Êîíå÷íî îïðåäåëåííûå ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè êëàññû ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè Êîíå÷íî îïðåäåëåííûå ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññûñïèñêîâîì ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ðàíæèðîâàíèè 1 Ä. Ñ. Ìàëûøåâ dsmalyshev@rambler.ru Ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè (Íèæåãîðîäñêèé Ôèëèàë), Íèæåãîðîäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî  äàííîé ïóáëèêàöèè èññëåäóþòñÿ ýëåìåíòû ãðàíèöû ìåæäó ¾ïðîñòûìè¿ è ¾ñëîæíûìè¿ êëàññàìè ãðàôîâ äëÿ íåêîòîðîé çàäà÷è â ñåìåéñòâå íàñëåäñòâåííûõ êëàññîâ ãðàôîâ, ò.å. êëàññîâ ãðàôîâ, çàìêíóòûõ îòíîñèòåëüíî óäàëåíèÿ âåðøèí. Ôîðìàëèçóåì ïîíÿòèÿ ¾ïðîñòîãî¿ è ¾ñëîæíîãî¿ êëàññà ãðàôîâ. Ïóñòü êàêàÿ-ëèáî NP-ïîëíàÿ çàäà÷à íà ãðàôàõ. Íàñëåäñòâåííûé êëàññ ãðàôîâ íàçîâåì -ïðîñòûì, åñëè çàäà÷à äëÿ ãðàôîâ èç ýòîãî êëàññà ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà, è -ñëîæíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Äàëåå âåçäå ïðåäïîëàãàåì ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà P6=NP è íå âêëþ÷àåì åãî ÿâíî â ôîðìóëèðîâêè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Åñòåñòâåííîé èäååé ðåøåíèÿ çàäà÷è äåìàðêàöèè ÿâëÿåòñÿ ïîèñê ìàêñèìàëüíûõ -ïðîñòûõ è ìèíèìàëüíûõ -ñëîæíûõ êëàññîâ, ò.å. òóïèêîâûõ êëàññîâ ãðàôîâ ñîîòâåòñòâóþùåé ñëîæíîñòè èç ðàññìàòðèâàåìîé ðåøåòêè. Ê ñîæàëåíèþ, èñïîëüçîâàíèå ïîíÿòèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïðîñòîãî êëàññà ãðàôîâ îêàçûâàåòñÿ áåçðåçóëüòàòíûì. Òàê, Â. Å. Àëåêñååâ â ðàáîòå [1] óñòàíîâèë, ÷òî íè îäèí -ïðîñòîé êëàññ íå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì ïðîñòûì (ïðàâäà, â [1] ýòî óòâåðæäàåòñÿ òîëüêî ïðî çàäà÷ó î íåçàâèñèìîì ìíîæåñòâå, íî âñå ðàññóæäåíèÿ èç äàííîé ðàáîòû ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ íà îáùèé ñëó÷àé). Âìåñòå ñ òåì, äî íåäàâíåãî âðåìåíè ïðî ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññû íè÷åãî íå áûëî èçâåñòíî. Ïåðâûé ðåçóëüòàò î ïîäîáíîãî ðîäà êëàññàõ áûë ïîëó÷åí àâòîðîì â ðàáîòå [2]. Òàì ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íàñëåäñòâåííîìó êëàññó ãðàôîâ (çàäà÷à ÐÏ[ ]) è áûëî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ ëþáîãî íàñëåäñòâåííîãî êëàññà ìèíèìàëüíûõ ÐÏ[ ]-ñëîæíûõ êëàññîâ íå ñóùåñòâóåò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ðàáîòàõ [24] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îïðåäåëåííûå êëàññû ãðàôîâ ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàëüíûìè ñëîæíûìè äëÿ íåêîòîðûõ îáîáùåíèé çàäà÷ î ðàñêðàñêå çàäà÷ î ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè (ðåáåðíîãî è âåðøèííîãî âàðèàíòîâ).  ýòîé ïóáëèêàöèè èññëåäóþòñÿ ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññû äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè. Çàäà÷à î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè (äàëåå, çàäà÷à ÐÑÐ) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü çàäàíû ãðàô G ñ ìíîæåñòâîì ðåáåð E è ìíîæåñòâî L = fL(e) : e 2 E g, ãäå êàæäîå L(e) êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (öâåòîâ, â êîòîðûå ðàçðåøàåòñÿ ïîêðàñèòü ðåáðî e). L-ðàíæèðîâàíèåì ðåáåð ãðàôà G íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ðàñêðàñêà c åãî âåðøèí, ÷òî: X X X X 1) c(e) 2 L(e) äëÿ êàæäîãî ðåáðà e; 2) åñëè c(e1 ) = c(e2 ), e1 6= e2 , òî êàæäûé ïóòü, ñîåäèíÿþùèé e1 è e2 , ñîäåðæèò òàêîå ðåáðî e3 , ÷òî c(e3 ) > c(e1 ). 2 Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè Ä. Ñ. Ìàëûøåâ Çàäà÷à ÐÑÐ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî äàííûì G è L îïðåäåëèòü, ñóùåñòâóåò ëè L-ðàíæèðîâàíèå ðåáåð ãðàôà G. Óòî÷íèì, ÷òî ïîä ÐÑÐ-ïðîñòûì êëàññîì ãðàôîâ äàëåå ïîíèìàåòñÿ òàêîé íàñëåäñòâåííûé êëàññ, ÷òî çàäà÷à ÐÑÐ ðåøàåòñÿ äëÿ ãðàôîâ èç ýòîãî êëàññà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðè ëþáîì ìíîæåñòâå L.  ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è î âåðøèííîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè ñëîâî ¾ðåáðî¿ çàìåíåíî ñëîâîì ¾âåðøèíà¿. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïîëíîå îïèñàíèå ìíîæåñòâà ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐñëîæíûõ êëàññîâ íå èçâåñòíî. Âìåñòå ñ òåì, ïî-âèäèìîìó, äâèæåíèå ê ïîëó÷åíèþ ðåçóëüòàòà òàêîãî ðîäà ïðåäïîëàãàåò èçó÷åíèå ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐñëîæíûõ êëàññîâ ñ äîïîëíèòåëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè.  êà÷åñòâå òàêîãî îãðàíè÷åíèÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìîòðåòü êîëè÷åñòâî çàïðåùåííûõ ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ. Íàïîìíèì, ÷òî ëþáîé íàñëåäñòâåííûé êëàññ ãðàôîâ ìîæåò áûòü çàäàí ìíîæåñòâîì ñâîèõ çàïðåùåííûõ ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ , ïðè ýòîì ïðèíÿòà çàïèñü = Free( ). Ìèíèìàëüíîå ïî âêëþ÷åíèþ ìíîæåñòâî ñ òàêèì ñâîéñòâîì ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Forb( ). Åñëè Forb( ) êîíå÷íî, òî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íî îïðåäåëåííûì, à åñëè jForb( )j = k , òî íàçûâàåòñÿ k -îïðåäåëåííûì. Èòàê, öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐ-ñëîæíûõ êëàññîâ, îïðåäåëÿåìûõ íàèìåíüøèì êîëè÷åñòâîì çàïðåùåííûõ ïîðîæäåííûõ ïîäãðàôîâ, çàòåì îïðåäåëÿåìûõ ñëåäóþùèì çà ýòèì íàèìåíüøèì êîëè÷åñòâîì òàêèõ ïîäãðàôîâ è ò.ä. Ïåðâûé ðåçóëüòàò òàêîãî ðîäà áûë ïîëó÷åí â ðàáîòå [5]. X S S X X X X X S X Êëàññ ïîëíûõ ãðàôîâ Clique ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì 1îïðåäåëåííûì ìèíèìàëüíûì ÐÑÐ-ñëîæíûì êëàññîì. Òåîðåìà 1.  òîé æå ðàáîòå [5] áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìèíèìàëüíûé ÐÑÐ-ñëîæíûé ïîäêëàññ êëàññà âñåõ ïîëíûõ äâóäîëüíûõ ãðàôîâ . Îáîçíà÷èì ýòîò ïîäêëàññ ÷åðåç . Õîòÿ îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì, ñîâïàäàåò ëè ñ , ìîæíî ñ óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî ëèáî 2-îïðåäåëåííûé, ëèáî 3-îïðåäåëåííûé. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [5]. BComplete BC BComplete BC BC Ìíîæåñòâî 2-îïðåäåëåííûõ ìèíèìàëüíûõ ÐÑÐ-ñëîæíûõ êëàññîâ ëèáî ïóñòî, ëèáî ñîñòîèò èç îäíîãî êëàññà CBiparite. Ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé ÐÑÐ-ñëîæíûé êëàññ, îïðåäåëÿåìûé äâóìÿ èëè òðåìÿ çàïðåùåííûìè ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè. Òåîðåìà 2. Èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèþ ìèíèìàëüíûõ ñëîæíûõ êëàññîâ èìåííî äëÿ ðåáåðíîãî âàðèàíòà çàäà÷è î ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè (à íå äëÿ âåðøèííîãî) îáóñëîâëåí ñëåäóþùèì ôàêòîðîì. Ïðè íåêîòîðîì ñïåöèàëüíîì ïðåîáðàçîâàíèè (íàçûâàåìûì ïðîäîëæåíèåì), ââåäåííîì â ðàáîòå [6], ñîõðàíÿåòñÿ NPïîëíîòà çàäà÷è ÐÑÐ. Âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî ïîëó÷åííûé ïðè òàêîé îïåðàöèè êëàññ áóäåò ëèáî ñàì ìèíèìàëüíûì ÐÑÐ-ñëîæíûì, ëèáî áëèçîê ê ÐÑÐìèíèìàëüíîìó. Êëàññ íàçûâàåòñÿ ïðîäîëæåíèåì êëàññà , åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ: Y X X äëÿ ëþáîãî ãðàôà G 2 ñóùåñòâóåò òàêîé ãðàô îñòîâíûì ïîäãðàôîì ãðàôà H H 2 Y, ÷òî G ÿâëÿåòñÿ Êîíå÷íî îïðåäåëåííûå ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè â ëþáîì ãðàôå èç ñó X êëàññû ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì Ïðîáëåìû òåîðåòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè 3 Y ñóùåñòâóåò îñòîâíûé ïîäãðàô, ïðèíàäëåæàùèé êëàñ-  ñòàòüå [6] äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü Y ïðîèçâîëüíûé êëàññ ãðàôîâ, ÿâëÿþùèéñÿ ïðîäîëæåíèåì êëàññà X ñ NP-ïîëíîé çàäà÷åé ÐÑÐ. Òîãäà çàäà÷à ÐÑÐ NP-ïîëíà â êëàññå Y. Òåîðåìà 3. Î÷åâèäíî, ÷òî èç òåîðåìû 3 íåçàìåäëèòåëüíî ñëåäóåò NP-ïîëíîòà çàäà÷è ÐÑÐ â êëàññå . Âìåñòå ñ òåì, ïðîäîëæåíèå íå ñîõðàíÿåò NP-ïîëíîòó çàäà÷è î âåðøèííîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè, ïîñêîëüêó äëÿ ïîëíûõ ãðàôîâ îíà ïîëèíîìèàëüíî ðàçðåøèìà (ìåòîäîì ïîèñêà íàèáîëüøåãî ïàðîñî÷åòàíèÿ â äâóäîëüíîì ãðàôå). Òåîðåìà 3 òàêæå ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü íîâûå k îïðåäåëåííûå ìèíèìàëüíûå ÐÑÐ-ñëîæíûå êëàññû ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ k . Íàïðèìåð, â [6] ïîëó÷åí (ïóòåì ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû 3 ê êëàññó = ) ìèíèìàëüíûé ÐÑÐ-ñëîæíûé êëàññ Camomile, îïðåäåëåííûé 7 çàïðåùåííûìè ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè. Êëàññ ñîâîêóïíîñòü ãðàôîâ, ÿâëÿþùèõñÿ Clique X Star Star ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè äëÿ ãðàôîâ èç S1 fS g (S =1 i i ãðàô, ïîëó÷àåìûé ïîäðàçáèåíèåì êàæäîãî ðåáðà ãðàôà K1;i ). Êëàññ Ñamomile ñîñòàâëÿþò ãðài ôû, ÿâëÿþùèåñÿ ïîðîæäåííûìè ïîäãðàôàìè â ãðàôàõ èç S1 fCamomile(i)g, =1 ãäå Camomile(i) ïîëó÷àåòñÿ èç Si äîáàâëåíèåì âñåõ ðåáåð, èíöèäåíòíûõ âåðøèíå ñòåïåíè i è âñåì ëèñòüÿì. Áîëåå òîãî, â ýòîé ðàáîòå äîêàçàíî, ÷òî ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 3 ê êëàññó ãðàôîâ = ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ìèíèìàëüíûå ÐÑÐ-ñëîæíûå êëàññû , , . Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ, ïðîåêòû 10-01-00357-a è 1101-00107-à, è ÔÖÏ ¾Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé Ðîññèè íà 2009-2012 ãã.¿, íîìåð ÃÊ 16.740.11.0310. i X Star Clique BC Camomile Ëèòåðàòóðà [1] Alekseev V. E. On easy and hard classes of graphs with respect to the independent set problem // Discrete Applied Mathematics. 2004. V. 132, 3. P. 1726. [2] Ìàëûøåâ Ä. Ñ. [3] Ìàëûøåâ Ä. Ñ. [4] Ìàëûøåâ Ä. Ñ. [5] Ìàëûøåâ Ä. Ñ. [6] Ìàëûøåâ Ä. Ñ. Î ìèíèìàëüíûõ ñëîæíûõ êëàññàõ ãðàôîâ // Äèñêðåòíûé àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé. 2009. Ò. 16, 6. Ñ. 4351. Î ìèíèìàëüíûõ ñëîæíûõ ýëåìåíòàõ ðåøåòêè íàñëåäñòâåííûõ êëàññîâ ãðàôîâ // Ìàòåðèàëû VII ìîëîäåæíîé íàó÷íîé øêîëû ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå è åå ïðèëîæåíèÿì. Ìîñêâà: ÈÏÌ ÐÀÍ, 2009. ÷àñòü II. Ñ. 1216. Î òóïèêîâûõ ïî âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè íàñëåäñòâåííûõ êëàññàõ ãðàôîâ // Ìàòåðèàëû X ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ¿. Ìîñêâà: Èç-âî ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ô-òà ÌÃÓ, 2010. Ñ. 314316. Ïîñëåäîâàòåëüíûå ìèíèìóìû ðåøåòêè íàñëåäñòâåííûõ êëàññîâ ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè // Âåñòíèê Íèæåãîðîäñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî 2010. 4. Ñ. 7076. Ìèíèìàëüíûå ñëîæíûå êëàññû ãðàôîâ äëÿ çàäà÷è î ðåáåðíîì ñïèñêîâîì ðàíæèðîâàíèè // Äèñêåòíûé àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé 2011. Ò. 17, 1. Ñ. 133136.