2007 Âåñòíèê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåð.10, âûï. 2 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà ÓÄÊ 519.859 À. Â. Áîãäàíîâà, Â. Ä. Íîãèí ÑÓÆÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÏÀÐÅÒÎ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÏÐÎÑÒÅÉØÈÕ ÍÀÁÎÐΠÍÅ×ÅÒÊÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ ÎÁ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÉ ÂÀÆÍÎÑÒÈ ÊÐÈÒÅÐÈÅ ∗) 1. Ââåäåíèå. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷ âûáîðà ïðè ìíîãèõ êðèòåðèÿõ çàêëþ÷àåòñÿ â íåâîçìîæíîñòè àïðèîðíîãî îïðåäåëåíèÿ òîãî, ÷òî íàçûâàòü íàèëó÷øèì ðåøåíèåì. Êàæäîå ëèöî, ïðèíèìàþùåå ðåøåíèå (ËÏÐ), èìååò ïðàâî âêëàäûâàòü ñâîé ñìûñë â ýòî ïîíÿòèå. Áîëåå òîãî, íåáîëüøîå èçìåíåíèå îáñòîÿòåëüñòâ, ïðè êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîð, ìîæåò ïðèâåñòè ê èçìåíåíèþ ñìûñëà íàèëó÷øåãî ðåøåíèÿ. Ïîíÿòèå íàèëó÷øåãî ðåøåíèÿ çàâèñèò îò ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå íå óäàåòñÿ ó÷åñòü â ðàìêàõ ôèêñèðîâàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè êàê ïî ïðè÷èíå èõ êîëè÷åñòâà, òàê è â ñèëó íåâîçìîæíîñòè ìàòåìàòèçàöèè (ïî êðàéíåé ìåðå, íà äàííûé ìîìåíò ðàçâèòèÿ) ðàçëè÷íûõ àñïåêòîâ ïñèõîëîãè÷åñêîãî õàðàêòåðà, îêàçûâàþùèõ âëèÿíèå íà îêîí÷àòåëüíûé âûáîð. Âñå ýòî ãîâîðèò î íåïðîäóêòèâíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ âûáîðà ïðè ìíîãèõ êðèòåðèÿõ òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà, ñëîæèâøåãîñÿ äåñÿòêè ëåò íàçàä â îáëàñòè îïòèìèçàöèè ñ îäíèì êðèòåðèåì è ïðåäïîëàãàþùåãî îáÿçàòåëüíîå ôîðìàëüíîå ââåäåíèå ïîíÿòèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ (îáû÷íî ýòî ýëåìåíò ìíîæåñòâà îãðàíè÷åíèé, â êîòîðîì öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå ëèáî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå).  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà â ïîñëåäíåå âðåìÿ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ ìåòîäîëîãèÿ, íå ïðåäïîëàãàþùàÿ äëÿ ñâîåé ðåàëèçàöèè íàëè÷èÿ ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ âûáèðàåìîãî ðåøåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [1]). Åå ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè òåõ èëè èíûõ îöåíîê ñâåðõó äëÿ çàðàíåå íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé íà îñíîâå îïðåäåëåííûõ îáùèõ ñâîéñòâ ïîâåäåíèÿ ËÏÐ â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ ó÷åòîì íåêîòîðîé ÷èñëîâîé èíôîðìàöèè îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ. Ýòà ìåòîäîëîãèÿ ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðèîáðåëà âïîëíå îïðåäåëåííûå êîíòóðû [1]. Åå ôóíäàìåíò ñîñòàâëÿåò çíàìåíèòûé ïðèíöèï ÝäæâîðòàÏàðåòî, à îñíîâíîå ñîäåðæàíèå îáðàçóþò ðåçóëüòàòû, ïîêàçûâàþùèå, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü çàäàííóþ êîëè÷åñòâåííóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ äëÿ îáîñíîâàííîãî ñóæåíèÿ ìíîæåñòâà Ïàðåòî. Íåðåäêî òàêóþ èíôîðìàöèþ óäîáíî èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ òåîðèè îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, â îñíîâó êîòîðîé ïîëîæåí óòî÷íåííûé âàðèàíò îäíîãî îïðåäåëåíèÿ, ïðåäëîæåííîãî â [2].  ñîîòâåòñòâèè ñ óïîìÿíóòîé âûøå ìåòîäîëîãèåé ëþáîé âûáîð, ïîä÷èíÿþùèéñÿ íàáîðó àêñèîì, õàðàêòåðèçóþùèõ ïîâåäåíèå ËÏÐ â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü â ïðåäåëàõ ìíîæåñòâà Ïàðåòî, êîòîðîå ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ "íîâîãî"âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ, îïðåäåëÿåìîãî íà îñíîâå "ñòàðîãî"âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ è èìåþùåéñÿ êîëè÷åñòâåííîé èíôîðìàöèè. Òåì ñàìûì, ñòðîèòñÿ íåêîòîðàÿ îöåíêà ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ∗) Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ãðàíò 05-01-00310) c À. Â. Áîãäàíîâà, Â. Ä. Íîãèí, 2007 ° 1 áîëåå òî÷íîé, ÷åì èñõîäíîå ìíîæåñòâî Ïàðåòî. Ýòîò ïîäõîä ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü è òàêèì îáðàçîì: íàëè÷èå óêàçàííîé èíôîðìàöèè äàåò âîçìîæíîñòü ñóçèòü èñõîäíîå ìíîæåñòâî Ïàðåòî. Íåðåäêî ïðè âûÿâëåíèè èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîëè÷åñòâåííûå äàííûå ëèøü â ñïåöèôè÷åñêîé íå÷åòêîé ôîðìå, êîãäà ïðåäïî÷òèòåëüíîñòü òîãî èëè èíîãî ðåøåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè îöåíèâàåòñÿ ñ ñóáúåêòèâíîé ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè, ñïîñîáíîé èçìåíÿòüñÿ â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ.  òàêèõ ñèòóàöèÿõ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïðèìåíèòü àïïàðàò òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé [3]. Âûÿñíèëîñü, ÷òî ðàçðàáàòûâàåìàÿ ìåòîäîëîãèÿ ñóæåíèÿ ìíîæåñòâà Ïàðåòî äîïóñêàåò ðàñïðîñòðàíåíèå íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ËÏÐ, à òàêæå íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé (ñì. [4]). Îñíîâû ïîäîáíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ áûëè çàëîæåíû â ðàáîòå [5] åùå äî ïîÿâëåíèÿ îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ ïðèìåíèòåëüíî ê ñëó÷àþ íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ. Èñïîëüçîâàíèå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé äàåò âîçìîæíîñòü ðàçðàáîòàòü áîëåå ãèáêèé àïïàðàò, êîòîðûé ìîæíî ïðèìåíÿòü ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà.  äàííîé ðàáîòå ïîñëå êðàòêîãî îáçîðà îñíîâíûõ èñïîëüçóåìûõ ïîíÿòèé òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â âèäå àêñèîì ôîðìóëèðóþòñÿ òðåáîâàíèÿ, êîòîðûå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê íåêîòîðûå óñëîâèÿ ïîâåäåíèÿ â íå÷åòêîé ñðåäå; â äàëüíåéøåì îíè áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ âûïîëíåííûìè. Ïðè ïîñëåäóþùåì ðàññìîòðåíèè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ñîäåðæèò íåêîòîðûé êîíå÷íûé íàáîð ñîîáùåíèé; êàæäîå èç íèõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàêàÿ-òî ãðóïïà êðèòåðèåâ ÿâëÿåòñÿ áîëåå âàæíîé, ÷åì äðóãàÿ ãðóïïà. Äàëåå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåïðîòèâîðå÷èâîãî (ñîâìåñòíîãî) íàáîðà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ è íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [5] ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ïîäîáíîãî íàáîðà. Öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò ðàáîòû òåîðåìû, êîòîðûå ïîêàçûâàþò, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòà èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð èç äâóõ ïðîñòåéøèõ ñîîáùåíèé.  óêàçàííûõ òåîðåìàõ ñòðîèòñÿ îïðåäåëåííàÿ îöåíêà ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé â ôîðìå ìíîæåñòâà Ïàðåòî îòíîñèòåëüíî âèäîèçìåíåííîãî âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, óêàçàííàÿ îöåíêà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ òðåõ ÷åòêèõ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷ ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðîì. 2. Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Íàïîìíèì íåêîòîðûå âàæíåéøèå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè è îòíîøåíèÿìè. Áîëåå ïîäðîáíûå ñâåäåíèÿ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [3]. Ïóñòü A íåêîòîðîå íåïóñòîå (óíèâåðñàëüíîå) ìíîæåñòâî. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî U â A çàäàåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λ: A → [0, 1]. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî x ∈ A ÷èñëî λ(x) ∈ [0, 1] èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà x ìíîæåñòâó U .  ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè λ(·) ÿâëÿþòñÿ ëèøü ÷èñëà 0 è 1, îíà ïðåâðàùàåòñÿ â õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îáû÷íîãî (÷åòêîãî) ìíîæåñòâà U . Âñå ýëåìåíòû x ìíîæåñòâà A, äëÿ êîòîðûõ λ(x) > 0, îáðàçóþò ñóïïîðò ìíîæåñòâà U , îáîçíà÷àåìûé supp U . Âêëþ÷åíèå, à òàêæå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ U è 2 V â A îáû÷íî îïðåäåëÿþò â òåðìèíàõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: U ⊂ V ⇔ λ(x) 5 µ(x), ν(x) = max{λ(x), µ(x)}, ρ(x) = min{λ(x), µ(x)} ∀x ∈ A. Çäåñü ÷åðåç µ(x) îáîçíà÷åíà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà V , à ν(x), ρ(x) ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ U è V. Äëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà η(·), çàäàííîãî íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå òåðìèíû: íå÷åòêèé êîíóñ, åñëè η(x) = η(α·x) ∀α > 0, ∀x ∈ L ; íå÷åòêèé îñòðûé êîíóñ, åñëè åãî ñóïïîðò ÿâëÿåòñÿ îñòðûì, ò. å. íè îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò ñóïïîðòà íå ñîäåðæèòñÿ â íåì âìåñòå ñ ïðîòèâîïîëîæíûì åìó ýëåìåíòîì; íå÷åòêîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, åñëè η(θx+(1 − θ)y) = min{η(x),η(y)} ∀x, y ∈ L, ∀θ ∈ [0, 1]. Íå÷åòêîå (áèíàðíîå) îòíîøåíèå çàäàåòñÿ íà ìíîæåñòâå A ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè µ : A × A → [0, 1] , ïðè ýòîì ÷èñëî µ(x, y) ∈ [0, 1] èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñòåïåíü óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî ýëåìåíò x íàõîäèòñÿ â äàííîì îòíîøåíèè ñ ýëåìåíòîì y . Íåðåäêî, ñàìó ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè µ èìåíóþò íå÷åòêèì îòíîøåíèåì ñ äàííîé ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè. Íå÷åòêîå îòíîøåíèå ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(·, ·) áóäåì íàçûâàòü èððåôëåêñèâíûì, åñëè µ(x, x) = 0 ∀x ∈ A; òðàíçèòèâíûì, åñëè µ(x, z) = min{µ(x, y), µ(y, z)} ∀x, y, z ∈ A; àñèììåòðè÷íûì, åñëè µ(x, y) > 0 =⇒ µ(y, x) = 0 ∀x, y ∈ A; íå÷åòêèì êîíóñíûì îòíîøåíèåì íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, åñëè íàéäåòñÿ òàêîé íå÷åòêèé êîíóñ η : L → [0, 1], ÷òî µ(x, y) = η(x − y) ∀x, y ∈ L; èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè îíî çàäàíî íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà µ(αx, αy) = µ(x, y), µ(x + c, y + c) = µ(x, y) ∀x, y, c ∈ L, ∀α > 0. 3. Çàäà÷à íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà. 3.1. Îñíîâíûå êîìïîíåíòû çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà. ×åðåç X îáîçíà÷èì (÷åòêîå) ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé, ñîäåðæàùåå ïî êðàéíåé ìåðå äâà ýëåìåíòà. Îáîçíà÷èì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé ÷åðåç Sel(X) (Sel(X) ⊂ X ), à åãî ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè ÷åðåç λSX (·) (ïðè ýòîì óíèâåðñàëüíûì ñ÷èòàåòñÿ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé X ). Ìíîæåñòâî Sel(X) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è íå÷åòêîãî âûáîðà.  çàâèñèìîñòè îò öåëåé è ïðåäïî÷òåíèé ËÏÐ èì ìîæåò îêàçàòüñÿ ëþáîå íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé X . Ðåøèòü çàäà÷ó íå÷åòêîãî âûáîðà äëÿ äàííîãî ËÏÐ îçíà÷àåò íàéòè ìíîæåñòâî Sel(X) (òî÷íåå ãîâîðÿ, óêàçàòü åãî ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè), êîòîðîå íàèáîëåå ïîëíî è òî÷íî ñîîòâåòñòâóåò åãî ïðåñòàâëåíèÿì î íàèëó÷øèõ äëÿ íåãî ðåøåíèÿõ. Ïðè ýòîì êàæäîìó ËÏÐ â òîé èëè èíîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè áóäåò îòâå÷àòü ñâîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, è ïî äàííîé ïðè÷èíå íåâîçìîæíî ðàçðàáîòàòü "óíèâåðñàëüíîå"îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, áûëî áû ïðèåìëåìûì äëÿ âñåõ ËÏÐ (èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà ËÏÐ).  òàêîì ïîëîæåíèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì çàíÿòüñÿ ïîñòðîåíèåì òåõ èëè èíûõ ïî âîçìîæíîñòè íàèáîëåå óçêèõ îöåíîê ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé. Èìåííî òàêîé ïîäõîä è ðàññìàòðèâàåòñÿ äàëåå. 3 Æåëàíèå ËÏÐ äîñòè÷ü êîíêðåòíîé öåëè íåðåäêî óäàåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíàõ âûðàçèòü â âèäå ìàêñèìèçàöèè (èëè ìèíèìèçàöèè) íåêîòîðîé ÷èñëîâîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå X . Îäíàêî â áîëåå ñëîæíûõ ñèòóàöèÿõ ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî íå ñ îäíîé, à ñðàçó ñ íåñêîëüêèìè ôóíêöèÿìè ïîäîáíîãî òèïà. Ïóñòü èìååòñÿ m (m = 2) ÷èñëîâûõ ôóíêöèé (êðèòåðèåâ) f1 , f2 , . . . , fm , çàäàííûõ íà ìíîæåñòâå X .  çàâèñèìîñòè îò ñîäåðæàíèÿ çàäà÷è âûáîðà ýòè ôóíêöèè íàçûâàþò êðèòåðèÿìè îïòèìàëüíîñòè, öåëåâûìè ôóíêöèÿìè è ò. ï. Îíè îáðàçóþò âåêòîðíûé êðèòåðèé f = (f1 , f2 , . . . , fm ), êîòîðûé ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â m-ìåðíîì àðèôìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå IRm . Åãî íàçûâàþò êðèòåðèàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì, èëè ïðîñòðàíñòâîì îöåíîê (âåêòîðîâ), à ëþáîå çíà÷åíèå f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) ∈ IRm âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ f ïðè îïðåäåëåííîì ðåøåíèè x ∈ X èìåíóþò âåêòîðíîé îöåíêîé ðåøåíèÿ x. Âñå âåêòîðíûå îöåíêè îáðàçóþò ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ âåêòîðîâ (îöåíîê) Y = f (X) = {y ∈ IRm | ∃ x ∈ X : y = f (x)}. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ðåøåíèé X çàäàíî íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µX (·, ·). Äëÿ x0 , x00 ∈ X ÷èñëî µ(x0 , x00 ) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñòåïåíü óâåðåííîñòè ËÏÐ â òîì, ÷òî äëÿ íåãî ðåøåíèå x0 ïðåäïî÷òèòåëüíåå x00 . Òåïåðü ìîæíî îêîí÷àòåëüíî ïåðå÷èñëèòü âñå ýëåìåíòû çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà (â òåðìèíàõ ðåøåíèé) < X, f, µX >: ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé X , âåêòîðíûé êðèòåðèé f , îïðåäåëåííûé íà ìíîæåñòâå X , íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µX (·, ·), çàäàííîé íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè X × X è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ ÷èñëîâîãî îòðåçêà [0, 1]. Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî Sel(X) c ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λSX (·) . Òó æå çàäà÷ó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ âåêòîðîâ. ×åðåç Sel(Y ) îáîçíà÷èì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî çàäàíà íà IRm è åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîãëàñîâàíà ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé: ( λSX (x), åñëè y = f (x) ïðè íåêîòîðîì x ∈ X, λSY (y) = 0, åñëè y ∈ IRm \Y. Ôóíêöèåé µX (·, ·) èíäóöèðóåòñÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè µY (·, ·) íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ íà ìíîæåñòâå Y ñëåäóþùèì îáðàçîì: µY (y 0 , y 00 ) = µX (x0 , x00 ) ïðè y 0 = f (x0 ), y 00 = f (x00 ), x0 , x00 ∈ X.  ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ, çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå âåêòîðîâ, ïîðîæäàåò ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ íà ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ðåøåíèé, ôàêòîðèçîâàííîì ïðè ïîìîùè îòíîøåíèÿ ðàâåíñòâà íà ìíîæåñòâå âåêòîðîâ.  èòîãå çàäà÷à íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà (â òåðìèíàõ âåêòîðîâ) < Y, µY > âêëþ÷àåò 4 ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ âåêòîðîâ Y , íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µY (·, ·), çàäàííîé íà Y è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ ÷èñëîâîãî îòðåçêà [0, 1]. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ Sel(Y ) ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λSY (y). Ñôîðìóëèðîâàííûå çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà (â òåðìèíàõ ðåøåíèé è â òåðìèíàõ âåêòîðîâ) ýêâèâàëåíòíû â òîì ñìûñëå, ÷òî áëàãîäàðÿ óêàçàííîé ñîãëàñîâàííîñòè ïåðå÷èñëåííûõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè âñå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â òåðìèíàõ îäíîé èç ýòèõ çàäà÷, ìîãóò áûòü ëåãêî ïåðåôîðìóëèðîâàíû â òåðìèíàõ äðóãîé çàäà÷è. Ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ çàäà÷ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà ïðàêòèêå íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ, êàê ïðàâèëî, èçâåñòíî íå ïîëíîñòüþ èëè âîîáùå íåèçâåñòíî. Òåì ñàìûì, íåèçâåñòíûì îêàçûâàåòñÿ è ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé (è âåêòîðîâ). Ïîýòîìó óêàçàííîå ìíîæåñòâî ïðèõîäèòñÿ ñòðîèòü, ðàñïîëàãàÿ ëèøü ÷àñòè÷íûìè ñâåäåíèÿìè îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ â ôîðìå èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ è èñïîëüçóÿ íåêîòîðûå åãî õàðàêòåðèñòèêè â âèäå îïðåäåëåííûõ àêñèîì. 3.2. Àêñèîìû íå÷åòêîãî âûáîðà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà è ïðèâåäåì ðÿä àêñèîì, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïðåäåëåííûå òðåáîâàíèÿ ê íå÷åòêîìó îòíîøåíèþ ïðåäïî÷òåíèÿ è íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, ó÷àñòâóþùèõ â ïîñòàíîâêå çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà. Ýòè àêñèîìû áûëè ïðåäëîæåíû â [4] è áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ âûïîëíåííûìè â äàííîé ðàáîòå; îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàñïðîñòðàíåíèå íà ñëó÷àé íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ àêñèîì, ñôîðìóëèðîâàííûõ â [1]. Àêñèîìà 1. Äëÿ âñÿêîé ïàðû ðåøåíèé x0 , x00 ∈ X , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ µX (x0 , x00 ) = µ∗ ∈ [0, 1], ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî λSX (x00 ) 5 1 − µ∗ . Àêñèîìà 2. Ñóùåñòâóåò èððåôëåêñèâíîå è òðàíçèòèâíîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·), ñóæåíèå êîòîðîãî íà ìíîæåñòâî Y ñîâïàäàåò ñ îòíîøåíèåì µY (·, ·). Ãîâîðÿò, ÷òî êðèòåðèé fi ñîãëàñîâàí ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ, åñëè äëÿ ëþáûõ y 0 , y 00 ∈ IRm èç âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèé 0 0 0 0 0 0 y 0 = (y10 ,. . ., yi−1 , yi0 , yi+1 ,. . ., ym ), y 00 = (y10 , . . . , yi−1 , yi00 , yi+1 , . . . , ym ), yi0 > yi00 ñëåäóåò ðàâåíñòâî µ(y 0 , y 00 ) = 1. Ñîäåðæàòåëüíî ñîãëàñîâàííîñòü äàííîãî êðèòåðèÿ ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ËÏÐ ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ çàèíòåðåñîâàíî â ïîëó÷åíèè åãî á oëüøèõ çíà÷åíèé. Àêñèîìà 3. Êàæäûé èç êðèòåðèåâ f1 , . . . , fm ñîãëàñîâàí ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ. Àêñèîìà 4. Íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íàïîìíèì [1], ÷òî ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è ñ âåêòîðíûì êðèòåðèåì f è ìíîæåñòâîì âîçìîæíûõ ðåøåíèé X îáîçíà÷àåòñÿ Pf (X) è îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì Pf (X) = {x∗ ∈ X| @ x ∈ X : f (x) ≥ f (x∗ )} , ãäå âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà f (x) ≥ f (x∗ ) îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü ïîêîìïîíåíòíûõ íåðàâåíñòâ fi (x) = fi (x∗ ), i = 1, . . . , m, ïðè÷åì f (x) 6= f (x∗ ). 5 Ââåäåì ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó Ïàðåòî ôóíêöèþ ýòîãî ìíîæåñòâà): ½ 1, åñëè x ∈ Pf (X), λP (x) = X 0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. (õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ 4. Íå÷åòêàÿ èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ è åå íåïðîòèâîðå÷èâîñòü. 4.1. Îïðåäåëåíèå è íåêîòîðûå ñâîéñòâà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíîæåñòâà íîìåðîâ êðèòåðèåâ I = {1, 2, . . . , m}.  öåëÿõ óïðîùåíèÿ çàïèñè âìåñòî "êðèòåðèé fi " óñëîâèìñÿ ïèñàòü "êðèòåðèé i". Î ï ð å ä å ë å í è å 4.1 [4]. Ïóñòü A, B ∈ I, A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B 6= ∅. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ãðóïïà êðèòåðèåâ A âàæíåå ãðóïïû êðèòåðèåâ B ñî ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ∗ ∈ (0, 1] è çàäàííûìè äâóìÿ íàáîðàìè ïîëîæèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ wi äëÿ âñåõ i ∈ A è wj äëÿ âñåõ j ∈ B , åñëè äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ y 0 , y 00 ∈ IRm , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ yi0 > yi00 ∀i ∈ A, yi0 − yi00 yj00 > yj0 = wi ∀j ∈ B, yj00 ∀i ∈ A, − ys0 = ys00 ∀s ∈ I \ {A ∪ B}, yj0 ∀j ∈ B, = wj èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî µ(y 0 , y 00 ) = µ∗ . Âñþäó äàëåå íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò IRm + ñóòü ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå Â. Ä. Íîãèíó, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåêîòîðóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ èç [4, 5]. Ëåììà 4.1. Ñëåäóþùèå äâà âûñêàçûâàíèÿ ýêâèâàëåíòíû: 1) íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 2-4; 2) íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·) ÿâëÿåòñÿ êîíóñíûì îòíîøåíèåì ñ íå÷åòêèì îñòðûì âûïóêëûì êîíóñîì K , êîòîðûé ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè m âêëþ÷àåò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò IRm è ñ íóëåâîé ñòåïåíüþ + ïðîñòðàíñòâà IR ïðèíàäëåæíîñòè ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. I. Ñíà÷àëà óñòàíîâèì, ÷òî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(·, ·), ïîñòóëèðóåìîå àêñèîìîé 4, ðàâíîñèëüíî ñâîéñòâó êîíóñíîñòè ýòîãî îòíîøåíèÿ. Ïóñòü µ èíâàðèàíòíî. Ââåäåì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî η ðàâåíñòâîì η(x) = µ(x, 0m ) äëÿ âñåõ x ∈ IRm . Áëàãîäàðÿ èíâàðèàíòíîñòè èìååì η(αx) = µ(αx, α0m ) = µ(x, 0m ) = η(x) ∀x, ∀α > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî η åñòü êîíóñ. Êðîìå òîãî, µ(x, y) = µ(x − y, 0m ) = η(x − y) ∀x, y, ò. å. îòíîøåíèå µ ÿâëÿåòñÿ êîíóñíûì îòíîøåíèåì ñ êîíóñîì η . Îáðàòíî, ïóñòü µ åñòü íå÷åòêîå êîíóñíîå îòíîøåíèå ñ êîíóñîì η . Åãî èíâàðèàíòíîñòü ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ µ(x, y) = η(x − y) = η((x + c) − (y + c)) = µ(x + c, y + c) 6 ∀c, µ(x, y) = η(x − y) = η(α(x − y)) = η(αx − αy) = µ(αx, αy) ∀α > 0. II. Ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó èìïëèêàöèè 1) ⇒ 2). Ïóñòü íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 24.  ñîîòâåòñòâèè ñ äîêàçàííûì âûøå îòíîøåíèå µ ÿâëÿåòñÿ êîíóñíûì; îáîçíà÷èì åãî êîíóñ ÷åðåç η . Ñóïïîðò ýòîãî êîíóñà íå ñîäåðæèò íà÷àëà êîîðäèíàò, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòíîøåíèå µ íå áûëî áû èððåôëåêñèâíûì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî êîíóñ η îñòðûé, ïðåäïîëîæèì, íàïðîòèâ, ÷òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð y , äëÿ êîòîðîãî µ(y, 0m ) = η(y) > 0 è µ(0m , y) = η(−y) > 0. Îòñþäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ µ ïîëó÷àåì µ(y, y) > 0, ÷òî âíîâü ïðîòèâîðå÷èò èððåôëåêñèâíîñòè îòíîøåíèÿ µ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûïóêëîñòè êîíóñà η â îïðåäåëåíèè òðàíçèòèâíîãî íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïîëîæèì x = αx0 , y = 0m , z = (1 − α)(−x00 ), ãäå α ∈ (0, 1) : µ(αx0 , (1 − α)(−x00 )) = min{µ(αx0 , 0m ), µ(0m , (1 − α)(−x00 )}. Îòñþäà â ñîîòâåòñòâèè ñ èíâàðèàíòíîñòüþ ñëåäóåò µ(αx0 , (1 − α)(−x00 )) = min{µ(x0 , 0m ), µ(0m , (−x00 )}, èëè η(αx0 + (1 − α)x00 ) = min{η(x0 ), η(x00 )} ∀x0 , x00 , ∀α ∈ (0, 1), ÷òî îçíà÷àåò âûïóêëîñòü íå÷åòêîãî êîíóñà η . Ïóñòü ei åñòü i-é îðò ïðîñòðàíñòâà IRm , ò.å. âåêòîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû íóëþ, êðîìå i-é, ðàâíîé åäèíèöå. Ñîãëàñíî àêñèîìå 3, âåðíî µ(ei , 0m ) = η(ei ) = 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå îðòû (à çíà÷èò, è ëó÷è, ñîâïàäàþùèå ñ êîîðäèíàòíûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïîëóîñÿìè) óêàçàííîãî ïðîñòðàíñòâà ïðèíàäëåæàò âûïóêëîìó êîíóñó η ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè. Ïîòîìó è âåñü íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò ïðîñòðàíñòâà èìååò ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè, ðàâíóþ åäèíèöå, òàê êàê äëÿ âûïóêëîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ζ âåðíî íåðàâåíñòâî ζ( p X θi x(i) ) = k=1 min {ζ(x(i) } i=1,2,...,p ∀θi = 0, X θi = 1 ∀x(i) , i ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðîãî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïî èíäóêöèè. Òåïåðü äîêàæåì èñòèííîñòü èìïëèêàöèè 2) ⇒ 1). Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî, ñîãëàñíî äîêàçàííîìó âûøå, íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ èíâàðèàíòíî, ò. å. óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå 4. Íà îñíîâàíèè âûïóêëîñòè êîíóñà η äëÿ ëþáûõ x, y, z ìîæíî íàïèñàòü η( x−y y−z + ) = min{η(x − y), η(y − z)}. 2 2 Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî µ(x, y) = min{µ(x, y), µ(y, z)} ∀x, y, z, îçíà÷àþùåå òðàíçèòèâíîñòü íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ µ. Äàëåå, ÿñíî, ÷òî ýòî îòíîøåíèå èððåôëåêñèâíî, òàê êàê ñóïïîðò êîíóñà η íå ñîäåðæèò íà÷àëà êîîðäèíàò. Òåì ñàìûì, íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 2 è 4. Îíî òàêæå óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå 3, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ y 0 è y 00 èç îïðåäåëåíèÿ êðèòåðèÿ fi , ñîãëàñîâàííîãî ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ, áëàãîäàðÿ èíâàðèàíòíîñòè èìååì µ(y 0 , y 00 ) = µ((yi0 − yi00 )ei , 0m ) = µ(ei , 0m ) = η(ei ) = 1 7 ∀i. Ëåììà 4.2. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ àêñèîìà 4. Ãðóïïà êðèòåðèåâ A âàæíåå ãðóïïû êðèòåðèåâ B ñ çàäàííûìè íàáîðàìè ïîëîæèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ wi , wj äëÿ âñåõ i ∈ A, j ∈ B è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ∗ ∈ (0, 1] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâåíñòâî µ(e y , 0m ) = µ∗ ñïðàâåäëèâî äëÿ âåêòîðà ye ∈ IRm , ãäå yei = wi , yej = −wj , yes = 0 äëÿ âñåõ i ∈ A, j ∈ B , s ∈ I \ (A ∪ B). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà. Äëÿ ïðîâåðêè äîñòàòî÷íîñòè âûáåðåì äâà ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðà y 0 , y 00 ∈ IRm èç îïðåäåëåíèÿ 4.1. Òðåáóåìîå âûòåêàåò èç ðàâåíñòâ µ∗ = µ(e y , 0m ) = µ(e y + y 00 , y 00 ) = µ(y 0 , y 00 ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç N m ìíîæåñòâî âñåõ m-ìåðíûõ âåêòîðîâ, èìåþùèõ ïî êðàéíåé ìåðå îäíó ïîëîæèòåëüíóþ è îäíó îòðèöàòåëüíóþ êîìïîíåíòû. Ñîãëàñíî ëåììå 4.2, êàæäûé âåêòîð ââåäåííîãî ìíîæåñòâà ìîæåò çàäàâàòü îïðåäåëåííóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, åñëè îí îêàæåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåå íóëåâîãî âåêòîðà. Ëåììà 4.3 [4]. Äëÿ ëþáîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî λSX (·) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå 1, èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå λSX (x) 5 λN X (x) äëÿ âñåõ x ∈ X. 4.2. Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü íàáîðà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Ïóñòü çàäàíû íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − v i ∈ N m ), è íàáîð ÷èñåë µi ∈ (0, 1] òàêèå, ÷òî µ(ui , v i ) = µi , i = 1, 2, . . . , k . Îáîçíà÷èì ÷åðåç µ11 , . . . , µ1k1 , µ21 , . . . , µ2k2 , . . . , µl1 , . . . , µlkl òàêóþ ïåðåñòàíîâêó ÷èñåë µ1 , µ2 , . . . , µk , ÷òî 1 = µ11 = . . . = µ1k1 > µ21 = . . . = µ2k2 > . . . > µl1 = . . . = µlkl ãäå k1 +. . .+kl = k, 1 5 l 5 k . Òåì ñàìûì, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå: êàæäîé ïàðå âåêòîðîâ ui , v i ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî µrs , r ∈ {1, 2, . . . , l}, s ∈ {1, 2, . . . , kr }, òàêîå, ÷òî µi = µrs . Îáðàòíî, êàæäîìó ÷èñëó µrs îòâå÷àåò îïðåäåëåííàÿ ïàðà âåêòîðîâ èç íàáîðà ui , v i , i ∈ {1, 2, . . . , k}, òàêàÿ, ÷òî µrs = µi . Èç ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êîãäà ñðåäè ÷èñåë µrs èìåþòñÿ îäèíàêîâûå, òî íåïðèíöèïèàëüíî, êàêàÿ èìåííî ïàðà âåêòîðîâ ui , v i ñîîòâåòñòâóåò òîìó èëè äðóãîìó èç ýòèõ ÷èñåë. Ïóñòü ei åäèíè÷íûé îðò âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà IRm . Ââåäåì (÷åòêèå) êîíóñû Kh , h ∈ {1, 2, . . . , l}, ïîðîæäàåìûå åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e1 , e2 , . . . , em è âñåìè òåìè âåêòîðàìè ui , v i , i ∈ {1, 2, . . . , k}, êîòîðûì îòâå÷àþò ÷èñëà µi (µi = µrs ïðè íåêîòîðûõ r è s), ïðè÷åì µi = µh1 . Èç ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ íåìåäëåííî âûòåêàþò âêëþ÷åíèÿ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kl . Î ï ð å ä å ë å í è å 4.2. Íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − v i ∈ N m ), i = 1, 2, . . . , k (k = 1), âìåñòå ñ íàáîðîì ÷èñåë µ1 , µ2 , . . . , µk ∈ (0, 1] çàäàþò íåïðîòèâîðå÷èâóþ (ñîâìåñòíóþ) íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(·, ·), óäîâëåòâîðÿþùåå àêñèîìàì 24 è òàêîå, ÷òî µ(ui , v i ) = µi ∈ (0, 1], i = 1, 2, . . . , k . Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, ïîëó÷åííîå Â.Ä. Íîãèíûì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäèôèêàöèþ îäíîãî èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [5]. 8 Òåîðåìà 4.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − v i ∈ N m ) âìåñòå ñ íàáîðîì ÷èñåë µi ∈ (0, 1], ãäå µ(ui , v i ) = µi ∈ (0, 1], i = 1, 2, . . . , k , çàäàâàëè íåïðîòèâîðå÷èâóþ íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ¡ ¡ ¢ ¢ (4.1) λ1 e1 + . . . + λm em + ξ1 u1 − v 1 + . . . + ξk uk − v k = 0n îòíîñèòåëüíî λ1 , . . . , λm , ξ1 , . . . , ξk íå èìåëà íè îäíîãî íåíóëåâîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ðåøåíèÿ è, êðîìå òîãî, êàæäûé êîíóñ Kh , h ∈ {2, . . . , l}, íå ñîäåðæàë íè îäíîãî âåêòîðà ui − v i , i ∈ {1, 2, . . . , k}, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî µi , òàêîå, ÷òî µi < µh1 . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − i v ∈ N m ), i = 1, 2, . . . , k , âìåñòå ñ íàáîðîì ÷èñåë µ1 , µ2 , . . . , µk ∈ (0, 1] çàäàþò íåïðîòèâîðå÷èâóþ íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Ïî îïðåäåëåíèþ 4.2 (è ñîãëàñíî ëåììå 4.1), ñóùåñòâóåò íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ ñ íå÷åòêèì âûïóêëûì êîíóñîì η , ïðè÷åì åäèíè÷íûå âåêòîðû e1 , e2 , . . . , em è âåêòîðû ui − v i ∈ N m , i = 1, 2, . . . , k, ïðèíàäëåæàò ñóïïîðòó êîíóñà η , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îñòðûì êîíóñîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòêèé ìíîãîãðàííûé âûïóêëûé êîíóñ, ïîðîæäåííûé âåêòîðàìè e1 , e2 , . . . , em , ui − v i ∈ N m , i = 1, 2, . . . , k, òàêæå ÿâëÿåòñÿ îñòðûì è, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ, ïðèâåäåííîìó íà ñ. 269 â [6], ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (4.1) íå èìååò íåíóëåâûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî λ1 , . . . , λm , ξ1 , . . . , ξk . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîé ÷àñòè íåîáõîäèìîñòè ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: äëÿ íåêîòîðîãî h ∈ {2, . . . , l} êîíóñ Kh ñîäåðæèò âåêòîð ui − v i ∈ N m òàêîé, ÷òî åãî ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè µi = µrs óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó µrs < µh1 , ãäå r > h. Âêëþ÷åíèå ui − v i ∈ Kh ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ðàâåíñòâà X X ui − v i = λq eq + αj (uj − v j ), q j ãäå λq > 0, αj > 0 è èíäåêñ j óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó µ(uj , v j ) = µh1 . Áëàãîäàðÿ âûïóêëîñòè íå÷åòêîãî êîíóñà η èìååì X X µrs = η(ui − v i ) = η( λq e q + αj (uj − v j )) = q q j = min{η(λq e ), η(αj (u − v )} = min{η(u − v j )} = min{µ(uj , v j )} = µt1 q,j j j j j j ïðè íåêîòîðîì t ∈ {h, . . . , l}. Òàêèì îáðàçîì, µrs = µt1 è r > t. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðèíÿòûì â íà÷àëå ï. 4.2 óñëîâèÿì 1 = µ11 = . . . = µ1k1 > µ21 = . . . = µ2k2 > . . . > µl1 = . . . = µlkl > 0. Äîñòàòî÷íîñòü. Ñîãëàñíî óïîìÿíóòîìó âûøå óòâåðæäåíèþ èç [6], ñèñòåìà (4.1) íå èìååò íåíóëåâûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòêèé ìíîãîãðàííûé âûïóêëûé êîíóñ Kl , êîòîðûé ïîðîæäàåòñÿ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e1 , e2 , . . . , em è âåêòîðàìè ui −v i ∈ N m , i = 1, 2, . . . , k, ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Ðàññìîòðèì íå÷åòêîå êîíóñíîå îòíîøåíèå µ ñ íå÷åòêèì êîíóñîì η : 1, åñëè x ∈ IRm +, i i η(x) = µi , åñëè x = α(u − v ) ïðè íåêîòîðûõ α > 0, i ∈ { 1, . . . , k}, (4.2) max {µh1 | x ∈ Kh }, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, h=1,2,...,l 9 èìåþùèì ñóïïîðò Kl (áåç íà÷àëà êîîðäèíàò). Çäåñü IRm + íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò ïðîñòðàíñòâà IRm . Çàìåòèì, ÷òî èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà µ(ui , v i ) = η(ui − v i ) = µi , i = 1, 2, . . . , k . Ïîýòîìó îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå µ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 24; ñîãëàñíî ëåììå 4.1, ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî êîíóñ η ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, ïðè÷åì îí ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè âêëþ÷àåò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò ïðîñòðàíñòâà IRm è ñ íóëåâîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó ñóïïîðò êîíóñà η åñòü êîíóñ Kl áåç íà÷àëà êîîðäèíàò è â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.2) η ñîäåðæèò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè, îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî êîíóñ η âûïóêëûé. Ñ ýòîé öåëüþ âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû x, y ∈ Kl è ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî λ ∈ [0, 1]. Ïóñòü x ∈ Kh , x ∈ / Kh−1 è y ∈ Kt , y ∈ / Kt−1 , ãäå l = h = t = 0 (çäåñü ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî K0 = IRm , K = ∅ ). −1 + Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûïóêëîñòè êîíóñà η íóæíî ïðîâåðèòü íåðàâåíñòâî η(z) = µh1 , ãäå z = λx + (1 − λ)y . Íàïîìíèì, ÷òî ïî óñëîâèþ êîíóñ Kh , h ∈ {1, . . . , l}, ñîäåðæèò åäèíè÷íûå âåêòîðû e1 , e2 , . . . , em è âåêòîðû âèäà ui − v i , äëÿ êîòîðûõ µi = µh1 . Åñëè i i z ∈ IRm + , òî èç (4.2) ñëåäóåò η(z) = 1 = µh1 .  ñëó÷àå z = α(u − v ) ïðè íåêîòîðûõ α > 0 è i ∈ {1, . . . , k}, áëàãîäàðÿ (4.2) âåðíî η(z) = µi = µh1 .  îñòàâøèõñÿ ñëó÷àÿõ èìååì / Kj−1 ïðè íåêîòîðîì j ∈ {1, . . . , h} , îòêóäà íà îñíîâàíèè (4.2) ïîëó÷àåì z ∈ Kj è z ∈ η(z) = µj1 = µh1 . Òåì ñàìûì, âûïóêëîñòü êîíóñà η äîêàçàíà. 5. Ñóæåíèå ìíîæåñòâà Ïàðåòî. Èíôîðìàöèÿ î ïîâåäåíèè ËÏÐ â ïðîöåññå âûáîðà ðåøåíèé â ôîðìå óêàçàííûõ âûøå àêñèîì âìåñòå ñ èíôîðìàöèåé îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ ïîçâîëÿåò óäàëèòü èç ðàññìîòðåíèÿ íåêîòîðûå ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ (âåêòîðû), êàê íå ñîîòâåòñòâóþùèå äàííîé èíôîðìàöèè, è, òåì ñàìûì, ñóçèòü ìíîæåñòâî Ïàðåòî, ÷òî îáëåã÷èò äàëüíåéøèé ïîèñê ðåøåíèé (âåêòîðîâ), êîòîðûå ñëåäóåò âûáðàòü. ×åì "áîëüøèì" îáúåìîì èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ ìû ðàñïîëàãàåì, òåì íà "áîëüøóþ" ñòåïåíü ñóæåíèÿ ìíîæåñòâà Ïàðåòî ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü. 5.1. Ñëó÷àé, êîãäà îäèí êðèòåðèé (ïî îòäåëüíîñòè) âàæíåå äâóõ äðóãèõ. Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà çàäàííàÿ èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ñîäåðæèò äâà ñîîáùåíèÿ, ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî êàêîé-òî îäèí êðèòåðèé âàæíåå ïî îòäåëüíîñòè äâóõ äðóãèõ. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî äàííàÿ ñèòóàöèÿ íå ðàâíîçíà÷íà òîé, â êîòîðîé èìååòñÿ ëèøü îäíî ñîîáùåíèå î òîì, ÷òî êàêîé-òî îäèí êðèòåðèé âàæíåå ãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ äðóãèõ êðèòåðèåâ.  ÷àñòíîì (÷åòêîì) ñëó÷àå ýòî óñòàíîâëåíî â [1]. Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ íàáîð èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ñîîáùåíèé î òîì, ÷òî êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ j ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wj è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à òàêæå êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi0 , wk è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì µ1 = µ2 . Ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè λM Y (y) = 1 − sup ζ(z, y) ∀y ∈ Y, (5.1) z∈Y 1, åñëè z − y ∈ IRm +, µ1 , åñëè z − y ∈ IRm , z − y ∈ / IRm +, + ζ(z, y) = m+1 µ2 , åñëè zb − yb ∈ IR+ , z − y ∈ / IRm / IRm +, +,z − y ∈ 0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, 10 ∀y, z ∈ Y, y 6= z, (5.2) ïðè÷åì y = (y1 , . . . , yj−1 , wj yi + wi yj , yj+1 , . . . , ym ), yb = (y1 , . . . , yj−1 , wj yi + wi yj , yj+1 , . . . , yk−1 , wk yi + wi0 yk , yk+1 , . . . , ym , wj wk yi + wi wk yj + wj wi0 yk ), z = (z1 , . . . , zj−1 , wj zi + wi zj , zj+1 , . . . , zm ), zb = (z1 , . . . , zj−1 , wj zi + wi zj , zj+1 , . . . , zk−1 , wk zi + wi0 zk , zk+1 , . . . , zm , wj wk zi + wi wk zj + wj wi0 zk ). Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ñôîðìóëèðîâàííûé Â. Ä. Íîãèíûì, ïîêàçûâàåò, êàêèì îáðàçîì â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ ââåäåííîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ïðîèçâîäèòü ó÷åò óêàçàííîãî íàáîðà èç äâóõ ñîîáùåíèé. Òåîðåìà 5.1.Ïóñòü íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 24 è i, j, k ∈ I ; i 6= j, i 6= k, j 6= k . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ýòîãî ËÏÐ êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ j ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wj è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à òàêæå êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi0 , wk è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì µ1 = µ2 . Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè λSY (·) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, ïîä÷èíåííîé àêñèîìå 1, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà P λSY (y) 5 λM Y (y) 5 λY (y) ∀y ∈ Y, ãäå λPY (y) ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâà Ïàðåòî, à λM Y (y) ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (5.1). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î (ïðèíàäëåæèò À. Â. Áîãäàíîâîé). Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λSY (·). Áëàãîäàðÿ ëåììå 4.1 çàäàííîå íà êðèòåðèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ µ(·, ·), óäîâëåòâîðÿþùåå ïî óñëîâèþ òåîðåìû àêñèîìàì 24, ÿâëÿåòñÿ êîíóñíûì îòíîøåíèåì ñ íå÷åòêèì îñòðûì âûïóêëûì êîíóñîì K , êîòîðûé ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè âêëþ÷àåò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò è íå ñîäåðæèò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû, èìåþòñÿ äâà ñîîáùåíèÿ, ïîýòîìó k = 2. Ðàññìîòðèì äâà ÷åòêèõ êîíóñà K1 è K2 , îáîçíà÷åíèÿ êîòîðûõ ñîãëàñîâàíû ñ îáîçíà÷åíèÿìè ï. 4. Äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå K1 ⊂ K2 . Ñîãëàñíî ëåììå 4.2, íàëè÷èå èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè i-ãî êðèòåðèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ j -ì îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð y 0 ñ êîìïîíåíòàìè yi0 = wi , yj0 = −wj , ys0 = 0 äëÿ âñåõ s ∈ I \ {i, j}, ïðèíàäëåæèò êîíóñó K1 , ò. å. y 0 ∈ K1 , ñî ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè µ1 = µ(y 0 , 0m ). Àíàëîãè÷íî, áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè i-ãî êðèòåðèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ k -ì, âåêòîð y 00 ñ êîìïîíåíòàìè yi00 = wi0 , yk00 = −wk , ys0 = 0 äëÿ âñåõ s ∈ I \ {i, k}, ïðèíàäëåæèò êîíóñó K2 , ò.å. y 00 ∈ K2 , ïðè÷åì åãî ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ðàâíà µ2 = µ(y 00 , 0m ). Ñíà÷àëà óñòàíîâèì íåïðîòèâîðå÷èâîñòü äàííîãî íàáîðà ñîîáùåíèé îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Äëÿ ýòîé öåëè áóäåì èñïîëüçîâàòü ñôîðìóëèðîâàííóþ ðàíåå òåîðåìó 4.1. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (4.1) â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä λ1 e1 + . . . + λm em + ξ1 y 0 + ξ2 y 00 = 0. Èç i-ãî óðàâíåíèÿ äàííîé ñèñòåìû âûòåêàåò λi = ξ1 = ξ2 = 0. Òîãäà èç j -ãî è k -ãî óðàâíåíèé ïîëó÷àåì λj = λk = 0. Ðàññìîòðåíèå îñòàëüíûõ óðàâíåíèé óêàçàííîé ñèñòåìû ïðèâîäèò 11 ê âûâîäó î òîì, ÷òî è âñå îñòàëüíûå êîìïîíåíòû λs ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, âûïèñàííàÿ âûøå ñèñòåìà íå èìååò íåíóëåâûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî λ1 , . . . , λm , ξ1 , ξ2 . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå µ1 = µ2 äàííûé íàáîð èíôîðìàöèè íåïðîòèâîðå÷èâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî µ1 > µ2 , è ïðîâåðèì âòîðîå óñëîâèå òåîðåìû 4.1. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò. å. y 00 ∈ K1 . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî âåêòîð y 00 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå íåîòðèöàòåëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ e1 , . . . , em , y 0 . Ðàññìîòðåíèå âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà λ1 e1 + . . . + λm em + ξ1 y 0 = y 00 (òî÷íåå ãîâîðÿ, åãî k -ãî óðàâíåíèÿ) ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó λk < 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ λ1 , . . . , λm . Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1, ðàññìàòðèâàåìûé íàáîð íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ äåéñòâèòåëüíî íåïðîòèâîðå÷èâûé. Ââåäåì äâà íå÷åòêèõ êîíóñà ñ ñóïïîðòàìè K1 è K2 . ×åðåç M1 îáîçíà÷èì íå÷åòêèé êîíóñ ñ ñóïïîðòîì K1 , âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî, ïðèíàäëåæàùèå íåîòðèöàòåëüíîìó îðòàíòó, èìåþò ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1, à îñòàëüíûå µ1 . ×åðåç M2 îáîçíà÷èì íå÷åòêèé êîíóñ, ñóïïîðòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ K2 , ïðè÷åì âñåì åãî ýëåìåíòàì, âõîäÿùèì â íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò, ïðèïèñàíà ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1, à îñòàëüíûì µ2 . Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì M íå÷åòêèé êîíóñ (áåç íóëÿ), ñóïïîðò êîòîðîãî ïîðîæäåí âåêòîðàìè e1 , . . . , em , y 0 , y 00 , ïðè÷åì M îáúåäèíåíèå íå÷åòêèõ êîíóñîâ M1 è M2 . Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî çàäàííàÿ â óñëîâèÿõ òåîðåìû èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ íåïðîòèâîðå÷èâà, íå÷åòêèé êîíóñ M òàêæå îñòðûé è âûïóêëûé. Òåì ñàìûì, âåêòîðàì ñóïïîðòà supp M (= K2 ), âõîäÿùèì â íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò, ïðèïèñàíà ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1 (êðîìå íà÷àëà êîîðäèíàò, ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî ðàâíà 0), âåêòîðàì, ïðèíàäëåæàùèì êîíóñó K1 è íå ïðèíàäëåæàùèì íåîòðèöàòåëüíîìó îðòàíòó, µ1 , à âåêòîðàì, ñîñòàâëÿþùèì êîíóñ K2 , íî íå âõîäÿùèì â K1 , ñîîòâåòñòâåííî µ2 . Èç äîêàçàòåëüñòâ òåîðåì 4.2 è 2.5 èç [1] ñëåäóåò, ÷òî ñóïïîðò êîíóñà M ñîâïàäàåò ñî ìíîæåñòâîì âñåõ íåíóëåâûõ ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ys = 0 ∀s ∈ I \ {j, k}, wj yi + wi yj = 0, wk yi + wi0 yk = 0, wj wk yi + wi wk yj + wj wi0 yk = 0, à supp M1 - ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ys = 0 ∀s ∈ I \ {j}, wj yi + wi yj = 0. Ðàññìîòðèì íå÷åòêîå êîíóñíîå îòíîøåíèå, êîíóñ êîòîðîãî M . Îáîçíà÷èì åãî ζ . Àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îíî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ òåì, êîòîðîå îáîçíà÷åíî òîé æå áóêâîé, è îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (5.2). Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè (5.1) è ðàâåíñòâà (5.2) ñëåäóåò, ÷òî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî åñòü λM Y (y), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî îòíîøåíèÿ ζ . Íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò âõîäèò â M ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè.  ñâîþ î÷åðåäü, êîíóñ M ñîäåðæèòñÿ â êîíóñå K íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ µ(·, ·). Íà 12 ýòîì îñíîâàíèè ìíîæåñòâî Ïàðåòî âêëþ÷àåò ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî êîíóñíîãî îòíîøåíèÿ ζ , êîòîðîå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùåå êîíóñíîìó îòíîøåíèþ M .  ñèëó ëåììû 4.3, ëþáîå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà. Òåì P ñàìûì, íåðàâåíñòâà λSY (y) 5 λM Y (y) 5 λY (y) äëÿ âñåõ y ∈ Y äîêàçàíû. Ïîÿñíèì ñìûñë òåîðåìû 5.1. Àíàëèç åå ôîðìóëèðîâêè ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λM Y (y) ñëåäóåò ðåøèòü òðè (÷åòêèå) ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è. Íà÷àòü ñëåäóåò ñ íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ â ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷å, ñîäåðæàùåé èñõîäíóþ âåêòîðíóþ ôóíêöèþ f è ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé X . Ïîñëå ÷åãî âñåì âåêòîðàì ïîëó÷åííîãî ìíîæåñòâà Ïàðåòî íóæíî ïðèñâîèòü ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè, ðàâíóþ åäèíèöå, à îñòàëüíûì âåêòîðàì íóëåâóþ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè. Çàòåì íà òîì æå ñàìîì ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ðåøåíèé X íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âòîðóþ ìíîãîêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó ñ íîâîé âåêòîðíîé ôóíêöèåé, èìåþùåé êîìïîíåíòû fs äëÿ âñåõ s ∈ I \ {j} è j -é êîìïîíåíòîé âèäà wj fi + wi fj . Îòûñêàâ ìíîæåñòâî ïàðåòîîïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ äëÿ ïîñëåäíåé çàäà÷è, âñåì âåêòîðàì "ïðåäûäóùåãî"ìíîæåñòâà Ïàðåòî, êîòîðûå íå ïîïàëè â íàéäåííîå ìíîæåñòâî Ïàðåòî, ïðèñâîèòü ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1 − µ1 . Íàêîíåö, íà ìíîæåñòâå X ñëåäóåò ðàññìîòðåòü òðåòüþ ìíîãîêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó, èìåþùóþ èñõîäíûå êîìïîíåíòû fs äëÿ âñåõ s ∈ I \ {j, k}, íîâóþ j -òóþ êîìïîíåíòó âèäà wj fi + wi fj , íîâóþ k -òóþ êîìïîíåíòó âèäà wk fi + wi0 fk è äîïîëíèòåëüíóþ (m + 1)-òóþ êîìïîíåíòó fm+1 = wj wk fi + wi wk fj + wj wi0 fk . Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ â ýòîé çàäà÷å, âåêòîðàì ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà Ïàðåòî, êîòîðûå íå ïîïàëè íè â ïåðâîå, íè âî âòîðîå ìíîæåñòâà Ïàðåòî, ñëåäóåò ïðèñâîèòü ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1 − µ2 .  èòîãå áóäåò ïîñòðîåíî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîòîðîå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íåêîòîðóþ îöåíêó ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ Sel(Y ) â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáîå âûáèðàåìîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ íå äîëæíî "âûõîäèòü çà ïðåäåëû"ïîñòðîåííîé îöåíêè ñâåðõó. Ïðèìåð. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ âñå ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 5.1 è m = 3, f = (f1 , f2 , f3 ), Y = {y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 } ∈ R3 , ãäå y 1 = (4, 3, 5), y 2 = (0, 3, 2), y 3 = (1, 2, 3), y 4 = (4, 3, 0), y 5 = (5, 2, 7), y 6 = (2, 5, 5).  äàííîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ: 1 P 5 P 6 P 2 P 3 P 4 λP Y (y ) = λY (y ) = λY (y ) = 1, λY (y ) = λY (y ) = λY (y ) = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îò ËÏÐ ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ èíôîðìàöèÿ w1 = 0.4, w2 = 0.6, w10 = 0.5, w3 = 0.5, µ(y 1 , y 2 ) = 0.6, µ(y 1 , y 3 ) = 0.4.  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 5.1 âû÷èñëÿåì yb1 = (4, 3.6, 5), yb2 = (0, 1.2, 2), yb3 = (1, 1.4, 3), yb4 = (4, 3.6, 0), yb5 = (5, 3.8, 7), yb6 = (2, 3.2, 5). Çäåñü ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ ïåðâîãî è ïÿòîãî. Ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 5.1 ïîëàãàåì 1 M 5 M 6 M 2 M 3 M 4 λM Y (y ) = λY (y ) = 1, λY (y ) = 0.4, λY (y ) = λY (y ) = λY (y ) = 0. 13 Äàëåå, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.1 íàõîäèì f4 = 0.3f1 + 0.2f2 + 0.3f3 . Ïîýòîìó ỹ 1 = (4, 3.6, 4.5, 3.3), ỹ 2 = (0, 1.2, 1, 1.2), ỹ 3 = (1, 1.4, 2, 1.6), ỹ 4 = (4, 3.6, 2, 1.8), ỹ 5 = (5, 3.8, 6, 4), ỹ 6 = (2, 3.2, 3.5, 3.1). Çäåñü ïàðåòî-îïòèìàëüíûìè áóäåò ïÿòûé âåêòîð.  èòîãå ïîëó÷àåì 5 M 1 M 6 M 2 M 3 P 4 λM Y (y ) = 1, λY (y ) = 0.6, λY (y ) = 0.4, λY (y ) = λY (y ) = λM (y ) = 0. (5.3) Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ïðèìåðå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè (5.3) äàåò îöåíêó ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ. Èíûìè ñëîâàìè, âñÿêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ (ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ àêñèîì âûáîðà) äîëæíî ñîäåðæàòüñÿ â óêàçàííîì íå÷åòêîì ìíîæåñòâå. 5.2. Ñëó÷àé, êîãäà äâà êðèòåðèÿ (ïî îòäåëüíîñòè) âàæíåå òðåòüåãî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî òàêîé ñëó÷àé íå ðàâíîçíà÷åí ñèòóàöèè, êîãäà èìååòñÿ îäíî ñîîáùåíèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ãðóïïà èç äâóõ äàííûõ êðèòåðèåâ âàæíåå êàêîãî-òî òðåòüåãî êðèòåðèÿ.  ÷àñòíîì (÷åòêîì) ñëó÷àå ýòà íåðàâíîçíà÷íîñòü âûÿâëåíà â [1]. Ïóñòü èìåþòñÿ äâà ñîîáùåíèÿ î âàæíîñòè: êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wk è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à êðèòåðèé j âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wj , wk0 è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì µ1 = µ2 . Ââåäåì ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè λM Y (y) = 1 − sup ζ(z, y) ∀y ∈ Y, (5.4) z∈Y 1, åñëè z − y ∈ IRm +, / IRm µ1 , åñëè z − y ∈ IRm +, z − y ∈ +, ζ(z, y) = m m µ2 , åñëè zb − yb ∈ R+ , z − y ∈ / IR+ , z − y ∈ / IRm +, 0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, ïðè÷åì ∀y, z ∈ Y, y 6= z, y = (y1 , . . . , yk−1 , wi yk + wk yi , yk+1 , . . . , ym ), yb = (y1 , . . . yk−1 , wj wk yi + wi wk0 yj + wi wj yk , yk+1 , . . . , ym ), z = (z1 , . . . , zk−1 , wi zk + wk zi , zk+1 , . . . , zm ), zb = (y1 , . . . zk−1 , wj wk zi + wi wk0 zj + wi wj zk , zk+1 , . . . , zm ). Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ïðèíàäëåæàùèé À. Â. Áîãäàíîâîé, ïîêàçûâàåò, êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïðîèçâîäèòü ó÷åò óêàçàííîãî íàáîðà èç äâóõ ñîîáùåíèé â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Åãî äîêàçàòåëüñòâî âî ìíîãîì ñõîäíî ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 5.1, è ïîòîìó îïóñêàåòñÿ. Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 24 è i, j, k ∈ I ; i 6= j, i 6= k, j 6= k . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ýòîãî ËÏÐ êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wk è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à êðèòåðèé j âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wj , wk0 è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì 14 µ1 = µ2 . Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè λSY (·) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùåé àêñèîìå 1, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà P λSY (y) 5 λM Y (y) 5 λY (y) ∀y ∈ Y, ãäå λPY (y) ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâà Ïàðåòî, à λM Y (y) ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (5.4). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 5.2, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ â ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ íå÷åòêàÿ èíôîðìàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî äâà êðèòåðèÿ ïî îòäåëüíîñòè âàæíåå òðåòüåãî, ñëåäóåò ðåøèòü òðè îïðåäåëåííûå ÷åòêèå ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è (àíàëîãè÷íî òåîðåìå 5.1). Ïðè ýòîì ÷èñëî êðèòåðèåâ â ïîñëåäíåé (òðåòüåé) ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷å, â îòëè÷èå îò òåîðåìû 5.1, ñîõðàíÿåòñÿ ïðåæíèì. 6. Çàêëþ÷åíèå è ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.  ðàáîòå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà, ââåäåíî ïîíÿòèå íåïðîòèâîðå÷èâîãî íàáîðà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè, ñôîðìóëèðîâàí êðèòåðèé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè è ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû, äåìîíñòðèðóþùèå, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ñîîáùåíèé è ñîäåðæàùóþ òðè êðèòåðèÿ. Íàëè÷èå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ îòêðûâàåò ïåðñïåêòèâó äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ ðàññìîòðåííûõ âîïðîñîâ ó÷åòà êîíå÷íîãî íàáîðà ñîîáùåíèé îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ â ñëåäóþùèõ íàïðàâëåíèÿõ. Âî-ïåðâûõ, âìåñòî òðåõ êðèòåðèåâ ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé òðåõ ãðóïï êðèòåðèåâ, ãäå êàæäàÿ ãðóïïà ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòåðèåâ. Âî-âòîðûõ, ïðåäïîëàãàåòñÿ îñóùåñòâèòü ó÷åò íå äâóõ, à ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîîáùåíèé. Â-òðåòüèõ, îáà óêàçàííûõ íàïðàâëåíèÿ ìîæíî ñêîìáèíèðîâàòü, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîîáùåíèé, ñîäåðæàùèõ áîëåå òðåõ ãðóïï êðèòåðèåâ. Àâòîðû ïðèçíàòåëüíû ðåöåíçåíòàì çà ðÿä çàìå÷àíèé, ñïîñîáñòâîâàâøèõ óäàëåíèþ íåòî÷íîñòåé è óëó÷øåíèþ êà÷åñòâà èçëîæåíèÿ äàííîé ðàáîòû. 15 Ëèòåðàòóðà 1. Íîãèí Â. Ä. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé â ìíîãîêðèòåðèàëüíîé ñðåäå: êîëè÷åñòâåííûé ïîäõîä (2-å èçä., èñïð. è äîï.). Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005, 176 ñ. 2.Ïîäèíîâñêèé Â. Â. Îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ â ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé// Ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ïîä ðåä. Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1978. Ñ. 4882. 3. Zadeh L. A. Fuzzy sets// Inform. Control. 1965. vol. 8. P. 338353. 4. Íîãèí Â. Ä. Ïðèíöèï ÝäæâîðòàÏàðåòî è îòíîñèòåëüíàÿ âàæíîñòü êðèòåðèåâ â ñëó÷àå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ// Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàòåì. ôèçèêè. 2003. Ò. 43, 11. Ñ. 16761686. 5. Noghin V. D. Upper estimate for fuzzy set of nondominated solutions// Fuzzy Sets and Systems. 1994. vol. 67. P. 303315. 6. ×åðíèêîâ Ñ. Í. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1968, 488 c. Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 19 ñåíòÿáðÿ 2005 ã. Ïðèíÿòî ê ïå÷àòè 20 íîÿáðÿ 2006 ã. Ñòàòüÿ ðåêîìåíäîâàíà ê ïå÷àòè ÷ëåíîì ðåäêîëëåãèè ïðîô. 16 ÐÅÔÅÐÀÒÛ ÓÄÊ 519.859 Áîãäàíîâà À. Â., Íîãèí Â. Ä. Ñóæåíèå ìíîæåñòâà Ïàðåòî íà îñíîâå ïðîñòåéøèõ íàáîðîâ íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ// Âåñòí. Ñ.Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð. 10. 2007. Âûï. 2. Ñ. 0000. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèå (ËÏÐ) ðåøåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì. Ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè íàáîðà èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû ïîêàçûâàþò, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü íå÷åòêóþ êîëè÷åñòâåííóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ñâåðõó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ. Áèáëèîãð. 6 íàçâ. 17 Summary Bogdanova A. V., Noghin V. D. Reduction of the Pareto set based on some compound information on relative importance of criteria. Assuming that a decision maker's preference relation is fuzzy, a multicriteria choice problem is considered. A consistency criterion for compound information on the relative importance of criteria is formulated. The main results of the paper demonstrate how some numerical information on the decision maker's fuzzy preference relation may be used in order to facilitate a decision making process. 18 Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì. Ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè íàáîðà èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû äåìîíñòðèðóþò, êàêèì îáðàçîì êîëè÷åñòâåííàÿ èíôîðìàöèÿ îá íå÷åòêîì îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ óïðîùåíèÿ ïðîöåññà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. 19