх о ц е н и в а е т с яп о результатам п я т и независимых наблюдений: х = (х1+хг +х3+х4+х5)/5; (1.243) т о результат имеет п я т ьс те п ен е й свободы. Дисперсия оценив а ет с яп о п я т и квадратам разностей (хх -хср)2, о д н а к о независимо выч и сл я ю тс я т о л ь к оч е т ы р еи з эт их разностей, т а к как, определив четыре, п я т у ю у ж ем о ж н о вычислить следующим образом: х5-х * 4х-(х1+х2+х3+х4). (1.244) П оэтому имеется т ол ь к о ч е т ы р е независимых источника информа ции, п о которым вычисляется выбор о чн а я дисперсия. Бывают случаи, к о г д а в качестве о ценки математического о жидания Мхиспользуется величина, н е завис и ма яо трассматриваемой выборки (например тх). т.е. о ц ен к а определяется независимым путём. Втаких случаяхд л я вы б о р о ч н о й дисперсии следу е т пользоваться формулой: s i n = --- I (Xi-mx)2. х п 1=1 2 (1.245) С р а в н и т е с (1.123), (1.124), (1.318), (1.319). П р и пр оверке гипотезы ос о от ветствии эмпирического распределе н и я нормальному закону возникает необходимость уменьшения ч и с л а с т е п е н е й свободы (2.31) н а единицу, v=k-1-1. Э т о объяс ня е т ся тем, ч т о нез а в ис и мо вычисляются частоты т о л ь к о в первых k-1 интервалах, ачаст о т а в к-том интервале може тб ы т ьл е г к о вычислена п о "балансу" (2.32), поскольку 2п3=п. Другими словами, сум ма вероятностей рав н а единице, Zpd=l. 2. (физ.) Ч и с л о п араметров с о с то я ни я люб ой термодинамически р авно в ес н ой системы, которым м о ж н о придавать произвольные знач е н ия вт о м интервале, вкотором ч и с л оф а з (ф) н е изменяется. Э т о положе н и е называется правилом ф а з Гиббса - ч и с л о v термодинамических сте п е н е й своб од ы системы, состо я ще йи з фф а з и п компонентов, равно: v=n-y+2. 3. (мех.) Чис ло н езависимых движений, возможных д л яд а нн о й ме ханиче с ко й системы. Например, свобо д н ая материальная точка имее т3 - 229 с т е п е н и свободы, поскольку о н амож е т независимо перемещаться в д о л ь л ю б о йи зо с е й декартовой системы координат. Свободное т вё р д о ет е л о име е т6 с т е пе н ей свободы, поскольку е г о центр инерции может переме щ а т ь с яв д о л ь люб о йи зт рёх о с е й декартовой системы координат, аса м от е л о может вращаться влюб о йи зт р ёх возможных плоскостей. Нало ж е н и ен ат е л о механических с в я з е й приводит к уменьшению ч и сл а сте п е н е й свободы. См. та к ж е П р а в и л о о п р е д е л е н и я к р и т и ч е с к о г о з н а ч е н и я с т а т и с т и ч е с к о г о к р и т е р и я . Стохастическая модель ( < зреч. б т о Х а б и з е т ^ xeXvti - и с к ус с тв о предположений, искусство угадывания; 6xoXa6Tiaeot - умею щ и й целить, попадать; умеющий в е р н о отгадывать, с у д и т ь [4, 80] и франц. modele, шпал. modello, <лат. modulus - мера, образец, н орма [81, 84]) - ма т ематическое выражение, уравнение, формула, содержащее п еременные величины параметры, константыи о д н у (или более) случайную компо ненту. С л у ч а й на я компонента характеризует рассеяние результатов из мерений, с в язанное спогрешностью измерений п р и осуществлении наб людений и л и экспериментов, приближённым характером математической модели, разветвлением соб ыт и йи л иж е с собственной изменчивостью анализируемых объектов. В от л и ч и ео т статистическоймодели м о д е л ь стохаст ич е ск о г о процесса описы ва е т изменения случайных к омпонент в з а в и си м ос т ио т какого-либо неслучайного параметра, в к а че с т ве кото р о г оо б ы ч н о принимают время. Врезультате стохастическая модель, постр ое н н ая н а вероятностной о с н о в е и включающая в с е б я независимый не с лучайный фактор (время, координату), описывает явление лучше, чем детерминистическая модель. Например, модель процесса сл у ча й н ог о блуждания оказал а с ь при е м л е м о й д л я описания продольных профилей речных дол ин и п р оц есса д в и ж е н ия жидкости п о капиллярам. Модели стохастических п ро ц е сс о в у с п е ш н о применяются п р и изучении роста каверн, добычи нефти, в гид рогеологии, впроцессах м ассовой кристализации имногих других об ластях. [39, 62]. Выраже н ие ” 6ToXa6xL3eTi teXvti" - искусство предположений - в в ё л внауч н ую литературуЯ.Бернулли (Jacob Bernoulli; 1759-1789) - "Ис к у с с т в ов озможно точнее и змерять вероятности вещей...” См. та к ж е м о д е л ь , т в и е , В о с п р о и з в о д и м о с т ь , М о д е л ь , С л у ч а й н ы й П О Н И М А Т Ь , п р о ц е с с , Д е т е р м и н и з м , П о н я т и е , С т а т и с т и к а П р и ч и н а , Д е т е р м и н и р о в а н н о - с т о х а с т и ч е с к а я П р и ч и н н о с т ь , П Р И Ч И Н Я Т Ь , м а т е м а т и ч е с к а я , С у щ н о с т ь , Связь, С л е д с Я в л е н и е . Структура (< лат. structura - строение, расположение, порядок. - И.X.Дворецкий; (1894-1979) < лат. struere - класть д р у гн а друга; - 230 строить, располагать, размещать < sternere - стлать, расстилать; раскладывать. [92]) - с ов о к уп н ос т ь устойчивых связей объекта, обес п ечив а ющ и хе г о целостность и тождественность самому себе, т.е. сох р ан е н и е основных свой с т вп р и различных внешних и внутренних измене ниях. В б о л е е широком, нестрогом с м ы с л е понятие "структура" упот р е б л я л ос ь внаучном и философском об и х о д е достаточно д а в н о (по к р а й н е й ме р е с о средних веков) и выступало вкачестве о д н о г ои з с п о с о б о в определения понят и я формы (форма как структура, организа ц и я содержания). В строгом с м ы с л е понятие "структура" в пе р в ы е раз в и в а е т с я вхим и и в свя з и свозникновением в 19 в. теории химическо г ос т р о е н и я вещества. В соврем е нн о й нау ке понятие "структура" обыч н о соотносится спонятиями системыи организации. Х о т яе ди н о йт о ч к и з р е н и ян а соотношение э т и х поня ти й нет, о д н а к о в большинстве случа е ввк а че с тв е наиболее ш ир о ко г ои з ни храссматривают поня т ие систе мы, характеризующее в с ё множество проявлений некоторого с л о ж н о г о о бъ е к т а (его элементы, строение, связи, функции и т.д.). С тр у к ту р а в ы р аж а е тл и ш ь то, ч т о ос т а ё т с я устойчивым, относительно неизменным п р и различных преобразованиях системы; организация ж е включ а ет в с е б я к а к структурные, т а ки д и н амические характеристики системы, о бе с п ечивающие е ё направленное функционирование. См. та к ж е дель, Д е т е р м и н и з м , М о д е л ь т в и е , Ф о р м а , м о д е л ь , э к с п е р и м е н т а л ь н о - с т а т и с т и ч е с к а я , С т а т и с т и ч е с к а я н о с т ь , Д е т е р м и н и с т и ч е с к а я м о д е л ь , С т о х а с т и ч е с к а я М а т е м а т и ч е с к а я П р и ч и н а , м о д е л ь . П р и ч и н н о с т ь , С т р у к т у р н а я м о д е л ь , Связь, М о С л е д с м о д е л ь , С у щ Я в л е н и е . Структурная модель (< лат. structura - строение, расположение, порядок. X. Дворецкий; (1894-1979)) - модель, отражающая физи ческую с у щ н о с т ь объекта, процесса, явления. И . См. та к ж е д е л ь Д е т е р м и н и з м , Д е т е р м и н и с т и ч е с к а я э к с п е р и м е н т а л ь н о - с т а т и с т и ч е с к а я , С т р у к т у р а , м о д е л ь , П р и ч и н а , М а т е м а т и ч е с к а я П р и ч и н н о с т ь , Св яз ь, м о д е л ь , М о С л е д с т в и е , Ф о р м а . Стьюдента критерий, t-критерий - критерий значимости, основан н ы йн а Стьюдента распределении ииспользуемый д л я проверки г и п о т е з о с р е д н и х значениях н ормально распределённых физических в ел и ч ин и д л яп роверки на з начимость о ц ен о кпараметров. Случайная величина t, характеризующая соотношение неизвестной о ш иб к и определения Мхи квадратичного отклонения sx: (х-Мх) у — t = --------V п , sx (1.246) и м е е т распределение Стьюдента ил и t-распределение (рис.1.40), (см. - 231 т а к ж ерисЛ.22); плотность вероятностей pit) этой случайной величи н ыи м е е т вид (1.252). В соотношении (1.246) v=n-1 - степеней свобо- Случай одностороннего критерия - заштрихована критическая область, составляющая ОС площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1} П у с т ь результаты наблюденийх%, хг,..., хп ~ взаимно независи мые, н о рмально распределённые с лучайные величины снеизвестными па раметр а миМхи б2. При отсутствии грубыхи систематических о ш и б о к р езультат первоначальной обработки наблюдений хс р совпадает смате матическим ожиданиемМх с б о ль ш е йи л и меньшей точностью, з а в и с я щ е й о то б ъ ё м а выборки п: 1 п х- — I x t; (1.247) п i=l s2 1 п ------- I ixx-x)2, п-1 г=1 (1.248) г д ех - оценкаматематического о ж и д а ни я Мх, в частности, арифмети ч е с ко е среднее, a s2x - оценка генеральной дисперсии б2. Вт е х слу ч аях, ког да sx*|xcp| или sx>|xcp|, говорят, ч т о "оценка хс р матема т и ч е с к о г о ожидания Мх незначимо отличается о т нуля"; в э т о мс л у ч а е м о ж е тб ы т ь два исхода: либ о Мх=0, л и б о Мх *0, в обоих с лучаях необ х о д и м о повысить точность проведения наблюдений (эксперимента) и/или у в е л и ч и т ь объ ё м выборки. Вте х случаях, когда sx<|xcp| и возни к ае т з а д а ч а собственно оценки точности наблюдений, а более строго, о пр е д е л е н и яинтервала значений, ст о йи л и иной вероятностью "накрываю щего" неизвестное значение параметра исследуемого распределения. Э т а задача была решена в 1908 г. У.С.Госсетом (ШШат Sealy Gosset; 1876-1937), известным под псевдонимом Student: - 232 _ Sv (x a _ X -------- 1 V< Mv < Ж + ------- t V. /7Г (1.249) i/rT г д е t“- случайная величина, з ав и ся щ а я только о т степеней своб о ды числаv выборочной дисперсии и значимости уровня а (сравните с (1.128)). Соотношения (1.249) и (1.74) характеризуют интервал зн а чений, сдоверительной вероятностью Р=1-а "накрывающего" неизвест н о ез н а ч е н ие параметра исследуемого распределения, этим и соотноше н и я м и пользуются практически п р и обработке экспериментальных д а н н ы х д л яо п ределения доверительного интервалахср. Очевидно, ч т о выраже ние: х арактеризует доверительное о т клонение среднего значения выборки. Н е о б хо д им о отметить, ч т о уровнем значимостиисследователь з а д а ё т с я независимым путём, самостоятельно, т.е. исходя и з сущности задачи, прир од ыпроцесса, явления. Н еобходимо различать односторонний (рис.1.22, 1.37, 1.40) и д вусто р он н и й (рис.1.41 ) критерии Стьюдента. Если п о физической с у щ н о с т и задачи опытный критерий Стьюдента может располагаться п о о б е стор о н ы нуля, т о след уе т б р а т ь двусторонний к р и т е ри й (рис.1.41), е с л ип о одну - односторонний (рис.1.40). Значение двус т о р о н н е г о критерия Стьюдента б е р ё т с яи з таблицы дл я вдвое м е н ь ш е го п р и н и м ае м о го исследователем у р о в н я значимости (рис.1.41). Рис.1.41, Левая ( - t / 2 ) и правая ( t / 2 ) критические области двустороннего t -критерия (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) - 233 Табличные з начения к ритерия Стьюдента д л я различных у ровней значимостиа приведены вПриложении 6. См. также Значимости уровень статистического критерия Правило определения критического значения статистического критерия, Статистических гипотез проверка. Стьюдента распределение - непрерывное распределение вероятнос те йp(t) случайной величины tv: tv = --------, (1.251) / S/V г д е S иz - независимые случа й ны е величины, подчиняющиеся хи-квад р а т распределению и стандартизованному нормальному распределению, соответственно; v - степеней свободычисло (сравните с (1.246)). П л о тн о с ть вероятностей pit) с л учайной величины tv имеет вид: V+1 p(t) = v \ 1 + 2 v (1.252) 2 г д е T(v) - гамма-функция; v - ч и с л ос тепеней свободы; t - Стьюде н та критерий, -<x><t<+co (частный с л у ч а й Пирсона распределений, т и п 7, (1.165)). Р аспределение Стьюдента счисл о м степеней свободы v=l я в л я ет с я т а к ж е частным случаем Коши распределения спараметрами 1=1 ид=0. С о ответствующую функцию распределения величины tv, равную интегралу ф у н к ц и и (1.252) в пределах о т -с од о некоторого заданного з н а ч е н и я tv, называют t-распределением и л и распределением Стьюдента сv сте п е н я м и свободы. На рис. 1.42 изображеныкривые плотности (а) и ф ун к ц и и (б) распределения Стьюдентад л я различных чисел с т е п е н ей с во б о д ы tv. П р и проверке статистических гипотез практический и н т е р е с п р е дставляют т а к называемые критические значения Стьюдентакритерия - числа, характеризующие пр едельное с оотношение оценки математичес к о г оо ж и д ан и яие ё квадратичного отклонения дл я проверяемой нул е во й г ипотезы (1.233). В условиях нулевой гипотезыМх=0 и соо т но ш е ни е (1.235) имеет вид: t„-i = -- / п . (1. 253) 234 - Рис.1.42. Кривые плотности (а) и функции (б) распределения Стьюдента, t v , для различных чисел степеней свободы V (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) г д еп - размерность выборки, n~l=v - степеней свободычисло. Крити ч е с к и ез начения критерия Стьюдента определяют д л я приним а е мо г о у р о в н я значимости а, руководствуясь правилом: со on а / p(t)dt = Р tV >t V = а, а t (1.254) г д е ton - опытное значение критерия Стьюдента, а - площадь п о дкри в о й pit), характеризующая вер о ят н о ст ь ошибочно отвергнуть в е рн у ю н у л е в у ю гипотезу. Распределение отношения двух независимых случай н ы хв е л и ч и н установил У.С.Госсет (William Sealy Gosset; 1876-1937), и з в е ст н ый под псевдонимом Стьюдент (Student). Табулированные значе н и як р и т е р ия Стьюдента п р и различных уровнях значимости а п р и ве д ен ы в Приложении 6. Необходимо различать односторонний и д в ус торонний к р и т е р и и Стьюдента. Если п о физической сущности задачи о п ыт н ы й кри т е р и й Стьюдента может располагаться п оо б е стороны нуля, т ос л ед у е т б р а т ьдвусторонний критерий, е с л ип о одну - односторонний. З н а ч е н и е дв у стороннего критерия Стьюдента б е р ё т с яи з таблицы д л яв д в о е мень ш е г о принимаемого исследователем уровня значимости (рис. 1.41). См. также Значимости уровень. - 235 "Субстанция - неизменная часть вещи в процессе её сгущения-разряжения." (Д и м и т р и й П а н и н ) . Субстанция (< лат. substantia - сущность, существо, суть) - 1. Н ос и т ел ь т о г о ил и иног о явления внекоторыхтеоретических построе н и ях современного естествознания. 2. фил. Неизменная и в е ч н а я сущ ность, лежа щ ая в о с н ов ев е ще йи в с е г о мироздания и противополагае м а я случайному и преходящему [79]. См. также П р о с т р а н с т в о , С р е д а . Субъект (лат. subjectus - л ежащий внизу, простирающийся уног, подчинённый, подвластный) - 1. Человек, познающий внешний м и р (объ ект). 2. Человек, ка к носитель каких-либо свойств, личность. 3. Ло г и ч е с к о е подлежащее, предмет суждения. Ср. Объект. См. также О б ъ е к т и в н о с т ь , С о с т о я т ь . "Субъективизм - обычное дело при отыска нии объективных причин." (Л е ш е к К у м о р ) . Субъективность - отно ше н ие кчему-либо, определяемое л и ч н ы м и взглядами, интересами, в кусами субъекта; отсутствие объективности. С уб ъ е ктивность достаточно о п ас н а внаучных исследованиях, вматема тическоммоделировании процессов, т.к. может привести к н еверным результатам, к (принятию) отклонению (не)верной гипотезы, кполуче н и ю неадекватной математической модели. "Человек, не осмеливающийся иметь своё суждение, есть трус, тот, кто не хочет его иметь, - лентяй, а тот, кто иметь его не спосо бен, -дурак." ( Н . Ш е л г у н о в ; 1824-1891). Су ж де н ие - форма мысли, вкоторой утверждается и л ио т р и ц а е т с я что-либо относительно субъектов, о б ъ ек т о в иявлений, и х свойств, с в я з е йи отношений и которая о бл а д ае т свойством выражать л и б о исти ну, л и б о ложь. В отли ч и ео тпонятия впредикате сужде н и я мож е тб ы т ь к а к утверждение, т а ки о т р и ц а н ие относительно признаков, с в о й с т в объекта, явления. Кро ме этого, в предикате сужд ен и я могу тб ы т ь о то бражены к а к несущественные, т а ки отдельные отличительные и су ществе н ны е признаки, свойства субъекта, объекта, явления. См. также т е х н и ч е с к и й . К а т е г о р и я , О Б О З Н А Ч А Т Ь , О п р е д е л е н и е , О П Р Е Д Е Л Я Т Ь , С о с т о я т ь , Т е р м и н -236"Сущность - это путь вглубь явления, веду щий к основам мироздания, даже если явление кажется незначительным.” (ВикторГаврилов). С у щ н о с ть - философская категория, отражающая всеобщие формы реальности и е ё познание человеком. Сущность - со в ок у пн о с ть свойств, определяющих особенность объекта, явления, процессаи л и класса объектов, явлений, процессов. О т совокупности с в о йс т в зави сят, к р о м е всег о прочего, ихизменчивые состояния и формы явлений. С у щ н ос т ь - универсальная объект и в на я характеристика реальности, и м е ющ а я определяющее з начение впроцессе познания объекта. Катего р и я "сущность” всегда неразрывно связана скатегорией "явление" о н араскрывается вявлении, явление представляет с о б ой форму прояв л е н и я сущности. Ва нтичной философии сущн о ст ь мыслилась как начало понимания в е щ ей и в м ес т е стем как источник ихреального генезиса. С о г л а с н о Демокриту (Дт\доэер1то1,; 460/470 - 360/370 г . д о Р.Х.) с ущ н ость в е щ и неотделима о т сам о й вещи и производна о т тех атомов, и з которых о н а составлена. П о Платону dlXatcov; 428 и ли 427 д о Р.Х. - 348 и л и 347 д о Р.Х.), с ущность ("идея") несводима к телесно-чувственному бытию, т.е. совокупности конкретныхявлений; о н а имеет сверхчувственный нематериальный характер, вечна и бесконечна. У Аристотеля ('Арьбто* teXnt; 384-322 д о Р.Х.) в о т л и чи ео тПлатона с у щность ("форма ве щей") н е существует отдельно, по м и м о единичных вещей; сдругой сто роны. сущность, п о Аристотелю, н е выводится и зт ой "материи", и з ко т о р о й стро и тс я вещь. В средневековой философии сущность р е з к о противопоставляется явлению: носителем сущности выступает з д е с ь Бог, а з е м н о е существование рассматривается как неистинное, иллю зорное. В философии нов о го времени противопоставление с у щ н о ст ии я в л е н и я приобретает гносеологический характер и находит с в о ё выра ж е ни е вконцепции первичных и вторичныхкачеств. Вмышлении катего р и и "сущность" и "явление" выражают переход о т многообразия налич ныхф о рм предмета к е г о внутреннему содержанию и единству - кпоня тию. Познание сущности системыс в я за н о сраскрытием зако но ве ёраз вития. Постижение сущности объекта, явления, процесса с ос т а вл я ет з а д а ч у науки. См. также Форма, Явить, являть, явливать. -237- т "Нет ничего более практичного, чем хоро шая теория." (Лю двиг Б о л ь ц м а н ; 1844-1906). Теория (< польск. teorja и л и непосредственно и з лат. theoria о т греч. Аешркх - наблюдение, рассмотрение, исследование, xivol;; ос. н аучное ил и теоретическое познание; наука, учение, теория. (М.Фасмер, (1886-1962); [100], А.Д.Вейсмая, (1834-1913), [80]) формализованное обобщение результатов научных исследований, процес сов, наблюдений, событий вприроде, обществе и мышлении. Сд р у г ой стороны, т е о ри яе с т ь творческое отра же н ие реальности в созна н и и че ловека, отражение к а к результат анализа д ан ных споследующим синте зо ми обобщением. Критериемистинности теории является опыт, прак тика. Сизменением реальности ме няется и теория. Пр иэ т о мн о в а я те о р и яс охраняет в с е б ев с ё ценное, кот о ро е имелось в с т а р о й теории, - т а кназываемая преемственность теории. Для теории характерны ди а лектика единства и преемственности, преобладание, доминирование прак т и ки и относительной самостоятельности теории. Термин технический, специальный (< вульг.лат. terminus technicus) - с л о в о или словосочетание, обозначающее строго определённое понятие: математическое, техническое, технологическое, научное, фи ло с оф с ко е и т.п. Главное качество термина - независимость о тязыко в о й среды, устойчивая однозначность вразличных языках. Необходимо т а к ж е ч ё т к о различать научное и о б ыденное значение т о г ои л ии н о г о термина. Будучи неразрывно связанным с о словом, термин в большин с т в ес л уч а ев тождественен слову, достаточно част о о н о д и н а к о в в разныхязыках. Как правило, источником терминов являются греч е ск и й и латин с к ий языки. Например, Гидродинамика, Детерминизм, Диалекти ка, Дисперсия, Информация, Кибернетика, Константа, Модель, Момент, Норма, Параметр, Процесс, Система, Статистика, Функция и др. См. также Категория, Понятие, Определение, Суждение. Сравните: Термин < польск. termin < лат. terminus - погранич н ы й камень, межевой знак, границы, пределы, конец, конечная цель. Terminus - Термин, римск. б о г границимежей, в честь к оторого еже г о д н о 23 февраля справлялись празднества - Терминалии (Terminalia). См. также Правило определения критического значения статистического критерия, Понятие. Трансцендентная кривая (от лат. transcensum (от trans- через, сквозь, з апределами и scansum - восходить, возноситься, достигать) - 238 - в ы хо д ящ и йз а пределы, переходящий) - плоская кривая, у р ав н е ни е к от о р о й в декартовых координатах н е является алгебраическим. Транс ценден т ны е кри вы е в отличие о талгебраических кривых могут и м ет ь б ес к о н е ч н о еколичество точек пересечения спрямой, точек перегиба, о с о б ы х точек, вершин, асимптот и т.д. Трансцендентные к р и вы е мог ут и м е т ь точки, которые н е существуют уалгебраических кривых: т о ч к и прекращения, угловые точки, асимптотические точки. Например, графи к и трансцендентных функций (показательной, логарифмической, триго н ометрической и др.), в с е спирали, квадратриса, трактриса, ц е п н а я линия, трохоида, циклоида. Трансцендентная функция (< лат. transcensum (от trans - через, сквозь, з а пределами и scansum - восходить, возноситься, достигать) - выходя щ и йз апределы, переходящий) - аналитическая функция, н е я вляющаяся алгебраической, например, показательная функция, лога рифмическая функция, тригонометрическая функция и др. Трансцендентное (< лат. transcensum (от trans - через, сквозь, з апреде л а ми и scansum - восходить, возноситься, достигать) - выхо д я щ и йз апределы, переходящий) - "то, ч т о существует в н е сознания, н ед о с ту п но е м у инепознаваемо" (Иммануил Кант; 1724-1804). Э т а фор м ализация И.Канта получила б л ес т ящ е е воплощение в "Трансцендентных этюдах”ФеренцаЛиста (1811-1886). Трансцендентное число см. Ч и с л о трансцендентное. Трёх сигма правило - мнемоническое правило, согла с но к оторому внекоторых задачах вероятностейтеории и статистикиматематической с ч и т а ю т практически невозможным событие, заключающееся в откло н ен и и з н а ч е н и я нормально распределённой случайной величины о те ё матема т и ческого ожидания больше, ч е мн ат р и стандартных отклонения: Р(Х-Збх<МХ<Х+Збх}=0, 9973. (1.255) Э т о значит, ч т о знач ен и яс л учайной величины X б уд у т отклонять с яо те ёматематического ож и д ан и я Мхна расстояние, превышающее 36 в с р ед н емн е более, ч е м 3 ра за н а од н у тысячу испытаний. Н аэ т о м о сн о в а н и и в экспериментальных исследованиях и в технологии п р и н я т о считать, ч т о событие {|Х-Мх|>3бх} является практически невозможным и, следовательно, событие {|Х-Мх|<3бх) - практически достоверным. В т ак их случаях говорят, ч т о экспериментатор ил и проектировщик при д ержив а ет с я правилатрёх сигма. С о г л а с н о закону нормального распределения вероятность того, ч т о с л у ч а йн а я величина примет значе н ие винтервале Мх -бх<Х<Мх +бх, - 239 равна 0,683, вероятность попадания винтервал Мх~2бх<Х<Мх+2бхравна 0,954, a P(Mx-36x<X<Mx+36x)=0,997. Э т и вероятности эквивалентны с о о тветствующим площадям подкривой плотности вероятностей р(х) (рис, 1.43). См. т а к ж е рис. 2.28. Рис.1.43. Площади под кривой плотности нормального распределения, заключённые в пределах интервалов, кратных стандартному отклонению (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) См. также Вероятность житейская, Вероятность математическая, Вероятность статистическая, Квадратичное отклонение, Стандартизация случайной величины, Стандартное отклонение. У Уникальный (< нем. unicum - единственный в своёмро д е экземп л я р < лат. unicum {ср.p.), unicus - единственный в своёмроде, иск лючительный, необыкновенный < unus - один; (один-)единственный; т о л ь к о (один). [79, 92]) - 1. Редкий, единственный в сво ё мроде, исключительный, необыкновенный; редкий образец. 2. Уникум - чело в ек исключительный, необыкновенный вкаком-либо отношении. Уравнениематематическое - аналитическая з а пи с ь за д ачи о ра з ы с к а н и и значений аргументов, п р и которых з начения двух данных функцийравны. Аргументы, о т которых зави с я тэ т и функции, называют с янеизвестными, а зн а ч ения неизвестных, п р и которых з н а ч е н ия функ ц и й равны, - решениями (корнями) математического уравнения. Сово к у п н о с т ь математических уравнений, д л я которых требуется найти зна ч е н и я неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем э т и мматемати ч ес ки муравнениям, называется с истемой математических уравнений, а з н а ч е н и я неизвестных, удовлетворяющих одновременно вс ем математи ч ес ки муравнениям системы, - решениями системы. Различают алгебраи- - 240 ч е с к и е уравнения, трансцендентные уравнения, в т.ч. тригонометри ч е с к и е уравнения, логарифмические уравнения, показательные уравне ния, а т а к ж е иррациональные уравнения, дифференциальные уравнения. У ро в е н ь значимости статистического критерия см. Значимости у р о в е н ь статистического критерия. Устойчивость распределения см. Распределений устойчивость. Ф "Факты - упрямая вещь, но статистика го раздо сговорчивее." (Лоренс Питер; 1919-1990). Факт {у ж еп р иП е т р еI; польск. fakt < лат. factum - 1) сделанное, деяние, действие, поступок; 2) истинное происшествие, факт) - 1. Действительное, реальное событие, явление, то, ч т о действительно произошло, происходит, существует. 2. Частица, утвердит. и вводн. слово. Выражает уверенность, уверение. 3. букв. Сделанное, совер шённое. 4. Происшествие, случай, событие; дело, быль, быть; данное, н ак о е мм о ж н о основаться. [83, 84, 90, 100, 104]. "Один факт способен ос п о р и т ь авторитет с т а философов." (Гийом МариБрюм; 1763-1815). "ФАКТОРЪм . л а т н с . комисс1онеръ, исполнитель частныхъ поручен!й; СВОДЧИКЪ, к улакъ. (...) II Въ м а т е м т к . МНОЖИТвЛЬ, ив о о б щ еЧЛеНЪ, ВХОДЯЩИЙ вс л о ж н ы й выводъ. (...) Фактм . происшеств1е, случай, собьгпе; де ло, быль, быть; данное, н а кое м ъм о ж н о основаться, пртвпл. вымыселъ, ложь, сказка. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Данные, Данных обработка математическая, Середа. "Мы знаем действие многих причин, но мы не знаем причин многих действий." (Чарльз Колеб Колтон; 1780-1832). Фактор (<лат. factor - мастер, создатель, виновник; facto делать, совершать) - 1. Движущая сила, причина какого-либо процес са, явления. 2. Существенное обстоятельство вкаком-либо процессе, явлении. 3. Независимая переменная физическая величина и л и аргу мент. П р и наличии трёх и б о л е е аргументов принято г оворить опрост р а н ст в е независимых переменных, и л и факторном пространстве. “Природа не признаёт шуток; она всегда правдива, всегда серьёзна, всегда строга; она всегда права; ошибки же и заблуждения исхо дят от людей." (Иоганн Вольфганг Гёте; 1749-1832). Физика (< греч. <pu6it - природа, натура, природное свойство, характер; творение, тварь) - наука, изучающая элементарные и в м е с т е ст е м наиболее о б щи е закономерности явлений природы, свойства и с т р о е н и е материи и законы е ё движения. Понятия физики и е ё законы л е ж а тво с н о в е все г о естествознания. Законы физики описывают уни т о законы в р е м е н ии верса ль н ы е категории материального мира. Э пространства - фундаментальные законы, определяющие поведение мате рии. К р а йн ев а ж н о отличать вявлениях природы простое и универсаль н о е (законы) о т сложного и к о нкретного (закон сналоженными н ан е г о начальными и граничными у с ловиями - математическая модель). Физика - т о ч н а я наука, изучающая количественные закономерности п роцессов и явлений. Сточ к из р е н и я технологии и моделирования технологических п р о ц е сс о во со бый интерес представляют термодинамика, явления пере носамассы, энергии иимпульса, т.е. процессы массопередачи, тепло п е р е да ч и и гидродинамика. Физическая величина см. Величина физическая. Фиксация (фр. fixation < лат. fixus - крепкий, прочный, неиз менный, незыблемый) - 1) (моделирование) привязка к факторному пространству, констатация значений функции и факторов; 2) прекраще н и е дейст в ия кого-либо или чего-либо; 3) констатация событий, наб людений, фактов. Фишеракритерий, F-критерий - случайная величина, и ме ю щ а я п ло т н о с т ь вероятностей (1.259) и з а в ис я ща яо т степеней свободы чи с е лчислителя, Vj, и знаменателя, v2 (в неявном ви д е критерий Фише р а определяется т а к ж е и значимости уровнема, принимаемым исследо вате ле мнезависимым путём). Критерий Фишера применяется д л я провер к иг и п от е зо б однородности в ыб орочных дисперсий, например s21 и s22. Нулевая гипотеза формулируется ка к гипотеза о б отсутствии раз л и ч и я дисперсий, Hois ^ ^ s 2^, альтернативная - дисперсии s2! и s22 неоднородны и характеризуют выборки и з разных совокупностей, H 1:s21^s22. Опытный критерий Фишера конструируется вв и д е отноше ния: - 242 г д е б2! и 6е2 ■неизвестные генеральные дисперсии первой и в т о р о й б2 совокупностей. В условиях нулевой гипотезы генеральные диспе р си и равны, б21=б22, выборочные дисперсии однородны, и отношение s21/s22 м о ж е тнепосредственно использоваться д л я проверки гипотезы (см. т а к ж е (1.258)). опытный критерий Фишера: о2 F°n= (1.257) * F q2 s 2 с р а в н и ва е т ся с табличным значением д л я чисел степеней свободы чис л и т е л я Vj, знаменателя v2 и у р о в н я значимости а, причём в ч и с л и т е л е д ол ж н аб ы т ь большая дисперсия (таблицы критерия Фишера н а чинаются с единицы). В этом случае табличное знач е ни е критерия Фишера я в л я е т с я предел ь ны м соотношением однородных дисперсий (рис.1.44). Заштрихована критическая область, составляющая (X площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Табличные значения критерия Фишера д ля различных уровней зна чимостиа приведены в Приложениях 7, 8, 9. Критерий Фишера назван в ч е с т ь англ. учёного Р.Э.Фишера (Fisher Ronald Aylmer; 1890-1962). См. также Статистических гипотез проверка, Фишера распределение. Фишерараспределение - непрерывное распределение вероятностей с л у ч ай н ой величины F: Sl/У; F = (1.258) с ?2 S,/v. ъ 2 г д еБх и S2 - независимые случай н ые величины, подчиняющиеся хи-квадрат распределению сvt и v2 степенями свободы соответствен но. Плотность вероятностей величины Fv имеет вид: 1* 2 - 243 - V2/ 2 2 p(F) Г ---- Vi T ---- Vj/2 Vg Vj / 2 - 1 F (V4+V2)/2 , F>0, (1.259) (V^+Ve) где r(v ) - гамма-функция; vx и v2 - ч исла степеней свободы числите ля и знаменателя, соответственно (частный случай П ирсона распреде лений, тип 6, (1.162), (1.163)). Плотность распределения p(F) унимодальная функция, монотонная относительно моды, а симметричная при v2>2 (рис.1.45). Р(Гцу2) О F 2 Рис.1.45. Кривые плотностей распределения Фишера (частный случай при V j= 20) (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) Очевидно, что F-распределение зависит только от чисел степеней свободы vx и v 2. Соответствующую ф ункцию распределения величины Fv l .v 2 . равную интегралу функции (1.259) в пределах от 0 до некото рого заданного значения FV1>V2 ' называют F-распределением с и v2 числами степеней свободы (рис.1.46). О 1 2 3 4 5 6 7 $ Рис.1.46. Кривые функции распределения Фишера (частный случай при V 1 =20) F - 244 С р е д н е е значение и диспер с ия величины F vl,v2 определяются формулами: m F= m 1 = 2 --------, vz-Z v2>2, 2 (1.260) ( 1 . 261 ) M f =s f = П р и проверке статистических г ипотез практический и н т е р е с представляют та к называемые критические знач ен и я Фишера критерия, числа, характеризующие предельное соотношение однородных д и с пе р с ий (1.241), (1.257), см.т ак ж е рис. 1.7, 1.23, 1.39, 1.44. З н а ч е н и я к р и т е р и я Фишера определяют д л я принимаемого уровня значимости а, руководствуясь правилом: ОП / p(F)dF = P F V F n V '■ 1> 2 V V ( 1 . 262 ) 1» 2' г д е Fon - о пытное з начение крит е ри я Фишера (1.257), а - площ ад ьп о д кривой р{F), характеризующая в ер о я т н о с т ь ошибочно отвергнуть ве р н у ю нуле в у ю гипотезу. М о ж н о отметить, ч т о статистика (tv)2 имеет F-распределение п р и п р и Vj =1 и v2=v степенях свободы. Флуктуации (< лат. fluctuatio - колебание, волнение, непрерыв н о е движение) - случайные откло н е ни я физических величин о т их сред н и хз н а ч е н ий и ли о т функциональной зависимости. Флуктуации происхо д я т о т множества случайных факторов, сопутствующих наблюдениям и р азвитию люб о г о процесса. Количественнойхарактеристикой фл уктуаций я вл я ю тс я соответственно д ис п е рс и я воспроизводимости и ди с пе р с ия адекватности. Анализ флуктуаций производится методами вероятностей теории и статистики математической. Форма (лат. forma - форма, вид, образ, устройство < "лик", "облик", "фигура" [84, 103]) - 1. (жат.) Многочлен снесколькими переменными какого-либо порядка, например, линейная форма, нелиней н а я форма, форма уравнения п а рн о йи л и иной зависимости, логарифми ческая форма и т.п. 2. Устройство, структура, система органи з ац и и чего-либо. 3. Наружный вид, в н еш н е е очертание. 4. Шаблон. 5. Види м о с т ь чего-либо, формальность. 6. Формой б ы т и я материи, всеоб щ е йи - 245 в се г д а сохраняющейся, н а всех структурных уровнях е ё вс о ответствии ссо в ременной концепцией является время, одномерное, асимметричное инеобратимое. В р е м ян е явление ин е процесс. 7. Формой существова ния, б ы т и я материи в соответствии ссовременной концепцией я в л я е тс я пространство, характеризующее е ё протяжённость, структурность, по ряд о к взаимодействия элем ен т ов всех материальных систем. 8. Мыслеф о р м а (мысленная модель) - образ, создаваемый человеком в с в о ё м ра з у м е иизучаемый е г ож е мысленным взором. Создание в с в о ё мр аз у м е мыслеформ (мысленное моделирование), п о существу, - с о держание жиз н и человека. А к т понимания - процедура с о зд а ни я вразуме адекватной м ысленной модели. Значений человека д л я общества определяется тем, к а ки к а к и е мысленные модели с т р о и т человек и как ие принимает реше ния. См. также Среда. Формализация - выявление структуры (сущности) явления, процес са, формымысли и символическое обозначение её. Сдругой стороны, ф ор м ализация - э т оо д и ни зп у т е й изучения и математического описа н и я процессов, п р и котором исследователь, частично от влекаясь о т ф изической сущности процесса (явления), выражает с одержание о б ъе к т а вв и д е относительно жёсткой функциональной зависимости в ых о да о т в х о д а (независимых переменных и л и факторов). По д формализацией по ни м а е т с ят а к ж е представление объекта, процесса, явления вв и д е фор мул, уравнений, систем уравнений ссоответствующими параметрами. См. также Детерминизм, Детерминированно-стохастическая модель, Детерминис тическая модель. Математическая модель, Модель, Модель экспериментально-статис тическая, ПОНИМАТЬ, Понятие, Причина, Причинность, Связь, Следствие, Статисти ческая модель, Стохастическая модель, Структурная модель. Сущность, Форма, Явле ние. Формула (< лат. formula - формула, форма, модель, правило, предписание, норма) - 1. Вс я к о е определение, выраженное вк ра т к о й форме. 2. (жат.) Комбинация физических величин, выраженных б у к в а м и и числами, иматематических знаков, выражающая какое-либо предложе ние. 3. (жиж.) Обозначение соста в а химического соединения сп ом о щь ю о д н о йи л и двух начальных б у к в ла тинского названия химического эле мент а и подстрочных цифр, указывающих н аколичество а т о м ов э т о г о э л е ме н т а вмолекуле соединения (например, вода - Н20, э т а н о л С2Н50Н). См. также Модель, Норма, Правило. Функционирование - в ып олнение сво ихфункций, действие, выпол н е н и е операций, процедур, присущих кому-либо ил и чему-либо. - 246 Функция (<лат. functio - исполнение, совершение, с л у ж е б н а я обязанность, функция)) - явление, завися щ ее о т другого иизменяюще е с яп о мере изменения э т о г о др у г о г о явления. 1. (шт.) Функция - о д н ои з основныхпонятий математики, выра ж а ющ е ез ав и с им о ст ь одних переменных величин о т других. С л о в о "вели чина”в э т о м определении фун кц и и понимается в сам о м широком смысле: и ме нованное число, отвлеченное ч и с л о (действительное и л и комплекс ное), несколько чисел (т.е. точ к а пространства) и в о об щ еэ ле м е нт л ю б о г о множества. Впростейшем с л у ч а е действительной функ ци е йо д н о й действительной переменной величины, ког д а величина - действительное число, п о ня т и е функции определяется следующим образом. П у с ть каждо м уч и сл ухи з зада н н ог о множестваX поставлено в соответствие ч и с л о у, обозначаемое y=f(x); в э т о мс л у ч а е говорят, ч т он а множестве X з а д а н а функция: д ц y-f(x), х£Х, (1.263) г д ех - независимая переменная величина, и ли аргумент, и л и фактор; у- з а в и си м ая переменная величина, и ли функция; X - множество зна чений, которые может принимать х. Д ругими словами, X - о б ла с т ь оп ределения, и л и обла с ть з а д а н и я функции. Выражение "поставлено в со ответствие" означает, ч т оу к а за н определённый способ, п о которому д л як а жд о г о х^Х находится y=f{x). Функция может б ы т ьз а да н а различ н ы м и способами: аналитически, графически, таблично и в с л о в е с н о й форме. Аналитический с п ос о б наиболее распространён, п р иэ т о мф у н кц и я з а д а ё т с я формулой, указывающей, к а к и е вычислительные о п ер ации необ х о д и м о произвести над х, чтобы п олучить у. Например, у=3+1пх; у=3+4х+5х2+6х3. П р и табличном спос о б ез а д а н и я функция з адаётся в в и д е таблицы, вк о т ор о й каждому значению аргумента указывается соответствующее е м уз н а ч е н и е функции. Такой с п о с о б за д а н и я функции я вляется резуль татом подавляющего большинства экспериментальных исследований, и и м е н н о та б л ич н о з а да нная функц и я используется д л я статистического ана л из а данных, восстановления зависимости и проверки статистичес к и хг ип о т ез о б исследуемом процессе. Ш ир око распространенаи обрат н а я процедура, когда аналитическая функция табулируется, т.е. п редставляется вв и д е таблиц: т а б л ицлогарифмов, тригонометрических функций, атаки е функции, к а к распределения Стьюдента, Фишера и д р у г и е практически используются т о л ь к о вв и д е таблиц. - 247 Графический спос о б необходим исследователю д л я виз у а ль н ог о п редставления и первичного анализа экспериментально полученной з а висимости. Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоск о с т и спрямоугольными координатами (х, у), г д е х£Х. О д н а к о функ ция, з а д а нн а я графически, недостаточно определена сч и с т о математи ч е с к о й точк и зрения, и е ёт а бл и чн о е - представление используется в каче с т ве з а д а ч и восстановления зависимости. Действительная функция нескольких действительных переменных ш и р о к о используется п р и математическоммоделировании технологичес к и х процессов. В с л у ч а е множествааргументов (факторов) п р ин я т о го в о р и т ь орасчётном значении функции ур а с ч (аналитической функции) и факторном пространстве y=f(xltxz, ..., хк), г д е К - количество не за в ис и мы х переменных (факторов) и л и размерность факторного прост ранства. П р и статистическоммоделировании размерность ф а кторного пространства н е ограничена, а п р и построении детерминистических мо д е л е йо б ы ч н о ограничиваются че т ыр ь м я факторами - тр и координаты на ш е г о трёхмерного мира и в ре м я (например, процесс нестационарного теплообмена, массообмена и др.). Впер в ы е термин "функция”использовал Г.Лейбниц (Leibniz Gott fried Wilhelm; 1646-1716) врукописи 1673 г., ос т авшейся неиздан ной, п о дназванием "Обратный метод касательных или [рассуждения] п о п ов одуфункций" п о поводу задачи, вкоторой требовалось о п р ед е ли т ь координаты, исходя и з з а да н н ог о свойства касательных ккривой. Г.Лейбниц называл функцией любую лин и ю (длина которой з а в ис и т о т п о л о ж е ни я некоторой т о ч ки н а данной кривой), которая в общепринятом с м ы с л ес л о ва выполняет с в о ю функцию вфигуре, иначе говоря, и г р а е т р о л ь касательной, нормали, подкасательной и так далее и ко т о р а я та к и мо б р аз о м "функционирует". Подобное соглашение о с м ы с л е с л о в а "функция" б ы л о принято ивнекоторых других е г о статьях, опублико ван н ых в 1692 и 1694 гг., ив т о мж ес мы с ле э т ос л о в о по явилось в 1697 г. вработе Иоганна Бернулли (Johann Bernoulli: 1667-1748). 2. (биол.) Специфическая деятельность животного и л и раститель н о г о организма, е г о органов, т к ан е й и клеток. 3. (линзе.) Значение какой-либо языковой формы, е ёр о л ь всис т е м е языка, определяемая соотношением сдругими формами. 4. (соц.) Обязанности, к р уг деятельности, назначение, роль. Функция аналитическая (< франц. analyse < лат. analysis < ереч. avcau6it> - разложение, растворение. М.Фасмер: (1886-1962). - 248 [100]; avaXu6tt - разрушение, освобождение о т чего; m m v ; смерть. А.Д.Вейсман; (1834-1913); [80]) - функция, которая может б ы т ь представлена степенным рядом. Например, а k к “ К 2 у = Ь0 + Sb-jXj + £ЬХmx Yxm + IbjjXj..., j= l im ‘ j= i (1.264) ав с л у ч а е парной зависимости в и д а у=Дх): у/ч I Ь1я1с , j=0 (1.265) г д е у- значение функции, х1# х2,..., хк- независимые переменные и л и факторы, а Ь0, bj, b1>m, bj3- - коэффициенты уравнения, к о т о р ы е д о с т а т оч н ол е г ко мож но в ы числить методомнаименьших квадратов. К ла с с аналитических функций исключительно важен ст о ч к из р е н и я широты охвата большинства функций, встречающихся вматематике, в моделировании технологических процессов идругих приложениях. К р о м е этого, к л а с с аналитических функций з амкнут относительно основ н ы х о п е р а ц и й арифметики, алгебрыианализа: арифметические дейс т в ия с аналитическими функциями, алгебраические действия спараметрами, дифференцирование иинтегрирование приводят снова к аналитическим функциям. Кроме этого, аналитическая функция, полученная врезуль тате анализарезультатов э кспериментов (таблично заданной функции), с п р аведлива тол ьк од л ят о г оо бъектаи л и системы, которые подверга л и с ь исследованию (это частный случай). В математике э т о с в о й с т в о называ е тс я свойством единственности. Аналитические функции нескольких действительных переменных ши р о к о используются п р и математическоммоделировании технологических процессов, п р иэ т о ми хч а щ е называют экспериментально-статистичес кими моделями и л и регрессионными уравнениями. В с л у ч а е множества а р г ум е н то в (факторов) прин ят о говор и т ь о факторном пространстве y=f(xltxz, ..., хк), г д е к - количество независимых переменных (факторов) и л и размерность факторного пространства. П р и статисти ческоммоделировании размерность факторного пространства н е ограни чена, ап р и построении детерминистических моделей о б ы ч н о ограничи в а ю т с я ч ет ы рьмя факторами - т р е м я координатами нашего тр ё х ме р но г о ми ра ивременем (например, процессы нестационарного теплообмена, массообмена и др.). См. также Статистическая модель. - 249 Функция отклика - реакция о т кр ы т ой системына возмущение, име ю щ а ят о ил и иное распределение э ле м ен т о в возмущающего воздействия в ов р е ме н и и/или впространстве. Функция распределения случайной величины, кумулятивная функция - ф у н к ц и я F(x), характеризующая в ер оятность того, ч т о случа й н ое з н а ч е н и е величиныX н е превысит xt (рис.1.47). Рис.1.47. Функция распределения случайной величины X, кумулятивная функция. 11ш F(£)=0, lim F(3C)=1 0С~>-со X-*x> Понятие "функция распределения" сле д уе т отличать о тп он я т ия "распределение вероятностей" кото р ое характеризует о тносительную ч астоту появления т о г ои ли и н о г о признака. Понятие функция распре д е л е н и я применяется кнеубывающим функциям, стремящимся кнулю п р и х->~™ ик ед и н и ц е пр и я->+<ч Функция распределения, например, д и с к р етной случай н ой величиныX определяетсяформулой: F (х)=Р(Х<х)= I р(х1), Xi<X вк о т о ро й сумм а берё т ся п о всем значениям xlf (1.266) н е превосходящимх . См. также Распределения функция случайной величины X. Подробно см. раздел 2.4. Функция случая см. Случайная величина. х Хи-квадрат критерий, X2-критерий - критерий проверки различных с т ат и ст и ч ес к их гипотез, о с нованный н а хи-квадрат распределении. Например, пус т ь результатынаблюденийx lt я2,..., хпявляются вза и м н о независимыми случайными величинами, подчиняющимися нормальному р аспределению с неизвестными параметрамитхи б 2 х . О ценкой гене- - 250 рольной дисперсии 62хявляется выборочная дисперсия s2x, а довери тельныйинтервал д л я генеральной дисперсии можно получить спом о щь ю X2-критерия: 1 П S2 Х2= ----- 2 (Х,-Х)2 = V ---- — , (1.267) б2х 1=1 б2х г д е б2х- генеральная дисперсия, s2x - выборочная дисперсия: i n s2 = --- I (х^х)2. х п-1 1=1 (1.268) г д е х - арифметическое среднее: 1 п х ----- I Xi. п 1=1 (1.269) Статистика (1.267) подчиняется распределению хи-квадрат с v=n-l степенями свободыи уровнеж значимостиа. При доверительной ве р оятности Р=1-а доверительныйинтервал д л я X2 имеет вид: X2 v(ot/2) < X2 < X2v(l-a/2). (1.270) Односторонние доверительные о ц е н к и имеют вид: X2 < X2 v(l-a), X2 > X2v(a). (1.271) Доверительный интервал д л я генеральной дисперсии 62хопределя е т с я следующим выражением: VS2v vs2X ------ 1---- < бгх < ----- 2---. x2 v(i-a/2) x2 v(a/2) (1.272) Ан алогично определяются односторонние доверительные о ц ен к ид л я генеральной дисперсии: VS2X б2х < --------; x2 v(a) (1.273) VS2 б2х > v2 * X2 у(1-а) (1-274) Н аиболее известно применение хи-квадрат критерия к а ккритерия с о г ла с и я Пирсона п р и проверке гипотезы о принадлежности функции распределения независимых, о ди н а ко в о распределённых случайных вели ч и нхх, х2___ _ хп семейству непрерывных функций F(x, 0) н а иссле - 251 дова н н ом интервале и п р и проверке гипотезы онеизвестной ф у нк ц ии р аспределения Fix) независимых о д и н ак о во распределённых результатов наблюд е ни й x lf хг,..., хп. Впоследнем слу ч ае критерий д л я пров ер к и г и п от е з ы отом, ч т о F(x)=F0 (я), г д е F0 ix) - з аданная и л и предпола г а е м а я фун кц и я распределения, с т р о и т с я следующим образом, Диапазон и зм е н ен и я значений х1-хпв в ыборке о б ъ ём а празбивается н а к непересекающихся интервалов Дх, (в пределах о т 5-8 д о 20-30), оптимальное число равныхинтервалов можн о оп ределить п о формуле: /с=1+3,3321g(n), k>2, (1.275) и подсчитывается ч и с л о nd элемен т ов выборки, попавшее вj-тый ин т е р ва л (rij - ч и с л о j=l, 2___ _ К г=1, 2,..., nd; nd>2). П о результатам расчётов с т ро и т ся гистограмма выборочного распределе ния, ко т о р а я может сл у жи т ь основанием д л я выбора вида за к онарасп р е д е ле н ия наряду соб щ ими соображениями омеханизме возникновения с л у ч ай н ой величины. Параметры выбранного закона могут б ы т ьо ценены п ов ыб о рк е ил и определеныи з теоретических соображений, ч т о иявля е т с я основанием д л я вычисления вероятностей р4 попадания с л уч а йн о й в еличины X в j'-й интервал, р3=P{XiGA-j}>0 в предположении, ч т о про в е р я е м ая гипотеза верна. Проверка гипотезы соответствия частот пг /п вероятностям р3 основана накритерииПирсона: к (пЛ -пр-,)2 X2 = I ------- ---- , j=l npj (1.276) г д е к - число интервалов, п - о б ъ ё м выборки (желательно п>50+150), nd - ч и с л о элемен т ов выборки, попавшее вj-й интервал (желательно n-j >5-5-10). С у м ма (1.276) в случае, е с л и F{x)=F0 (x) имеет асимптоти ческихи-квадрат распределение сv степенями свободы. Ч и с л о степе н е йс вободы v как о б ы ч но р а в н о числунезависимых источников инфор мации, спомощью которых вычисляется X2. Вданном случ а еv р а в н ок м и н у сч и с л о независимыхлинейных связей (ограничений), наложенных н арассматриваемую выборку. Как ив с л у ч а е счислом степе н е й свобо ды дисп е р си и воспроизводимости, п е р во е ограничение об у словлено тем, ч т оч астота в?с-том интервале может б ы т ь определена п о с ле определе н и яч ас т о т впервых к-1 интервалах (в данном случае Zrij=n, в о б щ е м с л у ч а ес у мм а вероятностей равна единице, 1р^=1). Второе ограни ч е ни е о б у с ло в ле н о подгонкой теоретической плотности распределения квыбо р оч н о й гистограмме. Так, е с л и постулируется гипотеза осо о тветствии - 252 выборо ч но г о распределения нормальному закону, т ое щ е д в е с т е п е н и с во б о д ыт еряются врезультате вычисления с реднего значения, хср, и дисперсии, s2x. Таким образом, v=k-l-l=k-3. Гипотеза онормальном з а к о н е распределения принимается с д а н ны муровнем значимости а=1-Р, ес л и: X2 < х%(а), (1.277) г д е X2v(a) - табличное з н а ч е н и е X2-критерия д л я принятого у р о в н я зн ачимостиа и числа с тепеней своб о ды v. Е с ли X2 > X2v(a), т о гипо т е з а онормальности исследуемого распределения отклоняется. Хи-квадрат критерий используется т а к ж ек а к критерий однород ности, критерий независимости втаблицах сопряжённости приз н ак о ви др. См. также Частота случайного события. Хи-квадрат распределение, X2-распределение - непрерывное, сос ре д оточенное на положительной полуоси (0, с о ) распределение вероят н о с те й сплотностью: 1 р(Х2) = ------------- (X2)v/2_1 ехр(Х2/2), (Х2))0, (1.278) с2 > г д е Г(X) - гамма-функция, v - с тепеней свободычисло, v>l (частный с л у ч а й Пирсона распределений, т и п 3, (1.155)). Хи-квадрат распреде л е н и е сv степенями свободы может б ы т ь выведено как распределение с у м м ы квадратов независимых случайных величин z lt z2.... z v. имею щи х од и н ак о во е нормальное распределение с нулевым математическим ож иданиеми единичной дисперсией: X^=z2+z2 + ... +z*V V 1 2 (1.279) Величина X2V называется хи-квадрат сv степенями свободы. Чис л ос т е п е не й свободы v е с т ьч и с л о независимых з начений квадр а то в ве л и ч и н z, входящих в сум м у (1.279). Плотность распределения X2 и м е е т в и дк ривых на рис. 1.48. Функцию распределения F(X2V), равную интегралу (1.278) о тн у л я д оз а д а н но г о значения X2V, называют распределением X2V сv степеня м и своб о ды (см. рис. 1.49). Хи-квадрат распределение представляет соб о й част ны й с л у ч а й р аспределенийПирсона и гамма-распределения и обладает в с е ми свойс- - 253 P (*v) Рис Л . 48. Плотность распределения критерия X 2 (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) F(Xy) Рис.1.49. Функция распределения критерия F ( X 2 v ) швам и последнего. Плотность вероятностей р(х) пр и v=l иv=2 моно тонна, а п р и v>2 унимодальна, монотонна относительно модыи несим метрична (рис. 1.48). При v)2 хи-квадрат распределение имеет моду в т о ч к е x=v-2, математическое о жиданиеи дисперсия хи-квадрат распре д е л е н и я равны, соответственно, пи 2п. Величина Х2, равная к о рн ю квадрат н о муиз суммы Xй2 сдву мя степенями свободы, подчиняется Рэ лея распределению, которое применяется при решении задачи острель б еп округовой цели. ВеличинаХ3. равная корню квадратному и зс у м мы Х23 стре м я степенями свободы, подчиняется Максвелла распределению, ко т о р о е применяется при решении з а д а чи о стрельбе п о сф ер и че с к ой - 254 цели. П р и увеличении числа с т еп е не й свободыхи-квадрат распределе н и е приближается краспределению К.Гаусса. В частности, п р и v>30 вели ч и на /2Х % распределена приблизительно п о нормальному з а ко н ус о с р ед н им значениемтх2=|/(2v-l) и дисперсией б2=1. Э т а те с н а я с в я з ь с нормальным распределением определяет т у в а жн у юроль, которую играет хи-квадрат распределение в вероятностей теории и статистике математической. Многие распределения, такие, к а кМаксвелла распределение, Рэл ея распределение, Стьюдента распре деление, Фишера распределение и др., определяются посредством хи-квадрат распределения. Э т и ид ру г и е распределения описы ва ю т вы б о р о ч н ы е распределения различных функций о т нормально распределён н ыхрезультатов наблюдений ииспользуются д л я построения д ов ер и т ель ны х интервалов и статистических критериев. Так, например, д л я независимых нормально распределённых случайных величин хг , х2,..., хпсматематическим ожиданиемМхи генеральной дисперсией 62хотно ш е н и е s2x/62x (см. (1.256) и (1.267)) подчиняется хи-квадрат рас п ределению сv степенями своб о ды п р и любых значениях тхи б2х. Э т о т ф а к тя в ляется основанием д л яп о л уч е ни я доверительных интервалов ге н ер а л ьн о й дисперсии и крите р ия д л я проверки гипотезы онеизвестных п араметрах распределения Мхи 62х. Вчастности, п р ир ешении во п ро с а овозможном абсолютном отклонении случай н ой величины: ДХ=|Х-тх|. (1.280) Так, со г л ас н о законунормального распределения в е р о я т но с ть то го, что с л учайная величина п р и ме тз н а ч е н ие винтервале Мх-6<Х<Мх +б, равна 0,683, вероятность попадания винтервал Мх-2б<Х<Мх+2б рав на 0,954, а Р(Мх-Зб<Х<Мх +Зб)=0,997. Последнее соотношение н азывается правиломтрёх сигма (1.255). Ч т оо н о означает? То, ч т он ап р а к т и ке п р и п ринятии решений от но с ит е л ьн о возможных результатов с обытий, п одчиняющихся закону нормального распределения, пренебрегают воз можностью отклонений о тМх, превышающих 36 (соответствующая вероят н о с т ьм е н ьш е 0,003). П р и пров е р ке статистических гипо те з представляют интер е с кри тиче с к ие з н а ч ен и я хи-квадрат критерия. И х определяют д л я принимае м о г о уровня значимости а, руководствуясь правилом: - 255 г д е X8V - опыт н о е з н а ч ен и е хи-квадрат критерия, а - п л о щ ад ьп о д кривой р(Х2), характеризующая вер о ят н о ст ь ошибочно о т вергнуть вер ну ю нулевуюили основную гипотезу. Табулированные зн а ч ения хи-квадр а т крит ер и яп р и различных уровнях значимости а приведены в Прилож е н и и 5. ’ "Вселенная есть целиком центр. Центр все ленной повсюду и во всём.’1(Джордано Ф и л и п п о Бруно; 1548-1600). Центр (< нем. zentrum < лат. centrum < греч. Xevtpov - о с т р и ё циркуля. -М. Фасмер; 1886-1962. [1001). "ЦЕНТРЪ м .л а т н . средоточ1е, ocTie, осень, остенъ. (...) Ц ентральный, срединный, средоточный, остенный. (...) Ц е т р обежнаясила, движенье, в е р н е ецентр оотбежная, средоотбойная, удаляющая т е л оо т ъ средоточ!я, средоотбежная, п р т в п . средоприбежная. -стремительная, -влечная, приближающая к о средоточ1ю. (...) Централизащя, сосредоточенье. ” (В.И. Даль; 1801-1872), [82]. Центральная предельная теорема - теорема вероятностей теории, к о т о р а я утверждает, ч т о е с л ив ыборки извлечены случайно и зл ю б о й совокупности, т ос редние арифметические, вычисленные д л яэ т и хд ан ных, аи ме нно выборочные средние, являются случайными величинами, распределение которых ст ремится кнормальному п р и увеличению о б ъ ё м а выборок. Ц ентральная предельная т еорема н а первый взгляд к аж е т с ян е в п о л н е понятной, поскольку сов е р ше н но н е очевидно, почему с р е д н и е выб о ро кдолжны подчиняться нормальному распределению, е с л ио бр а з цы б ы л и выбраныи з совокупности сов е рш е н но другого типа. Попробуем у б е д и т ьс я вправильности центральной предельной теоремы, рассуж д а я с леду ю щи м образом. Предположим, ч т о выборка произведена и з совокуп ности, имеющей распределение, совершенно отличное о т нормального, например, U-образного вида, т.е. распределения, имеющего максималь н ы ез н а ч е н и я плотности п ок р а ям (рис. 1.50). И зэ т о й совокупности случайным о бразом взяты т р и выбо р к ип о5 наблюдений вкаждой (рис. 1.50). Очевидно, ч т о сре д ни е з н а ч е н и я к а ж д о й выборки располагаются достаточно б л и з к о кцентру распределе н и я (рис. 1.50), и е с л ип одобное экспериментирование продолжить, т о - 256 - Выборка 1 о—о-------- о Xj---------------о— о Выборка 2 о о--------------- х2 -—..-.о о о Выборка 3 о ■.-O'..... .........................................«чн ) х Рис.1 .5 0 . Плотность вероятностей распределения [/-образного вида (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) о б р а з у е т с я новая совокупность и з средних значений хср1, распреде л е н и ек оторой будет стремиться кцентру. Подробнее. В таком с л у ча еб о л ь ш а я часть индивидуальных наблю д е н и йв выборке будет получена и з двух краёв распределения, к о т о р ы е я в л я ю т с я максимумами совокупности. Когда э т и значения у ср едняются с ц е л ь юнахождения среднего арифметического, большие знач е н ия погаша ю т с ян изшими значениями, в р езультате получается среднее, б л и з к о ек ц е н тр ураспределения. Только в о ч е н ь редких случаях, когда в с е слу ч а й н о выбранные наблюдения о к а жу т ся близкими либо к высоким значе ниям, л и б о к самым низким, п р и вычислении среднего б у д е тп о л у ч е н о значение, сильно отличающееся о тцентрального. Рассуждая п од о бн ы м о б р а з о мд л я десятков, сот е ниб о л е е выборок, м ы придём к выводу, ч т о выборочные средние значения кластеризуются (собираются впучки) в б л и з и центрального значения люб о го гипотетического распределения и в ы б о ро ч ны е средние будут располагаться наподобие хорошо извес т н ой колоколообразной нормальной кривой. Н а рис. 1.51 показано, ч т о ана логи чн ы е результаты будут получены, е с л и начать моделирование слю б о г од ругого исходного распределения (Л.Л.Лапин). Центральный момент см. Момент, Моментов метод и раздел 3. - 257 - л Рис.1.51. Распределения средних значений £ ср для большого числа случайных выборок размерности П взятых из совокупностей с распределением существенно отличающимся от н о р м а л ь н о г о : а- р а с п р е д е л е н и еи с х о д н ы хс о в о к у п н о с т е й ,и зк о т о р ы хв з я т ыв ы б о р к и ; б * г - распределения £ ср для выборок размерности Т1~2 (б), Ti=4 (в), П=25 (г) (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) Центрирование случайной величины - преобразование сл учайной в еличинысцелью получения распределения сцентром в нуле. Центри р о в а н и е нормального распределения (1.121), (1.193), (1.225), (1.299), (2.20) производится спомощью соотношения: э е= х - Мх, (1.282) г д ех - случайная величина, Мх- математическое ожидание, э е- цент ри р ов а нн а я случайная величина (от греч. Xtvxpov - остриё циркуля). Центрирование выборочной случайной величины производится п у т ё м вы ч ит а н и яи з неё среднего значения выборки: *1= ж1~ Щ. (1.283) г д етх- оценка математического ожидания; в частном с л уч а ес р е д н е е арифметическое. См. такж е раздел 2.9, (2.16), (2.17). Получаемое - 258 п р иэ т о м распределение называется центрированным. Такое преобразо в а н и е случа йн о й величины позволяет вычислять центральные моменты распределения. См. также Среднее, среднее значение, Стандартизация случайной величины и раздел 2.7. Ч Частота случайного с о б ы ти я- о т ношение числа nt наступлений б ще м уч и с л у г-того с о б ы т и я вд анной последовательности испытаний к о писпытаний: hi п ( 1. 284) Очевидно, ч т о Oiht<l. В ситуации, ккоторой п о соображениям с имметрии п ри н я то "классическое" определение вероятности, частота щ/п г-того с об ы т и я совпадает свероятностью рх. Вином случае, е с л и испы та н и я независимыиаприори постулируется существование опре д е л ё н н ой вероятности pt наступления г-того события, т оп р ил юб о м с к о л ьу г о д н о малом числ е е>0 и боль ш их п практически достоверно, ч т о частота щ/п удовлетворяет неравенству |nt/п-рх|<е. Э т аб л и з о с т ь щ/п кPi позволяет п р и реш ен и из ад а ч и оценивания неизвестной в ер оятности рхп о результатам наблюдения в статистике математичес кой пр инимать частоту вк ачестве приближённого знач ен и я или, к а к п р и н я т о говорить, статистической оценки вероятности. В а ж н о отме тить, ч т о в от л и чи ео т вероятности частота события является случай нойвеличиной, т.к. о н аз ависит о т результатов п экспериментов. И з других определений частоты случайного собы т ия м о ж н о отме т и т ь то, ч т о математическое ожид а ни е частоты соб ы ти я Вр а в н о веро ятн о ст и е г о появления; э т о являе т с я следствием закона б о л ь ш и х чи се л . См. также Вероятность, Вероятностей теория, Вероятность математическая и раздел 2.3. "ЧИСЛО ср. количество, счетомъ, на вопросы сколько? и с а м ы й знакъ, выражакщй количество, цыфра. (...) Числа римскгя, арабская и л ицер ковный. Целое число, пртвпл. дробь. (...) Числитель, м . числяицй, исчислякшЦй что. |\ Числитель, верхн я я цыфра дроби, означающая, с к о л ь к очастей взято о т ъ целаго, разделеннаго н а с т ол ь ко частей, с к о л ь к ое диницъ в ъ знаменателе. (...) 4ucnocnoeie, арифметика, ма- - 259 тематика, с че т на я наука." (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. также Количество, Математика, Число. "Первообразы и первоначала не поддаются ясному изложению на словах, потому что их трудно уразуметь и трудно высказать,- оттого и приходится для ясности обучения прибегать к числам.” (Пифагор; 576-496 г. до Р.Х.). Ч исло - важнейшее математическое понятие. В простейшем в и д евв и д е натурального числа - поня т ие числа, безусловно, в о з н и к ло е щ ё впервобытном обществе. Н о первыми древними цивилизациями, о т кото р ых д он а с дошли письменные доказательства их математических позна ний, б ы л и вавилонская (около 1894-1595 г . д о Р.Х.) и ег и пе т с ка я (около 1650 г . д о Р.Х.). Втече н ие нескольких тысячелетий по н я т и е ч и с л а усложнялось и обогащалось содержанием п о мере развития чело в е ч е с к о г о общества. ’ ’ Говорят, ч т о чис л а правят миром. Нет, о н и т о л ь к о показывают, как правят миром.” (И.В. Гёте; 1749-1832). П оня ти е натурального числ ас вя з а но сналичием вя з ы к е различ ны хс л о вд л я обозначения о д н о г о ит о г ож е количества различных о бъ ектов. Т а к ие именованные числ ов ы е ряды б ы л ио ч е н ь короткими и з а ве р ша л ис ь неиндивидуализированными, н о именованными понятиями "мно го” , например, врусском языке "толпа", "стадо” , "стая” , "груда” , "куча” , "косяк”и т.д. Поня т и е отвлечённого числ ас в я з а н о ссопоставлением пр е д ме т ов д а н н о й конкретной совокупности спредметами некоторой э талонной со вокупности. У большинства н ародов первым таким эталоном я в л яю т ся п ал ьцы р ук (пятеричная, десятичная системы счисления), суста в ы п а л ь ц е в рук (двенадцатиричная системы счисления), но г и т.п. П о з ж е п о я в ил и сь отвлечённые с ч ё тн ы е эталоны, например, зарубки н а палоч к а х и т.п. Сразвитием письменности возможности воспроизведения числ ас у щ е с т в е нн о увеличились. Чёрточки на глиняных табличках, клинопись, р им с к ие цифры; крупным шагом вперёд б ы л о изобретение индийцами сов р ем е н но й позиционной системы счисления, позволяющей з а п и са т ьл ю б о е натуральное ч и с л оп р и помощи д ес яти з н а к о в - цифр. Ра з в ит и е пись м ен н ости способствовало абстрагированию понятия натурального числа, о т в л е ч ен и ю е г о о т конкретных предметов. Одновременно вп рактику в кл ю ч ал и сь д ействия над числами. Действия с ложения и вычит а ни я воз - 260 н и к ал и вначале как действия на дс а м и м и совокупностями вф о рм е объ е д и н е н и я двух совокупностей в о д н уи о тделения части совокупности. У м н ож е н ие возникло, по-видимому, врезультате счёта равными ч а с т я м и (по два, п от р и и т.д.), деление - к а к деление совокупности н а рав н ы е части. В процессе развития цивилизации происходило раздел е ни е количественных икачественных характеристик числа, с т а л и разрабаты в а т ь с я правила действий, изучаться и х свойства, создаваться методы д л яр еш е н ия задач, т.е. начинается развитие науки оч и с ле - арифме тики. Впроцессе развития арифметики происходит детализация п о н я т и я на т урального числа, вводится п о н я ти е бесконечного числа, выд е ля ю т ся кла с сы чёт н ых инечетных чисел, простых и составных, в во д я тс я поня т и я порядкового числа и дробных чисел. В частности, ц е л ы е числа, ч ё т н ы е инечётные формализовал Пифагор (576-496 г . д о Р.Х.). Вп роцессе развития алгебры к а кнауки, одни ми з пр едметов ко т о р о й явля ю тс я о б щи е способырешения арифметических задач, б ы л и в вед ен ы отрицательные числа, иррациональные числа и, наконец, комп л е к с н ы е числа. В современной теории чисел изучаются р-адические числа, группы, алгебры, кольца, поля. Число связей наложенных н ав ыборку см. Связей число, Степ е н ей с вободычисло. Число степеней свободы см. Степеней свободычисло. Число трансцендентное ( <лат. transcensum (от trans - через, сквозь, з апределами и scansum - восходить, возноситься, достигать) - выход я щ ий з а пределы, переходящий) - иррациональное число, н е мо г у щ е еб ы т ь корнем никакого алгебраического уравнения сцелыми коэф фициентами, например, е, ж, In 2 и др. В 19 в. б ы л а доказана транс ц е н д е н тн о с ть тол ь ко чиселж и е . Впериод 1929-1934 гг. б ы л а дока з а н а трансцендентность всех чисел вид аар , г д е а - любое алгебраи ч е с к о е число, кроме 0 и 1, ар- иррациональное число. "Трансцен дентное" обозначает то, ч т о существует в н е сознания, недоступно е м у инепознаваемо. (Иммануил Кант; 1724-1804). ш "ШУМЪм. всяк1е нестройные звуки, голоса, поражакще слухъ; громк1е голоса, крикь; стукъ, гулъ, зыкъ, ревъ, громки шорохъ, все, ч т о нескладно раздается в ь ушахъ. (...) Шумъ ветра, бури, дож дя. (...) Шумъ водопада. Шумълистьевъ подъ ногами н ед а е т ъп одходу - 261 к ъ дичи. Шумъ в ъ ушахъ, гулъ, звонъ, к а къ внутренее ощущенье. (...) В ъг ол о в е шумитъ, и л изашумело, хмел ь разбираетъ. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [82]. См. так же Шум. Шум - название различных помех, искажающих результатыизмере н и йвпроцессе исследований, испытаний, экспериментов, ат а к ж е по мехи, искажающие полезный с и г н ал впроцессе передачи информации п о ка н алу связи. См. также Мера, Нормальное распределение, Ошибок теория, ШУМЪ. Э Эксперимент см. раздел 2.1., раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, СЛУЧА ЙН О С ТЬ и статью Опыт (ОПЫТЫВАТЬ). Экспоненциальная кривая - г ра фикпоказательной функции. Экспоненциальная функция, показательная функция (< лат. ехроnens, род. падеж exponentis - показывающий) - функция у=ех; обозна чае т ся т а к ж е у=ехр(х). Иногда экспоненциальной функцией называют и ф ункцию у=ахп р и любом о сновании а>0. Термин "экспоненциальная функция" ввёл Г.Лейбниц (Leibniz Gottfried Wilhelm; 1646-1716). Экспон е нт а и всё, ч т ое ю описывается, естественно дл ян а ш его четы рёхмер н ог о пространства-времени. Экспонента описывает преимущест в е н н о динамические процессы. ФормулаЛ.Эйлера (Leonhard Euler; 1707-1783) д л я определения у с и л и я матроса пр и швартовке судна; F=/e'k“, (1.285) г д е F - сила, создаваемая с у д н о мп р и швартовке, / - усилие, прило ж ен ное матросом кканату, навитому н а кнехт или сваю, к - коэффици е н ттрения, а - уг о л навивания (отношение длины дуги, ох ва ч ен н о й в е р ё в к ой крадиусу э т о й дуги). Гипсометрический з а к о н Лапласа (P.S.Laplace; 1749-1827) (баро м ет рическая формула): р=р0exp(-Mgh/RT), (1.286) г д е р0 - давление у поверхности планеты, р - давление н а вы с о т е h, g - у скорение силы тяжести в б лизи поверхности планеты, М - относи т е л ь н а я молекулярная масса газа, R - универсальная г аз о в а я постоян ная, #=8,31441 Дж/(моль-К), Т- температура п о шкале Кельвина (вы раже н и е по д знаком экспоненты - безразмерная величина). - 262 Распределение твёрдых частиц п о высоте в неподвижной г а з о в о й с реде, вкоторой частицы подвержены действию силы тяжести иуда р ам х ао тически движущихся молекул газа, описывается формулой, выведен н о й А.Эйнштейном (1879-1955) и Смолуховским и подтверждённой ПерреН0М' n = nQV(pT-p)gti'exp(-NA/RT), (1.287) г д е п0 - ч и с л о частиц в е д и н и ц е объёмана нулевом уровне, п - т ож е н ав ы с о т е U, V - о б ъ ём частицы. рт- плотность дисперсной фазы, р п ло т н ос т ь дисперсионной среды, вк оторой частица витает, g - уско р е н и ес и л ы тяжести, NA - ч и с л о Авогадро, ftA=6,022-1023, R - универ с а л ь н а яг а зо в ая постоянная, £=8,31441 Дж/(моль-К), Т- а б с о л ю тн а я температура, К. Формула Эйнштейна-Смолуховского аналогична гипсо метрическому закону Лапласа (1.286). Радиоактивный распад: №=fl0exp(-Vc), (1.288) г д е N0 - количество ядер вданном о б ъ ё м е вещества вмомент вр е м е н и т=0, N - количество я д е р вт о мж ео б ъ ё м е вмомент време н их , X по с то я нн а я распада. Параметрическая концентрация трассера впроточном аппарате, к к оторому применима м одель идеального смешения, описывается экспо ненциальными зависимостями: Оехр(-0) (1.289) и F=l-exp(-0). (1.290) Формула ячеечной модели винтегральном в и д е так ж е в ключает в с е б я экспоненту: пп С--------- 0п'1ехр(-п8), (1.291) (п-1)! г д е С=с/с0 - параметрическая концентрация трассера, 0-т/т - пара метрическое время. С ко р о ст ь исчезновения вещества А в реакции перв о го п о ря д к а о п и с ыв а ет с я экспонентой: Сд 1П------ = ~kAX, ИЛИ (1.292) СА , О с А=сА>0ехр(-?ст), (1.293) г д ек А - константа скорости химической реакции п о реагенту А. - 263 Уравнение Аррениуса (S.Arrhenius; 1859-1927) описывает зависи м о с т ь константы с корости химической реакции о т температуры Г : кА= А'вхр Е RT (1.294) г д еЕ - э не р г и я активации химической реакции, А предэкспоненциа л ь н ы й множитель. Константа химического равновесия в случае реакции и деальных г а з о в изменяется стемпературой п о закону: KD= exp AG0 \ RT (1.295) г д е ДG° - изменение стандартного изобарного потенциала. В э т о м слу ч а е экспонента описывает состоя н ие термодинамического равновесия. Следующее, о ч е н ь п охожее уравнение Андраде (1887-1971) описы в а ет зависимость динамического коэффициента вязкости, /х, г а з о в и жидкос т ей о т температуры, Т : В ^ jll = ехр Т+С (1.296) г д е А - натуральный логарифм предэкспоненциального множителя, С фо р мальный параметр. Уравнение (1.296) характеризует влия н и е темпера т у р ын ад инамику межмолекулярного взаимодействия. Аналогичное уравнение Антуана описывает зависимость д а в л ен и я н асыщенных паро в жидкости, р, о т температуры, Т : р= е х рА + В Т+С (1.297) З д е с ь экспонента характеризует состо я ни е динамического равно в е с и я молекул вещества, переходящих чер ез границу раздела ф а з в о б о и хнаправлениях. Уравнение Антуанаявляется эмпирическим уравне нием, о н об о л е е точное, ч е ме г о теоретическая форма: р - ехр U - АН RT (1.298) по л уч а ем а яи з уравнения Клапейрона-Клаузиуса п р и допущениях, ч т о д л я паро в ой фазы справедливо уравн ен и е состояния идеальных газов, а д а в л е н и е рдостаточно у д а л ен оо ткритическово. - 264 Распределение вероятностей случайной величины X нормальным, е с л ио н о имеет плотность вероятностей: 1 -(ж-Мх)г/2бг х, р(х) = ------- е назыв а ет с я (1.299) \/2ЯбX* г д еМх - математическое о жи д ан и е случайной величины X, б2х- гене р альная дисперсия. В это м сл у ч а е экспонента отражает х а о с и дина ми ч но с ть множества причинно-следственных связей. Напряжение после прекращения деформации мучного теста уменьша е т с я п о за к ону экспоненты: бре л=ехр(-Т/Х), (1.300) г д е X - постоянная времени экспоненциального ослабления напряж е ни я п р и неизменной деформации (время релаксации полимеров). С т е п е н ь минерализации породыможет убывать п о экспоненциально м уз ак о н у в зависимости о трасстояния д о источника минерализации. Т а к а я ж е экспоненциальная зависимость существует между р а змерами переносимых частиц осадка и скор о ст ь ю потока. Экспоненциальная зависимость характерна д л я закон о во х л а ж д е н и я тел, ко лебания маятника, колебательныхявлений врадиоконтуре, сох р ан е н ия электрического заряда, формулы Циолковского д л яс к о р о с т и ракеты, роста клеток и др. [8, 14]. Например, процессы органическо г ороста: т(т)=т0ехр(ст). (1.301) г д ет0 - начальная масса ор г а нического вещества, рос т а [8]; процессы распада: с - m(T)=m0exp(Vc), г д ет0 - начальная масса, X - постоянная распада [8]; колебания: /(T)=exp(-fcT)sin(a>T+<p), п о с т оя н н ая (1.302) з ат у ха ю щ ие (1. 303) г д е ф- смещение п о фазе, ш - к ру г овая (циклическая) частота (число ко л еб а ни йз а 2Ж секунд) [8]. Е с л и вформулу нормального распределения (1.121), (1.193), (1.225), (1.299), (2.20) подставить в м ес т о х логарифм диаметра (ра диуса) частиц дисперсной фазы, т о получится логарифмически нормаль н о е распределение, или логнормальное распределение: - 265 1 p(lnd) (1.304) Вс е р ед и не XX в. Разумовский Н.К. отмечал, ч т он ао с н о в а н и и результатов многих исследований "вырисовывается весьма в а жн ы й ф а к т - уч а с т и е логарифмически нормального закона в о всех те х случаях, г д емы име е мд е л о счастицами вещества, индивидуализирующимися в п ро с транстве те мили иным способом, б у д ьт о механическое д р об л ен и е их и мическое выпадение и л и се г регация о д н о г о соединения с р е д и дру гих, е м у подобных (как, например, в горн ы х породах)". Эт от фа к т от ра ж ае т ся вформулах Мартина, Вейнига, Андреасена, Розина-Раммлера, Гриффи т са (см. ниже впринятых автором обозначениях) и др. Анаибо л е ея с н о наличие логарифмически нормального закона п р и распределе н и и частиц констатировано Ловеландом (P.P. Loveland) и Т р а велли {А.Р.Я. Travelli), Хэчем (Т. Hatch) иЧетом (S. P. Choate). Формула Мартина [С.Martin) плотности распределения частиц гор ны хп о р о д врезультате измельчения п о диаметрам [38]: p(d) - 100 А п п Ad (1.305) г д е An/Ad - частота наблюдения частиц кварцевого песка сдиаметром винтер в а ле Ad, отнесённая кв е ли ч ин еэ т о г о интервала; п - о б щ е е ч и с л о частиц впробе; Си Ь - константы, определяемые врезультате анал из арезультатов эксперимента, d - диаметр частицы. Формула Вейнига {A.J. VJeinig) плотности распределения част и ц г о р ны х пород врезультате измельчения п о диаметрам [38]: p(d) = Bd3~bexp(-a2d2), (1.306) г д е а, В иЬ - константы, определяемые врезультате анализа резуль т а т о в эксперимента. Формула Андреасена (А.Н.М. ^ndreasen) плотности распределения масс ыпродуктов помола п о диаметрам [38]: p(d) = Bd3e” bd, г д еВиЪ - константы, т о в эксперимента. (1.307) определяемые врезультате анализа результа - 266 Формула Розина-Раммлера (£. Rarmler, P. Rosin) плотности расп р ед е л ен и я массы продуктов помола п о диаметрам, вчастности, цемент н о г о клинкера [38]: р(й) = 100аЪ|За-1е~ьа, (1.308) г д еаиb - константы, определяемые врезультате анализа результат о в эксперимента. Формула Гриффитса (L.A. Griffith) плотности распределения мас с ыдиспергированного материала п о диаметрам частиц [38]: p(d) = Ве~а/йй~°, (1.309) г д е а, В иЬ - константы, определяемые врезультате анализа резуль т а т о в эксперимента, причём 0<е<2. П р и выв о д еэ т о г оу р а вн е ни я Гриф ф и т сс д е л а л предположение, ч т о распределение количества молекул в ч астицах в зависимости о тразмеров последних аналогично распределе н и ю моле к у л идеального г а з ап о их энергии. В достаточной степе н и интересен и важен з а к он забыв а н ия Г.Эбб и н г а у за (1885): П(т)=Пд+Пк(т)=Пд+(100-Пд)ехр (1.310) г д еП(т) - информация вп а м я ти о бучаемого к а к функция времени п о с л е е ёо д нократного предъявления, Пд - о б ъ ём долговременной памяти, Пк(т) - о б ъ ё м кратковременной памяти, т3 - постоянная времени забы вания, константа, т3=9 час, т- время, час. Очевидно, ч т о экспонента о п исывает динамические процессы, про т е к а ю щ и е вприроде, обще ст в е имышлении. Экспоненциальное распределение - см. Показательное распределе ние. Экстремум ( <лат. extremum - край, конец; extremus - крайний, конечный, критический; высший, величайший, т.е. лучший и л и худший) - наибольшее инаименьшее з н а че н ия функции; вматематику б ы л о вве д е н од л я объединения понятиймаксимума иминимума. Точнее, непре ры в ная вт о чк е х0 функция f(x) имеет вх0 максимум (локальный мак симум) и л и минимум (локальный минимум), е с л и существует окрестн о с ть (х0-Дх) - (х0+Ах) э т о й точки, содержащаяся в области о пр еделения фу н к ц и и f(x), такая, ч т ов о все х точках э т о й окрестности выполняет с я неравенство f(x0))f(x) (соответственно f(x0)<f(x)). Е с л ип р и э т о м существует так ая окрестность, ч т о в ней f(x0)>f(x) (или f(x0)<f(x)) п р и х0*х, т о говорят остро г ом локальном максимуме (или - 267 с т р о г о м локальном минимуме), впротивном случ а е - онестрогом ло к аль но ммаксимуме (или нестрогом локальном минимуме). Е с л иф ун к ц и я имее тн есколько эстремумов н а зада н н ом отрезке, т о наибольший ло к а ль н ый максимум (наименьший локальный минимум) называется глобаль ны м максимумом (минимумом) функции f(x) на э т о м отрезке. Экстремум функции н ес ледует см ешивать снаибольшим инаимень ш и м зн ачениями функции. Необходимым условием экстремума функц и и fix) внекоторой точке х0 является непрерывность функции в х0 и ч т о б ыл и б о / ‘(х0)=0, л и б о f ‘(x0) н е существовала. К достаточным ус лов и ям экстремума относятся: перемена знака первой производной п р и п ер е х од еч е р е з точку х0 (если внекоторой окрестности т о ч к и х0 про и з в о д н ая f (х) слева о т х0 положительна, а справа отрицательна, т о /(х) имеет вх0 максимум; е с л и / ’(х) слева о тх0 отрицательна, а с пр а в а положительна, т о - минимум. Е с л и / ’(х) н е меняет з н а к ап р и п е р е х о д еч е р е з точку х0, т оф у нк ц и я f(x) н е имеет экстремума вточ к е х0. Е с л и /(х) в т о ч к е х0 имеет п последовательных производных, пр и чём f' (х0)=/" (х0)-... ~/(п~15 (х0)=0, а/ (п} (х0 )*0, т оп р и пне чётн о м/(х) н е имеет экстремума вт о чк е х0. П ри п чётном име е т ми нимум, е с л и / (п)(хо)>0, имаксимум, е с л и / (п)(хо)<0. А на логично экстремума функции о д н о й переменной о п р ед е л яе т ся э к с т р е му м функции многих переменных, толь к о вэ т о мс л у ч а ег о во р я то ч а с тн ы х производных. Эксцессакоэффициент, э к с ц е с с (< лат. excessus - уход, выход, уклонение, отступление) - скалярная характеристика островершинности гра ф ик аплотности вероятности унимодального распределения, котор у ю используют в качестве некоторой меры отклонения рассматриваемого распределения о т нормального. Коэффициент эксцесса Ех определяется п о формуле: М4 Ех= -----— - 3, (1.311) (м*)2 г д е ид4 - центральные моменты выборочного распределения вт о р о г о и че т вё р т ог о порядка соответственно. Д л я нормального распределения к оэ ффициент эксцесса Ех=0; с л у ч а й Ех>0 соответствует, к а к правило, тому, ч т о график плотности рассматриваемого распределения вокрест н о с ти модыимеет б о л е е остр у юи б о л е е высокую вершину, ч е м нормаль н а я кривая. Случай Ех<0 соответствует отрицательному эксцессу, п р и э т о м плотность вероятности имее т в окрестности моды б о л е е низкую и п л о ск у ю вершину, ч е м плотность нормального закона (рис.1.52). - 268 - Рис.1,52. Плотности вероятностей симметричных распределений: 1 - островершинное распределение; 2 - нормальное распределение; 3 - плосковершинное распределение (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) Вформуле (1.311) число 3 вычитается потому, ч т од л я распреде л е н и я К.Гаусса отношение /i4/(ja2)2=3, следовательно, д л ян о рмального р ас п ределения £х=0. Поэтому, е с л и выборочный коэффициент э кс ц ес с а с у щ е с т в е н н о отличается о тнуля, следу е т признать, ч т о распределение сл у ча й но й величины исследуемого распределения отлично о т нормально го . См . такж е рис.1.34. Элементы системы (< лат. elementum - первичная материя, первоначало, возникновение; семантич. греч. 6totXetov - п е р вая и с а м а я п р о с т а яч а ст ь чего-либо, основание, начало, элемент) - с о с т а в н ы е ч а с т и сложн о г о целого. Элементы системы отличаются двум я особеннос т я м и - о н и находятся в о взаимодействии друг сдругом и св н еш н и м миром. Эмпиризм (< греч. ejutTCetpta - опытность, опыт, зна н и е приобре т ё н н о е опытом) - философское учение, признающее чувственный о п ы т единст в ен н ы м источником наших представлений, идей, понятий, знаний. Эмпирическая функция распределения (< греч. tputtipia - опыт ность, опыт, знание, приобретённое опытом) - функция распределения с л у ч а й но й величины, полученная п о результатам наблюдений. См. также Распределение вероятностей случайной величины, Распределения закон, Распределения функция случайной величины X, РАСПРЕДЕЛЯТЬ, Эмпирическое распреде ление. Эмпирическое распределение, выборочное распределение (< греч. ej^mpia - опытность, опыт, знание, приобретённое опытом) ~ распре д е л е н и е вероятностей случайной величиныX, которое определяется п о в ы б о р к ед л я оценки неизвестного истинного распределения. Исследова - 269 н и е э мпирического распределения неизбежно связано сопределением о ц е н к и математического о жидания и д исперсии выборочного распределе ния. С л ед у ет различать дисперсию эмпирического распределения (дис п е р с и ю выборочного распределения) и дисперсию воспроизводимости (опытную дисперсию). Д л я опреде л ен и я дисперсии воспроизводимости о су щ е ст в ля ю тт а к называемые п араллельные опыты и оценку математи ч е с к о г о ожидания, ка к правило, производят п о формуле с р е д н е г о ариф метического. Пр иэ т ом предполагают (при необходимости проверяют), ч т оо ш и б к и измерения физических величин подчиняются з а к о н у нормаль н о г о распределения. В с л у ча еэ мпирического распределения параллель н ы е о п ы т ыимеют второстепенное з н а ч е н и е и производятся д л яо т л а д к и мето д и ки конкретных наблюдений, экспериментов. Главная з а д а ч а исс ледов ан и я эмпирического распределения - сдел а ть представительную в ыб о р к уи з совокупности. Ес ли эмпирическое распределение асиммет рично, т о возникает д о статочно серьё з на я проблема выбора це н т р а распределения. Центром распределения могут б ы т ь медиана, мода, на чальный момент первого порядка, арифметическое среднее, арифмети ч ес к о е взвешенное среднее, взвеш е нн о е степенное среднее, гармони ч е ск о е среднее, геометрическое среднее, среднее квадратичное, сред н е екубическое, арифметико-геометрическое среднее и др. параметры. Д ру г и м и словами, дисперсия выборочного распределения характеризует в а р и а ц и ю признака относительно с ре д н ег о значения выборки - парамет ра, определяемого сущностью з а д а ч и иконцепцией исследователя. Эмпирическое распределение является статистическим аналогом и с т и н но г о распределения вероятностей. Д е л о в том, ч т ов с е результа ты наблюдений - результаты научных экспериментов, результаты работы технологических установок, результаты наблюдений и в о об щ ев с е ба н н ы е опроцессах, происходящих вприр од е и обществе, являются выбор ками и з совокупности, и врезультате обработки данных м о ж н о полу ч и т ьл и ш ьт о л ь к о оценки те хи л и иных параметров. Кроме этого, на д ё ж н о с т ьо ц е нк и зависит о тт очности измерений, методики эксперимен т а л ь н о й работы, ошибок вп р оцессе л ю бо й практической деятельности, э моционального состояния исследователя имногих других причин. Н е б о я с ьв п а с т ь впреувеличение, м о ж н о утверждать, ч т о потребность че л ов е к а най т и истину п о результатам скудных данных человеческой п р а к ти к и в значительной степ е н и обусловила развитие мощно г о матема т ического аппарата вероятностей теории и статистики математической. - 270 Необходимо так ж е отметить, ч т о в большинстве с л у ч а е в собствен н оо ш и бк и измерения подчиняются закону нормального распределения. П у с т ь результаты наблюдений Х1# Х2,..., Хпобъёма п - в з а и м н о н е з ависимые и о д инаково распределённые случайные величины сфункци е йраспределения Fix) и п у с ть Х1<Х2<...<ХП- соответствующий вариа цион н ы й ряд. П р иэ т о м каждому з н ач е н июХхсоответствует в ер о я т н о с т ь на б лю д ен и я 1/п , а е с л и какие-либо j и з ХАсовпадают между с о б о й (что д л я измеряемых физических величин практически невозможное со бытие), т о их общему з начению приписывается вероятность j/n (при б о л ь ш о м чис л е наблюдений п эм п ирическое распределение з а д а ё т с яс п о мо щ ью частотЩ-щ/п, j=l, 2,..., к , г д е к - число групп, н а ко т о р ы е разбивается в с я совокупность наблюдений X lf a - ч и с л о зна ч е н и й X i вj-й группе). Эмпирическим распределением, соответству ющим случа й но й выборке Хх, Х2,..., Хп, называется д ис к р ет н ое расп ределение, приписывающее каждому значениюXi вероятность 1/п. Функ ц и я э мпирического распределения Fn (x), называемая эмпирической функциейраспределения, является ступенчатой функцией с о скачками, к ра т н ым и 1/п, в точках, определяемых величинами X lf Х2,..., Хп, ес л ив с ео н и различны: Fn (х) - ( 0, х<Х< v {Х1, Х2,..., Хп:х)/п, I 1, х>Хп Xi<x<X1+1, (1.312) 1<г<п-1; г д е v(Xj, Х2,..., Хп:х) - ч и с л о Ххменьших х. П р и каждом фиксиро ванном действительном знач ен и и х эмпирическая функция распределения Fn (x) я в ля е тс я случайной величиной. Е с л и случайные величины Хх , Х2____ Хппринимают з на ч ен и я хх, х2,___ хп, т о Fn (x) к а кф у н к ц и я хо б л а д а е т все м и свойствами обыч но й функции распределения. Т а к и м образом, эмпирическое распределение, соответствующее в ы б ор к е Xlf Х2____ Хп, з ад а ё тс я семейством случайных величин Fn (x), з а в ис я щи х о тдействительного зн а ч ен и я х. П р иэ т о мд л я фиксированного х: EFn (x)=F(x); p |f „ (ж)=— 1 DFn (х)=---F(x)[l-F(x)]; п j = C^[F(x)1F(x)]n'1 (1.313) Cl. 314) - 271 В соответствии с б ол ь ш и хчисел закономFn (x)-*F(x), п -»с о , п р и к а ж до мх. Э т о означает, ч т о Fn (x) - несмещённая и состоятельная оц е н к афункции распределения F(x). Эмпирическое распределение явля е т с яо с но в о йд л я вычисления в ыб орочных ил и эмпирических моментов начальных: +00 т^= Jxpp(x)dx, (1.315) —со ицентральных: +00 /(x-Mx)pp(x)dx. -00 (1.316) Например, в ыборочное среднее: 1 п т<~ х = --- Z х,, п 1=1 (1.317) в ыб о р оч н ая д исперсия (смещённая о ц ен к а генеральной дисперсии 62х): д ~ s 2 = --- 2 (хг - х)2, 2 х п 1=1 (1.318) (сравните с (1.245)), выборочная диспе рс и я (несмещённая о ц е н ка ге нераль н ой дисперсии б2х): I n _ М* s2 = ----- I (ж,- х)2. 2 х п-1 1=1 (1.319) Выборочные моментыявляются статистическими оценками соответ с тв у ю щи ххарактеристик исход н ог о распределения. Кроме этого, по с к о ль к увыборочные моменты полностью характеризуют распределение, о н имогут б ы т ь использованы д л я срав н е ни я разных эмпирических рас п ре д е ле н ий б е з сравнения соответствующих кривых. Вз а к лючение необходимо отметить, ч т о эмпирическое распределе н и е формируют внутренние причиныявления, ан еб о л ь ш и х чисел закон. Б оль шо еч и с л о наблюдений ~ у с л о в и ед л я того, чтобы случайные откло н е н и я ni/n о тPi погашались. См. также Воспроизводимость, РАСПРЕДЕЛЯТЬ. Э ф фе к т - стар, ефект < нем. Effekt < лат. effectus - исполне ние, осуществление, действие, эффект, воздействие, влияние, резуль тат (М. Фасмер: 1886-1962. [100]). Эффективная статистическая оценка (< лат. effectivus - твор ческий, действенный, созидательный) - оценка, обладающая наименьшей - 272 д ис п е р с и е йс р е д и нескольких оценок о д н о г о ит о г ож е параметра. См. также Статистическая оценка. Эффективность оценки - свой с т во оценки иметь боль ши йи л и мень ш и й доверительный интервал. Оце н ка параметра называется эффектив ной, е с л ис р е д и нескольких оценок т о г ож е параметра о н а о б л а да е т н а именьшей дисперсией. Е с л и ошибки измеренийфизических в е ли ч и н п одчинены закону нормального распределения, т ос реднее арифметичес ко е обла да е т наименьшей дисперсией. См. также Квадратичное отклонение, Параллельные измерения, Стандартное откло нение. Я "Явгшь, являть, явливатьчто, казать, оказывать, показывать, де л а т ь явнымь, виднымъ, с т ав и т ьн а видь; изъявлять, проявлять, выяв лять; предъявлять, представлять. (...) Являться, б ы т ь явлену; || появляться, проявляться, оказываться, открываться, о бнаруживаться как-бы собою; || представляться, п о службе, начальнику. (...) || Явленьеср. действ1е и с о стоянье п о гл. явить, -ся. (...) || Явление природы, в с я ка я внезапная, нежданная, необычайная перемена, случай, оказательство, собьгпе, ив о о б щ е , в с я к а я видимая перемена. (...)" (В.И.Даль; 1801-1872), [83]. См. также СОБЫТИЕ, событность, Событие. "Действительность заключена в явлениях." (Демокрит; 460/470-360/370 г. до Р.Х.). Явление - философская категория, отражающая всеобщие формыре альности, и е ё познание человеком. О т совокупности свойств, опреде л яю щих особенность объекта, явления, процесса и л и класса объектов, явлений, процессов, зависят, к р о м ев с е г о прочего, и х изменчивые со с то я ни я иформы явлений. Явление - т ои л и иное обнаружение (выра жение) объекта, внешней формы е г о существования. Явление - универ с а л ь н а я объективная характеристика предметного мира; вп р о це с се п о з н а н ия с у щ н о с ть иявление выступают ка к ступени постижения объек та. Категории "сущность'' и "явление" всегда неразрывно связаны: яв л е н и е представляет с о б ой форму проявления сущности, п оследняя рас к р ы в а ет с я в явлении. Явление б о г а ч е сущности, и б оо н о включает в - 273 с е б ян ет о л ь к о обнаружение внутреннего содержания объекта, взаимо д е й с т в и яэ лементов системы между с о б о й и свнешним миром, н о ивсе в о з м о ж ны е случайные отношения, стохастическое взаимодействие эле м е н т о в системы между соб о й и внешним миром. Явления динамичны, из менчивы, случайны, в т ов р е м як а к сущность образует нечто, диалек тически сохраняющееся в о всех изменениях. См. также, Сущность, Явить, являть, явливать. - 273 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 2.1. События, наблюдения, эксперименты "События большого значения часто возни кают из пустяковых обстоятельств". ( Тит Ли вий; 59 до Р.Х.- 17 после Р.Х.). С обытие - то, ч т о произошло, т о ил ии н ое уникальное явление, с лу чившийся факт. Событие ста н ов и т ся достоверным, е с л ивд а н н о м конкретном сочетании факторов о н о необходимо осуществляется. Собы т и е рассматривается случайным, е с л ио н о может осуществиться, амо же т ин е осуществиться. Изолированных событий вприроде нет, в с е с о б ы т и я осуществляются и л ин е осуществляются вто й или и н о й опреде л ённой сист ем е событий. С о бы т ие может б ы т ь причиной, может б ы т ь следствием, н о "Следует всегда помнить, ч т о мы н е можем у пр а в ля т ь событиями, адолжны прилаживаться кним” (Эпиктет; 50-138). С о б ы т и е ка кявле н ие окружающего н а с мираможет пройти незамеченным, амож е т б ы т ь целью. Впоследнем с л у ч а ем о жн о говорить особытии как резуль т а те наблюдения. "Наблюдения - это история естественных наук." (Шарль Луи Монтескье; 1689-1755). Наблюдение (лат. observatio) - метод исследования предметов и явлений реальности в т о м виде, вкак о мо н и существуют и происходят вп р ир о де и обществе. Наблюдение от л ичается о т простого в о с приятия информацииналичием ц е ли и активной позицией наблюдателя. Наблюде н и е отлич а ет с яио т эксперимента отсутствием активного управляющего в о з действия н а явление ил и процесс. Наблюдение - э т о фиксация ха рактерных признаков предмета и л и развития явления в пространстве и/или в о времени. Ярким примером является древнейшая наука - астро- I - 274 номия, М о ж н от а кж е упомянуть наблюдателей на выборах, экологов, с о циологов, археологов, историков и т.д. "Эксперимент - истинный посредник между человеком и природой". (Леонардо да Винчи; 1452-1519). Эксперимент (<лат. experimentum - проба, законченный опыт, практика, основанное на опытах доказательство) - (1 ) н а у чно постав л ен н ы й лабораторный и л и промышленный опыт, наблюдение исследуемого процесса вфиксируемых условиях; возможность многократного воспро изводства процесса в требуемыхи л и повторяющихся условиях; (2 ) о п ы т вообще, попытка осуществить чего-либо. Нередко главной з ад а ч е йэ к с перимента является проверка гипо т е з и предсказаний теории, имеющих принципиальное значение. В э т о м сл у ч а е эксперимент выполняет функ ц и юкритерия истинности научного познания в целом. Экспериментальный метод исследования возник в естествознании н о в о г о времени (Уильям Гильберт (1544-1603), Галилео Галилей (Gali lei GaliНо; 1564-1642)). Первую классификацию эксперимента разра б о т а лФрэнсис Бэкон (1561-1626). Осн о в ы статистического метода ана лизанаблюдений б ы л и заложены К.Гауссом {Gauss Carl Friedrich; 1777-1855) - в 1794-95 г. о но т кр ы л и в 1821-23 г. разработал пер в ы йматематический метод обработки неравноценных опытных д а н н ы х метод наименьших квадратов, ши р о к о применяемый и п ос е й день. "Экспериментатор, чтобы быть достойным этого имени, должен быть одновременно и те оретиком, и практиком". (Клод Бернар; 1813-1878). Рассмотрим подробнее современное понимание эксперимента и е г о результатов. Лабораторный и ли промышленный эксперимент - э т о стро г а я последовательность з ар а не е обусловленных действий, ведущих к о пр еделению о д н о йи л и множества величин, представляющих результаты эксперимента. Независимо о т точно с т и соблюдения условий прове де н ия эксперимента результаты повторных экспериментов, в общем случае, б у д у т различны. Причинами отсутс т ви я абсолютной воспроизводимости с л е ду е тс ч и та т ь ограниченную точн о с ть определений, измерений, ана л из о в и т.п., аиногда и внутреннюю природу исследуемого явления. Следовательно, дл я каждой величины возможные результаты б у д у т ле - 275 ж а т ь внекоторой ограниченной области. Множество э т и хо бластей д л я в с е х величин, составляющих результат эксперимента, обра зу е т выбо р оч н о е пространство э т о г о эксперимента. Например, п р ип ои ске функ циональной связи y-f(x) говорят окорреляционном поле у-х, аконк р е т н ы е численные зн а чения уназывают случайными величинами. 2.2. Результатынаблюдений и экспериментов Результаты наблюдений и экспериментов в науке, техн и ке и тех нологии, и вообще, результаты измерений любых физических велич и нс лу ч а й н ы е величины. Э т о обусловлено ограниченной точностью измери тельных приборов, ошибками обусловленными несовершенством о р г а н о в ч у в с т в человека, ошибками грубыми, систематическими (методическими) и случа йн ы ми (см. Ошибка, Ошибоктеория). К т о виноват и ч т о делать? О п ы т н ы е экспериментаторы достаточно успе шн о выявляют м ешающие де терминистические факторыи учитывают их. Вазартных играх результа т ы л и б оц е л ы е числа, л и б о взаимоисключающие исходы ии зв с е г об о га т с т в а мешающих факторов о с т а ют с я случайные. О н ит о ж е детерминис т и ч е ск и еп о существу, н ои х множество, и, ч т о немаловажно, о н ив с е соизмеримып ос и л е или интенсивности (только ушулеров всегда наго т о в е не сколько значимых (весомых, существенных) приёмов (факторов). Простейший пример - игральная кость со смещённым центром тяжести. Смещенние центра тяжести - весомый фактор буквально. По этому поводу определения фактичес кого распределения выпадающих очков см, комментарий И.Ньютона (1643-1727) на с.51. О проблемах проведения наблюдений и экспериментов и их анализа задумывались всегда и все учёные. В частности, см. рассуждения П. Лапласа (1749-1827) на с.300 и рассужде ния Якоба Бернулли (1654-1705) на с.32. См. также с.26 и в статье “Распределение ве роятностей случайной величины" соответствующие рассуждения на с.188. Случайная величина - величина, з н ачение которой невоз мо ж н о пр е дсказать исходя и зу словий эксперимента ил и наблюдений. Резуль т а тыизмерений физических в е л ич и нп о существу случайные величины. С л у ч а й н ы е величины могут изменяться непрерывно (температура, дав л е ние, концентрация, радиус частиц дисперсной фазы) и л и д и с к р е т н о (ч и сл о "очков" в азартной игре, ч и с л о частиц, ч и с л о дефектов, ч и с л о отказов, аварийность). Например, е с ли представляет инте р е с коли чество монет, в с ёе щ ё находящихся в обращении, как функция и х воз раста, т ом о ж н о реализовать два подхода крешению э т о й проблемы. Е с л и вка честве случайной величины использовать го д чекан к и монеты, т.е. Х=..., 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, ..., т о анализировать п р и д ё т с я дискретные с лучайные величины, а е с л и массу монеты, т о - 276 непрерывные случайные величины. Между непрерывными и дискретными случай н ым и величинами е с т ь существенное отличие - равенство п е р вых невозможно, вторых - возможно. Невозможность равенства непрерывных случ а й ны х величин обусловлена ограниченной точностью измерения фи з и ч е с к их в еличин и возможностью е ё повышения и/или огранич е н но й точнос т ьюматематической обработки даиных. См. также Случай, Случайное событие, Эмпирическое распределение. 2.3. Вероятности собы т ий "Весьма вероятно наступление невероятно го". (Агафон; V-IV в. до Р.Х.). К аждый и зн а с имеет интуитивное представление о д осто в ер н ых и н евоз м ож н ых событиях, ат а к ж е овероятностях осуществления возмож ных. М ы абсолютно уверены втом, ч т о подброшенная монета н е взле тит, аупадёт на землю, т о л ь к он е знаем, какой стороной. Вветре н ы й день, н еб у ду ч и уверенными в с у д ь б е бумажных купюр, расплачиваясь з ат о в а рн а ярмарке, мы передаём и хи з рук вруки. И в т ож ев р е м я уверены, ч т оо т те хж е поры во вв е т ра монеты н е разлетятся. К аж д ы й и з нас, посмотрев на небо, решает, б р а т ьл и сс о б о й зонт, - н а ш п р о г н о зн е всегда б ы ва е т удачным. Небольшая ошибка вожд е н ия автомо б и л ян адороге может о ч е н ьд ор ого об о йт и с ь и в буквальном, и впе р еносном смысле... Дл я оценки в ероятности собы т ия в повседневной ж и з н им ыо б ы ч н о пользуемся с ло в а м и "невозможно", "возможно’ 1, "впол н е возможно", "вероятно", "мало вероятно", "очень вероятно" и т.п. О п е р и р у я вышеприведёнными субъективными о ценками вероятности собы т и йи л и успеха, мы н е чувствуем п р иэ т о м какого-либо дискомфорта. Достаточно ч а с т о наша субъективная оценка вероятности т о г ои л и ино г ос о б ы т и ян е совпадает смнением других людей, иногда д а ж е проти вор е чи т им. Кроме этого, вжизни м ы достаточно р е д к оп ыт а е мс я оце н и т ь вероятность с обытия и л и успеха п р и принятии решения в процен тах. И е щ ёр е же прикладываем к э т о м утеорию вероятностей. П оэ т и м п ричинам (и н е только...) внаук е итехнике приня т о выражать веро я тн о с т ь собы т ия числами о т0 д о1 и л и эквивалентным числом процен т о во т0 д о 100%, ад л я уточн е н ия т а к называемых "проблематических" с уж д е ни йс л уж и т вероятность математическая. П р еж д е чем переходить кматематическому обоснованию вероятнос ти, н еобходимо отметить, ч т од л я исследователя в большинстве случа- - 277 е в практический интерес представляют крайности: достоверность - не во з м о ж н о с т ь (события), причина - следствие (о связях), динамика ст а т и к а (о системе), детерминированность - стохастичность (процес са), максимум - минимум (функции), адекватность - неадекватность (модели), принятие - о т клонение (гипотезы), з начимость - незначим о с т ь (параметра), интерполяция - экстраполяция и т.д. П р и ближай ш е мрассмотрении оказывается, ч т о в социальных отношениях аналогич но: в ер н ос т ь - измена, истина - ложь, выдержка - срыв, п о с то я нс т в о - временность, естественность - искусственность (поведения), л и д е р - исполнитель и т.п. И вообще: выигрыш - проигрыш, з аконный - неза конный, девичество - замужество, состоятельность - несостоятель ность, с ч а с т ь е - несчастье, подлинность - фальшивость, победа - по ражение, преступление - наказание, реальный - вымышленный ит.д. * В соответствии с э т и м и (и другими) крайними оценками вероят н остей: у спех - 1 инеудача - 0 (провал) человек принимает решения. В б о л е е и л и менее важных ситуациях человеку свойственно п ри н и ма т ь 'Примечание 16. Слова эти - оттиски с событий, для которых они. События первич ны, и они значительно богаче, ибо имеют степени своей событийности в отличие от "Да" и "Нет", для которых, по определению, отсутствует градационность. Посмотрим, интереса ради, на степени состояния души человека, определяемые словами: Апатия Равнодушие Безучастие Удовлетворение Спокойствие Удивление Беспокойство Возбуждение Любопытство Интерес Недовольство Огорчение Весёлость Раздражение Радость Уныние Ликование Страдание Восторг Восхищение Отчаяние Ожесточение Наслаждение Исступление Блаженство Истерия Упоение Бешенство Экстаз Ярость Страсть Аффект Вне всякого сомнения приведённая здесь схема не бесспорна, но достаточно очевид но, что в русском языке градации состояния души человека характеризуются с достаточ но высокой точностью. В принятой, далеко не полной, выборке интервал составляет 1/32=0,0313. Точность оценки психотипа человека крайне важна для создания хорошей семьи и воспитания здоровых детей. - 278 р еш е н и яп р и достаточной уверенности их выполнимости. Вмалозначимых реалиях жизни о бычный человек может принимать решения свероят ностью успеха 0,4-0,2 и д а ж е менее. Дефицит информации окаком-либо процессе, незнание причинно-следственных связей ил и их мн ожество порожд а ет суеверие, веру вчудо, удачу, надежду на сч астливый слу ч а й (например, суеверны спортсмены, о со б е нн о автогонщики). Ч е мв ы ш е об р аз ованность человека, ч е мг л у б ж е понимание причинно-следственных с в я з е й вприроде и обществе, т е м меньше в е г о мировоззрении надежды н ас ч астливый случай, т е мв звешеннее е г о решения. Принять ва ж н о е р е ш е н и е с вероятностью успеха порядка нескольких десятых им е н е е м о же тт о л ь к о человек п о психотипу игрок. Поскольку а зартные игры н е разрывно связаны сразвитием цивилизации, значит вчеловеческом о б щ е с т в ее с т ь инужны люди, спосо б ны е принимать решения на г р а н и риска.* "Вероятность - это придуманная нами ве личина, оценивающая возможность придуман ного нами события". (Виктор Кротов; р. 1946). Вероятность {лат. probabilitas - правдоподобие, вероятность) числовая характеристика степени возможности наступления какого-либо определ ё н но г о события вте хи л и иных определённых, могущих повто р и т ь с я неограниченное ч и с л ор а з условиях. Вероятность отраж а ет осо б ы йт и п связеймежду явлениями, характерных д л я массовых процессов. О б ы ч н о численное з на ч ен и е вероятности находится спомощью определе н и я вероятности: вероятность равна отношению числа исходов, nlt ‘Примечание 17. В соответствии с предельно упрощённым определением ума как спо собности человека к выявлению причинно-следственных связей в природе, обществе и мышлении, его наличие необходимо и для успешной игры, во всех смыслах этого слова. Не следует думать, что во всех азартных играх присутствует такое множество причин но-следственных связей, что случайность приобретает преобладающее значение. Известно немало азартных игр, в которых имеют немаловажное значение способности игроков запо минать, генерировать и прогнозировать развитие событий, а также способности игроков к анализу мимики, жестов, комментариев и т.д. и т.п. См. также рассуждения Якоба Бернулли (1654-1705) на с.32. При ближайшем рассмотрении оказывается, что наличие ума необходимо для детских игр и житейских, в более солидном возрасте. Да что там люди, животные и птицы тоже иг рают! Кстати, о птичках - никто и никогда не видел играющих кур, но неоднократно наб людали ворон, играющих с блестящими предметами и катающихся зимой с горки... А если вспомнить деревенских дворняг и породистых овчарок, то первые играют достаточно ред ко, а вторые без игр с хозяином не могут нормально жить. См. также примечание 6 на с.11 и примечание 11 на с.47. - 279 "благоприятствующих" данному событию, к общему числу равновозможных исходов, п. С в я з ь вероятности р1 счастотой события h 1=ni/n доста т о ч н ос л ож н а и зависит о то б щ е г о числа испытаний п. Че мб о л ь ш е чис л о п , т е м реже встречаются сколько-либо значительные о т к л о н е н и я частоты пх /п о т вероятности рх. В соответствии с этим, о т ч а с т и не точным, частотным определением вероятности, вероятность осуществле н и яс о б ы т и яВб у де т пределом: щ (2.1) Р(В)=lim ---. П -*00 п Таким образом, каждому с о б ы т и ю В соответствует некоторое неот р и ц ательное ч и с л о- е г о вероятность: 0 < Р( В) < 1, (2.2) п р и чё мд л я невозможного с о бы т и я Р(Я)=0, д л я достоверного P(D)=1. В соо т ве т с тв и и сэ т и м и аксиомами паде н ие подброшенной монеты н аз е м л ю я в ля е тс я достоверным событием, е ё "взлёт" - невозможное событие, а вероятности выпадения "герба" ил и "решки" - п о 1/2 с оответственно (предполагается, ч т о идеальная монета н е имеет флуктуаций пл о т но с ти п о объёму, имеет одинаковую толщинуи радиус и н е может в с т а т ь н а ребро). Другими словами, результат падения монеты (и н ет о л ь к о мо неты. ..) - случайная величина. См. также статьи Вероятность классическая (априорная), Вероятность математи ческая, Вероятность статистическая (апостериорная). 2.4. Распределение вероятностей случайной величины Д л яд и с кретных случайных величинхарактерно то, ч т оо н им о г у т п р и н им а т ьт еи л ии н ы ез н а че н и ят о л ь к о вфиксированных интервалах и и х з н а ч е н и я в соседних интервалах скачкообразно и з меняются (рис. 2.1). Распределение вероятностей называется дискретным, е с л и с л у ч а й н а я величина X может принимать т о ль к о конкретные в о з м о ж н ы е значения: гр <уч Х 1 , ^2> **** * к от о р ы м соответствуют вероятности ?{Х=хх): Pi- Рг>--- Рп> причём Pi>0; Zpt=l. График следу е т понимать так: вероятность того, ч т ос л у ч а й н а я величинаX примет з н а ч ен и е равнар1; вероятность того, ч т о слу ч а й н а я величина X примет з н а че н ие х2 равна р2; вероятность того, - 280 - Рис. 2.1. Функция распределения дискретной случайной величины ч т ос л у ч а й н а я величина X примет з на ч ен и е ил и х2 равна р^+р2 и т.д. Вероятность того, что случа йн а я величина X примет л ю б о е значе н и еx It х2, х3, х4 или х5 равна 1 , э т о достоверное событие. Н аиболее простым примером дискретной систежы является с и ст е м а ц е л ы хчисел 1 , 2 , 3___ i » (в о тл и ч и ео т системы действительных чи сел, которая является непрерывкой). Значения дискретных с л уч а й ны х в е л и ч и н определяются сабсолютной точностью. Другими словами, ре з ул ь т а т события однозначен. Например, исход бросания идеальной мо н е ты - "герб" или "решка"; исход б росания идеальной игральной кос ти, число "очков", - целое ч и с л оо т единицы д о шести, исход броса н и яд в у хигральных костей - цел ое ч и с л оо тдвух д о двенадцати. Д е л о втом, ч т о древние изобретатели и г р продумали содержание и г р так, ч т о б ыисходы игр трактовались участниками однозначно, а э т о возмож но, п р и прочих равных условиях, т о л ь к о пр и выражении р ез ультатов ц е л ы м и числами или исходами "выигрыш" - "проигрыш". Целыми ч и с л а м и б у д у тт а к ж е количество бракованных изделий в партии, числа о т к а з о в о б о р у д ов а н ия и др. Д л я дискретных случайных в ел и ч и н принято пользоваться вероят н о с т ь ю событ и я Х<х, г д ех - ц е л о е число, принадлежащее и н тервалу (Emin* ^max)’ аX - случайная величина. Эта вероятность я в л я е т с я функцией о тх: P(X<x)=F(x) (2.3) иназыва е т ся функцией распределения дискретной случайной величины (рис. 2.1). Если случайная величина X принимает конечное ч и с л о д искретных значений (например, ч и с л оо ч к о вн а гранях игральной кос ти), т о функция распределения вероятностей э т о й случайной величины представляет собой ступенчатую функцию. - 281 Всоответствии с таким определением вероятность выпадения н у л я д л я идеальной игральной кости равнанулю, вероятность выпадения од н о г оо ч к аравна 1 /6, о дн о г о или двух - 2/6 и т.д. Вероятность выпа д е н и ял ю бо г о результата о т1 д о 6 равна 1 . э т о достоверное с о б ы т и е (рис. 2.2. См. также статью Гистограмма). т I . 0 1 . . . . I f . . . . 2 I . . . . 3 i . . . . 4 t ______________ 5 6 N I I 0 I 1 I 2 I 3 1 4 I_____________________________ 5 6 N Рис. 2. 2. Функция распределения (а) и плотность вероятностей (б) числа очков при бросании одной игральной кости (площадь всех шести столбиков на рис. 2 . 2,6 равна 1) Д л я непрерывных случайных величин принято пользоваться вероят н о с т ь юс обытия Х<х, гд е х - произвольное действительное число, при н а д л еж а ще е интервалу (-», +»). аX - случайная величина (рис. 2.3). Рис. 2.3. Функция распределения непрерывной случайной величины lim Fix)- 0, lim F(x)= 1 Я-*-оо х-*<» Э т авероятность является функцией о тх: P('X<X)=F(X), (2.4) ин а з ывается функцией распределения непрерывной случайной величины (сравните с (2.3)). На рис. 2.4 приведена функция распределения ве- - 282 т р е л к ич а с о в р оятностей непрерывной случайной величины - положения с в случа й н ые моменты времени: р(х) б i 360 О 360’ х Рис. 2.4. Функция распределения (а) и плотность вероятнос тей (б) положения стрелки часов в случайные моменты времени (площадь прямоугольника на рис. 2.4,6 равна 1) Очевидно. ч т о функция распределения вероятностей является монотонной инеубывающей. Д л я произвольной функции Fix) е с л и х1<хг, т о F(xl)<F{x2) (рис. 2.5). Максимальное з н ач е ни е F(x)=1. минимальное - F(x)=0. Рис. 2.5. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины lim F(x) =0, lim F(x)=l Х^-оо £-*» Ордината кривой, соответствующая т о ч к е хг , представляет с о б о й вероятность того, ч т о случа й н ая величина X п р и испытании о к а ж е т с я м е н ь ш е х*. Ордината кривой, соответствующая точ к е х2. представляет с о б о й вероятность того, ч т ос л у ч ай н ая величина X пр и испытании ока ж е т с я меньше х2. Разность двух ординат, соответствующая точкам ххи х2. даёт вероятность того, ч т оз начения случайной величины б у д у т л е ж а т ь винтервале между х* их2: Р(х1 <Х<х2) = F(x2)-F(x1), (2.5) - 283 г д е Р(ж1 <Х<х2) - до л яо т единицы. Очевидно, ч т оп р и предельных зна ч ен иях аргумента: F(-oo)=0; F(+oo)=l, (2.6) Система действительных чисел является непрерывной системой. Непрерывными случайными величинами являются, например, температура, давление, концентрация, размерыимасса частиц дисперсной фазы, ве л и чи н ап о р породы, коэффициент проницаемости и др. В о т л и ч и е о т д ис к р ет н ой случайной величины каж ды й результатизмерения непрерыв н о й случ а йн о й величиныX у никален инеповторим, а вероятность полу ч е н и я конкретного точного з на ч ен и я равна нулю, Р('Х=х1)=0. Э т о объ я с н я е т с я тем, ч т оп р и повышении точности измерения о д н о й ит о й ж е физической величины всегда б у д е т некоторая разность между д в у м я лю б ы м и измерениями. Сдругой стороны, е с л и точность собст в ен н о изме р е н и я физической величины постоянна, н о процесс развивается в о вре м е н и и/или впространстве (например, химическая реакция, д вижение жидкости, изменение температуры те ла и т.п.), т о совокупное вл и ян и е множества случайных факторов, сопровождающих исследуемый процесс, в т о й и л и ин ой степени исказит результаты всех измерений и зависи м о с т ь исследуемой физической величины о т независимой н еб у д е т иде а л ь н о гладкой, - экспериментальная зависимость б у д ет представлять с о б о й ломаную линию, другими словами, экспериментальные д а н н ы еб у д у т образовывать некоторую кривую, имеющую б ол ь ш и йи л и меньш и й "разброс”значений. Пр и значительном разбросе значений п р и н я т о го ворить, ч т о кривая имеет "выпадающие точки". Повторение пр оцесса в т е хж е условиях даст бл и з к и е результаты, н о другие. Д л я характеристики непрерывной случайной величины о б ы ч н о упот реб л яю т производную функции распределения - плотность распределения вероятностей (плотность вероятностей) случайной величиныX: dF р(х) = F ’(х) = ----. dx (2.7) Плотность вероятностей с л учайной величины является неотрица т е ль н ой функцией (рис. 2 .6). Площадь, заштрихованная н а графике плотности распределения с л у ч ай н ой величины, равна вероятности того, ч т о сл учайная величина X прим е тз н а че н ия винтервале х1-хг: - 284 - Рис. 2.6. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Хг Р(х1СХ<хг)=/ p{x)dx=F(xz )-F(x1). Xj (2 .8) Естественно, ч т о Р(х1 <Х<х2) - д о ля о т единицы. О б щ а я площадь под кривой плотности вероятностей случ ай н ой ве л ичиныравна единице: +00 f р(ж)с2х=1 . (2.9) -0 0 Э т о означает, ч т о случайная величина, имеющая плотность расп р е д е л е н и я р(х), примет т о ил и ино ез начение в интервале -со<х<+оо; э т од остов е рн о е событие. Рассмотрим для примера п л отность распределения частиц цемент н о г о раствора п о радиусам (рис. 2.7). Площадь каждого столбика с о о т в е тс т ву е т массовой доле частиццементного раствора срадиусом о т г±Д о г1+1. Очевидно, ч т о распределение частиц цементного раствора п о ра д и у с а м в дистиллированной в о д е (а) н е противоречит логнормальному закону. Плотность вероятностей м о ж н о применить и д ля характеристики д и с к р е т н о й случайной величины. В э т о м случае е ё обычно изображают в в и д е гистограммы. Гистограмма и л и столбчатая диаграмма - о д на и з форм графического представления эмпирического распределения, п р и Рис. 2.7. Плотности распределения частиц цементного раствора по радиусам: а - в дистиллированной воде, б - с добавлением реагентов. На обоих рисунках радиус цементных частиц изменяется от 0,015 до 0,026 мм, (практически, по оси абсцисс отложены логарифмы радиусов) к о т о р о м на о с и абсцисс откладывают значения результатов наблюдений, раздел е нн ы е на к (обычно) равныхинтервалов, а над каждым интерва л о мс т р о я т с я столбики, высота которых Н1 пропорциональна частотам U 1=п1/п появления наблюдаемого признака, попавших винтервал [хх _ t, x t]. На рис. 2.8 представлены гистограммы распределения вероятнос тейвыпадения "орлов" п ри различном задаваемом числе бросаний. Вы с о т а ка ж д о г о столбика равна вероятности выпадения задаваемого числа "орлов" и зп бросаний. Например, вероятность выпадения трёх орлов пр и пяти б р ос а ни я х р ав на 0,3125, при десяти бросаниях 0,1172, а вероятность того, ч т о п р ит р ид ц а ти бросаниях выпадет тр и герба и, соответственно, 27 "ре шек" меньше 0,0003, т.е. э т о практически невозможное событие; наи б о л е е вероятно в последнем с л уч а е выпадение 15 гербов и 15 "решек" - вероятность такого результата Р=0,1445. Если мы попытаемся срав н и т ь плотности вероятностей результатов бросания игральной к о с т и (рис. 2 .2 , б) и положения стре л ки часов в произвольные моменты вре м е н и (рис. 2 .4,6), т о обнаружим и х идентичность - каждое и з н и х представляет собой равновероятное событие. Такие распределения на з ы в а ю т с я равномерными. Вернемся кигральной кости. Достаточно вмес т оо д н о йигральной кости взять две, ирезультаты существенно изме н я т с я (рис. 2.9). Н аиболее вероятным событием (Р=0,1667) будет семь - т а к а я сум м аб у д е тявляться результатом шест и равновозможных исходов броса- 286 a - t » «=5 а: н » o ts cc 8.3 v н сз о 8.1 iV 0 6 12 ас *-« o*es го tao n=10 8.1 ъ« «~а о о - -8 J___ 1___ L ( T H O O X H X io t s a j ex# N 2.8. Гистограмма распределения вероятностей выпадения "орлов" при различном задаваемом числе бросаний (а) П=5; (б) ГЫ О ; (в) П=30 - 287 - а p(N) 0,16 [ 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 2 3 4 5 6 1__ ___ L 7 8 9 10 11 12 N Рис. 2 .9 . Функция распределения (а ) и плотность вероятностей (б) числа очков при бросании двух игральных костей ний. Н е лишне напомнить, ч т оп р и бросании двух игральных к о с т е й в озможны 36 исходов и, ч т ос а м о е интересное, в с е исходы равноверо ятны. Ч т ож е касается суммы о ч к о в на гранях, т од л я не е характерна зависимость, изображённая н а рис. 2.9 (возможно, э т о и явил ос ь при чин о йраспространения игр сд в у м я костями - успех в большей с т е пе н и з а в и с и то т сообразительности игрока ивменьшей о т случайности*). Давайте интереса ради рассмотрим гипотетическую игру с т р е м я костями. При бросании трёх игральных костей возможны 63=216 исхо‘ Примечание 1 8 . Р а в н о в е р о я тн о с ть р е зу л ь та то в б р о сан и я од ной игральной к о с ти ч ув ств ую т д аж е д е ти , и б о им д о с т а т о ч н о б ы стр о н а д о е д а е т игра, в к о т о р о й за д е й ств о в а на одна к о с ть . Н е в о з м о ж н о сть п о вл и ять на и схо д игры п о д а в л я е т р а б о т у мысли и, как сл ед стви е, п р и в о д и т к у га са н и ю и н те р е са к игре. Ч е ло век л ю б и т и гр а ть , ем у и нтересна сл учай н о сть, но не о б р е ч ё н н о с ть , с л уч а й н о сть не б ессм ы слен н ая, а в н е к о то р о й сте пен и управляемая, к о н тр о л и р у е м а я , прогнозируем ая, во збуж д аю щ ая м ы сль... - 288 дов, т.е. 216 сочетаний гра не й со ч ка м ио т1 д о 6; v=216. Естест венно, что. как в классической игре сдвумя костями, в ер оятности в с е х двухсот шестнадцати исходов одинаковы. Распределение с у м мы оч к о в (минимум 3, максимум 18) п о частоте выпадания имеет вид, изоб ра ж ён н ый на рис. 2 .10. F(N) Я.8 fl.6 a t,4 fl.2 \ xii t iii iIi i— i i } i ) >111ц ,1 ju J ju u i-u i : i ,r i j, i.. N h -20 10 “0 .............. i i i i i i i i i ■i i N Рис. 2 .1 0 . Функция распределения (а ) и плотность вероятностей (б) числа очков при бросании трёх игральных костей Так, 3 очка может выпа с т ь только в одном с о ч е т а н и и (Р=0,00463), 4 очка втрёх (Р=0, 0139), 5 очк ов в шест и сочета н ия х (Р=0,0278) и т.д. Максимальна вероятность выпадения 10 и л и 11 оч ков, - т а к а я сумма выпадает врезультате двадцати с е м и равновозмож н ы хисходов, соответствующая вероятность Р=0,125, (рис. 2.10,6). Очевидно, ч т о гистограммараспределения суммы очков (рис. 2.10,6) у д и в и т е л ь н о похожа на гистограмму распределения вероятностей о р л о в - 289 (рис. 2 .8), а п о форме о б еп о хо ж и на колокол (следует заметить, что, несмотря на внешнюю похожесть, сточки зрения теории вероят ностей, э т о разные распределения. Н о иколокола бывают разные...). Д л я полноты картины давайте рассмотрим е щ ё одну гипотетическую иг р у счетырьмя костями. Пр и брос а ни и четырёх игральных к о с т е й воз можн ы64=1296 исходов, т.е. 1296 сочетаний граней с очк а ми о т1 д о 6. Естественно, что, как вклассической игре сдвумя костями, веро ятно ст и всех тысячи двухсот девяносто шести исходов одинаковы. Р аспределение суммы очков (минимум 4, максимум 24) п о част от е выпа д а н и я имеет вид, изображённый н а рис. 2 .1 1 . 4 5 б 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 N Рис. 2.11. Гистограмма (плотность вероятностей) распределения числа очков при бросании четырёх игральных костей 2.5. Математическое ожидание идисперсия случайной величины "Е сл и в о п р о с задан правильно, о т в е т б уд е т неож иданным ." (А в е с с а л о м П о д в о д н ы й ; р. 1 9 5 3 ). Математическое ожидание - мера центральной тенденции врассея н и и случайной величины, однаи з важнейших характеристик распределе ния вероятностей с лучайной величины. Понятие математического ожида н и я случа й но й величины используется д л я теоретических п о с т ро е н ий п р иисследовании распределений вероятностей случайных величин ид л я р е ш е н и я различных задач. Д л я дискретной случайной величиныX, принимающей последова т е л ь н о с т ь значений Xj, хг, ___ свероятностями, рав н ым и со - 290 о т в е т с т в ен н о plf р2...., Pi,--- , математическое ожидание определя е т с я формулой: Мх = I г=1 Pi, (2.10) Внекоторых азартных играх математическое ожидание м о ж н о ука з а т ь абсолютно т о ч н о (например, математическое ожидание результата б р о с а н и я двух игральных к о ст е й - семь). Отличительной особенностью а зартныхи г р является о д н оз н ач н о трактуемый результат: успех-неуда ча, ц е л о е чис л о очков, характеристика карты и т.д. Д л я непрерывной случайной величины математическое о ж и д ан и е вы р аж а е тс я формулой: 4-оо Мх = / xp(x)dx. (2 .1 1 ) -0 0 Выражение (2.11) является математическим выражением координаты ц е н т р а тяжести, т.е. Мхмож н о представить с е б е как абсциссу це н тра т я ж е с т и массы, расположенной по дкривой, являющейся плотностью ве р о ятности р(х). Э т о выражение аналогично формуле (1.116) д л я на ч а л ь н о г о момента первого порядка. Д л я физических величин, определя е м ы х врезультате наблюденийи экспериментов, математическое ожида н и ео п ределить невозможно, е г ом о ж н от о л ь к о оценить. Внаучных и прикладных исследованиях математическое о ж и д а ни е характеризует наиболее в е роятное з н ач е н ие физической величины, по л уч а е мо й врезультате экспериментального определения, н оо н о отли ч а е т с яо т моды, которая характеризует расположение максимума кр и в о й р(х). Проблема любого наблюдения и эксперимента заключается втом, ч т оз н а ч е н и е какой-либо характеристики явления и л и процесса абсо л ю т н от о ч н о определить невозможно. Врезультате многократных изме р е н и й физической величины полу чи т ся множество значений, имеющих б о л ь ш е е и л и меньшее рассеяние относительно среднего значения. П о существу, в с е результаты э кспериментов являются случайными величи нами, имеющими т ои л ии н о е распределение вероятностей. П р и н я т о счи тать, ч т о распределение о ш и бо к измерений н е противоречит з а к о н у н ор м а ль н ог о распределения. Т а к ж еп р ин я то считать, ч т ос р е д н е е зна ч е н и е является оценкой неизвестного математического о ж и да н и я (ис тинного зн а ч ен и я измеряемой величины). Необходимо т а к ж е добавить, ч т ос р ед н и х значений множество. В большинстве случ а е в математическое ожидание характеризует н аи б о ле е вероятное расположение з н а ч е н ий случайной величины. Назва - 291 н и е "математическое ожидание" происходит о т понятия "ожидаемого з н а ч е н и я выигрыша" (математического о жи д а ни я выигрыша), впервые по явившегося втеории азартныхи г р в трудах Б.Паскаля (Pascal Blaise: 1623-1662), П.Ферма (Fermat Pierre; 1601-1665) и X.Гюйгенса (Huy gens Christian; 1629-1695) вXVII в . О н ив в е ли понятие математичес к о г о ож и д ан и я случайного с обытия ииспользовали е г од л яр е ш е н и я ря д а задач, вт о м чис л е весьма с т аринной задачи (ставшей с те х п о р классической) оразделе став к и внеоконченной игре. Понятие "мате матиче с ко е ожидание" в 1795 г. в в ё л П.Лаплас (Laplace Pierre Simon; 1749-1827). Вполной мере э т о понятие б ы л о оце н ен о ииспользовано в сер. XIX в. русским математиком П.Л.Чебышевым (1821-1894). Исходы азартных иг рп ов п о лн е понятным причинам выражаются це л ы м ич ислами и л и двумя возможными взаимоисключающими исходами ("ус пехом" и "неудачей"), поэтому вр я д ес л уч а ев математическое ожида н и ем о ж н о определить т о ч н о (например, подбрасывание монеты, броса н и е двух, трёх и б о л е е игральных костей (см. рис. 2 .2,6, 2 .8, 2 .9,6, 2 .10,6, 2 .1 1 ), причём в э т и х случаях математическое ожида ние, мода имедиана совпадают). Результаты наблюдений и эксперимен т о в (за редким исключением) - числ а действительные (вещественные), в кл ючающие в себя, по м и м о истинной физической компоненты, т а к ж е о ш и бк и случайные, систематические и грубые. П оэ т и м причинам внаб людениях и экспериментальных исследованиях математическое о ж и д а н и е - п он я т и е достаточно абстрактное, и степ ен ьэ т о й абстрактности свя з а н ак а к сасимметрией распределения с а м о й физической с лучайной ве личины, т а к и сасимметрией распределения ошибок измерений. Существует достаточно м н о г о приём о в о це нки математического о ж и д а н и яп о результатам выборки; в ы б о рт о г о или иного способа опре д е л я ет с я физической сущностью з а д а ч и иконцепцией. В больш ин с тв е с л у ч а е вв а ж н оз н а т ь среднее значение выборки, которое удовлетворяло б ынекоторомукритерию, соответствующемуфизической с у щ но с ти зада чи. Наибольшее значение имеют ч е т ыр ев и д а среднего значения, - мо да, медиана, среднее арифметическое (рис. 2 .1 2 ) и начальный момент п е р в о г о порядка. Максимуму кривой плотности вероятностей соответствует мода, э т он аиболее вероятный результат. Мода в статистике - то, ч т о в о б ы ч н о й жизни называется массовым, типичным. Например, цена, п о ко т о р о йд а н н ы й товар ч а щ ев с е г о реализуется на рынке. - 292 - Рис. 2.12. Три различные оценки математического ожидания мода, Ш, медиана, X Q t 5 , и среднее арифметическое, Х ср (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1 ) Е с л и распределение асимметрично, т о иногда представляет инте р е с медиана, х0>5 - т о значение случайной величины, которое д е л и т распределение на дв е равные ч а с ти (рис. 2 .1 2 ). Другими словами, ве р о я т но с ти событий п оо б е стороны медианы одинаковы. Мода им едиана и м е ю тб о л ь ш е теоретическое, че м практическое значение - д л я экспе р и м ентальной выборки малого о бъ е ма моду и медиану вычислить непрос то. Следующим средним значениемявляется среднее арифметическое, е г оп р о щ е всех вычислить, и отчас т ип оэ т о й причине о н он а ш л о наи б о л е е широкое применение. Кроме этого, вусловиях нормально распре д елённых ошибок наблюдений арифметическое среднее имеет наименьшую дисперсию, т очнее, арифметическое с реднее является состоятельной, несмещённой и эффективной о цен ко й математического ожидания. Вусло в и я х асимметричных кривых распределения медиана расположена м е ж д у м о д о й и средним арифметическим (рис. 2 .1 2 ). След у е т заметить, ч т о кро ме арифметического среднего внауке, т е х н и к е и технологии применяют также: арифметическое взвешенное среднее, хс р w, взвешенное степенное среднее, xw£X, гармоническое среднее, xh, геометрическое среднее, xg, квадратичное среднее, ха, кубическое среднее, хс цЬ, арифметико-геометрическое среднее, xc p g иначал ьн ы й момент первого порядка, т*; п р и этом xh<xg<xcp<xs<xcub (рис. 2.13). См. Среднее, среднее значение, а также Концепция, Эмпирическое распределение. См. также Шум, ШУМЬ. Дисперсия (< лат. disperse - рассеянно, разбросанно, т а м и сям; dispersio - рассеяние, -разбросанность) в статистике математи ческой и вероятностей теории - мера р ассеяния значений случайной величины относительно центра, о д наи з характеристик распределения вероятностей случайной величины, т.е . отклонения е ё о т среднего - 293 - Рис. 2.13. Общий случай распределения оценок математического ожидания выборочного распределения: Хц - гармоническое среднее, X g - геометрическое среднее, ^ c p . g - арифметико-геометрическое среднее, Х С р - арифметическое среднее, X s - квадратичное среднее, £ с и ь - кубическое среднее (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) значения. В методе моментов ди сперсия - центральный момент в то р о г о порядка. Втеории вероятностей дисперсияt DX, случайной величиныX onр еделяется как математическое ожидание Е(Х-Мх )2 квадрата откло н е ни я X о те ематематического ожидания Мх=ЕХ. Для случайной величины с ди с кр е тн ы мраспределением дисперсия определяется формулой: 00 DX = I (ж1 -Мх)2р1, (2 .1 2 ) 1=1 г д е вероятность р1 =Р(Х=ж1), приусловии, ч т о ряд сходится. Дл я случ а й н о й величины X с непрерывнымраспределением, имеющим п ло т н о с т ь в ер о я тн о ст е й р(х), - формулой: 00 DX = /(x-Mx)2p(x)da:, (2.13) -0 0 е с л иэ т о тинтеграл сходится. Если DX=0, т о случайная величина X п р и н и м ае т свероятностью 1 единственное значение Мх. Дисперсия име е тв а ж но е значение в характеристике качества статистической о ц е н к и с л у ч а й но й величины. Наряду сдисперсией в качестве меры р ас с е я н и я (той ж еразмерности, чт о и сама случайная величина) используется к ва д р ат н ый корень из дисперсии: бх=|/6х, называемый стандартным (квадратичным) отклонениемX. Н арис. 2.14 приведены граф и ки плот н о с т и двухразличныхраспределений. Очевидно, ч т о математическое о ж и д а н и е определяет центр распределения, МХ 1 <Мх 2 , а ди с п е р с и я (мера рассеяния) характеризует крутизну, размах кривой плотности, 6j<6g- - 294 - Рис. 2.14. Плотности распределений для различных значений математического ожидания и дисперсии: (а) - малая дисперсия, (б) - большая лисперсия (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) Поскольку в реальной жизни математическое ожидание - величина неизвестная, на практике о пределяют среднее значение выборкии вы борочную (опытную) дисперсию: где 1 по п s 2 = ------ ^ (х1-х)г; оп rio n ~ l *-1 1 2о П X = ---- I Хх П0П i= l- — (2.14) (2.15) или другое среднее (см. 1.194, 1.196 - 1.199, 1.201, 1.202), по пч и с л оо п ы т о в в выборке, v on=non- l - степеней свободы число (1.242) выборочной дисперсии. Следует различать дисперсию э мпирического распределения (дис персию выборочного распределения) и д исперсию воспроизводимости (опытную дисперсию). Для определения дисперсии воспроизводимости осуществляют так называемые п араллельные опыты и оценку математи ческого ожидания как правило производят по формуле среднего арифме тического. При этом предполагают (проверяют), что ошибки измерения физических величин подчиняются закону нормального распределения. В - 295 с л у ч а е эмпирического распределения параллельные опыты имеют второс т е п е н н ое з н а че н ие и производятся д л я отладки методики конкретных наблюдений, экспериментов. Г ла в н а яз ад а чаисследования эмпирическо г о распределения - сдел а т ь представительную выборку и з совокупнос ти. Е с л и эмпирическое распределение асимметрично. т о возникает дос т а т о ч н ос е рьёзная проблема выбора центра распределения. Центром распределения могут б ы т ь медиана, мода, начальный момент п е р в о г о порядка, арифметическое среднее, арифметическое взвешенное среднее, в зв е ш ен н ое степенное среднее, гармоническое среднее, геометрическое среднее, среднее квадратичное, сред не е кубическое, арифметико-гео метрическое сред н ее и др. параметры. Другими словами, дисперсия вы б о р о ч н о г о распределения характеризует вариацию признака относитель н о ср е д н е г о значения выборки - параметра, определяемого с ущ н о ст ь ю з а д а ч и иконцепцией исследователя. Д л яо ц е н ки результатов наблюдений о д н о й дисперсии недостаточ но. К ор е нь квадратный и з выборочной дисперсии называется квадратич н ым отклонением, иногда с тандартным отклонением и л и выборочным стандартом. Начинающие исследователи о б ы ч н о струдом развивают ин т у и т ив н ое восприятие ч и с ленного з н а ч е н и я дисперсии ил и квадратично г о отклонения. Является л и дисперсия, равная, например, 777, боль ш о йи л и малой? Ч т оз н ач и т стандартное отклонение 0,51-10"4? Ст о ч к и з р е н и я ценности информации оповедении случайной величины то, ч е м б о л ь ш е дисперсия (т.е. б о л ь ш е ра з б ро сз начений случайной в ел и чины от н ос и те л ь но центра распределения), т е м оценка Мххуже, информация о с ущностиявления, процесса разнесена на большем интервале. П р и с б л и ж е ни из начений стандартного о т клонения и с реднего з н а ч е н и я ин формативность уменьшается, а е с л и врезультате обработки д а н н ы х по л у ч е н о xcp<sx, т ол и бо ошибки измерений велики, л и б о в явлении, п ро ц е сс е отсутствует физическая сущность. Уместно т а к ж е отметить, ч т оо д н и ми з проявлений б о л ь ш и х чисел закона является т о т факт, ч т о с т а н да р тн о е отклонение стре м ит с я кн у л ю сростом п (п-*») ип р и фик сирова н но мп о н он е превосходит 1 /2|s/fT. Д л я интерпретации ка к дисперсии, т а к и квадратичного отклоне н и яг л а в н о ен е получить числ е нн ы ез н а че н и я последних, а пр авильно с р а в н и т ь дисперсию исследуемой выбо р к и скакой-либо другой диспер сией, и л и квадратичное о т клонение ум ножить н а правильно выбран н ы й критерий Стьюдента, чтобы п олучить доверительный интервал д л я неиз в е с т н о г о математического ожидания. - 296 Пример 1. Оценкаматематического ожидания идисперсии Рассмотрим процедуру оценки математического о жидания и диспер с и и случайной величины н а примере определения коэффициента физичес к о й проницаемости цементного камня. Коэффициент проницаемости опре д е л ё н п о результатам лабораторного исследования шест ио б р а з ц о в це м е н т н о г о камня. В э т о м при ме р ер е ч ь идёт т ол ько о б определении ко э фф и ц ие н та физической проницаемости цементного камня. П р иэ т о м предполагается, ч т оо шибки измерений подчиняются закону н о р мального распределения. Результаты ра счётов приведены в таблице 2. Т аб л и ца 2. г Коэффициент физической проницаемости, к•101 3 м2 1 2 3 4 5 6 0,239 0, 2472 0,2421 0,2525 0,2469 0,2508 П о результатам шес т и определений определяем среднее арифмети ческое п о формуле (1.55): _ +К о+. ..+fCg к = -------------- = 0, 2464-10-13 м2. 6 Примечание: формуле (1.55) в данном случае аналогичны формулы (1.72), (1.122), (1.212), (1.247), (1.269), (2.15). Определяем дисперсию случайной величины п о формулам (1.54), (1.137) и л и (1.56): S2 = --- -— Zon(JCi-?c)e = О , 26092- 1СГ30. о п п0П- 1 г=1 Примечание: формуле (1.54) в данном случае аналогичны формулы (1.73), (1.124), (1.248), (1.268), (1.319), (2.14). Н а первый взгляд кажется, ч т о дисперсия, равная 0,26092-Ю'30, о ч е н ь м а л ая величина, почти ноль. Е с т ьл и смысл с чи т а т ь дальше? И звлечём квадратный корень: - 297 - S = ±1Г ¥~= ±/ 0,26092'Ю'30 К on = ±0, 5108• 10“15. Величина sK=±0,5108•10”15 является квадратичным отклонением и л и стандартным отклонением. Вычислим коэффициент вариации п о фор м у л е (1.28), с равнивая квадратичное отклонение sk с о средн и м значе нием коэффициента проницаемости: sk О,5108■10"15 Vx= ----- = -------------- - 0,0207. kcp 0, 2464* 10*”13 Очевидно, ч т о квадратичное о т клонение вполне сои з ме р и мо с о с р е д н и м значением коэффициента проницаемости. Коэффициент вариации У х=0,0207 характеризует относительную ошибку эксперимента. Е г о о б ы ч н ов ыражают впроцентах - 2,07%. Э т о хорошая т о чность результа тов. Приблизительный интервал, вкотором ст о й или иной вероят но с т ь ю (но н ев ы ш е 0,683) мож ет находиться математическое о ж и д а н и е коэффициентафизической проницаемости исследованного образца це м е н т н о г о камня, выражается стандартными границами: fc±sk=(0,2464•10“13±0,5108•10"15) м2. С л е д у е т заметить, ч т о математическое о жидание может находиться из апред ел а ми стандартных границ. Д л ят о г о чтобы мож н об ы л о ука з а т ьнадёжность, д о с т ов е рн о с ть интервала, необходимо воспользовать с я соотношениями (1.74), (1.249). Внача л е нуж но з адаться вероят н ос т ь юо ш и б к и или, точнее, д оверительной вероятностью обозна ч е ни я интервала, вкотором может находиться неизвестное з н ач е ни е коэффи ц и е нт а проницаемости образца це м ентного камня. Висследованиях п р ик л ад н о го характера доверительная вероятность принимается о б ы ч н о Р=0,95. Соответственно, у р о в е н ь значимостиа=1-Р=0,05. В с л у ч а е н о р м а ль н о распределённой с лучайной величины э т о соответствует веро ятно ст и попадания случайной величины винтервал Мх-2б<Х<Мх +2б или, п оа н а л о г ии свероятностью 0,997, правилу двух сигма (вероятность п оп а д а н и я случайной величины винтервал Р(Мх-Зб<Х<Мх +Зб)=0,997 на з ы в а е т с я правиломтрёх сигма). В ычислим доверительное отк л он е н ие коэффициента проницаемости д л я уровня значимости а=0,05. По таблице (Приложение 6) найдём зн а ч е н и е двустороннего критерия Стьюдента д л я степеней свободы числа - 298 v=6-l=5. Табличный критерий Стьюдента t°*05/2=2,57. ф о р му л е (1.69) доверительное отклонение: Вычислим п о a sx а 0,5108•10“15 s -------- t -----------------2, 57=0,536-10"15. X V ___ 1/гГ /б г д е 2,57 7 двусторонний критерий Стьюдента д л я у р о в н я з н а ч им о ст и а=0,05 ичисла степеней свободы v=6-l=5. Теп е рь результаты расчётов б о л е е определённы, сдоверительной вероятностью Р=0,95 математическое о ж ид а ни е коэффициента физической проницаемости исследованного образца цементного к а м н я находится в интервале: О,2464•10"13-0, 536•10"15 < Мк < 0,2464•10"13+0,536•10’ 1 5. Практически, ч а ще используется за п и с ь в виде: 7с=(О, 2464• 10"1 3±0, 536• 10"15) м2. Округляя, получим: 7с=(0, 246±0, 005) -10' 13 м2. Т е п ер ь мож но обсуждать в о п р о со’ ’ выпадающих точках", т.е. о з начениях к, находящихся з а пределами доверительных границ и све р оятностью Р=0,95 являющихся результатами грубых ошибок эксперимен татора. Такими точками являются з начения 0,239-10"13 и 0,2525-10'13. Удалим их и произведём расчёт с оставшимися ч е ты р ьм я значениями: „ _ ко^ка^кх^кс к = ------------- = 0, 24675-10”13 м2. 4 Дисперсия случайной величины: S 2 = -------— оп 1 ° П( к 1- к ) г = 0 ,1 2 7 5 •10“ 30 . п0П- 1 1=1 Квадратичное отклонение: S - ± / * Г -.= ± / к оп 0, 1275 *Ю~30 = ±0, 357 • 10" 1 5. Доверительное отклонение: a Sx S ------------------- t X _____ \/ П а V 0 , 3 5 7 • 1 0 " 15 -- ---------------3,18=0, 5 6 7 6 -10" 15 - 299 г д е 3,18 - двусторонний крите р и й Стьюдента д л я уро вн я з н а ч им о ст и а=0,05 и чис л а степеней с вободы v==4-l=3. Сдоверительной вероятностью Р=0,95 математическое о ж и д а н и е коэффициента физической проницаемости исследованного о б р аз ц а це ме н тн о го к а мн я находится винтервале: 0,2468-10-13-О, 5676-10-i5 < Мк < 0. 2468-10'13+0, 5676-10’15. И л и к=(0,2468■10'13±0,5676■10"15) м2. Очевидно, ч т о процедуру отсеваможно повторить, н оо б ы ч н о это г он е делают. 2.6. Обобщение распределений Д авайте е щ ёр а з посмотрим н а гистограммы т а к ого п р о стого собы тия, ка кб р ос ание монеты (рис. 2.2,6, 2.8.). Сувеличением ч и с л а задаваемых испытаний плотн ос т ь вероятности исходов приобретает ко локолообразную форму. С лу ч а йн о ст ьл и это? В н е всяк ог ос о м н е н и ян е име е т смысла искать какую-либо причинно-следственную с в я з ь меж д у т е х н ик о й подбрасывания монеты - высотой, скоростью закручивания, температурой, влажностью воздуха и е г о дуновениями в ов р е м яп о л ёт а ип адением монеты т о йи ли друг о й стороной. М а л о смысла и в п о сках с в я з и способа б ро с а ни я игральных костей и результата - д л яо д н о й к о с т ие с т ь шесть равновероятных исхо д о в падения какой-либо сторо ной, п адение двух костей с оздаёт трид ца т ь шесть равновозможных с о четаний, а т р и кости п р и падении с о з д аю т двести шестнадцать равно возможных сочетаний. Несколько иначе обстоят дела срезультатами б р о с а н и й - числом очков. Числа о ч к о вп р и бросании о д но йк о с т и- с о б ы т и я равновероятные (рис. 2 .2,6), двух костей - симметричное расп р еделение смаксимумом п р и7 о ч к ах (рис. 2.9,6), а гистограммы ре з у л ь т а т о в б ро с ан и я трёх игральных к о стей (рис. 2 .10,6) и четы р ёх (рис. 2 .1 1 ) весьма похожи н ап лотность вероятности распределения ч и сл а "орлов" п р и бр осании монеты (рис. 2.8). Азартные игры извест н ын ео д н о столетие, а вXVII в . врезультате анализа азартных и г р Б.Паскаль (Pascal Blaise: 1623-1662) и X.Гюйгенс (Huygens Christi an: 1629-1695) заложили о с н о ву математическойтеории вероятности. Математики, занимавшиеся теорией вероятности, п р и анализе азартных игр, стрельбы п о мишеням и т.п. рассуждали приблизительно о д и н а к о в о - е с л и максимально т о ч н о зафиксировать начальное положение и ско~ - 300 р о с т ь кости, монеты, п у л и (в дальнейшем - объекта), физические ха рактеристики воздуха и объекта, т оп о закон а м классической механ и к и иаэродинамики можно рассчитать движение идеального объектаи дос т о в е р н о предсказать исход опыта. В э т о йс в я з и уместно процитировать П. Лапласа: "Ум, которому б ы л иб ыизвестны д л я какого-нибудь данно г о моме н та в с е силы, одушевляющие природу, и относительное положе н и е вс ех е ё составных частей, е с л и вдобавок о но к а за л ся доста то ч но о бширным, чтобы подчинить э т ид а н ны е анализу, обня лб ыв о д н о й фор м у л е дв ижения величайших т е л вселенной наравне сдвижениями легчай ш и ха т о м о в ... и будущее, к а к и прошедшее, предстало б ыпере де г о взором" (P.S.Laplace; 1749-1827). Н о практически начальные усло в и ян е могут никогда б ы т ь зафик с ированы сабсолютной точностью, и, например, д а ж ео ч е н ьм а лы е из м ен е н и я начальной с к орости объ е кт а приводят кдругому результату. Т а к ж е обс то я т дела сграничными условиями - движением возд ух а в о в р е м я полёта объекта. Таким образом, в отношении результата движе н и я впространстве игральной к о с т и (монеты, пули, шарика рулетки) в ыв од т а к о й - в ов р е мя д вижения т ела впространстве н ан е г о дейс т в у е т множество с и л [факторов), каж да я и з которых несоизмеримо м е н ь ш е с и л ыначального толчка (в противном с л у ча е возникает в о п р о с ожульничестве) и, сдругой стороны, максимальная и з множества с и л п ов е л и ч и н е мала п о сравнению с ов с е й суммой. Другими словами, ре з у ль т ат ыб ро с а ни я монеты, кост и и т.п. важны как тако в ые (для игро ков), н оо н ин е содержат в с е б е никакой полезной информации опри чинно-следственных связяхпроцесса испытания. См. также Равновозможность. Сиграми и стрельбой п о мишени, впервом приближении, м ы ра зобрались. Посмотрим, как вчеловеческой популяции. Н а рис. 2.15 приведена гистограмма распределения взрослых мужчин п о росту, ха р а к т е р распределения поч ти н е от л ич а е тс яо т симметричной колоколо о б р а з н о й формы [32,33]. Гистограмма распределения взрослых мужчин п о весу (рис. 2.16) с л е г к а асимметрична, н оэ т ом о ж н о объяс ни т ь склонностью ч а с т и муж ч и н кперееданию (рост определяется генетическими факторами, поэто м ут а к идеальна гистограмма н а рис. 2.15; в е с человека т а к ж е опре д е л я е т с я генетическими факторами, н о и, в значительной части, раци о н о мп и т ан и я ифизическими нагрузками). 14 8 15 5 i ?8 18 5 Н,см Рис. 2.15. Гистограмма распределения взрослых мужчин по росту 48 68 88 10 8 т' кг Рис. 2.16. Гистограмма распределения взрослых мужчин по весу Но, в общем, распределения взрослых мужчин п о росту и, отчас ти, п о весу также н е отличаются о т колоколообразной формы, т.е. н е н ес ут в с е б е какой-либо существенной информации овлиянии н ан и х процессов, протекающих вчеловеческой популяции. А как обст оя тд е л а сраспределениями внеживой природе? Обработаем интереса р а д и раз м е р ыпляж н ой гальки Черноморского побережья. Результаты статисти ч е с к о г о анализа размеров сорока ш е с т и галек показали, ч т ои храсп п ы т н ы й р е д е л е ни е практически н е от л ичается о тнормального (п=46; о к р и т е р и й Х2=1,315 < Х20 j05=7,81), рис. 2.17. Сплошной линией пока з а н о соответствующее нормальное распределение спараметрами эмпири ческого. Невозможно представить процесс, сопоставимый п о длитель н о с т и ивеликому многообразию п ри ч ин окатываемости втехнике итех н ологии. I, мм Рис. 2.17. Гистограмма распределения величин размеров пляжной гальки М ы убедились в том, ч т о врезультатах подбрасывания мон е ты и игральных костей налицо несколько общ их моментов. Во-первых, ре з у л ь т а т имеет весьма далёкую и опосредованную множественную с в я з ьс у с л о в и я м и испытаний, т.е. причинно-следственная связ ь между услови я м и испытаний и результатами с л а б о выражена или практически отсутс - 302 твует. Во-вторых, случайная величина, плотность вероятностей кото р о й приближается к форме колокола, содержит в се бе минимум информа ц и и опричинно-следственных связяхпроцесса. И в-третьих, кривая п л о т н о с т и вероятностей симметрична относительно центра распределе ния. Ака к втехнологических процессах? На рис. 2.18 изображена гистограмма распределения м еханической скорости бурен и я (п=97, о п ы т н ы й критерий Х20П=5,92<Х20(05~11, 07), а на рис. 2.19 гистограм м араспределения величин проходки на алмазную коронку (п=79, опыт н ы йк р и т е ри й Х20П=5,155<Х20(05=11, 07) [16, 19]. Внешне о н и похожи. С п л о ш н ы м и линиями показаны соответствующие нормальные распределения спараметрами эмпирических. 0.65 0,7 0,75 0.8 0.85 W, м/ч Рис. 2,18. Гистограмма распределения механической скорости бурения 5 б 7 8 9 10 11 12 Н,м Рис. 2.19. Гистограмма распределения величин проходки на алмазную коронку Попробуем обработать результаты анализа кернов "пустых" разве д очных скважин на проницаемость (рис. 2 .20) и пористость (рис. 2.21). Формы гистограмм тоже напоминают колокол. Сплошными л и н ия м и п оказаны соответствующие нормальные распределения спараметрами э м пирических. Хи-квадрат критерии равны, соответственно, Хг0п=12,26 и Хго п=8,86. Результаты проверки основной гипотезы д л я случайных вы б о р о к об разцов горных пород на проницаемость и пористость, соот ветственно, таковы: (п=171; X2 0„=12,26<Хг0 _05=12,59) и (п=164; Х2о п=8.86<Х2о,05=12, 59). Н арис. 2.7, а изображенырезультаты седиментационного анализа с у с п е н з и и цемента вдистиллированной воде. Кривая плотности распре д е л е н и я цементных частиц п ологарифмам радиусов тоже напоминает ко локол. Е с л и б ын е подписи, в с еэ т и рисунки можно б ы л об ыперепу тать. Значит, и здесь наблюдается т аж е картина, ч т о и вазарт н ы х (бессмысленных, п о существу) играх - множество факторов, в лия ющ и х н ат е че н и е процесса, н о каждый и з факторов п о величине мал п о срав- О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 К, м Ш Рис. 2.20. Гистограмма распределения проницаемости образцов горных пород (керны "пустых" разведочных скважин) Р, % Рис. 2.21. Гистограмма распределения пористости образцов горных пород (керны "пустых” разведочных скважин) н е н и ю ссуммой. Другими словами, множество мелких причин п риводят к соответствующему множеству следствий, и вконечном итоге интеграль н а яс в я з ь между причинами и следствиями становится с л а б о вы р а же н но й и л ит е р яе т ся вовсе. Процесс с та н ов и т ся безличным, внём т е р я е т с я ин ф ормация о причинно-следственных связях, - процесс ра зв и ва е т ся случ а й ны мобразом, причём э т а случайность впределе с та новится нор мой. Н о стои т одному или нескольким факторам выделиться и з "серой массы", приобрести величину, достаточную д л я оказания сущест в ен н о го в л и я н и ян аразвитие процесса, и картина меняется. Например, вслу ч а е гидратации цемента достаточно добавить вводу з а творения неко т о р ы е реагенты, и распределение частиц п о радиусам изменяется. Н а рис. 2.7,6 приведена плотность распределения частиц ц е м е н т н о г о р а с тв о р а сдобавлением реагентов, разобщающих частицы це м е нт н ог о р аствора в процессе гидратации. Вт а к о й системе механизм а гр е г а ц и и ч а ст и ццементного раствора изменяется, и распределение частиц п о р а д иу с а мприобретает асимметричную форму - максимум количества ч ас т и цс дв и н у т в сторону бол е е мелких частиц (рис. 2.7,6). Т а к о й це м е н т н ы й раствор является седиментационно устойчивым, о н необходим д л я цементирования наклонно направленных и горизонтальных скважин. А с к о л ь к о информации овлиянии т е х или иных реагентов н ап р о ц е с с г и д р а т а ц и и можно извлечь и з результатов таких экспериментов?! Исс л е д о ва н ие проницаемости и пористости образцов кернов Ув а р ов с к о г о н е ф т я н о г о месторождения показываетна существенное отличие ф о р м ы гистограмм о т колоколообразной формы (рис. 2.22 и 2.23). Р е з у ль т ат ы п р о в е р к и основной гипотезы д л яо б ра з ц ов кернов продуктивных с к в а ж и н н а проницаемость и пористость, соответственно, таковы: (п-181; О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 К, мкм Рис. 2.22. Гистограмма распределения величин абсолотной проницаемости (мкм2 ) образцов горных пород нефтяного пласта Уваровского месторождения (пласты Cla, C II, CIV) О 10 20 Р, % Рис. 2.23. Гистограмма распределения величин пористости (%) образцов горных пород нефтяного пласта Уваровского месторождения (пласты Cla, C II, CIV) е т с я, ч т о асимметрия плотностей распределения пористости ипроница е м о с т и является сопутствующим признаком присутствия нефти и л и газа. Бывают случаи, когда на результат события оказывает существен н о ев л и я н и ен е выделение о д н ог ои л и нескольких факторов и з "серой массы", аметодика испытания. И з вестно немало утверждений, основан ныхн анезнании сущности процесса, например: "бутерброд всег д а па д а е тмаслом вниз". Группа сотру дн и ко в университета города К о л у м б у с (США), воодушевившись на экспериментальную проверку э т о г о ш и р о к о распространенного утверждения, доказала, что вероятность т а к о г о ог о р ч а ю щ е г о события 80% [22]. Н о исход падения бутерброда мас л ом в н и з в восьмидесяти процентах случа е в обусловлен н е закон о мМ е р ф и ("Всё. ч т о может плохо закончиться, закончится плохо!"), ав ы с о т о й с т о л а (73 см). Падая стакой высоты, бутерброд просто н еу с п е в а е т с д е л а т ь полный оборот. Когда ж е бутерброды стали ронять стрёхмет р о в о й высоты, т о ровно вполовине случаев он и оказывались н апо лу м ас л о м вверх. Вспомним подбрасывание монеты. Играющие неукоснитель н ос о бл ю д аю т два условия - д ос таточно энергичное закручивание моне т ыивысоту подбрасывания, превышающую диаметр монеты р а з впятьде сят. Е с л их о т яб ыо д н о условие н е выполнилось, т о результат оспори вается. 2.7. Стандартизация распределений Диапазон распределения физических величин, окоторых в ы ш еш л а речь, достаточно широк. Механическая скорость бурения изменяется о т 0,65 д о 0,88 м/ч (рис. 2.18), проходка н а алмазную коронку о т5,1 - 305 д о 1 1,9 м (рис. 2.19), пористость образцов и з непродуктивных плас т о во т 10 д о 28%, (рис. 2 .2 1 ), абсолютная проницаемость "пустой" п ор о д ыо т 0,025 д о 0,49 мкм2 (рис. 2.20), аразмер пляжной г а л ь к и о т 10 д о 50 мм, (рис. 2.17). Естественно, ч т он а количественном у р о в н е сравнивать их д ос таточно неудобно. Х о р о шо б ып ривести в с е э т ифизические величины к сопоставимым числам. Одн им и з пр и ё м о в яв ля е т с я приведение физических величин к безразмерному виду. Вн а у к е е с т ь несколько приёмов приведения физических величин к безразмерно м у виду. О б щ и м случаем преобразования физических величин к безразмерно м ув и д у является деление исходной переменной величины н а аналогич н у ю постоянную. В зависимости о т того, как ая физическая велич и на п риним а ет с яз а постоянную, различают нормирование переменных, коди р ование переменныхи приведение кпараметрическому виду. П р и норми р о ва н ии переменных з а постоянную величину принимается интервал Утах^Утт» ПРИ кодировании переменных, в задачах планирования экс периме н та ., половина э т о г о интервала, а впоследнем с л у ча е- и с х о д я и з конкретных обстоятельств. Внашем с л у ч а е рассматриваются распре д е л е н и я случайных величин, гл а в ны м и параметрами которых я в л я ю т ся с р е д н е е значение, дисперсия иквадратичное отклонение (которое в э т о м с лу ч а е удобнее называть стандартным отклонением), п оэтому предпринимаемая нами процедура во б ще мс л у ч ае б у д е т называться при веде н и ем к параметрическому виду, а вчастном - стандартизацией. Р а ссмотрим е ё подробнее. Поскольку мы пока рассматриваем симметричные распределения, п р е ж д еч е м производить приведение переменных к параметрическому ви ду, целесообразно п олучить распределения сцентром в нуле, т.е. п р о из в е ст и центрирование распределений. Центрирование с лу ч а йн о й ве л ичины производится путём вычит а ни яи зн е ёс реднего з н а ч е ни я выборк и (1.282), (1.283): э е= х - Мх, (2.16) ап 1 — пр 1 _ /у, * (2.17) г д еМхи х - математическое о ж идание и е г о оценка соответственно. П ол у ч ае м ое врезультате распределение называется центрированным. С ледующий вопрос, к оторый возникает перед нами, - а к а ку ю фи з и ч е с к у ю величину принять з а постоянную п р и делении центрированной? Поскольку вданном с л у ч а ев р я дл ие с т ь смы с л искать какую-либо о б щ у ю постоянную величину, м о ж н о попробовать следующий параметр, ха - 306 рактеризующий выборки, - в ыбор о чн о е стандартное отклонение, sx. В о т н а ст а ндартное отклонение sx мыи б у д е м делить центрированную вели ч и нук а ж д о г о распределения: х<- X (2.18) Zi= — ---- , Sx п оа н ал о г ии с процедурой стандартизации нормального распределения (СМ. формулы (1.121), (1.193), (1.225), (1.299), (2.20)): б х г д еМх- математическое ожидание, ах- е г о оценка, 6Х- стандарт н о е отклонение, a sx - е г о оценка, точнее, квадратичное о т к ло н ен и е и л и выборочный стандарт. См. т а к ж е (1.223), (1.224), (2.22) и (2.23). О п и с ан н а я процедура называется стандартизацией случа й но й вели чины, врезультате получается распределение сцентром внуле. Ре з у л ь т а т ы стандартизации приведены втабл иц е 3, ан а рис. 2.24 изоб р аж ен ыв с е стандартизованные распределения. Таблица 3. Результаты стандартизации распределения случайных величин характеризующих механическую скорость бурения, проходку на алмазную коронку, пористость и проницаемость Физические зн а ч ения случайных в е л и ч и н Физическая в еличина Стандартизованные з н а ч е н ия случайных в еличин -2,0 01 02 Механическая с к о р о с ть бурения, м/ч Проходка н а алмазную коронку, м 3 -1,2 6 -0,4 23 0,4 29 1,2 19 2,0 6 4 0,033 0,067 0,254 0, 322 0,211 0, 067 0, 045 0 0 7 21 24 18 9 0,089 0,266 0,304 0,228 0, 114 0 0 03 14 2 4 16 33 50 45 П ористость плас т о в "пустых" разведочных с кважин 0,024 0,097 0,201 0,305 0,274 0, 085 0,012 04 15 6 2 18 42 52 36 Проницаемость п ла с т о в "пустых” разведочных скважин 0,012 0, 105 0,246 0,304 0,211 0,088 0, 035 - 307 h ----проницаемость; ...- пористость; --- скорость; — проходка. 0,3 0,2 J__■!..„1---L Поскольку все распределения достаточно похожи, з н ач и то б щ и мв нихк а кр а з иявляется множество причинно-следственных связей, каж д а яи з которыхнезначительна п о сравнению с общей суммой. П о скольку распре д ел е ни я таких разных физических величин имеют весьма б л и з к и е характеристики, есть смысл описа т ь их одн им уравнением. Таким урав н е н и е мявляется зако н нормального распределения. 2.8. Нормальное распределение Нормальное распределение, распределение Гаусса - предельный з а к о нраспределения событий иявлений, являющихся результатомдейс т в и ямножества детерминированных факторов (физических причин, слу ч а й н о сочетающихся), каждый и з которых п о интенсивности н е выделя е т с я н а фоне других. Х а о с и ди н амичность в причинно-следственных с в я з я х иих результат математически выражаются экспоненциальной функцией: - (х-Мх)2/2б2 А X е ( 2 . 20 ) р(х) \/гхб* X г д е р(х) - плотность вероятностей случайной величиныX, Мх- мате матическое ожидание случайной величиныX, б2х - генеральная ди с пер сия . Математическое ожидание идисперсия полностью определяют рас п о л о ж е н и е и форму кривой y=f(x; Мх, 6Х), (Рис. 2.25). Нормальное распределение б ы л о найдено в 1733 г . А.Муавром и не з ав и си м о в 1770-1771 гг. Даниилом Бернулли ка к предельная форма - 308 - Рис. 2.25. Графики плотности нормального распределения для различных значений математического ожидания и дисперсии (площадь под каждой кривой плотности вероятностей равна 1) биномиального распределения (анализ частот р ождений девочек и мальчиков). Позднее, в 1809 году, б ы л о формализовано К.Гауссом (за к о нраспределения ошибок наблюдений), в 1812 году П.Лапласом (дока з а л "теорему Муавра-Лапласа”заново) инаконец в 1859 г. Дж.Макс в е л л о м (закон распределения молекул идеального газа п о скоростям). Понятие "н ормальное распределение" предложил К.Пирсон приблизитель н о в 1894 г. График п лотности нормального распределения называется нормаль н о й к р и в о й или кривой Гаусса (Gauss Carl Friedrich; 1777-1855), (рис. 1.1,3, 1.20,6, 1.34,2, 1.43, 1.52,2, 2.25). Кривая но рм а ль н о го ра с пределения y=f(x; Мх, 6Х) симметрична относительно ординаты, п р о х од я ще й через точку х=Мх, иимеет в эт ой точке единственный мак симум, р авный 1/1/£я62х . Квадратный корень и з дисперсии назыв ае т ся стандартным отклонением и л и стандартом. Обозначается греческой бу к в о й бх. Вероятное отклонение д л я нормального распределения р а в н о 2/Збх-0,6745бх . С имметричное распределение вероятностей с л у ч а й н о й в ел и ч ин ы буде т подчиняться з а ко н у нормального распределения, е с л ив интервале Мх-6х <Х<Мх+6х б уде т находиться 0,683 значений с л у ч а й н о й величины, винтервале Мх-2бх <Х<Мх+2бх - 0,954 значений, а винтер в а л еМх-36х <Х<Мх+36х ) - 0,997 значений. Перегибы кривой н а б л ю д аю т ся п р и значениях х=Мх-бхи х=Мх+бх. Площадь, заключенная п о дк р и в о й нормал ь но г о распределения, равна единице. Э т о означает достовер ность (б олее того, неизбежность) принятия случайной величиной како го-либо значения винтервале о т -с о д о +«>. Симметричность к р и в о й п л о т н о с т и вероятностей означает, ч т о причинно-следственные с в я з и д ей ствующие при формировании признака (в системе) уравновешивают д р угдруга. - 309 З а к о н нормального распределения вероятностей з а н им а ет цент р ал ь н о ем е с т о в математической с т атистике и теории вероятностей, п р о яв л е ни яэ т о г о закона достаточно ч а с т о встречаются в природе. П о с р а в н е ни юс о все м и другими распределениями случайных велич и но н на и б о л е ег лу б о к о разработан теоретически, и в с е эмпирические распре д ел е н и я внач а л е принято с р авнивать сним. Достаточно ч а с т оз а к о н нормального распределения характеризует е с т ественный ф о н (шум) т о йж е природы, ч т о и среда, в к о т о ро й про исхо д и т событие, явление ил и развивается процесс. Иногда, к а кв с лу ч а я хМаксвелла распределения, излучений отдалённых звёзд, э т о о д н оит о же. Втех случаях, когд ан аф о н е шума выделяется з н а ч и м ы й ф а к т о р ("полезный сигнал”), принимающий существенное участие (влия ние) вформировании случайной величины, можно говорить оз н а чи м ом и л и незначимом отличии распределения случайной величины в о в ре м е ни и/или пространстве о т закона нормального распределения. Множество событий, происходящих в природе, происходят с л у ч а й н о врезуль т а те одновременного вл и ян и ян а развитие с об ы т и я б о л ь ш о г о числа независимых детерминированных причин (факторов), и з кото ры х максимальная п о величине мала п о сравн е ни юс ов с ей суммой. Впреде ле, случайность начинает преобладать т а м и тогда, г д еик о гд а де т ерминизма (причинно-следственных связей) становится до с таточно д л я пр е вр а ще н и я вхаос*, и зк оторого рождается нормальное распределение с о б ы т и й впространстве и/или в о времени. Другими словами, количест в о перех о ди т вновое качество. П р иэ т о м множество причинно-следственных с вя з ей компенсируют д р у г друга, распределение со б ы т и й в пространстве и/или в ов ре м ен и с т а н о в ит с я симметричным, аинформативность событий рассеивается. О б ы ч н о не о братимо (например, невозможно указать д ействительные при чины, в л ияющие на показатель окатанности галек разного размера и л и распределение пляжной гал ь к ип о величине о с е й [391), иногда обрати м о (при математической обработке результатов геофизических исследо в а н и й скваж и н спомощью метода сглаживания можн о извлечь полез н ы й с и г н а лн аф о н е шума [23, 25, 67]). Аналогично, развивающиеся ц е п и причинно-следственных с в я з е йд етерминированных п ос в о е й физической с у щ н о с т и явлений приводят к детерминированно-стохастическому про *Примечание 19. Интересно заметить, что газ (< нем., голл. Gas или франц. gas) явля ется искусственным новообразованием брюссельского химика И.Б. ван Гельмонта (1577-1644) на основании слова Chaos - "хаос", найденного им у Парацельса. - М.Фасмер; (1886-1962). - 310 ц е с с у существования белковых и небелковых тел. Множество п р и ч и н в ли я ю щи хп р я м о или косвенно н а ро ст человека (рис. 2.15), н а разме р ы п ля ж н о й гальки (рис. 2.17), на механическую скорость б у р е н и я (рис. 2.18), на проходку (рис. 2.19), на проницаемость и п о ри с т ос т ь г о р н ы х пород (рис. 2 .20, рис. 2 .2 1 ) приводят кнормальному распре д е л е н и ю (рис. 2.24, рис. 2.25). Одн ими з практических с л едствий за к он анормального распределения является правило трёх сигма. Некоторый интерес может представлять совместное распределение д в у х независимых нормально распределенных случайных величин (рис. нормально распределённых случайных величин Классическими примерами распределения событий, по д чиняющихся з а к о н унормального распределения ка к точного, являются з а к о н расп р е д е л е н и я ошибок наблюдений и з а к о н распределения молекул идеально г ог а з ап о скоростям. Биномиальное распределение в пределе т а к ж е с в о д и т с я кнормальному распределению. Много л и смысла в э т ихрасп р еделениях сточки зрения физического содержания? Много л и информа ц и и опричинно-следственных с в я зя х впроцессе подбрасывания монеты, н аб л ю д е н и яе ё взлёта и падения? Конечно, играющие, о с п о р ив а я ре з у л ь т а т [, могут обсуждать детали от дельного испытания, н о ка кт о л ь к о испы та н ий становится много, вдействие вступает больших чисел з а к о н и криваяраспределение, вероятностей результатов становится п о х о ж е й н аколок о л (рис. 2.8). Приблизительно т ож е сам о е происходит п р и ра с смотрении игр сдвумя костя м и и гипотетических иг р ст р е м я иб о л е е кост я ми (рис. 2 .10,6, рис. 2 ,1 1 ). Достаточно часто нормальное распределение является предельным з а к о н о мд л я суммы большого ч и с ла детерминированных воздействий, - 311 к а ж д о еи з которых подчинено своему з а к он у распределения. П о сравне н и юс ов се м и другими распределениями нормальное распределение со д е рж и тм е нь ш е информации оявлении, чем люб ое другое распределение ст е мж е средним значениеми дисперсией. Другими словами, з а м е н а ис с ледуемого распределения эквивалентным нормальным н е может при в е с т и кпереоценке точности наблюдений. Примеры геологических характеристик, подчиняющихся з а конунор м а л ь н о г о распределения: топография, плотность морского песка, пока з а т е л ь сферичности д л я заданного размера частиц, показатель окатанн о с т и гал е кразного размера, уров е нь воды в скважине втече н и е вре мени, плотность гидросети, удел ь н ый в е с образцов и з гранитного мас сива, плотность заполнения з ё р е н впесчанике, размеры беспозвоноч ныхископаемых организмов, у г олнаклона морского пляжа, угол ск л о н а р е ч но й долины, угол падения кос ой слоистости песчаника, порис т ос т ь песчаника, содержание минералов впородах, содержание влаг и в оса дочных породах, содержание некоторых химических элементов [39]. См. также статьи Нормальное распределение, Причинность. 2.9. Стандартизованное нормальное распределение А налогично т о й процедуре, которую мы применили п р и о б о б щ е н и и разных распределений, м о ж н о произвести стандартизацию нормального распределения. Врезультате мыполучим выражение, которое можн о ин те г ри р ов а т ь в общ ем виде и табулировать (см. Приложение 3). Стан дартизованное нормальное распределение - нормальное распределение с нулевымматематическим ожиданиеми единичной дисперсией, п ло т но с т ь вероятности которого выражается формулой: 1 -z2/ 2 P(z) = ------ е , (2.21) |/£тГ г д е z - стандартизованная случайная величина, вокупн о ст и гипотетическим выражением: х - Мх 2 = --------; определяемая д л я со (2 .22) бх г д еМх - математическое ожидание, бх- стандартное отклонение и л и с тандарт (значения p(z) (ординаты) см. приложение 1). Для выборки: - 312 г д еmx - оценка математического ожидания, а зх - квадратичное от к лонение и л и выборочный стандарт. См. также (1.223) и (1.224). В ч а с т н о м случае: х1- X . Sx г д ех - арифметическое среднее. М о ж н о доказать, ч т о точками перегиба кривой плотности вероят н о с т ис л у ж а т точки х=±1 (в обще мс л у ч а е нормального ра с пределения т о ч к иа с =М х±бх). Функция распределения вероятностей о пределяется вы ражением: F(z) - 1 z2, \ е х р dz, (2.24) I/2К~ -00 Плотность вероятностейp{z) и ф ункция распределения вероятнос т е й F(z) стандартизованного нормального распределения приведены н а рис. 2.27. Максимум плотности p{z) соответствует 1//%Ж = 0,3987. F (z) 100,8 0,6- ( б о/ / 0 ,2 t 1 -3 -2 t Ч 1 0 1 2 3 z Рис. 2.27. Плотность вероятностей p ( Z ) (а) и функция распределения вероятностей F ( Z ) (б) стандартизованного нормального распределения (площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Выражение (2.24) е щ ё называют кумулятивной функцией распреде ления стандартного нормального распределения; в отличие о тнормаль н о г о (2.20) интеграл (2.24) табличный. Функция распределения F(z) опр е де л я ет вероятность того, ч т о случайная величина Z п р им е т значе н и е меньшее, чем z: F(z)=P(Z<z). (2.25) Вероятность наблюдения случайной величины Z в интервале 2z с центромвнуле (в математическом ож идании стандартизованной случай н о й величиныz) равна: - 313 P(-Z<Z<Z)=P(Z<Z)-P(Z<-Z)=2P(Z<Z)-1=2Ф (\ Z \ )-l. (2.26) Очевидно, ч т о вероятность наблюдения случайной величины Z з апр е д ел а ми интервала (-z+z) б у д е т равна сумме двух п л ощадей п о д к р и в о йп ое е краям, т.е. Р ( Z > |z | ) = P ( Z < ~ Z ) + P ( Z > Z ) = 2 Ф ( - | Z | ) = 2 { 1 —Ф ( |z | ) } . (2.27) Э т ос л ед у е ти з факта симметричностикривой p(z). Сфункцией стандартизованного нормального распределения (2.24) с в я з а н Лапласа интеграл (1.84): z е z dz Liz) = / 1 (2.28) О ф о р м у л о й L(Z)= 2Ф([/2^7-1. (2.29) П о аналогии снормальным распределением можно выделить интер в алык ратные стандартному отклонению (в данном случае бх =1 ) в пре д е л а х которых заключены площади 0,683, 0,954 и 0,997 (рис. 2.28). Рис. 2.28. Площади под кривой плотности вероятностей стандартизованного нормального распределения, заключённые в пределах интервалов, кратных стандартному отклонению (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) П р и проверке статистических ги п о те з практический ин т е р е с п редставляют критические з н ач е н ия стандартизованной случайной вели чиныza, которые определяют д л я принимаемого уровня з начимости а, руководствуясь правилом (1.183): - 314 00 ( «0 рZ > Z 1 1 г /2тГ ^а е х р < zz 'i , Л Idz - а 2 / г д еа - площадь под кривой стандартизованной плотности вероятностей р(х), характеризующая вероятность о шибочно отвергнуть вернуюнуле в у юг и по т е зу (рис. 2.29. См. так же уравнение (1.89) и соответствую щ и й раздел). Табулированные з н ачения z при различных уровнях значи м о с т иа приведены вПриложении 4. См. также Лапласа функция. Рис. 2.29. Плотность вероятностей стандартизованного нормального распределения. Заштрихована критическая область отклонения нулевой гипотезы, составляющая (X площади под кривой (общая площадь под кривой плотности вероятностей равна 1) Пример 2. Стандартизация выборочного распределения Результаты определения физической проницаемости о бразцов кер н о в продуктивных и непродуктивных пластов нефтяных месторождений представлены в виде следующего массива данных. К-106, представляю щ е г о собой, п о существу, случайную выборку: 0,175; 0.225; 0,15; 0,19; 0,265; 0, 232; 0,175; 0,358; 0,168; 0,19; 0,295; 0, 232; 0,15; 0,32; 0,37; 0,125; 0,23; 0,232. 0,27; 0,265; 0,32; 0,19; 0, 265; 0,44; 0,28; 0,2 1 ; 0,088; 0,232; 0,182; 0.125; 0,303; 0,315; 0,232; 0,183; 0,148; 0,1 ; 0,2 1 ; 0,232; 0.2 1 ; 0,145; 0,25; 0.48; 0,291; 0,25; 0.31; 0.17; 0.025; 0.232; Вэ т о м примере рассматривается задача формализации з а ко н а эм п и р и ч ес к о го распределения. Пр иэ т о м предполагается, ч т о мето д и ка э кс п еримента п о определению физической проницаемости о бр а зцов кер - 315 н о в отработанаи достигнута необходимая точность. Керны отбир а ли с ь и з различных скважин иразличных пластов. Образцы к е рн о вд л я изме р е н и я проницаемости отбирались г еологом с огласно задачам исследова ния, е г о концепции, опыту иинтуиции. Известно, ч т о мерой централь н о й те нденции враспределении случа й н ой величины в пространстве и/или в о времени является математическое ожидание. Математическое о ж и д а н и е совокупности - некоторая абстрактная величина, к о т ор у ю м о ж н об ы л об ы определить, о с уществив б ес конечно боль ш ое ч и с л о изме рений. Вреальной жизни мы всегда имеем выборку т о йи л ии н о й раз м ерн ос т и и в м е ст о неизвестного математического о ж и д а ни я вынуждены вычисл я ть оценку. Д л яо д н о г о ит о г ож е математического ож и д а н и я су щ е с тв у е т множество оценок, называемых средним значением выборки. С р е д н е ез н а че н ие выборки - параметр, определяемый сущностью з а д а ч и ик онцепцией исследователя. Внашем с л у ч а е са ма с ов о купность полностью н е определена. Э т о мож е тб ы т ь предполагаемое месторождение неф т и размером о тд о л е й ку б и ч е с к о г о километра д о нескольких, а, впределе, в е с ьз е м н о й шар. Математическое о жидание с т ановится в двойне неопределённым парамет ром. Н а ш а конкретная выборка к е рн о в является ничтожно мал о й д о ле й предполагаемого месторождения нефти. Добавление ил и изъя ти е образ ц о вк е р н о в изменит к а к математическое ожидание, та ки е г о о ц е н к у (поскольку и с а м о г о закона распределения е щ ё нет!). Поэтому исполь з о в а н и е впроцедуре стандартизации арифметического с р ед н е го - д а н ь т р а д и ц и и и факту е г о оптимальности в с л у ч ае нормально распределён н ы хо ш и б о к измерений. Сортировка элементов случайной выборки п о в еличине п о зволяет п о л у ч и т ьт а к называемый вариационный ряд: 0,025; 0,168; 0,2 1 ; 0,232; 0,28; 0,37; 0,088; 0,17; 0,2 1 ; 0, 232; 0,291; 0,44; 0,1 ; 0,175; 0,2 1 ; 0,232; 0,295; 0,48. 0,125; 0,175; 0, 225; 0,25; 0,303; 0,125; 0,182; 0,23; 0,25; 0,31; 0,145; 0,183; 0, 232; 0,265; 0,315; 0,148; 0,19; 0, 232; 0,265; 0,32; 0,15; 0,19; 0, 232; 0,265; 0, 32; 0,15; 0,19; 0,232; 0,27; 0,358; Во б щ е м случае, стандартизацию выборочного распределения м о ж н о п роизвести и б е з сортировки, н о поскольку конечными целями статис тической обработки данных я вляются построение эмпирической функции распределения (F(x)-x) ил и гистограммыраспределения (р(х)-х), оп - 316 р едел е ни е закона распределения случайной величины ихарактеристик распределения, т о построение вариационного ряда необходимо. П о с л е сортировки элемен т ов выборки п о величине м о ж н оу к а з ат ь р а з м а х выборки, о н равен Kmax~Kmin=(0, 48-0, 025)•10“6=0,455-10~6 м2. Вычисленные п о формуле (1.55) сред не е значение коэффициента проницаемости и п о формуле (1.54) диспер с ия случайной величины рав ныК=0,23■10'6 м2 и s2K=0,007366*10"12 соответственно. Квадратичное (стандартное) отклонение рав но 0,08583-10-6. Вычитая и з к а ж д о г о эл е м е н т а массива оценку математического ожидания, тх: 36 ^ = х ^~т%, внашем с л у ч а е сред н ее арифметическое: Пр — Гр _/У*! п о л у ч и мз н а ч е н ия центрированной случа й но й величины: -0,2049, -0,1419, -0,1299, -0,1049, -0,1049, -0,0849, -0,0819, -0,0799, -0,0799, -0,0619, -0,0599, -0,0549, -0,0549, -0,0479, -0,0469, -0,0399, -0,0399, -0,0399, -0,0199, -0,0199, -0,0199, -0,004896, 0,0001042, 0,002104, 0,002104, 0,002104, 0,002104, 0,002104, 0,002104, 0,002104, 0,0201, 0,0201, 0,0351, 0,0351, 0,0351, 0,0401, 0,0501, 0,0611, 0,0651, 0,0731, 0,0801, 0,0851, 0,0901, 0,0901, 0,1281, 0,1401, 0,2101, 0,2501. Р езультаты стандартизации распределения пористости пла с та п о фо р м у л е (2.23) представленыниже. -2,387; -1,653; -1,513; -1,222; -1,222; -0,9892; -0.9542; -0,9309; -0,9309; -0,7212; -0,6979; -0,6396; -0,6396; -0,5581; -0,5464; -0,4648; -0,4648; -0,4648; -0,2318; -0,2318; -0,2318; -0,05704; 0,001214; 0,02452; 0,02452; 0,02452; 0,02452; 0,02452; 0,02452; 0,02452; 0,2342; 0,2342; 0,4090; 0,4090; 0,4090; 0,4673; 0,5338; 0,7120; 0,7586; 0,8518; 0,9333; 0,9916; 1,050; 1,050; 1,493; 1,632; 2,448; 2,914. Продублируем результаты расчётов, представив их в т а б л и ц е 4. Д л я построения гистограммы эмпирического распределения м а с с и в зн а ч е н и й случайной величины (размах выборки) необходимо ра з де л и ть н аКинтервалов и подсчитать количество значений, попавших вк а ж д ы й j-тый интервал. Количество интервалов определяем п о формулам (1.52), (1.275): К=l+3,3321g(48)=6, 58-7, г д е 48 - ч исло наблюдений ввыборке. - 317 - Стандартизация в ы борочного распределения Центриро Коэффициент в а н на я слу В а р и а ц и о н н ы и ф и з и ч е с к о й г ч а й н а я вели проницаемости, р я д ч и н а К-106 м2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 0, 175 0, 175 0, 15 0,27 0, 44 0,182 0, 183 0,21 0,25 0,225 0,358 0, 32 0,265 0,28 0, 125 0, 148 0, 145 0,31 0, 15 0,168 0,37 0,32 0,21 0,303 0, 1 0,25 0, 17 0, 19 0, 19 0, 125 0, 19 0,088 0,315 0,21 0,48 0, 025 0,265 0,295 0,23 0,265 0,232 0,232 0,232 0,291 0,232 0,232 0,232 0,232 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 025 088 1 125 125 145 148 15 15 168 17 175 175 182 183 19 19 19 21 21 21 225 23 232 232 232 232 232 232 232 25 25 265 265 265 27 28 291 295 303 31 315 32 32 358 37 44 48 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 '0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2049 1419 1299 1049 1049 0849 0819 0799 0799 0619 0599 0549 0549 0479 0469 0399 0399 0399 0199 0199 0199 004896 0001042 002104 002104 002104 002104 002104 002104 002104 0201 0201 0351 0351 0351 0401 0501 0611 0651 0731 0801 0851 0901 0901 1281 1401 2101 2501 Таблица 4 Стандарти з о в а н н ая с лучайная величина -2 -1 -1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 387 653 / 513 < 222 222 9892 9542 9309 9309 v 7212 ^ 6979 6396 6396 5581 5464 4648 4648 4648 2318 2318 2318 , 05704^ 001214 02452 02452 02452 02452 02452 02452 02452 2342 2342 4090 4090 4090 4673 5338 , 7120 ' 7586 8518 9333 9916 050 050 , 493 < 632 , 448 ^ 914 . - 318 Величина интервала вфизических единицах: Дф= ( 0 , 4 8 - 0 , 0 2 5 ) • 1 0 “ 6/ 7 = 0 , 6 5 - 1 0 " 7 М2 . Величина интервала безразмерная: Д=2,914-(-2. 387)/7=0, 7573. Границы интервалов выборки определяются путём к последователь ныхприбавлений величиныинтервала А кпредыдущему значению границы (начиная спервого значения) п о формуле: VZj+jA, г д е zt - минимальное значение стандартизованной случайной величины, j - н о м е р интервала, 1< jOc. Границы интервалов выборки вфизических е д и н иц а х определяются аналогично путём к последовательных прибавле н и й величины интервала Дфкпредыдущему значению границы (начиная с п е р в о г оз на ч е ни я вариационного ряда) п о аналогичной формуле: И фj—х1+ JА ф, г д е х1 - пер в ы йч л ен вариационного ряда, j - ном е р интервала, Результаты з анесём в таблицу 5. Зафиксируем в таблице 4 зн а чк а м и "<" результаты разбиения раз ма х а выбо рк и на 7 интервалов и подсчитаем количество величин прони цаемости, попавших вкаждый интервал. Результаты подсчета ивычис л е н и я частот приведены втаб ли ц е 5. Вычислим з н ач е н ия п лотности р аспределения вфизических е диницах п о формуле Pj=h:}/Аф, австан дартизованных единицах п о фор му л е p^h^/A. Результаты з а не с ё м в табл и ц у 5. Результаты вычисления частот Щ приведены в таблице 6 (см. П р и ме р 3. "Проверка о сн о вн о й гипотезы”). С ле д у е т иметь в виду, ч т ол ю б о е отклонение наблюдаемой часто ты, n-j/n, о т теоретической вероятности увеличивает X2, п о э т ом у е с л и обнаруживается интервал вкотором количество элем е нт о в ме н ь ш е двух, т ое г о след уе то бъединить всоседним ил и уменьшить к . Гистограмму эмпирического распределения мож н о построить к а к д л я исхо д но г о массива данных, т а ки д л я стандартизованного распре деления. Графическое представление плотности распределения коэффи ц ие н т о в проницаемости о б р аз ц ов породы и з различных плас т ов в физи ч е ск и х единицах приведено н а рис. 2.30. 2.10. Проверка гипотезы озаконе эмпирического распределения Определение закона э мпири ч ес к о го распределения является е д в а л ин е глав но й задачей статистического анализа д а н н ы х выборки, ха- - 319 Таблица 5. Результаты расчёта эмпирических плотностей распределения коэффициентов проницаемости образцов породы из различных пластов 3 Физические границы интервалов, К-106 м 2 0,025 -2,387 0,09 -1,6297 0, 155 -0,8724 0,22 -0,1151 1 2 3 4 5 6 7 Плотность Плотность распределения распределения вфиз.единицах, безразмерная, Рd“ frj/ Pj ^ Стандарти зованные границы интервалов 0,285 0,6421 0,35 1,3994 0,415 2,1567 0,05506 2 0 , 6415-106 7 2, 2 4 3 - 1 0 6 0, 1925 12 3 , 8 4 6 • 10б 0,3312 16 5 , 1 2 8 • 106 0,4401 7 2 , 2 4 3 • 106 0,1925 2 0 , 6 4 1 5 • 106 0,05506 2 0 , 6 4 1 5 • 106 0,05506 2, 914 0,48 р<К)Ю* <>./ 0.2 0.3 0,4 0.5 К 1 0 6. м г Рис. 2.30. Плотность распределения коэффициентов проницаемости образцов породы из различных пластов в физических единицах (общая площадь всех столбиков равна 1) рактеризующих один признак совокупности. Эмпирическое распределение форм и р ую т внутренние п р и ч и н ы явления (физические причины), а н е б о л ь ш и хчисел закон, поэтому определение закона исследуемого расп р е д е л е ни я необходимо пр и выявлении механизма процесса и л и явления. Н апрактике, определить закон исследуемого эмпирического распреде л е н и я вв и д е уравнения о ч ен ьд а ж е непросто. В о многих случ а ях огра - 320 н ичиваются проверками г и по т ез о какой-либо степени соотве тс т ви я и сс л едуемого эмпирического распределения известным статистическим з а к о н а м и л и вычислением параметров (моментов) исследуемого распре деления. Е с л и гистограмма выборочного распределения близка кн о рмальной кривой, т о вначале проверяется о сновная гипотеза - гипотеза онор м альности изучаемого распределения. Е с л ип о результатам п р о ве р ки о с н о в н о й гипотезы окажется, ч т о исследуемое распределение н е отли ч а е т с я о тнормального, т он е сл е д у е т искать б ол ь ш ог о смысла, с у щественных причинно-следственных связей в распределении приз на к а и л и вфункционировании исследуемой системы. Е с л и исследуемое распределение асимметрично или п о результатам п р о ве р к ио сновной гипотезы окажется, ч т оо н о отличается о тнормаль ного, т о следует попробовать выяв ит ь существенные причинно-следс т в е н н ы ес вя з е й в распределении признака ил и в функционировании исл е д у е м ой системы, определить моменты распределения, кото р ы е и фор м али зу ю т эмпирическое распределение. П р и необходимости м о ж н о прове р и т ь гипотезы о соответствии исследуемого распределения другим распределениям, описанным влитературе. Всоответствии со б щ им и принципами проверки статистических ги п о т е з нулевой гипотезой я вляется гипотеза о б отсутствии р а з л ич и я междучастотами наблюдаемого признака винтервалах выборкии теоре т и ч е с ки м и вероятностями. Критерием, характеризующим величину (сте пень) различия, является xu-кваЗрат критерий, вычисляемый п о форму л е (1.276). Критическое з н а ч е н и е 6ахи-квадрат критерия вычисл я е тс я независимым путём спомощью формул хи-квадрат распределения. Проверка основной гипотезы осоответствии эмпирического расп реде л е ни я нормальному закону осуществляется путём срав не н ия опытно г о и та б л ич н ог о значений хи-квадрат критериев. Опыт ны й хи-квадрат к р и т е р и й вычисляется п о форму л е (1.276): к (пн-пр, ) 2 Xs = I ---2— £ 5--- , j=l пр} (2.30) г д е к - число интервалов, на которое делится диапазон изме н ен и я с л у ч а й но й величины, п - о б ъ ё м выборки (п>50+150), П д- ч и с л оэ л е м е н то в выборки, попавшее вj-тый интервал, pj - теоретическая веро я тн о с т ь попадания случайной величины в j-тый интервал. Резул ь та т п ро в е рк ио сн о вн о й гипотезы до статочно с и л ь н о зависит о т чис л а ин - 321 т е р в а л о в и числа элементов вкаждом интервале. Оптимальное ч и с л о ин т ервалов можн о определить п о фор му л е (1.52), (1.275), п р и э т о м с л е д у е т име т ь в виду, ч т о интервалы б е з элементов недопустимы, с т р о г о говоря, (желательно п-^5-10). Е с ли обнаруживаются ин терв ал ы сп3<2 , т о так и е интервалы объединяются ссоседними; ино гд а л у ч ш е уменьшить к. П р и вычислении теоретических вероятностей р3 г р а ни ц ы крайних интервалов не обходимо раздвинуть д о бесконечности, т.е . меньшую границу д о -®, а б о л ь ш у юд о +<». Чис ло ст епеней с во б о ды v к а ко б ы ч н о рав н о числу независимых источников информации, спо м о щ ь ю которых вычисляется X2: v=k- t-l, (2.31) г д е 1=2 - п от еря свободы п р и стандартизации случайной величины (при с та н д артизации вычисляются с ре д н е е значение случайной величины, хср, и дисперсия, s2). Единица в ы читается п от о й простой причине, ч т о не з ависимо вычисляются частоты т о л ь к о впервых к-1 интервалах, ачаст о та вк-то м интервале мож е тб ы т ьл е г к о вычислена: к- 1 nk= п- I ru, J=1 (2. 32) поскольку 1п^=п (в данном с л у ч а ес у м м а вероятностей равна единице, IPj=l). Таким образом, v=k~l-l=k-3. Очевидно, ч т о люб о ео тк лонение наблюдаемой частоты, rij/n, о т теоретической вероятности p-j увеличивает X2; э т о значит, ч т о ис п о л ь зо в ат ь след у е т односторонний (справа) критерий. Гипотеза онор мальном з а к о н е распределения принимается с уровнем значимости а=1-Р, е с л и опыт ны й хи-квадрат критерий меньше табличного. С ра в н ен и е исследуемого распределения с другими т а к ж е мож ет б ы т ь полезным. Например, а н а ли з распределения тонких п рослоев пес ч а н и к о в в пределах достаточно т о л с т о г о нефтеносного пласта п ос т а д е в я н о ст оп я т и скважинам показал, ч т оэ т о распределение оп и сы в ае т с я з ак о н о мПуассона [23]. Дементьев Л.Ф. иШурубор Ю.В. делают вывод, ч т о вероятной причиной реализации з ак о н а Пуассона ок азался специфи ч е с к и й механизм формирования нефтяного пласта. В общем, накопление о с а д к о в происходило непрерывно, причём осадки, давшие впоследствии пр о с л о и песчаников, накапливались влокальных областях н аф о н еб о л е е об ширных площадей, о с а д ки которых впоследствии преобразовались в непроницаемые породы. Локальные обла ст и вре м яо т врем е ни смеща лись, э т о прив е ло ктому, ч т о прос ло и песчаников оказа л ис ь преры - 322 вистыми, линзообразными, бес п ор я д оч н о разбросанными п о все м у разре з упласта. Дементьев л.Ф. иШурубор Ю, В. предполагают, ч т о вб оль ш ин с т в е случ а ев прослои песчаников, с к в о зь которые прошла т аи л и и н а я скважина, выклиниваются в е в окрестностях, н ед о х од яд од р угих скважин. Е с л и соседние с кважины проходят с к в о зь прослои песчаников, т оэ т ип рослои локализуются с о в се м вдругих частях разреза пла ст а (почти вполовине скважин прослоев песчаников нет!). Вт а к о й стрик т у р е распределения прослоев песчаников п о разрезу нефтеносного п л а ст а н ет смысла проводить межскважинную корреляцию песчаниковых прослоев, стро и ть карты распространения различных прослоев песчани к о вп о площ ад и месторождения; в р яд л ип р и разработке т а к о г о плас т а внё мб у д е т послойная упорядоченность фильтрации флюидов и т.д. Е с л иб ы распределение песчаниковых прослоев в нефтеносном п л а с т е описывалось биномиальным законом, т о вывод б ы лб ыдругим. К а квс л у ч а е сподбрасыванием монеты ("орёл" и ли "решка”), осадкона копление должно б ы л ои д ти путё м чередования продолжительных пери о д о ву с иленного отложения п е с ча н ог о материала с периодами отсутс ы пласт, д л я которого м о ж н о т в и я песка. Врезультате сформировался б о с у щ ес т ви т ь межскважинную корреляцию песчаниковых прослоев и пост р о и т ь карты их площадного распространения. П р и разработке т а к о г о п л а ст а фильтрация флюидов б у д е т характеризоваться послойной упоря доченностью [23]. П р и изучении гистограммы эмпири че с ко г о распределения в а ж н о об р ащ а т ьв н имание на асимметрию, н а островершинность ил и плосковерш ин н о ст ь распределения, н а неоднородности гистограммы. Значимое о т л и ч и е распределения о т нормального указывает на наличие фактора, в ыделяющегося и з серо й массы множества несущественных. С т е п е н ь ми нерализации породы может убыв а ть п о экспоненциальному з а ко н у вза виси мо с ти о трасстояния д о источника минерализации. Так а яж е экспо ненциа л ьн а я зависимость с у ществует между размерами переносимых час т и цо с а д ка и скоростью потока. Распределение многих геологических характеристик оказывается б л и ж ен е кнормальному закону, аклог нормальному [33, 38, 39]. Процесс измельчения, истирания породы п ри в о ди т клогнормальному распределению частиц п о радиусу [38]. Пример 3. Проверка основной гипотезы Впримере 2 нами б ы л а рассмотрена процедура стандартизации вы б о р о ч н о г о распределения. Продолжим э т о т при м е р сцель юп ро в ер к и ос - 323 н о в но й гипотезы, т.е. гипотезы отом, ч т оз н ачения коэффициентов проницаемости случайной выборки образцов породы и з различных плас т о вн е противоречат закону нормального распределения. Д л я вычисления о пытного з н а ч е н и я хи-квадрат критерия п о форму л е (1.276) необходимо подсчитать количество значений, попавших в к а ж д ы й j-тый интервал. В та б л и ц е 4 значками "<”зафиксированы ре з ультатыразбиения размаха выборки н а 7 интервалов (см. п р и ме р 2). Результаты подсчёта стандартизованных величин проницаемости, попав ши хвк а жд ы й интервал, ирезультаты вычисления частот приведены в т а б л и ц е 7. Соответствующая гистограмма распределения приведена н а рис. 2.31. Опреде л ен и е теоретических вероятностей, pJ( попадания случай н о й величины в j-тый интервал производится п о формулам: рх =Ф (и ± +А) -Ф(-оо); p2=0 (z1+2A)-0 (z1 +A); p3=0(Zi+3A)-0(Zj-f2A); Ъ =ф^1 :ф ^ 1 + Ь ‘т 1 j ; Рк -Ф (+ « >) -Ф (2 1 + (?С-1)Д), Результаты расчётов оформл я ют с я вв и д е таблицы. Табл иц а 6. Результаты расчёта выборочных частот и теоретических вероятностей значений случайной величины для интервалов выборки 3 Границы Ч и с л о Эмпирическая Реальные Теорети интервалов элемен т ов (выборочная) границы ч е с к а я в ыборки в част от а интервалов вероятность интервале hj =п j- /п Рj 1 Z j +Д 2 Zt+2Д 3 Z j +ЗД 3 Zi+jA к-1 к Zj + (?с - 1 ) Д zt+kA С у м ма щ п 2 Щ щ/п nj п-j /п ПК-1 пК.1/п nk nk/п п Z n 3=n пг/п п3/п -00 Zt+Д Z j + 2Д Z i +ЗД Zi+jA Zj + ( ? c - l ) A +00 Pi Р2 Р з Pi Pk-i Pk Zp3=l - 324 г д е0(z) - функцияЛапласа. Необходимо учесть, ч т о крайний л е в ы й и нтервал простирается д о акрайний правый - д о +®>. Функция Ф нечетная, т.е. Ф(-х)=-Ф(зс). З н ач е н ия функции Лапласа приведены в П р иложении 2 . Р!=Ф(-1,6297)-Ф(-«)=-0, 4484+0, 5=0, 0516. р2=Ф(-0,8724)-Ф(-1,6297)=-0, 3078+0,4484=0, 1406. р3=Ф(-0,1151) —Ф(—0,8724) =-0, 0458+0, 3078=0, 262. р4=Ф(0, 6421)-Ф(-0, 1151) =0, 2389+0. 0458=0, 2847. р5=Ф(1 ,3994)-Ф(0,6421)=0.4192-0, 2389=0, 1803. р6=Ф(2,1567)—Ф(1,3994)=0, 4846-0, 4192=0, 0654. р7=ф(+оо)-ф(2, 1567)=0, 5-0, 4846=0, 0154. Теоретические вероятности р3 зано с и м втаблицу 7. Т абл иц а 7. Результаты расчёта выборочных и теоретических вероятностей значений коэффициентов проницаемости образцов породы из различных пластов для интервалов выборки j 1 2 3 4 5 6 7 Вы борочная Реальные Теорет. Ч и с л о Границы ле м е нт о в вероятность границы вероятность интервалов э (частота), интервалов в ыборки в Рj rij/ri интервале -2,387 -1,6297 -0,8724 -0,1151 0,6421 1,3994 2,1567 2,914 Сумм а 2 0,0417 7 0,1458 12 0,25 16 0,3333 7 0,1458 2 0,0417 2 0,0417 48 1,0 -00 -1,6297 -0,8724 -0,1151 0,6421 1,3994 2,1567 +00 0,0516 0, 1406 0,262 0,2847 0,1803 0,0654 0,0154 1,0 О п ы т н о е значение хи-квадрат кр и те р и я вычисляется п о ф о р м у л е (1.276): 7 (гь-пр, ) 2 (2-48-0,0516)2 (7-48-0,1406)2 X2 = I ------- ---- = ---------------- + ---------------- + j=l nPj 48-0,0516 48-0,1406 - 325 - h 0,3 0,2 0,1 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 z Рис. 2.31. Гистограмма стандартизованного распределения физической проницаемости образцов кернов продуктивных и непродуктивных пластов нефтяных месторождений в случайной выборке (12-48-0, 262)2 (16-48-0,2847)г (7-48•0,1803)2 + --------------- . + --------------- + ------------ --- + 48-0,2847 48-0,262 48-0,1803 (2-48•0,0654)2 (2-48■0,0154)2 + --------------- + --------------- = 3,4064 48-0,0654 48-0,0154 Табличное значение хи-квадрат критерия для у ровня значимости а=0,05 и с тепеней свободычисла v^7-2-l=4 равно 9,5: 0.05 = 9,5 > X* 3,4. З н а че н и е опытного Х2-критерия меньше табличного, т.е. о н попа д а е т в о бласть нулевой гипотезы и с доверительной вероятностью Р=0,95 мож н о утверждать, ч т оз н ач е н ия коэффициентов проницаемости с л у ч а й н о й выборки образцов породыи з различных пластов н е противо р е ч а т законунормального распределения. - 325 3. МЕТОДМОМЕНТОВ В сшошсшке математической моментов метод - это один из общих методов нахождения статистических оценок для неизвестных параметров распределений по результатам наблюдений. Метод моментов был исполь зован для этих целей в 1894 г. К.Пирсоном (Pearson Karl; - 326 1857-1936), п р и решении з а д а ч и аппроксимации эмпирического распре д е л е н и я спомощью системыПирсона распределений. Практически метод мо м ен т ов связ а н свесьма простыми вычислениями числовых характерис тик, называемыхмоментами распределения. Моменты распределения э т о числа, получаемые врезультате обработки данных. Э т и числа ха рактеризуют сред не е значение распределения, дисперсию (т.е. широ ту), асимметрию (смещение распределения относительно с р е д н е г о зна ч е н и я вт уили иную сторону) и "крутость" распределения (островер ш и н н о с т ь ил и плосковершинность). Д е л о в том, ч т о сравнивать различные распределения п о их гис тограммамили плотностям вероятностей достаточно неудобно. Точнее, сравнивать-то ихможно, н о процедура э т а требует повышенного внима н и я ианалитической памяти. К р о м е этого, н е всегда м о ж н ов ы яв и ть в и з у а л ь н о от д ел ь н ые тонкости, нюансы эмпирического распределения. Моменты распределения позволяют сравни в а ть исследуемые распределе н и я наколичественном уровне, производить анализ влияния те х и л и иныхф акторов на распределение исследуемого признака имоделировать последнее. 3.1. Основные характеристикираспределений О д н о йи з основныххарактеристик распределений случайной вели чиныявляется оценкаматематического ожидания (Мх) - с ред не е значе н и е (л !х), причём средних з н ач е н ий (т.е. оценок) много, появляется п р об л ем авыбора. Если распределение асимметрично, т о на первом эта п епредставляют интерес с ре д н е е арифметическое, мода и медиана. С р е д н е е арифметическое я вляется частным случаем метода наи мен ь ши хквадратов, е г оп р о щ е всех вычислить, и отча с ти п оэ т о йпри ч ине о н он аш л о наиболее ш ир о ко е применение. Кроме этого, вусловиях н о р м а л ьн о распределённых о ш и б о к наблюдений арифметическое с р е д н е е я в л я е т ся состоятельной, несмещённойи эффективной оцен ко й математи ч е с к о г о ожидания. Максимуму кривой плотности вероятностей соответс т в у е тмода, э т о наиболее вероятный результат. Мода в с т а т ис т и ке то, ч т о в обычн о й жизни называется массовым, типичным. Т оз н а ч е н и е с л у ч ай н ой величины, кот ор о ед е л и т распределение на д в е равные ч а с т и называ е тс я медианой; вероятности с о б ы ти й п оо б е сторонымедианы одинаковы. Мода имедиана имею тб о л ь ш е теоретическое, че мпракти ч е с к о е зн а че н и е- д л я экспериментальной выборки малого о б ъё м амоду имедианувычислить непросто. - 327 Вс л у ч а е симметричнозо распределения значения среднего.арифме тического, медианы имоды совпадают. Есл и распределение асимметрич но, т оз н а ч е н и я среднего, медианыимодыразличны; кро м еэ т о г о воз ник а ет проблема выбора наилучшего с р е дн е го значения и з множества в о з м о ж н ы х (также возникает проблема выборакритерия оптимальности с р е д н е г о значения). След ую щ ей важной характеристикой распределения является д и с персия, о н ахарактеризует разброс, рассеяние случайной величины от н о с и те л ьн о центра распределения. Большой практический и нт е р ес представляет квадратный ко р е н ьи з дисперсии - стандартное отклоне н и е {стандарт). Очевидно, ч т од л я срав н ен и я различных распределений с р е д н е г о з начения, моды, медианыи стандартанедостаточно. Кроме этого, д л я н е п рерывной случайной величины д а л е к о н е всегда м о ж но в ыч и с ли т ь с р е д н е е арифметическое. Проблема в значительной степени решается с по м о щ ь юмоментов распределения: начальныхмоментов m lf тг, т3, т4 и центральных - д2, д3, jli4, ат а к ж е коэффициентов асимметрии Ахи эк с ц е с с аЕх. Моментыраспределения полностью характеризуют эмпири ч е с к о е распределение и им и мож н о пользоваться д л яс о по ставления распределений б е з сравнения соответствующих р(г)- иРЧг)-кривых. Задача, состоящая в оп р еделении распределения вероятностей последовательностью е г о моментов, носит название проблемымоментов. Э т а з а д а ч а впервые рассматривалась в 1874 г. П.Л.Чебышевым (1821-1894) в свя з и сисследованиями п о предельным теоремам теории вероятностей. Например, результаты ситовыхи седиментационных ана л и з о вт вердых дисперсныхф а зо б ы ч н о представлены в в и д е таблиц и соответствующихр(г)~ и F (г)-кривых. Пр и таком представлении д а н н ы х с р а в н и в а т ь фракционные с оставыразных дисперсных ф а з м о ж н о т о л ь к о н акачественном уровне. Для с р а в н е н ия различных твердых дисперсных ф а з (пылей, суспензий, глинистых минералов, цементного клинкера и др.) на количественном у р о в н еу д о б н о выразить характерные особен н о с ти фракционного состава п р и помощичисловых характеристик - мо м ен т о в случайной величины. 3.2. Классификация моментов Моменты систематизируются п о трем признакам: п о порядкумомента Р; п он ач а л уо тсчета случайной величины; п о ви д у случайной величины. - 328 Порядок момента 0 может б ы т ь люб ой целой величиной. Практичес к о е приме не н ие имеют моментынулевого, первого, второго, т ре т ь ег ои че т в е р т о г о порядков, т.е. р=0, 1, 2, 3, 4. П о началу отсчета случайной величинымоменты могут б ы т ь на ч ал ь н ым и ицентральными. П о виду - д л я дискретных и непрерывных величин. Д л я дискретной случа й н ой величины начальный момент p-того по ряд к а определяется формулой: п р тр = I хг р1я г д е р1=Р(Х=х1); 1=1 (3.1) д л я непрерывной случайной величины: +00 %= f x^p(x)dx. (3.2) -со Н ачальный момент н улевого порядка, или нулевой начальный мо+00 m0= J р{х)йх=1, (3.3) -оэ с р а в н и т е свыражением (2.9). О нхарактеризует площадь под кривой распределения (рис.1.1, 1.20,6, 1.34, 1.52)*. Сд ругой стороны, э т о означает, ч т о какое-то з н а ч е н и е случа й н ая величина примет, э т о дос товерное событие. Начальный момент перво г о порядка или первый начальный момент я в л яе т с я оценкой математического ожидания или средним значением с л у ч а й н о й величины X. Оценка математического ожидания, тх, д л я д ис кретной случайной величины определяется формулой: п mx= тх = I ххрх, г =1 (3.4) д л я непрерывной случайной величины: +00 тх= / xp(x)dx. (3. 5) -00 А налогично вычисляются начальные моменты высших порядков: "По поводу равенства площади под кривой плотности вероятностей р(х) и площади столбиков в гистограмме единице см. также рис. 1.3, 1.7, 1.8, 1.11,а, 1.12, 1.21, 1.22, 1.23, 1.24, 1.26, 1.28, 1.32, 1.33, 1.35,1.36, 1.37,1.38, 1.39, 1.40, 1.41,1.42,а, 1.43, 1.44, 1.45,а, 1.48, 1.50, 1.51, 2.6, 2.12, 2.13, 2.14, 2.24, 2.25, 2.27,а, 2.28, 2.29, 2.30. - 329 д л я ди скретной случайной величины: П 2 т2= I XiPi, г=1 m3= п I г =1 3 XiPi, m 4= п I 4 t=l (3.6) д л ян епрерывной случайной величины: +00 2 т 2= /ж р(х)йх, +С0 3 т3= fx p{x)dx, —00 —00 +со 4 т 4= /х p(x)dx. (3.7) —СО Име е тс я прямая аналогия м оментов в вероятностейтеории смо ментами, играющими важную р о л ь вмеханике: формулой (3.7) д л я т2 о п р е д е ля е т ся момент распределения масс, момент п е р во г о порядка (оценкаматематического о жи д а ни я Мх, (3.4), (3.5)) аналогичен ста тическ о мумоменту, ацентральный момент второго порядка (см. н и ж е (3.10), (3.11)) аналогичен моментуинерции. Посколькуматематическое о ж и д ан и е Мх определяет цент р группи р о в а н и я случайной величины, в точ кутхпереносят начало координат. С л у ч а й н ы е величины, отсчитываемые о тцентра группирования тхназы в а ю т с я центрированными, амоментыцентрированной случайной величины - центральными. Центральный момент p-того порядка д л я дискретной сл учайной ве личины о пр е деляется формулой: П R M r 1 (я1 -тх)р р1, (3.8) г=1 д л я непрерывной случайной величины: +00 /ц= /(x-m^Ppix) dx. -со (3.9) Очевидно, ч т о нулевой центральный момент ju0=l и выражает пло щ а д ьп о дкривойраспределения. Первый центральный момент м± =0, - математическое о ж и д а н и е ц ентрированной величины р а в н о нулю. В т ор о й центральный момент характеризует рассеяние случай н о й в еличины о тносительно с р е д н е г о з н а че н ия и называется дисперсией, о бо з начаемой s2x. Для дискретной случайной величины: 2 П д2= s x= I (х1-т1)гр1, г=1 (3.10) - 330 д л я непрерывной случайной величины: 2 "*"° ° 2 sx= / (x-mj) p(x)dx. (3.11) -0 0 Центральный момент втор ог о порядка (дисперсия) аналогичен мо мен т уинерции вмеханике. Поскольку достаточно ш и р о к о распространено вприроде и теоре т и ч е с к и наиболее разработано нормальное распределение, сним приня т ос р ав н и ва т ь экспериментально полученные распределения. Д л я срав н е ни я экспериментального распределения и б о л е е пол но г ое г оо п и с а н и я п р и м е н яю т моменты высших порядков. Т р ет и й центральный момент характеризует м скошенность'1 и л и а симметрию распределения: -foo М з = /(я -% )3р(я№. (3.12) -0 0 Безразмерныйкоэффициентасимметрии вычисляется п о формуле: (3-13) X Д л я нормального распределения Лх=0 (рис.1.1). Четвертый центральный момент характеризует "крутость”распре деления, т.е. островершинность или плосковершинность распределения: + 00 м4 = / {x-m1)ip(x)dx. (3.14) —00 Безразмерный коэффициент, описывающий э т и свойства, называется эксцессом: £х= - f - - 3. (3.15) s х Вуравнении (3.15) число 3 вычитается потому, ч т од л я распре д е л е н и я Гаусса отношение д4/б4х=3. Следовательно, д л я но р мального р ас п ределения эк с ц е с с Ех=0 (рис. 1.41). Моменты эмпирического распределения могут б ы т ь использованы к а к параметры, позволяющие сра в н ив а ть разные распределения д р у гс другом, отслеживать влия н ие каких-либо факторов на характеристики распределений. Моментымогут б ы т ь использованыдля сравнения эмпи р ических распределений стеоретическими и д л я установления за к о н а из у ча е мо г о явления. - 331 3.3. Приложение методамоментов канализу распределения частицдисперсной фазып орадиусам Вкачес т ве примера вычисления выборочных моментов распределе н и я случа йн о й величинырассмотрим распределение частиц цемен т но г о р аст во р ап о радиусам. Э т аз а да ч аимеет важное з н а че н и еп р и решении в о пр о са ос о с т ав е воды з а т во р ен и яд л я приготовлении седиментационно-устойчивых цементныхрастворов д л я заливкинаклонно-направленных и горизонтальных скважин. Д е л о втом, ч т о пр и цементировании верти кал ь ны х сква ж и н седиментация частиц цементного раствора н е сказыва е т с ян а прочности и герметичности ц е ментного камня. Иное д е л о - це м ен тирование наклонно-направленных и горизонтальных скважин. Расс т о я н и я 10 - 15 - 20 мммежду с т е н к о й скважины и обсадной коло нн о й в п о л н е преодолимы д л я частиц цемен т но г о раствора з а вре м я ОЗЦ. Э т о п р ив о ди т кнезамкнутое™ п о р вверхней час т и ствола скважины, филь т р а ц и и коррозионно-активного флюида с кв о з ь цементную о болочку и к о р р о з ии к а к цементного камня, т а к и металла обсадной колонны. П роблемапредотвращения агрегации частиц цементного клинкера впро ц е с с е гидратации ипоследующей седиментации б ы л а успешно решена в 1990-1992 гг. Живаевой В.В. 3.3.1. Дифференциальный анализ кривой седиментации Фракционный с о с т ав частиц суспензии (цементной, в частности) м о ж н о рассчитать, е с л и исследовать с к ор о ст ь накопления о с а дк а н а чашечке, погружённой в суспензию. В е с чашечки определяется п р иэ т о м спомо щ ью торзионных в е со в [38]. Врезультате лабораторного иссле д о в а н и я получается кривая седиментации цементной суспензии M = f { х) (рис. 3.1). Вре м я т0 - в р е м яо са ж д ен и я самых крупных фракций сус п е н з и ии всех остальных. Как правило, э т о т участок кривой седимен т а ц и ия в л я ет с я прямой линией иванали з ен е участвует. Дифференци а л ь н ы йа н ал и з начинается свремени т0 и заканчивается посл еп о л н о г о о с а ж д е н и я всех частиц. Дифференциальный а на л из седиментационной кривой позволяет оп р е д е л и т ь фракционный с о с та в час ти цс успензии [38, 63, 64]. Во б щ е м случае, вколичестве веществаМ, ос е в ш е г о на чашечкукмоменту вре м е ни х, м ож н о выделить д в е со с та в л яю щ ие (рис. 3.1): dM М = т + х---- , dx (3.16) - 332 - Рис. 3.1. Кривая седиментации полидисперсной суспензии M-f ( X ) г д еш - количество частиц фракции, полностью выпавшее во с а д оки с о с т о я щ е еи з частиц, радиус которых б о ль ш е г. х-(йМ/йх) - в е с час т и цвсех остальных фракций срадиусом, меньшим г. Рассматривая Рассмотрим точки 1 и 2 (рис. 3.2). Величины М, иМ2 соответс т в у ю т количествам частиц, осевшим на чашечку з а время т, и х гсоот ветственно. Величина т, соответствует количеству фракции срадиусом г>г,. полностью осевшей з авре мя х1. Величина тг соответствует ко личествуфракции срадиусом г>г2, полностью осевшей з а в р е м я х г. А н а л о г и ч н о т3 соответствует количеству фракции срадиусом г>г3, п о л н ос т ью осевшей з а время т3 и т.д. Рис. 3.2. Дифференциальный анализ кривой седиментации - 333 Очевидно, ч т оз а вре мя о т ххд о хгосаждаются частицы срадиу с о мо тг1 д о гг, з а время о т хгд о т 3 осаждаются частицы срадиусом о т г2 д о г3 и т.д. Количество частиц срадиусом о т гхд о г2 р а в н о тг -тг , Во б щ е м ви де д оля частиц срадиусами о т д о ri+1 равна: А Мх = - + 1- т х — Ч (3.17) ^ко н~^о г д е Мх - ti • 'й М (3.18) dx f йМ \ й х) m0 - масса частиц фракции, срадиусом r>r0, в р е м я т0, п Очевидно, ч т о 1 AM^l. полностью о с е вш е й з а 1=1 3.3.2. Статистический анализ процесса седиментации П о аналогии суравнениями (2.4) и (2.5) мож н о утверждать, ч т о ве р о я т н о с т ь того, ч т ос лу ч ай н о выбранная частица твердой фазы б у д е т и м е т ь радиус R н а интервале о тrmln д о rd, запишется следую щ им о б разом: гз P(rmln<£<r-j) = J p(r)dr = F(rj)-F(rmin), (3.20) ^min г д е rmin>0, rj<rmax. М о ж но утверждать также, ч т о радиус частицы дисперсной фазыяв л я е т с я случайной величиной, имож н ог оворить ораспределении ч а стиц т в е р д о й фазы п о радиусам о т rmln д о rmax. Также очевидно, ч т о Принимая в о внимание уравнения (2.5), (3.17), (3.20) иразвив а я аналогии между функцией распределения случайной величины и распределением частиц дисперсной фазы п о радиусам, можн о записать: J F(r3)= I Дг%, г=п (l<j<n). (3.21) Функцию F(r) называют функциейраспределения частиц д и сперсной ф азып о радиусам (иногда - интегральной функцией, кумулятивной - 334 функцией). О н а определяет д олю частиц дисперсной фазы ср адиусом м еньшим г. П о аналогии сплотностью распределения случайной величины X: p(x)=F' (х), (3. 22) м о ж н о говор и т ь оплотности распределения частиц дисперсной ф а з ы п о радиусам: dM (3.23) p(r)=F'(r)= ----. dr Функцию p(r) называют плотностью распределения частиц дисперс н о й фазы п о радиусам (дифференциальной функцией, плотностью вероят ностей). П о аналогии с (2.8) и (2.9) мож но записать: Р(r1<R<rz) = J p{r)dr = F(r2 )-F(r1). ri (3.24) Дифференциальная функция распределения частиц дисперсной ф а зы п ор адиусам характеризует относительное содержание в твер д о й ф а з е о тде ль н ы х фракций п о размерам частиц. Очевидно, что: ^тах JT p(r)dr=1, (3.25) i п т а кк а к случайный выбор частицы дисперсной фазы срадиусом винтер в а л е rmin<tf<rmax е с т ь достов е рн о е событие. 3.3.3. Расчёт фракционнозо состава суспензии О б щ а я масса осадка о пределяется п о формуле: п М0= I m lt г=1 (3.26) г д е - количество осадка г-той фракции, мг. Соответственно, маес о в а яд о л я частиц г-той фракции б у д е т равна: mi Amx= ----, М0 (3.27) п Очевидно, ч т о I Ат<=1. г =1 Поскольку кривая седиментации реаль н о представляет с о б о й лома н у ю линию, вформуле плотности вероятности распределения ч а с тиц - 335 диспер с но й фазы п о радиусам (3.24) дифференциалы с ледует з а м е н и т ь н аконечные отрезки: dM Ат1 Ami р{г1) = ---- ~ , (3.28) dr1 A rx гх ^ 1 -Г-l г д е Ami - массовая д о л я частиц срадиусом о т гА_±д о гх. Интервал гп-г1 делится н а К частей. В общ е м с л у ч а е д е л ен и е п ро и зводится н аравные части: V ~v А=— -— — ; к г1 =г1 -(г-1) ■ А . (3.29) Вс л у ч а е седиментационно устойчивых цементных растворов (осо б е н н о вт е х случаях, когда зн а ч ительная час т ь цементных частиц во о б щ ен е осаждается втечение анализа) деление производится п о зако ну убывающей геометрической прогрессии: rx=riQ1"1, г д е q=exp ( 1 г ,П 1 ■In --[К г, (3.30) Целесообразность т а к о г о делен и я обусловлена особенностью чис ленных процедур п ри обраб о тк е данных на компьютере п о сп е ц иа л ьн о разработанной автором программе [63, 64]. При анализе седиментаци о н н о устойчивых суспензий программа работает стабильнее в о б л а с т и с а м ы хмелких частиц имоменты распределения вычисляются т о ч н е е п р и д ел е н ии интервала гп~г1 п оз а ко н у убывающей геометрической прогрес с и и . Максимальный радиус частиц фиксируется величиной г0: ^ a x = r o=^l/q. ИЛИ Гта х = Г 0= Г ^ А . (3.31) П р и неполном осаждении (случай седиментационно устойчивой сус пензии) минимальный радиус частиц вычисляется путём экстраполяции: rmin=î^k+2. и л и rmin=r1 -(lc+l) -А. (3.32) Функцию распределения част и ц дисперсной фазы п о радиусам м о ж н о б у д е т вычислять п о формуле: F(r\)) = / P(r)dr = ^mln г д е г3 - радиус частиц, rminir}<rmax. I (3.33) - 336 3.3.4. Расчётмоментов распределениячастиц суспензии п о радиусам Начальный момент |3-того порядка (3.2) вычисляется п о формуле: п (Ир т$= I r1 1 Д т П х , 1=1 V ) (3. 34) ацентральные моменты (3.9) п о формулам: (3.35) jULp= I (г^-т^Дп^, 1=1 Иг=т2~Щ> (3.36) з ц3=т3-Зтг т1+2т1, 2 4 ji4=тА-4Ш!т3+6т1тг-3.т ±. (3.37) (3.38) Коэффициентыасимметрии АГи э кс ц е сс а Ег вычисляются, соот ветственно, п о формулам (3.13) и (3.15). А на лиз связей моментов распределения частиц цементного раство ра свидо ми количеством реагентов позволяет найти требуемый с о с т а в жидкости затворения и сдел а ть о б о б щ ен и я овлиянии реагентов н а седиментационную устойчивость цементных растворов. Пример 4. Расчёт моментов распределения частиц цементного растворапорадиусам Результаты дифференциально-интегрального анализа к р ив о й седи м ентации цементного раствора схорошей седиментационной устойчи в ос т ь ю приведены в табл иц е 8. З ап и с и означают, что, например, м а сс а ч ас т и ц в о с ад к е срадиусом о т 0, 3897-Ю"4 д о 0,3445-10~4 мрав н а 0,2221 мг, масса частиц срадиусом о т 0, 3445*10"4 д о 0, 3046-10'4 м равн а 0,1949 м г и т.д. Количество твёрд о й фазы, оставшейся в о взве ш ен н о м состоянии, рассчитано п о материальному балансу и состав л я ет 32 мг. Ориентировочный ради у с седиментационно устойчивых част и ц рассчи т ан путём экстраполяции п о форму л е (3.32) и составляет вели ч и ну 0,7866•10"5 м . Ориентировочный р а ди у с частиц, осевших з апер в ы е 25 с, такж е определён путём экстраполяции п о формуле (3.31) и со с та в ля е т величину 0, 3897 *10"4 м . Таким образом, ко личество твёр д о йф а з ы срадиусом частиц мен ее 0,8896-10'5 мрав н о 32 мг, а сра диусом б о л ь ш е 0, 3445 *10~4 м , соответственно, 0,2221 м г . - 337 - Таблица 8 . Фракционный состав частиц цементного раствора и результаты расчёта плотности вероятности р(г) и функции распределения F{r) частиц цементного раствора по радиусам п 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 И 12 13 I г1г м 0.3897• 10“4 0.3445-10" 4 0. 3046■10"4 0.2693•10-4 0.2381■10“4 0.2106•10"4 0.1862-10"4 0.1646•10~4 0.1456■10~4 0.1287-10'4 0.1138■10~4 0.1006-10'4 0.8896■10“5 0.7866•10"5 mi, м г ктх =тх /У10 — — 0.003173 0.2221 0.002784 0.1949 0.006031 0.4222 0.9148 0.01307 1.9214 0.02745 3.5177 0.05025 5.5087 0. 07870 5.7430 0.08204 4.0665 0.05810 3.0713 0.04388 2.6957 0.03851 9.7217 0.1389 32. 0 0.4571 70. 0 Р(Г) — 703. 2 697.8 1709.3 4189.4 9951.4 20605 36495 43031 34460 29437 29220 119185 443697 Г1 = (Г1 -1+Г,1 )/2 — 0.3671-КГ4 0.3246■10-4 0.2870 -10"4 0.2538 -10‘ 4 0.2244-10“4 0.1984-10‘ 4 0.1754-10'4 0.1551-Ю"4 0.1371•10'4 0.1 2 1 2 ■ 10-4 0.1072•10"4 0.9478-10"5 0. 8381 •10~5 F(r) 1.0000 0.9968 0.9940 0.9880 0.9749 0. 9475 0. 8972 0.8185 0. 7365 0.6784 0.6345 0.5960 0.4571 - 1.0000 1. Определяем о б щ у ю массу о с а д к ап о формуле (3.26): п М0= I т1=10 мг, г=1 г д е% - количество осадка г-той фракции, мг. 2. Массовую долю частиц г-той фракции вычисляем п о ф о р м у л е (3.27), например: т1 о ,2221 Ат^ ---- = -------- = 0,003173: М0 70 ит.д. Результаты заносим в таблицу 6. 3. Плотность распределения частиц дисперсной фазы п о радиусам вычи сл я ем п о формуле (3.28), например: Amt 0.003173 p(rt) = ------- - ---------------------- = 703,2: Г0-Гj (0,3897-0,3445)-Ю-4 ит.д. Результаты заносим втаблицу 6. 4. Определяем средние радиусы цементных частиц д л як а ж д о й Фракции: ^ г+г г, = - — — = О ,3671 -Ю' 4 м ; 2 и т.д. Результаты заносим втаблицу 6. - 338 5. Строим гистограммураспределения частиц цементного раствора р(г1 )-/(г1 _1 +г1). рис. 3.3, или графикр(г1 )=/(гсрЛ). Примечание: рис.3.3 специально выполнен с помощью чертёжных принадлежностей. Несмотря на архаизм рисунок методически совершененнее, чем его компьютерный аналог. См. Гистограмма. р(г) 10' О ггТТЪт. 0,2 0,1 0,3 0,4 г 10 Рис. 3.3. Гистограмма распределения частиц цементного раствора по радиусам (общая площадь всех столбиков равна 1) 6. Определяем значения функциираспределения частиц ц е м е н т но г о р ас т вора п о радиусам п о формуле (3.33). Так, массовая д о л яч а ст и цс р адиусомменьше 0,8896-10“5 равна: 13 F (г) = I Ami=0,4571. г=13 М а с с о в а яд о л я частиц срадиусом меньше 0,1006-10"4 м равна: 12 F(r) = I Am!=0.4571+0,1389=0, 596. г-13 М а с со в а яд о л я частиц срадиусом меньше 0,1138-10'4 мравна: И Fir) = I AmÔ, 4571+0.1389+0, 03851=0, 6345: г=13 и т.д. Массовая доля частиц срадиусом меньше 0,3897•10“4 мравн а 1. Р ез у л ьт а тырасчёта заносим в таблицу 6 и строим график ф у н к ц и и р аспределения частиц цементного раствора п о радиусам (рис. 3.4). Примечание: рис.3.4 специально выполнен с помощью чертёжных принадлежностей. Несмотря на архаизм рисунок методически совершененнее, чем его компьютерный аналог. См. Гистограмма. 7. Определяем начальные моментыраспределения (3-того п орядка (3.5, 3.7) п о формуле (3.34): - 339 - цементного раствора по радиусам П _ mt = 1 r t Дш1= 0 ,003173•0,3671■10'4+ 0 ,002784-0,3246•10“4+ . . .+ г =1 +0.4571 -0, 8381 -10"5=0,1186-10"4 м ; п щ= I Дт1 =0, 003173- (0, 3671-10"4)г +0, 002784- (0, 3246-10"4)2+.. + 1=1 +0, 4571 •(0, 8381 -10“5)2=0.1645-10"9 м; п Шо= I г=1 'ДШ! =0,003173- (0, 3671 • 10"4) 3+0, 002784 ■(0, 3246 • 10"4 ) 3+, . +0.4571- (0. 8381 •10"5)3=0, 2704-10" 14 м ; п m4= I г =1 ‘ДТП! =0, 003173 • (0. 3671 • 10"4 ) 4+0, 002784 • (0. 3246 • 10"4) 4 +. . +0. 4571 ■(0, 8381 ■10"5) 4=0, 5218-10"1 9 М. 8. Вычисляем центральные моменты (3.9) п о формуле (3.35) п оформулам (3 .3 6 ), (3 .3 7 ), (3.38): M2=m2-m i= 0,1645-10"9- ( 0 , 1186-10"4 ) 2=0. 2371 /i3=m3-3mim2+2mi =0,2704 • 10"14-3 •0,1186 • 10"4 • 0.1645 • 10" 9+ + 2 - ( 0 ,1 1 8 6 - 10"4) =0,1892-10,-15. и л и - 340 2 4 q jx4=m4-4m1m3+6m1ma-3m1=0,5218 •10"19-4-0, 1186 ■ 1СГ4 -0.2704-10" 14+6 -(0, 1186-10'4)2 -0, 1645-10’ 9-3-(0,1186-10'4)Z=0, 3343-Ю'20. 9. Вычисляем коэффициент асимметрии п о формуле (3.13): Лх= а, 0,1892-10'15 = ------------------- = 1,639. (0,2371 - 10“10 ) 3/2 S3 X 10. В ычисляем э к с це с сп о форм у ле (3.15): и4 0, 3343-Ю"20 Е --------- 3 --------------------- 3 = 2,946. S4 (0,2371•10"10) 2 х Результаты расчётов показывают, ч т о данный цементный р а с т во р я в л яе т с я седиментационно устойчивым - значительная ч а с т ь (32 м г и з 70 мг) о сталась в о взвешенном состоянии. Коэффициент асимметрии Ах-1, 639 указывает на с мещение центра распределения в стор о ну мел к и х частиц, а эксц е с с Ех=2,946 н ая в н о выраженную островершинность распределения. 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Корреляционный анализ - статистический метод, позволяющий выя в и т ьс и л уи л и тесноту линейной свя з имежду дву мя и б о л е е случайными величинами. Корреляционный а н а ли зз а ни м ае т промежуточное п ол о ж ен и е между с о бственно статистическими методами анализа и методами мате матичес к о го моделирования. В о т л ич и ео тт е х статистических методов, п редметом которых являются выборки, характеризующие о д и н признак совокупности, предметом корреляционного анализа являются выборки, характеризующие два и б о л е е признака. Э т о могут б ы т ь пары с лучайных величин: УиX, группы случайных величин трёхмерного пространства (X, У , Z), четырёхмерного пространства-времени (X, У, Z, т) и л и концептуального многофакторного пространства (У, Х1г Хг Хк). 4.1. Корреляция Корреляция - вероятностная и л и статистическая зависи м ос т ь меж д уд в у м яиб о л е е случайными величинами. В отличие о тфункциональной з а в и си м ос т и корреляция возникает тогда, когда зависимость о д н о г о п ризнака (случайной величины У) о тд ру г о г о (от другой с лу ч а йн о й ве личиныX) осложняется случайными факторами и л и когда с р е д и условий, - 340 2 4 ц 4= щ - 4 т 1т 3+6т1т г - З т 1= 0 , 5 2 1 8 - 1 0 ' 19- 4 - 0 , 1186■ 1 0 ' 4 • 0 .2 7 0 4 -1 0 " 14+6- (0, 1 1 8 6 - 1 0 ' 4 ) 2 -0, 1 6 4 5 - 10‘ 9- 3 - ( 0 , 1 1 8 6 • 10"4 ) 2=0, 3 3 4 3 - 10‘ 2 0 . 9. Вычисляем коэффициент асимметрии п о формуле (3.13): U3 0 , 1 8 9 2 - 1 0 - 15 Ах = ---- = ------------------- = 1,639. S3 ( 0 , 2 3 7 1 • 1 0 ” 10) 3/2 X 10. В ычисляем эксц ес сп о формуле ( 3 . 1 5 ) : и. 0 , 3 3 4 3 - Ю " 20 Ех= ------- 3 = ------------------- 3 = 2 .9 4 6 . S4 ( 0 , 2 3 7 1 • 1 0 ' 10) 2 X Результаты расчетов показывают, ч т о данный цементный р ас т в ор я вл я е тс я седиментационно устойчивым - значительная ч а с т ь (32 м г и з 70 мг) осталась в о взвешенном состоянии. Коэффициент а с имметрии Лх=1,639 указывает на с мещение центра распределения в сторону мел к и х частиц, а э к сц е с с Ех =2,946 н ая в н о выраженную островершинность распределения. - 340 - 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Корреляционный анализ - статистическийметод, позволяющий выя в и т ьс и л уи л и теснотулинейной свя зимежду двумя и б о л е ес лучайными величинами. Корреляционный а н а лиз зани м а ет промежуточное п ол о же н и е между с о бственно статистическими методами анализа и методами мате матиче с ко г о моделирования. В о т л и ч и ео т те х статистических методов, п р едметом которых являются выборки, характеризующие о д и нп ризнак совокупности, предметом корреляционного анализа являются выборки, характеризующие два и б о л е е признака. Э т о могут б ы т ь пары случ а йн ы х величин: УиX, группы случайных величин трёхмерного пространства (X, У, Z). четырёхмерного пространства-времени (X, У, Z, г) и л и концептуального многофакторного пространства (У, X lf Х2>..., Хк). 4.1. Корреляция Корреляция - вероятностная и л и статистическая зависи м ос т ь меж д уд в у м яиб о л е е случайными величинами. В отличие о тфункциональной з а в и си м ос т и корреляция возникает тогда, когда зависимость о д н о г о признака (случайной величины У) о тд ру г о го (от другой сл у ча й н ой ве личиныX) осложняется случайными факторами и л и когда с р е д и условий, - 341 - о ткоторых зави с ят д в е случа й н ые величины, например Уи Z, и м е ют с я о б щ и ед л я них обоих условия X lt Х2,.., Хк. Д л я визуального анализа с и л ы с в я з и между случайными величинами х и у вдекартовой с и с т е м е координат у-х строятся графики, называемые корреляционным полем (см. рис.1 .9 ирис.1 .10.). Например, е с т ьл ис в я з ь между с р ед н е й температурой б о ль н ы х то г ои л ии н о г о отделения больницы и средним баллом дипломов лечащих врачей? Какова вероятность в ы йт и живым и зэ т ой больницы, и з другой, и з третьей? Е с т ьл и корреляция между атмосферным давлением (вспыш к а м ин а Солнце, флуктуациями магнитного п о л я земли) иартериальным давлением человека (молодого, пожившего)? Ест ьл и корреляция между принимаемыми лекарствами, и х дозами вразвитии болезни? Пр екратим медицинскую тему (в медицине метод корреляционного анализа применя е т с яо ч е н ь широко). Како в ас и л ас в я з и между количествомДТП н а дорогах и о б ъ ё м о м п роизводимого алкоголя в э т о м государстве, в соседнем, дружественн о ми л ин е очень? А скачеством т о г ож е алкоголя? Е с т ьл и корреля ц и я меж ду уровнем рождаемости иуровнем жизни? Различаются л иэ т и ко р ре л яц и и вразвитых и слаборазвитых странах? Ест ьл ис в я з ьм е ж ду к оличеством и качеством катастроф н а дорогах и погодой? Ак а к нас ч е т выявл е ни я тайных с говоров фирм, компаний ореализации продук ции? И, наконец, е с т ьл ис в я з ь (точнее, различие) в отработках до л о тд в у х заводов? Влияет л и ли тология разреза на с ц епление цемент н о г о к а м н я собсадной колонной? Довольно, э т и и подобные вопр ос ы бесконечны. Важно д ругое - констатация наличия связи поможет при н я т ьв е р н о е решение. Бывают ситуации, когда инт е ре с представляет т о л ьк о нали ч ие и л и от с у т с т в и е какой-либо с в я з и между группами случайных величин и, е с л ис в я з ь есть, т о степ ен ь тесноты э т о й связи. Бывают случаи, к о г д а у р о в е н ьз н а н и й опроцессах, происходящих вприроде, недостаточен. И, ч т о немаловажно, н ес т а ви т ся в о п р о с опричинах и следствиях и л и онаправленности связи. Д е л о втом, ч т о статистическая зависимость, к а к б ы н иб ы л ао н а сильна, никогда н е может установить пр ичинной связи: предположения опричинах и следствиях следует и с к ат ь в н е статистики, вчастности, в с ф е р е физической сущностиявления. Е с л и наличие связ и ст о й или и н ой степенью достоверности дока зано, то, пользуясь методами математического моделирования, м о ж н о э т ус в я з ь формализовать, о п я т ьж еу читывая физическую с ущ н о ст ь яв - 342 ления. П о д формализацией причинно-следственной связ и (зависимости) подразумевается подбор подходящего уравнения и вычисление е г о пара метров. Например, у=Ьх, у=Ь0+Ьг х, у=Ь0+Ь1х^+Ьг х2+...+Ьк хкит.п. См. статью Данных обработка математическая. 4.2. Коэффициент корреляции Количественной характеристикой с и л ыил и тесноты линейной с в я з и м еж ду с лучайными величинами явля е т ся коэффициент корреляции. Напри мер, характеристикой с в я з и случайных величин УиX является безраз м е рн ы й коэффициент корреляции, рху: Е[(X—Мх) (У-Му )] г д е бхи б у- генеральные квадратичные отклонения случайных в е л ич и н X иУ ; Е - математическое ожидание. В общ е м случае, когда величины X и Усвязаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент к о р реляции может иметь з на ч е ни е впределах -1<рху<+1. П р и рху>0 су ществует положительная корреляционная с в я з ь между величинами УиX, п р и рху<0 - отрицательная. Д л я независимых случайных величин рху=0. Генеральный коэффициент корреляции, рху, является некоторой абстрактной величиной, - к а киматематическое о жидание с л у ч а й но й физической величины, е г о невозможно определить врезультате экспе римента. Реальный, выборочный к оэффициент корреляции, гху, опреде л я е т с яп о результатам эксперимента, т о ль к о пр и э т о м используются в ыб о р оч н ые средние хс р и ус р и выборочные дисперсии s2x и s2y: п 1 (хх -х)(уг -у) г =1 Г х у = --------------------------------■ (n-l)sxsy С тепеней свободы число v д л я найденного таким путём коэффици е н т акорреляции гх ур а в н о v=n-2 , поскольку вычисление хс р и ус р со ответст в у ет наложению на выборку двух связей. Коэффициент корреляции о д и н а к ов о отмечает и слишком б о л ь ш у ю д о л ю случайности (большие о шибкинаблюдений), и значительную криволинейн о ст ьэ т о й связи. Выборочный коэффициент корреляции в т о йи л и и н ой с те п е ни -1 <гху<1 всегда. Между величинами Уи X м ож е т б ы т ь д оста т оч н о определенная нелинейная функциональная зависимость, а коэффициент корреляции б у д е тм е н ьш е единицы. Инаоборот, между ве л и чи н ам и X и Уможет я в н оо тсутствовать какая-либо зависимость, а - 343 вы б орочный коэффициент корреляции б у д е т отличаться о тнуля. Вчаст ности, з начение гху=0 м о ж н о получить, е с л и массивы уих- ц е л ы е чис л а ивдекартовой с и с те м е координат представляют с о б о й квадрат, прямоугольник или прямую линию, параллельную какой-либо оси. 4.3. Проверка гипотезыо значимости коэффициентакорреляции Наличие и л и отсутствие линейной связимежду случайными величи н а миX и Y проверяется спомощьюкоэффициентакорреляции рху. Нуле в а я гипотеза предполагает, ч т од в е переменные независимы и л ю б о е н енулевое значение г возникло из-за случайных флуктуаций, т.е. Н0:рх у=0. Другими словами, нулевая гипотезаН0 является гипотезой о бо т с у т с т в и и различия между генеральным коэффициентом корреляции рх у и нулём. Альтернативной гипотезой б у д е т неравенство: Hi:Рху^О. Пуавило. в соответствии скоторым принимается ил и от кл о ня е т ся н ул е в а я гипотеза, заключается в сравн ен и и некоторого комплекса фи з и ч е с к их величин, вычисленного п о данным выборки, сподобным комп лексом, вычисляемым независимым путём. Первый называется статисти койкритерия (опытным критерием), последний - статистическимкрите рием (табличным критерием). Внашем случае статистикой кр и терия является опыт н ый С тьюдента критерий, вычисляемый п о результатам эксперимента п о ф о р му л е (1.83), (1.131): ___ 0„ г|/гнГ [Л-г2 Правило определения критического значения статистического кри терия заключается втом, ч т о исследователь (руководитель) п р инимает н ас е б я ответственность з афиксацию уровня значимостиа, т.е. при н и м ает допустимую вероятность ош и б оч н о отвергнуть проверяемую нуле в у юг ипотезуН0, когда о н а верна. Критические з начения критерия Стью д е нт а tav определяютд л я принимаемого у ро вня значимости а, ру ководствуясь правилом (1.180), (1.254): ( ап 00 / p(t)dt = Р tv >t t а ' 0.^ - а , - 344 г д е ton - о пыт но ез на ч е ни ек ритерия Стьюдента, а - п лощадь по дкри в о й p(t), характеризующая вероятность о шибочно от вергнуть в е р н у ю нуле в у ю гипотезу (см. рис. 1.24, 1.25, 1.26, 1.29. См. т а к ж е урав н е н и е (1.254) и соответствующий раздел). Табулированные з н а ч е н и я tv д л я различных уровней значимости а приведены вПриложении 6. Вна ш е мс л у ч а е критерий Стьюдента двусторонний, т.к. коэффициент корре л я ц и и мож ет находиться впределах -1 <рху<+1 . Опытный критерий Стьюдента сравнивается стабличным д л яч и сл а с т е п е н е й свободы v=n-2 и приня т ог о уровня значимости а (см. Статис тических гипотез проверка). Е с л и ton<tav, т о принимается нуле в ая гипотеза, е с л и ton>tav - альтернативная. В заклю чение. О с о б е н н о с т и корр е ляц и о н н о го м ето д а та к ж е к р а тк о описаны в след ую щ и х с т а т ь я х д ан н о го р у к о в о д ств а : Данных обработка математическая, Значимости уро вень статистического критерия, Значимость параметра, Корреляционная таблица, Кор реляционное поле, Корреляционный анализ, Корреляция, Коэффициент корреляции, Нуле вая гипотеза, Правило опред еления критического значения статистического критерия, Причинность, Причинно-следственная связь, Связь, Статистических гипотез проверка, Стьюдента критерий, Стьюдента распределение. П о д р о б н о см. [2, 7, 16, 19, 2 5 , 29 , 35 , 3 9 , 4 0 , 4 2 , 4 3 , 6 0 , 65]. Пример 5. Определение силы или тесноты линейной связи между случайными величинами Y иX Результаты наблюдений (экспериментов) представим вв и д е корре ляционнойтаблицы. Табл и ц а 9. Корреляционная та б л и ц а и р е зул ьта ты р а сч ё та ко м п о н е н то в вы б оро чно го к о э ф ф и ц и е н та корреляции п хх 1 2 3 4 5 6 7 8 9 суммы X2 У2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Vi 4,0 6,5 5,0 7,0 9,0 7,5 11,0 9,5 11,5 4,0 16,0 36,0 64,0 100,0 144,0 196,0 256,0 324,0 16,0 42,25 25,0 49, 0 81,0 56,25 121, 0 90,25 133,25 8,0 26,0 30, 0 56,0 90,0 90,0 154,0 152,0 207,0 90,0 71,0 1140,0 613,0 813,0 Уi С оответствующее корреляционное поле представлено на рис. 4.1. Выборочныйкоэффициент корреляции вычисляем п о формуле (1.82): - 345 - 10 8 6 4 J_________ I_________ I_________L 4 8 12 16 0 x Рис. 4.1. Корреляционное поле случайных величин у и X П П П 9•813-90* 71 -=0,9142. ( ( 9 - 1 1 4 0 - 9 0 2 ) ( 9 • 6 1 3 - 7 I 2 ) ) 0 ■5 Коэффициент корреляции д остаточно высок; очевидно, ч т о линей н а яс в я з ьY о тX присутствует. Проверим статистическую гипотезу о значимости этой связи. Нали ч и е ил и отсутствие линейной связи между случайными величи нами X и Уп роверяется спомощью коэффициента корреляции рху. Нуле в а я гипот е з а предполагает» ч т од в е переменные независимы и л ю б о е н е н у л е в о е значение г возникло из-за случайных флуктуаций, т.е . Н0: Рху=0* Альтернативной гипотезой будет: Нх: р^О. О пы т н ы й Стьюдента критерий вычисляется п о формуле (1.131): t°S /гй Г 0,91 42 /9 ^2 ( Л -0 , 91422 = 5.968 > t°'°5= 2,365, - 346 г д е 2, 365 - двусторонний критерий Стьюдента д л я принимаемого иссле дователем уровня значимости а=0,05 и числа степеней свободы у=п-2=7 (см. Приложение 6). Оп ы тн ы й к ритерий Стьюдента (т.е. критерий, вычисленный п о ре зультатам эксперимента) сравнивается стабличным. Поскольку о п ы т н ы й к ри т е ри й Стьюдента б о л ь ше т а бличного (т.е. о н попал в критическую о б л а с т ь отклонения нулевой гипотезы), гипотеза о б отсутствии линей н о йс в я з и между случайными величинами Y и X отклоняется и принима е т с я альтернативная - л инейная зависимость между случайными величи н а ми УиX сдоверительной вероятностью Р=0,95 имеет место быть. Пример 6. Проверка гипотезыо б отсутствии корреляции между случайными величинами УиX Давайте, интереса ради, вычислим коэффициент корреляции д л я "звёздного неба" (рис.1.10,ж). Вряд л и кому-нибудь придёт в гол ов у размещать вночном звёздном н е б ет о ч к и отсчёта и системы координат сц е л ь ю поиска корреляционных связей, поэтому ограничимся с л учайным набо р о м точек зафиксированных це л ыми числами. Результаты т а к о г о творчества оформим в в и д е корреляционной таблицы (см. след. стр.). Соответствующее корреляционное п о л е представлено н а рис. 4.2. Выборочныйкоэффициенткорреляции вычисляем п о формуле (1.82): 23•608-132-107 г = ----------------------------------- = -0 03537 Х У ((23-1006-1322)(23•617-1072))0 ■ 5 Коэффициент корреляции о ч е н ь мал; очевидно, ч т о линейная с в я з ь У о тX отсутствует. Проверим статистическую гипотезу означи м ос т и э т о й связи. О пы т н ы й критерий Стьюдента вычисляется п о формуле (1.131): о п г/п-2 -0,03537 [/23-2 X = -------------- = ---------------------------- 1/1- г 2 = - 0,1622 > 0 05 t ' 21 = - 2 , 08 , | Л - (-0,03537)2 г д е 2,08 - двусторонний критерий Стьюдента д л я принимаемого п о ана л о г и и с "правилом двух сигма" у р о в н я значимости а=0,05 и числа сте п е н е й свободыv=n-2=21 (по поводу "правила двух сигма" см. Вероят н о с т ь житейская). Н а шо пытный критерий Стьюдента попал в отрицательную о б л а с т ь п р и ня т и я нулевой гипотезы - гипотезы о б отсутствии знач и мо г о разли- - 347 - Таблица 10 . Корреляционная таблица и результаты расчёта компонентов выборочного коэффициента корреляции п 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 И 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 суммы 0 132 Ух X2 У2 Я1 У1 2 5 8 3 7 1 4 6 7 3 5 2 7 4 8 1 6 3 7 4 6 1 7 1 1 1 4 4 9 9 9 16 25 25 36 36 49 49 64 64 81 81 100 100 121 121 4 25 64 9 49 1 16 36 49 9 25 4 49 16 64 1 36 9 49 16 36 1 49 2 5 8 6 14 3 12 18 28 15 25 12 42 28 56 8 48 27 63 40 60 И 77 107 1006 617 608 ------- 21______ 4I______ 6I______ 8I______ 10I________X Рис. 4.2. Корреляционное поле случайных величин у и X ч и ямежду нулём и коэффициентом корреляции (см. рис.1.41). Д р у ги м и словами, свя з ь между случайными величинами Y и X с доверительной вероятностью Р=0,95 отсутствует. г*. f Приложение 1. Значения p{z) (ординаты) стандартизованного нормального распределения 1 е p(z) -Z2/2 0,3989 |/2Я / p(z) —1--- i -гП -J ---- 1 __1__ L_ . ...1 . ! . J---- 1 -2-1 О 1Z, 2 3 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0.09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,3989 0,3970 0,3910 0.3814 0,3683 0,3989 0,3966 0,3902 0,3802 0,3668 0,3989 0,3951 0,3894 0,3790 0,3653 0,3988 0,3956 0,3884 0,3778 0,3637 0,3986 9,3951 0,3876 0.3765 0,3621 0,3986 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589 0,3930 0,3932 0,3847 0,3725 0,3572 0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555 0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0 2613 0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,3448 0,3251 .0,3034 0,2803 0,2565 0,3429 0,3*30 0.3011 0,2780 0,2541 0,3410 0,3209 0,2989 0 2750 0,2516 0,3391 0.3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,3352 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444 1,0 1,1* 1,2 1,3 1,4 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,2396 0,2155 0,1919 0,1691 0,1476 0,2371 0.2131 0,1895 0,i669 0,1456 0,2347 0,2107 0.1872 0,1647 0,1435 0.2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,2299 0,2059 0,1826 0,1605 0,1394 0,2275 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374 0,2251 0.2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334 0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315 1.5 1,6 1.7 1,8 1.9 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0 1257 0,1074 0.0909 0,0761 0,0632 0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0.1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0 1282 0.1005 0,0818 0.0707 0.0584 0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,1145 0,0973 0.08)8 0,0681 0,0562 0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0.0051 2,0 2,1 2.2 2,3 2,4 0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0519 0,0422 0.0339 0,0270 0,0213 0,0508 0.04i3 0.0332 0.0264 0 0208 0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0.0203 0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,0198 0.0478 0,0387 0.0310 0,0246 0,0194 0,0468 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189 0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184 0,0449 0,036.4 0,0290 0,0229 0,0180 2,5 2.6 2,7 2,8 2,9 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0171 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058 0,0167 0,0129 0,0099 0,0075 0,0056 0,0163 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055 0.0158 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051 0,0151 0,0116 0.0088 0.0067 0,0050 0,0147 0,0113 0,0086 0,0065 0,0048 0.0143 0,0110 0,0084 0 0063 0,0047 0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046 3,0 3,1 3.2 3,3 3,4 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0043 0,0032 0.0023 0,0017 0,0012 0.0042 0.0031 0,0022 0.0016 0,0012 0,0040 0,0030 0,0022 0.0016 0.0039 0.0038 0,0037 0,0036 0.0029 0,0028 0,0027 0,0026 0.0021 0,0020 0,0020 0,0019 0.0015 0.0015 0,0014 0,0014 0.0011 0,00h 0,0010 0,0010 0,0010 0,0035 0,0025 0,0018 0.0013 0,0009 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,000* 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,000! ' 1 0,0008 0.0005 0,0004 0.0003 0.0002 0,0007 0,0005 0,0004 0.0002 0,0002 0.0007 0,0005 0,0003 0 0002 0,0002 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 Приложение 2 Значения функции Лапласа Ф (г) = 0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 Ф(г) 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0478 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0 0 Ф(*) 0,44 0,1700 0,88 0,45 0,1736 0,89 0,46 0,1772 0,90 0,47 0,1808 0,91 0,48 0,1844 0,92 0,49 0,1879 0,93 0,50 0,1915 0,94 0,195 0,95 0,51 0,52 0,1985 0,96 0,53 0,2019 0,97 0,54 0,2054 0,98 0,55 0,2088 0,99 0,56 0,2123 1,00 0,57 0,2157 1,01 0,58 0,219 1,02 0,2224 0,59 1,03 0,60 0,2257 1,04 0,61 0,2291 1,05 0,62 0,2324 1,06 0,63 0,2357 1,07 0,64 0,2389 1,08 0,65 0,2422 1,09 0,66 0,2454 1,10 0,67 0,2486 1,11 0,68 0,2517 1,12 0,69 0,2549 1,13 0,70 0,258 1,14 0,71 0,2611 1,15 0,72 0,2642 1,16 0,73 0,2673 1,17 0,74 0,2703 1,18 0,75 0,2734 1,19 0,76 0,2764 1,20 0,77 0,2794 1,21 0,78 0.2823 1,22 0,79 0,2852 1,23 0,80 0,2881 1,24 0,81 0,291 1,25 0,82 0,2939 1,26 0,83 0,2967 1,27 0,84 0,2995 1,28 0,85 0,3023 1,29 0,86 0,3051 1,30 0,87 0,3078 1,31 Ф(г) 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,34 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 Ф(г) 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4131 0,4147 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,43 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4S54 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 е zd x Ф(г) 0 1,76 0,4608 1,77 0,4616 1,78 0,4625 1,79 0,4633 1,80 0,4641 1,81 0,4649 1,82 0,4656 1,83 0,4664 1,84 0,4671 1,85 0,4678 1,86 0,4686 1,87 0,4693 1,88 0,4699 1,89 0,4706 1,90 0,4713 1,91 0,4719 1,92 0,4726 1,93 0,4732 1,94 0,4738 1,95 0,4744 1,96 0,475 1,97 0,4756 1,98 0,4761 1,99 0,4767 2,00 0,4772 2,02 0,4783 2,04 0,4793 2,06 0,4803 2,08 0,4812 2,10 0,4821 2,12 0,483 2,14 0,4838 2,16 0,4846 2,18 0,4854 2,20 0,4861 2,22 0,4868 2,24 0,4875 2,26 0,4881 2,28 0,4887 2,30 0,4893 2,32 0,4898 2,34 0,4904 2,36 0,4909 2,38 0,4913 0 <И*) 0,4918 2,40 0,4922 2,42 0,4927 2,44 0,4931 2,46 0,4934 2,48 0,4938 2,50 2,52 0,4941 2,54 0,4945 2,56 0,4948 2,58 0,4951 2,60 0,4953 2,62 0,4956 2,64 0,4959 2,66 0,4961 0,4963 2,68 0,4965 2,70 2,72 0,4967 2,74 0,4969 2,76 0,4971 2,78 0,4973 0,4974 2,80 2,82 0,4976 0,4977 2,84 2,86 0,4979 2,88 0,498 2,90 0,4981 2,92 0,4982 2,94 0,4984 2,96 0,49846 2,98 0,49856 3,00 0,49865 3,20 0,49931 3,40 0,49966 3,60 0,49984 3,80 0,499928 4,00 0,499968 5,00 0,499997 Приложение 3. Ф у н к ц и я в е р о я тн о с т е й F(z) с та н д а р ти зо в а н н о го н о р м а л ьн о го расп ред еления (площади стандартизованного нормального распределения от -со до z) F(z) = 1 ]/?Ж p(z) 7. rrZ exp Ч dz. -0 0 1—-J- X - 3 .0 -2 .9 -2 * 8 -2*7 -2 .6 -2 .5 - 2 .4 - 2 .3 - 2 .2 - 2 .1 - 2 .0 - 1 .9 - i.e - 1 *7 - 1 .6 - 1 .5 - 1 .4 - 1 .3 - 1 .2 -1*1 - 1 .0 - 0 .9 - o .e - 0 .7 -0 *6 - 0 .5 - 0 .4 - 0 .3 —0* 2 - 0 .1 - 0 .0 0 .0 0 .1 0 .2 0 *3 0*4 0 ,5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 .0 1 .1 1*2 1*3 1*4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1-9 2 .0 2 .1 2 .2 2 .3 2 .4 2 .5 2 .6 2 .7 2 .8 2*9 3 *0 0 0 .0 0 1 0 .0 0 2 0 .0 0 3 0 .0 0 3 0 .0 0 5 0 .0 0 6 0 .0 0 8 0*011 0 *0 1 4 0*016 0*023 0*0 2 9 0 *0 3 6 0 .0 4 5 0*0 5 5 0 .0 6 7 0 .0 8 1 0 .0 9 7 0 .1 1 5 0 .1 3 6 0 .1 5 9 0*1 8 4 0*212 0*242 0*2 7 4 0*309 0*345 0 *3 8 2 0*4 2 1 0 .4 6 0 0*500 0*500 0 .5 4 0 0*579 0*618 0*655 0 .6 9 1 0 .7 2 6 0*7 5 8 0 *7 8 8 0*816 0*$41 0*864 0*885 0 .9 0 3 0 .9 1 9 0*933 0 .9 4 5 0*955 0*964 0 .9 7 1 0*977 0*982 0*9 8 6 0 *9 6 9 0*992 0 .9 9 4 0*995 0 *9 9 7 0 .9 9 7 0.9 9 8 0 .9 9 9 1 0*001 0*002 0*002 0*003 0 .0 0 5 0 .0 0 6 0*006 0*010 0*014 0*017 0 .0 2 2 0*028 0*035 0*044 0*054 0*066 0*0 7 9 0*095 0*113 0*133 0*156 0*181 0*209 0*239 0*271 0* 305 0 *3 4 1 0*378 0 *4 1 7 0*456 0 .4 9 6 0*504 0*5 4 4 0*563 0*622 0*659 0*6 9 5 0 .7 2 9 0*761 0*791 0*819 0*844 0 .8 6 6 0 .8 8 7 0 .9 0 5 0 .9 2 1 0*934 0*946 0*956 0*965 0*972 0*978 0*983 0 *9 8 6 0*990 0 .9 9 2 0*994 0*995 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0*9 9 6 0*999 2 0 .0 0 1 0 .0 0 2 0*002 0*003 0*004 0*006 0*006 0*010 0*013 0*017 0*022 0*027 0*034 0 .0 4 3 0 .0 5 3 0 .0 6 4 0 .0 7 8 0 .0 9 3 0*111 0*131 0*154 0*179 0*206 0 *2 3 6 0*268 0*302 0*337 0*374 0 .4 1 3 0*452 0*492 0 .5 0 8 0*548 0*587 0*626 0*663 0*698 0*732 0*764 0*794 0*421 0 .8 4 6 0*869 0*889 0*907 0*922 0*936 0 .9 4 7 0*957 0*966 0*973 0*978 0*983 0*987 0*990 0 .9 9 2 0 .9 9 4 0 .9 9 6 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0 .9 9 4 0 .9 9 9 -z - j -2 3 4 0 .0 0 1 0*001 0*002 0*002 0 .0 0 2 0*002 0*003 0*003 0*004 0*004 0*006 0*006 0*008 0*007 0*010 0*010 0*013 0*013 0*017 0*016 0*021 0*021 0*027 0*026 0*034 0*033 0*042 0*041 0*052 0*051 0*063 0*062 0*076 0 .0 7 5 0*092 0 .0 9 0 0*109 0*107 0*129 0*127 0*152 0*149 0*176 0*174 0 .2 0 3 0*200 0*233 0*230 0 *2 6 4 0*261 0*296 0*295 0*334 0*330 0*371 0*367 0*409 0*405 0 .4 4 6 0*444 0 .4 8 8 0*484 0 .5 1 2 0*516 0 .5 5 2 0*556 0 .5 9 1 0*595 0 *6 2 9 0*633 0*666 0*670 0*702 0 .7 0 5 0 *7 3 6 0 .7 3 9 0*767 0 .7 7 0 0 .7 9 7 0*8 0 0 0 .8 2 4 0 .8 2 6 0 .8 4 8 0*851 0 .8 7 1 0 .8 7 3 0*891 0 .8 9 3 0*908 0*910 0*924 0 .9 2 5 0*937 0*938 0 .9 4 8 0*949 0*958 0*959 0*966 0*967 0*973 0*974 0*979 0*979 0*963 0*984 0*987 0*987 0 .9 9 0 0*990 0 .9 9 2 0*993 0*994 0*994 0 .9 9 6 0*996 0*997 0*997 0 .9 9 8 0*998 0 .9 9 6 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 .9 9 9 5 0* 001 0 . 002 0*002 0*003 0 .0 0 4 0*005 0*007 0*009 0*012 0*016 0*020 0*026 0*032 0*040 0*049 0*061 0*074 0 . 089 0 .^ 0 6 0*125 0*147 0*171 0*198 0*227 0*2 5 6 0*291 0*326 0*363 0*401 0*440 0 *4 8 0 0*520 0 .5 6 0 0*599 0 .6 3 7 0 .6 7 4 0 .7 0 9 0 .7 4 2 0 .7 7 3 0 .8 0 2 0 . 829 0*853 0*875 0*894 0*911 0*926 0*939 0 .9 5 1 0*960 0 .9 6 8 0 .9 7 4 0*980 0.9 8 4 0*986 0*991 0*993 0 . 995 0 .9 9 6 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0. 996 0.9 9 9 u— -/ 6 0*001 0 .0 0 2 0 .0 0 2 0 .0 0 3 0*004 0*005 0*007 0*009 0*012 0 .0 1 5 0*020 0 .0 2 5 0*031 0 .0 3 9 0 .0 4 8 0 *0 5 9 0*072 0*087 0*104 0 .1 2 3 0*145 0*169 0*195 0*224 0*255 0*288 0*323 0*359 0*397 0*436 0*476 0*524 0 .5 6 4 0*603 0 .6 4 1 0*677 0 .7 1 2 0 .7 4 5 0 .7 7 6 0*805 0 .8 3 1 0 .8 5 5 0 .8 7 7 0*896 0 .9 1 3 0*928 0*941 0*952 0*961 0*969 0*975 0*980 0 .9 8 5 0*988 0*991 0*993 0 .9 9 5 0 .9 9 6 0*997 0 .9 9 8 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 1 0 .0 0 1 0 .0 0 1 0 .0 0 2 0*003 0*004 0*005 0*007 0*009 0*012 0*015 0*019 0*024 0*031 0*038 0 .0 4 7 0 .0 5 8 0*071 0*085 0*102 0*121 0 .1 4 2 0 .1 6 6 0*192 0*221 0*251 0*284 0 .3 1 9 0 .3 5 6 0 .3 9 4 0*433 0 .4 7 2 0 .5 2 8 0 .5 6 7 0 .6 0 6 0 .6 4 4 0 .6 8 1 0 .7 1 6 0 .7 4 9 0 .7 7 9 0*608 0 .8 3 4 0*858 0 .8 7 9 0 .8 9 6 0 .9 1 5 0 .9 2 9 0 .9 4 2 0 .9 5 3 0 .9 6 2 0 .9 6 9 0 .9 7 6 0 .9 8 1 0 .9 8 5 0 .9 8 8 0 .9 9 1 0*993 0*995 0*996 0*997 0*998 0*999 0*999 J---- 1--—L 1 8 0 .0 0 1 0*001 0*0 0 2 0*003 0 *0 0 4 0 .0 0 5 0*007 0*009 0*011 0 .0 1 5 0*019 0 *0 2 4 0*030 0*038 0*046 0*057 0 .0 6 9 0 .0 8 4 0*100 0*119 0*140 0*164 0*189 0*218 0*248 0*281 0*31 6 0*352 0 .3 9 0 0*429 0 .4 6 8 0 *5 3 2 0 .5 7 1 0 .6 1 0 0 .6 4 8 0 *6 6 4 0 .7 1 9 0 .7 5 2 0*782 0*811 0 *6 3 6 0*860 0*881 0 .9 0 0 0 .9 1 6 0*931 0*943 0 *9 5 4 0*962 0*970 0 .9 7 6 0 .9 8 1 0*985 0 .9 8 9 0*991 0*993 0 .9 9 5 0 .9 9 6 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 .9 9 9 2 9 0 *0 0 1 O.OOi 0 *0 0 2 0 *0 0 3 0 *0 0 4 0 *0 0 5 0 .0 0 6 0*008 0 *0 1 1 0 *0 1 4 0 *0 1 8 0 *0 2 3 0 .0 2 9 0 .0 3 7 0 .0 4 6 0 .0 5 6 0 *0 6 8 0*0 8 2 0 *0 9 9 0 *1 1 7 0*1 3 8 0 .1 6 1 0 .1 8 7 0 .2 1 5 0 .2 4 5 0 *2 7 0 0 *3 1 2 0*348 0 .3 8 6 0 .4 2 5 0 .4 6 4 0 .5 3 6 0 .5 7 5 0 .6 1 4 0 *6 5 2 0*686 0*7 2 2 0*755 0*785 0 *8 1 3 0*839 0*6 6 2 0*883 0 .9 0 1 0*918 0*932 0*944 0 *9 5 4 0 *963 0*971 0 *9 7 7 0*982 0*986 0*989 0*992 0*994 0 .9 9 5 0*996 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 .9 9 9 Приложение 4. Критические площади стандартизованного нормального распределения а=- 1 00 е х р :=pf z>z dz=P P(z) 2a 0,00 0,01 0,02 0,03 0.04 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5000 0,4602 0,4207 0,3821 0,3446 0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409 0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0,3372 0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0.3336 0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0,3300 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3085 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841 0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814 0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788 0,2981 0,2643 0,2327 0,2033 0,1762 1,0. 0,1587 1,1 0,1357 1.2 ■0,1151 1.3 0,0968 1.4 0,0808 0,1562 0,1335 0,1131 0,0951 0,0793 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0,0668 0,0548 0,0446 0.0359 0,0287 0,0655 0,0537 0,0436 0,0351 0,0281 0,0643 0,0526 0,0427 0,0344 0,0274 2,0 2,1 2,2 2.3 2.4 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0.0183 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107 0,0104 0,0102 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0.00639 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139 | 0,05 0,09 0,06 0,07 0,08 0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264 0,4761 0,4364 0,3974 0,3594 0,3228 0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192 0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156 0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2946 0,2611 0,2296 0,2005 0,1736 0,2912 0,2578 0,2266 0,1977 0,1711 0,2877 0,2546 0,2236 0,1949 0,1685 0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660 0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635 0Д776 0,245! 0,2148 0,1867 0,1611 0,1539 0,1515 0,1314 0,1292 0,1112 0,1093 0,0934 0,0918 0,0778- 0,0764 0,1492 0,1271 0,1075 0,0901 0,0749 0,1469 0,1251 0,1056 0,0885 0,0735 0,1446 0,1230 0,1038 0,0869 0,0721 0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708 0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694 0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681 0,0630 0,0516 0,0418 Q,0336 0,0268 0,0618 0,0505 0,0409 0,0329 0,0262 0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0256 0,0594 0,0485 0,0392 0,0314 0,0250 0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0,0244 0,0571 0,0465 0,0375 0.0301 0,0239 0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233 J i Приложение 5. Критические значения X2-критерия (критерия Пирсона) п р и v степенях свободы и принимаемом уровне значимости а а = 7 p( X2 )dX2 - Число степенен свооооы V p( x2 v > Уровень значимости х ■ 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,10 1 2 3 4 5 0,000039 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,00016 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,00098 0,0506 0,216 0,484 0,831 0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 2,71 3,84 5,02 6,63 4,61 5,99 7,38 9,21 6,25 7,81 9,35 11,34 7,78 9,49 11,14 13,28 9,24 11,07 12,83 15,09 б 7 8 9 10 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 0,0158 0,211 0.584 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 16,81 18,48 20.09 21,67 23,21 18,55 20,28 21,96 23,59 25,19 11 12 13 14 15 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 4,57 5,23 5,89 6,57 7/26 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,4! 19,68 21,03 22,36 23.68 *25,00 16 17 18 19 20 5,58 6,30 7 04 7,79 8,55 9,31 10,08 10,86 11,65 12,44 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 21 22 23 24 25 8,03 8,64 9,26 9,89 10,52 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 10,28 10,98 11,69 12,40 13» 12 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 29,62 30,81 32 01 33,20 34,38 32,67 33,92 35,17 36.42 37,65 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 26 27 28 29 30 11,16 11,81 12,46 13,12 13,79 12,20 13,84 12,88 14,57 13,56 . 15,31 14,26 16,05 14,95 16,79 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 17 „29 18,11 18,94 19,77 20,60 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 38,88 40,11 41,34 42,56 43,77 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 40 60 120 20,71 35,53 83,85 22,16 37,48 86,92 26,51 43,19 95,70 29,05 46,46 100,62 24.43 40*48 91,58 0,05 0,025 0,010 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49 59 50,89 0,005 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,64 50,99 52,34 53,67 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 74,40 79,08 83,30 .88,38 91,95 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65 Приложение 6 Критические значения одностороннего критерия Стьюдента при v степенях свободы и принимаемом уровне значимости а Число степеней свободы, V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 00 Уровень значимости, а од 3,078 1 , 8 8 6 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,377 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,264 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,105 3,055 3,012 2,977 2,947 2,961 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576 318,310 22,327 10,215 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 2,232 3,160 3,090 Приложение 7 К р и т и ч е с к и е значения распределения Ф и ш е р а F a для уровня значимости а -0,05 Число степеней свободы числителя v, V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 1 161,4 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 4,23 4,21 4,20 4,18 4,17 4,08 4 6 5 2 3 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 19,00 19,16 19,25 19,3 19,33 8,94 9,01 9,55 9,28 9,12 8,94 6,59 6,39 6,26 6,16 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,12 3,97 3,87 4,74 4,35 3,84 4,46 4,07 3,60 3,58 3,37 4,26 3,86 3,43 3,63 3,43 3,33 3,22 4,10 3,71 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 3,03 2,92 3,81 3,41 3,18 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,85 2,74 3,63 3,24 3,01 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,77 2,66 3,55 3,16 2,93 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,60 3,49 3,10 2,87 2,71 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 3,42 3,03 2,60 2,64 2,53 2,62 2,51 3,40 3,01 2,78 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,57 2,46 3,35 2,96 2,73 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,42 3,32 2,92 2,69 2,53 3,23 2,64 2,61 2,45 2,34 120 40 60 24 30 15 20 10 12 7 8 9 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 19,35 19,37 19,33 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 8,55 8,62 8,59 8,57 8 70 8,66 8,64 8,79 8,74 8,89 8,85 8,81 5,72 5,69 5,66 5,75 5,77 5,80 5,86 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,55 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 3,70 3,77 3,74 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,27 3,44 3,41 3,33 3,34 3,30 3,64 3,57 3,51 3,79 3,73 3,68 2,97 3,08 3,04 3,01 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,50 3,44 3,39 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 3,14 3,07 3,01 3,29 3,23 3,18 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,57 2,53 2,49 2,45 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2 72 2,65 2,61 2,34 2,47 2,43 2,38 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,30 2,25 2,34 2,38 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,83 2,77 2,71 2,50 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31: 2,27 2,22 2,18 2,76 2,70 2,65 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,71 2,06 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,10 2,06 2,01 2,19 2,15 2,31 2,38 2,23 2,49 2,45 2,61 2,55 1,97 2,06 2,02 2,11 2,34 2,27 2,19 2,15 2,5S 2,51 2,46 2,41 1,98 1,93 2,07 2,03 2,23 2,16 2,11 2,54 2,48 2,42 2,39 2,31 1,90 1,99 1,95 2,45 2,38 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 2,51 1,87 1,96 1,92 2,18 2,10 2,05 2,01 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 1,84 1,94 1,89 1,98 2,15 2,07 2,03 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 1,81 1,86 1,96 1,91 2,44 2,37 2,32 2,21 2,20 2,13 2,05 2,01 1,84 1,79 1,94 1,69 2,03 1,98 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 1,77 1,92 1,87 1,82 1,96 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,80 1,75 1,85 1,99 1,95 1,90 2,07 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 1,79 1,73 1,89 1,84 1,97 1,93 2,06 2,20 2,13 2,37 2,31 2,25 1,77 1,82 1,87 1,96 1,71 2,12 2,04 1,91 2,36 2,29 2,24 2,19 1,75 1,70 1,81 1,94 1,90 1,85 2,35 2,23 2,22 2,18 2,10 2,03 1,74 1,69 1,79 1,84 1,89 1,93 2,09 2,01 2,16 2,27 2,21 2,33 1,58 1,84 1,74 1,89 1,64 1,79 1,92 2,03 2,00 2,25 2,18 2,12 оо 254,3 19,50 8,53 5,63 4,35 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,09 1,88 1,84 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,69 1,67 1,65 1,64 1,62 1,51 Приложение 8 Критические значения распределения Ф и ш е р а F a для уровня значимости а =0,025 Число степеней свободы числителя v, 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 27 28 29 30 40 60 120 оо 1 2 3 4 4052 499,5 5403 5625 98,50 99,00 99,17 99,25 34,12 30,82 29,46 28,71 21,20 18,00 18,69 15,98 16,28 13,27 12,06 11,39 13,75 10,92 9,78 9,15 12,25 9,55 8,45 7,85 11,26 8,65 7,59 7,01 10,56 8,02 8,99 6,42 10,04 7,58 6,55 5,99 7,21 6,22 5,67 9,65 9,33 8,93 5,95 5,41 9,07 8,70 5,74 5,21 8,86 6,51 5,56 5,04 8,88 6,36 5,42 4,89 6,23 5,29 4,77 8,53 8,40 6,11 5,18 4,67 6,01 5,09 4,59 8,29 8,18 5,93 5,01 4,50 8,10 5,85 4,94 4,43 8,02 5,78 4,87 4,37 7,95 5,72 4,82 4,31 7,88 5,66 4,76 4,26 5,61 4,72 4,22 7,82 7,77 5,57 4,68 4,18 7,72 5,53 4,64 4,14 7,68 5,49 4,60 4,11 7,64 5,45 4,57 4,07 5.42 4,54 4,04 7,60 7,56 5,39 4,51 4,02 5,18 4,31 3,83 7,31 3,65 7,08 4,98 4,13 8,85 4,79 3,95 3,48 6,63 4,61 3,78 3,32 5 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,89 4,53 4,44 4,34 4,25 4,17 4,10 4,04 3,99 3,94 3,90 3,85 3,82 3,78 3,75 3,73 3,70 3,51 3,34 3,17 3,02 6 5859 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 4,01 3,94 3,87 3,81 3,76 3,71 3,67 3,63 3,59 3,56 3,53 3,50 3,47 3,29 3,12 2,96 2,60 7 5928 99,36 27,67 14,98 10,46 8,26 6,99 6Д8 5,61 5,20 4,89 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 2,95 2,79 2,64 8 5981 99,37 27,49 14,80 10,29 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,58 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 3,23 3,20 3,17 2,99 2,82 2,66 2,51 9 6022 99,39 27,35 14,66 10,16 7,98 6,72 5,91 5,35 4,94 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,46 3,40 3,35 3,30 3,26 3,22 3,18 3,15 3,12 3,09 3,07 2,89 2,72 2,56 2,41 10 6056 99,40 27,23 14,55 10,05 7,87 6,62 5,81 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,21 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,63 2,47 2,32 12 6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,46 3,37 3,30 3,23 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,87 2,64 2,68 2,50 2,34 2,18 15 6157 99,43 26,87 14,20 9,72 7,56 6,31 5,52 4,96 4,56 4,25 4,01 3,82 3,66 3,52 3,41 3,31 3,23 3.15 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,81 2,78 2,75 2,73 2,70 2,52 2,35 2,19 2,04 20 6209 99,45 26,69 14,02 9,55 7,40 6,16 5,36 4,81 4,41 4,10 3,86 3,68 3,51 3,37 3,26 3,16 3,08 3,00 2,94 2,88 2,83 2,78 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,56 2,37 2,20 2,03 1,88 24 6235 99,46 26,60 13,93 9,47 7,31 6,07 5,28 4,73 4,33 4,02 3,78 3,59 3,43 3,29 3,18 3,08 3,00 2,92 2,86 2,80 2,75 2,70 2,68 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,29 2,12 1,95 1,79 30 6261 99,47 26,50 13,84 9,39 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,03 1,86 1,70 40 6287 99,47 28,41 13,75 9,29 7,14 5,91 5,12 4,57 4,17 3,86 3,62 3,43 3,27 3,13 3,02 2,92 2,84 2,76 2,69 2,64 2,58 2,54 2,49 2,45 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,11 1,94 1,76 1,59 60 6313 99,48 26,32 13,65 9,20 7,08 5,82 5,03 4,48 4,08 3,78 3,54 3,34 3,18 3,05 2,93 2,83 2,75 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,40 2,36 2,33 2,29 2,26 2,23 2,21 2,02 1,84 1,66 1,47 120 оо 6339 6366 99,49 99,50 26,22 26,13 13,56 13,46 9,02 9,11 6,88 6,97 5,65 5,74 4,86 4,95 4,31 4,40 3,91 4,00 3,60 3,69 3,36 3,45 3,17 3,25 3,00 3,09 2,87 2,96 2,75 2,84 2,65 2,75 2,57 2,66 2,49 2,59 2,42 2,52 2,33 2,46 2,31 2,40 2.26 2,35 2,21 2,31 2,17 2,27 2,13 2,23 2,10 2,20 2,06 2,17 2,03 2,14 2,01 2,11 1,80 1,92 1,60 1,73 1,38 1,53 1,00 1,32 Приложение 9 Критические значения распределения Фишера F a для уровня значимости от-0,001 Число степеней свободы числителя v, V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 23 29 30 40 60 120 00 1 4053* 998,5 167,0 74,14 47,18 35,51 29,25 25,42 22,88 21,04 19, 69 18,64 17,81 17,14 16,59 16,12 15,72 15,38 15,08 14,82 14,59 14,38 14,19 14,03 13,88 13,74 13,81 13,50 13,39 13,29 12,81 11,97 11,38 10,83 2 5000* 999,0 148 61,25 37,12 27,00 21,69 18,49 16,39 14,91 13,81 12,97 12,31 11,78 11,34 10,97 10,88 10,39 10,16 9,95 9,77 9,81 9,47 9,34 9,22 9,12 9,02 8,93 8,86 8,77 8,25 7,76 7,32 6,91 3 5404* 999,2 141,1 56,18 33,20 23,70 18,77 15,83 13,90 12,55 11,58 10,80 10,21 9,73 9,34 9,00 8,73 8,49 8,29 8,10 7,94 7,80 7,67 7,55 7,45 7,36 7,27 7,19 7,12 7,05 6,80 6,17 5,79 5,42 * Эти значения надо у м н о ж и т ь на 1 0 0 4 5825* 999,2 137,1 53,44 31,09 21,92 17,19 14,39 12,56 11,28 10,35 9,63 9,07 8,62 8,25 7,94 7,68 7,46 7,26 7,10 6,95 6,81 6,69 6,59 6,49 6,41 8,33 6,25 6,19 6,12 5,70 5,31 4,95 4,62 5 5764* 999,3 134,6 51,71 29,75 20,81 16,21 13,49 11,71 10,48 9,58 8,89 8,35 7,92 7,57 7,27 7,02 6,81 6,62 6,46 6,32 6,19 6,08 5,98 5,88 5,80 5,73 5,66 5,59 5,53 5,13 4,76 4,42 4,10 6 5859* 999,3 132,8 50,53 28,84 20,03 15,52 12,86 11,13 9,92 9,05 8,38 7,86 7,43 7,09 6,81 6,56 8,35 6,18 8,02 5,89 5,76 5,85 5,55 5,48 5,38 5,31 5,24 5,18 5,12 4,73 4,37 4,04 3,74 7 5929* 999,4 131,6 49,66 29,16 19,46 15,02 12,40 10,70 9,52 8,66 8,00 7,49 7,08 6,74 6,46 6,22 6,02 5,85 5,69 5,56 5,44 5,33 5,23 5,15 5,07 5,00 4,93 4,87 4,82 4,44 4,09 3,77 3,47 8 5981* 999,4 130,6 49,00 27,64 19,03 14,63 12,04 10,37 9,20 8,36 7,71 7,21 6,80 6,47 6,19 5,96 5,76 5,59 5,44 5,31 5,19 5,09 4,99 4,91 4,83 4,76 4,69 4,64 4,58 4,21 3,87 3,55 3,27 9 6023* 999,4 129,9 48,47 27,24 18,69 14,33 11,77 10,11 8,96 8,12 7,48 6,98 6,58 6,26 5,98 5,75 5,56 5,39 5,24 5,11 4,99 4,89 4,80 4,71 4,64 4,57 4,50 4,45 4,39 4,02 3,69 3,39 3,10 10 8056* 999,4 129,2 48,05 26,92 18,41 14,08 11,54 9,89 8,75 7,92 7,29 6,80 6,40 6,09 5,81 5,59 5,39 5,22 5,08 4,95 4,83 4,73 4,64 4,58 4,48 4,41 4,35 4,29 4,24 3,87 3,54 3,24 2,96 12 6107* 999,4 128,3 47,41 26,42 17,99 13,71 11,19 9,57 8,45 7,63 7,00 6,52 6,13 5,81 5,55 5,32 5,13 4,97 4,82 4,70 4,58 4,48 4,39 4,31 4,24 4,17 4 ,П 4,05 4,00 3,64 3,31 3,02 2,74 15 6156* 999,4 127,4 46,76 25,91 17,58 13,32 10,84 9,24 8,13 7,32 6,71 6,23 5,85 5,54 5,27 5,05 4,87 4,70 4,56 4,44 4,33 4,23 4,14 4,06 3,99 3,92 3,86 3,80 3,75 3,40 3,08 2,78 2,51 20 6209* 999,4 126,4 46,10 25,39 17,12 12,93 10,48 8,90 7,80 7,01 6,40 5,93 5,56 5,25 4,99 4,78 4,59 4,43 4,29 4,17 4,06 3,96 3,87 3,79 3,72 3,66 3,60 3,54 3,49 3,15 2,83 2,53 2,27 24 6235* 999,5 125,9 45,77 25,14 16,89 12,73 10,30 8,72 7,64 6,85 6,25 5,78 5,41 5,10 4,85 4,63 4,45 4,29 4,15 4,03 3,92 3,82 3,74 3,66 3,59 3,52 3,46 3,41 3,36 3,01 2,69 2,40 2,13 30 6261* 999,5 125,4 45,43 24,87 16,67 12,53 10,11 8,55 7,47 6,68 6,09 5,63 5,25 4,95 4,70 4,48 4,30 4,14 4,00 3,88 3,78 3,68 3,59 3,52 3,44 3,38 3,32 3,27 3,22 2,87 2,55 2,26 1,99 40 6287* 999,5 125,0 45,09 24,60 16,44 12,33 9,92 8,37 7,30 6,52 5,93 5,47 5,10 4,80 4,54 4,33 4,15 3,99 3,86 3,74 3,63 3,53 3,45 3,37 3,30 3,23 3,18 3,12 3,07 2,73 2,41 2,11 1,84 60 6313* 999,5 124,5 44,75 24,33 16,21 12,12 9,73 8,19 7,12 6,35 5,76 5,30 4,94 4,64 4,39 4,18 4,00 3,84 3,70. 3,58 3,48 3,38 3,29 3,22 3,15 3,08 3,02 2,97 2,92 2,57 2,25 1,95 1,66 00 120 6340* 6366* 999,5 999,5 124,0 123,5 44,40 44,05 24,06 23,79 15,99 15,75 11,91 11,70 9,53 9,33 7,81 6,00 6,94 6,76 6,00 6,17 5,42 5,59 4,97 5,14 4,60 4,77 4,31 4,47 4,06 4,23 4,02 3,85 3,84 3,67 3,51 3,68 3,54 3,38 3,26 3,42 3; 15 3,32 3,22 3,05 2,97 3,14 2,89 3,06 2,82 2,99 2,75 2,92 2,69 2,86 2,64 2,81 2,76 2,59 2,23 2,41 1,89 2,08 1,54 1,76 1,45 1,00 Приложение 10 ГРЕ ЧЕСКИЙ АЛФАВИТ Печатные буквы Рукописные буквы А а Б р а «8 / ГТ Транскрипция Печатные буквы Рукописные буквы Транскрипция альфа N v off V ни (ню) бёта ге £ гамма О о О о П тс А б л £ дельта Е £ Г £ эпсилон Z L 2 С Нт] ^ 0А6 I L 2 <тс; п кси омикрон пи сР р ро I&Q сигма . эта Т х Тт тау 6$6 тэта Т и V v эпсилон J I йота Фср фт фи 7] К х с Кж А X л М{1 Ж р р дзета С я сМ /и каппа хи Х х ламбда ми (мю) ф ф 1 <р<ь Q со О со пси V омега Приложение 11 ЛА ТИНСКИЙ АЛФАВИТ Печатные буквы Аа В Ъ <ж С с ё D Е F G Н I J Рукописные буквы а а b N бэ £ цэ О о Р Р Ч Q R г d ф f 6 е (? t € g h I 9 • J К k L I М m & % 9- d д э 9к L Q ь • X £ Ж k L ш э ха (аш) т и и й о т(жи) W к а эль эм Y Z ш п О 0ф рЧ га it п S 8 эф гэ (жэ) Рукописные буквы Печатные буквы Транскрипция t а л i VV t ъ (11 VL ф а W X X К) Об U У Z ШX <¥ V £ Z Транскрипция эн О пэ ку эр эс тэ У вэ дубль-вэ икс игрек зэт Приложение 12 Латинский шрифт Печатные буквы Рукописные буквы a А а ВЬ Сс Немецкий (готический) шрифт Печатные буквы Яа $Ь Рукописные Международная транскрипция буквы e tSgJ F с S D d Ее Ff Gg Hh I! JJ Kk Lt Mm Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz r - s y ф* oZ* 7 / J£S m c/Z. <&/> ау C%v,« sr* <2t« ЧГ* <se* 3 ?~ 3i 3i sr f SI SK m 5111 О0 * * D. q 0t r 6 f8 Xt Uu 33» 2B ш *5 9)9 3s Название букв fr ¥/ 7 a tJ / 5?J WM rf*4Г ? / $?■* О&ме * 6 %7 pa:] [be:] [tse:] [de:] l'e:l f«*l [ge-I [ha:] [’«:] |pt] [ka:] i'dl [’em| pen] ]’o:] |pe:| |ku:| per] P*S] [te:] pu:] |fao] [ve:] I’iks] [’ypsilDn] [tset] Транскрипция русскими буквами a бэ ЦЭ дэ э эф гэ ха и йот ка ЭЛ эм эн 0 пэ ку эр эс тэ У фау вэ икс ипсилон цэт г*. f Приложение 1. Значения p{z) (ординаты) стандартизованного нормального распределения 1 е p(z) -Z2/2 0,3989 |/2Я / p(z) —1--- i -гП -J ---- 1 __1__ L_ . ...1 . -2-1 О ! . J---- 1 1Z, 2 3 z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0.09 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,3989 0,3970 0,3910 0.3814 0,3683 0,3989 0,3966 0,3902 0,3802 0,3668 0,3989 0,3951 0,3894 0,3790 0,3653 0,3988 0,3956 0,3884 0,3778 0,3637 0,3986 9,3951 0,3876 0.3765 0,3621 0,3986 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589 0,3930 0,3932 0,3847 0,3725 0,3572 0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555 0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0 2613 0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,3448 0,3251 .0,3034 0,2803 0,2565 0,3429 0,3*30 0.3011 0,2780 0,2541 0,3410 0,3209 0,2989 0 2750 0,2516 0,3391 0.3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,3352 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444 1,0 1,1* 1,2 1,3 1,4 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,2396 0,2155 0,1919 0,1691 0,1476 0,2371 0.2131 0,1895 0,i669 0,1456 0,2347 0,2107 0.1872 0,1647 0,1435 0.2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,2299 0,2059 0,1826 0,1605 0,1394 0,2275 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374 0,2251 0.2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334 0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315 1.5 1,6 1.7 1,8 1.9 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0 1257 0,1074 0.0909 0,0761 0,0632 0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0.1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0 1282 0.1005 0,0818 0.0707 0.0584 0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,1145 0,0973 0.08)8 0,0681 0,0562 0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0.0051 2,0 2,1 2.2 2,3 2,4 0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0519 0,0422 0.0339 0,0270 0,0213 0,0508 0.04i3 0.0332 0.0264 0 0208 0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0.0203 0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,0198 0.0478 0,0387 0.0310 0,0246 0,0194 0,0468 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189 0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184 0,0449 0,036.4 0,0290 0,0229 0,0180 2,5 2.6 2,7 2,8 2,9 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0171 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058 0,0167 0,0129 0,0099 0,0075 0,0056 0,0163 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055 0.0158 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051 0,0151 0,0116 0.0088 0.0067 0,0050 0,0147 0,0113 0,0086 0,0065 0,0048 0.0143 0,0110 0,0084 0 0063 0,0047 0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046 3,0 3,1 3.2 3,3 3,4 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0043 0,0032 0.0023 0,0017 0,0012 0.0042 0.0031 0,0022 0.0016 0,0012 0,0040 0,0030 0,0022 0.0016 0.0039 0.0038 0,0037 0,0036 0.0029 0,0028 0,0027 0,0026 0.0021 0,0020 0,0020 0,0019 0.0015 0.0015 0,0014 0,0014 0.0011 0,00h 0,0010 0,0010 0,0010 0,0035 0,0025 0,0018 0.0013 0,0009 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,000* 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,000! ' 1 0,0008 0.0005 0,0004 0.0003 0.0002 0,0007 0,0005 0,0004 0.0002 0,0002 0.0007 0,0005 0,0003 0 0002 0,0002 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 Приложение 2 З начения ф у н к ц и и Лап л а с а Ф ( г ) = 0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 Ф(г) 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0478 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0 0 Ф(*) 0,44 0,1700 0,88 0,45 0,1736 0,89 0,46 0,1772 0,90 0,47 0,1808 0,91 0,48 0,1844 0,92 0,49 0,1879 0,93 0,50 0,1915 0,94 0,195 0,95 0,51 0,52 0,1985 0,96 0,53 0,2019 0,97 0,54 0,2054 0,98 0,55 0,2088 0,99 0,56 0,2123 1,00 0,57 0,2157 1,01 0,58 0,219 1,02 0,2224 0,59 1,03 0,60 0,2257 1,04 0,61 0,2291 1,05 0,62 0,2324 1,06 0,63 0,2357 1,07 0,64 0,2389 1,08 0,65 0,2422 1,09 0,66 0,2454 1,10 0,67 0,2486 1,11 0,68 0,2517 1,12 0,69 0,2549 1,13 0,70 0,258 1,14 0,71 0,2611 1,15 0,72 0,2642 1,16 0,73 0,2673 1,17 0,74 0,2703 1,18 0,75 0,2734 1,19 0,76 0,2764 1,20 0,77 0,2794 1,21 0,78 0.2823 1,22 0,79 0,2852 1,23 0,80 0,2881 1,24 0,81 0,291 1,25 0,82 0,2939 1,26 0,83 0,2967 1,27 0,84 0,2995 1,28 0,85 0,3023 1,29 0,86 0,3051 1,30 0,87 0,3078 1,31 Ф(г) 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,34 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 Ф(г) 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4131 0,4147 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,43 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4S54 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 е zdx Ф(г) 0 1,76 0,4608 1,77 0,4616 1,78 0,4625 1,79 0,4633 1,80 0,4641 1,81 0,4649 1,82 0,4656 1,83 0,4664 1,84 0,4671 1,85 0,4678 1,86 0,4686 1,87 0,4693 1,88 0,4699 1,89 0,4706 1,90 0,4713 1,91 0,4719 1,92 0,4726 1,93 0,4732 1,94 0,4738 1,95 0,4744 1,96 0,475 1,97 0,4756 1,98 0,4761 1,99 0,4767 2,00 0,4772 2,02 0,4783 2,04 0,4793 2,06 0,4803 2,08 0,4812 2,10 0,4821 2,12 0,483 2,14 0,4838 2,16 0,4846 2,18 0,4854 2,20 0,4861 2,22 0,4868 2,24 0,4875 2,26 0,4881 2,28 0,4887 2,30 0,4893 2,32 0,4898 2,34 0,4904 2,36 0,4909 2,38 0,4913 0 <И*) 0,4918 2,40 0,4922 2,42 0,4927 2,44 0,4931 2,46 0,4934 2,48 0,4938 2,50 2,52 0,4941 2,54 0,4945 2,56 0,4948 2,58 0,4951 2,60 0,4953 2,62 0,4956 2,64 0,4959 2,66 0,4961 0,4963 2,68 0,4965 2,70 2,72 0,4967 2,74 0,4969 2,76 0,4971 2,78 0,4973 0,4974 2,80 2,82 0,4976 0,4977 2,84 2,86 0,4979 2,88 0,498 2,90 0,4981 2,92 0,4982 2,94 0,4984 2,96 0,49846 2,98 0,49856 3,00 0,49865 3,20 0,49931 3,40 0,49966 3,60 0,49984 3,80 0,499928 4,00 0,499968 5,00 0,499997 Приложение 3. Ф у н к ц и я в е р о я тн о с т е й F(z) с та н д а р ти зо в а н н о го н о р м а л ьн о го расп ред еления (площади стандартизованного нормального распределения от -со до z) F(z) = 1 ]/?Ж p(z) 7. rrZ exp Ч dz. -0 0 1—-J- X - 3 .0 -2 .9 -2 * 8 -2*7 -2 .6 -2 .5 - 2 .4 - 2 .3 - 2 .2 - 2 .1 - 2 .0 - 1 .9 - i.e - 1 *7 - 1 .6 - 1 .5 - 1 .4 - 1 .3 - 1 .2 -1*1 - 1 .0 - 0 .9 - o .e - 0 .7 -0 *6 - 0 .5 - 0 .4 - 0 .3 —0* 2 - 0 .1 - 0 .0 0 .0 0 .1 0 .2 0 *3 0*4 0 ,5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 .0 1 .1 1*2 1*3 1*4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1-9 2 .0 2 .1 2 .2 2 .3 2 .4 2 .5 2 .6 2 .7 2 .8 2*9 3 *0 0 0 .0 0 1 0 .0 0 2 0 .0 0 3 0 .0 0 3 0 .0 0 5 0 .0 0 6 0 .0 0 8 0*011 0 *0 1 4 0*016 0*023 0*0 2 9 0 *0 3 6 0 .0 4 5 0*0 5 5 0 .0 6 7 0 .0 8 1 0 .0 9 7 0 .1 1 5 0 .1 3 6 0 .1 5 9 0*1 8 4 0*212 0*242 0*2 7 4 0*309 0*345 0 *3 8 2 0*4 2 1 0 .4 6 0 0*500 0*500 0 .5 4 0 0*579 0*618 0*655 0 .6 9 1 0 .7 2 6 0*7 5 8 0 *7 8 8 0*816 0*$41 0*864 0*885 0 .9 0 3 0 .9 1 9 0*933 0 .9 4 5 0*955 0*964 0 .9 7 1 0*977 0*982 0*9 8 6 0 *9 6 9 0*992 0 .9 9 4 0*995 0 *9 9 7 0 .9 9 7 0.9 9 8 0 .9 9 9 1 0*001 0*002 0*002 0*003 0 .0 0 5 0 .0 0 6 0*006 0*010 0*014 0*017 0 .0 2 2 0*028 0*035 0*044 0*054 0*066 0*0 7 9 0*095 0*113 0*133 0*156 0*181 0*209 0*239 0*271 0* 305 0 *3 4 1 0*378 0 *4 1 7 0*456 0 .4 9 6 0*504 0*5 4 4 0*563 0*622 0*659 0*6 9 5 0 .7 2 9 0*761 0*791 0*819 0*844 0 .8 6 6 0 .8 8 7 0 .9 0 5 0 .9 2 1 0*934 0*946 0*956 0*965 0*972 0*978 0*983 0 *9 8 6 0*990 0 .9 9 2 0*994 0*995 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0*9 9 6 0*999 2 0 .0 0 1 0 .0 0 2 0*002 0*003 0*004 0*006 0*006 0*010 0*013 0*017 0*022 0*027 0*034 0 .0 4 3 0 .0 5 3 0 .0 6 4 0 .0 7 8 0 .0 9 3 0*111 0*131 0*154 0*179 0*206 0 *2 3 6 0*268 0*302 0*337 0*374 0 .4 1 3 0*452 0*492 0 .5 0 8 0*548 0*587 0*626 0*663 0*698 0*732 0*764 0*794 0*421 0 .8 4 6 0*869 0*889 0*907 0*922 0*936 0 .9 4 7 0*957 0*966 0*973 0*978 0*983 0*987 0*990 0 .9 9 2 0 .9 9 4 0 .9 9 6 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0 .9 9 4 0 .9 9 9 -z - j -2 3 4 0 .0 0 1 0*001 0*002 0*002 0 .0 0 2 0*002 0*003 0*003 0*004 0*004 0*006 0*006 0*008 0*007 0*010 0*010 0*013 0*013 0*017 0*016 0*021 0*021 0*027 0*026 0*034 0*033 0*042 0*041 0*052 0*051 0*063 0*062 0*076 0 .0 7 5 0*092 0 .0 9 0 0*109 0*107 0*129 0*127 0*152 0*149 0*176 0*174 0 .2 0 3 0*200 0*233 0*230 0 *2 6 4 0*261 0*296 0*295 0*334 0*330 0*371 0*367 0*409 0*405 0 .4 4 6 0*444 0 .4 8 8 0*484 0 .5 1 2 0*516 0 .5 5 2 0*556 0 .5 9 1 0*595 0 *6 2 9 0*633 0*666 0*670 0*702 0 .7 0 5 0 *7 3 6 0 .7 3 9 0*767 0 .7 7 0 0 .7 9 7 0*8 0 0 0 .8 2 4 0 .8 2 6 0 .8 4 8 0*851 0 .8 7 1 0 .8 7 3 0*891 0 .8 9 3 0*908 0*910 0*924 0 .9 2 5 0*937 0*938 0 .9 4 8 0*949 0*958 0*959 0*966 0*967 0*973 0*974 0*979 0*979 0*963 0*984 0*987 0*987 0 .9 9 0 0*990 0 .9 9 2 0*993 0*994 0*994 0 .9 9 6 0*996 0*997 0*997 0 .9 9 8 0*998 0 .9 9 6 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 .9 9 9 5 0* 001 0 . 002 0*002 0*003 0 .0 0 4 0*005 0*007 0*009 0*012 0*016 0*020 0*026 0*032 0*040 0*049 0*061 0*074 0 . 089 0 .^ 0 6 0*125 0*147 0*171 0*198 0*227 0*2 5 6 0*291 0*326 0*363 0*401 0*440 0 *4 8 0 0*520 0 .5 6 0 0*599 0 .6 3 7 0 .6 7 4 0 .7 0 9 0 .7 4 2 0 .7 7 3 0 .8 0 2 0 . 829 0*853 0*875 0*894 0*911 0*926 0*939 0 .9 5 1 0*960 0 .9 6 8 0 .9 7 4 0*980 0.9 8 4 0*986 0*991 0*993 0 . 995 0 .9 9 6 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0. 996 0.9 9 9 u— -/ 6 0*001 0 .0 0 2 0 .0 0 2 0 .0 0 3 0*004 0*005 0*007 0*009 0*012 0 .0 1 5 0*020 0 .0 2 5 0*031 0 .0 3 9 0 .0 4 8 0 *0 5 9 0*072 0*087 0*104 0 .1 2 3 0*145 0*169 0*195 0*224 0*255 0*288 0*323 0*359 0*397 0*436 0*476 0*524 0 .5 6 4 0*603 0 .6 4 1 0*677 0 .7 1 2 0 .7 4 5 0 .7 7 6 0*805 0 .8 3 1 0 .8 5 5 0 .8 7 7 0*896 0 .9 1 3 0*928 0*941 0*952 0*961 0*969 0*975 0*980 0 .9 8 5 0*988 0*991 0*993 0 .9 9 5 0 .9 9 6 0*997 0 .9 9 8 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 1 0 .0 0 1 0 .0 0 1 0 .0 0 2 0*003 0*004 0*005 0*007 0*009 0*012 0*015 0*019 0*024 0*031 0*038 0 .0 4 7 0 .0 5 8 0*071 0*085 0*102 0*121 0 .1 4 2 0 .1 6 6 0*192 0*221 0*251 0*284 0 .3 1 9 0 .3 5 6 0 .3 9 4 0*433 0 .4 7 2 0 .5 2 8 0 .5 6 7 0 .6 0 6 0 .6 4 4 0 .6 8 1 0 .7 1 6 0 .7 4 9 0 .7 7 9 0*608 0 .8 3 4 0*858 0 .8 7 9 0 .8 9 6 0 .9 1 5 0 .9 2 9 0 .9 4 2 0 .9 5 3 0 .9 6 2 0 .9 6 9 0 .9 7 6 0 .9 8 1 0 .9 8 5 0 .9 8 8 0 .9 9 1 0*993 0*995 0*996 0*997 0*998 0*999 0*999 J---- 1--—L 1 8 0 .0 0 1 0*001 0*0 0 2 0*003 0 *0 0 4 0 .0 0 5 0*007 0*009 0*011 0 .0 1 5 0*019 0 *0 2 4 0*030 0*038 0*046 0*057 0 .0 6 9 0 .0 8 4 0*100 0*119 0*140 0*164 0*189 0*218 0*248 0*281 0*31 6 0*352 0 .3 9 0 0*429 0 .4 6 8 0 *5 3 2 0 .5 7 1 0 .6 1 0 0 .6 4 8 0 *6 6 4 0 .7 1 9 0 .7 5 2 0*782 0*811 0 *6 3 6 0*860 0*881 0 .9 0 0 0 .9 1 6 0*931 0*943 0 *9 5 4 0*962 0*970 0 .9 7 6 0 .9 8 1 0*985 0 .9 8 9 0*991 0*993 0 .9 9 5 0 .9 9 6 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 .9 9 9 2 9 0 *0 0 1 O.OOi 0 *0 0 2 0 *0 0 3 0 *0 0 4 0 *0 0 5 0 .0 0 6 0*008 0 *0 1 1 0 *0 1 4 0 *0 1 8 0 *0 2 3 0 .0 2 9 0 .0 3 7 0 .0 4 6 0 .0 5 6 0 *0 6 8 0*0 8 2 0 *0 9 9 0 *1 1 7 0*1 3 8 0 .1 6 1 0 .1 8 7 0 .2 1 5 0 .2 4 5 0 *2 7 0 0 *3 1 2 0*348 0 .3 8 6 0 .4 2 5 0 .4 6 4 0 .5 3 6 0 .5 7 5 0 .6 1 4 0 *6 5 2 0*686 0*7 2 2 0*755 0*785 0 *8 1 3 0*839 0*6 6 2 0*883 0 .9 0 1 0*918 0*932 0*944 0 *9 5 4 0 *963 0*971 0 *9 7 7 0*982 0*986 0*989 0*992 0*994 0 .9 9 5 0*996 0 .9 9 7 0 .9 9 8 0 .9 9 9 0 .9 9 9 Приложение 4. Критические площади стандартизованного нормального распределения 00 а=- 1 ехр :=pf z>z dz=P P(z) 0,02 2a 0,00 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5000 0,4602 0,4207 0,3821 0,3446 0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409 0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0,3372 0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0.3336 0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0,3300 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3085 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841 0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814 0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788 0,2981 0,2643 0,2327 0,2033 0,1762 1,0. 0,1587 1,1 0,1357 1.2 ■0,1151 1.3 0,0968 1.4 0,0808 0,1562 0,1335 0,1131 0,0951 0,0793 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0,0668 0,0548 0,0446 0.0359 0,0287 0,0655 0,0537 0,0436 0,0351 0,0281 0,0643 0,0526 0,0427 0,0344 0,0274 2,0 2,1 2,2 2.3 2.4 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0.0183 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107 0,0104 0,0102 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0.00639 2.5 2.6 2.7 2.8 2,9 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139 0,01 0,03 | 0,05 0.04 0,09 0,06 0,07 0,08 0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264 0,4761 0,4364 0,3974 0,3594 0,3228 0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192 0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156 0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2946 0,2611 0,2296 0,2005 0,1736 0,2912 0,2578 0,2266 0,1977 0,1711 0,2877 0,2546 0,2236 0,1949 0,1685 0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660 0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635 0Д776 0,245! 0,2148 0,1867 0,1611 0,1539 0,1515 0,1314 0,1292 0,1112 0,1093 0,0934 0,0918 0,0778- 0,0764 0,1492 0,1271 0,1075 0,0901 0,0749 0,1469 0,1251 0,1056 0,0885 0,0735 0,1446 0,1230 0,1038 0,0869 0,0721 0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708 0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694 0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681 0,0630 0,0516 0,0418 Q,0336 0,0268 0,0618 0,0505 0,0409 0,0329 0,0262 0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0256 0,0594 0,0485 0,0392 0,0314 0,0250 0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0,0244 0,0571 0,0465 0,0375 0.0301 0,0239 0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233 J i Приложение 5. Критические значения X2-критерия (критерия Пирсона) п р и v степенях свободы и принимаемом уровне значимости а а = 7 p( X2 )dX2 - Число степенен свооооы V p( x2 v > Уровень значимости х ■ 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,10 1 2 3 4 5 0,000039 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,00016 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,00098 0,0506 0,216 0,484 0,831 0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 2,71 3,84 5,02 6,63 4,61 5,99 7,38 9,21 6,25 7,81 9,35 11,34 7,78 9,49 11,14 13,28 9,24 11,07 12,83 15,09 б 7 8 9 10 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 0,0158 0,211 0.584 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 16,81 18,48 20.09 21,67 23,21 18,55 20,28 21,96 23,59 25,19 11 12 13 14 15 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 4,57 5,23 5,89 6,57 7/26 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,4! 19,68 21,03 22,36 23.68 *25,00 16 17 18 19 20 5,58 6,30 7 04 7,79 8,55 9,31 10,08 10,86 11,65 12,44 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 21 22 23 24 25 8,03 8,64 9,26 9,89 10,52 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 10,28 10,98 11,69 12,40 13» 12 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 29,62 30,81 32 01 33,20 34,38 32,67 33,92 35,17 36.42 37,65 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 26 27 28 29 30 11,16 11,81 12,46 13,12 13,79 12,20 13,84 12,88 14,57 13,56 . 15,31 14,26 16,05 14,95 16,79 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 17 „29 18,11 18,94 19,77 20,60 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 38,88 40,11 41,34 42,56 43,77 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 40 60 120 20,71 35,53 83,85 22,16 37,48 86,92 26,51 43,19 95,70 29,05 46,46 100,62 24.43 40*48 91,58 0,05 0,025 0,010 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49 59 50,89 0,005 7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,64 50,99 52,34 53,67 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 74,40 79,08 83,30 .88,38 91,95 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65 Приложение 6 Критические значения одностороннего критерия Стьюдента при v степенях свободы и принимаемом уровне значимости а Число степеней свободы, V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 00 Уровень значимости, а од 3,078 1 , 8 8 6 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,377 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,264 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,105 3,055 3,012 2,977 2,947 2,961 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576 318,310 22,327 10,215 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 2,232 3,160 3,090 Приложение 7 К р и т и ч е с к и е значения распределения Ф и ш е р а F a для уровня значимости а -0,05 Число степеней свободы числителя v, V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 1 161,4 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 4,23 4,21 4,20 4,18 4,17 4,08 4 6 5 2 3 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 19,00 19,16 19,25 19,3 19,33 8,94 9,01 9,55 9,28 9,12 8,94 6,59 6,39 6,26 6,16 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,12 3,97 3,87 4,74 4,35 3,84 4,46 4,07 3,60 3,58 3,37 4,26 3,86 3,43 3,63 3,43 3,33 3,22 4,10 3,71 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 3,03 2,92 3,81 3,41 3,18 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,85 2,74 3,63 3,24 3,01 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,77 2,66 3,55 3,16 2,93 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,60 3,49 3,10 2,87 2,71 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 3,42 3,03 2,60 2,64 2,53 2,62 2,51 3,40 3,01 2,78 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,57 2,46 3,35 2,96 2,73 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,42 3,32 2,92 2,69 2,53 3,23 2,64 2,61 2,45 2,34 120 40 60 24 30 15 20 10 12 7 8 9 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9 248,0 249,1 250,1 251,1 252,2 253,3 19,35 19,37 19,33 19,40 19,41 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 8,55 8,62 8,59 8,57 8 70 8,66 8,64 8,79 8,74 8,89 8,85 8,81 5,72 5,69 5,66 5,75 5,77 5,80 5,86 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,55 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 3,70 3,77 3,74 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,81 3,27 3,44 3,41 3,33 3,34 3,30 3,64 3,57 3,51 3,79 3,73 3,68 2,97 3,08 3,04 3,01 3,35 3,28 3,22 3,15 3,12 3,50 3,44 3,39 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 3,14 3,07 3,01 3,29 3,23 3,18 2,85 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,57 2,53 2,49 2,45 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2 72 2,65 2,61 2,34 2,47 2,43 2,38 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,54 2,51 2,30 2,25 2,34 2,38 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,83 2,77 2,71 2,50 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31: 2,27 2,22 2,18 2,76 2,70 2,65 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,71 2,06 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,10 2,06 2,01 2,19 2,15 2,31 2,38 2,23 2,49 2,45 2,61 2,55 1,97 2,06 2,02 2,11 2,34 2,27 2,19 2,15 2,5S 2,51 2,46 2,41 1,98 1,93 2,07 2,03 2,23 2,16 2,11 2,54 2,48 2,42 2,39 2,31 1,90 1,99 1,95 2,45 2,38 2,35 2,28 2,20 2,12 2,08 2,04 2,51 1,87 1,96 1,92 2,18 2,10 2,05 2,01 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 1,84 1,94 1,89 1,98 2,15 2,07 2,03 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 1,81 1,86 1,96 1,91 2,44 2,37 2,32 2,21 2,20 2,13 2,05 2,01 1,84 1,79 1,94 1,69 2,03 1,98 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 1,77 1,92 1,87 1,82 1,96 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 2,01 1,80 1,75 1,85 1,99 1,95 1,90 2,07 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 1,79 1,73 1,89 1,84 1,97 1,93 2,06 2,20 2,13 2,37 2,31 2,25 1,77 1,82 1,87 1,96 1,71 2,12 2,04 1,91 2,36 2,29 2,24 2,19 1,75 1,70 1,81 1,94 1,90 1,85 2,35 2,23 2,22 2,18 2,10 2,03 1,74 1,69 1,79 1,84 1,89 1,93 2,09 2,01 2,16 2,27 2,21 2,33 1,58 1,84 1,74 1,89 1,64 1,79 1,92 2,03 2,00 2,25 2,18 2,12 оо 254,3 19,50 8,53 5,63 4,35 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,09 1,88 1,84 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,69 1,67 1,65 1,64 1,62 1,51 Приложение 8 Критические значения распределения Ф и ш е р а F a для уровня значимости а =0,025 Число степеней свободы числителя v, 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 27 28 29 30 40 60 120 оо 1 2 3 4 4052 499,5 5403 5625 98,50 99,00 99,17 99,25 34,12 30,82 29,46 28,71 21,20 18,00 18,69 15,98 16,28 13,27 12,06 11,39 13,75 10,92 9,78 9,15 12,25 9,55 8,45 7,85 11,26 8,65 7,59 7,01 10,56 8,02 8,99 6,42 10,04 7,58 6,55 5,99 7,21 6,22 5,67 9,65 9,33 8,93 5,95 5,41 9,07 8,70 5,74 5,21 8,86 6,51 5,56 5,04 8,88 6,36 5,42 4,89 6,23 5,29 4,77 8,53 8,40 6,11 5,18 4,67 6,01 5,09 4,59 8,29 8,18 5,93 5,01 4,50 8,10 5,85 4,94 4,43 8,02 5,78 4,87 4,37 7,95 5,72 4,82 4,31 7,88 5,66 4,76 4,26 5,61 4,72 4,22 7,82 7,77 5,57 4,68 4,18 7,72 5,53 4,64 4,14 7,68 5,49 4,60 4,11 7,64 5,45 4,57 4,07 5.42 4,54 4,04 7,60 7,56 5,39 4,51 4,02 5,18 4,31 3,83 7,31 3,65 7,08 4,98 4,13 8,85 4,79 3,95 3,48 6,63 4,61 3,78 3,32 5 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,89 4,53 4,44 4,34 4,25 4,17 4,10 4,04 3,99 3,94 3,90 3,85 3,82 3,78 3,75 3,73 3,70 3,51 3,34 3,17 3,02 6 5859 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 4,01 3,94 3,87 3,81 3,76 3,71 3,67 3,63 3,59 3,56 3,53 3,50 3,47 3,29 3,12 2,96 2,60 7 5928 99,36 27,67 14,98 10,46 8,26 6,99 6Д8 5,61 5,20 4,89 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 2,95 2,79 2,64 8 5981 99,37 27,49 14,80 10,29 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,58 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 3,23 3,20 3,17 2,99 2,82 2,66 2,51 9 6022 99,39 27,35 14,66 10,16 7,98 6,72 5,91 5,35 4,94 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,46 3,40 3,35 3,30 3,26 3,22 3,18 3,15 3,12 3,09 3,07 2,89 2,72 2,56 2,41 10 6056 99,40 27,23 14,55 10,05 7,87 6,62 5,81 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,21 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,63 2,47 2,32 12 6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,46 3,37 3,30 3,23 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,87 2,64 2,68 2,50 2,34 2,18 15 6157 99,43 26,87 14,20 9,72 7,56 6,31 5,52 4,96 4,56 4,25 4,01 3,82 3,66 3,52 3,41 3,31 3,23 3.15 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,81 2,78 2,75 2,73 2,70 2,52 2,35 2,19 2,04 20 6209 99,45 26,69 14,02 9,55 7,40 6,16 5,36 4,81 4,41 4,10 3,86 3,68 3,51 3,37 3,26 3,16 3,08 3,00 2,94 2,88 2,83 2,78 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,56 2,37 2,20 2,03 1,88 24 6235 99,46 26,60 13,93 9,47 7,31 6,07 5,28 4,73 4,33 4,02 3,78 3,59 3,43 3,29 3,18 3,08 3,00 2,92 2,86 2,80 2,75 2,70 2,68 2,62 2,58 2,55 2,52 2,49 2,47 2,29 2,12 1,95 1,79 30 6261 99,47 26,50 13,84 9,39 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,03 1,86 1,70 40 6287 99,47 28,41 13,75 9,29 7,14 5,91 5,12 4,57 4,17 3,86 3,62 3,43 3,27 3,13 3,02 2,92 2,84 2,76 2,69 2,64 2,58 2,54 2,49 2,45 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,11 1,94 1,76 1,59 60 6313 99,48 26,32 13,65 9,20 7,08 5,82 5,03 4,48 4,08 3,78 3,54 3,34 3,18 3,05 2,93 2,83 2,75 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,40 2,36 2,33 2,29 2,26 2,23 2,21 2,02 1,84 1,66 1,47 120 оо 6339 6366 99,49 99,50 26,22 26,13 13,56 13,46 9,02 9,11 6,88 6,97 5,65 5,74 4,86 4,95 4,31 4,40 3,91 4,00 3,60 3,69 3,36 3,45 3,17 3,25 3,00 3,09 2,87 2,96 2,75 2,84 2,65 2,75 2,57 2,66 2,49 2,59 2,42 2,52 2,33 2,46 2,31 2,40 2.26 2,35 2,21 2,31 2,17 2,27 2,13 2,23 2,10 2,20 2,06 2,17 2,03 2,14 2,01 2,11 1,80 1,92 1,60 1,73 1,38 1,53 1,00 1,32 Приложение 9 Критические значения распределения Ф и ш е р а F a дл я уровня значимости от-0,001 Число степеней свободы числителя v, V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 23 29 30 40 60 120 00 1 4053* 998,5 167,0 74,14 47,18 35,51 29,25 25,42 22,88 21,04 19, 69 18,64 17,81 17,14 16,59 16,12 15,72 15,38 15,08 14,82 14,59 14,38 14,19 14,03 13,88 13,74 13,81 13,50 13,39 13,29 12,81 11,97 11,38 10,83 2 5000* 999,0 148 61,25 37,12 27,00 21,69 18,49 16,39 14,91 13,81 12,97 12,31 11,78 11,34 10,97 10,88 10,39 10,16 9,95 9,77 9,81 9,47 9,34 9,22 9,12 9,02 8,93 8,86 8,77 8,25 7,76 7,32 6,91 3 5404* 999,2 141,1 56,18 33,20 23,70 18,77 15,83 13,90 12,55 11,58 10,80 10,21 9,73 9,34 9,00 8,73 8,49 8,29 8,10 7,94 7,80 7,67 7,55 7,45 7,36 7,27 7,19 7,12 7,05 6,80 6,17 5,79 5,42 * Эти значения надо у м н о ж и т ь на 1 0 0 4 5825* 999,2 137,1 53,44 31,09 21,92 17,19 14,39 12,56 11,28 10,35 9,63 9,07 8,62 8,25 7,94 7,68 7,46 7,26 7,10 6,95 6,81 6,69 6,59 6,49 6,41 8,33 6,25 6,19 6,12 5,70 5,31 4,95 4,62 5 5764* 999,3 134,6 51,71 29,75 20,81 16,21 13,49 11,71 10,48 9,58 8,89 8,35 7,92 7,57 7,27 7,02 6,81 6,62 6,46 6,32 6,19 6,08 5,98 5,88 5,80 5,73 5,66 5,59 5,53 5,13 4,76 4,42 4,10 6 5859* 999,3 132,8 50,53 28,84 20,03 15,52 12,86 11,13 9,92 9,05 8,38 7,86 7,43 7,09 6,81 6,56 8,35 6,18 8,02 5,89 5,76 5,85 5,55 5,48 5,38 5,31 5,24 5,18 5,12 4,73 4,37 4,04 3,74 7 5929* 999,4 131,6 49,66 29,16 19,46 15,02 12,40 10,70 9,52 8,66 8,00 7,49 7,08 6,74 6,46 6,22 6,02 5,85 5,69 5,56 5,44 5,33 5,23 5,15 5,07 5,00 4,93 4,87 4,82 4,44 4,09 3,77 3,47 8 5981* 999,4 130,6 49,00 27,64 19,03 14,63 12,04 10,37 9,20 8,36 7,71 7,21 6,80 6,47 6,19 5,96 5,76 5,59 5,44 5,31 5,19 5,09 4,99 4,91 4,83 4,76 4,69 4,64 4,58 4,21 3,87 3,55 3,27 9 6023* 999,4 129,9 48,47 27,24 18,69 14,33 11,77 10,11 8,96 8,12 7,48 6,98 6,58 6,26 5,98 5,75 5,56 5,39 5,24 5,11 4,99 4,89 4,80 4,71 4,64 4,57 4,50 4,45 4,39 4,02 3,69 3,39 3,10 10 8056* 999,4 129,2 48,05 26,92 18,41 14,08 11,54 9,89 8,75 7,92 7,29 6,80 6,40 6,09 5,81 5,59 5,39 5,22 5,08 4,95 4,83 4,73 4,64 4,58 4,48 4,41 4,35 4,29 4,24 3,87 3,54 3,24 2,96 12 6107* 999,4 128,3 47,41 26,42 17,99 13,71 11,19 9,57 8,45 7,63 7,00 6,52 6,13 5,81 5,55 5,32 5,13 4,97 4,82 4,70 4,58 4,48 4,39 4,31 4,24 4,17 4 ,П 4,05 4,00 3,64 3,31 3,02 2,74 15 6156* 999,4 127,4 46,76 25,91 17,58 13,32 10,84 9,24 8,13 7,32 6,71 6,23 5,85 5,54 5,27 5,05 4,87 4,70 4,56 4,44 4,33 4,23 4,14 4,06 3,99 3,92 3,86 3,80 3,75 3,40 3,08 2,78 2,51 20 6209* 999,4 126,4 46,10 25,39 17,12 12,93 10,48 8,90 7,80 7,01 6,40 5,93 5,56 5,25 4,99 4,78 4,59 4,43 4,29 4,17 4,06 3,96 3,87 3,79 3,72 3,66 3,60 3,54 3,49 3,15 2,83 2,53 2,27 24 6235* 999,5 125,9 45,77 25,14 16,89 12,73 10,30 8,72 7,64 6,85 6,25 5,78 5,41 5,10 4,85 4,63 4,45 4,29 4,15 4,03 3,92 3,82 3,74 3,66 3,59 3,52 3,46 3,41 3,36 3,01 2,69 2,40 2,13 30 6261* 999,5 125,4 45,43 24,87 16,67 12,53 10,11 8,55 7,47 6,68 6,09 5,63 5,25 4,95 4,70 4,48 4,30 4,14 4,00 3,88 3,78 3,68 3,59 3,52 3,44 3,38 3,32 3,27 3,22 2,87 2,55 2,26 1,99 40 6287* 999,5 125,0 45,09 24,60 16,44 12,33 9,92 8,37 7,30 6,52 5,93 5,47 5,10 4,80 4,54 4,33 4,15 3,99 3,86 3,74 3,63 3,53 3,45 3,37 3,30 3,23 3,18 3,12 3,07 2,73 2,41 2,11 1,84 60 6313* 999,5 124,5 44,75 24,33 16,21 12,12 9,73 8,19 7,12 6,35 5,76 5,30 4,94 4,64 4,39 4,18 4,00 3,84 3,70. 3,58 3,48 3,38 3,29 3,22 3,15 3,08 3,02 2,97 2,92 2,57 2,25 1,95 1,66 00 120 6340* 6366* 999,5 999,5 124,0 123,5 44,40 44,05 24,06 23,79 15,99 15,75 11,91 11,70 9,53 9,33 7,81 6,00 6,94 6,76 6,00 6,17 5,42 5,59 4,97 5,14 4,60 4,77 4,31 4,47 4,06 4,23 4,02 3,85 3,84 3,67 3,51 3,68 3,54 3,38 3,26 3,42 3; 15 3,32 3,22 3,05 2,97 3,14 2,89 3,06 2,82 2,99 2,75 2,92 2,69 2,86 2,64 2,81 2,76 2,59 2,23 2,41 1,89 2,08 1,54 1,76 1,45 1,00 Приложение 10 ГРЕ ЧЕСКИЙ АЛФАВИТ Печатные буквы Рукописные буквы А а Б р а Транскрипция Печатные буквы Рукописные буквы Транскрипция альфа N v off V ни (ню) г £ бёта «8 / ГТ О о омикрон П тс Ж п пи сР р ро I&Q сигма Т х Тт тау Т и V v эпсилон Фср фт фи £ дельта Е Г £ эпсилон р р Z L 2 С Н т] ^ 0А 6 6$6 тэта I J I йота L Кх с Кж А X л М {1 я сМ /и кси О о л 7] С гамма А б £ е дзета эта 2 <тс; . каппа хи Х х ламбда ми (мю) ф ф 1 Q со <р<ь пси V О со омега Приложение 11 ЛА ТИНСКИЙ АЛФАВИТ Печатные буквы Аа В Ъ <ж С с ё D Е F G Н I J Рукописные буквы а а b N бэ £ цэ О о Р Р Ч Q R г d ф f 6 е (? t € g h I 9 • J К k L I М m & % 9- d д э 9к L Q ь • X £ Ж k L ш э ха (аш) т и и йот (жи) W ка эль эм Y Z ш п О 0ф рЧ га it п S 8 эф гэ (жэ) Рукописные буквы Печатные буквы Транскрипция t а л i VV t ъ (11 VL ф а W X X К) Об U У Z ШX <¥ V £ Z Транскрипция эн О пэ ку эр эс тэ У вэ дубль-вэ икс игрек зэт Приложение 12 Латинский шрифт Печатные буквы Рукописные буквы a А а ВЬ Сс Немецкий (готический) шрифт Печатные буквы Яа $Ь Рукописные Международная транскрипция буквы e tSgJ F с S D d Ее Ff Gg Hh I! JJ Kk Lt Mm Nn Oo Pp Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Xx Yy Zz r - s y ф* oZ* 7 / J£S m c/Z. <&/> ау C%v,« sr* <2t« ЧГ* <se* 3?~ 3i 3i sr f SI SK m 5111 О0 * * D. q 0t r 6 f8 Xt Uu 33» 2B ш *5 9)9 3s Название букв fr ¥/ 7 / atJ 5?J WM rf*4Г ? / pa:] [be:] [tse:] [de:] l'e:l f«*l [ge-I [ha:] [’«:] |pt] [ka:] i'dl [’em| pen] ]’o:] |pe:| |ku:| per] P*S] $?■* О&ме *6 %7 [te:] pu:] |fao] [ve:] I’iks] [’ypsilD n] [tset] Транскрипция русскими буквами a бэ ЦЭ дэ э эф гэ ха и йот ка ЭЛ эм эн 0 пэ ку эр эс тэ У фау вэ икс ипсилон цэт - 360 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Аветисов А.Г., Булатов А.И., Шаманов С.А. Методы прикладной математики в инже нерном деле при строительстве нефтяных и газовых скважин. - М.: ООО "Недра-Биз несцентр", 2003. - 239 с., с илл. 2. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической тех нологии: Учеб. пособие для хим.-технол. спец. вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1985. - 327 с., с илл. 3. Вендат Дж., Пирсол А, Измерение и анализ случайных процессов. - Пер. с англ. Г.В.Матушевского и В.Е.Привальского. М.: Мир, 1974. - 464 с., с илл. 4. Бернулли Я. О законе больших чисел. - Пер. с лат. Я.В.Успенского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 176 с., с илл. 5. Бикел П., Доксам К. Математическая статистика. - Пер. с англ. Ю.А.Данилова; Предисл. Ю.Н.Тюрина. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 278 с., с илл. 6. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука. Вычис лительный центр АН СССР, 1968. - 476 с. 7. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений. - Пер. с англ. Г.А.Погребинского, под ред. В.Ф.Писаренко. - М.: Мир, 1975. - 312 с., с илл. 8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и уча щихся втузов. - 13-е изд., исправленное. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 544 с., с илл. 9. Бурбаки Н. Теория множеств. - Пер. с франц. - М., 1965. 10. Вапник В.Н., Глазкова Т.Г., Кощеев В.А., Михальский А.И.,Червоненкис А.Я. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей/Под. ред. В.Н. Вапника. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 816 с., с илл. 11. Вейль Г. Математическое мышление. Сборник: Пер. с англ. и нем./Сост. Ю.А. Дани лов. Под ред. [и со статьями] Б.В. Бирюкова, А.Н. Паршина. - М.: Наука, 1989. - 400 с., с илл. 12. Вейль Г. Симметрия. - Пер. с англ. Б.В. Бирюкова и Ю.А. Данилова. Под ред. Б.А. Розенфельда. - М.: Наука, 1968. - 191 с., с илл. 13. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложе ния. - М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. - 1988. - 480 с., с илл. 14. Вигнер Е. Этюды о симметрии. - Пер. с англ. Ю.А. Данилова. Под ред. Я.А. Смородинского. - М.: Мир, 1971. - 318 с., с илл. 15. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 9-е изд. - М.: 1981. 16. ВРЕМЕННОЕ РУКОВОДСТВО по обработке и прогнозированию некоторых показателей режимов проводки скважин, составленное Азербайджанским институтом нефти и хи мии им. М.Азизбекова. - Составители: А.Х.Мирзаджанзаде, А.К.Караев {руководите ли), С. Г. Агаев, Г.Т.Вартунян, Е.А. Гусейнов, А. Л. Каплан, 3.Г.Каримов, М.Г.Копейкис, А.И.Мамедов, Т.Г.Фараджев. Баку. - 1971. - 98 с., с илл. 17. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. - 416 с., с илл. 18. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 872 с., с илл. 19. Ганджумян Р.А. Математическая статистика в разведочном бурении: Справочное по собие. - М.: Недра, 1990. - 218 с., с илл. 20. Гильдерман Ю.Н. Закон и случай. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. - 200 с. -361 21. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - Изд. 6-е, стер. - М.: Высш. шк., 1997. - 479 с., с илл. 22. ГрудинкинА. Всегда ли бутерброд падает маслом вниз. Ж . "Знание - Сила", №3, 2000. 23. Дементьев Л.Ф., Шурубор Ю.В. Зачем геологу-нефтянику математика и компьютеры. М.: Недра, 1991. - 127 с., с илл. 24. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970. 25. Дэвис Дж.С. Статистический анализ данных в геологии. - Пер. с англ. В 2-х книгах. Пер. В.А. Голубевой, под ред. Д.А. Родионова. - М.: Недра, 1990. - 427 с., с илл. 26. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 1998. - 416 с., с илл. 27. Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин. - П.: Наука, 1985. 28. Игнатов В.И. Организация и проведение эксперимента в бурении. М.: Недра, 1978. 94 с. 29. Каждан А.В., Гуськов О.И. Математические методы в геологии: Учебник для вузов. М.: Недра, 1990. - 251 с., с илл. 30. Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерений. - Пер. с нем. - М.: Мир, 1980. - 208 с., с илл. 31. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Липатов Л.Н. Системный анализ процессов хими ческой технологии. Статистические методы идентификации процессов химической технологии. - М.: Наука, 1982. - 345 с., с илл. 32. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Теория распределений. - Пер с англ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 588 с., с илл. 33. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи, - Пер. с англ. - М.: Нау ка, Гл. ред. физ.-мат. лит., - 1973. - 900 с., с илл. 34. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. - Пер. с англ. Е.В.Чепурина./Под ред. Ю.К.Беляева. - М.: Мир, 1978. - 560 с., с илл. 35. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/Под ред. Колемаева В.А. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 302 с., с илл. (серия "Выс шее образование"). 36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. Пер. с амер./Под общей ред. И.Г.Арамановича. Перераб. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 832 с., с илл. 37. Королюк B.C., Портенко И.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. - Киев: Наукова думка, 1978. - 584 с., с илл. 38. Коузов П.А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельчён ных материалов. Изд. 2-е, испр. - П.: Химия, 1974. - 280 с., с илл. 39. Крамбейн У., Грейбилл Ф. Статистические модели в геологии. - Пер. с англ. Д.А.Ро дионова. Под ред. Ю.В.Прохорова. - М.: Мир, 1969. - 398 с., с илл. 40. Крамер Г. Математические методы статистики. - Пер. с англ. А.С.Монина, А.А.Петро ва. Под ред. А.М.Колмогорова. - 2-е изд., стереотип. - М.: Мир, 1975. - 648 с., с илл. 41. Кудрин В. Универсальный коррелятор. Ж. "Знание - сила" №5, 2006, с. 102. 42. Кулаичев А.П. Методы и средства анализа данных в среде Windows. STADIA 6.0. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: "Информатика и компьютеры", 1998. - 270 с., с илл. 43. Кулаичев А.П. Методы и средства анализа данных в среде Windows. STADIA. Изд. 3-е, перераб. и доп. - М.: InCo НПО "Информатика и компьютеры", 1999. - 344 с., с илл. 44. Лаудон Т. ЭВМ и машинные методы в геологии. - Пер. с англ./Пер. Д.А.Родионова. М.: Мир, 1981. - 318 с., с илл. -36245. Литтл Дж.А., Рубин Д.Б. Статистический анализ данных с пропусками. - Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1990. - 336 с., с илл. 46. Лихолетов И.И., Мицкевич ИЛ. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Изд. 2-е, испр. и доп, Минск, ”Вышейш. школа”, 1969. - 455 с., с илл. 47. Математическая энциклопедия. В 5 т./Гл. ред. И.М.Виноградов. Ред. кол. С.И.Адян, П.С.Александров, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.; Сов. энциклопедия, 1977. 48. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю.В.Прохоров. Ред. кол. С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с., с илл. 49. Ортоли С., Витковски Н. Ванна Архимеда. Краткая мифология науки/Пер. с франц. Д.Баюка. - М.; КоЛибри, 2007. - 240 с., с илл. 50. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. - М.: Статистика, 1979. 51. Политехнический словарь. Гл. ред. акад. А.Ю.Ишлинский. - П 50 2-е изд. - М.: Со ветская энциклопедия, 1980. - 656 с., с илл. 52. Прахар К. Распределение простых чисел. Пер. с нем. А.А. Карацубы. Под ред. A.И. Виноградова. М.: Мир, 1967 г.- 512 с. 53. Расторгуев С.П. Инфицирование как способ защиты жизни. Вирусы: биологичес кие, социальные, психические, компьютерные. - М.: Издательство Агентства "Яхт смен”, 1996. - 336 с., с илл. 54. Рейхман Дж. Применение статистики. - М.: Статистика, 1969. 55. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 240 с., с илл. 56. Справочник по прикладной статистике. Под ред. Э.Ллойда, У.Ледермана. Пер. с англ. под ред. С.А.Айвазяна и Ю.Н.Тюрина. М.; Финансы и статистика, 1990, в 2-х т. 57. Справочник по специальным функциям. С формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. Абрамовица М. и Стиган И. Пер. с англ. под ред. Диткина В.А. и Кармазиной Л.Н. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 832 с., с илл. 58. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. - М.: Мир, 1985. - 272 с., с илл. 59. Трост Э. Простые числа. Пер. с нем. Н. И.Фельдмана. Под ред. А.О.Гельфонда. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1959. - 136 с. 60. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере/Под. ред. B.Э. Фигурнова. - М.: ИНФРА-М. 1998. - 528 с., с илл. 61. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 528 с., с илл. 62. Физический энциклопедический словарь. Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол Д.М.Алексеев, А.М.Бонч-Бруевич, А.С.Боровик-Романов и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1984. - 944 с., с илл. 63. Цивинский Д.Н. Разработка и реализация программы седиментационного анализа для предварительной оценки качества реагентов, применяемых в цементных растворах. Вестник Самарского государственного технического университета, Вып. 1, 1994 г., 161-165 с. 64. Цивинский Д.Н. (RU) "Анализ седиментационной кривой методом моментов". Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006610562, от 9 февраля 2006 г. Заявка №2005613240 от 9 декабря 2005 г. 65. Шарапов И.П. Применение математической статистики в геологии (Статистический анализ геологических данных). - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Недра, 1971. - 248 с., с илл. - 363 66. Шевелев И.Ш., Марутаев МЛ., Шмелев ИЛ. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990. - 343 с., с илл. 67. Эберт К., ЭдерерХ. Компьютеры. Применение в химии. - Пер. с нем. - М.: Мир, 1988. - 416 с., с илл. 68 .Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Изд. 2-е, испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. - 848 с., с илл. 69. Ягодинский В.Н. Ритм, ритм, ритм! Этюды хронобиологии. - М.: Знание, 1985. 192 с., с илл. Лексикографические источники 70. Александрова З.Е. Словарь синонимов русского языка. Около 9000 синонимичес ких рядов. Под ред. Л.А.Четко. Изд. 3-е, стереотип. - М.: Сов. энциклопедия, 1971. 600 с. 71. Антология мудрости. Более 25000 афоризмов, максим, изречений. Составитель В.Ю.Шойхер. - М.: "Издательский дом "Вече", 2005. - 848 с. 72. Англо-русский политехнический словарь. 80000 терминов. Под ред. А.Е.Чернухина. Изд. 3-е. - М., Русский язык, 1976. - 648 с. 73. Бабкин А.М., Шендецов В.В. Словарь иноязычных выражений и слов. В двух томах. 2-е изд., перераб. и доп. - Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1981 г. 74. Биологический энциклопедический словарь. Более 7500 статей. / Гл. ред. М.С.Гиляров. Ред. коллегия АЛ.Баев, Г.Г.Винберг, ГЛ.Заварзин и др. - 2-е изд., исправл. - М.: "Большая российская энциклопедия”, 1995. - 864 с., с илл. 75. БОЛЬШАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ. Словарь общедоступных сведений по всем отраслям знания. Под редакцией С.Н.Южакова. Третье издание со стереотипа. Санкт-Петербург. Книгоиздательское т-во "Просвещение”. 1903 г. 76. Большой англо-русский словарь. В двух томах. Около 150000 слов. Под общ. руковод. И.Р.Гальперина. - М.: Советская энциклопедия, 1972. 77. Ворохов Э. Энциклопедия афоризмов (Мысль в слове). - Худож. Ю.Д.Федичкин. М.: ООО "Фирма "Издательство ACT”, 1999. - 720 с. 78. Брокгауз Ф.А., Ефрон ИЛ. Мировая история. Иллюстрированный биографический словарь. Современная версия. - М.: Изд-во Эксмо, 2008. - 864 с., с илл. 79. Брокгауз Ф.А., Ефрон ИЛ. Энциклопедический словарь. Современная версия. - М.: Изд-во Эксмо, 2003. - 672 с., с илл. 80.ВейсманА.Д. Греческо-русский словарь. - Репринт V издания 1899 г., С.-Петербургь. - М.: Греко-латинский кабинет Ю.А.Шичалина, 1991. - 1370 с. 81. Ганшина КЛ. Французско-русский словарь. Около 51000 слов. - 8-е изд,, стерео тип. - М.: Русский язык, 1979. - 912 с. 82. Даль Владимир. Толковый словарь живого великорусского языка Воспроизведе ние второго издания 1880-1882 гг. - М.: Русский язык, 1978. В 4 томах. 83. Даль Владимир. Толковый словарь живого великорусского языка. Репринтное воспроизведение издания 1903-1909 гг., осуществлённое под редакцией профессора И.А. Бодуэна де Куртенэ. - М.: ТЕРРА, 2000. В 4 томах. 84. Дворецкий И.Х. Латинско-русский словарь. Около 50000 слов. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Русский язык, 1976. - 1096 с. 85. Кедринский В.В. Англо-русский словарь по химии и переработке нефти. Около 60000 терминов. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Русский язык, 1975. - 769 с. -36486. Кондаков НМ. Логический словарь. Отв. редактор Д.П.Горский. - М.: Наука, 1971. 656 с. 87. Кротов В. СЛОВАРЬ философических, метафорических, юмористических, и прочих разных ПАРАДОКСАЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ. - М.: КРОН-ПРЕСС, 1995. - 480 с. 88. Мюллер В.К. Англо-русский словарь. 70000 слов. - Изд. 16-е, стереотипное. - М.: Советская энциклопедия, 1971. - 912 с. 89. Немецко-русский словарь. 80000 слов. Под ред. А.А.Лепинга и Н.П.Cmраховой. Изд. 7-е, стереотипное. - М.: Русский язык, 1976. - 991 с. 90. Ожегов СМ. Словарь русского языка: Около 57000 слов/Под ред. чл.-корр. АН СССР Н.Ю. Шведовой. - 19-е изд., испр. - М.: Русский язык, 1987. - 752 с. 91. Орфографический словарь русского языка. Около 104 000 слов. Под ред. С.Г.Бархударова, С.И.Ожегова и А.В.Шапиро. Изд. 9-е. - М.: Сов. энциклопедия, 1969. - 520 с. 92. Словарь иностранных слов: актуальная лексика, толкования, этимология. 1500 словарных статей./Н.Н.Андреева, Н.С.Арапова, Л.М.Баш, А.В.Боброва, Г.Л.Вячеслова, Р.С.Кимягарова, Е.М.Сендровиц. - М.: Цитадель, 1997. - 320 с. 93. Словарь иностранных слов и выражений. Авт.-сост. Н.В.Трус, Т.Г.Шубина. - Мн.: Современ. литератор, 1999. - 576 с. - (энциклопедический справочник). 94. Словарь синонимов русского языка. В 2 томах. 4148 статей. Гл. ред. А.П.Евгеньева. - Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1970. 95. Словарь физиологических терминов. Отв. редактор О.Г.Газенко. - М.: Наука, 1987. - 447 с., с илл. 96. Современный словарь иностранных слов. Около 20000 слов. - СПб.: Дуэт, 1994. 752 с. 97. Таранов П.С. Анатомия мудрости. Философия изнутри. В 2 томах. - М.: Изд-во "Остожье", 1996. 98. Терра-Лексикон: Иллюстрированный энциклопедический словарь. Около 18000 ста тей. - М.: Терра, 1998. - 672 с., с илл. 99. Трудности словоупотребления и варианты норм русского литературного язы ка. Словарь-справочник. Ред. К.С.Горбачевич. - Л.: Наука, ленинградское отделение, 1971. - 520 с. 100. Фасмер М. Этимологический словарь русского языка. В 4 томах. Пер. с нем. и доп. О.Н.Трубачёва. Под ред. Б.А.Ларина. Изд. 2-е, стереотип. - М.: Прогресс, 1986. 101. Философский энциклопедический словарь. Гл. редакция: Л.Ф.Ильичёв, П.Н.Фе досеев, С.М.Ковалёв, В.Г.Панов. - М.: Сов. энциклопедия, 1983. - 840 с. 102. Хориков И.П., Малев М.Г. Новогреческо-русский словарь. Около 67000 слов. Под ред. П.Пердикиса и Т.Папандопулоса. - М.: Культура и традиции, 1993, 856 с. 103. Черных П.Я. Историко-этимологический современного словарь русского языка. 13560 слов. В 2-х томах. П.Я.Черных. - 8-е изд., стереотип. - М.: Рус. яз. - Медиа, 2007. 104. Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка с включением сведений о происхож дении слов. РАН. Институт русского языка им. В.В.Виноградова. Отв. ред. Н.Ю.Шведо ва. - М.: Издательский центр "Азбуковник”, 2007. - 1175 с. - 365 С ОДЕР Ж АН И Е впростом (вступление)................................. з У сл о в ны е обозначения......................................... 7 СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, случайность.............................10 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯНЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ИТЕРМИНОВ..................... 18 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..............................273 2.1. События, наблюдения, эксперименты....................... 273 2.2. Результатынаблюдений и экспериментов................... 275 2.3. Вероятности событий...................................... 276 2.4. Распределение вероятностей случайной величины........... 279 2.5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины... 289 Пример 1. Оценка математического о ж ид ания и дисперсии....296 2.6. Обобщение распределений..................................299 2.7. Стандартизация распределений.............................304 2.8. Нормальное распределение.................................307 2.9. Стандартизованное нормальное распределение.............. 311 Пример 2. Стандартизация выборочного распределения...... 314 2.10. Проверкагипотезыо законе эмпирического распределения..318 Пример 3. Проверка основной гипотезы.................... 322 3. МЕТОД МОМЕНТОВ............................................... 325 3.1. О с н о в н ы е характеристики распределений................... 326 3.2. Классификация моментов................................... 327 3.3. Приложение методамоментов канализу распределения частицдисперсной фазы п орадиусам...................... 331 3.3.1. Дифференциальный анализ кривой седиментации....... 331 3.3.2. Статистический анализ процесса седиментации....... 333 3.3.3. Расчёт фракционного состава суспензии............. 334 3.3.4. Расчётмоментов распределениячастиц суспензии п о радиусам..............................336 Пример 4. Расчёт моментов распределения частиц цементного раствора п о радиусам............... 336 4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ..............................................................................340 4.1. Корреляция............................................... 340 4.2. Коэф фициент корреляции...................................342 4.3. Пров ерка гипотезыо з н а ч и м о с т и коэффициентакорреляции... 343 П р и м е р 5. О п р е д е л е н и ес и л ыи л и тесн о т ыл и н ейной с в я з и между с л у ч а й н ы м и вел и ч и н а м и У иX ............. 344 сложное -366- П ример 6. Проверка гипотезы о б отсутствии корреляции между с л у чайными величинами УиX ............. 346 Приложение 1. З начения p(z) (ординаты) стандартизо в а н н о г о нормального распределения.............................348 Приложение 2. З начения функции Лапласа. Площади стан дартизованного нормального распределения о т0 д о z ........... 349 Приложение 3. Функция вероятностей F(z) стандартизованного н ор мального распределения (площади распределения о т -«> д о z ) ..350 Приложение 4. Площади а стандартизованного нормально г о распределения.............................................. 351 Пр и л о ж ение 5. К р и т и ч е с к и ез н а ч е н и я X2-критерия (кри т е р и я Пирсона) п р иv с т е п е н я хс в о б о д ы и принимаемом у р о в н е з н а ч и м о с т иа.................................................. 352 П р и л ожение 6. Крити ч е с к и е з н а ч е н и я о д н о с т о р о н н е г о к р и т е р и я Стъюдента п р иv с т е п е н я х с в о б о д ы и п р и нимаем ом у р о в н ез н а ч и м о с т и а........................................... 353 П р и л ож ение 7. К р и тические з н а ч е н и як р и терия Фишера Fa п р и v с т е пеня х своб о д ы иприни м а е м о му р о в н ез н а ч и м о с т и а=0,05. ....................... ................................ 354 Приложение 8. Критические значе н и я критерия Фишера Fa п р и v степенях свободы и принимаемом уровне значимости а=0, 025....................................................... 355 Приложение 9. Критические з н а че н ия критерия Фишера Fa п р и v степенях свободы и принимаемом уровне значимости а=о, 001....................................................... 356 Приложение 10. Греческий алфавит.........................357 Приложение 11. Латинский алфавит.........................358 Приложение 12. Латинский готический шрифт........ .......359 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................ 360 ПЕРЕЧЕНЬ СТАТЕЙ ОПОНЯТИЯХ ИТЕРМИНАХ А б с о л ю тн о непрерывное распределение случайной величины.......... 18 АБСОЛЮТНЫЙ (В.И.Даль)............................................ 18 А б с о л ю т н о е (ЖоржЛуиЛеклерк д еБюффон)..........................18 Абсолютный....................................................... 18 Абстракция....................................................... 19 Адекватность..................................................... 19 Аксиома............... ...........................................19 Анализ........................................................... 20 Апостериори..................... ................................ 21 - 367 Априори.......................................................... 21 Аргумент......................................................... 21 Арифметико-геометрическое среднее................................ 21 Арифметическое взвешенное среднее................................21 Арифметическое распределение..................................... 22 Арифметическое среднее........................................... 22 А с и м м е т р и и коэффициент........................................... 22 Асимметричность.................................................. 23 Асимметрия....................................................... 23 А с и м м е т р и я распределения......................................... 23 А с и м п т о т а кр и в о й сб е с к о н е ч н о й ветвью............................24 Б е з р а з м е р н а яф изическая величина.................................25 О бу с п е х е (Эрл Уилсон)........................................... 25 Б е р н у л л и испытания............................................... 25 Б е р н у л л и распределение........................................... 27 Б е с к о н е ч н о е вконечном (Лю д в и г Фейербах)........................ 27 Бесконечность (жат.)............................................. 27 Б е с к о н е ч н о с т ь (фия.)............................................. 28 Б Е З К О Н Е Ч Н Ы Й (В.И.Даль)........................................... 29 Б и н о м и а л ь н о е распределение....................................... 29 Б о л ь ш и хч и с е л закон.............................................. 31 В а р и а ц и и коэффициент............................................. 35 В а р и а ц и о н н ы й ряд................................................. 35 Вариация......................................................... 36 Величина......................................................... 36 В е л и ч и н а физическая.............................................. 37 В е л и ч и н ыс о и з м е р и м ы е инесоизмеримые.............................38 В е р о я т н о е отклонение............................................. 39 Ов е р о я т н о с т иив е р е (АврелийАвгустин)..........................39 В е р о я т н о с т е й теория.............................................. 39 Ж и т е й с к и йо п ы т (Ос к а р Уайльд).................................... 40 В е р о я т н о с т ь житейская............................................ 40 И с т о к ит е о р и и вероятностей {П.Лаплас)............................46 В е р о я т н о с т ь классическая......................................... 46 Н е с е р ь ё з н о овероятност и (ВикторКротов)........................ 48 Вероят н ос т ь математическая....................................... 48 В а ж но с т ь случившегося (Никколо Макиавелли)...................... 50 Ве р оятность статистическая....................................... 50 В е р оя т н ый (М.Фасмер)............................................. 52 В е с ар е з у л ь т а т о в измерений....................................... 53 В з в е ш е н н о е квадратично ео т к л о н е н и ес м . Квадратичное о т к л о н е н и е В з в е ш е н н о ес т е п е н н о е среднее..................................... 53 р турКларк).................................53 В о з м о ж н о г о границы (А Возможность...................................................... 53 В о с п р о и з в о д и м о с т ь неудач (Неизв.)................................54 Воспроизводимость................................................ 54 - 368 ВОСПРОИЗВОДИТЬ (В.И.даль)........................................ 54 В т о р о йз а к о н Лапласа см. Нормальное распределение ВЬ Б ИР А ТЬ (В.И.Даль).............................................. 54 Выборка.......................................................... 55 В ы б о р к апредставительная (репрезентативная)..................... 55 В ыб о р ка случайная................................................ 55 В ы б о р о ч н о е распределение см. Э м п и р и ческое распределение Гамма-распределение.............................................. 56 Гамма-функция.................................................... 57 Г а р м о н и ч е с к о е среднее............................................ 58 Г а у с с аз а к о н см. Нормальное распре д е л е н и е Гаусса-Лапласа распределение с м . Н ормальное распределение Г е н е р а л ь н а яд и с п е р с и я см. Дисперсия с о в окупности Генеральный...................................................... 58 Г е о м е т р и ч е с к а я прогрессия........................................ 58 Г е о м е т р и ч е с к о е распределение..................................... 59 Г е о м е т р и ч е с к о е среднее........................................... 60 Г и п о т е з ыифакты (Гоше Гекели)..................................60 Гипотеза......................................................... 60 Г и п о т е з ао с н о в н а я см. О с н о в н а яг и п о т е з а Гистограмма...................................................... 61 Г р а ф и к функции................................................... 63 Данные........................................................... 64 Да н н ы хо б р а б о т к а математическая..................................64 Д в о й н о еэ ксп о н е н ц и а л ь н о е ра с п р е д е л е н и е см. Лапласа р аспределение Д в у с т о р о н н е е показательн ое р аспределение см. Лапласа р а с п р е д е л е н и е Действительность................................................. 66 Д е т е р м и н и з м (Александр Круглов)..................................67 Детерминизм...................................................... 67 Детерминированно-стохастическая модель...........................67 Д е т е р м и нистическая модель........................................ 68 Диа л е к т и к а (АдрианДекурсель).................................... 69 Диалектика....................................................... 69 Д1АЛЕКТИКА {В.И.Даль)............................................ 70 Д и н а м и ч н о с т ьп а м я т и (Б о л еслав Вольтер)...........................70 Динамичность..................................................... 70 Дискретность..................................................... 70 Дисперсия........................................................ 71 Д и с п е р с и я воспроизводимости...................................... 72 Д и с п е р с и я совокупности........................................... 74 Генеральный...................................................... 74 Дифференциал..................................................... 75 Д о в е р и т е л ь н а я вероятность........................................ 76 Д о в е р и т е л ь н о е отклонение......................................... 77 Д о в е р и т е л ь н ы е границы............................................ 78 Д о в е р и т е л ь н ы й интервал........................................... 78 - 369 Достоверность.................................................... 79 З А В И С Е Т Ь (В.И.Даль).............................................. 80 0 с м ы с л ез а к о н о в (Марк Т у л л и йЦицерон)...........................80 Закон............................................................ 81 З а к о нб о л ь ш и х чисел см. Боль ш и х чисел з а к о н 0 з а к о н о м е р н о с т и (Пётр Капица)................................... 81 Закономерность................................................... 81 З н а ч и м о с т иу р о в е н ьс тати с т и ч е с к о г о критерия..................... 82 З на ч и мо с ть параметра............................................. 86 И д е а л ь н а я монета, и д е а л ь н а яи г р а л ь н а я кость..................... 87 А бс о лютность инедостижимость идеала (С.Н.Булгаков)............. 87 Идеальное........................................................ 87 И Д Е Я (В.И.Даль).................................................. 88 Измерение........................................................ 88 Интеграл......................................................... 89 Интервал......................................................... 90 Интерпретация.................................................... 90 Информация....................................................... 90 И с т и н ыясные, глубокие, л ж и в ы е (Н и л ь с Бор)...................... 91 Истина........................................................... 91 П о з на н и е истины (Аврелий Августин)...............................91 И с т ин н о е значение................................................ 91 Категория........................................................ 91 К а ч е с т в о {В.И.Даль).............................................. 93 К а ч е с т в о (Курт Тухольский)....................................... 93 Качество......................................................... 93 К в а д р а т и ч н о е отклонение.......................................... 95 К в а д р а т и ч н о е среднее............................................. 96 Квантиль......................................................... 96 Квартиль......................................................... 97 К о д и р о в а н и е переменных см. ра з д е л 2. 7 К о л и ч е с т в о м (Аристотель)......................................... 97 К о л и ч е с т в о (В.И.Даль)............................................ 97 Количество....................................................... 97 Комплекс......................................................... 98 К О Н Е Ц Ъ (В.И.Даль)................................................ 99 Конечное......................................................... 99 Константа........................................................ 99 Концепция....................................................... 100 К о р р е л я ц и о н н а я таблица.......................................... 102 К о р р е л я ц и о н н о е поле............................................. 103 К о р р е л я ц и о н н ы й анализ........................................... 103 Корреляция...................................................... 104 К о ш ираспределение.............................................. 107 Коэффициент..................................................... 108 К о э ф ф и ц и е н т корреляции.......................................... 108 - 370 К р и в а я (АркадийДавидович)...................................... 110 Кривая.......................................................... НО Кривизна (шт.)................................................. 110 К р и в о й (В.И.Даль)............................................... НО К р и т е р и й (Александр Круглов).................................... 111 Критерий........................................................ 111 К р и т е р и йо п ы т н ы й (статистика критерия)..........................111 К р и т е р и йт а б л и ч н ы й (статистический).............................112 Критический..................................................... 112 К р и т и ч е с к о е значение............................................ 112 К у б и ч е с к о е среднее.............................................. 112 Кумуляция....................................................... 112 Лапласа-Гаусса распределение см. Н орма льное распреде ление Л а п л а с аинтеграл................................................ ИЗ Л а п л а с араспределение........................................... 113 Л а п л а с афункция................................................. 114 Линеаризация.................................................... 115 Линейный........................................................ 115 ЛИН1Я (В.М.Даль)................................................ 115 Л и н и я (Неизв.).................................................. 115 Линия........................................................... 115 Логарифм........................................................ 116 Логарифмирование................................................ 118 Л о г а р и ф м и ч е с к и нормальное распределение........................ 118 Локализация..................................................... 123 Локальный....................................................... 123 М а к с в е л л араспределение......................................... 123 М а р к о в с к и йп р о ц е с с см. С л у ч а й н ы йп р о ц е с сб е з последе йствия М а с с о в ы ес л у ч а й н ы е явления...................................... 125 М а т е м а т и к а {Альберт Эйнштейн)...................................127 Математика...................................................... 127 М а т е м а т и ч е с к а я модель........................................... 127 М а т е м а т и ч е с к а яс т атистика см. Ста т и с т и к аматематическая Н е о ж и д а н н о с т ьо т в е т а (АвессаломПодводный)..................... 127 Математическое ожидание......................................... 127 Медиана......................................................... 128 М Е Р А (В.И.Даль)................................................. 129 П р а в ом е р и т ьв е щ и (Плиний С т а р ш и й (ГайПлиний Секунд))......... 129 Мера............................................................ 129 Мера множества.................................................. 130 М е р а общая...................................................... 130 Мета... (между)................................................. 130 Метод........................................................... 130 Минимум......................................................... 130 М и н и м у м функции................................................. 130 МН0Г1Й (В.И.Даль)............................................... 131 - 371 - М но ж е ст в о (Виктор Кротов)....................................... 131 Множество....................................................... 131 Мода............................................................ 132 Модель.......................................................... 133 М од е л ь экспериментально-статистическая..........................133 Модуль.......................................................... 135 МОМЕНТЪ (В.И.Даль).............................................. 135 Момент.......................................................... 135 М о м е н т о в мет од ввероятностей теории............................136 М о щ н о с т ь критерия............................................... 137 Н а б л ю д е н и я (Ш а р л ь ЛуиМонтескье)................................137 Наблюдение...................................................... 137 Н а б л ю д е н и йо б рабо тка см. Д анныя о б р а б о т к аматематическая Н а ч а л ь н ы й мом е н т см. Момент, М о м е н т о вм е т о д и раздел 3 Н а ч а л о (В.И.Даль)............................................... 138 Невозможность................................................... 138 Н Е З А В И С И М Ы Й (В.И.Даль).......................................... 138 Н е з а в и с и м о с т ь двух с л уч айных событий............................138 Н е з н а ч и м о с т ь параметра.......................................... 139 Неизбежность.................................................... 139 Н е о б х о д и м о с т ьс м . раздел СВЯЗИ, НЕОБХОДИМОСТЬ, С Л У Ч А Й Н О С Т Ь Н е о б х о д и м о с т ь и случайность..................................... 139 Непрерывность................................................... 140 Непрерывный, непрестанный (В.И.Даль)............................140 Н е с м е щ ё н н а я оценка.............................................. 141 Н е с о и з м е р и м ы еис о и з м е р и м ы е величины............................141 Н О Р М А (В.И.Даль)................................................ 141 Н о р м а (С о м е р с е тМоэм)........................................... 141 Норма........................................................... 141 Нормализация.................................................... 142 Нормаль......................................................... 142 Н о р м а л ь н о е распределение........................................ 142 Н о р м а л ь н о ес о с т о я н и е см. Норма Н о р м и р о в а н и е переменных......................................... 144 Н у л е в а я гипотеза................................................ 145 О Б ОЗНАЧАТЬ, об о з н а ч и т ьи л и означать.............................147 О б р а б о т к арезультатов экспериментов.............................148 О Б Ш И Б А Т Ь (В.И.Даль)............................................. 148 О б щ а ям е р а см. Мера о б щ а я Объект.......................................................... 148 О б ъ е к т и в н о с т ь - субъ е к т и в н о с т ь (СёренКьеркегор)............... 149 Объективность................................................... 149 Объективный..................................................... 149 О п р е д е л е н и е (Г.Гегель).......................................... 149 О п р е д е л е н и е (научн.)............................................ 149 О П Р Е Д Е Л Я Т Ь (В.И.Даль)........................................... 150 - 372 О п ы т н а я дисперсия см. Дисперсия воспроизводимости О п ы т - "ОПЫТЫВАТЬ.. .и (В. И.Даль)................................150 О с н о в н а я гипотеза............................................... 150 О т н о с и т е л ь н о с т ь (Виктор Кротов).................................150 Отношение....................................................... 150 О т р и ц а т е л ь н о еб и н о м и а л ь н о е распределение....................... 152 Оценка.......................................................... 152 О ш иб к а етолкованииВ.И.Даля см. ОБШИБАТЬ О ш и б к ав то р о г о рода при статистических гипотез проверке........ 153 О ш и б к а перв о г о рода при статистических гипотез проверке........ 153 Про м ах (И.К.Ф.Шиллер)........................................... 153 О ш и б о к теория........................................... ........153 Па р аллельные измерения.......................................... 158 П а р а л л е л ь н ы е опыты.............................................. 158 Параметр........................................................ 158 П а р а м е т р и ч е с к а я величина........................................ 159 П а с к а л я распределение........................................... 159 у и с Камоэнс)..............................159 П е р е м е н ч и в о с т ь мира (Л Переменная...................................................... 159 П и р с о н ак р и т е р и йс о г л а с и я см. Хи-квадрат критерий П и р с о н араспределения........................................... 160 П л о т н о с т ь вероятностей.......................................... 164 П о г р е ш н о с т и изме рений (ошибки измерений)....................... 164 Показательная функция, экспоненциальная функция, экспонента.... 165 Показательное распределение, экспоненциальное распределение.... 166 П ОНИМАТЬ (В.И.Даль)............................................. 167 П о н и м а н и е (А л екса ндр Круглов)................................... 167 Понятие......................................................... 167 Популяция....................................................... 170 Постулат........................................................ 170 П р а в и л аии сключения (Луций Анней Сенека)...................... 171 Правило......................................................... 171 П р а в и л о определения критического з н а ч е н и я с татистического критерия........................................ 171 П р а в и л о трёх сиг м а см. Т р ё хс и г м аправило ПРЕДЕЛЪ (В.И.Даль).............................................. 173 П р е д е л (Франсуа Рабле).......................................... 173 Предел.......................................................... 173 Предельный...................................................... 174 ПРИБЛИЖАТЬ, прибл изить (В.И.Даль)...............................174 П р и в е д е н и е к параметрическому в и д ус м . раз д е л 2.7 Признак......................................................... 174 П р и н ц и п ы (Оноре д еБальзак)..................................... 175 Принцип......................................................... 175 Причина, р ок (Гераклит Эфесский)................................175 Причина......................................................... 175 - 373 Причина, привычка {Давид Юм).................................... 176 Причинность..................................................... 176 Причина, следствие и в е ра (Ралф Эмерсон)....................... 178 Причинно-следственная связь..................................... 178 ПРИЧИНЯТЬ, причинить ч т о (В.М.Даль).............................178 Прогноз......................................................... 179 Прогрессия...................................................... 179 Производная..................................................... 179 Пропорциональное среднее........................................ 180 Пропорциональность.............................................. 180 Пропорция....................................................... 181 Процедура....................................................... 181 Процесс......................................................... 181 П р я м о йп у т ь (В.0. Ключевский).................................... 182 Прямая, прямой.................................................. 182 П р я м о у г о л ь н о е распределе ние см. Равно м е р н о е распределение П у а с с о н араспределение.......................................... 182 Равновозможность................................................ 183 Р а в н о м е р н о е распределение....................................... 184 Р а з м а хвыборки.................................................. 184 Р А З У М Ъ (В.И.Даль)............................................... 185 Р а с п р е д е л е н и е веро ятностей с луч а й н о й величины.................. 185 Распред ел е ни е выборки см. Эмпирическое распределение Распределений устойчивость...................................... 189 Распред ел е ни я закон............................................. 189 Р а с п р е д е л е н и яф у н к ц и я сл у ч а й н о йв е л ичиныX ..................... 189 РАСПРЕДЕЛЯТЬ, распределить (В.И.Даль)...........................190 Р ЕЗУЛЬТАТЪ (В.И.Даль)........................................... 190 Результат....................................................... 190 Р е п р е з е н т а т и в н а я выбо р к а см. Выборкапредставительная Р э л е я распределение............................................. 190 С в о й с т в о (Виктор Кротов)........................................ 191 Свойство........................................................ 191 С в о й с т в оо т с у т с т в и я последействия...............................192 Связать......................................................... 192 С в я з е й число.................................................... 192 С В Я З Ы В А Т Ь , с в я з а т ьч т о (В.И.Даль)...............................192 С в я з е й разнообразие (А л ьберКамю)...............................192 Связь........................................................... 192 Связь........................................................... 193 Се р е д а , среда, с е р едина (В.И.Даль)..............................194 Симметрия....................................................... 194 Система......................................................... 196 Скаляр.......................................................... 198 С Л Е Д И Т Ь кого, ид т ип ос л е д а м ъ (В.И.Даль)....................... 198 С л е д с т в и е (Гастон д еЛевис)..................................... 199 - 374 Следствие....................................................... 199 С Л У Ч А Й (В.И.Даль)............................................... 199 В е р о я т н о с т ь невероятного (Агафон)...............................199 С л у ч а й н а я величина.............................................. 199 С л у ч а й н а я выбо р к а см. Выборка С л у ч а й (А н а т о л ь Франс).......................................... 200 С л у ч а й н о е событие............................................... 200 С л у ч а й н о с т и фатальность (Неизв.)................................200 Случайность..................................................... 200 С л у ч а й н ы е числа................................................. 201 С л у ч а й н ы йп р о ц е с сб е з последействия.............................201 С л у ч а й н ы йп р о ц е с с (стохастический процесс)..................... 202 См е щё н но с т ьо ц е н к и см. Несмещённая оценка СОБЫТИЕ, событность к о г ос ъ ке мъ {В.И.Даль).................... 202 С о б ы т и й постижение (ТхакураВидьяпати)..........................202 Событие......................................................... 202 Совмес т ны е распределения........................................ 203 СОВОКУПЛЯТЬ, совокупить ч т ос ъч емъ (В.И.Даль)................. 203 Сов о ку п н ос т ь глупостей (Артур Шопенгауэр)...................... 204 Совокупность.................................................... 204 С о и з м е р и м ы е инесоизм еримые величины............................204 С о о т н о ш е н и е см. О т н о ш е н и е Состояние....................................................... 204 С о с т о я т е л ь н о с т ь оценки.......................................... 205 С О С Т О Я Т Ь (В.И.Даль)............................................. 205 С о с т о я т ь (В.И.Даль)............................................. 206 Состоять........................................................ 206 Среда........................................................... 206 С р е д н е е арифметико-геометрическое...............................207 С р е д н е е арифметическое.......................................... 207 С р е д н е е арифметическое взвешенное...............................207 С р е д н е е гармоническое........................................... 207 С р е д н е е геометрическое.......................................... 207 С р е д н е е квадратичное............................................ 207 С р е д н е е кубическое.............................................. 207 С р е д н е е пропорциональное........................................ 207 С р е д н е ес т е п е н н о е взвешенное.................................... 207 С е р е д и н а (Конфуций)............................................. 207 Сре д н е е , с р е д н е ез н а ч е н и ес о в о к у пностичисел................... 207 Стандарт.......... .............................................. 213 С т а н д а р т и з а ц и я случ а й н о й величины...............................214 С т а н д а р т и з о в а н н о ен ормальное ра с п р е д е л е н и е см. раздел 2.9 С т а н д а р т н о е отклонение, стандарт................................214 С т а н д а р т н ы е границы............................................. 215 Статистика...................................................... 216 С т а т и с т и к ак р и т е р и я см. Критерий опытный, Статистика - 375 Статистический критерий см. Критерийтабличный, Статистика С татистика (В. 0. Ключевский)..................................... 217 С татистика математическая....................................... 217 С татистическая гипотеза......................................... 218 С т а т и с т и ч е с к а я модель........................................... 218 С т а т и с т и ч е с к а я оценка........................................... 220 С т а т и с т и ч е с к и й кри терий с м . Критерийтабличный Диа л е к т и к ан ауч н о й работы (Ф р э н с и с Бэкон)...................... 221 Статистических гипотез проверка.................................221 С т е п е н е й свободы число.......................................... 227 С т о х а с т и ч е с к а я модель........................................... 229 Структура....................................................... 229 С т р у к т у р н а я модель.............................................. 230 С т ь ю д е н т а критерий, t-критерий..................................230 С т ь ю д е н т араспределение......................................... 232 С у б с т а н ц и я (Димитрий Панин)..................................... 235 Субстанция...................................................... 235 Субъект......................................................... 235 С у б ъ е к т и в и з м (Лешек Кумор)...................................... 235 Субъективность.................................................. 235 С у ж д е н и е имею щ и й (Н.Шелгунов)...................................235 Суждение........................................................ 235 С у щ н о с т ь (Виктор Гаврилов)...................................... 236 С ущность........................................................ 236 Т е о р и ип р а к т и чность (Людвиг Больцман)...........................237 Теория.......................................................... 237 Т е р м и н технический, специальный.................................237 Т р а н с ц е н д е н т н а я кривая.......................................... 237 Т р а н с ц е н д е н т н а я функция......................................... 238 Трансцендентное................................................. 238 Т р а н с ц е н д е н т н о еч и с л о см. Ч и с л отран сцендентное Т р ё хс и г м а правило.............................................. 238 Уникальный...................................................... 239 У р а в н е н и е математическое........................................ 239 У р о в е н ьз н а ч и м о с т ис та тис т и ч е с к о г о критерия.................... 240 У ст ойчивость распределения см. Распределений устойчивость Ф актыи статистика (Лоренс Питер)...............................240 Факт............................................................ 240 ФА К Т О Р Ъ (В.И.Даль).............................................. 240 0 д е й с т в и ип р и ч и н ипричинах д е й с т в и й (Чарльз Колеб Колтон).... 240 Фактор.......................................................... 240 П р и р о д ан е признаёт ш у ток (ИоганнВ ольф г а н г Гёте).............. 241 Физика.......................................................... 241 Ф и з ическая величина см. Величина физическая Фиксация........................................................ 241 Ф ишера критерий, F-критерий..................................... 241 - 376 Ф ишерараспределение............................................ 242 Флуктуации............................. ........................ 244 Форма........................................................... 244 Формализация.................................................... 245 Формула......................................................... 245 Функционирование................................................ 245 Функция......................................................... 246 Ф у н к ц и я аналитическая........................................... 247 Ф у н к ц и я отклика................................................. 249 Ф у н к ц и я ра с п р е д е л е н и яс л у ч а й н о й величины....................... 249 Ф ун к ц и яс л у ч а я см. Случайная велич и н а Хи-квадрат критерий, X2-критерий................................249 Хи-квадрат распределение, X2-распределение..................... 252 В с е л ен н ая е с т ь целиком ц е н т р (Джордано Филиппо Бруно).......... 255 Центр........................................................... 255 Ц е н т р а л ь н а я пре д е л ь н а я теорема..................................255 Ц е н т р а л ь н ы йм омент см. Момент, Мом е н т о в мет од и раздел 3 Ц е н т р и р о в а н и е случа й н о й величины................................257 Ч а с т о т ас л у ч а й н о г о события...................................... 258 Ч И С Л О (В.И.Даль)................................................ 258 Ч и с е лв а ж н о с т ь (Пифагор)........................................ 259 Число........................................................... 259 Ч и с л ос в я з е йналоженныхн а выборку.................... .........260 Ч и с л ос т е п ен е й свободы см. Степеней свободычисло Ч и с л о трансцендентное........................................... 260 Ш У МЪ (В.И.Даль)................................................. 260 Шум............................................................. 261 Эксперимент..................................................... 261 Э к с п о н е н ц и а л ь н а я кривая......................................... 261 Э к с п о н е н ц и а л ь н а я функция, п оказательная функция................ 261 Экспоненциальное распределение..................................266 Экстремум....................................................... 266 Э к с ц е с с акоэффициент, эксцесс...................................267 Э л е м е н т ы системы................................................ 268 Эмпиризм........................................................ 268 Э м п и р и ч е с к а яф у н к ц и я распределения..............................268 Э м п и р и ч е с к о е распределение, в ы б о р о ч н о е распределение........... 268 Эффект.......................................................... 271 Э ф ф е к т и в н а я стат и с т и ч е с к а я оценка...............................271 Э ф ф е к т и в н о с т ь оценки...... ..................................... 272 Явить, являть, явливать ч т о (В.И.Даль)......................... 272 Д ействительность (Демокрит).....................................272 Явление......................................................... 272 ЦИВИНСКИЙ Дмитрий Николаевич Применение статистического метода анализа в нефтегазовом деле Учебное пособие Печатается в авторской редакции Корректор Алендукова Н.А. Формат 16x84 1/16. Бумага офсетная Уел.п.л. 21,9. Уч.-изд.л. 20,8. Тираж 150. Per.№21/13. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный технический университет" 443100, г. Самара, ул. Мологвардейская, 244. Главный корпус. Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, г. Самара, ул. Мологвардейская, 244., корпус №8.

Применение статистического метода анализа в нефтегазовом

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Применение статистического метода анализа в нефтегазовом

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib