КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Тема 5
Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Содержание лекции
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Проблема ...
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Проблема ...
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Проблема ...
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
... и решение:
Девочка бросает монетку до тех пор, пока не выпадет
решка, если решка выпадет на четном броске, то
мороженое достанется ей, в противном случае, бросать
монетку будет мальчик в очках;
Мальчик в очках бросает монетку до тех пор, пока не
выпадет решка, если решка выпадет на четном броске, то
мороженое достанется ему, в противном случае мороженое
получит рыжий мальчик.
Является ли результат
справедливым?
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
... и решение:
Девочка бросает монетку до тех пор, пока не выпадет
решка, если решка выпадет на четном броске, то
мороженое достанется ей, в противном случае, бросать
монетку будет мальчик в очках;
Мальчик в очках бросает монетку до тех пор, пока не
выпадет решка, если решка выпадет на четном броске, то
мороженое достанется ему, в противном случае мороженое
получит рыжий мальчик.
Является ли результат
справедливым?
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События и вероятность
Достоверное событие – событие, которое в ходе опыта всегда
происходит.
Невозможное событие – событие, которое в ходе опыта не
произойдет.
Случайное событие – событие, которое в ходе опыта может
произойти, а может и не произойти.
Определение
Вероятность – степень возможности наступления некоторого
события.
Вероятностью случайного события A называется отношение
числа m несовместимых равновероятных элементарных
событий, составляющих событие A, к числу всех возможных
элементарных событий n: p(A) = m
n.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События и вероятность
Достоверное событие – событие, которое в ходе опыта всегда
происходит.
Невозможное событие – событие, которое в ходе опыта не
произойдет.
Случайное событие – событие, которое в ходе опыта может
произойти, а может и не произойти.
Определение
Вероятность – степень возможности наступления некоторого
события.
Вероятностью случайного события A называется отношение
числа m несовместимых равновероятных элементарных
событий, составляющих событие A, к числу всех возможных
элементарных событий n: p(A) = m
n.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События
События обозначаются большой латинской буквой
A, B, C , . . . . Достоверное событие обозначается буквой Ω
и для обозначения невозможного события используется
знак пустого множества ∅.
События являются равновозможными, если
возможности (вероятности) их происхождения одинаковы.
Случайные события называются несовместными, если
они не могут произойти одновременно.
Противоположным событием собатия A является событие
A, которое ”происходит” тогда, когда событие A не
происходит.
p(Ω) = 1 и p(0)
/ = 0.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События
События обозначаются большой латинской буквой
A, B, C , . . . . Достоверное событие обозначается буквой Ω
и для обозначения невозможного события используется
знак пустого множества ∅.
События являются равновозможными, если
возможности (вероятности) их происхождения одинаковы.
Случайные события называются несовместными, если
они не могут произойти одновременно.
Противоположным событием собатия A является событие
A, которое ”происходит” тогда, когда событие A не
происходит.
p(Ω) = 1 и p(0)
/ = 0.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События
События обозначаются большой латинской буквой
A, B, C , . . . . Достоверное событие обозначается буквой Ω
и для обозначения невозможного события используется
знак пустого множества ∅.
События являются равновозможными, если
возможности (вероятности) их происхождения одинаковы.
Случайные события называются несовместными, если
они не могут произойти одновременно.
Противоположным событием собатия A является событие
A, которое ”происходит” тогда, когда событие A не
происходит.
p(Ω) = 1 и p(0)
/ = 0.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События
События обозначаются большой латинской буквой
A, B, C , . . . . Достоверное событие обозначается буквой Ω
и для обозначения невозможного события используется
знак пустого множества ∅.
События являются равновозможными, если
возможности (вероятности) их происхождения одинаковы.
Случайные события называются несовместными, если
они не могут произойти одновременно.
Противоположным событием собатия A является событие
A, которое ”происходит” тогда, когда событие A не
происходит.
p(Ω) = 1 и p(0)
/ = 0.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
События
События обозначаются большой латинской буквой
A, B, C , . . . . Достоверное событие обозначается буквой Ω
и для обозначения невозможного события используется
знак пустого множества ∅.
События являются равновозможными, если
возможности (вероятности) их происхождения одинаковы.
Случайные события называются несовместными, если
они не могут произойти одновременно.
Противоположным событием собатия A является событие
A, которое ”происходит” тогда, когда событие A не
происходит.
p(Ω) = 1 и p(0)
/ = 0.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Сумма и произведение событий
Определение
Суммой A ∪ B двух событий A и B называется событие, которое произойдет в
случае происхождения события A или B, или обоих этих событий.
Произведением A ∩ B двух событий A и B называется событие, которое
произойдет в случае происхождения событий A и B.
A
B
A
B
Событие A - выпадени на игральной кости 4, B - выпадение на игральной кости
четного числа.
сумма: A ∪ B = {2, 4, 6}
произведение: A ∩ B = {4}
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Повторение независимых экспериментов
Относительная частота происхождения событий (n–число всеч опытов,
m – число происхождений событий в ходе опытов (абсолютная частота))
Относительная частота s(A) события A является рациональным числом на
отрезке [0, 1].
Относительная частота события A s(A) = 1 тогда и только тогда, когда
m = n.
Относительная частота события A s(A) = 0 тогда и только тогда, когда
m = 0.
Определение
Статистической вероятностью события A называется граничное значение p, к
которому стремится относительная частота события s(A) = m
n при бесконечном
росте числа опытов:
m
p = lim
n→∞ n
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Закон больших чисел Бернулли
Гипотеза
Относительная частота события при
довольно длинной серии опытов
приблизительно равна вероятности
события при одном опыте: s(A) ≈ p(A).
Якоб Бернулли
(1654–1705)
В частном случае можно доказать:
Теорема 5.3.1
Зафиксируем маленькое число ε.При бросании монеты n раз при
неограниченном росте вероятность, что частота выпадения решки колеблется
между числами 0, 5 − ε и 0, 5 + ε, стремится к единице.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
События и вероятность
Закон больших чисел
Закон больших чисел Бернулли
Гипотеза
Относительная частота события при
довольно длинной серии опытов
приблизительно равна вероятности
события при одном опыте: s(A) ≈ p(A).
Якоб Бернулли
(1654–1705)
В частном случае можно доказать:
Теорема 5.3.1
Зафиксируем маленькое число ε.При бросании монеты n раз при
неограниченном росте вероятность, что частота выпадения решки колеблется
между числами 0, 5 − ε и 0, 5 + ε, стремится к единице.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Сумма событий
Теорема
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Пример: В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Какова вероятность, что
случайно выбранный шар окажется синим или красным.
3
Событие A - выбор красного шара: p(A) = 10
.
5
Событие B - выбор синего шара: p(B) = 10 = 12 .
Так как A и B взаимноисключающие события, то вероятность, что выбранный
шар будет красным или синим считается по формуле:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) =
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
1
4
3
+ =
10 2
5
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Произведение независимых событий
Теорема
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению
вероятностей этих событий:
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
Пример: В одной урне 5 черных и 3 белых шара и во второй урне 4 черных и 6
белых шаров. С каждой урны вытаскивают по одному шару, какова вероятность,
что оба шара черные?
Событие A - выбор черного шара из первой урны p(A) = 58 .
4
Событие B - выбор черного шара из второй урны: p(B) = 10
= 25 .
Так как A и B независимы друг от друга, тогда вероятность, что оба шара
окажутся черными считается по формуле:
p(A ∩ B) = p(A) · p(B) =
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
5 2
2
1
· = =
8 5
8
4
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Зависимость событий
Определение
Событие B называется зависимым от события A, если вероятность события B
зависит от того, произойдет ли событие A.
Определение
Условная вероятность P(A|B) – это вероятность события A при условии, что
событие B произошло, P(B) > 0.
Пример
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Возьмем сначала из урны один шар и обратно
не кладем его. Следующей результат извлечения шара из урны зависит от цвета
шара, вынутого первым. Если первым был вынут белый шар (событие A,
4
= 25 ), то вероятность того, что второй шар белый
вероятность p(A) = 10
(событие B) P(B|A) = 93 = 13 .
Если первый раз вынули черный шар (противоположное событие событию A), то
вероятность того, что второй раз вынули белый шар P(B|A) = 49 .
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Сумма зависимых событий
Теорема
Вероятность суммы двух взаимонеисключающих событий равна сумме
вероятностей этих событий, из которой вычтено вероятность произведения этих
событий:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Пример
Бросается две кости. Событие
A = ”как минимум на одной из костей выпадает 2
очка” и
B =”сумма очков равна 5”.
Получаем
6
5
4
3
2
11
36
4
1
p(B) =
=
36
9
p(A) =
p(A ∪ B) =
p(A ∩ B) =
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
13
36
2
1
=
36
18
1
1
2
3
4
5
6
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Произведение зависимых событий
Теорема
Если событие B зависит от события A ( p(B|A) 6= p(B)), то вероятность
произведения этих событий равна произведению вероятности события A и
условной вероятности события B
p(A ∩ B) = p(A) · p(B|A)
Пример: Из 100 билетов лотерии выигрышными являются 10. Какова
вероятность, что взятые подряд три билета выигрышные ?.
События A, B и C отвечают выигрышу 1., 2. и 3. билета. Тогда:
p(A ∩ B ∩ C ) = p(A) · p(B|A) · p(C |(A ∩ B)) =
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
10 9 8
·
·
≈ 0, 000742
100 99 98
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Формула полной вероятности
Теорема
Если событие A может произойти только при выполнении
одного из событий (гипотез) B1 , B2 , . . . Bn , которые образуют
полную группу несовместных событий, то вероятность события
A вычисляется по формуле
n
p(A) =
∑ p(Bi )p(A|Bi ).
j=1
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример применения формулы полной вероятности
На экзамен идут студенты из трех групп. В 1.группе - 7, во
второй 6 и в третьей 8 студентов. Студент из первой группы
сдаст экзамен с вероятностью 0,9, студент из второй группы с
вероятностью 0,8 и студент из третьей группы с вероятностью
0,95. С какой вероятностью сдаст экзамен случайно вошедший
студент?
Обозначим события следующим образом: A – случайный студент сдаст экзамен;
B1 – студент из 1. группы; B2 – студент из 2. группы; B3 – студент из 3. группы.
Так как событие A может включать в себя случайное событие B1 , B2 , B3
(студенты могут быть только из трех названных групп), тогда получим
p(A) = p(B1 ) · p(A|B1 ) + p(B2 ) · p(A|B2 ) + p(B3 ) · p(A|B3 ) =
=
7
6
8
· 0, 9 +
· 0, 8 +
· 0, 95 ≈ 0, 89
21
21
21
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Правило Байеса (1763)
p(h|D) =
p(D|h)p(h)
p(D)
p(h) – априорная (предшествующая опыту) вероятность гипотезы h;
p(D) – априорная вероятность данных теста D;
p(h|D) – апостериорная (следующая из опыта) вероятность гипотезы h при
условии, что в результате теста произошло событие D;
p(D|h) – апостериорная вероятность представления результатов теста D
при условии, что достигли сохранения гипотезы h.
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример: h1 =“облачно”, h2 =“ясно”
Какова вероятность для правильного достижения
перед тем, как посмотреть на барометр?
после того, как посмотрели на барометр?
Предположим, что в среднем у нас 40% времени облачно и 60% времени
ясно, поэтому
Событие Di
D1 (облачно)
D2 (ясно)
p(Di )
0,40
0,60
Если на самом деле облачно, барометр в 10% случаев предскажет ясно, а
если светит солнце барометр в 30% случаев предскажет облачно:
D1 (облачно)
D2 (ясно)
h1 : Барометр
предскажет
облачную
погоду
p(h1 |D1 ) = 0, 9
p(h1 |D2 ) = 0, 3
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
h2 : Барометр
предскажет
солнечную
погоду
p(h2 |D1 ) = 0, 1
p(h2 |D2 ) = 07
∑
1,00
1,00
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример: h1 =“облачно”, h2 =“ясно” (2)
Вероятность того, что погода облачная и барометр также
предскажет облачную погоду - 90% в облачные дни:
0, 40 · 0, 90 = 0, 36
p(D1 )p(h1 |D1 ) = p(D1 ∩ h1 )
Вероятность того, что светит солнце, а барометр
предсказал облачную погоду:
0, 60 · 0, 30 = 0, 18
p(D2 )p(h1 |D2 ) = p(D2 ∩ h1 )
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример: h1 =“облачно”, h2 =“ясно” (3)
Постранство ответов:
0, 4 · 0.9 = 0, 36
0, 6 · 0.3 = 0, 18
Погода на самом деле (D)
Предсказание (h)
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Облачно (0,4)
Ясно (0,6)
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример: h1 =“облачно”, h2 =“ясно” (4)
Вероятность, что барометр предсказал облачную погоду:
p(h1 ) = p(D1 ∩ h1 ) + p(D2 ∩ h1 ) = 0, 18 + 0, 36 = 0, 54
Из связи p(D1 ∩ h1 ) = p(h1 ) ∗ p(D1 |h1 ):
p(D1 |h1 ) = 0, 36/0, 54 = 0, 67
(вероятность, что барометр предсказал облачную погоду
верно)
Из связи p(D2 , h1 ) = p(h1 ) ∗ p(D2 |h1 ) :
p(D2 |h1 ) = 0, 18/0, 54 = 0, 33
(вероятность, что барометр предсказал облачную погоду
неверно)
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример: h1 =“облачно”, h2 =“ясно” (4)
Вероятность, что барометр предсказал облачную погоду:
p(h1 ) = p(D1 ∩ h1 ) + p(D2 ∩ h1 ) = 0, 18 + 0, 36 = 0, 54
Из связи p(D1 ∩ h1 ) = p(h1 ) ∗ p(D1 |h1 ):
p(D1 |h1 ) = 0, 36/0, 54 = 0, 67
(вероятность, что барометр предсказал облачную погоду
верно)
Из связи p(D2 , h1 ) = p(h1 ) ∗ p(D2 |h1 ) :
p(D2 |h1 ) = 0, 18/0, 54 = 0, 33
(вероятность, что барометр предсказал облачную погоду
неверно)
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
Пример: h1 =“облачно”, h2 =“ясно” (4)
Вероятность, что барометр предсказал облачную погоду:
p(h1 ) = p(D1 ∩ h1 ) + p(D2 ∩ h1 ) = 0, 18 + 0, 36 = 0, 54
Из связи p(D1 ∩ h1 ) = p(h1 ) ∗ p(D1 |h1 ):
p(D1 |h1 ) = 0, 36/0, 54 = 0, 67
(вероятность, что барометр предсказал облачную погоду
верно)
Из связи p(D2 , h1 ) = p(h1 ) ∗ p(D2 |h1 ) :
p(D2 |h1 ) = 0, 18/0, 54 = 0, 33
(вероятность, что барометр предсказал облачную погоду
неверно)
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Следующий пункт
1
Введение
2
Теоретическая и статистическая вероятность
События и вероятность
Закон больших чисел
3
Зависимые и независимые события
Сумма и произведение событий
Зависимые события
Полная вероятность
Гадание и правило Байеса
4
Формула Бернулли
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Найти вероятность, что в ходе n независимых опытов событие A произойдет
ровно m раз, если в каждом опыте вероятность события A - P(A) = p.
Вероятность противоположного события событию A - P(A) = q = 1 − p.
в случае серии n опытов одним возможным результатом происхожения события
A m-раз будет:
n−m
B = A ∩ A ∩ . . . ∩ A ∩ A ∩ A ∩ . . . ∩ A = Am A
Вероятность события B по причине независимости опытов:
P(B) = P(A) · P(A) · . . . · P(A) · P(A) · P(A) · . . . · P(A) = p m q n−m
Дополнительно к событию B можем m результатов события A “комбинировать”
n
по n разным позициям m
разными способами. По свойству суммирования
вероятности получаем формулу Бернулли :
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Формула Бернулли
Теорема
Если Pm,n - вероятность, что в ходе n опытов произойдет событие m раз, то
Pm,n =
n m n−m
n!
p m q n−m
p q
=
m!(n − m)!
m
Найти вероятность того, что при 10 бросках монетки решка выпадет 4 раза.
Здесь p = q = 0, 5 и по формуле Бернулли
10! 1 4 1 6
P4,10 =
≈ 0, 205
4!6! 2
2
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд
Введение
Теоретическая и статистическая вероятность
Зависимые и независимые события
Формула Бернулли
Формула Бернулли (2)
В тесте 40 вопросов, у каждого вопроса четыре варианта ответов. Студент,
который вообще не знает предмет, ответил на все вопросы совершенно случайно.
Что вероятнее - что он ответил на все вопросы верно или что он ответил на все
вопросы неверно?
Вероятность верного ответа на все вопросы
P40,40 =
40
40
1
·
= 0, 2540
40
4
и вероятность неверного ответа на все вопросы
P0,40 =
40
40
3
= 0, 7540 .
·
0
4
Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Дискретная Математика II: Реккурентные числовые ряд