Лекция № 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: 2 часа. Вопросы: 1. Характеристики случайных величин, используемых в теории надежности 2. Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности. 1. Характеристики случайных величин, используемых в теории надежности В теории надежности приходится иметь дело с двумя классами случайных величин — дискретными и непрерывными. Примеры дискретных случайных величин: число отказов или число восстановлений объекта за заданное время. Примеры непрерывных случайных величин: наработка объекта до отказа, наработка объекта между двумя отказами, время восстановления, ресурс. В соответствии с этим рассмотрим два класса распределений: дискретные и непрерывные. Центральным понятием теории надежности является понятие «отказ», заключающийся в нарушении работоспособного состояния объекта. Хотя сам факт отказа объекта — явление детерминированное, но неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей среде процессов приводят к вероятному характеру отказов, т.е. отказ объекта может быть вызван разными причинами и иметь различный характер и природу. Так как время появления отказа — величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с применением разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в теории надежности методов теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Поэтому в целесообразно повторить основные положения этих математических методов. 1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее – какое именно. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Примеры дискретных величин: число появлений орла и решки при бросании монет, число отказов элементов в системе. Примеры непрерывных величин: время безотказной работы прибора. 2. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Х 1 Х Х 2 P 1 … 3 P . n … P 2 X 3 . P n Такую таблицу будем называть рядом распределения случайной величины Х. При графическом изображении получаем многоугольник распределения. Р f x Х Рисунок 3.1 Рисунок 3.2 3. Функция распределения случайных величин – функция некоторой текущей переменной: F(x) = P(X<x), где х – некоторая текущая переменная. Ее называют интегральной функцией распределения. Это самая универсальная характеристика случайной величины ( для непрерывных случайных величин). 4. Плотность распределения случайной величины - производная функции распределения f(x)=F’(x) – характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Кривая f(x) , изображающая плотность распределения случайной величины x (рис. 3.2) называется кривой распределения. Выражение функции распределения через плотность: x F ( x) f ( x)dx , (3.1) где F(x) –геометрическая плотность кривой распределения, лежащая левее точки х. 5. Математическое ожидание – одна из характеристик положения случайной величины, которое иногда называют средним значением случайной величины. Механическая интерпретация: пусть на оси абсцисс расположены точки с координатами х1, х2, х3,…, хn , в которых сосредоточены соответственно массы р1 , р2 , р3 , ….., рn, причем ∑ рi =1. Тогда 2 математическое ожидание не что иное, как абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек. Математическое ожидание – сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений или среднее взвешенное значение случайной величины. n М Х хi p i (3.2) i 1 Математическое ожидание случайной величины x (обозначается Мx) есть предел lim Mxn lim n k k k 1 P x , n n k n где xn _ последовательность дискретных случайных величин, определяемых равенством x = k/n, если к/п < x < (к + 1)/n; к = 0, ±1, ±2, ...; n = 1, 2, .... Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам: 1) М ( x1 x2 ) Мx1 Мx2 ; 2) М (x) Мx для всех λ; 3) если Р(x 1 +x 2 ) = 1, то Мx 1 = Мx 2 ; 4) если x≥0, то Мx ≥0; 5) если Р{x = с} = 1, то Мx = с. Для вычисления математического ожидания используются формулы М xdF (x) и М xf ( x)dx . ( 3.3 ) 6. Модой (μ) случайной величины называется ее наибольшее вероятное значение. f(x) μ x Рисунок 3.3 7. Моменты случайных величин служат для описания свойств плотности распределения случайной величины ξ. Моменты содержат меньше информации о случайной величине по сравнению с плотностью распределения, но часто более удобны при решении прикладных задач. Величина М k x k dF ( x), k 1,2,...... (3.4) 3 называется k-м моментом величины ξ (если указанное математическое ожидание существует). Наиболее часто используют в качестве характеристик случайной величины первым начальным моментом - математическое ожидание и второй - дисперсию случайной величины. 7. Дисперсия случайной величины. Особую роль играет второй центральный момент ч2 = Dx, который называется дисперсией случайной величины x – это математическое ожидание квадрата соответствующей центральной величины x Dx M ( x Mx)2 (3.5) D x ( x mx ) 2 f ( x)dx . (3.6) Дисперсия характеризует рассеивание значений случайной величины ξ, в окрестности ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает рассеивание. Механическая интерпретация – момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания). Наряду с дисперсией Dξ в качестве меры рассеивания широко используется среднее квадратичное отклонение случайной величины ξ, (СКО) σ = D или σ X D X . 2. Основные законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности. В теории надежности приходится встречаться со множеством величин, случайных по своей природе. К ним относятся: наработка до отказа для однотипных объектов; наработка между соседними отказами для восстанавливаемого объекта; суммарная наработка объекта до среднего (капитального) ремонта; время восстановления ремонтируемых объектов; суммарная стоимость ремонтов и др. Наиболее полно случайная величина может быть охарактеризована законом распределения случайной величины в виде функции распределения F(t) = P(T < t) или плотности распределения (для непрерывной случайной величины) dF (t ) f (t ) . dt В зависимости от характера самих объектов, условий работы и способов соединения элементов в соответствии с работой (5) имеют место следующие наиболее распространенные законы распределения случайных величин: нормальный закон распределения (закон Гауса); экспоненциальный (показательный) закон; закон распределения Вейбулла; 4 распределение Пуассона. Экспоненциальное распределение Распределение случайной положительной величины называется экспоненциальным, если его плотность распределения вероятности имеет вид (3.7) f (t ) e t , t ≥ 0, где λ – параметр распределения, λ > 0. Характер изменения f(t) для различных λ показан на рис. 3. Из рисунка видно, что чем больше λ, тем быстрее уменьшается во времени f(t). Рисунок 3.4 Пусть λ(t) = x, тогда f (t ) e x . Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, удовлетворяющей уравнению (3.7) , находят по формулам: 1 (3.8) M (t ) ; 2 (t ) 1 2 Экспоненциальное распределение часто используется при рассмотрении внезапных отказов в тех случаях, когда явления износа и старения выражены настолько слабо, что ими можно пренебречь. Наработка до отказа многих невосстанавливаемых элементов радиоэлектронной аппаратуры подчиняется экспоненциальному распределению. После окончания периода приработки поток отказов у восстанавливаемых объектов часто становится простейшим. В этом случае наработка между соседними отказами имеет экспоненциальное распределение. В ряде случает в первом приближении принимают, что время восстановления ТУ распределено по экспоненциальному закону. Распределение Вейбулла. 5 Случайная положительная величина имеет распределение Вейбулла, если для плотности распределения справедливо уравнение t b t b1 ( a )b (3.9) f (t ) ( ) e , a a где а и b – параметры распределения. Параметры a и b могут очень сильно менять вид кривой. На рис. 3.5 показан характер изменения f(t) при изменении b. При b = 1 распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение. Рисунок 3 5. Для математического ожидания и дисперсии случайной величины, удовлетворяющей уравнению (3.8) справедливы формулы: 1 (3.10) M (t ) aГ (1 ) , b 1 1 (3.11) 2 (t ) a 2 Г (1 ) Г 2 (1 ) , b b где Г ( Р ) x P 1 x e , а х – табличная гамма – функция. 0 Наработка до отказа у многих невосстанавливаемых объектов имеет распределение Вейбулла. К таким объектом относятся, например, подшипники качения, отдельные типы электронных ламп, полупроводниковых приборов, приборы СВЧ, некоторые объекты, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения. Нормальное распределение. Плотность вероятности нормального распределения находят по уравнению: 1 f (t ) e 2 ( t a )2 2 2 ; t ≥ 0, (3.12) < 0,25. а В общем случае нормально распределенная случайная величина изменяется в интервале (-∞, ∞), а время t не имеет отрицательного значения, поэтому необходимо выполнение условия где а и σ – параметры распределения, a > 0, σ > 0, 6 < 0,25. В этом случае практически весь диапазон изменения случайной величины а будет иметь положительные значения. Вид кривой плотности распределения для нормального закона изображен на рис. 4.6. Из рисунка видно, что этот закон симметричен относительно а и обладает максимальной плотностью в точке t = a. Рисунок 3.6 Параметры закона а и σ являются его числовыми характеристиками: M(t) = a, σ 2 (t) = a2. Наработка до отказа невосстанавливаемых объектов иногда приближенна распределена по нормальному закону (Гаусса). Это характерно для объектов, подверженных старению и износу. Суммарная наработка восстанавливаемого объекта до капитального ремонта и время восстановления ремонтируемых объектов в ряде случаев приближенно распределены по нормальному закону. Нормальное распределение часто используют для приближенных расчетов в тех случаях, когда имеет место биноминальное распределение или распределение Пуассона. Распределение Пуассона. Случайная величина имеет распределение Пуассона тогда, когда вероятность, что она принимает целое положительное значение, находится по формуле 1 P( x1 ) a xi e a , (3.13) x1! где а – параметр распределения, а > 0. Для математического ожидания и дисперсии имеют место уравнения: M(t) = a, (3.14) 2 2 σ (t) = a . (3.15) Распределение Пуассона является частным случаем биноминального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность наступления события А в одном испытании достаточно мала (Р < 0,1). Этот закон называют еще «редких событий» из – за малости Р. 7 При больших значениях функцию распределения для закона Пуассона можно приближенно заменить функцией нормального распределения с числовыми характеристиками, вычисленными по формулам (3.14) и (3.15). Закону Пуассона подчиняются следующие случайные величины: число отказов элементов за время t, если наработка до отказа у каждого из однотипных элементов распределена по экспоненциальному закону; число отказов за время t для восстанавливаемого объекта, у которого промежутки времени между соседними отказами имеют экспоненциальное распределение; число дефектных изделий в выборке, если доля дефектных изделий q < 0,1 и др. 8